Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.01

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1892 (1, p. 7-47).

CHAPITRE I.

GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

Généralités.

1.Avant d’aborder mon sujet principal, je suis obligé d’entrer dans certains détails préliminaires et de rappeler succinctement les principes fondamentaux des Vorlesungen über Dynamik de Jacobi et la théorie de Cauchy, relative à l’intégration des équations différentielles par les séries. Je vais donc consacrer ce premier Chapitre à l’exposition de la méthode de Jacobi, en me contentant le plus souvent d’énoncer des résultats dont la démonstration est bien connue.

Donnons d’abord quelques explications au sujet des notations et des dénominations qui seront employées dans tout ce Mémoire.

Les équations différentielles auxquelles nous aurons affaire seront de la forme suivante

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\mathrm {X} _{1},&{\frac {dx_{2}}{dt}}&=\mathrm {X} _{2},&&\dots ,&{\frac {dx_{n}}{dt}}&=\mathrm {X} _{n},\end{aligned}}$

$\mathrm {X} _{1},\,\mathrm {X} _{2},\,\dots ,\,\mathrm {X} _{n}$ étant des fonctions analytiques et uniformes des $n$ variables $x_{1},$ $x_{2},\,\dots ,$ $x_{n}$. Quant à la variable indépendante $t$, que nous considérerons comme représentant le temps, nous supposerons le plus souvent qu’elle n’entre pas explicitement dans les fonctions $\mathrm {X}$.

Le système (1) peut être considéré comme d’ordre $n$, puisqu’il équivaut à une équation différentielle unique d’ordre $n$ ; mais, si les fonctions $\mathrm {X}$ sont indépendantes de $t$, cet ordre peut être abaissé d’une unité. Il suffit pour cela d’éliminer le temps et d’écrire les équations (1) sous la forme

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\dots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}\cdot$

Afin d’éviter toute confusion, nous fixerons, ainsi qu’il suit, le sens des mots solution et intégrale.

Si les équations (1) sont satisfaites quand on fait

(2)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t),\end{aligned}}$

nous dirons que les équations (2) définissent une solution particulière des équations (1).

Si une certaine fonction de $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$,

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

demeure constante en vertu des équations (1), nous dirons que cette fonction $\mathrm {F}$ est une intégrale particulière du système (1).

Il est clair que la connaissance d’une intégrale permet d’abaisser d’une unité l’ordre du système.

Dans les problèmes de Dynamique, les équations (1) se présentent sous une forme plus particulière, connue sous le nom de forme hamiltonienne ou canonique.

Les variables se répartissent en deux séries ; nous désignerons habituellement par

$x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}$

les variables de la première série et par

$y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{p}$

celles de la seconde série, et les équations différentielles s’écriront

(3)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},&&(i=1,\,2,\dots ,\,p)\end{aligned}}$

$\mathrm {F}$ étant une fonction uniforme des $2p$ variables $x$ et $y$.

Ces équations admettent une intégrale particulière qui est la fonction $\mathrm {F}$ elle-même et qui est connue sous le nom d’intégrale des forces vives.

On dit que $x_{1},\ y_{1},\;x_{2},\ y_{2},\;\dots ,\;x_{p},\ y_{p}$ forment $p$ paires de variables conjuguées.

Nous dirons, à l’exemple des Anglais, que le système (3) comporte $p$ degrés de liberté. Ce système est d’ordre $2p\,;$ mais la connaissance de l’intégrale des forces vives permet d’abaisser cet ordre d’une unité ; le temps n’entrant pas explicitement dans les seconds membres des équations (3), nous pourrons, par l’élimination du temps, comme nous l’avons dit plus haut, abaisser encore l’ordre d’une unité, de sorte que finalement un système qui comporte $p$ degrés de liberté peut toujours être ramené à l’ordre $2p-2$.

On sait, par exemple, que s’il n’y a qu’un seul degré de liberté, le système peut être ramené à l’ordre 0, c’est-à-dire intégré complètement.

Exemples d’équations canoniques.

2.Le cas le plus simple des équations de la Dynamique est celui où l’on étudie le mouvement de $q$ points matériels libres dans l’espace. Soient $m_{1}$ la masse du premier de ces points, $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ ses coordonnées cartésiennes ; soient de même $m_{2}$ la masse du second de ces points, $x_{4},\,x_{5},\,x_{6}$ ses coordonnées, et ainsi de suite ; soient enfin $m_{q}$ la masse du q^ième point, $x_{3q-2},\,x_{3q-1}$ et $x_{3q}$ ses coordonnées.

Projetons la quantité de mouvement du point $m_{1}$ sur les trois axes : soient $y_{1},\,y_{2},\,y_{3}$ les trois projections ; soient de même $y_{4},\,y_{5},\,y_{6}$ les projections de la quantité de mouvement du point $m_{1},$ etc. ; soient enfin, $y_{3q-2},\,y_{3q-1},\,y_{3q}$ les projections de la quantité de mouvement du point $m_{q}.$

Soient $\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\mathrm {F} _{3}$ les composantes de la force qui agit sur $m_{1}$ ; soient $\mathrm {F} _{4},\,\mathrm {F} _{5},\,\mathrm {F} _{6}$ les composantes de la force qui agit sur $m_{2}$, etc. ; soient enfin $\mathrm {F} _{3q-2},\,\mathrm {F} _{3q-1},\,\mathrm {F} _{3q}$ les composantes de la force qui agit sur $m_{q}.$

Nous supposerons que les composantes $\mathrm {F}$ ne dépendent que des $3q$ coordonnées $x.$ S’il y a conservation de l’énergie, il existera une fonction $\mathrm {V}$ des coordonnées $x,$ dite fonction des forces et telle que

$\mathrm {F} _{i}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}\cdot$

La demi-force vive $\mathrm {T}$ aura pour expression

$\mathrm {T} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2m_{2}}}+\dots +{\frac {y_{3q-2}^{2}+y_{3q-1}^{2}+y_{3q}^{2}}{2m_{q}}},$

et l’équation des forces vives pourra s’écrire

$\mathrm {T} -\mathrm {V} =\mathrm {const.}$

Si je pose

$\mathrm {T} -\mathrm {V} =\mathrm {F} (x_{1},\;x_{2},\dots ,\;x_{3q}\,;\;y_{1},\;y_{2},\dots ,\;y_{3q}),$

les équations du mouvement s’écriront

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&&(i=1,\,2,\,\dots ,\,3q).\end{aligned}}$

Ainsi les équations du mouvement de $q$ points matériels libres comportent $3q$ degrés de liberté, toutes les fois que les forces ne dépendent que des positions de ces points dans l’espace, et qu’il y a conservation de l’énergie. En particulier, le Problème des trois Corps comportera 9 degrés de liberté. Nous verrons dans la suite que ce nombre peut être considérablement abaissé.

Si nos $q$ points matériels se meuvent tous dans un même plan, la position de chacun de ces points sera définie non plus par trois coordonnées, mais par deux seulement. Le nombre des degrés de liberté sera par conséquent réduit à $2q.$

Ainsi, lorsque les orbites des trois corps seront planes et situées toutes trois dans un même plan, le Problème des trois Corps (que nous appellerons alors Problème des trois Corps dans le plan) ne comportera plus que 6 degrés de liberté seulement.

Le cas où il n’y a qu’un degré de liberté étant immédiatement intégrable, nous nous attacherons surtout au cas qui se présente immédiatement après, c’est-à-dire au cas où il n’y a que 2 degrés de liberté. La plupart des résultats qui suivront ne s’appliqueront qu’à ce cas relativement simple.

Dans beaucoup de problèmes mécaniques, le nombre des degrés de liberté peut en effet être réduit à 2. C’est ce qui arrive, par exemple, quand on étudie le mouvement d’un point matériel libre dans un plan ou, plus généralement, le mouvement d’un point matériel assujetti à rester sur une surface, toutes les fois que la force ne dépend que de la position de ce point. Nous citerons entre autres le problème célèbre du corps mobile attiré par deux centres fixes, lorsque la vitesse initiale du point mobile est dans le plan des trois corps.

Mais il est un cas un peu plus compliqué et dont l’importance est plus grande pour ce qui va suivre.

Soient dans un plan deux axes rectangulaires mobiles Oξ et Oη animés d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’origine O. Soit $n$ la vitesse angulaire de ce mouvement de rotation. Soit P un point mobile se mouvant dans ce même plan, dont les coordonnées, par rapport à ces deux axes, s’appelleront $\xi$ et $\eta ,$ et dont la masse sera prise pour unité.

Soit $\mathrm {V}$ la fonction des forces dépendant seulement de $\xi$ et de $\eta ,$ de telle façon que les projections sur Oξ et Oη de la force qui agit sur le point P soient respectivement ${\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}$ et ${\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}\cdot$

Les équations du mouvement relatif du point P par rapport aux axes mobiles 0ξ et 0η s’écriront

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n{\frac {d\eta }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}+n^{2}\xi ,\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2n{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}+n^{2}\eta ,\end{aligned}}\right.$

d’où l’on déduit l’intégrale suivante, dite de Jacobi,

${\frac {1}{2}}\left[\left({\dfrac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {d\eta }{dt}}\right)^{2}\right]-\mathrm {V} -{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})=\mathrm {const.} ,$

qui n’est autre chose que l’intégrale des forces vives dans le mouvement relatif.

Je dis que ces équations peuvent être ramenées à la forme canonique, le nombre des degrés de liberté étant égal à 2.

Posons, en effet,

${\begin{array}{c}{\begin{array}{rcl}\xi =x_{1}&\quad &\eta =x_{2}\\{\dfrac {d\xi }{dt}}-n\eta =y_{1}&\quad &{\dfrac {d\eta }{dt}}+n\xi =y_{2},\\\end{array}}\\\mathrm {F} ={\dfrac {1}{2}}(y_{1}+nx_{2})^{2}+{\dfrac {1}{2}}(y_{2}-nx_{1})^{2}-\mathrm {V} -{\dfrac {n^{2}}{2\,\,}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}),\end{array}}$

les équations (2) deviendront

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}},\quad {\frac {dx_{2}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},\quad {\frac {dy_{1}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\quad {\frac {dy_{2}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

C. Q. F. D.

Un des cas particuliers du Problème des trois Corps rentre dans la question que nous venons de traiter.

Supposons que l’une des trois masses soit infiniment petite, de telle sorte que le mouvement des deux autres masses n’étant pas troublé reste képlérien. Tel serait, par exemple, le cas du mouvement d’une petite planète en présence de Jupiter et du Soleil.

Imaginons que l’excentricité des orbites des deux grandes masses soit nulle, de telle façon que ces deux masses décrivent d’un mouvement uniforme deux circonférences concentriques autour du centre de gravité commun supposé fixe.

Supposons enfin que, l’inclinaison des orbites étant nulle, la petite masse se meuve constamment dans le plan de ces deux circonférences.

Le centre de gravité du système, qui est le centre commun des deux circonférences, peut toujours être supposé fixe : nous le prendrons pour origine ; par cette origine nous ferons passer deux axes mobiles Oξ et Oη : l’axe Oξ sera la droite qui joint les deux grandes masses ; l’axe Oη sera perpendiculaire à 0ξ.

On voit :

1^o  Que ces deux axes sont animés d’un mouvement de rotation uniforme ;

2^o  Que les deux grandes masses sont fixes par rapport aux axes mobiles.

Nous avons donc à étudier le mouvement relatif d’un point mobile, par rapport à deux axes mobiles, sous l’attraction de deux centres, fixes par rapport à ces axes. Nous retombons donc sur la question que nous venons de traiter. Ainsi, dans ce cas particulier, les équations du Problème des trois Corps peuvent être ramenées à la forme canonique avec deux degrés de liberté seulement.

Passons maintenant à une équation que l’on rencontre souvent dans la théorie des perturbations et dont M. Gyldén fait un usage fréquent.

Soit

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,t)$

Cette équation peut aussi être ramenée à la forme canonique.

En effet, $f(x,t)$ peut toujours être regardée comme la dérivée par rapport à $x$ d’une certaine fonction $\varphi (x,t),$ de telle sorte que

$f={\frac {d\varphi }{dx}}\cdot$

Si maintenant nous posons

${\begin{array}{c}x=x_{1},\qquad {\dfrac {dx}{dt}}=y_{1},\qquad t=y_{2},\\\mathrm {F} ={\dfrac {y_{1}^{2}}{2}}-\varphi (x_{1},y_{2})-x_{2},\\\end{array}}$

l’équation (3) pourra être remplacée par les équations canoniques (3) du numéro précédent avec 2 degrés de liberté seulement. C. Q. F. D.

Je citerai encore un dernier exemple. Considérons un corps solide pesant, suspendu à un point fixe, et étudions les oscillations de ce corps. Pour définir complètement la position de ce corps, il faut se donner trois conditions ; il faut connaître en effet les trois angles d’Euler formés par un système d’axes invariablement liés au corps avec un système d’axes fixes.

Le problème comportera donc 3 degrés de liberté ; mais nous verrons plus loin que ce nombre peut être réduit à 2.

J’en ai dit assez pour faire voir combien de problèmes mécaniques se ramènent à l’intégration d’un système canonique comportant 2 degrés de liberté et pour faire comprendre l’importance de ces systèmes ; il est donc inutile de multiplier davantage les exemples.

Premier théorème de Jacobi.

3.Jacobi a montré que l’intégration des équations canoniques

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\quad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$

se ramène à l’intégration d’une équation aux dérivées partielles

(2)

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\;y_{1},y_{2},\dots ,y_{p})=h_{1},$

où $h_{1}$ est une constante arbitraire et où $y_{1},y_{2},\dots ,y_{p}$ sont supposées représenter les dérivées partielles de la fonction inconnue.

Soit, en effet,

$\mathrm {S} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\;h_{1},h_{2},\dots ,h_{p})$

une solution de l’équation (2) contenant, outre la constante $h_{1}$, $p-1$ constantes d’intégration

$h_{2},\;h_{3},\;\dots ,\;h_{p},$

de telle façon que l’on ait, quels que soient les $h$,

$\mathrm {F} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\;{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{1}}},{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{2}}},\dots ,{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{p}}}\right)=h_{1}.$

Jacobi a démontré que l’intégrale générale des équations (1) peut s’écrire

(3)

$\left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}=y_{i}&(i=1,\,2,\,\dots ,\,p),\\{\dfrac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}=h'_{i}&(i=2,\,3,\,\dots ,\,p),\\{\dfrac {d\mathrm {S} }{dh_{1}}}=t+h'_{1}.\end{array}}\right.$

Les $2p$ constantes d’intégration sont alors

${\begin{array}{llll}h_{1},&h_{2},&\dots ,&h_{p},\\h'_{1},&h'_{2},&\dots ,&h'_{p}.\\\end{array}}$

Un autre théorème dont nous aurons à faire usage est celui de Poisson.

Soient $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ deux fonctions quelconques des $x$ et des $y.$ Convenons d’écrire

$\left[\mathrm {U} ,\mathrm {V} \right]=\sum \limits _{i=1}^{i=p}\left({\frac {d\mathrm {U} }{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy_{i}}}-{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}\right).$

Soient maintenant $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ deux intégrales des équations (1).

On voit immédiatement qu’on exprimera que $\mathrm {F} _{1}$ est une intégrale des équations (1) en écrivant

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{1}\right]=0\,;$

$\mathrm {F} _{2}$ étant aussi une intégrale, on aura également

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{2}\right]=0.$

Poisson a démontré que l’expression $\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2}\right]$ est également une intégrale des équations (1). C’est ainsi que, dans le problème des $n$ corps, si l’on suppose que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ soient les premiers membres de la première et de la seconde équation des aires, $[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2}]$ sera le premier membre de la troisième équation des aires.

Deuxième théorème de Jacobi ; changements de variables.

4.Nous ne conserverons pas d’ordinaire comme variables indépendantes les coordonnées rectangulaires, et les composantes des quantités de mouvement. Nous en choisirons de mieux appropriées à notre objet, en nous efforçant toutefois de conserver aux équations la forme canonique.

Voyons donc comment on peut changer de variables sans altérer la forme canonique des équations (1).

Soit

$\mathrm {S} (y_{1},y_{2},\dots ,y_{p}\,;\;h_{1},h_{2},\dots ,h_{p})$

une fonction quelconque des $p$ variables $y$ et des $p$ variables nouvelles $h$.

Posons maintenant

(4)

$x_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},\quad h'_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}.$

Les équations (4) seront regardées comme définissant les relations qui lient les variables anciennes

${\begin{array}{llll}x_{1},&x_{2},&\dots ,&x_{q}\\y_{1},&y_{2},&\dots ,&y_{q}\\\end{array}}$

aux variables nouvelles

${\begin{array}{llll}h_{1},&h_{2},&\dots ,&h_{q}\\h'_{1},&h'_{2},&\dots ,&h'_{q}\\\end{array}}$

Jacobi a démontré que, si l’on fait ce changement de variables, les équations resteront canoniques, et cela quelle que soit la fonction $\mathrm {S}$.

Changements de variables remarquables.

5.Sauf un cas exceptionnel, tous les changements de variables qui n’altèrent pas la forme canonique peuvent être déduits du procédé du n^o 4. Il est cependant des cas où il est plus simple d’opérer autrement. Nous en allons donner deux exemples.

Supposons que l’on ait les équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

et que l’on fasse le changement de variables suivant

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}x_{i}&=\alpha _{1,i}x'_{1}&{}+{}&\alpha _{2,i}x'_{2}&{}+{}&\dots +\alpha _{n,i}x'_{n}\,,\\y_{i}&=\beta _{1,i}y'_{1}&{}+{}&\beta _{2,i}y'_{2}&{}+{}&\dots +\beta _{n,i}y'_{n}\,.\\\end{alignedat}}\right.$

Comment doit-on choisir les constantes α et β pour que les équations restent canoniques quand on prend comme variables nouvelles les $x'_{i}$ et les $y'_{i}$.

Si nous désignons par

$\delta x_{1},\;\delta x_{2},\;\dots ,\;\delta x_{n}\,;\;\delta y_{1},\;\delta y_{2},\;\dots ,\;\delta y_{n}$

des accroissements virtuels des $x$ et des $y$, que nous multipliions les équations (1) respectivement par $\delta y_{i}$ et $-\delta x_{i},$ et que nous ajoutions, il viendra

$\sum \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta y_{i}-{\frac {dy_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=\delta \mathrm {F} .$

Pour que les équations restent canoniques après la substitution (2), il faut donc et il suffit que l’on ait identiquement

(3)

$\sum \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta y_{i}-{\frac {dy_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=\sum \left({\frac {dx'_{i}}{dt}}\delta y'_{i}-{\frac {dy'_{i}}{dt}}\delta x'_{i}\right).$

Comme les $dx_{i}$ dépendent seulement des $dx'_{i}$ les $\delta y_{i}$ des $\delta y'_{i}$, les $dy_{i}$ des $dy'_{i}$, les $\delta x_{i}$ des $\delta x'_{i}$, on devra avoir identiquement

(4)

${\begin{aligned}\sum dx_{i}\,\delta y_{i}&=\sum dx'_{i}\,\delta y'_{i}\,,&\sum dy_{i}\,\delta x_{i}&=\sum dy'_{i}\,\delta x'_{i}\,.\end{aligned}}$

Les relations (2) étant linéaires, les $dx_{i}$ sont liés aux $dx'_{i}$, et les $\delta x_{i}$ aux $\delta x'_{i}$ par les mêmes relations qui lient les $x_{i}$ aux $x'_{i}$. De même pour les $dy_{i},$ $\delta y_{i},$ $y_{i},$ $dy'_{i},$ $\delta y'_{i},$ $y'_{i}$.

Les relations (4) subsisteront donc quand on y remplacera $dx_{i}$ et $\delta x_{i}$ par $x_{i},$ et $dy_{i}$ et $\delta y_{i}$ par $y_{i}$, $dx'_{i}$ et $\delta x'_{i}$ par $x'_{i}$, etc. On devra donc avoir

(5)

$\sum x_{i}y_{i}=\sum x'_{i}y'_{i}$

La réciproque est vraie et la relation (5) entraîne les relations (3) et (4).

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que les équations restent canoniques, c’est que l’on ait identiquement

$\textstyle \sum x_{i}y_{i}=\sum x'_{i}y'_{i}$

Quelle est maintenant la condition pour que ces équations restent canoniques et qu’en même temps on ait

$\alpha _{k,i}=\beta _{k,i}\;?$

Je dirai qu’un changement linéaire de variables, tel que (2), est orthogonal, si l’on a identiquement

$\textstyle \sum x_{i}^{2}=\sum x_{i}'^{2}\,,$

c’est-à-dire si l’on a

${\begin{aligned}\sum \limits _{i=1}^{i=n}\alpha _{ki}^{2}&=1\;,&\sum \limits _{i=1}^{i=n}\alpha _{ki}\alpha _{hi}&=0.\end{aligned}}$

Cette dénomination se justifie d’elle-même, puisque, dans le cas où le nombre des variables est 2 ou 3, et où l’on peut regarder les $x$ ou les $x'$ comme les coordonnées d’un point dans le plan ou dans l’espace, une pareille substitution n’est autre chose qu’un changement rectangulaire de coordonnées.

Cela posé, si l’on fait subir aux $x$ et aux $y$ une même substitution orthogonale, on aura

${\begin{array}{c}\sum x_{i}^{2}=\sum x_{i}'^{2},\qquad \sum y_{i}^{2}=\sum y_{i}'^{2},\\\sum (x_{i}+y_{i})^{2}=\sum (x'_{i}+y'_{i})^{2},\end{array}}$

d’où

$\textstyle \sum x_{i}y_{i}=\sum x'_{i}y'_{i}$

Les équations resteront donc canoniques.

6.Les équations resteront encore canoniques si l’on fait un changement de variables portant seulement sur $x_{i}$ et sur $y_{i}$, par exemple, et si l’on pose

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi (x'_{1},y'_{1}),&y_{1}&=\psi (x'_{1},y'_{1})\end{aligned}}$

et que l’on prenne pour variables nouvelles $x'_{1}$ et $y'_{1}$, au lieu de $x_{1}$ et de $y_{1}$ ; ces équations resteront canoniques, dis-je, pourvu que le déterminant fonctionnel, ou jacobien, de $x_{1}$ et $y_{1}$ par rapport à $x'_{1}$ et $y'_{1}$ soit égal à 1.

Ainsi, si l’on pose

${\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt {2\rho }}\cos \omega \,,&y_{1}&={\sqrt {2\rho }}\sin \omega \,,\end{aligned}}$

la forme canonique des équations ne sera pas altérée et les variables $\rho$ et $\omega$ seront conjuguées comme l’étaient $x_{1}$ et $y_{1}$.

7.Nous avons défini plus haut le changement de variables

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}&=x_{i}\,,&{\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}&=h'_{i}\,,\end{aligned}}$

qui n’altère pas la forme canonique des équations, quand $\mathrm {S}$ est une fonction quelconque des $y_{i}$ et des $h_{i}$.

Cette forme n’est pas altérée non plus si l’on permute les $x_{i}$ avec les $y_{i}$ et si l’on change en même temps $\mathrm {F}$ en $-\mathrm {F}$.

Si donc $\mathrm {S}$ est une fonction quelconque de

$x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{p};\quad h_{1},\;h_{2},\;\dots ,\;h_{p}$

et si l’on pose

${\begin{aligned}y_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}\,,\qquad h'_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}},\end{aligned}}$

la forme canonique des équations ne sera pas altérée quand on prendra pour variables nouvelles les $h_{i}$ et les $h'_{i}$, et qu’on changera en même temps $\mathrm {F}$ en $-\mathrm {F}$.

Elle ne sera pas altérée non plus si l’on change `

$y_{1},\;y_{2},\;\dots ,\;y_{n}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {F}$

en

$\lambda y_{1},\;\lambda y_{2},\;\dots ,\;\lambda y_{n}\quad \mathrm {et} \quad \lambda \mathrm {F} \,,$

$\lambda$ étant une constante quelconque.

Considérons donc encore une fonction $\mathrm {S}$ des $x_{i}$ et des $h_{i}$, et posons

${\begin{aligned}\lambda y_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}\,,\qquad h'_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}\,,\end{aligned}}$

la forme canonique ne sera pas altérée, si l’on prend pour variables nouvelles les $h_{i}$ et les $h'_{i},$ et qu’on change en même temps $\mathrm {F}$ en $-\lambda \mathrm {F} .$

Mouvement képlérien.

8.Appliquons les principes qui précèdent au mouvement képlérien.

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons toujours que les unités aient été choisies de telle sorte que l’attraction des deux unités de masse à l’unité de distance soit égale à l’unité de force ou, en d’autres termes, que la constante de Gauss soit égale à 1.

Considérons donc le mouvement d’une masse mobile sous l’action d’une masse fixe située à l’origine des coordonnées et égale à $\mathrm {M} .$ Soient $x_{1},x_{2},x_{3}$ les coordonnées de la masse mobile, et $y_{1},y_{2},y_{3}$ les composantes de la vitesse ; si nous posons

$\mathrm {F} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2}}-{\frac {2\mathrm {M} }{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}},$

les équations du mouvement s’écrivent

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}.\end{aligned}}$

D’après le n^o 3, l’intégration de ces équations est ramenée à celle de l’équation aux dérivées partielles

(2)

$\left({\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}}\right)^{2}\!+\left({\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}}\right)^{2}\!+\left({\frac {d\mathrm {S} }{dx_{3}}}\right)^{2}\!-{\frac {2\mathrm {M} }{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}=2h,$

où $h$ est une constante arbitraire. Posons

${\begin{aligned}x_{1}&=r\sin \omega \cos \varphi ,&x_{2}&=r\sin \omega \sin \varphi ,&x_{3}&=r\cos \omega \,;\end{aligned}}$

l’équation deviendra

$\left({\frac {d\mathrm {S} }{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\omega }}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {2\mathrm {M} }{r}}+2h.$

On peut satisfaire à cette équation en introduisant deux constantes arbitraires $\mathrm {G}$ et $\Theta ,$ et en faisant

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\Theta {\sqrt {\mathrm {M} }},\qquad \left({\dfrac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}+{\dfrac {\Theta ^{2}\mathrm {M} }{\sin ^{2}\omega }}=\mathrm {G} ^{2}\mathrm {M} ,\\\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dr}}\right)^{2}+{\dfrac {\mathrm {G} ^{2}\mathrm {M} }{r^{2}}}={\dfrac {2\mathrm {M} }{r}}+2h\;.\\\end{array}}\right.$

La fonction $\mathrm {S}$ ainsi définie dépendra de $r,$ $\omega ,$ $\varphi ,$ $\mathrm {G} ,$ $\Theta ,$ $h$ ou, ce qui revient au même, de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $\mathrm {G} ,$ $\Theta ,$ $h,$ et la solution générale des équations (1) s’écrira

${\begin{aligned}y_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},&h'+t&={\frac {d\mathrm {S} }{dh}},&g&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {G} }},&\theta &={\frac {d\mathrm {S} }{d\Theta }},\end{aligned}}$

$h',\,g$ et $\theta$ étant trois nouvelles constantes arbitraires. Si nous posons

${\begin{aligned}\mathrm {L} &={\sqrt {\frac {-\mathrm {M} }{2h}}},&h&=-{\frac {\mathrm {M} }{2\mathrm {L} ^{2}}},&n&={\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {L} ^{3}}},&l&=n(t+h'),\end{aligned}}$

nous pourrons écrire

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {L} }}={\frac {d\mathrm {S} }{dh}}{\frac {dh}{d\mathrm {L} }}=(h'+t){\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {L} ^{3}}}=n(h'+t)=l.$

Les constantes d’intégration sont alors au nombre de six, à savoir

$\mathrm {L} ,\quad \mathrm {G} ,\quad \Theta ,\quad h',\quad g,\quad \theta .$

Il est aisé d’apercevoir la signification de ces constantes et de les exprimer en fonctions de celles qui sont habituellement employées. Si $a,e$ et $i$ désignent le grand axe, l’excentricité et l’inclinaison, on a

${\begin{aligned}\mathrm {L} &={\sqrt {a}},&\mathrm {G} &={\sqrt {a(1-e^{2})}},&\Theta &=\mathrm {G} \cos i.\end{aligned}}$

D’autre part, $\theta$ est la longitude du nœud, $g+\theta$ celle du périhélie, $n$ est le moyen mouvement et $l$ n’est autre chose que l’anomalie moyenne.

Si la masse mobile, au lieu d’être soumise à l’attraction de la masse $\mathrm {M} ,$ était soumise à d’autres forces, nous pourrions néanmoins construire la fonction $\mathrm {S}$ et définir ensuite six variables nouvelles

(4)

$\left\{{\begin{array}{rrr}\mathrm {L} ,&\mathrm {G} ,&\Theta ,\\l,&g,&\theta ,\end{array}}\right.$

en fonction des $x_{i}$ et des $y_{i}$ par les équations

(5)

${\begin{aligned}y_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},&{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {L} }}&=l,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {G} }}&=g,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\Theta }}&=\theta \,;\end{aligned}}$

seulement $\mathrm {L} ,\,\mathrm {G} ,\,\Theta ,\,g$ et $\theta$ ne seraient plus des constantes.

Nous pouvons nous servir alors des six variables (4) pour définir la position et la vitesse de la masse mobile. Nous donnerons à ces variables (4) le nom de variables képlériennes. Il importe de remarquer que la définition de ces variables képlériennes dépend de l’origine à laquelle la masse mobile est rapportée et de la valeur choisie pour $\mathrm {M} .$

Si la masse mobile est une planète qui est soumise à l’action prépondérante de la masse $\mathrm {M}$ et à diverses forces perturbatrices, on voit que ces variables képlériennes ne sont autre chose que ce que les astronomes appellent les éléments osculateurs de cette planète.

Dans le cas particulier où l’orbite du corps $m_{1}$ est plane, on peut prendre, comme variables nouvelles,

${\begin{aligned}\mathrm {L} &={\sqrt {a}},&\mathrm {G} &={\sqrt {a(1-e^{2})}}\end{aligned}}$

avec l’anomalie moyenne $l$ et la longitude du périhélie $g.$ Les variables képlériennes ne sont plus alors qu’au nombre de 4.

Il importe de faire quelques remarques au sujet de l’emploi de ces variables képlériennes : remarquons d’abord que les variables anciennes

$x_{1},\quad x_{2},\quad x_{3}\,;\quad y_{1},\quad y_{2},\quad y_{3}$

et la situation du corps $m_{1}$ ne changent pas quand on augmente $l,$ $g$ ou $\theta$ de $2\pi ,$ sans toucher aux autres variables. Ces variables anciennes sont donc des fonctions périodiques de $l,$ $g$ et $\theta .$

En second lieu, on doit toujours avoir

$\mathrm {L} ^{2}\geq \mathrm {G} ^{2}\geq \Theta ^{2}$

Enfin, si $\mathrm {G} =\pm \Theta ,$ les variables anciennes et la situation du corps $m_{1}$ ne dépendent plus de $\theta \,;$ et, si $\mathrm {L} =\pm \mathrm {G} ,$ elles ne dépendent plus de $g.$

Cas particulier du Problème des trois Corps.

9.Revenons au cas particulier du Problème des trois Corps dont il a été question plus haut.

Deux masses égales, la première à $1-\mu ,$ la seconde à $\mu ,$ décrivent deux circonférences concentriques autour de leur centre de gravité commun supposé fixe. La distance constante de ces deux masses est prise pour unité de longueur, de telle façon que les rayons des deux circonférences soient respectivement $\mu$ et $1-\mu ,$ que le moyen mouvement soit égal à l’unité.

Supposons maintenant que dans le plan de ces deux circonférences se meuve une troisième masse, infiniment petite et attirée par les deux premières.

Nous prendrons pour origine O le centre commun des deux circonférences, et nous pourrons rapporter la position de la troisième masse, soit à deux axes rectangulaires fixes $\mathrm {O} x_{1}$ et $\mathrm {O} x_{2},$ soit à deux axes mobiles Oξ et Oη définis comme au n^o 2. Le moyen mouvement des deux premières masses étant égal à 1, nous pouvons supposer que l’angle de Oξ et de $\mathrm {O} x_{1}$ (c’est-à-dire la longitude de la masse $\mu$) est égal à $t.$

Comme la constante de Gauss est supposée égale à 1, la fonction des forces se réduit à

$\mathrm {V} ={\frac {m_{1}\mu }{r_{1}}}+{\frac {m_{1}(1-\mu )}{r_{2}}},$

en appelant $m_{1}$ la masse infiniment petite du troisième corps, $r_{1}$ la distance des deux corps $m_{1},\mu ,$ et $r_{2}$ la distance du corps $m_{1}$ au corps de masse $1-\mu ,$ de telle façon que

${\begin{aligned}r_{1}^{2}&=\eta ^{2}+(\xi +\mu -1)^{2}=\left[x_{2}-(1-\mu )\sin t\right]^{2}+\left[x_{1}-(1-\mu )\cos t\right]^{2},\\r_{2}^{2}&=\eta ^{2}+(\xi +\mu )^{2}=\left[x_{2}+\mu \sin t\right]^{2}+\left[x_{1}+\mu \cos t\right]^{2}.\end{aligned}}$

L’équation des forces vives s’écrit alors

${\frac {y_{1}^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{2m_{1}}}-\mathrm {V} =\mathrm {const.}$

Convenons d’appeler $-m_{1}\mathrm {R}$ le premier membre de cette équation, $\mathrm {R}$ sera une fonction de $x_{1},\,x_{2},$ de $y_{1},\,y_{2}$ et de $t,$ et les équations du mouvement s’écriront

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=-{\frac {d(m_{1}\mathrm {R} )}{dy_{1}}},&{\frac {dx_{2}}{dt}}&=-{\frac {d(m_{1}\mathrm {R} )}{dy_{2}}}\cdot \\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=\quad {\frac {d(m_{1}\mathrm {R} )}{dx_{1}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=\quad {\frac {d(m_{1}\mathrm {R} )}{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Remplaçons les variables $x_{1},y_{1},$ $x_{2},y_{2}$ par leurs valeurs en fonctions des variables képlériennes $\mathrm {L} ,\mathrm {G} ,l,g,$ ainsi qu’il a été dit dans le numéro précédent. $\mathrm {R}$ deviendra une fonction de $\mathrm {L} ,\mathrm {G} ,l,g$ et $t,$ et les équations du mouvement s’écriront

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dl}},&{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {L} }},\\{\frac {d\mathrm {G} }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dg}},&{\frac {dg}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {G} }}\cdot \end{aligned}}$

Ces équations seraient déjà de la forme canonique si $\mathrm {R}$ ne dépendait que des quatre variables képlériennes, mais $\mathrm {R}$ est aussi fonction de $t\,;$ il faut donc transformer ces équations, de façon que le temps n’y entre plus explicitement. Pour cela, voyons comment $\mathrm {R}$ dépend de $t.$

On voit aisément que $\mathrm {R}$ peut être regardée comme une fonction de $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {G} ,$ $l$et $g-t.$ Si, en effet, on augmente $g$ et $t$ d’une même quantité, sans toucher aux autres variables, on ne change ni $\xi ,$ ni $\eta ,$ ni $r_{1},$ ni $r_{2},$ ni $y_{1}^{2}+y_{2}^{2},$ ni par conséquent $\mathrm {R} .$

Il résulte de là que

${\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dg}}=0.$

Si alors nous posons

${\begin{array}{c}{\begin{aligned}x'_{1}&=\mathrm {L} ,&x'_{2}&=\mathrm {G} ,\\y'_{1}&=l,&y'_{2}&=g-t,\end{aligned}}\\\mathrm {F} '=\mathrm {R} +\mathrm {G} ,\\\end{array}}$

$\mathrm {F} '$ ne dépendra plus que de $x'_{1},\,x'_{2},\,y'_{1}$ et $y'_{2},$ et les équations du mouvement, qui s’écriront

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx'_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy'_{i}}},&{\frac {dy'_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx'_{i}}},\end{aligned}}$

seront canoniques.

C’est sous cette forme que nous écrirons ordinairement les équations de ce problème.

Lorsque la masse $\mu$ est supposée nulle, la masse $1-\mu$ devient égale à 1 et est ramenée à l’origine ; $r_{2}$ se réduit à $\textstyle {\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}},$ la fonction des forces $\mathrm {V}$ se réduit à ${\frac {m_{1}}{r_{2}}},$ et l’on trouve

$\mathrm {R} ={\frac {1}{2a}}={\frac {1}{2\mathrm {L} ^{2}}}={\frac {1}{2x_{1}'^{2}}}$

et

$\mathrm {F} '={\frac {1}{2x_{1}'^{2}}}+x'_{2}.$

Quand $\mu$ n’est pas nul, on voit immédiatement que $\mathrm {F} '$ peut se développer suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ ce qui nous permet d’écrire

$\mathrm {F} '=\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\dots$

On voit que

$\mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2x_{1}'^{2}}}+x'_{2}$

est indépendant de $y'_{1}$ et de $y'_{2}.$

De plus, $\mathrm {F} _{1}$ dépendra à la fois des quatre variables ; mais cette fonction sera périodique par rapport $y'_{1}$ et $y'_{2},$ et elle ne changera pas quand l’une de ces deux variables augmentera de $2\pi .$

Observons enfin que, si $x'_{1}=+x'_{2},$ l’excentricité est nulle et le mouvement direct, et que $\mathrm {F} _{1}$ ne dépend plus alors que de $x'_{1},$ $x'_{2}$ et $y'_{1}+y'_{2}.$

Au contraire, si $x'_{1}=-x'_{2},$ l’excentricité est nulle, mais le mouvement rétrograde, et $\mathrm {F} _{1}$ ne dépend plus que de $x'_{1},$ $x'_{2}$ et $y'_{1}-y'_{2}.$

Emploi des variables képlériennes.

10.Soient $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ les coordonnées rectangulaires d’un point ; $y_{1},$ $y_{2},$ $y_{3}$ les composantes de sa vitesse ; $m$ sa masse. Soit $\mathrm {V} m$ la fonction des forces, de sorte que les composantes de la force appliquée au point soient

$m{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}},\quad m{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}},\quad m{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{3}}}\cdot$

Si nous posons

$\mathrm {F} ={\tfrac {1}{2}}(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2})+\mathrm {V} ,$

les équations du mouvement du point prendront la forme canonique

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\qquad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$.

Nous avons défini au n^o 8 une certaine fonction

$\mathrm {S} (x_{1},x_{2},x_{3},\mathrm {G} ,\Theta ,\mathrm {L} ).$

Nous avons vu que, si l’on fait le changement de variables défini par les équations

${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}=y_{i}\;,\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {G} }}=g\;,\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{d\Theta }}=\theta \;,\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {L} }}=l\;,$

les variables nouvelles ne sont autre chose que les variables képlériennes que nous venons de définir.

En vertu du théorème du n^o 7, les équations conserveront la forme canonique et s’écriront

${\begin{array}{lclcl}{\dfrac {d\mathrm {L} }{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{dl}}\,,&\;&{\dfrac {d\mathrm {G} }{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{dg}}\,,&\;&{\dfrac {d\Theta }{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\theta }}\,,\\{\dfrac {dl}{dt}}=\quad {\dfrac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {L} }}\,,&\;&{\dfrac {dg}{dt}}=\quad {\dfrac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} }}\,,&\;&{\dfrac {d\theta }{dt}}=\quad {\dfrac {d\mathrm {F} }{d\Theta }}\,\cdot \\\end{array}}$

Il peut arriver que, la force restant constamment dans le plan des $x_{1}x_{2}$, il en soit de même du point mobile.

Dans ce cas on aura constamment

$\mathrm {G} =\Theta ,$

et la fonction $\mathrm {F}$ dépendra seulement de $\mathrm {G} ,\,\mathrm {L} ,\,l$ et de la longitude du périhélie $g+\theta =\varpi$ ; on aura

${\frac {d\mathrm {F} }{dg}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\theta }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}\cdot$

Nous poserons, pour conserver la symétrie,

$\mathrm {G} =\Theta =\Pi ,$

le nombre des variables képlériennes sera réduit de six, à quatre, à

savoir $\Pi ,$ $\mathrm {L} ,$ $\varpi$ et $l,$ et les équations deviennent

${\begin{aligned}{\dfrac {d\mathrm {L} }{dt}}&=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{dl}},&{\dfrac {d\Pi }{dt}}&=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\varpi }},\\{\dfrac {dl}{dt}}&=\quad {\dfrac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {L} }},&{\dfrac {d\varpi }{dt}}&=\quad {\dfrac {d\mathrm {F} }{d\Pi }}\cdot \\\end{aligned}}$

Cas général du Problème des trois Corps.

11.Venons au cas général du Problème des trois Corps : soient ABC le triangle formé par les trois corps ; $a,b,c$ les côtés de ce triangle ; $m_{1},m_{2},m_{3}$ les masses des trois corps.

La fonction des forces s’écrit alors

${\frac {m_{2}m_{3}}{a}}+{\frac {m_{3}m_{1}}{b}}+{\frac {m_{1}m_{2}}{c}}\cdot$

Nous appellerons la fonction des forces $\mathrm {V} \mu ,$ $\mu$ désignant une constante quelconque que nous nous réservons de déterminer plus complètement dans la suite.

Je supposerai que le centre de gravité du système des trois corps est fixe et j’appellerai D le centre de gravité du système des deux corps A et B.

Je considérerai deux systèmes d’axes mobiles :

Le premier système, toujours parallèle aux axes fixes, aura son origine en A.

Le second système, toujours parallèle aux axes fixes, aura son origine en D.

J’appellerai $x_{1},x_{2},x_{3}$ les coordonnées du point B par rapport aux premiers axes mobiles ; $x_{4},$ $x_{5}$ et $x_{6}$ les coordonnées du point C par rapport au second système d’axes mobiles.

La force vive totale aura alors pour expression

${\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left({\frac {dx_{1}^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dx_{2}^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dx_{3}^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {(m_{1}+m_{2})m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\left({\frac {dx_{4}^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dx_{5}^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dx_{6}^{2}}{dt^{2}}}\right)$

(voir Tisserand, Mécanique céleste, Chap. IV).

Si alors nous posons

${\begin{array}{c}\beta \mu ={\dfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\,,\qquad \beta '\mu ={\dfrac {(m_{1}+m_{2})m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\,,\\\mathrm {F} ={\dfrac {\mathrm {T} }{\mu }}-\mathrm {V} ={\dfrac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\dfrac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-\mathrm {V} \,,\\{\begin{array}{clclcl}\;&y_{1}=\beta \,{\dfrac {dx_{1}}{dt}}\,,&\;&y_{2}=\beta \,{\dfrac {dx_{2}}{dt}}\,,&\;&y_{3}=\beta \,{\dfrac {dx_{3}}{dt}}\,,\\\;&y_{4}=\beta '{\dfrac {dx_{4}}{dt}}\,,&\;&y_{5}=\beta '{\dfrac {dx_{5}}{dt}}\,,&\;&y_{6}=\beta '{\dfrac {dx_{6}}{dt}}\,,\\\end{array}}\end{array}}$

les équations prendront la forme canonique

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\qquad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}.$

Reprenons la fonction

$\mathrm {S} (x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\,;\;\mathrm {L} ,\,\mathrm {G} ,\,\Theta ),$

définie par les équations (4) du n^o 8.

Construisons-la d’abord en faisant

$\mathrm {M} =m_{1}+m_{2}$

Posons ensuite

(1)

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {L} }}=l\,,\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {G} }}=g\,,\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{d\Theta }}=\theta \,\cdot$

Construisons ensuite cette même fonction $\mathrm {S}$ en faisant

$\mathrm {M} =m_{1}+m_{2}+m_{3}\,;$

appelons

$\mathrm {S} '(x_{4},\,x_{5},\,x_{6}\,;\;\mathrm {L} ',\,\mathrm {G} ',\,\Theta '),$

la fonction ainsi construite et posons

(2)

${\frac {d\mathrm {S} '}{d\mathrm {L} '}}=l'\,,\qquad {\frac {d\mathrm {S} '}{d\mathrm {G} '}}=g'\,,\qquad {\frac {d\mathrm {S} '}{d\Theta '}}=\theta '\,\cdot$

Soit ensuite

$\Sigma =\beta \mathrm {S} +\beta '\mathrm {S} '$

Les dérivées de $\Sigma$ par rapport à $\mathrm {L} ,\,\mathrm {G} ,\,\Theta ,$ $\mathrm {L} ',\,\mathrm {G} ',\,\Theta '$ seront respectivement $\beta l,$ $\beta g,$ $\beta \theta \,;$ $\beta 'l',$ $\beta 'g',$ $\beta '\Theta '.$

Si nous posons de plus

(3)

$y_{i}={\frac {d\Sigma }{dx_{i}}},$

les équations (1), (2) et (3) définiront les douze variables anciennes $x$ et $y$ en fonctions de douze variables nouvelles, que je répartirai en deux séries de la manière suivante :

(4)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta \mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta ',\\l,&g,&\theta ,&l',&g',&\theta '.\end{array}}\right.$

Le théorème des n^os 4 et 7 montre alors que la forme canonique des équations n’est pas altérée.

Il est aisé de se rendre compte de la signification de ces variables nouvelles.

Tout se passe comme si deux masses, égales respectivement à $\beta \mu$ et à $\beta '\mu ',$ avaient pour coordonnées par rapport à des axes fixes, la première $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ la seconde $x_{4},$ $x_{5},$ $x_{6}$ et comme si ces deux masses fictives étaient soumises à des forces admettant la fonction des forces $\mathrm {V} \mu .$

Si alors, à un instant quelconque, les forces appliquées à la première masse fictive venaient à disparaître, et qu’elles soient remplacées par l’attraction d’une masse $m_{1}+m_{2}$ placée à l’origine, cette masse se mouvrait suivant les lois de Képler et les éléments de ce mouvement képlérien seraient $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {G} ,$ $\Theta ,$ $l,$ $g$ et $\theta .$

De même, si la seconde masse fictive n’était plus soumise qu’à l’attraction d’une masse fixe $m_{1}+m_{2}+m_{3}$ placée à l’origine, les éléments du mouvement képlérien qu’elle prendrait alors seraient $\mathrm {L} ',$ $\mathrm {G} ',$ $\Theta ',$ $l',$ $g'$ et $\theta '.$

Observons que $\mathrm {F}$ ne dépend pas seulement des variables (4), mais de $m_{1},$ $m_{2},$ $m_{3}$ et de $\mu .$

En général, $m_{2}$ et $m_{3}$ seront très petits, de sorte qu’on pourra poser

$m_{2}=\alpha _{2}\mu ,\qquad m_{3}=\alpha _{3}\mu ,$

en regardant $\mu$ comme petit, et conservant le plus souvent à $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},$ $\beta$ et $\beta '$ des valeurs finies ; $\mathrm {F} ,$ qui pourra alors être regardé comme une fonction des variables (4) de $m_{1},$ $\alpha _{2},$ $\alpha _{3}$ et de $\mu ,$ pourra alors avec avantage être développé suivant des puissances croissantes de $\mu$

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mathrm {F} _{1}\mu +\ldots$

Si l’on fait $\mu =0,$ il vient

${\begin{aligned}\mathrm {V} &={\frac {\alpha _{3}m_{1}}{b}}+{\frac {\alpha _{2}m_{1}}{c}},&\beta &=\alpha _{2},&\beta '&=\alpha _{3},\end{aligned}}$

et

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}={\frac {\beta ^{3}}{2(\beta \mathrm {L} )^{2}}}+{\frac {\beta '^{3}}{2(\beta '\mathrm {L} ')^{2}}}={\frac {\alpha _{2}^{3}}{2(\beta \mathrm {L} )^{2}}}+{\frac {\alpha _{3}^{3}}{2(\beta '\mathrm {L} ')^{2}}}\,;$

$\mathrm {F}$ ne dépend plus alors d’aucune des variables de la seconde série $l,$ $g,$ $\theta ,$ $l',$ $g',$ $\theta '\,;$ j’ajouterai que, quel que soit $\mu ,$ $\mathrm {F}$ est une fonction périodique de période $2\pi$ par rapport à ces variables de la seconde série.

Disons quelques mots de certains cas particuliers. Si les trois corps restent constamment dans le plan des $x_{1},\,x_{2},$ on aura $\mathrm {G} =\Theta ,$ $\mathrm {G} '=\Theta ',$ et $\mathrm {F}$ ne dépendra que de $g+\theta$ et $g'+\theta ',$ de sorte qu’on n’aura plus que quatre couples de variables conjuguées

${\begin{array}{cccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta \mathrm {G} =\beta \Theta =\beta \Pi ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta '\mathrm {G} '=\beta '\Theta '=\beta \Pi ',\\l,&g+\theta =\varpi ,&l',&g'+\theta '=\varpi '.\\\end{array}}$

ainsi qu’il a été dit au n^o 10.

12.Reprenons la notation du n^o 11 et les équations de ce numéro. Je vais mettre ces équations sous une forme nouvelle qui me sera utile dans la suite.

Considérons d’abord le cas particulier où les inclinaisons sont nulles et où les trois corps se meuvent dans un même plan.

Posons

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\beta \,\mathrm {L} &=\Lambda ,&\beta \,\Pi &=\Lambda \,-\mathrm {H} ,&l\,+\varpi &=\lambda ,&\varpi \,&=-h\,,\\\beta '\mathrm {L} '&=\Lambda ',&\beta '\Pi '&=\Lambda '-\mathrm {H} ',&l'+\varpi '&=\lambda ',&\varpi '&=-h'.\end{aligned}}\right.$

Il vient

${\begin{array}{c}{\dfrac {d\lambda }{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d(\beta \mathrm {L} )}}-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d(\beta \Pi )}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}{\dfrac {dh}{dt}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{d(\beta \Pi )}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {H} }}\,,\\{\dfrac {d\Lambda }{dt}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{dl}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\,,\qquad {\dfrac {d\mathrm {H} }{dt}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{dl}}-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}={\dfrac {d\mathrm {F} }{dh}}\,\cdot \\\end{array}}$

On voit ainsi que les nouvelles variables $\Lambda ,\,\mathrm {H} ,$ $\Lambda ',\,\mathrm {H} ',$ $\lambda ,\,h,$ $\lambda ',\,h'$ sont encore conjuguées et par conséquent que le changement de variables (1) n’altère pas la forme canonique des équations.

Venons maintenant au cas général et reprenons les notations du n^o 11.

Posons

(2)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{aligned}\beta \,\,\mathrm {L} \,\,&=\Lambda ,&\beta \,\,\mathrm {G} \,\,&=\Lambda \,\,-\mathrm {H} ,&\beta \,\,\Theta \,\,&=\Lambda \,\,-\mathrm {H} \,\,-\mathrm {Z} ,\\\beta '\mathrm {L} '&=\Lambda ',&\beta '\mathrm {G} '&=\Lambda '-\mathrm {H} ',&\beta '\Theta '&=\Lambda '-\mathrm {H} '-\mathrm {Z} ',\end{aligned}}\\{\begin{aligned}\lambda \,\,&=l\,\,+g\,\,+\theta ,&h\,\,&=-g\,\,-\theta ,&\zeta \,\,&=-\theta ,\\\lambda '&=l'+g'+\theta ',&h'&=-g'-\theta ',&\zeta '&=-\theta '.\end{aligned}}\end{array}}\right.$

On vérifierait, comme ci-dessus, que ce changement de variables (2) n’altère pas la forme canonique des équations.

Cette forme canonique ne sera pas altérée non plus, d’après la remarque du n^o 6, si nous faisons

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\sqrt {2\mathrm {H} }}\,\cos h\,\,&=\xi ,&{\sqrt {2\mathrm {H} }}\,\sin h\,\,&=\eta ,\\{\sqrt {2\mathrm {H} '}}\cos h'&=\xi ',&{\sqrt {2\mathrm {H} '}}\sin h'&=\eta ',\\{\sqrt {2\mathrm {Z} }}\,\cos \zeta \,\,&=p,&{\sqrt {2\mathrm {Z} }}\,\sin \zeta \,\,&=q,\\{\sqrt {2\mathrm {Z} '}}\cos \zeta '&=p'&{\sqrt {2\mathrm {Z} '}}\sin \zeta '&=q'.\\\end{aligned}}\right.$

Les équations restent canoniques et les deux séries de variables conjuguées sont les suivantes :

(4)

$\left\{{\begin{array}{llllll}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q'.\\\end{array}}\right.$

Voici quel avantage peut avoir le choix des variables (4)

La fonction $\mathrm {F} ,$ exprimée à l’aide de ces variables, est développable tant suivant les puissances de $\xi ,\,\xi ',$ $\eta ,\,\eta ',$ $p,\,p',$ $q,\,q'$ que suivant les cosinus et sinus des multiples de $\lambda$ et de $\lambda ',$ les coefficients dépendant d’ailleurs d’une manière quelconque de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

En effet, d’après les définitions des variables précédentes, on a

${\begin{aligned}\mathrm {H} &=\Lambda (1-{\sqrt {1-e^{2}}}),&\mathrm {Z} &=\beta \mathrm {G} (1-\cos i)\,;\end{aligned}}$

on déduit de là :

1^o Que $\mathrm {H}$ est développable suivant les puissances de $\textstyle e^{2},$ le premier terme du développement étant un terme en $\textstyle e^{2}\,;$

2^o Que $\textstyle e^{2}$ est développable suivant les puissances de $\mathrm {H} ,$ le premier terme étant en $\mathrm {H} \,;$

3^o Que ${\frac {e}{\sqrt {\mathrm {H} }}}$ est développable suivant les puissances de $\mathrm {H} \,;$

4^o Que de même $i^{2}$ est développable suivant les puissances de ${\frac {\mathrm {Z} }{\beta \mathrm {G} }}={\frac {\mathrm {Z} }{\Lambda -\mathrm {H} }}\cdot$

5^o Que ${\frac {i}{\sqrt {\mathrm {Z} }}}$ est développable suivant les puissances de ${\frac {\mathrm {Z} }{\Lambda -\mathrm {H} }}$ et par conséquent suivant les jouissances de $\mathrm {Z}$ et de $\mathrm {H} .$

Or on a

${\begin{aligned}{\frac {e}{\sqrt {\mathrm {H} }}}&={\frac {e\cos h{\sqrt {2}}}{\xi }}={\frac {e\sin h{\sqrt {2}}}{\eta }}\,,&{\frac {i}{\sqrt {\mathrm {Z} }}}&={\frac {i\cos \zeta {\sqrt {2}}}{p}}={\frac {i\sin \zeta {\sqrt {2}}}{q}}\,\cdot \end{aligned}}$

Donc $e\cos h,$ $e\sin h,$ $i\cos \zeta ,$ $i\sin \zeta$ sont développables suivant les puissances de $\xi ,$ $\eta ,$ $p$ et $q\,;$ de même $e'\cos h',$ $e'\sin h',$ $i'\cos \zeta ',$ $i'\sin \zeta '$ sont développables suivant les puissances de $\xi ',$ $\eta ',$ $p'$ et $q'.$

Mais la forme du développement de la fonction perturbatrice est bien connue.

Elle est développable suivant les puissances croissantes des excentricités et des inclinaisons et suivant les cosinus des multiples de $\lambda ,$ $\lambda ',$ $h,$ $h',$ $\zeta$ et $\zeta ',$ et un terme quelconque du développement est de la forme suivante (Tisserand, Mécanique céleste, t. I, p. 307)

$\mathrm {N} e^{\mu _{3}}e'^{\mu _{4}}i^{\mu _{5}}i'^{\mu _{6}}\cos(m_{1}\lambda +m_{2}\lambda '+m_{3}h+m_{4}h'+m_{5}\zeta +m_{6}\zeta ')\,,$

les $\mu _{i}$ étant des entiers positifs ou nuls et les $m_{i}$ des entiers quelconques. On a d’ailleurs

$\mu _{i}=|m_{i}|+\;$ un nombre pair

et, d’autre part,

$m_{1}+m_{2}=m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6}$

On peut conclure de là que la fonction perturbatrice est développable suivant les puissances de

${\begin{array}{llll}e\,\,\cos h\,,&\quad e\,\,\sin h\,,&\quad i\,\,\cos \zeta \,,&\quad i\,\,\sin \zeta \,,\\e'\cos h'\,,&\quad e'\sin h'\,,&\quad i'\cos \zeta '\,,&\quad i'\sin \zeta '\,,\end{array}}$

et, par conséquent, suivant les puissances de

(5)

$\xi ,\quad \xi ',\quad \eta ,\quad \eta ',\quad p,\quad p',\quad q,\quad q'\;.$

Je puis observer de plus que le développement de

${\frac {e\cos h}{\xi }},\quad {\frac {e\sin h}{\eta }},\quad {\frac {i\cos \zeta }{p}},\quad {\frac {i'\sin \zeta }{q}},\quad \ldots$

ne contient que des puissances paires des variables (5) ; j’en conclurai que le développement de $\mathrm {F}$ sera de la forme suivante

(6)

$\sum \mathrm {N} \xi ^{\mu _{3}}\eta ^{\nu _{3}}\xi '^{\mu _{4}}\eta '^{\nu _{4}}p^{\mu _{5}}q^{\nu _{5}}p'^{\mu _{6}}q'^{\nu _{6}}{\begin{array}{c}{\cos }\\{\sin }\end{array}}\left(m_{1}\lambda +m_{2}\lambda '\right)\,,$

$\mathrm {N}$ étant un coefficient qui dépend seulement de $\Lambda$ et $\Lambda '.$

Les nombres $\mu _{i},\,\nu _{i}$ sont des entiers positifs ou nuls, dont la somme

$\mu _{3}+\nu _{3}+\mu _{4}+\nu _{4}+\mu _{5}+\nu _{5}+\mu _{6}+\nu _{6}$

est égale à $|m_{1}+m_{2}|+\;$ un nombre pair positif ou nul.

J’ai laissé subsister dans l’expression (6) le double signe $\cos$ ou $\sin \,;$ on doit prendre le cosinus quand la somme

$\nu _{3}+\nu _{4}+\nu _{5}+\nu _{6}$

est paire, et le sinus dans le cas contraire.

Il résulte de là que la fonction $\mathrm {F}$ ne change pas quand on change à la fois le signe des $\lambda ,$ des $\eta$ et des $q\,;$ et qu’elle ne change pas non plus quand on change $\lambda$ et $\lambda '$ en $\lambda +\pi$ et $\lambda '+\pi ,$ et qu’en même temps l’on change les signes des $\xi ,$ des $\eta ,$ des $p$ et des $q.$

La fonction $\mathrm {F}$ jouit d’une autre propriété sur laquelle il est nécessaire d’attirer l’attention ; elle ne change pas quand on change à la fois le signe de $p,$ $q,$ $p'$ et $q'.$

Problème général de la Dynamique.

13.Nous sommes donc conduit à nous proposer le problème suivant :

Étudier les équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

en supposant que la fonction $\mathrm {F}$ peut se développer suivant les puissances d’un paramètre très petit $\mu$ de la manière suivante :

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,$

en supposant de plus que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que des $x$ et est indépendant des $y\,;$ et que $\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2},\dots$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi$ par rapport aux $y.$

Réduction des équations canoniques.

14.Nous avons vu que l’intégration des équations (1) du numéro précédent peut se ramener à l’intégration d’une équation aux dérivées partielles

(2)

$\mathrm {F} \left(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\,\dots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\right)=\mathrm {const.}$

Imaginons que l’on connaisse une intégrale des équations (1) et que cette intégrale s’écrive

$\mathrm {F} _{1}(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{p})=\mathrm {const.} \,;$

cela veut dire que l’on aura identiquement

(3)

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{1}\right]=0.$

Je me propose de démontrer que la connaissance de cette intégrale permet d’abaisser d’une unité le nombre des degrés de liberté.

En effet, l’équation (3) signifie qu’il existe une infinité de fonctions $\mathrm {S}$ satisfaisant à la fois à l’équation (2) et à l’équation

(4)

$\mathrm {F} _{1}\left(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\,\dots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\right)=\mathrm {const.}$

Cela posé, entre les équations (2) et (4) éliminons ${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},$ il viendra

(5)

$\Phi \left(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{3}}},\,\dots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\right)=0.$

Dans l’équation (5), ${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}}$ n’entre pas ; rien n’empêche alors de regarder $x_{1}$ non plus comme variable, mais comme un paramètre arbitraire ; l’équation (5) devient alors une équation aux dérivées partielles à $p-1$ variables indépendantes seulement.

Le problème se ramène ainsi à l’intégration des équations

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}&(i=2,\,3,\,\dots ,\,p),\end{aligned}}$

qui sont des équations canoniques ne comportant plus que $p-1$ degrés de liberté.

Ainsi, si, en général, on connaît une intégrale d’un système d’équations différentielles, on pourra abaisser l’ordre du système d’une unité ; mais, si ce système est canonique, on pourra en abaisser l’ordre de deux unités.

Prenons pour exemple le problème du mouvement d’un corps pesant suspendu à un point fixe ; nous avons vu que ce problème comporte 3 degrés de liberté ; mais on connaît une intégrale qui est celle des aires ; le nombre des degrés de liberté peut donc être abaissé à 2.

Qu’arrive-t-il maintenant lorsqu’on connaît, non plus une seule, mais $q$ intégrales des équations (1) ?

Soient

$\mathrm {F} _{1},\;\mathrm {F} _{2},\;\dots ,\;\mathrm {F} _{q}$

ces $q$ intégrales, de sorte que

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{1}\right]=\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{2}\right]=\dots =\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{q}\right]=0.$

Peut-on, à l’aide de ces intégrales, abaisser de $q$ unités le nombre des degrés de liberté ? Cela n’aura pas lieu en général ; il faut pour cela que les $q+1$ équations aux dérivées partielles

(6)

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{2}=\mathrm {const.} ,\quad \dots \quad \mathrm {F} _{q}=\mathrm {const.}$

soient compatibles ; ce qui exige les conditions

(7)

$\left[\mathrm {F} _{i},\mathrm {F} _{k}\right]=0\qquad (i,k=1,\,2,\,\dots ,\,q).$

Si les conditions (7) sont remplies, on éliminera entre les équations (6)

${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\quad \dots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{q}}}\,,$

et l’on arrivera à une équation aux dérivées partielles $\Phi =0,$ où ces $q$ dérivées n’entreront plus et que l’on pourra considérer comme dépendant seulement des $p-q$ variables indépendantes

$x_{q+1},\;x_{q+2},\;\dots ,\;x_{p},$

tandis que les $q$ premières variables

$x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{q}$

seront regardées comme des paramètres arbitraires.

On sera ainsi conduit à un système réduit d’équations canoniques ne comportant plus que $p-q$ degrés de liberté.

Reprenons, par exemple, le Problème des trois Corps en conservant les notations du commencement du n^o 2. Nous avons vu que le nombre des degrés de liberté est égal à 9.

Mais nous avons les trois premières intégrales du mouvement du centre de gravité qui peuvent s’écrire

(8)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}&=y_{1}+y_{4}+y_{7}=\mathrm {const.} ,\\\mathrm {F} _{2}&=y_{2}+y_{5}+y_{8}=\mathrm {const.} ,\\\mathrm {F} _{3}&=y_{3}+y_{6}+y_{9}=\mathrm {const.} \end{aligned}}\right.$

Il est aisé de vérifier que

$\left[\mathrm {F} _{2},\mathrm {F} _{3}\right]=\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{1}\right]=\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2}\right]=0.$

Le nombre des degrés de liberté peut donc être abaissé à 6.

Si l’on se borne au cas du Problème des trois Corps dans le plan, le nombre primitif des degrés de liberté n’est plus que de 6. Mais il n’y a plus que deux analogues à 8. Après la réduction, il y aura donc seulement 4 degrés de liberté.

Imaginons maintenant que l’on connaisse, outre les $q$ intégrales $\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2},\dots ,\mathrm {F} _{q},$ une autre intégrale $\mathrm {F} _{q+1}\,;$ pourra-t-on en déduire une intégrale du système réduit ? Cette question peut s’énoncer autrement.

On connaît une équation aux dérivées partielles

$\mathrm {F} _{q+1}=\mathrm {const.}$

compatible avec l’équation

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} \,;$

sera-t-elle encore compatible avec le système

(6)

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \dots ,\quad \mathrm {F} _{q}=\mathrm {const.} \;?$

On voit tout de suite que la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi, c’est que l’on ait

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{q+1}\right]=\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{q+1}\right]=\dots \left[\mathrm {F} _{q},\mathrm {F} _{q+1}\right]=0.$

Revenons, par exemple, au Problème des trois Corps et considérons les trois intégrales des aires

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{4}&=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5}+x_{8}y_{9}-x_{9}y_{8}=\mathrm {const.} ,\\\mathrm {F} _{5}&=x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}+x_{6}y_{4}-x_{4}y_{6}+x_{9}y_{7}-x_{7}y_{9}=\mathrm {const.} ,\\\mathrm {F} _{6}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{8}-x_{8}y_{7}=\mathrm {const.} \end{aligned}}\right.$

Il est aisé de vérifier que l’on a

${\begin{aligned}\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{4}\right]&=0,&\left[\mathrm {F} _{2},\mathrm {F} _{4}\right]&=+\mathrm {F} _{3},&\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{4}\right]&=-\mathrm {F} _{2},\\\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{5}\right]&=-\mathrm {F} _{3},&\left[\mathrm {F} _{2},\mathrm {F} _{5}\right]&=0,&\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{5}\right]&=+\mathrm {F} _{1},\\\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{6}\right]&=+\mathrm {F} _{2},&\left[\mathrm {F} _{2},\mathrm {F} _{6}\right]&=-\mathrm {F} _{1},&\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{6}\right]&=0.\end{aligned}}$

On ne diminue pas la généralité du problème en supposant que le centre de gravité est fixe, c’est-à-dire que les constantes qui entrent dans les derniers membres des équations (8) sont toutes trois nulles.

On aura alors

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {F} _{2}=\mathrm {F} _{3}=0$

et, par conséquent,

$\left[\mathrm {F} _{i},\mathrm {F} _{k}\right]=0\qquad (i=1,\,2,\,3\,;\;k=4,\,5,\,6),$

ce qui montre que les intégrales des aires sont encore des intégrales du système réduit.

Pour terminer, je vais chercher à réduire autant que possible le nombre des degrés de liberté dans le Problème des trois Corps, en tenant compte à la fois des intégrales du centre de gravité et de celles des aires.

Dans le cas particulier où les trois corps se meuvent dans un plan, nous avons vu que le nombre des degrés de liberté pouvait être ramené à 4, en tenant compte des équations (8). Le problème ainsi réduit comporte encore une intégrale qui est celle des aires, ce qui permet de réduire à 3 le nombre des degrés de liberté.

Dans le cas général, il est aisé de voir que l’on a

${\begin{aligned}\left[\mathrm {F} _{4},\mathrm {F} _{5}\right]&=\mathrm {F} _{6},&\left[\mathrm {F} _{5},\mathrm {F} _{6}\right]&=\mathrm {F} _{4},&\left[\mathrm {F} _{6},\mathrm {F} _{4}\right]&=\mathrm {F} _{5}.\end{aligned}}$

Les trois crochets n’étant pas nuls, la connaissance des trois intégrales des aires ne permet pas de réduire de 3 le nombre des degrés de liberté.

Mais il est aisé de voir que toutes les fois qu’un système canonique admettra trois intégrales

$\mathrm {F} _{4},\quad \mathrm {F} _{5},\quad \mathrm {F} _{6},$

il sera toujours possible de trouver deux combinaisons de ces intégrales

${\begin{aligned}\varphi &(\mathrm {F} _{4},\mathrm {F} _{5},\mathrm {F} _{6}),\\\psi &(\mathrm {F} _{4},\mathrm {F} _{5},\mathrm {F} _{6}),\end{aligned}}$

telles que

$\left[\varphi ,\psi \right]=0.$

ce qui permettra de réduire de deux unités le nombre des degrés de liberté.

Dans le cas qui nous occupe, ces combinaisons s’aperçoivent immédiatement ; il suffira de prendre $\mathrm {F} _{4}$ et

$\varphi =\mathrm {F} _{4}^{2}+\mathrm {F} _{5}^{2}+\mathrm {F} _{6}^{2}$

On aura alors identiquement

$\left[\varphi ,\mathrm {F} _{4}\right]=0.$

Il n’y aura plus ainsi, toute réduction faite, que 4 degrés de liberté.

Si l’on se rappelle qu’un système canonique comportant $p$ degrés de liberté peut être ramené à l’ordre $2p-2,$ on devra conclure que le Problème des trois Corps dans le cas général comporte 4 degrés de liberté et peut être ramené au sixième ordre.

Dans le cas du mouvement plan, il comporte 3 degrés de liberté et peut être ramené au quatrième ordre.

Dans le cas particulier du n^o 9, il comporte 2 degrés de liberté, et peut être ramené au second ordre.

Réduction du Problème des trois Corps.

15.Il s’agit de faire effectivement cette réduction.

Envisageons d’abord le cas où les trois corps se meuvent dans un même plan. Nous avons vu que le nombre des degrés de liberté pouvait alors être réduit à 3. Cherchons à opérer effectivement cette réduction.

Nous avons vu que les équations du mouvement pouvaient s’écrire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dl}},&{\frac {d\Pi }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\varpi }},&{\frac {d\mathrm {L} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dl'}},&{\frac {d\Pi '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\varpi '}},\\{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {d\varpi }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Pi }},&{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {L} '}},&{\frac {d\varpi '}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Pi '}}\cdot \end{aligned}}$

On a d’ailleurs

${\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}+{\frac {d\mathrm {F} '}{d\varpi '}}=0,$

d’où l’intégrale des aires

$\beta \Pi +\beta '\Pi '=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante.

Posons

${\begin{aligned}\beta \Pi &=\mathrm {H} ,&\beta '\Pi '&=\mathrm {C} -\mathrm {H} ,&\varpi -\varpi '=h,\end{aligned}}$

d’où (si l’on remplace $\Pi$ et $\Pi '$ par leurs valeurs en fonction de $\mathrm {C}$ et de $\mathrm {H}$)

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {H} }}&={\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Pi }}-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Pi '}},&{\frac {d\mathrm {F} }{dh}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi '}},\end{aligned}}$

et les équations du mouvement deviendront

${\begin{aligned}{\frac {d(\beta \mathrm {L} )}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dl}},&{\frac {d(\beta '\mathrm {L} ')}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dl'}},&{\frac {d\mathrm {H} }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dh}},\\{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d(\beta \mathrm {L} )}},&{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d(\beta '\mathrm {L} ')}},&{\frac {dh}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {H} }}\cdot \end{aligned}}$

Il n’y a plus que 3 degrés de liberté.

16.Passons au cas général où le nombre des degrés de liberté doit être réduit à 4. Les équations s’écrivent alors

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dl}},&{\frac {d\mathrm {G} \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dg}},&{\frac {d\Theta \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\theta }},\\{\frac {d\mathrm {L} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dl'}},&{\frac {d\mathrm {G} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dg'}},&{\frac {d\Theta '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\theta '}},\\{\frac {dl\,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {dg\,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {G} }},&{\frac {d\theta \,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Theta }},\\{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {L} '}},&{\frac {dg'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {G} '}},&{\frac {d\theta '}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Theta '}}\cdot \end{aligned}}$

On a d’ailleurs les trois intégrales des aires qui, si l’on prend comme premier plan de coordonnées le plan du maximum des aires, s’écrivent

${\begin{array}{rl}\beta \Theta +\beta '\Theta '&=\!\!\!\!\mathrm {C} ,\qquad \theta =\theta '\\\beta ^{2}(\mathrm {G} ^{2}-\Theta ^{2})&=\!\!\!\!\beta '^{2}(\mathrm {G} '^{2}-\Theta '^{2})\\\end{array}}$

On a d’ailleurs

${\frac {d\mathrm {F} }{d\theta }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\theta '}}=0,$

ce qui montre que $\mathrm {F}$ ne dépend de $\theta$ et de $\theta '$ que par leur différence $\theta -\theta '\,;$ mais, comme cette différence est nulle, en vertu des intégrales des aires, $\mathrm {F}$ peut être regardée comme ne dépendant plus ni de $\theta$ ni de $\theta '.$

On trouve également

$\theta =\theta ',$

d’où

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d\theta '}{dt}},$

d’où

(2)

${\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Theta }}={\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Theta '}}\,\cdot$

Posons maintenant

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}\mathrm {G} =\Gamma ,\qquad \mathrm {G} '=\Gamma ',\\\qquad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \\\beta \Theta +\beta '\Theta '=\mathrm {C} ,\qquad \beta ^{2}\Gamma ^{2}-\beta '^{2}\Gamma '^{2}=\mathrm {C} (\beta \Theta -\beta '\Theta ')\\\end{array}}\right.$

et

(4)

${\begin{aligned}\beta \Theta &={\frac {\mathrm {C} }{2}}+{\frac {\beta ^{2}\Gamma ^{2}}{2\mathrm {C} }}-{\frac {\beta '^{2}\Gamma '^{2}}{2\mathrm {C} }},&\beta '\Theta '&={\frac {\mathrm {C} }{2}}+{\frac {\beta '^{2}\Gamma '^{2}}{2\mathrm {C} }}-{\frac {\beta ^{2}\Gamma ^{2}}{2\mathrm {C} }},\end{aligned}}$

d’où

${\frac {d\mathrm {F} }{d\Gamma }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} }}{\frac {d\mathrm {G} }{d\Gamma }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Theta }}{\frac {d\Theta }{d\Gamma }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Theta '}}{\frac {d\Theta '}{d\Gamma }}$

ou

${\frac {d\mathrm {F} }{d\Gamma }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Theta }}{\frac {\beta \Gamma }{\mathrm {C} }}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Theta '}}{\frac {\beta ^{2}\Gamma }{\beta '\mathrm {C} }}$

ou enfin, en vertu de l’équation (2),

${\frac {d\mathrm {F} }{d\Gamma }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} }}$

et de même

${\frac {d\mathrm {F} }{d\Gamma '}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} '}}.$

La constante des aires $\mathrm {C}$ peut être regardée comme une donnée de la question.

Si donc dans $\mathrm {F}$ on remplace $\mathrm {G} ,$ $\mathrm {G} ',$ $\Theta$ et $\Theta '$ par leurs valeurs (3) et (4), $\mathrm {F}$ ne dépend plus que de $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {L} ',$ $l,$ $l',$ $g,$ g$',$ $\Gamma$ et $\Gamma ',$ et les équations du mouvement peuvent s’écrire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dl}},&{\frac {d\Gamma }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dg}},&{\frac {d\mathrm {L} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dl'}},&{\frac {d\Gamma '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dg'}},\\{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {dg}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Gamma }},&{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {L} '}},&{\frac {dg'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Gamma '}},\end{aligned}}$

et il n’y a plus que 4 degrés de liberté.

Forme de la fonction perturbatrice.

17.Il importe de voir quelle est la forme de la fonction $\mathrm {F}$ quand on adopte les variables des deux numéros précédents.

Supposons d’abord que l’on prenne les variables du n^o 15 et que les trois corps se meuvent dans un même plan ; la fonction $\mathrm {F}$ ne dépendant que des distances des trois corps sera développable suivant les cosinus et les sinus des multiples de $l-l'+h\,;$ les coefficients de ce développement seront eux-mêmes développables suivant les puissances croissantes de

$e\cos l,\quad e\sin l,\quad e'\cos l',\quad e'\sin l'$

en désignant par $e$ et $e'$ les excentricités ; enfin les coefficients de ces nouveaux développements seront eux-mêmes des fonctions uniformes de $\mathrm {L}$ et de $\mathrm {L} '.$

Je poserai, pour abréger,

$\beta \mathrm {L} =\Lambda ,\qquad \beta '\mathrm {L} '=\Lambda '\,;$

il vient alors, d’après la définition de $\mathrm {H} ,$

${\begin{aligned}e&={\frac {1}{\Lambda }}{\sqrt {\Lambda ^{2}-\mathrm {H} ^{2}}},&e'&={\frac {1}{\Lambda '}}{\sqrt {\Lambda '^{2}-(\mathrm {H} -\mathrm {C} )^{2}}}\,.\end{aligned}}$

Ajoutons que $\mathrm {F}$ ne change pas quand $l,l'$ et $h$ changent de signe ; par conséquent, si l’on développe $\mathrm {F}$ suivant les cosinus et les sinus des multiples de ces trois variables, le développement ne pourra contenir que des cosinus.

On aura donc finalement

$\mathrm {F} =\sum \mathrm {A} (\Lambda ^{2}-\mathrm {H} ^{2})^{\frac {p}{2}}\left[\Lambda '^{2}-(\mathrm {H} -\mathrm {C} )^{2}\right]^{\frac {q}{2}}\cos(m_{1}l+m_{2}l'+m_{3}h),$

$p$ et $q$ sont des entiers positifs, $m_{1},m_{2}$ et $m_{3}$ des entiers quelconques, $\mathrm {A}$ est un coefficient qui ne dépend que de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$ De plus $|m_{3}-m_{1}|$ est au plus égal à $p$ et n’en peut différer que d’un nombre pair ; de même, $|m_{3}+m_{2}|$ est au plus égal à $q$ et n’en peut différer que d’un nombre pair.

Un pareil développement est valable quand $\Lambda -\mathrm {H}$ et $\Lambda '-(\mathrm {C} -\mathrm {H} )$ sont suffisamment petits ; on voit que pour

$\Lambda =\mathrm {H}$

tous les termes s’annulent, sauf ceux pour lesquels $m_{3}=m_{1}.$

De même, si l’on a

$\Lambda '=\mathrm {C} -\mathrm {H} ,$

tous les termes s’annulent, sauf ceux pour lesquels $m_{3}=-m_{2}.$

Par conséquent, si l’on a à la fois

$\Lambda =\mathrm {H} ,\qquad \Lambda '=\mathrm {C} -\mathrm {H} ,$

tous les termes s’annuleront, sauf ceux pour lesquels

$m_{3}=m_{1}=-m_{2}$

de sorte que $\mathrm {F}$ devient une fonction de $l-l'+h.$

Si, dans un des termes du développement de $\mathrm {F} ,$ on fait

$\Lambda =-\mathrm {H} ,\qquad \Lambda '=\mathrm {H} -\mathrm {C} ,$

ce terme s’annulera encore, à moins que

$m_{3}=m_{1}=-m_{2}\,.$

. On pourrait être tenté de conclure que, pour

$\Lambda =-\mathrm {H} ,\qquad \Lambda '=\mathrm {H} -\mathrm {C} ,$

$\mathrm {F}$ est encore une fonction de $l-l'+h\,;$ il n’en est rien, car le développement n’est valable que pour les petites valeurs de $\Lambda -\mathrm {H}$ et $\Lambda '-\mathrm {C} +\mathrm {H} .$ Un raisonnement analogue à celui qui précède prouve, au contraire, que pour $\Lambda =-\mathrm {H} ,$ $\Lambda '=\mathrm {H} -\mathrm {C} ,$ $\mathrm {F}$ est fonction de $l-l'-h$ et non pas de $l-l'+h.$

Dans le cas où la valeur de $\Lambda -\mathrm {H}$ est extrêmement petite, il peut être avantageux de faire un changement de variables particulier.

On a identiquement

$\Lambda l+\mathrm {H} h=\Lambda (l+h)-h(\Lambda -\mathrm {H} )\,;$

la forme canonique, en vertu du n^o 5, n’est donc pas altérée quand on remplace les variables

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {H} ,\\l,&l',&h\;\\\end{array}}$

par les suivantes

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\Lambda -\mathrm {H} ,\\l+h,&l',&-h\;\\\end{array}}$

Posons maintenant

${\begin{aligned}l+h&=\lambda ^{\star },&{\sqrt {2(\Lambda -\mathrm {H} )}}\cos h&=\xi ^{\star },&-{\sqrt {2(\Lambda -\mathrm {H} )}}\sin h&=\eta ^{\star }\,;\end{aligned}}$

en vertu du n^o 6 la forme canonique des équations subsiste, quand on prend pour variables

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ^{\star },\\\lambda ^{\star },&l',&\eta ^{\star },\\\end{array}}$

On a l’avantage que la fonction $\mathrm {F} ,$ qui reste périodique en $\lambda ^{\star }$ et en $l',$ est développable suivant les puissances de $\xi ^{\star }$ et $\eta ^{\star }$ quand ces deux variables sont assez petites.

18.Prenons maintenant les variables du n^o 16, c’est-à-dire

${\begin{aligned}\beta \mathrm {L} &=\Lambda ,&\beta '\mathrm {L} '&=\Lambda ',&\beta \Gamma &=\mathrm {H} ,&\beta '\Gamma '&=\mathrm {H} ',\\l&,&l'&,&g&,&g'&.\\\end{aligned}}$

Les variables $\mathrm {H}$ et $\mathrm {H} '$ sont manifestement assujetties à certaines inégalités ; on a

$\mathrm {H} =\Lambda {\sqrt {1-e^{2}}}$

d’où

(1)

$\Lambda ^{2}>\mathrm {H} ^{2}$

De même

(2)

$\Lambda '^{2}>\mathrm {H} '^{2}$

On a, d’autre part, en vertu de l’équation des aires,

${\begin{aligned}\mathrm {H} \cos i+\mathrm {H} '\cos i'&=\mathrm {C} ,&\mathrm {H} \sin i+\mathrm {H} '\sin i'&=0,\end{aligned}}$

$\mathrm {C}$ étant la constante des aires qui doit être regardée comme une des données de la question. On en déduit les inégalités

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}|\mathrm {H} |+|\mathrm {H} '|>|\mathrm {C} |\\|\mathrm {H} |-|\mathrm {H} '|<|\mathrm {C} |\\\end{array}}\right.$

Voyons maintenant comment la fonction $\mathrm {F}$ dépend de nos variables.

Pour les valeurs de $\mathrm {H}$ voisines de $\Lambda ,$ la fonction $\mathrm {F}$ n’est plus holomorphe par rapport à $\mathrm {H} \,;$ elle n’est plus développable suivant les puissances entières de $\Lambda -\mathrm {H} ,$ mais suivant celles de ${\sqrt {\Lambda -\mathrm {H} }}.$

On peut alors employer avec avantage les variables suivantes. Posons

${\begin{aligned}l+g&=\lambda ^{\star },&{\sqrt {2(\Lambda -\mathrm {H} )}}\cos g&=\xi ^{\star },&{\sqrt {2(\Lambda -\mathrm {H} )}}\sin g&=\eta ^{\star }.\end{aligned}}$

les équations conserveront la forme canonique, si l’on prend comme variables indépendantes

${\begin{array}{rrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ^{\star },&\mathrm {H} ',\\\lambda ^{\star },&l',&\eta ^{\star },&g'\,;\\\end{array}}$

de plus, la fonction $\mathrm {F}$ sera alors développable suivant les puissances entières de $\xi ^{\star }$ et de $\eta ^{\star }.$

On opérerait d’une manière analogue si l’on avait à envisager des valeurs de $\mathrm {H} '$ très voisines de $\Lambda '.$

Qu’arrivera-t-il maintenant si les valeurs de $\mathrm {H}$ et de $\mathrm {H} '$ sont très voisines des limites que leur assignent les inégalités (3), c’est-à-dire si les inclinaisons sont petites ou nulles ?

Supposons, par exemple, que $\mathrm {H} +\mathrm {H} '=\mathrm {C} .$

Nous avons vu, au n^o 12, que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances croissantes des variables $\xi ,$ $\xi ',$ $\eta ,$ $\eta ',$ $p,$ $p',$ $q,$ $q'$ de ces paragraphes ; c’est-à-dire suivant les puissances croissantes de

${\sqrt {\beta \mathrm {L} -\beta \mathrm {G} }},\quad {\sqrt {\beta '\mathrm {L} '-\beta '\mathrm {G} '}},\quad {\sqrt {\beta \mathrm {G} -\beta \Theta }},\quad {\sqrt {\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta '}},$

si les inclinaisons sont nulles ; on a

$\mathrm {G} =\Theta ,\qquad \mathrm {G} =\Theta '$

et les deux derniers radicaux s’annulent, mais il n’en est pas de même des deux premiers ; la fonction $\mathrm {F}$ est alors holomorphe en $\mathrm {G} ,$ $\mathrm {G} ',$ ${\sqrt {\beta \mathrm {G} -\beta \Theta }},$ ${\sqrt {\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta '}}.$

Mais nous avons vu au n^o 12 que $\mathrm {F}$ ne change pas quand $p,$ $p',$ $q,$ $q'$ changent de signe à la fois, ou, ce qui revient au même, quand les deux radicaux ${\sqrt {\beta \mathrm {G} -\beta \Theta }}$ et ${\sqrt {\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta '}}$ changent de signe à la fois.

Donc, pour les valeurs très petites ou nulles des inclinaisons, $\mathrm {F}$ est holomorphe par rapport à $\mathrm {G}$ et à $\mathrm {G} '$ d’une part, et par rapport à ${\sqrt {(\beta \mathrm {G} -\beta \Theta )(\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta ')}}$ d’autre part.

Mais nous avons

${\begin{aligned}\mathrm {G} &={\frac {\mathrm {\mathrm {H} } }{\beta }},&\mathrm {G} '&={\frac {\mathrm {H} '}{\beta '}},&\Theta &={\frac {1}{2\beta }}\left(\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {H} ^{2}-\mathrm {H} '^{2}}{\mathrm {C} }}\right),&\Theta '&={\frac {1}{2\beta '}}\left(\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {H} '^{2}-\mathrm {H} ^{2}}{\mathrm {C} }}\right),\end{aligned}}$

d’où

${\sqrt {(\beta \mathrm {G} -\beta \Theta )(\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta ')}}={\frac {1}{2\mathrm {C} }}{\sqrt {\left[(\mathrm {H} -\mathrm {C} )^{2}-\mathrm {H} '^{2}\right]\left[(\mathrm {H} '-\mathrm {C} )^{2}-\mathrm {H} ^{2}\right]}}$

ou

${\sqrt {(\beta \mathrm {G} -\beta \Theta )(\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta ')}}={\frac {\mathrm {H} +\mathrm {H} '-\mathrm {C} }{2\mathrm {C} }}{\sqrt {(\mathrm {H} -\mathrm {C} -\mathrm {H} ')(\mathrm {H} '-\mathrm {C} -\mathrm {H} )}}.$

Ces égalités montrent que

$\mathrm {G} ,\quad \mathrm {G} ',\quad {\sqrt {(\beta \mathrm {G} -\beta \Theta )(\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta ')}}$

et, par conséquent, $\mathrm {F}$ restent holomorphes en $\mathrm {H}$

et en $\mathrm {H'}$ pour $\mathrm {H} +\mathrm {H} '=\mathrm {C} .$

Relations invariantes.

19.Nous avons considéré au n^o 1, à l’égard du système

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i},$

d’une part ses solutions, d’autre part ses intégrales. Mais il nous reste à parler de certaines équations qui se rapportent à ce système et qui peuvent être regardées comme tenant pour ainsi dire le milieu entre les solutions et les intégrales. Je vais définir ces équations que j’appellerai relations invariantes.

Soit $\varphi$ une fonction quelconque de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}\,;$ on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {d\varphi }{dx_{1}}}\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\varphi }{dx_{2}}}\mathrm {X} _{2}+\dots +{\frac {d\varphi }{dx_{n}}}\mathrm {X} _{n}.$

Considérons maintenant un système d’équations

(2)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi _{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=0,\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=0,\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\\varphi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=0,\\\end{aligned}}\right.$

et supposons que ces équations entraînent comme conséquence les suivantes

${\frac {d\varphi _{1}}{dx_{1}}}\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\varphi _{2}}{dx_{2}}}\mathrm {X} _{2}+\dots +{\frac {d\varphi _{n}}{dx_{n}}}\mathrm {X} _{n}=0\,;$

on en conclura que

${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=0.$

Par conséquent, si les équations (2) sont satisfaites pour une valeur quelconque de $t,$ elles le seront pour toutes les valeurs de $t\,;$ c’est pourquoi nous appellerons le système (2) système de relations invariantes, et l’on conçoit quelle importance peut avoir la connaissance d’un semblable système.

Supposons maintenant que le système soit canonique et revenons au système (1) du n^o 8 et à l’équation

(3)

$\mathrm {F} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\right)=\mathrm {const.} ,$

qui y est corrélative.

La connaissance d’une solution particulière de cette équation (3) nous fournira un système de relations invariantes.

Soit, en effet, $\mathrm {S}$ cette solution ; considérons le système

(4)

${\begin{aligned}y_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},&y_{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},&&\dots ,&y_{p}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\,;\end{aligned}}$

je dis que ce sera un système de relations invariantes par rapport aux équations canoniques (1).

On trouve, en effet, en différentiant l’équation (3),

(5)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{1}\,dx_{i}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{2}\,dx_{i}}}+\dots +{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{p}}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{p}\,dx_{i}}}=0.$

Posons

$\varphi _{i}=y_{i}-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},$

de manière à ramener le système (4) à la forme (2),

(2)

$\varphi _{1}=\varphi _{2}=\dots =\varphi _{p}=0,$

il viendra

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{i}}}&=1,&{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}&=0\quad (i\gtrless k),&{\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{i}\,dx_{k}}},\end{aligned}}$

d’où

${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=\sum _{k}{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}{\frac {dy_{k}}{dt}}+\sum _{k}{\frac {d\varphi _{i}}{dk_{k}}}=\sum _{k}\left({\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{k}}}-{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{k}}}\right),$

ce qui montre que les équations (5) se réduisent à

${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=0\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,p).$

Or c’est là précisément, d’après ce que nous venons de voir, la condition pour que le système (4) soit un système de relations invariantes.

J’ajouterai que, dans le cas où il n’y a que deux degrés de liberté, tout système de deux relations invariantes peut être obtenu de cette manière.

~