Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 26
C. F. Patris, (1, p. 478-479).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κϛʹ. | PROPOSITIO XXVI. |
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Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν. καὶ ὃ εῷ αὐτῶν γενόμενος ʼπρὄς τὸν αὐτὸν πρῶτος ἔσται. |
Si duo numeri ad aliquem numerum primi sunt, et ipse ex ipsis factus ad eum prim erit. |
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Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α. Β πρός τινα ἀριθμοὸν τὸν Τ πρῶτοι ἐστωσανὶ. καὶ 5. Α τὸν Β πολλα- πλασιάσας τὸν Δ ποιείτω" λέγω ὁτι οἱ Γ. Δ πρὧτοι ’πρὄς ἀλλήλους εἰσίνς. |
Duo enim numeri A, B ad aliquem numer LI primi sint, et A ipsum B multiplicans Ipsum A faciat ; dico, A primos inter se esse. |
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Εἰ γὰρ μή εἶσιν οἱ Τ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλή- λους. μετρήσει τις τοὺς Τ, Δʼ ἀριθμὸός. Με- τρείτῶ. καὶ εἐστΤῶ ο Ε, Καὶ ἐπει οἱ Τ. Α σρῶτοι |
$1 enim non sint Tʼ, A primi inter se, metietur aliquis ipsos Iʼ, A numerus. Metiatur, et sil £, Et quoniam Γ, A primi inter se sunt, ipsum
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πρὄς ἀλλήλους εἰσὶ. τὸν δῈ Τ μετρεῖ τις ἀριθμὸς ὁ Ἐ’ οἱἙ. Α ἀρὰ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν- Οσάκις δὴ9 6Ὲ τὸν Δ μετρεῖ9 τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ καὶ ο 2 ἀρῶ τὸν Δ μέτρε ! κατὰ τὰς ἐν τῷ Ἑ μοναδὰς" ο Ἑ ἀρα τὸν 2 πολλαπλα- σιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. Αλλὰα μὴῆν και ο α τὸν Β σολλαπλασίιασας τὸν Δ σποεητοιίηκεν" Ισὸς αρα εἐστὶν ὃ ἐκ τῶν Ἑ. Ζ τῷ ἐκ τῶν Α. Β. Ἐὰᾶν δὲ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἰσος ἢ τῷ ὑπὸ τῶν μεέσὼν. οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀναλογον εἰσίν" ἐστιν ἄρα ὡς ὁ Ἑ πρὸς τὸν Α οὕτως 0 Β πρὸς τὸν Ζ. Οἱὐἱ δὲ Α. 8ΕἙ πρῶτοι. οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι. οἱ δὲ ἐλάχιστοι αριθμοι τῶν τὸν αὑτὸν λῦγον εχύντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἐχοντας ἰσάκις. ὃ τε μείζων τὸν μείζωνα. . καὶ ὁ ἐλάσσων τὶν ἐλάσσονα. τουτεστιν. 0 τεῖ ἡγούμενος τὸν ἡγιυμίνον. καὶ ὃ ἐποόμέειος τὸν ἐπόμενον" 0 Ε ἅμα τὸν Β μιτρεῖ. Μιτρεξ δὲ καὶ τὸν Τ᾿ ΘῈ ἀρώ τους Β. Τ ἄ πριὲ πρώτους οντας πρὸς αλληλους. πὲρ εἐστι" αδυίατον. Οὐκ ορα τους Γ. Δ αριθ- μους α. Ριθμος τὶς μετρήσει" οἱ Τ. Δ ἀρὰ πρῶτοι πρῦὺς αλλήλους εἰσίνε Ο’πςρ ἐδὲι ἃιξαι. |
autem Tʼ metitur aliquis numerus E ; ipsi E, A igilur primi inter se sunt. Quoties autem E ipsum Δ metitur, tot unitates sintin Z ; et Z igitur ipsum Δ melilur per unitates quz in E ; ipse X igitur Ipsum Z multüplicans ipsum A fecit. Sed et A ipsum B multiplicans ipsum A fecit ; zqualis igi- tur estipse ex E, Zipsiex A, B. Si autem Ipse ex extremis zqualis est ipsi ex mediis, quatuor numeri proportionales sunt ; est igitar ut E ad A ita B ad Z. Ipsi autem A, E primi, ipsi vero primi et minimi, minimi aulem numeri ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis metiun- tur equaliter ipsos eamdem. rationem habentes, el major majorem, et minor minorem, hoc est, et antecedens antecedentem, et consequens consequentem ; ipse E igilur 1psum B metitur. Mcfitur. autem. et ipsum P ; ipse E igitur 1psos B, lʼ melitur primos existentes inter se, quod est impossibile. INon igitur ipsos P, A numcros numerus aliquis metietur ; ipsi I, A igitur primi inter se sunt. Quod oportebat ostendere. |
Si deux nombres sont premiers avec quelque nombre, le produit de ces deux nombres sera un nombre premier avec ce nombre.
Que les deux nombres A, B soient deux nombres premiers avec quelque nombre Γ, et que A multipliant B fasse Δ ; je dis que Γ, Δ sont premiers entrʼeux :
Car si Γ, Δ ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre mesurera Γ, Δ. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit E. Puisque Γ, Δ sont premiers entr’eux, et qu’un nombre E mesure r, les nombres E, A seront premiers entr’eux (25. 7). Quʼil y ait dans Z autant dʼunités que E mesure de fois 4 ; le nombre Zz mesurera A par les unités qui sont dans E ; donc E multipliant z produira 4. Mais A multipliant B produit À ; donc le produit de E par Z est égal au produit de A par B. Mais lorsque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, les quatre nombres sont proportionnels (19. 7) ; donc E est à À comme B est az. Mais les nombres A, E sont premiers entr’eux ; et les nombres premiers entr’eux sont les plus petits de ceux qui out la même raison avec eux (253. 7), et les nombres qui sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux, mesurent également ceux qui ont la même raison (21. 7), le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent ; donc E mesure B ; mais il mesurer ; donc E mesure les nombres B, T qui sont premiers entr’eux, ce qui est impossible. Donc quelque nombre ne mesurera pas r, A ; donc T, A sont premiers entr’eux. Ce quʼil fallait démontrer.