Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 1
C. F. Patris, (1, p. 434-436).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ a. | PROPOSITIO I. |
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Δύο ἀριθμῶν ανίσων ἐκπε μΈνῶν . ανθυφαιρου- μένου δὲ ἀει τοῦ ἐλασσονος ἀπὸ τοῦ μέίζονος, |
Duobus numeris inzgqualibus expositis, detraclo autem semper minore de majore, s |
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ἐὰν ! ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸς ἑαυτοῦ ἑως οὗ ληφθῇ μονάς οἱ εξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. |
relictus nunquam metiatur ipsum pre se ipso quoad assumpta fuerit unitas ; a principio numeri primi inter se erunt. |
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Δύο γὰρ ἀνίσων" ἀριθμῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυ- φαιρουμένου ἀεἰ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος. ὃ λειπόμενος μηδέποτε κωταμετρείτω τὸν ’πρὄς ἑαυτοῦ ἐὡς οὐ ληφθῇ μονας" λέγω ὅτεέ οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ. τουτέστιν, ὅτι τοὺς ΑΒ. ΓΔ μονὰς μόνη μετρεῖν. |
Duobus enim inzqualibus numeris AB, TA detracto semper minore de majore, relictus nunquam metiatur eum pre se ipso quoad assumpta fuerit unitas ; dico ipsos AB, lʼA primos inter se esse, hoc est, ipsos AB, TA unitate solà mensurari. |
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Εἰ γὰρ μὴ εἰσὲν οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὃς ἀλ- λήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός, Μετρείτω, καὶ ἔστω ὃ Ἐ, καὶ ὃ μὲν ΓΔ τὸν ΑΒ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΑ-. ὃ δὲ ΖΑ τὸν ΔΙ μετρῶν λειπέτω ἐἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ἩΓ, ὁ δὲ ΗΓ, τὸν ΖΑ μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν ΘΑ. |
Si enim non sunt AB, TʼA primi inter se, metietur aliquis ipsos numerus. Metiatur, et sit E, et TA quidem ipsum AB metiens relinquat se ipso minorem ZA, ipse vero ZA ipsum ATP metiens relinquat se ipso minorem HL, ipse HTʼ autem ipsum ZA metiens relinquat unitatem ΘΑ. |
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Ἐπεὶ οὖν ὁ Ἑ τὸν ΤΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΤΔ τὸν ZB μετρεῖ" καὶ δὁ Ἑ ἄρα τὸῶν 1Β μετρεῖ. Μετρεῖ |
Quoniam et E ipsum TA metitur, ipse autem lʼA ipsum ZB metitur ; et ipse igitur E ipsum ZB
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δὲ καὶ ὅλον τὸν ΑΒ’ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσειί. Ο δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρεῖ" καὶ 9 Ἑ ἄρα τὸν ΔΗ μετρήσει, Μετρεῖ δῈ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ᾽ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΤῊ μετρᾗσειὅ. Ο δὲ ΤΗ τὸν ZΘ μετρεῖ" καὶ ὁ Ἑ ἄρα τὸν ΖΘ μετρήσειδ, Με- |
metitur. Metitur autem et tolam AB ; e teli. quum igitur AZ metietur. Ipse autem 47 i. sum AH metitur ; et E igitur ipsum AH metietur Metitur autem et totum TʼA ; et reliquum igitur YH metietur, Ipse autera IʼH ipsum Zo metitur. |
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τρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ" καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει. ἀριθμὸς ὧν, ὅπερ ἐστὶν ἀϑύνατον" οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ. ΤΔ ἀριθμοὺς με- τρᾗσει τις ἆριθμός οἱ ΑΒ. ΓΔ ἆρα πρὢτοι πρὄς ἀλλήλους εἰσίν. Οσερ ἔδει δεῖξαι. |
et E igitur ipsum ZO metietur. Metitur antem et totum ZA ; et reliquam igitur AO unitatgg metietur, numerus existens, quod est ITmpossibile ; non igitur AB, ΓΔ numeros metiet aliquis numerus ; ipsi AB, TA igitur primi inter se sunt. Quod oportebat ostendere, |
PROPOSITION PREMIÈRE.
Deux nombres inégaux étant proposés, le plus petit étant toujours retranché du plus grand, si le reste ne mesure celui qui est avant lui que lorsque lʼon a pris lʼunité, les nombres proposés seront premiers entrʼeux.
Soient les deux nombres inégaux AB, TA ; que le plus petit étant toujours retranché du plus grand, le nombre restant ne mesure celui qui est avant lui que lorsque l’on a pris lʼunité ; je dis que les nombres 4B, rA sont Premiers entr’eux, cʼest-à-dire que lʼunité seule les mesure.
Car si les nombres AB, TA ne sont pas premiers entrʼeux, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit E ; que TA mesurant AB laisse ZA plus petit que lui-méme ; que ZzA mesurant ar laisse HT plus petit que lui-même ; et quʼenfin Hr mesurant ZA laisse lʼunité eA.
Puisque E mesure TA, et que T^ mesure ZB, le nombre E mesure ZP. Mais il mesure AB tout entier ; donc il mesurera le reste Az. Mais AZ mesure AH ; donc E mesurera AH. Mais il mesure TA tout entier ; donc il mesurer le reste TH. Mais TH mesure Ze ; donc E mesurera Ze. Mais il mesure ZA tout entier ; donc un nombre mesurera lʼunité restante A6, ce qui est impossible (déf. 5. 7) . Donc, aucun nombre ne mesurera les nombres ΑΒ, Τὰ, Donc les nombres AB, TA sont premiers entrʼeux. Ce quʼil fallait démontrer.