Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 5

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 445-447).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ε´.	PROPOSITIO V.
Ἐὰν ἀριθμὲς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἐτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος" καὶ συναμφότερος συν- ἀμφοτέρου τὸ αὑτὸ μέρος ἔσται. ὕπερ ὁ εἷς τοῦ ἑγός.	Si numerus numert pars est, et alter alterius cadem pars ; et uterque simul utriusque simul eadem pars erit, quæ unus unius.
Αριθμὸς γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦϊ τοῦ ΒΓ μέρος ἐστ",	Numerus enim A numeri BT pars sit, et alter
συναμφοτερὸυ τοῦυ Α. Δʼ οαρᾶὰ μεέρος ἐστιν ὁ Α τοῦ ΒΓ ; τὸ αὐτὸ μέρος ἐστί καὶ συναμφότε- ρύς ὁ Α, Δ αυναμφοτἑρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ. Οπερ ἐδὲι δεῖξαι.	tiplex est et uterque simul BT, EZ utriusque simul A, A ; qua igilur pars est A ipsius BP, eadem pars estet uterque simul A, A utriusque simul BP, EZ. Quod oportebat ostendere,

PROPOSITION V.

Si un nombre est une partie dʼun nombre, et si un autre nombre est la même partie dʼun autre nombre, leur somme sera aussi la même partie de leur somme, qu’un seul l’est d’un seul.

Que le nombre A soit une partie du nombre Br, et quʼun autre nombre à soit la même partie d’un autre nombre EZ, que A l’est de Br ; je dis que la somme de A et de Δ est la même partie de la somme de BΓ et de Ez, que A l’est de BΓ,

Car puisque A est la méme partie de Br, que A lʼest de zz, il y aur dans Br autant de nombres égaux à. A, quil y a dans Ez de nombres égaux 1 A. Partageons BT en nombres BH, HΓ égaux à A, et EZ en nombres EO, Z égaux à A, la quantité des nombres 5H, HT sera égale à la quantité des nombres Eo, ez. Mais BH est égal à A, et Zo égal à Δ ; donc la somme de BH et de Εθ est égal e à la somme de A et de Δ. Par la même raison, HΓ est égal à A, et ΞΘ égal à Δ ; donc la somme de HΓ et de ez est égale à la somme de A et de 4j il y a donc dans BΓ autant de nombres égaux à A, quʼil y a dans BΓ, EZ de nombres égaux aux nombres A, A ; donc Br est le même multiple de 4, que la somme de Br et de EZ lʼest de la somme de 4 et de A ; donc A est la même partie de Br que la somme de A et. de ^, lʼest de la somme de Br et de Ez. Ce qu’il fallait démontrer.