LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE 401
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ η´. | PROPOSITIO VIII. |
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Ἐὰν ἀριθμὲς ἀριθμοῦ μέρη ἤ, ἅπερ ἀφαιρε- θεὶς ἀφαιρεθέντος" καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτῷ μερή ἐσται, ἀπέερ ο ὁλὸος τοῦ ολοῦ. |
Si numerus numeri partes est, que ablatus : ablati ; et reliquus reliqui eedem partes erit, quz totus totius. |
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Αριθμὸς γάρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΤΔ μέρη ἔστω, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑἙ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ᾽ λέγω ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ἘΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αυτὰ μέρη ἐστίνγ ἀπερ ὁλοὸς ο ΑΒ ολοὺυ τοῦ ΓΔ. |
Numerus enim AB numeri lA partes sit, qua ablatus AE ablati TZ ; dico et reliquum EB reliqui ZA easdem partes esse, qua totus AB. totius TA, |
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Κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ" ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν δ ΗΘ τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΩ, Διῃρήσθω ὁ μὲν ΗἨΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρηῃ τὰ ΗΚ, ΚΘ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΔ, ΛΕ" ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ. ΚΘ τῷ σπλήθει τῶν ΑΛ, ΛΕ. Καὶ ἐπεὶ ὁ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὃ ΑΛ τοῦ ΤΖ᾽ μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΥΖ" μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ. Κείσθω τῷ ΑΛίσος ὁ ΗΜ’ ὃ ἐι’μι μξΡος ἐστὶν ὃὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, |
Ponatur enim ipsi. AB æqualis H© ; quæ igilur partes est. HO ipsius lʼA, eædem partes est et AE ipsius TZ. Dividatur HO quidem in ipsius TA parles HK, KO, ipse vero AE in ipsius TZ partes AA, AE ; erit igitur zqualis mulütudo HK, KO ipsi multitudini AA, AE. Et quoniam qua pars est HK ipsius lʼA, eadem pars est et. AA ipsius TZ ; major autem TA ipso TZ ; méjor igitur et HK Ipso AA. Po |
PROPOSITION VIII.
Si un nombre est les mêmes parties d’un nombre, que le nombre re- tranche l’est du nombre retranché, le nombre restant sera aussi les mêmes parties du nombre restant, que le tout l’est du tout.
Que le nombre 4B soit les mêmes parties du nombre ra, que le nombre retranché AE l’est du nombre retranché rz ; je dis que le nombre restant EB est les mêmes parties du nombre restant ZA, que le tout AB l’est du tout ra.
Faisons H@ égal à AB ; le nombre H© sera les mêmes parties de TA, que AE l’est de rz. Divisons H© en parties de TA, et que ces parties soient HK, Ko ; divisons AE en parties de TZ, et que ces parties soient AA, AE ; le nombre des parties HK, K© sera égal au nombre des parties AA, AE. Et puisque HK est la même partie de ra, que AA l’est de rZ, et que rA est plus grand que TZ, HK est plus grand que AA. Faisons HM égal à AA ; HK sera la même partie
