Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 35
C. F. Patris, (1, p. 489-491).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λέ. | PROPOSITIO XXXV. |
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Αριθμων δοθεντων οποσωνοὺν. , εὑρεῖν τοὺς ἐλει- γιστους τῶν τὸν ἀὕτον λύγον ἐχόντων αὑτοὶς. |
Numeris datis quotcumque, invenire mini- mos coruin eazindein ratiionein habeuniiunicum cis. |
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Ἑ τωτσο" οἱ δόοθεντες οποσοιίοῦν αριθμοι, ο α-ς Β, Γ’ δὲ ; δὴὰ εὑρεῖν τοῦς ἐλαχίττους τῶν τὸν αυτοὸν λογὸν εὐούτῶν τοῖς Α. Β. Γ |
Sint dau quotcum « quc numer A, B, T ; opor- tet igitur. invenire nuninos corum camdem ralionem liabentum cum ipsis A, B, Γ. |
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ΟΙ Α, Β, Γ γὰρ ἢτοι πρωτοῖ πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν. ἢ οὐ, Ἐμὲν οὖγ οἱ Α, Β, Γ πρῶτοι προς |
Ipsi A, B, Γ enum vcl primi inier se sunt, vel non. Si quidem igitur A, B, Γ primi inter
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ἀλλήλους εἰσὶν. ἐλάχιστοιῖ εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐὑτοῖς. |
se sunt, minimi sunt corum eamdem rationem habentium cum ipsis. |
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Εἰ δὲ ο εἰλήφθω τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοιγὸν μέτρον ὃ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ ἑκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐνἷ ἑκάστῳ τῶν Ἐ. Ζ. . Η καὶ ἕκεστος ἄρα τῶν Ε, ζ. Ἡέκαστον τῶν Α. Β. Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας" οἱ Ἐ. 2. Ἡ ἀρὰ τοῦς Α, Β : Γ ἰσάκις μετροῦσιν" οἱ 7 Ζ. Η ἆ’ρα. τοῖς Α. ἘΒ. 0. Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσί. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἐλάχιστοι. Εἰ γὰρ μή εἶσιν οἱ Ἐ, 2. Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων" τοῖς Α΄. Β. Γ) ἔσονταί τινες" τῶν Ἐ, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α. Β. Γ. Ἐστωσαν οἱ Θ. Κ. Δ ἰσώκις ἄρα ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ καὶ ἑκάτερος τῶν Κ, Λ εκάτερον τῶν Β. Ταοσάκις δὲ ὁ Θ τὸν Α μιτρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Μʼ καὶ ἐκατερος ἀρὰ τῶν. Δ ἐκάτερον τῶν Β, Γ |
Si aulem non ; sumatur ipsorum A, B, Γ maxima communis mensura A, ct quoties A unumquemque eorum A, 22, Iʼ metitur, tot unitates sint 1n unoquoque eorum E, Z, H ; et unusquisque igitur E, Z, H unumquemque eo. rum A, B, ʼ meütur per unitates que in 4 ; ipsi E, Z, H igitur 1psos A, B, Tʼ qualiter me- üuntur ; ipsi E, Z, H igitur cum apsis A, B, T in eádem ratione sunt. Dico utique et minimos, Si enim non sunt E, Z, H minimi eorum eam- dem rationem habentium cum ipsis A, B, T, erunt aliqui ipsis E, Z, H minores numeri in eádem ratione existentes cum ipsis A, B, T, Sint 9, K, A ; equaliter igitur O ipsum A me- titur ac uterque eorum K, A utrumque eorum B, DP. Quotes autem O ipsum A metitur, tot unitates sint 1n M ; ct uterque igitur corum K, A
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μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας. Καὶ ἐπεῖὶ ο Θ τὸν α μετρεῖ κατᾶ τὰς ἐν τῷ Μ μοναδὰς" καὶ ὁ Μ ἀρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μοναδὰς. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ο Μ « πάτερον τῶν Β. Τ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν εκωτέρῳ τῶν Κὶ μοναδας" ὁ Μάρα τοὺς Α. Β. Τ μετρεῖ. Καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μοναδαὰς" ὁ Θ ἄρα τὸῦ Μ πολλαπλασιίᾶασας τὸν Α πεποίηκε. Δία τὰ αὐτὰ δὴ καὶ Ο Ἑ τὸν Δ πολλαπλασιασας τὸν Α πεποΙΉκεν" Ισὸς ἀρὰ ε61 0 εἰς τῶν Ἐ. ἃ Τῷ εκ τῶν Θ. Μʼεστιν ἄρα ὡς ὁ Ἐ πρὸς τον Θ ουτῶς ὑ Μ πρὸς τὸν Δ. Μείζων δὲ ὁ Ἑ τοῦ Θʼ μείζων ἀρα κα ! ΟΜ του Δ. καὶ μετρεὶ τοὺυς Α, Β. Τ. ὁπερ ἐστὶν ἀδυνατον. , ὑπόκειται γάρ ο Δ τῶν Α. Β. Γ τὸ μέγιστον κοιγὸν μετρον" οὐκ ἀρὰ ἔσονται τινες τῶν Ἑ. 2. Ἡ ἐλασσονες αριθμοι ἐν τῶω αὐυτῷῳ λογῷ γτες τοῖὶς Α9. Β : Τ 0. Ε. Ζ : Η αρὰ ἐλάχιστοί ΕΟ τῶν τὸν αυτὸν λογον ἐχόντων τοῖς Α. Β, Γ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
utrumque eorum B, Tʼ metitur per unitates qua in M, Ét quoniam 9 ipsum A metitur per uni- tates quie 1n M ; et M igitur ipsum A metitur per unitates qux in O. Propter eadem utique et M utrumque eorum B, Iʼ metitur per unitates qua m ipsis K, 4 ; ipse M igitur ipsos A, B, T meütur ; et quoniam O ipsum A metitur per unitates qua in M ; ipse O igitur ipsum M mul- tiplicans ipsum A fecit. Propter eadem utique ct E 10sum A multüplicans ipsum A fecit ; equalis igitur est tpse ex E, A ipsi ex O, M ; est igitur ut X ad OG ita M ad A. Major autem E ipso € ; major igitur et M. 1ipso A, et metitur ipsos A, B, T, quod est impossibile ; ponitur enim 4 eorum A, B, T maxima communis mensura ; non igitur erunt aliqui ipsis E, Z, H minores numeri in eádem ratione iu quá A, B, Iʼ ; ipsi E, Z, H igitur minimi sunt eorum eamdem rationem ha- bentium cum psis A, B, Iʼ. Quod oportebat ostendere. |
Tant de nombres qu’on voudra étant donnés, trouver les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux.
Soient A, B, T tant de nombres donnés qu’on voudra ; il faut trouver les plus petits de ceux qui ont la même raison avec A, B, T.
Les nombres A, B, T sont ou premiers entr’eux, ou ne le sont pas. Sʼil sont premiers entr’eux, ils seront les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux (23. 7).
Sʼils ne le sont pas, prenons la plus grande commune mesure A des nombres 4, B, I (5. 7), et quʼil y ait dans chacun des nombres E, Z, H autant d’unités que 4 mesure de fois chacun des nombres 4, B, r. Chacun des nombres E, Z, H mesurera chacun des nombres 4, B, r par les unités qui sont dans A ; donc les nombres E, 1, H mesurent également les nombres 4, 8, r ; donc les nombres E, Z, H sont en même raison que les nombres 4, B, T (18. 7). Je dis de plus qu’ils sont les plus petits. Car si E, Z, H ne sont pas les plus petits de ceux qui ont avec A, B, T la même raison, il y aura quelques nombres plus petits que E, Z, H qui auront la même raison avec 4, B, T ; que ce soient 6, K, A ; le nombre @ mesurera A autant de fois que chacun des nombres K, À mesure chacun des nombres B, r (21. 7). Quʼil y ait dans M autant dʼunités que Θ mesure de fois A ; chacun des nombres K, A mesurera chacun des nombres B, T par les unités qui sont en M. Et puisque Θ mesure â par les unités qui sont en M, le nombre M mesurera A par les unités qui sont En Θ. Par la même raison, M mesurera chacun des nombres B, r par les unités qui sont dans chacun des nombres K, A ; donc M mesure A, B, r. Mais Θ mesure A par les unités qui sont en M ; donc Θ multipliant M fait A. Par la même raison, E multipliant 4 fait A ; donc le produit de E par 4 est égal au produit de e par M ; donc E est à Θ comme M est à A (19. 7). Mais E est plus grand que Θ ; donc M est plus grand que À, et M mesure A, B, T, Ce qui est impossible ; car On a supposé que A est la plus grande commune mesure des nombres 4A, B, T ; donc il n’y a pas de nombres plus petits que E, Z, H qui ayent la même raison que A, B, r ; donc E, Z, H sont les plus petits nombres qui ayent la même raison avec A, B, r. Ce qu’il fallait démontrer.