Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 10
C. F. Patris, (1, p. 455-456).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ί. | PROPOSITIO X. |
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Ἐὰν αριῦμος ἀριῦύμου μερῆ ᾖ, καὶ ἐτερὸς ετε- ρῦυ τὰ αυτὰ μερῆ" καὶι ενα, λλοιξ α ΜερΉ ἐστιίν 0 πρῶτος τοῦ τρίτου ἥ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτοῖ μέρος. |
Si numerus numeri partes est, et alter alterius ezdem partes ; et allerne quz partes est primus terüi vel pars, ezdem partes erit et secundus quarti vel eadem pars. |
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Αριθμος γὰρ ὁ ΑΒ αριθμοῦ τοῦ Τ μέρη ἔστω, γαὶ ἐτέρος 0 ΔΕ ἐτέρου του 2 τὰ αυτὰ μέρη, ἔστω δὲ ὃὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἐλάσσων2" λέγῴ καὶ ἐναλ- λαξ ἁ ΜερΉ ἐστιν ο ΑΒ τοὺυ ΔῈ ἡ μἔρος, τῶ αὐτῷ μερῆ ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοὺῦ Ζ ἢ τὸ αυτοῦ μέρος. |
Numerus enim AB numeri Γ partes sit, et alter AE alterius Z eedem partes, sit autem AB ipso AE minor ; dico et alterne quz partes est AB ipsius AE vel pars, easdem partes esse et Γ ipsius Z vel eamdem partem. |
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Ἐπεὶ γὰρ ἃ μερή ἐστὶν ὃὁ ΑΒ τοῦ Τ. τὰ αὐτὰά μέερη ἐστὶ καὶ ὃ ΔῈ τοῦ Ζ" ὅσα ἄρἂ ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Τ. τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔῈ μέρη τοῦ Ζ. Διῃρήσθω ὃ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Τʼ μέρη τὰ ΑΗ. ΗΒ. ὁ δὲ ΔῈ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ’ ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, |
Quoniam enim qua partes est AB ipsius Tʼ, eedem paries est et AE ipsius Z ; quot igitur sunt in AB partes ipsius Iʼ, tot sunt et in AE partes ipsius Z. Dividatur AB quidem in partes AH, HB ipsius T, ipse vero AE in partes AO, OE ipsius Z ; erit utique æqualis multi
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ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. Καὶ ἐπεὶ ὃ μέρο ἑστὶν ὁ ΑῊ τοῦῖ Τʼ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, και εναλλαξ ο μερος ἐστιν ὁ ΔΗ τοῦ ΔΘ ἥ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Τ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ἨΒ τοῦ" ΘῈ ὃ μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίὶ καὶ Ο Τ τοῦ Ζ ἃ τὰ αὐτὰ μερῆ" ὠστε καὶ ὃ μἕρος ἐστιν ο ΔΗ του ΔΘ ἢ με’ρπ, το αὐυτὸ |
tudo ipsarum AH, HB multitudini ipsarum 46, OE. Et quoniam qua pars est AH ipsius T, eadem pars est et AO ipsius Z, et alterne qua pars est AH ipsius AO vel partes, eadem par ; est et I ipsius Z vel e ; dem partes. Propter eadem utique et qu : pars est HB ipsius 0g vel partes, eadem pars est et Tʼ ipsius Z vi] ecdem partes ; quare et quæ pars est AH ip- |
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μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΒ τοῦ ΘῈ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη" καὶ ὃὁ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΔῈ ἢ τὰ αὐτὰ μἕρ“6᾽ ἀλλ ὃ μἕρος ἐστὶν ὃ ΑΗ τοῦ ΔΘἢ μέρπ 5 τὸ αὖὐτὸ μερος εἆειχθπ’Ἱ καὶ δ ΛῖῪποῦ 2 ἢ τὰ. αυτω μερκ, καὶ ἃ αρω μορω ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔῈ υ μερος, τὰ αὐτὰ μερπ ἐστὶ καὶ ὁ ἷΤὶ τοῦ 2 ῃ τὸ αὐτὸ μέρος. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
sius AO vel partes, eadem pars est et im ipsius GE vel eedem partes ; et qua igitur par est AH ipsius AO vel partes, eadem pars et et AB ipsius. AE vel eedem partes ; sed que par est AHipsius AO vel partes, eadem pars osten ; est et T ipsius Z vel eedem partes, et que igitur partes est. AB ipsius AE vel pars, ezdem par. £es est et lʼ ipsius Z vel eadem pars. Quod oportebat ostendere. |
PROPOSITION X.
Si un nombre est les mêmes parties d’un nombre, qu’un autre l’est d’un autre, le premier sera aussi, par permutation, les mêmes parties ou la même partie du troisième, que le : second l’est du quatrième.
Que le nombre AB soit les mêmes parties du nombre r, qu’un autre nombre AE l’est d’un autre nombre z, et que 48 soit plus petit que 4E ; je dis que, par Permutation, AB est les mêmes parties ou la même partie de AE, que r l’est de z.
Puisque 4B est les mêmes parties de Tr, que 4E lʼest de z, il y a dans 4B autant de parties de r, qu’il y a dans AE de parties de z. Divisons 4B en parties de Tr, et que ces parties soient AH, HB ; divisons aussi AE en parties de z, et que ces parties soient AΘ, ΘE ; le nombre des parties AH, HB sera égal au nombre des parties AΘ, ΘE. Et puisque AH est la même partie de r, que 46 l’est de Z ; par permutation, AH est la même partie ou les mêmes parties de 4e, que Tr l’est de Z (9. 7). Par la même raison, HB est la même partie ou les mêmes parties de ΘE, que T l’est de Z ; donc AH est la même partie ou les mêmes parties de 46, que HB l’est de @E (5 et 6. 7) ; donc AH est la même partie ou les mêmes parties de 46, que AB l’est de AE ; mais on a démontré que AH est la même partie ou les mêmes parties de 48, que r l’est de 1 ; donc AB est les mêmes parties ou la même partie de 4E, que Tr l’est de z. Ce qu’il fallait démontrer.