CHAPITRE XIX.
MÉTHODES DE M. BOHLIN.
Méthode de Delaunay.
199.Reprenons les hypothèses et les notations du no 125.
Nous avons vu que dans l’application de la méthode du no 125 il
s’introduisait des diviseurs de la forme
les étant des entiers.
Il en résulte que cette méthode devient illusoire quand l’un de
ces diviseurs devient très petit.
Parmi les méthodes qui ont été imaginées pour triompher de
cette difficulté, celle de Delaunay est la première en date et son
exposition facilitera l’intelligence de toutes les autres.
Considérons d’abord un système d’équations canoniques
(1)
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|
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et supposons que soit seulement fonction de
et de
périodique de période par rapport à cette dernière quantité.
Je suppose que les sont des entiers.
L’intégration du système (1) se ramène alors à celle de l’équation
aux dérivées partielles
étant une constante arbitraire. Or cette intégration est aisée.
Posons, en effet,
l’équation deviendra
Résolvons cette équation par rapport à il viendra
fonction de
de
et de
On intégrera cette expression par rapport à en regardant
et les comme des constantes, et l’on aura et par conséquent
en fonction de des et de
Il est nécessaire d’entrer dans plus de détails et pour cela je
vais considérer un cas particulier simple en faisant
étant très petit.
Notre équation devient
d’où
Plusieurs cas sont à considérer :
1o On a
Dans ce cas le radical est toujours réel et ne
s’annule jamais. Il est susceptible de deux déterminations l’une
positive pour toutes les valeurs de l’autre négative pour toutes
les valeurs de Prenons par exemple la première, elle sera
développable suivant les cosinus des multiples de de sorte
qu’on aura
Je mets en évidence le terme tout connu que j’appelle il est clair que est fonction de et par conséquent de d’autre
part, les seront fonctions de et par conséquent de
Il vient alors
ce qui nous donne en fonction de et de la constante arbitraire
2o
Dans ce cas la quantité sous le radical
n’est pas toujours positive, et, par conséquent, on ne peut pas
donner à toutes les valeurs possibles, mais seulement celles pour
lesquelles le radical est réel.
On peut introduire une variable auxiliaire en posant, par
exemple,
d’où
ou
Comme est plus petit que le radical du second membre
est toujours réel et pourra être développé en série trigonométrique
sous la forme
d’où
ce qui nous donne en fonction de la variable auxiliaire et de
la constante
3o
Soit, par exemple,
Il vient alors
ou
est exprimée en fonction de et c’est encore une fonction
périodique de mais la période n’est plus mais
J’ajoute que si le radical est toujours imaginaire et
que, si il ne cesse de l’être que pour On peut
éclaircir ce qui précède de deux manières :
1o D’abord par la considération des fonctions elliptiques.
Nous voyons en effet que
est une intégrale elliptique et que si nous posons
les expressions
seront des fonctions doublement périodiques de
Les divers cas que nous avons examinés plus haut correspondent
alors aux diverses hypothèses que l’on peut faire au sujet du
discriminant des fonctions elliptiques.
2o Par la Géométrie.
Nous pouvons construire en effet des courbes en adoptant les
coordonnées polaires et en prenant pour rayon vecteur
étant une constante quelconque et pour angle polaire Nous
obtenons ainsi une figure telle que celle-ci.
Les courbes en trait plein correspondent à l’hypothèse
la courbe en trait pointillé à l’hypothèse
la courbe en trait mixte — . — . qui a un point double en au cas de enfin la courbe correspondant à
correspond à un seul point
Si l’on avait voulu appliquer au problème que nous venons de
Fig. 2.
traiter les méthodes du no 125, on aurait été conduit à développer
suivant les puissances de Et, en effet, le radical
est effectivement développable suivant les puissances de et, par
conséquent, il en est de même de Seulement le développement
n’est convergent que si
Si cette condition n’est pas remplie, les procédés du no 125
deviennent illusoires et il faut avoir recours à la méthode de
Delaunay, c’est-à-dire à celle que nous venons d’exposer. On peut
même y avoir recours avec avantage dès que est du même ordre
de grandeur que parce que la convergence du développement
du no 125 est alors très lente.
Observons que le développement du radical est de la forme
et l’on voit que, si est petit, la convergence devient très lente et
peut même cesser tout à fait.
Si l’on fait le développement devient
et tous ses termes sont de même degré en on voit d’ailleurs que
200.Passons maintenant à un cas un peu plus général et supposons
que soit fonction seulement de et de périodique
en
L’équation aux dérivées partielles devient
et elle doit être d’abord résolue par rapport à
Supposons que l’on ait
et que ne dépende que de
Alors plusieurs cas peuvent se présenter.
Supposons que qui est déjà développable suivant les puissances
de soit aussi holomorphe en ce qui d’ailleurs arrivera
dans toutes les applications.
Alors par les procédés des nos 30 et suivants, l’équation
(2)
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pourra être résolue par rapport à
Pour l’équation s’écrira
(3)
|
;
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soit une valeur satisfaisant à cette équation (3). Alors, si l’on
désigne par la dérivée de et si
on tirera de l’équation (2) sous la forme d’une série ordonnée suivant les puissances de les coefficients étant des fonctions
de
Si, au contraire,
on aura encore sous la forme d’une série, mais cette série sera
développée non pas suivant les puissances de mais suivant celles
de
Examinons successivement ces deux cas.
Soit d’abord
Nous poserons alors, puisque et par conséquent sont développables
suivant les puissances de
et nous supposerons d’ailleurs que se réduit à la constante
on calculera ensuite, par récurrence, les autres fonctions
et le calcul sera de tout point pareil à celui du
no 125.
Passons à la seconde hypothèse où
Alors est développable suivant les puissances de et je puis
écrire
Je suppose toujours
J’ai alors
Dans le second membre je suppose que dans on
a remplacé par
Posons de même
en mettant ainsi en évidence que la constante du second membre
peut dépendre de
Alors, en égalant dans les deux membres de
les coefficients des puissances semblables de il viendra
(4)
|
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|
Dans la troisième équation (4), je suppose connu ; dans la
quatrième, je suppose connu ; dans la cinquième, je suppose
connus et ainsi de suite.
Je désigne toujours par toute fonction connue.
La troisième équation (4) va nous permettre de calculer
car étant une constante, il vient
Plusieurs circonstances peuvent se présenter correspondant
aux divers cas traités dans l’exemple plus simple dont nous nous
sommes occupés plus haut.
Il peut arriver que reste plus grand que quelle que soit
la valeur attribuée à alors est une fonction périodique
de dont la période est
Ou bien il peut arriver que la condition
ne soit remplie que pour certaines valeurs de Alors la fonction
n’est non plus réelle que pour certaines valeurs de
Une fois déterminé,, la quatrième équation (4) nous fera
connaître la cinquième et ainsi de suite.
La solution est entièrement satisfaisante dans le premier cas,
celui où est toujours réel. Mais, dans le cas contraire, il importe
de faire attention à une chose.
Les valeurs de pour lesquelles les diverses fonctions
passent du réel à l’imaginaire sont données par l’équation
On pourrait croire alors que c’est pour ces mêmes valeurs que
passe du réel à l’imaginaire. Cela n’est pas exact ; les valeurs
pour lesquelles passe du réel à l’imaginaire sont données par les
équations
Elles sont à la vérité fort voisines des premières si est très petit,
mais elles ne leur sont pas identiques.
Pour tourner cette difficulté, il y a plusieurs moyens. On peut,
par exemple, puisque sont arbitraires, faire
ainsi que tous les autres d’indice impair.
Nous calculerons ensuite successivement
et nous aurons
Comme rien ne distingue de nous aurons encore une
solution en faisant
ces deux solutions sont ou toutes deux réelles ou imaginaires conjuguées.
Il en résulte que
sont toujours réels.
De plus, l’expression
(5)
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est toujours réelle ou purement imaginaire et il en résulte que,
pour obtenir l’équation qui donne les valeurs de pour lesquelles
passe du réel à l’imaginaire, il suffit d’égaler à zéro
l’expression (5).
Comment maintenant se fait le passage du cas où est toujours
réel au cas où est tantôt réel et tantôt imaginaire ?
On s’en rendra mieux compte en construisant la figure suivante
analogue à la fig. 2.
Nous prenons pour rayon vecteur et pour angle polaire
et nous construisons les courbes
ou du moins celles d’entre elles pour lesquelles diffère peu
de
Ces courbes différeront très peu de celles où le rayon vecteur
est égal à
et où est donné par la formule
Pour construire ces courbes, il faut faire une hypothèse sur la
façon dont varie la fonction quand varie de à
Supposons par exemple que passe par un maximum, puis par un
minimum, puis par un maximum plus grand que le premier, puis
par un minimum plus petit que le premier ; nous obtiendrons une
figure telle que celle-ci :
On voit que, quand diminue, on obtient successivement :
Si est plus grand que le plus grand maximum, deux courbes
concentriques représentées sur la figure en trait pointillé − − − −
Si égale le grand maximum, une courbe à point double
représentée en trait plein.
Fig. 3.
Si est compris entre les deux maxima, une courbe analogue
à celle qui est représentée en trait mixte — . — .
Si égale le petit maximum, une courbe à point double représentée
en trait ponctué . . . . . .
Quand devient plus petit que le plus petit maximum, cette
courbe se décompose en deux autres qui sont représentées par le
trait + + + + ; l’une de ces courbes se réduit à un point, puis disparaît
quand devient égal au plus grand minimum ; l’autre se réduit
à un point et disparaît à son tour quand devient égal au plus
petit minimum.
On voit que le passage d’un cas à l’autre se fait par une courbe
à point double, ce qui conduit à étudier ces courbes et plus particulièrement
la première, celle qui est représentée en trait plein.
Si nous supposons un mobile parcourant cette courbe d’un
mouvement continu, il partira par exemple du point double, fera
le tour d’une des boucles de la courbe, reviendra au point double,
parcourra la seconde boucle et reviendra enfin à son point de
départ ; on voit que son mouvement est encore périodique, mais
que la période est doublée ; de sorte que est une fonction périodique de mais que la période est devenue et n’est
plus
Revenons alors aux équations (4).
Nous trouvons alors que si l’on donne à la valeur qui correspond
au maximum de le radical
qui est égal à est une fonction périodique de de période
et est par conséquent développable suivant les sinus et les cosinus
des multiples de
Quand augmente de le radical change de signe, de sorte
que le développement ne doit contenir que des multiples impairs
de La fonction s’annule deux fois.
Si en effet est la valeur de qui correspond au maximum
de la fonction s’annulera pour et pour
Alors, quelles que soient les constantes les équations (4) nous montrent que
seront des fonctions périodiques de de période seulement
ces fonctions pourront devenir infinies pour
ou
Nous savons toutefois que nous pouvons choisir les constantes
de façon que cette circonstance ne se produise pas ; l’existence
de la courbe en trait plein de la fig. 3 le prouve suffisamment ;
voyons maintenant comment doit se faire ce choix.
Si nous supposons que les constantes d’indice impair
sont nulles, les équations (4) ne changeront pas quand on changera
en .
Il en résulte que si la fonction
satisfait à notre équation, il en sera de même de la fonction
Ce sont là les deux solutions des équations (4) et on voit que
l’on passe de l’une à l’autre en changeant en Mais les
équations (4) ne changent pas non plus quand on change
en On passera donc aussi d’une solution à l’autre en
changeant en
D’où cette conséquence :
Quand on change en les fonctions d’indice pair
ne changent pas et les fonctions d’indice impair changent
de signe.
Seulement comme s’annule pour et pour
et comme cette dérivée entre en facteur dans le premier membre
des équations (4), il pourrait se faire que
devinssent infinis pour et c’est ce qui arriverait
en effet si les constantes n’étaient pas convenablement
choisies.
Mais il est possible de faire ce choix de telle façon que les fonctions
restent toujours finies.
Pour le démontrer considérons l’équation
que je puis écrire
Cette équation, en regardant et comme les coordonnées d’un
point, représente une courbe. Écrivons que cette courbe a un point
double ; il viendra
ce que je puis écrire encore
(5)
|
|
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puisque ne dépend pas de
Résolvons ces équations (5) par rapport à et à Pour
on trouvera
Le déterminant fonctionnel des équations (5) pour
s’écrit
et, en général, il n’est pas nul. On pourra donc résoudre les
équations (5) et l’on trouvera que et sont développables
suivant les puissances de Soient alors
les développements ainsi obtenus ; l’expression
est évidemment développable suivant les puissances de Soit alors
(6)
|
|
|
ce développement. Je dis que, si l’on donne dans les équations (4)
aux constantes les valeurs tirées du développement (6), les
fonctions resteront finies.
Pour nous en rendre compte, posons
et envisageons l’équation
elle est de même forme que l’équation (2) ; nous pouvons donc la
traiter de la même manière, c’est-à-dire poser
et déterminer les fonctions par des équations (4 bis) analogues
aux équations (4), et qui n’en différeront que parce que les lettres
seront accentuées ; seulement les constantes seront toutes
nulles, et pour
on aura
Donc, si l’on regarde comme développé suivant les puissances
de et le développement commencera par des termes du
second degré en et et cela quel que soit Le développement
de commencera donc aussi par des termes
du second degré. Il résulte de là que, si l’on considère les
fonctions qui figurent dans le second membre des équations
(4 bis) comme développées dans le voisinage de 0, suivant
les puissances de et des le développement commencera
toujours par des termes du second degré.
On voit d’abord que s’annule pour on pourrait donc
craindre que ne devienne infini pour mais, loin de là, je
dis que, pour cette valeur de est nul.
En effet, supposons que cela soit vrai pour
je dis que cela sera vrai également pour
Considérons l’équation
où désigne la dérivée seconde de est développé suivant les
puissances de de comme est un zéro
simple pour ces diverses quantités, et que le développement de
commence par des termes du second degré, sera un zéro
double pour
Ce sera un zéro simple pour
Ce sera donc un zéro simple pour
C.Q.F.D.
Nous trouvons ainsi
Nous en déduisons
(7)
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représente la fonction où l’argument a été remplacé
par l’argument Soient
les développements de et il viendra en identifiant les deux
membres de (7)
(8)
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Dans les dérivées des doit être remplacé par l’argument
On voit que les restent finis.
Une fois qu’on a démontré la possibilité de déterminer les constantes
de façon à éviter que les deviennent infinis, on
peut faire effectivement cette détermination sans avoir besoin de
chercher les développements de et de
Il suffit de se servir des équations (4).
Considérons l’une de ces équations ;
Si est pair, on prendra
et, comme est une fonction périodique de période on aura
également
de sorte que ne deviendra infini ni pour ni pour
Si est impair, il faut faire et la condition
qui entraîne la suivante
puisque change de signe quand augmente de sera remplie
d’elle-même.
Il en résultera encore que ne devient jamais infini.
Il en résulte enfin que est développable suivant les sinus et
cosinus des multiples de si est pair et suivant les sinus et
cosinus des multiples impairs de si est impair.
J’ai beaucoup insisté sur des choses presque évidentes, parce
que j’aurai plus loin à traiter un problème analogue, mais beaucoup
plus difficile, et que je tenais à faire ressortir les analogies.
201.Voyons maintenant comment se fait le passage du premier
cas, celui où
et où les procédés du no 125 sont applicables au second cas où
et que nous venons d’étudier en détail.
Observons d’abord que est ce que nous avons appelé
au no 125 et dans d’autres parties de cet Ouvrage. Alors, en posant
on trouve une série d’équations de la forme
(1)
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|
On peut, comme je l’ai expliqué au no 125, déterminer arbitrairement ;
je supposerai qu’on le fasse de telle sorte que la valeur
moyenne de soit nulle, et par conséquent que soit une
fonction périodique de
On voit que dans le développement de différentes puissances
de entreront au dénominateur, de sorte que, si est petit,
certains termes de pourront devenir sensibles. Il importe avant
tout de se rendre compte de l’exposant maximum que peut avoir
dans le dénominateur des divers termes de
Je dis que cet exposant maximum est égal à
En effet, est une fonction de d’une part, et d’autre part du
paramètre et de la constante d’intégration je ne parle pas
des constantes qui sont entièrement déterminées par les conditions
valeur moyenne de
Au lieu de nous pouvons prendre pour constante d’intégration
alors sera fonction de de et de développons-la
suivant les puissances de et de le développement contiendra
des puissances négatives de
L’équation
nous montre que le développement de suivant les puissances
croissantes de commencera par un terme en
Passons à l’équation suivante
dépendra de mais, comme s’obtient en remplaçant dans
la variable par le développement
et en retenant dans le développement les termes en on voit
que ne peut contenir qu’à la deuxième puissance au plus ;
car le cube de devrait être accompagné du facteur et ne
pourrait par conséquent donner de terme en
Ainsi le développement de et par conséquent celui de
commencera par un terme en
et enfin celui de par un terme en
La loi est manifeste ; le développement de commence par
un terme en
Et, en effet, supposons qu’elle soit vraie pour
je dis qu’elle est encore vraie pour
Considérons l’équation
est un polynôme entier en
Considérons un terme quelconque de ce polynôme et cherchons
à évaluer la somme des indices des divers facteurs de la
forme qui entrent dans
Ce terme provenant d’un terme en dans le développement de
cette somme est au plus égale à De plus, si cette somme est
égale à comme aucun des indices n’est égal à le terme
considéré contiendra au moins deux facteurs.
Le développement de suivant les puissances de commencera
par un terme en
Or
Si
si
on aura encore
parce qu’il y aura au moins deux facteurs.
Donc le développement de et par conséquent celui de
commencera par un terme en
et celui de commencera par un terme en
C.Q.F.D.
Mais, étant une constante arbitraire, remplaçons-la par un
développement quelconque
Alors sera développé suivant les puissances positives de et
les puissances positives et négatives de
Si n’est pas nul, ces puissances positives et négatives peuvent
elles-mêmes se développer suivant les puissances positives de
de sorte que finalement se trouvera développé suivant les puissances
positives de
Ces développements sont, d’après ce que nous avons vu au
no 125, les mêmes que ceux qu’on obtiendrait en partant des
équations (1), mais en attribuant aux constantes d’autres
valeurs que celles que nous leur avons données plus haut.
Maintenant, au lieu de cela, supposons très petit et remplaçons
par un développement de la forme
(2)
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Cette fois les puissances négatives de
ne sont plus développables suivant les puissances positives de mais
sera développable suivant les puissances positives de et le
développement commencera par un terme en
Si nous observons maintenant que, d’après ce que nous venons
de voir, est développable suivant les puissances de
nous conclurons que est développable suivant les puissances
positives de
Les développements ainsi obtenus ne diffèrent pas de ceux auxquels
nous sommes arrivés dans le numéro précédent à l’aide des
équations (4) et en attribuant diverses valeurs aux constantes
Pour éviter toute confusion je représenterai par
(3)
|
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le développement obtenu en partant des équations (1) où l’on a
déterminé les comme je l’ai dit plus haut, de telle façon que la
valeur moyenne de soit nulle.
Je représenterai pour un instant par
(4)
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|
celui que l’on obtient en remplaçant dans (3) par son
développement (2) et en ordonnant suivant les puissances de
Que représentent alors etc. ?
On obtiendra en remplaçant dans la constante par 0.
On obtiendra de la façon suivante. Mettons en évidence ce
fait que dépend de en écrivant nous avons trouvé
Il vient
ou
ayant la même signification que dans les équations (4) du
numéro précédent.
D’autre part, nous aurons dans des termes provenant de
on les obtiendra comme il suit.
Dans le développement (3) nous prendrons tous les termes en
Soit
(5)
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|
|
l’ensemble de ces termes.
On aura alors
Il en résulte que, si l’on groupe dans le développement (3) tous
les termes en c’est-à-dire tous ceux qui appartiennent au
développement (5) et qu’on forme le carré de
ce carré se réduira à deux termes
C’est là un fait d’autant plus remarquable qu’il peut s’étendre,
comme nous le verrons bientôt, à toutes les équations de la Dynamique.
Pour obtenir il faudra tenir compte non seulement de et des termes en
mais des termes en
En résumé, le passage du cas où les méthodes du no 125 sont
applicables à celui où elles cessent de l’être se fait de la façon
suivante : quand est très petit, l’ordre de grandeur d’un terme
ne dépend plus seulement de l’exposant de mais de celui de
si l’on suppose que est du même ordre que on réunira
ensemble les termes qui deviennent ainsi du même ordre et on
les sommera.
202.Tous ces résultats s’étendent immédiatement au cas plus
général que nous avons considéré au début du no 199.
Supposons d’abord que dépende de et de
nous aurons alors à envisager l’équation
(1)
|
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|
Pour l’intégrer nous donnerons à
des valeurs constantes quelconques,
et nous aurons ainsi une équation
de même forme que celle dont nous nous sommes occupe dans
les deux numéros précédents.
Seulement la solution au lieu de contenir seulement une
constante arbitraire en contiendra qui seront
Si maintenant l’équation fondamentale s’écrit
(2)
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il est facile de la ramener à la forme (1). Posons en effet
(3)
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|
les étant des entiers choisis de telle sorte que le déterminant
des coefficients des équations (3) soit égal à 1. Cela est toujours
possible, pourvu que soient premiers entre eux,
ce qu’il est toujours permis de supposer.
L’équation aux dérivées partielles (2) devient alors
et elle est ainsi ramenée à la forme (1).
Tout ce que nous avons dit des équations de la forme (1) s’étend
donc aux équations de la forme (2).
Nous pouvons trouver des solutions de l’équation (2) qui seront
développables comme celles de (1), tantôt suivant les puissances
de tantôt suivant celles de
Pour se réduira à
La solution complète de l’équation aux dérivées partielles (2)
doit contenir constantes arbitraires. Nous pourrions prendre
comme constantes arbitraires ou bien encore
en posant
Mais il est plus commode d’introduire un nombre infini de constantes
arbitraires, parmi lesquelles il n’y en aura d’ailleurs que
qui soient distinctes. Ces constantes seront
en égalant le second membre de (2) à
Si
est développable suivant les puissances de et si, au contraire,
est développable suivant les puissances de
Supposons en particulier que, donnant à des
valeurs quelconques, on choisisse les constantes de telle façon que
soit une fonction périodique des on retombera sur un développement
qui correspondra à celui que nous avons au début du
numéro précédent déduit des équations (1) de ce numéro.
Dans ce développement, diverses puissances de
entreront au dénominateur.
Remplaçons ensuite les constantes d’intégration par divers
développements procédant suivant les puissances de
Soit, par exemple,
Je suppose que
Il en résultera que le développement de
commencera par un terme en
Si nous ordonnons ensuite les termes de suivant les puissances
positives et croissantes de on obtiendra divers développements
analogues à ceux que nous avons étudiés en détail dans le no 201.
203.Il est aisé maintenant de comprendre l’esprit de la méthode
de Delaunay.
Reprenons le cas général des équations de la Dynamique ; et
supposons par conséquent que notre fonction
dépend non plus seulement de mais
des arguments et qu’elle est d’ailleurs périodique
par rapport à ces arguments.
Si aucune des combinaisons linéaires à coefficients entiers
n’est très petite, les méthodes du no 125 pourront s’appliquer sans
difficulté ; mais, si l’une de ces combinaisons est très petite, on
distinguera dans les termes qui dépendent de l’argument
est supposé développé en série trigonométrique, c’est-à-dire en
une suite de termes dont chacun est le produit de
ou de
(les étant des entiers), par un coefficient qui est une fonction
de
Considérons l’ensemble de ces termes qui sont tels que
et soit
l’ensemble de ces termes.
Ils comprendront en particulier tous les termes de qui sont
indépendants de et par exemple tous ceux de
de sorte qu’on aura
Considérons maintenant l’équation
Nous pourrons l’intégrer facilement par les procédés exposés
dans les premiers numéros de ce Chapitre.
Soit
une des solutions de cette équation. Les coefficients
sont les constantes d’intégration que j’appelais jusqu’ici mais
que j’appelle maintenant parce que je vais bientôt les prendre
pour variables indépendantes nouvelles.
Quant à c’est une fonction périodique de
dépendant en outre de de sorte que la valeur
moyenne de n’est autre chose que et que l’expression considérée
de ne diffère pas de celle à laquelle conduisent les équations (1) du no 202.
Posons maintenant
Prenons pour variables nouvelles les et les la forme canonique
des équations ne sera pas altérée ; la fonction exprimée en
fonctions des et des conservera la même forme ; seulement
les coefficients des termes en
seront beaucoup plus petits que ceux des termes correspondants en
Les inégalités à longue période auront disparu parce qu’en
somme on en aura tenu compte dès la première approximation.
Méthode de M. Bohlin.
204.L’inconvénient de la méthode de Delaunay, c’est d’exiger
de nombreux changements de variables. Cet inconvénient peut
être évité grâce à un procédé découvert par M. Bohlin et que j’ai
proposé de mon côté, mais quelques jours après lui.
Reprenons nos équations générales
(1)
|
|
|
et supposons que l’expression
soit très petite.
Il s’agit d’intégrer l’équation
(2)
|
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|
Posons
Substituons ces valeurs dans l’équation (2), ordonnons suivant
les puissances de et égalons les coefficients des puissances
semblables de il viendra
(3)
|
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|
Voici la signification de ces équations :
Je désigne encore par toute fonction connue, et je suppose
Dans la troisième |
équation (3) que est connu,
|
Dans la quatrième |
équation (3) que et sont connus,
|
Dans la cinquième |
équation (3) que et sont connus.
|
Le second membre contient tantôt tantôt parce
que j’ai supposé que les constantes d’indice impair, c’est-à-dire
les coefficients des puissances impaires de dans le développement
de sont nulles.
Il faut encore préciser le sens du signe dans le second terme
du premier membre des diverses équations (3). Ce signe porte
sur les deux indices et il faut convenir que dans la troisième
équation (3), la combinaison apparaît deux fois si et
une fois si et que dans les autres équations (3) cette combinaison
apparaît deux fois dans tous les cas.
Je suppose comme plus haut
les étant des constantes. Dans les dérivées de qui figurent
dans les équations (3), je suppose que les ont été remplacés
par les de telle sorte que
Je suppose de plus que les aient été choisis de telle sorte que
(4)
|
|
|
et qu’il n’y ait entre les aucune autre combinaison linéaire à
coefficients entiers.
Proposons-nous de déterminer de telle façon que les
soient des fonctions périodiques des
La première équation (3) détermine tout simplement la seconde s’écrit
(5)
|
|
|
et elle ne peut être satisfaite que si les sont fonctions seulement
de Car si contenait, par
exemple, un terme
le premier membre de (5) contiendrait un terme
qui ne pourrait disparaître que si l’on avait
On aura donc
la dérivée de étant périodique.
Passons à la troisième équation (3), et égalons dans les deux
membres de cette équation les termes qui dépendent des sinus et
des cosinus des multiples de
Le premier terme du premier membre, qui peut s’écrire
ne contiendra pas de pareils termes ; car si contenait un terme
où
le terme correspondant de l’expression
s’écrirait
et s’annulerait en vertu de la relation (5).
Le second terme du premier membre ne dépend, au contraire,
que de et est fonction seulement de Tous
ces termes ne contiennent donc que des sinus ou des cosinus des
multiples de
Introduisons une notation nouvelle :
Soit une fonction quelconque dont les dérivées soient des
fonctions périodiques de on pourra la développer en une série
dont tous les termes seront d’une des formes suivantes
Supprimons dans cette série tous les termes trigonométriques,
sauf ceux pour lesquels
L’ensemble des termes restant pourra être désigné par et
s’appeler la valeur moyenne de
On aura alors
et, si est une fonction périodique quelconque,
Il vient donc
(6)
|
|
|
Dans je suppose que les ont été remplacés par les
la fonction qui entre dans la troisième équation (6) est celle de
la troisième équation (3).
La constante du second membre de la première équation (6)
peut être désignée par
On trouvera alors, en égalant les valeurs moyennes des deux
membres de la troisième équation (3)
(7)
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Cette équation est de même forme que celles que nous avons
étudiées aux nos 199 à 202, et en particulier de même forme que
la seconde équation (4) du no 200.
Nous retrouverons donc, comme pour cette seconde équation (4),
trois cas différents.
Rappelons-nous que est de la forme
d’où
Substituons cette valeur de dans (7) ; cette équation deviendra
une équation du second degré par rapport à et nous
pourrons l’écrire
(8)
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où et sont des constantes dépendant des constantes ces
dernières constantes peuvent d’ailleurs être choisies arbitrairement.
Pour que et par conséquent soit une fonction périodique
de il faut et il suffit que l’équation (8)
ait toujours ses racines réelles, c’est-à-dire que l’inégalité
soit satisfaite pour toutes les valeurs de
Comme les constantes sont arbitraires, nous prendrons
(9)
|
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|
Nous ne restreignons pas ainsi la généralité, comme nous le
verrons bientôt.
Cela reviendrait d’ailleurs au même de supposer
puisque, si cette condition est remplie, l’expression
devient une fonction de seulement, que l’on
peut faire rentrer dans
Quoi qu’il en soit, si l’on suppose les conditions (9) remplies,
l’équation (8) se simplifie et s’écrit
(8 bis)
|
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Supposons alors que l’on construise pour diverses valeurs de la
constante des courbes en prenant pour rayon vecteur une
constante quelconque et pour angle polaire
on obtiendra une figure tout à fait pareille à la fig. 3.
Supposons pour fixer les idées que soit positif. Alors, pour
que soit périodique, il faut qu’il reste toujours réel, c’est-à-dire
que soit plus grand que le maximum de
Dans ce cas et par conséquent est une fonction périodique
de qui ne s’annule jamais.
Ayant ainsi déterminé il s’agit maintenant de déterminer
cette fonction doit être de la forme
étant périodique, et en général doit être de la forme
étant périodique ; je supposerai pour simplifier
(10)
|
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|
ce qui n’est pas, comme nous le verrons bientôt, restreindre la
généralité.
Nous avons
équation analogue à la première des équations (6). Si les conditions (10)
sont remplies, on aura et en particulier
Cela posé, revenons à la troisième équation (3) qui peut s’écrire,
maintenant que nous nous sommes donné et que est entièrement
déterminée,
(11)
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|
La fonction connue est périodique en
Soit donc
l’équation (11) donnera
étant une fonction arbitraire de
Cette solution deviendrait illusoire si, pour un terme quelconque
de on avait
c’est-à-dire
Mais cela ne peut arriver parce que
En effet, nous venons précisément de déterminer de telle façon que les valeurs moyennes des deux membres de la troisième
équation (3) soient égales. Il doit donc en être de même
des deux membres de l’équation (11), qui ne diffère de la troisième
équation (3) que parce que certains termes ont passé d 'un
membre dans l’autre.
Or
puisque
Donc
C.Q.F.D.
Pour achever de connaître il reste à déterminer la fonction
arbitraire
À cet effet, égalons les valeurs moyennes des deux membres de
la quatrième équation (3). Il vient, en vertu des relations (10),
et de plus
puisque ne dépend que de Nous
obtenons donc
Si nous désignons par la dérivée de par rapport à
il viendra
et nous pourrons écrire
Comme ne s’annule pas, est une fonction périodique de qui ne devient pas infinie et est de la
forme
étant un coefficient constant et une série ordonnée suivant les
sinus et cosinus des multiples de
étant ainsi entièrement déterminé, la quatrième équation (3)
s’écrit
elle prend une forme tout à fait analogue à celle de l’équation (11),
et se traite de la même manière. Et ainsi de suite.
J’ai dit plus haut que les hypothèses (9) et (10) ne restreignaient
pas la généralité.
Et en effet considérons une solution de notre équation fondamentale
et conforme à ces hypothèses (9) et (10) ; soit cette
solution et soit
Soit, d’autre part,
et
fonction périodique.
Les satisferont en vertu des hypothèses (9) et (10) à la condition
et seront d’ailleurs des fonctions des constantes d’intégration
et
Comme les sont des constantes arbitraires, je puis les remplacer
par des développements quelconques
les étant de nouvelles constantes arbitraires.
Si dans nous remplaçons les par ces développements, puis
que nous ordonnions de nouveau par rapport aux puissances de il viendra
où
fonction périodique,
et nous aurons pu choisir les de telle façon que les constantes
soient quelconques,
Nos hypothèses n’ont donc apporté à la généralité aucune restriction
essentielle. C.Q.F.D.
Cas de la libration.
205.Qu’arrivera-t-il maintenant si n’est pas plus grand que
le maximum de et si par conséquent n’est pas toujours réel ?
Dans ces cas où l’on dit qu’il y a libration, certaines difficultés se
présentent que l’on peut vaincre par un artifice analogue à l’emploi
que nous avons fait des fonctions elliptiques dans le no 199.
Pour simplifier un peu l’exposition je supposerai
J’en ai le droit, car, s’il n’en était pas ainsi, je pourrais faire un
changement de variables analogue au changement de variables (3) du no 202.
Nous ne pouvons plus nous arranger de manière que les
soient des fonctions périodiques de mais nous
pouvons du moins chercher à trouver une fonction telle que
les soient des fonctions périodiques de
Alors ce que nous avons appelé dans le numéro précédent
n’est autre chose que la valeur moyenne de considérée comme
fonction périodique de
On a donc
(12)
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|
|
et en effet
se réduisent à des constantes et, d’autre part, la relation
se réduit ici à
de sorte que le premier membre de (12) ne contient pas de terme
en
Je pourrai supposer que non seulement les mais encore
les (du moins pour ) sont des fonctions périodiques
de c’est là une hypothèse identique aux
hypothèses (9) et (10) du numéro précédent qui, nous l’avons vu, ne
restreignent pas la généralité. Si on l’admet, la constante du second
membre de (12) est nulle.
Cela posé, reprenons les équations (3) du numéro précédent. La
seconde nous apprend que ne dépend que de et la troisième,
quand on égale les valeurs moyennes des deux membres, donne
(13)
|
|
|
ce qui détermine
En tenant compte de l’équation (13) la troisième équation (3)
devient
(14)
|
|
|
Comme le second membre est une fonction de
dont la valeur moyenne est nulle, l’application d’un procédé d’intégration
dont nous avons déjà fait usage bien des fois nous donnera
à une fonction arbitraire près de c’est-à-dire que
l’équation (14) nous fera connaître
Pour déterminer prenons la quatrième équation (3) et égalons les valeurs moyennes des deux membres, il viendra
(15)
|
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|
Nous tirerons de là la valeur de
Connaissant et tenant compte de (15), nous pourrons écrire
la quatrième équation (3) sous la forme
La valeur moyenne de étant nulle, cette équation, qui est de
même forme que (14), se traitera de la même manière et nous donnera
et ainsi de suite.
On voit que les fonctions ainsi déterminées sont des fonctions
uniformes de et de
206.Pour étudier plus complètement nos fonctions, il faut
faire un changement de variables. Pour cela introduisons une
fonction auxiliaire définie de la façon suivante ; nous aurons
et
où les seront des constantes qui satisferont aux conditions
En d’autres termes, ne sera pas autre chose que ce que nous
avons appelé
Pour définir nous partirons de la même équation qui a servi
à définir c’est-à-dire de l’équation (7) du no 204, où nous remplacerons
par et par ce qui nous donne
(7 bis)
|
|
|
J’y adjoindrai les suivantes (où les sont des constantes)
Il importe de remarquer qu’en faisant cette dernière hypothèse
je définirai comme j’ai fait plus haut pour mais en m’écartant
des hypothèses (9) qui exigeraient que les constantes
fussent nulles.
Comme les coefficients ne dépendent que des ce sont
des constantes ; si donc je remplace les par les
l’équation (7 bis) deviendra
(8 ter)
|
|
|
où est une constante, et deux polynômes homogènes par
rapport aux le premier du premier degré, le second du second
degré. Nous tirerons de là
Je poserai
et pour abréger l’écriture
d’où
Nous déterminerons ensuite par l’équation
analogue à l’équation (11) du no 204.
Cette équation détermine comme nous l’avons vu, à une fonction
arbitraire près de nous pourrions, sans inconvénient, faire un choix quelconque ; nous supposerons par exemple
Je poserai
Il résulte de là :
1o Que est une fonction périodique des qui ne dépend pas
des car il en est ainsi de et de où nous avons supposé
tout simplement que les étaient remplacés par les constantes
2o Que si dans le premier membre de l’équation (2) du no 204
on remplace par ce premier membre se réduit à
à des termes près contenant en facteur ; car les fonctions
et satisfont aux trois premières équations (3),
sauf que dans la seconde de ces équations le zéro du second membre doit être remplacé par
Posons maintenant
(16)
|
|
|
Si l’on prend comme variables nouvelles les et les à la
place des et des la forme canonique des équations ne sera
pas altérée.
Étudions d’abord la troisième équation (16) où entrent
et si nous considérons comme une constante et si nous
faisons varier seulement je dis que est une fonction périodique
de
C’est ici qu’éclate l’analogie avec l’emploi des fonctions elliptiques
au no 199. Dans le cas particulier traité dans ce numéro, on avait
de sorte que notre troisième équation (16) s’écrivait
L’intégrale du second membre est une intégrale elliptique et
par conséquent et sont des fonctions doublement
périodiques de Mais deux cas sont à distinguer suivant que
ou
Si la période réelle est égale à
et si
la période réelle est égale à
Dans ce cas particulier d’ailleurs, est une fonction uniforme
de pour les valeurs imaginaires aussi bien que pour les valeurs
réelles de Mais, dans le cas général, est fonction uniforme
de pour les valeurs réelles seulement et, d’autre part, et
admettent une période réelle qui est
si est supérieur au maximum de ;
si est inférieur à ce maximum et si s’annule pour
et pour et reste positif pour J’ajouterai que dans le premier cas augmente de quand augmente d’une
période, tandis que dans le second cas, c’est-à-dire dans le cas de
la libration, reprend sa valeur primitive quand augmente
d’une période.
Dans le cas particulier du no 199, non seulement et
sont fonctions doublement périodiques de mais il en est de
même de quant à
il augmente d’une quantité constante quand augmente d’une
période.
De même, dans le cas général,
et par conséquent
est une fonction périodique de Cette fonction, de même que
dépend en outre de qui joue un rôle analogue à celui du module
dans le cas des fonctions elliptiques.
Observons avant d’aller plus loin que la période de ces diverses
fonctions périodiques de est proportionnelle à
Il résulte de là que, dans le cas de la libration, et
sont des fonctions périodiques de en outre et
dépendent des mais ce sont des fonctions périodiques de
période de ces variables.
Si donc nous exprimons les variables anciennes et en
fonctions des nouvelles et il est évident que les les
et les sont des fonctions périodiques des il en est
donc de même de qui est périodique de période par rapport
aux
La période sera égale à
pour et à pour les je poserai pour abréger la période
relative à égale à il est clair que est une fonction de de même que la période des fonctions elliptiques est une
fonction du module.
Si nous posons
d’où
(16 bis)
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|
|
sera une fonction périodique des la période sera pour
et pour les autres sera en o’utre fonction des cette
fonction sera développable suivant les puissances de les trois
premiers termes du développement
seront indépendants des et fonctions seulement des Le premier
terme est une constante absolue ; est, par définition,
une fonction linéaire des indépendante de enfin on a
d’où il résulte que est un polynôme de premier ordre par rapport
aux autres
Posons maintenant
nos équations deviendront
(17)
|
|
|
La fonction est, comme la fonction au no 125, périodique
par rapport aux variables de la seconde série qui sont ici les
Toutefois deux obstacles empêchent que les procédés du no 125
soient immédiatement applicables aux équations (17).
1o La fonction est bien périodique par rapport aux mais,
par rapport à la période n’est pas mais
Pour tourner cette première difficulté, il suffit d’un simple changement de variables. Si nous faisons
(18)
|
|
|
les équations restent canoniques et s’écrivent
(19)
|
|
|
et cette fois est périodique de période par rapport à
2o Si l’on fait se réduit à et ne dépend pas de
toutes les variables de la première série, mais seulement de
car est nul. Nous ne sommes donc pas dans les conditions du
no 125, mais dans celles du no 134 ; nous allons voir que les
conclusions de ce numéro sont applicables.
En effet, la fonction qui correspond à celle que nous avons
appelée dans ce no 134, c’est ici et il est aisé de voir que
dépend de et par conséquent de et
ne dépend que des variables de la première série.
Les conditions pour que le théorème du no 134 soit vrai sont
donc remplies et nous devons conclure qu’il existe fonctions
qui dépendent de variables
et de constantes arbitraires et qui satisfont aux conditions suivantes :
1o Quand on les substitue dans cette fonction se réduit à
une constante.
2o L’expression
est une différentielle exacte.
3o Ces fonctions sont périodiques de période par rapport à
Considérons donc et les comme fonctions de et des
ce qui nous donne relations entre ces variables, puis revenons
aux variables anciennes et à l’aide des équations (16),
(16 bis) et (18) ; nous obtiendrons ainsi relations entre les et
les en résolvant ces relations par rapport aux nous aurons
les en fonctions des et il est clair que :
1o Si l’on substitue dans à la place des leurs valeurs en
fonctions des se réduit à une constante.
2o L’expression
(20)
|
|
|
est une différentielle exacte.
Car, d’après la forme des équations (16), (16 bis) et (18), la
différence
est toujours une différentielle exacte.
3o Si l’on exprime les en fonctions de et des les
sont des fonctions périodiques de ces variables ; et, de même, si
l’on exprime les en fonctions des ces fonctions seront périodiques
de période par rapport à
Il résulte de là que les fonctions définies par l’équation (20)
ne diffèrent pas de celles dont nous nous sommes occupés au
numéro précédent, puisque nous n’avons fait intervenir dans leur
définition que l’équation (2) du no 204 et la condition que les
soient périodiques par rapport à
Ainsi les deux systèmes d’équations
(21)
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|
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et
(22)
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|
sont identiques pourvu que satisfasse à l’équation aux dérivées
partielles
(23)
|
|
|
et à la condition que ses dérivées soient périodiques par rapport
a et aux et que soit définie comme au numéro précédent.
est développable suivant les puissances de et s’écrit
Chacune des fonctions peut s’écrire
étant périodique et les constantes analogues aux constantes
du no 125 peuvent comme celles-ci être choisies arbitrairement.
On a de même
et nous avons vu que dépend encore des constantes arbitraires
que nous avons appelées plus haut
Pour que les deux systèmes (21) et (22) soient identiques, il
faut, bien entendu, si l’on a donné aux constantes des valeurs
déterminées, que l’on donne aux constantes des valeurs correspondantes
et inversement.
À chaque fonction correspond ainsi une fonction et réciproquement.
Mais, dans les numéros précédents, nous avons imposé à nos
constantes et par conséquent à certaines conditions qui sont
les hypothèses (9) et (10). Si l’on veut y demeurer astreint, il
faut donc que les constantes satisfassent de leur côté à certaines
conditions qu’il serait aisé de former. Je dirai seulement que les
doivent s’annuler avec
Les équations (21) et (22) nous permettant d’exprimer toutes nos variables en fonctions de quelconques d’entre elles, supposons
que l’on exprime et les en fonctions de
Soit donc
On voit sans peine que les fonctions et sont périodiques de
période par rapport à chacune des variables dont elles dépendent.
Si nous regardons un instant comme des constantes
et et comme les coordonnées d’un point dans un
plan, nous pourrons envisager les équations
Quand nous ferons varier le point décrira une courbe
fermée puisque les fonctions et reprennent leurs valeurs primitives
quand augmente de
Ainsi, si sont considérées comme des constantes,
l’équation
est celle d’une courbe fermée.
C’est là le résultat auquel je voulais parvenir ; mais il importe
d’en préciser la signification. Nous ne devons pas oublier, en
effet, que tous les théorèmes qui précèdent sont vrais,
mais seulement au point de vue du calcul formel.
Les fonctions et sont développables suivant les puissances
de de sorte que nous pouvons écrire
(24)
|
|
|
et toutes les fonctions et sont périodiques de période
Les seconds membres des équations (24) sont des séries ordonnées
suivant les puissances de mais qui, en général, ne sont pas convergentes. Les équations (24) ne sont donc vraies qu’au
point de vue du calcul formel. Écrivons donc ces équations de
nouveau, mais en nous arrêtant aux termes en il viendra
(24 bis)
|
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|
Les équations (24 bis) définissent évidemment une courbe fermée.
Supposons qu’éliminant entre ces deux équations on les résolve
par rapport à il viendra
(25)
|
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|
sont des fonctions de le second membre
de (25) est une série indéfinie, mais convergente ; et l’équation (25)
est celle d’une courbe fermée.
En vertu des principes du calcul formel, la valeur de ainsi
obtenue ne peut différer de que de quantités de l’ordre
de nous aurons donc
mais nous n’aurons pas
Maintenant la courbe
(26)
|
|
|
est-elle une courbe fermée ?
Reportons-nous à l’équation (15). Comme, dans le cas de la
libration, s’annule pour deux valeurs différentes de on peut
se demander si et par conséquent ne pourront pas devenir infinis. Il n’en est rien parce que s’annule en même
temps que mais poussons l’approximation plus loin.
Nous trouverons pour définir une équation analogue à (15)
va-t-il cette fois devenir infini ?
Nous pouvons, il est vrai, disposer de la constante de façon
que ne devienne pas infini pour l’une des valeurs de qui
annulent mais, en général, ne s’annulera pas pour
l’autre valeur de qui annule donc deviendra infini
quelle que soit la constante
Ainsi l’équation (26) ne représentera pas une courbe fermée
parce que le second membre deviendra infini.
Quand donc j’ai dit plus haut que la courbe
est fermée, cette assertion ne pouvait avoir par elle-même aucun
sens puisque la série est divergente.
Voici ce qu’elle signifiait :
Elle signifiait qu’on peut toujours trouver une fonction
de et de développable suivant les puissances de et telle
que l’équation
soit celle d’une courbe fermée.
Un exemple simple fera mieux comprendre ce qui précède.
Soit la courbe
C’est une ellipse. Développons le second membre suivant les
puissances de et arrêtons le développement, par exemple, aux termes en il viendra
ce qui n’est pas l’équation d’une courbe fermée puisque le second
membre devient infini pour
Toutes ces difficultés, purement artificielles, sont évitées par le
changement de variables (16).
Cas limite.
207.Passons enfin au cas où est égal au maximum de
et qui est intermédiaire entre le cas ordinaire et celui de la libration.
Reprenons les équations (3) du no 204 et les équations (13),
(14) et (15) du no 205. Je suppose toujours
(pour ) et par conséquent Dans ce cas le radical
et par conséquent est, comme nous l’avons vu au no 200,
une fonction périodique de mais dont la période n’est plus
mais Cette fonction change de signe quand on change
en elle s’annule pour une seule valeur de comprise
entre et et qui est précisément celle qui fait atteindre à la
fonction son maximum. On peut, sans restreindre la généralité,
supposer que cette valeur est égale à zéro. Alors on aura
pour
quel que soit l’entier
J’ai expliqué tout cela en détail au no 200.
Considérons maintenant les équations (3) ainsi que les équations
analogues à (13) et à (15) que l’on obtient en égalant les
valeurs moyennes des deux membres des équations (3). Ces équations
nous permettront, ainsi que nous l’avons vu, de déterminer par récurrence les fonctions et elles nous montrent tout d’abord
que les seront des fonctions périodiques des la période
étant par rapport à et par rapport à
Si les constantes sont nulles, pour un indice impair, ce
que j’ai d’ailleurs supposé en écrivant les équations (3), ces équations (3)
ne changeront pas quand on changera en ni
quand on changera en
On en déduirait, par un raisonnement tout pareil à celui que j’ai
fait au no 200, que se change en
quand se change en
Donc est une fonction périodique de période par rapport
à si est pair.
Si est impair, cette fonction change de signe quand augmente
de
Maintenant voici la question qui se pose :
Les fonctions sont-elles finies ?
Nous avons pour déterminer l’équation (15)
et plus généralement pour déterminer
(27)
|
|
|
étant nul quand est impair.
La fonction du second membre de (27) dépendant seulement
de je la poserai égale à
On verrait aisément par récurrence que
Il pourrait arriver que devînt infini ; car peut s’annuler pour et il pourrait se faire que pour cette valeur
de le second membre de (27) ne s’annulât pas.
Si nous voulons donc que les demeurent finies, il faut
donc que
(28)
|
|
|
Si les conditions (28) sont remplies par toutes les valeurs de
les et par conséquent aussi les resteront finis.
Si est pair, on satisfera facilement aux équations (28) ; la
constante est en effet arbitraire et il suffira de la prendre
égale à
Mais, si est impair, est nul et nous devons satisfaire
à la condition
(29)
|
|
|
qui entraîne d’ailleurs la suivante
Comme nous ne disposons plus d’aucune arbitraire, cette condition (29)
doit être remplie d’elle-même ; c’est en effet ce qui
arrive, mais cela exige une démonstration spéciale que je vais
donner dans les numéros suivants.
208.Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux degrés de liberté
et par conséquent quatre variables seulement et
Reportons-nous aux nos 42, 43 et 44 ; nous y avons vu qu’à
chaque système de valeurs des moyens mouvements
qui soient commensurables entre elles, correspond une fonction
et qu’à chaque maximum ou à chaque minimum de cette
fonction correspond une solution périodique.
Or, dans le cas qui nous occupe, les moyens mouvements sont
au nombre de deux
et l’un d’eux est nul ; les valeurs des deux moyens mouvements
sont donc commensurables entre elles. De plus la fonction
admet un maximum absolu qu’elle atteint pour et qui est
égal à À ce maximum doit donc correspondre une solution
périodique. Soit
(30)
|
|
|
cette solution. Comme est nul, quand augmente d’une période,
et reprennent leurs valeurs primitives, tandis que
augmente de
Si nous éliminons entre les équations (30), il vient
(31)
|
|
|
les fonctions étant périodiques de période
Les exposants caractéristiques sont au nombre de deux et d’après
le Chapitre IV doivent être égaux et de signe contraire. De plus,
comme la solution périodique correspond à un maximum et non
à un minimum de ces exposants doivent être réels, en vertu
du no 79, et la solution périodique doit être instable.
Cela posé, nous allons faire un changement de variables analogue
à celui du no 145.
Soit
où est une fonction de définie par la condition
La forme canonique des équations ne sera pas altérée si je prends
pour variables nouvelles et en posant
On trouve ainsi
(32)
|
|
|
d’où
Quelle sera la forme de la fonction exprimée à l’aide des
nouvelles variables ?
Observons d’abord que et sont, en vertu des nos 42 à 44,
développables suivant les puissances croissantes de et que,
pour elles se réduisent à des constantes
et
On voit ainsi que et sont des fonctions de
et et de développables suivant les puissances de et périodiques
par rapport à Pour elles se réduisent à
Donc conserve la même forme quand on l’exprime en fonction
des variables nouvelles : je veux dire que est développable suivant
les puissances de et périodique par rapport à mais
n’est pas périodique par rapport à
Les nouvelles équations canoniques
admettent évidemment pour solution
puisque les anciennes admettaient
Nous en concluons que les trois dérivées
s’annulent à la fois quand on y fait
D’autre part, quand on fait se réduit à une constante que j’appellerai et qui est d’ailleurs développable
suivant les puissances de
Posons
sera développable suivant les puissances de et pour
les petites valeurs de ces variables ; le développement ne contiendra
pas de terme de degré 0, et il ne contiendra d’autre terme du premier
degré qu’un terme en Les coefficients du développement
sont des fonctions de et de
Considérons alors l’équation
cherchons à y satisfaire en faisant
(33)
|
|
|
Nous déterminerons par récurrence les fonctions à l’aide
d’équations tout à fait analogues aux équations (3) du no 204 et
qui n’en diffèrent que parce que les lettres y sont accentuées et
que les constantes sont toutes nulles.
Remplaçons dans la fonction par sa valeur (33) et développons
ensuite suivant les puissances croissantes de
Soit
ce développement. Alors va, pour les petites valeurs de
et être développable suivant les puissances de des
des
Les coefficients du développement seront des fonctions périodiques
de mais le point sur lequel je veux attirer l’attention,
c’est que le développement ne contiendra pas de terme de degré 0
et que les seuls termes du premier degré seront des termes en
Nous allons donc avoir à déterminer
par des équations
(34)
|
|
|
analogues à (14) et à déterminer par des équations
(35)
|
|
|
analogues à (15), les constantes analogues aux étant toutes nulles.
Les fonctions et qui entrent dans les seconds membres
de (34) et de (35) peuvent être développées suivant les puissances
de et les seuls termes du premier degré sont des
termes en
Je dis que non seulement la valeur n’est pas un infini
pour les et les mais que c’est un zéro, a savoir un zéro
simple pour les et un zéro double pour les
En effet, démontrons ce théorème par récurrence et supposons
qu’il soit déjà vrai pour les fonctions déjà connues.
Alors la fonction de l’équation (34) admettra la valeur
comme zéro double ; et en effet cette valeur est un zéro simple
pour chacun des facteurs des termes de degré plus grand que 1
du développement de suivant les puissances de des et
des et d’autre part les termes du premier degré de ce développement
dépendent des dérivées pour lesquelles est
un zéro double.
Il résulte de là et de l’équation (34) que est un zéro double pour
et par conséquent pour
et un zéro simple pour
On pourrait ensuite raisonner sur la fonction de l’équation (35)
comme on vient de le faire sur la fonction et l’on verrait
ainsi que est un zéro double pour et par conséquent
pour
Comme, d’autre part, c’est un zéro simple pour ce sera également
un zéro simple pour
C.Q.F.D.
Ainsi les fonctions définies par les équations (34) et (35) sont
finies.
Quelle relation y a-t-il maintenant entre la fonction définie
au numéro précédent et la fonction que nous venons de déterminer ?
Nous avons
d’où, en tenant compte des équations (32),
d’où
(36)
|
|
|
Comme et sont toujours finis ainsi que leurs dérivées, il
en sera de même de et de ses dérivées.
Il est aisé, en égalant dans (36) les coefficients des puissances
semblables de de calculer les fonctions
En effet, nous avons écrit plus haut
(33)
|
|
|
mais ce développement est obtenu en supposant que les sont
exprimés en fonctions des variables nouvelles et si l’on revient aux variables anciennes et le développement change
de forme et s’écrit
[cf. les équations (8) du no 200].
Soit de même
Nous aurons alors
(36′)
|
|
|
équation qui nous montre que l’on peut choisir les constantes
de telle sorte que1 les restent constamment finis.
D’où nous devons conclure que les conditions (29) sont remplies
d’elles-mêmes.
Nous avons vu au numéro précédent que les sont des fonctions
périodiques de période par rapport à il n’en est pas
de même ici des ni des parce que comme je l’ai fait
observer plus haut, n’est plus périodique en Cependant l’équation (36′) nous montre :
1o Que est périodique ;
2o Que augmente de quand augmente de
Considérons les équations
(37)
|
|
|
qui nous donnent et en fonctions de et de Elles ont
une signification intéressante.
Reprenons, en effet, les équations (30) ; elles définissent la
solution périodique qui nous a servi de point de départ. Nous
avons vu que cette solution est instable.
Donc, en vertu des principes du Chapitre VII, elle donne naissance
à deux séries de solutions asymptotiques, dont les équations
générales peuvent être mises sous la forme
(38)
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pour la première série ou
(39)
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pour la seconde.
et sont des constantes arbitraires.
Si entre les équations (38) on élimine et puis qu’on résolve
par rapport à et on obtiendra les équations (37) et l’on
obtiendra encore le même résultat le signe du radical
étant seul changé si l’on élimine et entre les équations (39).
Il peut être intéressant de comparer la démonstration qui précède
celles que j’avais données dans le Tome XIII des
Acta mathematica, p. 211 à 216 d’une part, 217 à 219 d’autre part.
209.Occupons-nous d’étendre cette démonstration au cas où
il y a plus de deux degrés de liberté et, pour cela, cherchons
d’abord à généraliser la notion qui nous a servi de point de départ,
c’est-à-dire celle de la solution périodique (30).
Cherchons donc fonctions des variables
fonctions que j’appellerai
et qui seront telles que les relations
soient des relations invariantes au sens donné à ce mot au no 19.
Cela entraîne les conditions suivantes
(40)
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Inutile d’ajouter que, dans les dérivées de et les sont
supposés remplacés par et les
De plus, les fonctions et doivent être périodiques en
elles devront se réduire à des constantes et
pour
Enfin je m’impose une condition de plus, je veux que
soit la différentielle exacte d’une fonction de
On en tire
(41)
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et l’on en conclut que les dérivées de sont des fonctions périodiques.
On aura de plus
(42)
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c’est-à-dire qu’en remplaçant dans les variables et par
les fonctions et on réduit à une constante.
On vérifierait aisément par un calcul qui rappelle quelques-uns
de ceux du Chapitre XV que la deuxième équation (40) est une
conséquence nécessaire des deux autres et des équations (41)
et (42).
Si, en effet, on différentie l’équation (42) par rapport à et
qu’on la transforme ensuite en tenant compte de la première et de
la troisième équation (40) ainsi que des relations
déduites des relations (41) par différentiation, on retrouvera la
seconde équation (40).
Nous conserverons donc, pour définir les fonctions et
la première et la troisième équation (40) ainsi que les équations (41)
et (42).
Nous allons chercher à développer les fonctions et suivant
les puissances de sous la forme
(43)
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Nous trouvons d’abord, en faisant dans la première équation (40)
ce qui prouve d’abord que ne dépend pas de ce
que nous pouvons écrire
puisque désigne la valeur moyenne de considérée comme
fonction périodique de
Il vient ensuite, en faisant dans la troisième équation (40),
Dans le second membre et les doivent être respectivement
remplacés par et et ces quantités doivent être des constantes
telles que l’on ait
Nous regarderons les comme des données de la question de
telle façon que ces équations détermineront les et
Notre équation devient alors
d’où
Comme est une constante absolue, et que doit être nul, les
équations (41) nous donneront
Si, d’autre part, nous développons la constante du second
membre de (42) suivant les puissances croissantes de et que nous l’écrivions
l’équation (42), quand nous y ferons nous donnera
Cette équation détermine simplement la constante et nous
voyons de plus que
Nous connaissons maintenant et mais, quant à nous
savons seulement que est une constante et par conséquent que
mais nous ne connaissons pas
Égalons les coefficients de dans la première équation (40), il
viendra, si l’on se rappelle que est une constante,
Dans le second membre et les sont supposés remplacés
par et les ce second membre sera une fonction périodique
de et sa valeur moyenne, puisque sont
des constantes, sera
Cette valeur moyenne doit être nulle, ce qui donne une équation
qui détermine la constante
Il reste alors
étant une fonction périodique connue dont la valeur moyenne est nulle, équation d’où l’on tire aisément
Égalons maintenant les coefficients dans l’équation (42) en
tenant compte des équations (41), qui nous donnent
nous trouverons
est une fonction périodique connue dont la valeur moyenne n’a
pas besoin d’être nulle, puisque nous n’avons pas assujetti
mais seulement ses dérivées, à être périodiques. Cette équation
nous donnera qui dépendra de constantes que nous pourrons
choisir arbitrairement.
Égalons les coefficients de dans la troisième équation (40), il viendra
(44)
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La valeur moyenne du second membre doit être nulle, d’où
ce qui nous donne et l’équation (44) nous donne ensuite
Continuons de la même manière et supposons que l’on ait trouvé
et qu’on se propose de trouver
et
Égalons d’abord les coefficients de dans la troisième équation (40), il viendra
(45)
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Le second membre doit avoir sa valeur moyenne nulle, d’où
ou
d’où nous tirerons puisque est connu. Donc
est désormais connu, et l’équation (45) nous donne
Si nous égalons maintenant les coefficients de (42), en
tenant compte de (41), il viendra
d’où nous tirerons
Égalant, enfin les coefficients de dans la troisième équation (40),
nous trouvons une équation analogue à (44)
(46)
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Le second membre doit avoir sa valeur moyenne nulle et cette condition
détermine et par conséquent
L’équation (46) détermine ensuite
et ainsi de suite.
Nous avons donc pu déterminer des fonctions satisfaisant aux
conditions que nous nous étions imposées et nous avons ainsi réalisé
une véritable généralisation des solutions périodiques. Seulement,
tandis que les séries qui définissent les solutions périodiques sont convergentes, il n’en est plus de même de celles dont
nous venons de démontrer l’existence, de sorte que cette généralisation
n’a de valeur qu’au point de vue du calcul formel.
210.Cherchons maintenant à nous servir des résultats du
numéro précédent pour démontrer dans le cas général que les
relations (29) sont satisfaites d’elles-mêmes.
À cet effet, posons
et changeons de variables en posant
la forme canonique des équations ne sera pas altérée, et l’on trouvera
et enfin
ou, en tenant compte de (41),
conserve la même forme avec les variables nouvelles, sauf
qu’elle ne sera plus périodique par rapport à
Les nouvelles équations canoniques admettront comme relations invariantes
ce qui prouve que pour on a
et que, de plus, se réduit à une constante je poserai alors
et je verrai que, si l’on développe suivant les puissances de
des et de il n’y aura pas de terme de degré 0 et que les
seuls termes du premier degré seront des termes en
Considérant alors l’équation
cherchons à y satisfaire en faisant
et déterminons par récurrence les fonctions
Le calcul se poursuivra tout à fait comme au no 208.
Les fonctions et leurs dérivées seraient encore ici des fonctions
de et l’on verrait encore ici que ces fonctions ne deviennent
pas infinies pour au contraire est un zéro
double pour les
et un zéro simple pour les
Le raisonnement se ferait par récurrence comme au no 208 ; les
équations conservent en effet la même forme. Je n’en reproduirai
pas ici les détails. Remarquons seulement que l’équation analogue
à (34) s’écrit
où
est une fonction périodique de dont la valeur
moyenne est nulle. Les coefficients et sont des fonctions de
qui, bien entendu, ne sont pas les mêmes pour les différents
termes ; on en tire
Dire que est un zéro double pour c’est dire évidemment que c’en est encore un pour chacun des coefficients et par
conséquent pour
Le reste du raisonnement est tout à fait pareil à celui du no 208.
Les fonctions sont donc finies et l’on en conclurait comme
au no 208 qu’il en est de même des fonctions et, par conséquent,
que les relations (29) sont satisfaites d’elles-mêmes.
C.Q.F.D.
Relation avec les séries du no 125.
211.Au no 125 nous avons défini certaines séries dont les
premiers termes convergent d’une façon suffisamment rapide si
aucune des combinaisons
n’est très petite. Aux nos 204 et suivants, nous avons défini d’autres
séries dont la convergence reste suffisante même quand une de
ces combinaisons est très petite.
Comment peut-on passer des unes aux autres ? Ce que nous
avons dit au no 201 nous permet déjà de le prévoir.
La fonction définie au no 125 dépend (p. 20) d’une infinité
de séries de constantes arbitraires ; à savoir de
Mais nous ne restreignons pas la généralité en supposant que
tous les sont nuls.
Soit en effet
(1)
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|
celle des fonctions que l’on obtient en annulant tous les
elle ne contiendra plus que constantes arbitraires
Les étant des constantes arbitraires, nous pouvons les remplacer par des développements quelconques procédant suivant les
puissances des
Nous remplacerons donc par
les étant des constantes quelconques. La fonction à laquelle
conduit cette substitution satisfait comme à l’équation (4) du no 120 ;
mais les ne sont plus nulles et il est clair que l’on
peut choisir les arbitraires de façon que les valeurs des soient
tout à fait quelconques. La fonction ainsi obtenue est donc la
fonction la plus générale.
Revenons à cette fonction dépend des constantes mais,
d’autre part, les moyens mouvements sont aussi des fonctions
des et inversement les sont des fonctions des de sorte
que nous pourrons considérer comme dépendant de constantes arbitraires
De quelle manière les fonctions dépendent-elles de ces constantes ?
Chaque terme de contient en facteur le sinus ou le
cosinus d’un angle de la forme
(les
entiers)
et le coefficient de ce sinus ou de ce cosinus est égal à une fonction
holomorphe des divisée par un produit de facteurs de la forme
(les
entiers).
Ce sont des facteurs que l’on appelle les petits diviseurs.
En raisonnant comme nous l’avons fait au no 201, on verrait
qu’aucun des termes de ne peut contenir plus de petits
diviseurs au dénominateur.
Si l’un de ces petits diviseurs, par exemple
était très petit, la convergence de la série deviendrait illusoire ;
remplaçons alors comme au no 202 les constantes d’intégration par divers développements procédant non plus suivant les puissances
de mais suivant celles de soit, par exemple,
(2)
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Je suppose que
Il en résultera que le développement de
commencera par un terme en
Soit alors
(3)
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un terme quelconque de où représente le produit des petits
diviseurs.
Alors et seront développables suivant les puissances croissantes
de et l’exposant de dans le premier terme du développement
de sera au plus égal à
Il résulte de là que après qu’on y a substitué, à la place
des leurs valeurs (2), est développable suivant les puissances
positives de
Soit alors
(4)
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|
ce développement ; il est clair que les divers développements (4)
que l’on peut ainsi obtenir ne diffèrent pas des développements
qui ont fait l’objet de ce Chapitre et que nous avons appris à
former dans les nos 204 à 207. Étudions, en particulier, les premiers
termes et
On trouvera
Les sont des constantes ; ces constantes sont elles-mêmes
des fonctions connues des et dans il faut y remplacer les par les puisque, pour le développement (2) de se
réduit à son premier terme, c’est-à-dire à
On trouvera d’autre part
où
(5)
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|
Les étant des fonctions connues des il en sera de même
de leurs dérivées et l’on devra y remplacer les par les
Quant à il s’obtient de la manière suivante.
Prenons dans tous les termes de la forme (3) où le dénominateur
contiendra le petit diviseur
à la puissance
Remplaçons dans le numérateur les par les et dans le
dénominateur remplaçons
(6)
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par
(7)
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ce terme deviendra
(8)
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où est ce que devient quand on y remplace les par les
Opérons de même pour tous les termes de qui contiennent
le petit diviseur (6) à la puissance et soit
la somme de tous les termes de la forme (8) ainsi obtenus.
Opérons encore de même sur toutes les fonctions ce qui nous donnera successivement
On aura alors
Si nous supposons maintenant que l’hypothèse (9) du no 204
soit satisfaite, nous devrons avoir
En combinant ces relations avec (5) et avec (7), on peut écrire
étant un coefficient facile à calculer, dépendant des entiers
et des dérivées
On en tire
(9)
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|
et l’on en conclut que le carré du second membre de l’équation (9),
qui doit comme ce second membre lui-même procéder suivant les
puissances décroissantes de se réduira à ses deux premiers termes
Il en résulte une série d’identités
qui, indépendamment même des applications en vue desquelles
ce Chapitre est écrit, sont des propriétés curieuses et inattendues
du développement (1).
Divergence des séries.
212.Les séries que nous avons obtenues dans ce Chapitre
sont divergentes au même titre que celles de MM. Newcomb et
Lindstedt.
Considérons en effet une des séries définies au no 204. Cette
série dépendra d’un certain nombre de constantes arbitraires.
Nous avons en premier lieu
Ces constantes sont liées entre elles par la relation
Supposons, comme dans les nos 205 et suivants,
nous avons vu que cela était toujours permis ; notre relation deviendra
Cette équation pourra être résolue par rapport à ce qui donnera
(1)
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de plus ces constantes sont liées à par la relation
Nous avons ensuite, outre
Nous avons enfin
Mais nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que
ces quantités sont liées entre elles par les relations (9) et (10) du no 204, ou mieux encore nous pouvons, sans restreindre la généralité,
supposer que toutes ces quantités et sont nulles.
Les constantes sont liées par certaines relations
aux arbitraires et Si l’on suppose donc que les et les
sont nulles, deviennent des fonctions entièrement
déterminées des et de
Il nous reste donc en tout arbitraires
et
puisque est lié aux autres par une relation.
Considérons maintenant les relations
(2)
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Les seconds membres sont des fonctions de
Résolvons alors les équations (2) par rapport à
il viendra
(3)
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Si les séries étaient convergentes, les et seraient des intégrales
des équations différentielles.
Voyons quelle en serait la forme.
Plaçons-nous d’abord dans le cas du no 204 et supposons par
conséquent que soit plus grand que le maximum de Il en
résulte que
seront des fonctions holomorphes de pour
toutes les valeurs réelles des et pour les valeurs de voisines
de celle que l’on considère.
Nous avons supposé dans ce qui précède que est une fonction
holomorphe des et des pour toutes les valeurs réelles des
et pour les valeurs des voisines des
De plus, la dérivée seconde de par rapport à ne sera pas
nulle en général, de sorte que sera une fonction holomorphe
des autres
Il résulte de tout cela que les seront des fonctions holomorphes
pour toutes les valeurs réelles des et pour les valeurs de
voisines de celles que l’on considère.
Soient donc
des valeurs de ces constantes voisines de celles que l’on considère.
Posons
Les deux membres des équations (2) vont être développables
suivant les puissances de
et suivant les sinus et cosinus des multiples des
Mais, avant d’appliquer le théorème du no 30 aux équations (2),
nous allons transformer l’une de ces équations. À cet effet, posons
Alors la première équation (2) devient
ou, en tenant compte des autres équations (2),
Or nous savons que sont nuls, ce qui veut dire que les différences
et par conséquent la différence
sont divisibles par Je puis donc poser
d’où
(4)
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|
Adjoignons à cette équation (4) les dernières équations (2).
Nous aurons ainsi un système de équations dont les
deux membres seront développables suivant les puissances de
et suivant les sinus et cosinus des multiples des
Pour ce système se réduit à
Il faut donc démontrer que, pour
le déterminant fonctionnel des et de par rapport
aux et à ne s’annule pas. Or ce déterminant se réduit à la
dérivée de par rapport à ou, si
à
Il n’est donc pas nul et le théorème du no 30 est applicable ; si
donc nos séries étaient convergentes, nos équations différentielles
admettraient intégrales et uniformes par rapport aux et
aux et périodiques par rapport aux Or cela est impossible.
Donc les séries divergent.
C.Q.F.D.
Le même résultat subsiste dans le cas de la libration ; pour s’en
convaincre, on n’a qu’à se rappeler qu’au no 206 nous avons
ramené nos équations, par un changement de variables convenable,
à la forme des équations du no 134. En raisonnant comme
au Chapitre XIII, on montrerait donc encore que la convergence
des séries entraînerait l’existence d’intégrales uniformes, contrairement
au théorème du Chapitre V.
Même dans le cas limite, les séries sont encore divergentes,
mais je ne pourrai le démontrer rigoureusement que plus loin.
On peut se demander par quel mécanisme, pour ainsi dire, les
termes de ces séries sont susceptibles de croître de façon à empêcher
la convergence.
Dans le cas particulier où il n’y a que deux degrés de liberté,
il ne s’introduit pas de petits diviseurs.
En effet, les équations que l’on a à intégrer sont alors de l’une
des deux formes
et les seuls diviseurs qui s’introduisent, et ne sont pas
très petits.
En revanche on a à effectuer des différentiations et, en différentiant
un terme contenant le cosinus ou le sinus de
on introduit en multiplicateur un des entiers qui peut être très grand.
Ce qui empêche la convergence, ce n’est donc pas la présence
de petits diviseurs s’introduisant par l’intégration, mais celle de
grands multiplicateurs s’introduisant par la différentiation.
On peut aussi présenter la chose d’une autre manière.
On a, dans le cas du no 125 et s’il n’y a que deux degrés de
liberté, de petits diviseurs de la forme
remplaçons-y et par des développements analogues aux
développements (2) du numéro précédent. Soit, par exemple,
Nos petits diviseurs deviendront
L’expression
peut se développer suivant les puissances de et l’on trouve
(5)
|
|
|
Aucun des termes de ce développement ne contient au dénominateur
un très petit diviseur ; car n’est jamais très petit.
Il est clair pourtant que, quelque petit que soit on pourra
trouver des nombres entiers et tels que
et tels par conséquent que le développement (5) diverge. On
s’explique donc comment, en substituant, comme je l’ai fait au
numéro précédent, à la place des moyens mouvements leurs
développements (2) et ordonnant ensuite suivant les puissances
de on arrive à des séries divergentes.
On rapprochera ce que je viens de dire de ce que j’ai dit
aux nos 109 et suivants.