426 LE SÉPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDR.
| ΠΡΟΊΤΑΣΙΣ κδ´. | PROPOSITIO XXIV. |
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Οἱ ἐλάχιστοι αριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχοϊτω αὐτοςς. πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίγε. |
Minimi numeri eorum eamdem ralionem habentium cum ipsis, primi inter se sunt. |
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Ἑςτώυσαν ἐλυχίστοι ἀριθμοὶ τῶν πτὸν αὐτον λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Βʼ λέγω ὁτι A, Β πρῶτοι προς ἀλλήλους εἰσίν. |
Sint minimi numeri eorum eamdem Talis. nem habentium cum ipsis A, B ; dico A, B primos inter se esse. |
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Εἰ γόρ μή εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, B, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμος, Μετρείτω. καὶ ἔστω ὃΤ, Καὶϊ όσακις μὲν ΟΤ ΤόῦΥΑ μέετρει, το- σαῦται μογάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ. ὑσάκιὶς δὲ Ο Τʼ τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται ! μογαδὲς ἐστωσαν ἐν τῷ Ἐ, |
Si enim non sunt primi inter se A, B, metieh, aliquis ipsos numerus. Metiatur, et sit r, Et quo. ties quidem ipsum A reetitur, tot unitates smt in À, quoties vero Tʼ ipsum B melitur, tot uj. tates sint in E. |
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Καὶ ἐπεὶ Ο Τ τὸν Α μετρεὶ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας" Τ ἀρὰ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεέποιῆκε, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ 0Τ τὸν Ἑ πολ- λαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκενʼ" αριθμὸς δὴ ΟΤ δύο ἀριθϑμοὺς τοὺς Δ. Ἑ πολλαπλασιάσας τοὺς |
Et quoniam T ipsum A metitur per unitate ; qui in A ; ipse Tʼ igitur ipsum A multiplican ipsum A fecit. Propter eadem utique et T ipsum E multiplicans ipsum B fecit ; numerus igitur T duos numeros A, E multiplicans ipsos A, B |
Les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux, sont premiers entr’eux.
Que A, B soient les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux ; je dis que les nombres A, B sont premiers entr’eux.
Car si les nombres A, B ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soitr. Quʼil y ait dans : autant d’unités que Tr mesure de fois A, et qu’il y ait dans E autant d’unités que r mesure de fois B.
Puisque r mesure A par les unités qui sont dans A, le nombre r multipliant A produira 4. Par la même raison, r multipliant E produit B ; donc le nombre r multipliant les deux nombres A, E produira A, B ; donc 4 est à E comme A est
