Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 41
C. F. Patris, (1, p. 501-502).
ΠΡΟΤΑΣΙΣ μά. | PROPOSITIO XLI. |
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Αριθμὸν εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὧν ἕξει τὰ δὸ- θέντα μέρη. |
Numerum invenire, qui minimus existens, habeat datas partes. |
Ἑστω τὰ δοθέντα μέρη τὰ Α. Β. Τʼ δεῖ δὴ αριθμον εὑρεῖν. ὃς ελαχιστος ὧν ἕξει τὰ δοθέντα μερπτοι Α, Β, Γʼ, |
Sint date partes A, B, Tʼ ; oportet igitur nu- merum invenire, qui minimus existens habeat datas partes A, B, T. |
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Ἑστωταν τοῖς Α. Β. Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀρι- μοὶ, οἱ Δ. Ε. Ζ, καὶ εἰλήφθω δ5 ὑπὸ τῶν Δ. ἄραΐ ὁμώνυμα μέρη ἔχει τοῖς Δ. Ε, Ζ. Τοῖς δὲ Δ. Ε, Ζ ὁμώνυμα μέρη ἐστὶ τὰ Α. Β. Γʼ Η ἄρα ἔχει τὰ Α. Β. Γ μέρη. Λέγω δὴ ὅτι ἐλάχιστος ὧν, Εἰ γὰρ μὴ, ἔστω τὶς τοῦ Ἡ ἐλάστσων ἀριθ-- μὅς ὃς ἶξει τὰ Α, Β, Τ μἔρπ. ὃ Θῦ, Ἐπεὶ ὁ Θ ἔχει τὰ Α, Β, Τ μερη" 0 Θ ἀρὰ υὑπὸ ομωνυμῶν |
Sint ab ipsis A, B, T partibus denominati nu- meri, A, E, Z, et sumatur ab ipsis A, E, Z mi- nimus mensuratus numerus H ; ipse H igitur dc- nominatas partes habet ab ipsis A, E, Z. Ab ipsis autem A, E, Z denominats partes sunt A, B, T. Ipse H agitur habet A, B, T partes. Dico ct mi- nimum esse. $1 eaim non, sit aliquis O ipso H minor numerus qui habeat A, B, T partes. Quo- niam O habet A, B, Tʼ parles ; ipse O igitur a
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οἷριθμων μετρπθπσεται τοῖς Α. Β. : Γ μέρεσι, Τοῖς ἙΑ. Β. Τ μέρεσιν ομμώῶνυμοι ἀριῦμοι εἰσιν οἱ Δ. Ἑ. Ζ οΘ ἀρὰ υὑπὸ τῶν Δ. Ε. Ζ2 μετρειται-. — καὶ ἔστιν ἐλάσσων τοῦ Ἡ. ὁπερ ἐστὶν ἀδυνωτον" οὐκ ἄρα ἔστα ; τὶς τοῦ Ἡ ἐλάσσων ἀριθμὸς. ὃς ἕξει τὰ Α. Β. Τ μέρη. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
denominatis numeris ab A, B, Γ partibus men surabitur. Ab ipsis autem A, B, Γ partibus de- nominati numeri sunt A, E, Z ; j ipse Θ igitur ab Ipsis Δ, E, Z mensuratur, et est minor ipso H, quod est impossibile ; non igitur erit aliquis ipso H minor numerus, qui habeat A, B, Γ partes, Quod oportebat ostendere. |
Trouver un nombre, qui étant le plus petit, ait des parties données.
Soient A, B, I les parties données ; il faut trouver un nombre, qui étant le plus petit, ait les parties données 4, B, T.
Que les nombres A, E, Z soient dénommés par les parties A, B, T ; prenons le plus petit nombre H qui est mesuré par A, E, Z (38. 7) ; le nombre H aura des parties dénommées par 4, E, Z (39. 7). Mais les parties dénommées per A, E, Z sont A, B, r ; donc Ha les parties A, B, 1. Je dis que H est le plus peut. Car si cela n’est pas, soit un nombre © plus petit que H qui ait les parties A, B, T. Puisque @ a les parties A, B, T, le nombre © sera mesuré par les nombres dénommés par les parties A, B, r (40. 7). Mais les nombres dénommés par les parties A, B, Γ sont Δ, E, Z ; donc Θ plus petit que H sera mesuré par Δ, E, Z, ce qui est impossible ; il n’y a donc pas quelque nombre plus petit que H qui ait les parties A, B, Γ. Ce qu’il fallait démontrer.