LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 405
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ί. | PROPOSITIO X. |
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Ἐὰν αριῦμος ἀριῦύμου μερῆ ᾖ, καὶ ἐτερὸς ετε- ρῦυ τὰ αυτὰ μερῆ" καὶι ενα, λλοιξ α ΜερΉ ἐστιίν 0 πρῶτος τοῦ τρίτου ἥ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτοῖ μέρος. |
Si numerus numeri partes est, et alter alterius ezdem partes ; et allerne quz partes est primus terüi vel pars, ezdem partes erit et secundus quarti vel eadem pars. |
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Αριθμος γὰρ ὁ ΑΒ αριθμοῦ τοῦ Τ μέρη ἔστω, γαὶ ἐτέρος 0 ΔΕ ἐτέρου του 2 τὰ αυτὰ μέρη, ἔστω δὲ ὃὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἐλάσσων2" λέγῴ καὶ ἐναλ- λαξ ἁ ΜερΉ ἐστιν ο ΑΒ τοὺυ ΔῈ ἡ μἔρος, τῶ αὐτῷ μερῆ ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοὺῦ Ζ ἢ τὸ αυτοῦ μέρος. |
Numerus enim AB numeri Γ partes sit, et alter AE alterius Z eedem partes, sit autem AB ipso AE minor ; dico et alterne quz partes est AB ipsius AE vel pars, easdem partes esse et Γ ipsius Z vel eamdem partem. |
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Ἐπεὶ γὰρ ἃ μερή ἐστὶν ὃὁ ΑΒ τοῦ Τ. τὰ αὐτὰά μέερη ἐστὶ καὶ ὃ ΔῈ τοῦ Ζ" ὅσα ἄρἂ ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Τ. τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔῈ μέρη τοῦ Ζ. Διῃρήσθω ὃ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Τʼ μέρη τὰ ΑΗ. ΗΒ. ὁ δὲ ΔῈ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ’ ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, |
Quoniam enim qua partes est AB ipsius Tʼ, eedem paries est et AE ipsius Z ; quot igitur sunt in AB partes ipsius Iʼ, tot sunt et in AE partes ipsius Z. Dividatur AB quidem in partes AH, HB ipsius T, ipse vero AE in partes AO, OE ipsius Z ; erit utique æqualis multi |
PROPOSITION X.
Si un nombre est les mêmes parties d’un nombre, qu’un autre l’est d’un autre, le premier sera aussi, par permutation, les mêmes parties ou la même partie du troisième, que le : second l’est du quatrième.
Que le nombre AB soit les mêmes parties du nombre r, qu’un autre nombre AE l’est d’un autre nombre z, et que 48 soit plus petit que 4E ; je dis que, par Permutation, AB est les mêmes parties ou la même partie de AE, que r l’est de z.
Puisque 4B est les mêmes parties de Tr, que 4E lʼest de z, il y a dans 4B autant de parties de r, qu’il y a dans AE de parties de z. Divisons 4B en parties de Tr, et que ces parties soient AH, HB ; divisons aussi AE en parties de z, et que ces parties soient AΘ, ΘE ; le nombre des parties AH, HB sera égal
