Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 28
C. F. Patris, (1, p. 481-482).
| ΠΡΟΤΑΣῚΣ κή. | PROPOSITIO XXVIII. |
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Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς δύο ἀριῦμους. ἀμφότε-- ρὺ ! πρὸς ἐκάτερον, πρῶτοι ὡσὶ" καὶὶ οἐ εξ αὐὑτων γένομενος ’πρωτοι προς αλλήηλους ἐσονταὶ. |
Si duo numeri ad duos numeros, uterque ad utrumque, primi sunt ; et ipsi ex ipsis facti primi inter se erunt, |
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Δύο γαρ οἷριθμοι ο Α. 8Β πρὸς δύο αριθμους τοὖς Γ, Δ, ἆμφοτεροι πρὸς ἐκατερὸν. πρωτοι ἔστωσαν, καὶ ὃ μέν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω. ὁ δὲ Τ τὸν Δ πολλαπλαισάσας τὸν Z ποιείτω" λεγῶ ΟΤΙ οἱ E, Ζ πρώτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶνε. |
Duo enim numeri A, B ad duos numeros D, A, uterque ad utrumque, primi sint, et À quidem ipsum B multiplicans ipsum E faciat, ipse vero T ipsum À multüplicans ipsum Z faciat ; dico E, Z primos inter se esse. |
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Ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερος τῶν Α, Β πρὸς τὸν T ἥρωτος ἐστι, καὶ 0 ἐκ τῶν Α, Β αρὰ γενομένος πρὸς τὸν Τ πρῶτος ἐσταιΐ, Ο δὲ ἐκ τῶν Α. Β ἀλλήλους εἶσί. Δίὰ τά αὐταὰ δὴ καὶ οἱἷ2 Ἐ. Δ πρωτοι πρὸς αλληλους εἰσιὶν" εκατερὸς ἀρῶ τῶν Γ. Δ πρὸς τὸν Ἑ πρώτος ἐστι" καὶ ὁ εἰ Τῶν |
Quoniam enim uterque ipsorum A, B ad TP primus est, etipse ex A, B igitur factus ad T primus erit, Ipse autem ex A, B faclus est E ; Ipsi E, T igitur primi inter se sunt. Propter eadem utique E, A primi inter se sunt ; uter- que igitur ipsorum Tʼ, A ad E primus est ; et ipse ex T, A igitur factus ad E primus erit,
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Τ. Δ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Ἑ πρῶτος ἔσται- Ο δὲ ἐκ τῶν Τ᾿ Δ γενόμενος ἐστὶν ο Ζ" οἱ Ἑ. Ζ ἀρὰ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Ipse autem ex D, À factus est Z 5 ipsi E, 2 igitur primi inter se sunt, Quod oportebat ostendere. |
Si deux nombres sont premiers avec deux autres, l’un et l’autre avec l’un et l’autre, leurs produits seront premiers entr’eux.
Que les deux nombres 4, B soient premiers avec les deux nombres r, 4, l’un et l’autre avec l’un et l’autre ; que A multipliant B produise E, et que r multipliant A produise z ; je dis que les nombres E, Z sont premiers entr’eux.
Puisque chacun des nombres A, B est premier avecr, le produit de A par B sera premier avec T (26. 7). Mais le produit de 4 par B est E ; donc les nombres E, T sont premiers entr’eux. Par la même raison E, A sont premiers. entrʼeux ; donc chacun des nombres r, A est premier avec E ; donc le produit de Γ par Δ sera premier avec E (26, 7). Mais le produit de r par 4 est z ; donc les nombres E, 2 sont premiers entrʼeux. Ce qu’il fallait démontrer.