|
τῶν ΑΒ. ΒΓ μότρνιʼ καὶ ὅλον αρι τὸν ΓᾺ με- τρήσει. Μετρεῖ ʼδὲ καὶ τὸν ΑΒʼ ὃ Δ ἀρα τοὺς ΤΑς ΑΒ μετρεῖ, πρῶώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους. ὕπέρ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ Ξἔροι τοὺς ΑΒ. ΒΓ ἆριθμοὖς ἀριθμός τις μετρήσει" οἱ ΑΒ. ΒΤ ἄρα πρῶτοι νπΡὃς ἀλλήλους εἰσίν. Οπερ ἔδοι, δεῖξαι. |
BP meütur ; et totam igitur TA metictur. Metitur autem et ipsuni AB ; ipsc A igitur ipsos A, AB metitur, primos existentes inter sc, quod cst impossibile ; non igitur ipsos AB, BI numcros numcrus aliquis mctictur ; ipsi AB, BT igitur primi inter se suat. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λα. | PROPOSITIO XXXI. |
|
Ατας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμὸν, ὃν μὴ μετρεῖ. πρῶτός ἐστιν. Ἔστω πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Α, καὶ τὸν Β μὲ με- τρείτω" λέγω ὅτι οἱ Β. Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους |
Omnis primus numerus ad omncm numerum, qucm non melitur, primus cst. eit primus numcrus Á, ct ipsum D non me- tiatur ; dico B, A primos inter se esse. |
|
Εἰ γὰρ μή εἶσιν οἱ Β. Α πρῶτοι πρὸς ἀλλή- λους. μετρήσει τις αὐτοὺῦς ἀριθμος. Μετρείτω, καὶ ἔστω ὃ ΤΊʼ. Καὶ ἐπεὶ ὁ Τ τὸν Β μετρεῖ. ὁ δῈ Α τοὸν Β ου μετρει" 9 Γ ἄρὰ τῷ Δ ουκεστιν ο αυτος. Καὶ ἐπεὶ ΟΤ τοὺυς Β. ἃ μετρει" καὶ τὸν Α ἀρὰ |
$1 enim non sint B, A primi inter se, melictur aliquis eos numerus. Metiatur, et sit. Et quo- niam Iʼ ipsum B metitur, ipse autem A ipsum B non meütur ; ipse Ll igitur cum ipso À non est idem. Et quoniam DIʼipsos B, A mcetitur ; |
des nombres 4B, Br, il mesurera leur somme rA. Mais il mesure 4B ; donc A mesure TA, AB, qui sont premiers entr’eux, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne mesurera pas les nombres 48, Br ; donc AB, Br sont premiers entr’eux. Ce qu’il fallait démontrer.
Tout nombre premier est premier avec tout nombre qu’il ne mesure pas.
Soit le nombre premier A, et que A ne mesure pas B ; je dis que B, A sont premiers entrʼeux.
Car si B, À ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre les mesurera. Que quelque sombre les mesure, et que ce soit r. Puisque r mesure B, et que A ne mesure pas B, le nombre T n’est pas le même nombre que 4. Et puisque t
