Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 19
C. F. Patris, (1, p. 467-469).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιθ´. | PROPOSITIO XIX. |
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Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τετάρτου γιψόμενος ἀριθμος ἰσος ἔσται τῷ ἐκ τοῦ δευτέρου καὶ τρίτου γινομένῳ ἀριθμῷ" καὶ ἐἂν ο ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τετάρτου γινομενος αρι μος ἰσὸς ῃ ʼΤῳ εἰ τΤου ευτερου καὶ τρίτου. οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται. Εστωσαν τέσσαρες ἀριβμοὶ ἀνάλογον οἷ Α, Β, |
Si quatuor numeri proporlionales sunt, ipse ex primo et quarto factus numerus equalis erit ipsi ex secundo et. tertio facto numero ; et si ipse ex primo et quarto factus numerus zqua- lisest psi ex secundo et tertio, quatuor : numert proportionales erunt. |
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Έστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α. Β, |
Sint quatuor numeri proportionales A, B, |
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Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν B οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ ; καὶ ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε |
T, A, ut A ad B ita T ad A, et A quidem ipsum A multiplicans ipsumE faciat, ipse vero B
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ποιείτω. ὃ δὲ Β τὸῦν Τ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ σ“τοιείτῶ" λεγῶὼ 014 ισὸς ἐστὶν ν ὁ Ε τῷ Ζ. |
ipsum Tʼ multiplicans faciat ipsum Z ; dico equ. lem esse E ipsi Z. |
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Ο γοἶρ Α τὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ἡ ποιείτω. Ἐπεὶ οὖν δΑ τὸν Γ πολλαπλασιᾶσας τὸν Ἡ σε- σοίηκε. τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ἑ πε- ποίηκεν" ἀριθμὸς δὴ ὁ Α δύο οἷριθμοὖς τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Ἡ. Ἑ πεποίηκεν" ἔστιν ο’ι’ροι ὦς Τ ’πρὄς πὸν Δ οὗ’τος 6 Η ’πρὃς τὸν Ἑ. Αλλ ὡς2 0ΤὉ ’πρὄς τὸν Δ οὕτως ’πρὖς τὸν Β" καὶ ὡς ἆ, ΡαΒ δΑ ΄πρὄς τὸν Β οὗ’τωςὖ Η ’πρὃς τὸν Ἐ. Πάλιν. ἐπεὶ δΑ τὸντ πολλαπλασιοἷσας τὸν Ἡ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὖν καὶ ὃ Β τὸν Τ πολλαπλα- σιάσας τὸν Ζ πεποίηκε" δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α. Β ἀριθμὸν τινα τὸν Τ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η. Ζ σεποιήκασιν" ἐστιν ο’ι’ροι ὥς δὰ ʼπρὄς τὸν Β οὕτως 5 Η ’πρὃς τὸν Ζ. Αλλὰ μὴν καὶ ὡς δ ὰ πρὃς τὸν Β οὗτως 5 Η ’πρὃς τὸν Ἐ" καὶ ὧς οἴροι πρὸς ἑκάτερον τῶνί Ε, 2 τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἐσὸς ἀρα ἐστὶν ὁ Ἑ Τῳ Ζ. |
Ipse enim A ipsum T multiplicans ipsumH faciat. Et quoniam Aipsum T multiplicans ipsum H fecit, ipsum veroA multiplicans ipsum E fecit ; numerus utique A duos numeros Tʼ, A mulliplicans ipsos H, E fecit ; est igitur ut T ad A itaHadE, SedutTadAitaAadB ; etut igitur A ad B ita H ad E. Rursus, quoniam A ipsum F multiplicans ipsum H fecit, sed et B ipsumr multiplicans ipsum Z fecit ; duo utique numeri A, B numerum aliquem F multplicantes ipsos H, Zfecerunt ; est igitur ut A ad B ita H ad7, SedetutAadBitaHadE ; etutigiturHad ita H ad Z ; ipse H igitur ad utrumque ipsorum E, Z eamdem habet rationem ; equalis igitur est E ipsi Z.
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ἕστω δὴ παλιν ἰσὸος ΟῈ τῷ Ζ" λέγω ὁτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β οὕτως Τ πρὸς τὸν Δ. |
Sit autem rursus equalis E ipsi Z ; dico esse utAadBitaTʼadA. |
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Τῶν γαρ αὐτῶν κατασκευασθέντων. ἐπεὶ 0. Α τοὺς Γ, Δ πολλαπλασίασας τοὺς ΗἩ. Ἐ πσπε- ποιηκεν" ἐστιν ἀρὰ ὡς ο Γ προς τὸν Δ ουτῶς ΟΗ πρὸς τὸν Ἐ. ἴσος δὲ ὁ Ἑ τῷ Ζ᾽ ἔστιν ἄρω ὡς 5Η πρὸς τὸν Ἑ οὗτως ΔῊ πρὸς τὸν Ζ. Αλλ ως μεὲν ὖΗ πρὸς τον Ἑ οὕτῶς ΟΤ σπρὸς τον Δʼ καὶ ὡς ἄρα Ο Τ πρὸς τὸν Δ οὕτως ο Ἡ πρὸς τὸν Ζ. ῶς δὲ ΟἩ πρὸς τὸν 2 οὗὕτως ὁ Α ʼπρὃς τὸν Β" καὶ ὦς αἀρῶ ο Α σρὸς Ττὸν Β ουτως ΟΤἿ πρὺς τον Δε Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
lisdem enim constructis, quoniam A ipsos multiplicans ipsos H, E fecit ; est igitur utlʼadAïitaHad E. Æqualis autem E ipsi Z ; est igitur ut H ad E ita H ad Z. Sed ut H quidem ad ΕΙίαΓadA ; etutigiturTʼadAita HadZ. UtautemHadZitaAadB ; etut igitur A ad B itaIad A. Quod oportebat ostendere. |
PROPOSITION XIX.
Si quatre nombres sont proportionnels, le nombre produit parle premier et par le quatrième sera égal au nombre produit par le second et par le troisième ; et si le nombre produit par le premier et par le quatrième est égal au nombre produit par le second et par le troisième, les quatre nombres seront proportionnels.
Soient les quatre nombres proportionnels 4, B, T, A ; que 4 soit à B comme T est à A ; que À multipliant À produise E, et que B multipliant r produise z ; je dis que E est égal à z.
Que À multipliant r produise H. Puisque 4 multipliant Tr produit H, et que A multipliant A produit E, le nombre A multipliant les deux nombres T, À produit H, E ; donc r est à A comme H est à E (17. 7). Mais Tr est à A comme 4 est à B ; donc A est à B comme H est à E. De plus, puisque 4 multipliant r produit E, et que B multipliant r produit z ; les deux nombres 4, 8 multipliant un nombre T produisent H, Z (18. 7). Donc A est à B comme H est à z. Mais A est à l
comme H est à E ; donc H est E comme H est Z ; donc H a la même raison avec chacun des nombres E, Z ; donc E est égal à Z. De plus, que E soit égal à Z ; je dis que A est à B comme Γ est à Δ.
Faisons la même construction. Puisque À multipliant les nombres Γ, Δ produit H, E, le nombre Γ est à Δ comme H est à E. Mais E est égal à Z ; donc H est à E comme H est à Z. Mais H est à E comme Γ est à Δ (18. 7) ; donc Γ est à Δ comme H est à Z. Mais H est à Z comme A est à B ; donc A est à B comme Γ est à Δ. Ce quʼil fallait démontrer.