Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 8
C. F. Patris, (1, p. 451-452).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ η´. | PROPOSITIO VIII. |
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Ἐὰν ἀριθμὲς ἀριθμοῦ μέρη ἤ, ἅπερ ἀφαιρε- θεὶς ἀφαιρεθέντος" καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτῷ μερή ἐσται, ἀπέερ ο ὁλὸος τοῦ ολοῦ. |
Si numerus numeri partes est, que ablatus : ablati ; et reliquus reliqui eedem partes erit, quz totus totius. |
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Αριθμὸς γάρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΤΔ μέρη ἔστω, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑἙ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ᾽ λέγω ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ἘΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αυτὰ μέρη ἐστίνγ ἀπερ ὁλοὸς ο ΑΒ ολοὺυ τοῦ ΓΔ. |
Numerus enim AB numeri lA partes sit, qua ablatus AE ablati TZ ; dico et reliquum EB reliqui ZA easdem partes esse, qua totus AB. totius TA, |
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Κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ" ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν δ ΗΘ τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΩ, Διῃρήσθω ὁ μὲν ΗἨΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρηῃ τὰ ΗΚ, ΚΘ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΔ, ΛΕ" ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ. ΚΘ τῷ σπλήθει τῶν ΑΛ, ΛΕ. Καὶ ἐπεὶ ὁ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὃ ΑΛ τοῦ ΤΖ᾽ μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΥΖ" μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ. Κείσθω τῷ ΑΛίσος ὁ ΗΜ’ ὃ ἐι’μι μξΡος ἐστὶν ὃὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, |
Ponatur enim ipsi. AB æqualis H© ; quæ igilur partes est. HO ipsius lʼA, eædem partes est et AE ipsius TZ. Dividatur HO quidem in ipsius TA parles HK, KO, ipse vero AE in ipsius TZ partes AA, AE ; erit igitur zqualis mulütudo HK, KO ipsi multitudini AA, AE. Et quoniam qua pars est HK ipsius lʼA, eadem pars est et. AA ipsius TZ ; major autem TA ipso TZ ; méjor igitur et HK Ipso AA. Po
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τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὃ ΗΜ τοῦ ΓΖ᾽ καὶ λοιπὸς ἄρω ὃ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ὅπερ ὅλος ὃ ΗΚ ὅλου τοῦ ΤΔ. Πάλιν, ἐπεὶ. ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΤΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὃ ΛΕ τοῦ ΤΖ, μιείζων δὲ ὁ ΤΔ τοῦ ΓΖ" μεί- ζων ἀρα καὶ ὁ ΚΘ τοῦ ΛΕ. Κείσθω τῷ ΛῈ ἔσοςϊ ὁ ΚΝ᾽ ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὃ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μἕΡος“ ἐστὶὴ" καὶ ὃ ΚΝ τοῦ ΓΖ᾽ καὶ λοιπὸς ο’ἔροι ὁ ΝΘ λοποῦ τοῦ ZΔ τὸ αὐτὸ μἔρος ἐστὶν, ὅπερ |
natur ipsi AA æqualisipse HM ; qua igitur pars est HK ipsius ʼA, eadem pars est et HM ipsius IZ ; et rehquus. igitur MK reliqui ZA eadem pars est quie totus HK totius A, Rursus, quoniam quaà pars est KO ipsius lʼA, eadem. pars est et AE ipsius TZ, major autem TʼA ipso Iz ; major igitur et KO ipso AE. Ponatur ipsi AE equalis ipse KN ; qua igitur pars est Ko Ipsrus ʼA, eadem pars est et KN ipsius TZ ; el ro |
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ὅλος ὁ ΚΘ ὅλου τοῦ ΤΔ. Εἃΐχθπ δὲ καὶ ὁ λοιπὸς ὃ ΜΚ λοϊποῦ τοῦ 2ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ὧν ὅπερ ὁλος ὃ ΚΗ ὕλου τοῦ ΔΙ᾽ καὶ συναμφότερος ἄρα Ο ΜΚ. ΝΘ τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶν ἅπερ ὁλος ὃ ΘΗ ὕὅλου τοῦ ΔΙ, Ισος δὴ συναμφὄτερος μὲν ὃ ΜΚ, ΝΘ τῷ ΕΒ. ὁὃ δὲ ΘΗ τῷ ΒΑ᾿ καὶ λοιπὸς ἄρα ὃ ἘΒ λοιποῦ τοῦ 2Δ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶν οἶζτερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ. Ὅσερ ἐδὲ δεἷξαι. |
liquus igitur NO reliqui ZA eadem pars est, quia totus KO totius. A ; Ostensum autem est et reliquum MK reliqui ZA. eamdem partem esse qua totus KH totius ATʼ ; et uterque simuligitur MK, NO ipsius AZ ezdem partes. est qui totus OH totius AT. JEqualis autem uterque simul MK, NO quidem. ipsi EB, Ipse vero OH ipsi BA ; et reliquus. igitur EB reli. qui ZA exdem partes est qua totus AB totius LA. Quod oportebat ostendere. |
PROPOSITION VIII.
Si un nombre est les mêmes parties d’un nombre, que le nombre retranche l’est du nombre retranché, le nombre restant sera aussi les mêmes parties du nombre restant, que le tout l’est du tout.
Que le nombre 4B soit les mêmes parties du nombre ra, que le nombre retranché AE l’est du nombre retranché rz ; je dis que le nombre restant EB est les mêmes parties du nombre restant ZA, que le tout AB l’est du tout ra.
Faisons H@ égal à AB ; le nombre H© sera les mêmes parties de TA, que AE l’est de rz. Divisons H© en parties de TA, et que ces parties soient HK, Ko ; divisons AE en parties de TZ, et que ces parties soient AA, AE ; le nombre des parties HK, K© sera égal au nombre des parties AA, AE. Et puisque HK est la même partie de ra, que AA l’est de rZ, et que rA est plus grand que TZ, HK est plus grand que AA. Faisons HM égal à AA ; HK sera la même partie de TA, que EM l’est de : rz ; donc le reste MK est la même partie du reste ZA, que le tout HK l’est du tout ra De plus, puisque Kk® est la même partie de TA, que AE l’est de TZ, et que rA est plus grand que rz, ke est plus grand que 4E. Faisons KN égal à AE ; K© sera la même partie de TA, que KN lʼest de rz ; done le reste Ne est la même partie du reste 74, que le tout Ko l’est du tout ra. Mais on a démontré que le reste MK est la même partie du reste ZA, que le tout KH l’est du tout AT ; donc la somme de MK et de N@, est les mêmes parties de Az, que le tout @x l’est du tout ar. Mais la somme de Mk et de N@ est égale à EB, et @H égal à BA ; donc le reste EB est les mêmes parties du reste ZA, que le tout Al l’est du tout ra. Ce quʼil fallait démontrer.