Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 39
C. F. Patris, (1, p. 498-499).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λθ´. | PROPOSITIO XXXIX. |
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Ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. ὃ μετρούμενος ὁμώνυμον μέρος ἔξει τῷ μετροῦντι. |
Si numerus ab aliquo numero mensuratur, mensuratus denominatam partem habebit a metiente.
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Αριθμὸς γὰρ ὁ Α ὑπό τινος ἀριθμοῦ τοῦ Β μετρείσθω" λέγω ὅτι ὃ Α ὁμῶνυμον μέρος ἔχει τᾧ Β. |
Numerus enim A ab aliquo numero B mensu- retur ; dico A denominatam partem habere ab ipso B. |
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Οσακις γὰρ ο Β τὸν Α μετρει. τόσαυται μο- γάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Τ᾿ καὶ ἐπεὶ ο Β τὸν Α με- τρεΐ κατὰ τὰς ἐν Τῷ Τ μοναδὰς. μέτρει δὲ καὶ ἢ Δ μονας τὸν Τ ἀριῦὕμον κατα τὰς εν αυὐτῷ μονὰ- δας ἰσακις ἄρα ἡ Δ μονᾶς τὸν Γ αριθμον μέτρει καὶ 0ΟΒ τὸν Α" εναλλοιξ ἀρα ἰσακις ἢ Δ μονὰς τὸν Β αριθμον μέτρε : καὶ ΟΤʼ᾽ τὸν Α" ὁ ἀρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονᾶς τοῦ Β ἀριθμοῦ. τὸ αὖτὸ μεέρος ἐστὶ καὶ ΟΤ᾽ τοῦ Α. Ἡ δὲ Δ μονᾶς τοῦ Β αριθμου μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον αὐτῷ" καὶ ΟΤʼ ἀρα τοῦ Α μέρος ἐστιν ομῶώνυμον τῷ Βʼ" ὥστε 0 Α μερὸς χει τὸν Τ ὁομώνυμον οντὼ τῷ Β, Οπερ ἐδὲι δεῖξαι, |
Quoties enim B ipsum A metitur, tot unitates sint in P ; et quoniam B ipsum A mctitur per unitates que in D, metitur autem et A unitas ipsum T numerum per unitates quz in ipso ; equaliter igitur A unitas ipsum T numerum me- ütur ac B ipsum A ; alterne igitur zqualiter A unitas ipsum B numerum metitur ac T ipsum A ; qua igitur pars est A unitas ipsius B numeri, eadem pars est et I ipsius A. Ipsa autem A uni- tas ipsius B numeri pars est denominata ab eo ; et lʼigitur 1psius A pars est denominata ab ipso B ; quare A partem habet T denominatam ab ipso B. Quod oportebat ostendere. |
Si un nombre est mesuré par quelque nombre, le nombre mesuré aura une partie dénommée par le nombre qui le mesure. Que le nombre A soit mesuré par le nombre B ; je dis que A a une partie dénommée par B.
Qu’il y ait dans T autant d’unités que B mesure de fois A. Puisque B mesure A par les unités qui sont en r, et que l’unité A mesure Tr par les unités qui sont en lui, l’unité A mesurera T autant de fois que B mesure A ; donc, par permutation, l’unité A mesurera B autant de fois que r mesure 4 (15. 7) ; donc r est la même partie de A que l’unité À l’est de 8. Mais l’unité A est une partie de B dénommée par lui ; donc r est une partie de A dénommée par B ; donc 4 a une partie T dénommée par 8. Ce qu’il fallait démontrer.