Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 36
C. F. Patris, (1, p. 492-495).
| ΠΡΟΊΤΑΣΙΣ λς´. | PROPOSITIO XXXVI. |
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Δύο ἀριθμῶν δοῦεντων. εὐὑρεῖν ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. |
Duobus numeris datis, invenire quem mini mum metiantur nurmerum. |
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Ἐστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἆρ ; θμοἷ ο Δ. Βʼ δεῦ δὴ εὑρεῖν ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀρ ; θμόν, |
Sint dati duo numeri A, B ; oportet igitur in- venire quem minimum meliantur numerum, |
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ΟΙ Α, Β γαρῆτοι πρῶτοι σρος αλλήλους εἰσιν. ἢ οὐ. ἙἘστωσαν στροτέρον 0ι Α, Β σρῶτοι σπρος ἀλλήλους. καὶ ὁ Αἱʼ τὸν Β πολλαπλασιασὰς τὸν Γ ποιειτῶ" καὶ ο Β ἀρὼ τὸν Α πολλαπλασιασᾶς τὸν Γὶ πεποίηκεν" οἱ Α. Β ἄρα τὸν Τ μετροῦσι. Λέγω δὴ ὁτι καὶ ἐλάχιστον, Ἐ γαάρ μή. μετρῆ- σουσὶ τινῶ ἀριθμον οἱ Α- Β ἐλαάσσονα ὄντα τοῦ Τ, Μετρείτωσαν τὸν Δ. Και οσακις ὁ α τὸν ἃ μετρει, τοσαῦται μονάδες ἐστωσαν ἐν τῷ Ἐ οσάκις δὲ Ο Β τὸν ἃ μετρει. τοσαυται μοναἆες « στῶσαν ἐεν τῷ 2 ὁ μὲν Α ἀρὰ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν |
Ipsi A, B enim vel primi inter se sunt, vd] non. Sint primam A, B primi inter se, et A ipsum B multiplicans ipsum T faciat ; et B igitur ipsum A multüplicaus ipsum T fecit ; ipsi A, Agitur ipsum T metiuntur, Dico utique et mi- nimum. $1 enun non, mctlientur aliquem numerum ipsi A, B minorem existentem ipso T. Metiantur A. Et quoties A ipsum A metitur, tot unitates sint in E ; ; quoties autem B ipsum À me. titur, tot unitates sint in Z ; ipse quidem A igitur ipsum E multiplicans i1psum A fecit, ipse
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Δ πεποίηκεν. ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιᾶσας τὸν Δ πεποιηκεν" ἰσὸς ἀρῶ ἐστίν ὁ ἐ τῶ Α. Ἑ τῷῳ ἐκ τῶν Β. 2" ἐστιν αρὰ ὡς ο Α σπρὸς τὸν Β ουτως ὁ 2 πρὸς τὸν Ἐ. Οἱ δὲ Α- Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι χα ! ἐλαχιστοι. » ο δὲ ἐλάχίστοι μετρουσι τοὺυς τὸν αὑτὸν λογον εἐχόντας ἰσακες. ὃ τε μειζων τον μειζονω και ὁ ἐλείσσων τὸν ἐλασσονα"ο Β ἀρὰ τὸν Ἐ μετρει. ὡς ἐπόμένος ἐπόμενον, . ἕαιί ἐπε ΟΑ τουςΒ. Ἑ πολλαπλασίασὰας τους Τ. ἃ πεήοιῆκεν" ἐστίν ἄρὰ ὡς Ο Β πρὸς ΤΟΡ Ε ουτῶς ΟΤ᾽ πρὸς τὸν Δʼ μετρεῖ δὲ ς Β τὸν Ἐ" μετρεῖ ἄρα καὶ ὃ Τʼ τὸν Δ, ὃ μειζων τὸν ἐλασσονα 5 Οπερ ἐστιν αδυνατον" οὐκ ἀρώ οἱ Α-. Β μετρησουσι" τινα ἀριθμον ἐλάσσονω ὁντὰ Τοῦ Γ. ὅταν οἱ Α. Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὠσιν 0 Τ ἀρα ἐλάχιστος ὧν ὑπὸ τῶν Α. Β μιτρεῖται. |
vero B ipsum Z multiplicans ipsum A fecit ; equalis igitur est ipse ex A, E Ipsi ex B, Z ; est igitur ut A ad B ita Z ad E. Ipsi autem A, B primi, ipsi vero primi et minimi, minimi autem metiuntur zqualiter ipsos eamdem rationem ha- bentes, et major majorem, et minor minorem ; ipse B igitur ipsum E mcetitur, ut consequens consequentem. Ét quoniam A ipsos B, E multi- plicaus ipsos D, A fecit ; est igitur ut B ad E ita T ad A ; metitur autem B ipsum E ; metitur igitur et P ipsum A, major minorem, quod est impossibile ; non igitur A, B metiuntur aliquem numerum minorem existentem ipso I, quoniam A, B primi inter se sunt ; ipse I igitur minimus existens ab ipsis A, B mensuratur. |
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Μὴ ἐστωσαν δῊ οἱ Α. Β πρῶτοι πρὸς ἀλλή- 557 καὶ εἰληῷτωσαν ἐλάχιίστοι αβμιῦμοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α. Β. οἱ Ζ, . Ἐ" ἴσος αρὼ ἐστιὶν ο εκ τῶν Α. Ἑ τῷ κ τῶν Β. Ζ. Καὶιὶ Ο Α ΤΟΡ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Τ ποιείτω" καὶ οΒάρω τὸν Ζ πολλαπλασιώσας τον Τ πεγοίηκεν" |
Non sint autem A, B primi inter se, et suman- tur minimi numeri Z, E eorum eamdem rationem habenüum quam ipsi A, B ; equalis igitur est ex A, E 1psi ex B, Z. Et A ipsum E multiplicans ipsum P faciat ; et B igitur ipsum Z multiplicans ipsum Iʼ fecit. Ipsi A, B igitur ipsum Tʼ metiun-
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ο Α. Β ἀρα τὸν ΓΤ μετροῦσι. Λέγῶ δὴ ὁτι καὶ ἐλάχιστον, Ἐΐγὰρ μὴ. μετρήσουσι ! τινα ἀριθμὸν 0. Α. Β, ἐλασσονα οντὰ τοῦ Τ. Μετρωτωσαν Ττὸν Δ, Καὶ ὁσάκις μὲν Ο Α τὸν Δ μέτρει, τοσαυται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η- οσάκις δὲ ο Β τὸν Δ |
tur. Dico utique et minimum. $i enim hon, metientur aliqucm numerum ipsi A, B, nunorem existentem ipso Iʼ. Metiantur ipsum A. Ft quo- ties A quidem ipsum A mettur, tot Unitates sintin B, quoties vero B ipsum A metitur, tot |
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μέτρεῖ, τοσαῦται μοναάδὲς ἔστωσαν ἐν τῷ Θ᾽ ὁ ΜενΝΑ ἄρὰ τὸν Η ʼπολλοιʼπλασʼιοἱσας τον ἃ σεσοιη- κεν. 0 δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιασας τὸν Δ πε- σποίήκεν" ʼσὸς ἄἀρὼ ἐστίν οεἐκ τῶν Α, Η τῷ εκ τῶν Β. Θʼ ἐστιν ἀρῶ ὡς ὁ αὶ πρὸς Ττὸν Β ουτῶς ὁ Θ πρὸς τὸν Ἡ, ῶς δῈ 6Α πρὸς τὸν Β οὕτως 0 2 πρὺς τσὸν Ἐ αλλως ο πρὸς τὸν Β ουτῶς ὁ Θ πρὸς τὸν Ἠ1" καὶ ὡς ἀρὰ 0 Ζ σρος τὸν Ἑ ουτῶς ο Θ πρὸς τὸν Ἡ. Οἱ δὲ 2, Ἑ ἐλάχιστοι. οἱ δὲ ἐλά- χίστοι μετρουσι τοὺυς τὸν αὐυτον λογὸν ἐχοντας ἰσώκις. τ μειζων τον μειζονα καὶ ο ἐλαάσσων Τὸν ἐλάσσονα" ὃ Ἑ ἄρα τὸν Η μετρεῖ. Καὶ ἐπεῖ ὸ α τοὺυς Ἑ. Η πολλαπλασιᾶσας τους Το ἃ σεποιήκεν" ἔστιυ οἴροι ὧς 6 Ε ’πρὃς τὸν οὗτως Τ ʼπρὄς τὸν Δ. |
unitates sint in O ; ipse quidem 4A igitur ip- sum H multiplicans ipsum A fccit, lpse vero B ipsum 9 muluüplicans ipsum A fecit ; equa- lis est ipse ex A, H ipsi ex B, GO ; est igitur ut A ad B ita O ad H. Ut autem A ad B ita Z ad E ; sed ut A ad B ita 9 ad H ; et ut igitur Z ad E ita O ad H. Ipsi autem Z, E minimi, ipsi vero minimi meliuntur zqualiter ipsos eam- dem rationem habentes, et major majorem, et minor minorem ; ipse E igitur ipsum H mehtur. Et quoniam A ipsos E, H multiplican : ipsos Tʼ, A fecit ; est igitur ut E ad H ita T ad A. Ipse autem E ipsum H metitur ; et T
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Ο δὲ Ἑ τὸν Ἡ μέτρε καὶ οἿ᾽ ἀρὼ τὸν Δ μβέτρει. ὁ μωζων τὸν ἐλωσσονῶ, ὕπερ ἐστὰν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα οἱ Α. Β μετρήσουσέ τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα τοῦ Τ ΟΓἿΤ ἀρῶ ἐλάχιστος ὧν υπὸ τῶν Α. Β με- τρεῖταις Οἥερ ἐδει δεῖξαι. |
igitur ipsum A metitur, major minorem, quod est impossibile ; non igitur A, 8 metientur ali- quem numerum minorem ipso Iʼ ; ipse Iʼ igitur minimus existens ab A, B mensuratur. Quod oportebat ostendere. |
Deux nombres étant donnés, trouver le plus petit qu’ils mesurent.
Soient A, B les deux nombres donnés ; il faut trouver le plus petit quʼils mesurent.
Car les nombres 4, B sont premiers entrʼeux, ou ne le sont pas. Que les nombres A, B soient d’abord premiers entr’eux, et que A multipliant B produise ; le nombre B multipliant A produira r (16. 7) ; donc les nombres A, B mesureront T ; je dis que r est le plus petit. Car si cela n’est pas, les nombres A, 3 mesureront quelque nombre plus petit que r. Qu’ils mesurent 4. Quʼil y ai dans E autant dʼunités que A mesure de fois 4 ; et qu’il y ait dans Z autant dʼunités que B mesure de fois A ; donc 4 multipliant E produira A, et B multipliant Z produira A ; donc le produit de A par E est égal au produit de B par Z ; donc 4 est à B comme Z est à E (19. 7). Mais les nombres A, B sont premiers entr’eux ; les nombres premiers sont les plus petits (25. 7) , et les plus petits mesurent également ceux qui ont une même raison, le plus grand le plus grand, et le plus peut le plus petit (21. 7) ; donc le nombre B mesure E, c’est-à-dire le conséquent le conséquent. Mais A multipliant B, E a fait r, A ; donc B est à E Comme Tr est à A (18. 7) ; mais 3 mesure E ; donc r mesure 4, le plus grand le plus peut, ce qui est impossible ; donc les nombres 4, B ne mesureront pas quelque nombre plus peut que Γ, puisque A, B sont premiers entr’eux ; donc r est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, 8.
Que les nombres A, B ne soient pas premiers entr’eux. Prenons les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec 4, B (35. 7), et que ces nombres soient LE ; le produit de A par E sera égal au produit de B par Z (19. 7). Que 4 multipliant E fasse r ; donc B multipliant Z fera r ; donc 4, B mesurent r ; je dis que rʼ est le plus petit. Car s’il ne l’est pas, les nombres 4, B mesureront quelque nombre plus petit que r. Qu’ils mesurent À, et qu’il y ait dans H autant d’unités, que 4 mesure de fois A, et dans © autant d’unités que B mesure de fois A. Le nombre A multipliant H fera A, et B multipliant @ fera 4 ; donc le produit de 4 par est égal au produit de B par @ ; donc 4 est à B comme © est à H (19. 7). Mais A est à B comme Z est à E ; et A est à B comme © est à H ; donc Z est à E comme ® est à H. Mais z, E sont les plus petits nombres, et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont la même raison, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit (21. 7) ; donc E mesure H. Mais 4 multipliant E, H fait T, A ; donc E est à H comme r est à A (17. 7). Mais E mesure H ; donc r mesure A (déf. 20. 7), le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc les nombres 4, B ne mesurent pas quelque nombre plus petit que r ; donc r est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, 8. Ce qu’il fallait démontrer.