Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 16
C. F. Patris, (1, p. 463-464).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ις΄. | PROPOSITIO XVI. |
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Ἐὰν δύο ἀριθϑμοὶ πολλαπλασιίντες ἀλλήλους ποιῶσί τινγας" οἱ γεένομενοι εξ αὐτῶν ἴσοι αλλή- λοῖς ἐσονται. |
Si duo numeri multiplicantes sese faciunt aliquos ; facti ex 1psis æquales inter sc erunt. |
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Ἑστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ μέν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Τ ποιείτω, ὃ δὲ Β |
Sint duo numeri A, B, ct A quidem ipsum B inulliplicans ipsum T faciat, ipse vero B |
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τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ σοιείτω" λέγῶ ὃτι ἰσὸς εστιν ὁ Γ τῷ Δ. |
ipsum A multiplicans ipsum A faciat ; dico æqualem esse T ipsi A.
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Ἐπεὶ γὰρ 0 Α τὸν Β πολλαπλασιασὰς τὸν Τ σεποίηκεν" 0 Β ἄρα τὸν Γ μέτρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. Μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ἑ μονὰς τὸν Α ἀρι- μονὶ κατὰ τὰς ἐν αυτῷ μοναδὰς". ἰσάκις ἀρα ἡ Ἑ μονὰς τὸν Α αἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Τʼ ἐναλλὰξ ἀρα ἰσάκις ἡ Ἑ μονὰς τὸν Β ἀριεθμοὸν μέτρει καὶ 9 Α τὸν Τ. Παλιν. επέεῖ ὁ Β τον α πολλαπλασιᾶσας τὸν Δ πεποίηκεν" ὁ Α ἄρα τὸν |
Quoniam enim A ipsum B multiplicans ip. sum LC fecit ; B igitur ipsum T metitur per ipsas in A unitates. Metitur autem et E uy. las ipsum À numerum per ipsas in eo unitate ; wqualiter igitur E unitas ipsum A numerum metitur ac B ipsum l ; alterne igitur æqualiter E unitas ipsum B numerum metitur ac A ipsum Lr. Rursus, quoniam B ipsum A multiplican ; |
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Δ μετρεῖ κατὰ τὰς εν τῷ Β μοναδας. Μετρεῖ δῈ καὶ ἡ Ἑ μονὰς τὸν Β κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μοναδὰς" ἰσώκις ἀρα ἢ Ἑ μονας τὸν Β ἀριθμιον μετρεῖ καὶ δΑ τὸν Δ, Ἰσάώκις δὲ ἡ Ἑ μονᾶς τὸν Β αἀριθμοὸν μέτρει καὶ ὁ Α τὸν Τ ἰσάκις ἀρὰ 0 Α εκατερον τῶν Τῷ Δ μετρει" σὸς ἄρῶ ἐστιν ο Γτῳ ἃ, Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
ipsum A fecit ; ipse A igitur rpsum A meti. tur per ipsas in B unitates. Metitur autem et E unitas ipsum B per ipsas in eo unitates ; zqualiter igitur E unitas psum B numerum metitur ac A Ipsum A. JÉqualiter autem ipsum 8 numerum metitur ac. À ipsum T, £- qualiter igitur A. utrumque ipsorum Tr, À me. ütur ; æqualis igitur est lʼipsi A. Quod oportebat ostendere. |
PROPOSITION XVI.
Si deux nombres se multipliant l’un et l’autre en produisent d’autres ; les nombres produits seront égaux entrʼeux.
Soient les deux nombres A, B ; que A multipliant B produise r, et que B multipliant 4 produise A ; je dis que r est égal à 4. Car, puisque A multipliant B a produit r ; B mesure r par les unités qui sont en A (déf. 15. 7). Mais lʼunité E mesure le nombre A par les unités quʼil con. tient ; donc lʼunité E mesure le nombre A autant de fois que 8 mesure r ; donc, par permutation, lʼunité E mesure le nombre 8 autant de fois que A mesurer (15. 7). De plus, puisque 8 multipliant 4 a produit ^, A mesure A par les unités qui sont en B. Mais lʼunité E mesure le nombre B par les unités quʼil contient ; donc lʼunité E mesure le nombre B autant de fois que A mesure 4. Mais lʼunité E mesure le nombre B autant de fois que A mesure r ; donc à mesure également T et A ; donc r est égal à 4. Ce quʼil fallait démontrer.