450 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE,
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ μ΄. | PROPOSITIO XL. |
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Ἐαὰν ἀριθμὸς μέρος ἐχὴ ὁτιοῦν. ὑπὸ ομωνύμου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται τῷ μέρει. |
Si numerus partem habeat quamcumque mensurabitur a denominato a parte numero, |
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Αριθμὸς γὰρ 5 Ὰ μέρος ἐχέτω οτιοῦν τίν Β, καὶ τῷ Β μερεὶ ομώνυμος ἐστῶ 0 Τ λέγῷ 0Τ᾽ ο Γ τὸν Α μετρεῖ. |
Numerus enim A partem habeat quamcumque B, et a B parte denominatus sit I ; dico Tʼ ipsum A metiiri. |
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Ἐπεὶ γάρο Β τοῦ Α μερὸος ἐστι καὶ ομωνυμον τῷ Τ, ἔστι δὲ καὶ ἢ Δ μονᾶς τοῦ Τ μέρος ὁμω- γυμον αὐτῷ" 0 μέρος ἀρα" ἐστιν ἡ Δ μονὰς του " αριθμου τὸ αὐτὸ μερὸς ἐστι καὶ 0ΟΒ τοῦυ Α" ἰ σακις ἄρα ἢ Δ μονᾶς τὸν Τ ἀρεθμον μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Αʼ ἐναλλὲὰξ α’ροι ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμοὸν μετρει και ΟΤ τὸν ΑΟΤ ᾽ ἄρὰ τὸν ἃ μεέτρεί. ΟΖσερ 4δὲι δεῖξαι. |
Quoniam enim B ipsius A pars est et denomi. nata ab ipso lʼ, est autem A unitas Ipsius T pars denominata ab eo ; quz igitur pars est. A unitas ipsius T numeri eadem pars est et B ipsius À ; equaliter igitur A unitas ipsum T numerum me- ütur ac B ipsum A ; alterne igitur xqualiter A unitas ipsum B numerum metitur ac T ipsum A ; ipse P igitur ipsum A metitur. Quod oportebat ostendere. |
Si un nombre a une partie quelconque, ce nombre sera mesuré par le nombre dénommé par cette partie.
Que le nombre 4 ait une partie quelconque B, et que le nombre r soit dénommé par B ; je dis que T mesure A.
Puisque B est une partie de A dénommée par r, et que l’unité A est une partie de r dénommée par lui, l’unité A est la même partie du nombre T que B l’est de A ; donc l’unité A mesure le nombre Tr autant de fois que B mesure 4 ; donc par permutation l’unité A mesure le nombre B autant de fois que r mesure 4 (15. 7) ; donc r mesure 4. Ce qu’il fallait démontrer.
