CHAPITRE VII.
SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
104.Soient
(1)
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équations différentielles simultanées. Les
sont des fonctions
des
et de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Par rapport aux
elles peuvent être développées en séries de puissances.
Par rapport à
elles sont périodiques de période
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0},&x_{2}&=x_{2}^{0},&&\ldots ,&x_{n}&=x_{n}^{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377cef0d6cbe82ce135292984b65a52043e10fc5)
une solution particulière périodique de ces équations. Les
seront
des fonctions de
périodiques de période
Posons
![{\displaystyle x_{i}=x_{i}^{0}+\xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d478d4707d56b6594ed8898ca1a52812cb7464)
Il viendra
(2)
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Les
seront des fonctions des
et de
périodiques par rapport
à
et développées suivant les puissances des
mais il n’y aura
plus de termes indépendants des ![{\displaystyle \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301954fda87cb533b5ff06a995680fb94c521266)
Si les
sont très petits et qu’on néglige leurs carrés, les équations
se réduisent à
(3)
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qui sont les équations aux variations des équations (1).
Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. On connaît la forme de leur solution générale, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{11}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{21}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{n1},\\\xi _{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{12}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{22}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\\xi _{n}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{1n}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{2n}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{nn};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f301a5a21e05afbd9642ab2ec3fd74b85573bc2b)
les
sont des constantes d’intégration, les
des constantes fixes
qu’on appelle exposants caractéristiques, les
des fonctions périodiques de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si alors nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=\eta _{1}\varphi _{11}+\eta _{2}\varphi _{21}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{n1},\\\xi _{2}&=\eta _{1}\varphi _{12}+\eta _{2}\varphi _{22}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi _{n}&=\eta _{1}\varphi _{1n}+\eta _{2}\varphi _{2n}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{nn},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45df09cf7e475369179b5167bd31b6dd17eeed2e)
les équations (2) deviendront
(2′)
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où les
sont des fonctions de
et des
de même forme
que les ![{\displaystyle \Xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfab0f73e98b97823926ea1a8326662686b5bc0)
Nous pourrons d’ailleurs écrire
(2′′)
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représente l’ensemble des termes de
qui sont de
degré
par rapport aux ![{\displaystyle \eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc94fc42a3ecbad87643808e17ec9634147cf812)
Quant aux équations (3), elles deviennent
(3′)
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Cherchons maintenant la forme des solutions générales des équations (2) et (2').
Je dis que nous devrons trouver :
fonction développée suivant les puissances de
dont les coefficients sont des fonctions périodiques de
Nous pouvons écrire alors
(4′)
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représentant l’ensemble des termes de
qui sont de degré
par rapport aux ![{\displaystyle \mathrm {A.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a3445ea3deee71e91da28360e936f91536a3ed)
Nous remplacerons les
par leurs valeurs dans
et nous trouverons
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}^{p}=\mathrm {H} _{i}^{p,p}+\mathrm {H} _{i}^{p,p+1}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{p,q}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b1acb25d6bce85a46c6914ab13cc78bf4edd16)
désignant l’ensemble des termes qui sont de degré
par
rapport aux
Nous trouverons alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\eta _{i}^{1}}{dt}}&=\alpha _{i}\eta _{i}^{1},\qquad \qquad \qquad \eta _{i}^{1}=\mathrm {A} _{i}e^{\alpha -it},\\{\frac {d\eta _{i}^{2}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{2}&=\mathrm {H} _{i}^{2,2},\qquad {\frac {d\eta _{i}^{3}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{3}=\mathrm {H} _{i}^{2,3}+\mathrm {H} _{i}^{3,3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\{\frac {d\eta _{i}^{q}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{q}&=\mathrm {H} _{i}^{2,q}+\mathrm {H} _{i}^{3,q}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{q,q}=\mathrm {K} _{q}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36a02d229247afc948ac29a9554bae7834f34d0)
Ces équations permettront de calculer successivement par récurrence
![{\displaystyle \eta _{i}^{2},\quad \eta _{i}^{3},\quad \ldots ,\quad \eta _{i}^{q},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d5433c0d5c9cfe6ce7e7f31595eee0912fd07c)
En effet,
ne dépend que des
Si nous supposons que ces quantités aient été préalablement calculées, nous
pourrons écrire
sous la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {K} _{q}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}e^{t(\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\beta _{n})}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6a14962339b494f2255c52445396a995976777)
les
étant des entiers positifs dont la somme est
et
une fonction périodique.
On peut écrire encore
![{\displaystyle \psi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d5a4e30705ed86cf1f213cb8fcf40a97133944)
étant un coefficient généralement imaginaire et
un entier
positif ou négatif. Nous écrirons, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}=\mathrm {A} ^{q},\quad \alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\beta _{n}={\textstyle \sum }\,\alpha \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35281f7d98908a457c936dc1caa67472fcd2c80)
et il viendra
![{\displaystyle {\frac {d\eta _{i}^{q}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{q}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CA} ^{q}\,e^{t(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6865195d881e9e8bd4650a1209d6dde5bdcfca2d)
Or on peut satisfaire à cette équation en faisant
![{\displaystyle \eta _{i}^{q}=\sum {\frac {\mathrm {CA} ^{q}e^{t(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta )}}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b2a8c589a636d7ae4b001da34472578b11013c)
Il y aurait exception dans le cas où l’on aurait
![{\displaystyle \gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d7521f65844e98114bed1e7f2c3e42e8d7febc)
auquel cas il s’introduirait dans les formules des termes en
Nous réserverons ce cas, qui ne se présente pas en général.
Convergence des séries.
105.Nous devons maintenant traiter la question de la convergence
de ces séries. La seule difficulté provient d’ailleurs, comme
on va le voir, des diviseurs
(5)
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Remplaçons les équations (2′) par les suivantes
(2′′)
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Définissons
On voit sans peine que
est de la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}^{p}={\textstyle \sum }\,\mathrm {c} \,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714800e1db923c60517c5f5e0f594bc235d86609)
est une constante quelconque, les
sont des entiers positifs
dont la somme est
est un entier positif ou négatif. Nous
prendrons alors
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}={\textstyle \sum }\,|\mathrm {C} |\,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \,\eta _{n}^{\beta _{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a9c025b9340fce3e20748eda87e4ec3bb5db8a)
Les séries ainsi obtenues seront convergentes pourvu que les
séries trigonométriques qui définissent les fonctions périodiques
dont dépendent les
convergent absolument et uniformément ; or cela aura toujours lieu parce que ces fonctions périodiques
sont analytiques. Quant à
c’est une constante positive.
On peut tirer des équations (2′′) les
sous la forme suivante
(4′′)
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Plusieurs termes pourront d’ailleurs correspondre aux mêmes
exposants
et
est un entier positif. Si l’on compare avec les
séries tirées de (2′) qui s’écrivent
![{\displaystyle \eta _{i}=\Sigma \,\mathrm {N} {\frac {\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}}{\Pi }}e^{t\left(\Sigma \,\alpha \beta +\gamma {\sqrt {-1}}\right)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fcd7a3b33bcfd515e4a8d56c3991d2ce6ac924)
voici ce qu’on observe : 1o
est réel positif et plus grand que
2o
désigne le produit des diviseurs (5) dont le nombre est au
plus égal à ![{\displaystyle \delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32ef13c6395c29916331212d0948171a62ac216)
Si donc la série (4′′) converge et si aucun des diviseurs (5) n’est
plus petit que
la série (4′) convergera également. Voici donc
comment on peut énoncer la condition de convergence.
La série converge si l’expression
![{\displaystyle \gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12373b47735ede7df87f5c2a1837ef6aa0ff7732)
ne peut pas devenir plus petite que toute quantité donnée
pour
des valeurs entières et positives des
et entières (positives ou
négatives) de
c’est-à-dire si aucun des deux polygones convexes
qui enveloppe, le premier les
et
le second les
et
ne contient l’origine ; ou si toutes les quantités
ont
leurs parties réelles de même signe et si aucune d’elles n’a sa
partie réelle nulle.
Que ferons-nous alors s’il n’en est pas ainsi ?
Supposons, par exemple, que
des quantités
aient leur partie
réelle positive, et que
aient leur partie réelle négative ou
nulle. Il arrivera alors que la série (4′) restera convergente si on
y annule les constantes
qui correspondent à un
dont la partie
réelle est négative ou nulle, de sorte que ces séries ne nous donneront
plus la solution générale des équations proposées, mais une
solution contenant seulement
constantes arbitraires. Cette solution
est représentée par une série (4′) développée suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c112e79b9f769827ee4a80344d8b96f252c71235)
comme, par hypothèse, les parties réelles de
![{\displaystyle \alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e778d5d79f75bb7129e9d28fc96fae97a045663)
sont positives, les exponentielles
![{\displaystyle e^{\alpha _{1}t},\quad e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad e^{\alpha _{k}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aa75382f67df2dace0bce1b4d054f3ef11d13d)
tendent vers 0 quand
tend vers
Il en est donc de même des
quantités
ce qui veut dire que, quand
tend vers
la solution représentée par la série (4′) se rapproche asymptotiquement
de la solution périodique considérée. Nous l’appellerons pour cette
raison solution asymptotique.
Nous obtiendrons un second système de solutions asymptotiques
en annulant dans la série (4′) tous les coefficients
qui
correspondent à des exposants
dont la partie réelle soit positive ou
nulle. Cette série est alors développée suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}'e^{\alpha _{1}'t},\quad \mathrm {A} _{2}'e^{\alpha _{2}'t},\quad ,\ldots \quad \mathrm {A} _{k}'e^{\alpha _{k}'t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57567fcff3b80c3b751bb678da7de74580a9da31)
les exposants
ayant leur partie réelle négative.
Si alors on fait tendre
vers
la solution correspondante se
rapprochera asymptotiquement de la solution périodique considérée.
Si l’on suppose que les équations données rentrent dans les
équations de la Dynamique, nous avons vu que
est pair et que
les
sont deux à deux égaux et de signe contraire.
Alors, si
d’entre eux ont leur partie réelle positive,
auront
leur partie réelle négative et
auront leur partie réelle nulle.
En prenant d’abord les
qui ont leur partie réelle positive, on
obtiendra une solution particulière contenant
constantes arbitraires ;
on en obtiendra une seconde en prenant les
qui ont
leur partie réelle négative.
Dans le cas où aucun des
n’a sa partie réelle nulle et, en particulier,
si tous les
sont réels, on a d’ailleurs
![{\displaystyle k={\frac {n}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ba238b3267fca663ed174f3d04f9b4341aa3f2)
106.Supposons que dans les équations (1) les
dépendent
d’un paramètre
et que les fonctions
soient développables suivant
les puissances de ce paramètre.
Imaginons que, pour
les exposants caractéristiques
soient tous distincts de telle façon que ces exposants, étant définis
par une équation
[analogue à celle du no 74, mais
telle que l’équation
ait toutes ses racines distinctes]
soient eux-mêmes développables suivant les puissances de
en
vertu des no 30 et 31.
Supposons enfin que l’on ait, ainsi que nous venons de le dire,
annulé toutes les constantes
qui correspondent à un
dont la
partie réelle est négative ou nulle.
Les séries (4′) qui définissent les quantités
dépendent alors
de
Je me propose d’établir que ces séries peuvent être développées,
non seulement suivant les puissances des
mais encore
suivant les puissances de
Considérons l’inverse de l’un des diviseurs (5)
![{\displaystyle \left(\gamma \,{\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca99f53feb799911fa097dd9260ba0165e52c0ba)
Je dis que cette expression peut être développée suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Soient
les
exposants caractéristiques dont la
partie réelle est positive pour
et pour les petites valeurs
de
et que nous sommes convenus de conserver. Chacun d’eux
est développable suivant les puissances de
Soit
la valeur de
pour
nous pourrons prendre
assez petit pour que
diffère aussi peu que nous voudrons de
quand
Soit alors
une quantité positive plus petite que la plus petite des parties
réelles des
quantités
nous pourrons prendre
assez petit pour que, quand
les
exposants
aient leur partie réelle plus grande que
La partie réelle de
sera alors plus grande que
(si
), de sorte qu’on aura
(6)
|
|
|
Ainsi, si
la fonction
![{\displaystyle \left(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}\right)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9872e2c103bf19a033ceab89eb1c29f8b80b4d98)
reste uniforme, continue, finie et plus petite en valeur absolue que ![{\displaystyle {\frac {1}{h}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd0bbd6111bea0b7d7967cb39f85145fa844555b)
Nous en conclurons d’après un théorème bien connu que cette
fonction est développable suivant les puissances de
et que les
coefficients du développement sont plus petits en valeur absolue
que ceux du développement de
![{\displaystyle {\frac {1}{h\left(1-{\dfrac {\mu }{\mu _{0}}}\right)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38506e8b2c828f442c599912482bb086cf34086c)
Il est à remarquer que les nombres
et
sont indépendants des
entiers
et ![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
Il y aurait exception dans le cas où
serait nul. La partie réelle
du diviseur (5) pourrait alors être plus petite que
et même être
négative. Elle est égale, en effet, à la partie réelle de
qui est
positive, moins la partie réelle de
qui est également positive et
qui peut être plus grande que celle de
si
est nul.
Supposons que la partie réelle de
reste plus petite qu’un certain
nombre
tant que
Alors, si
(7)
|
|
|
la partie réelle de (5) est certainement plus grande que
il ne
peut donc y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5),
pour lesquels l’inégalité (7) n’a pas lieu.
Supposons maintenant que la partie imaginaire des quantités
reste constamment plus petite en valeur absolue qu’un
certain nombre positif
si l’on a alors
(8)
|
|
|
la partie imaginaire de (5) et, par conséquent, son module seront
encore plus grands que
de telle sorte qu’il ne peut y avoir de
difficulté que pour ceux des diviseurs (5) pour lesquels aucune
des inégalités (7) et (8) n’a lieu. Mais ces diviseurs qui ne satisfont
à aucune de ces inégalités sont en nombre fini.
D’après une hypothèse que nous avons faite plus haut, aucun
d’eux ne s’annule pour les valeurs de
que nous considérons ; nous pouvons donc prendre
et
assez petits pour que
la valeur absolue de l’un quelconque d’entre eux reste plus grande que
quand
reste plus petit que
Alors l’inverse d’un diviseur (5) quelconque est développable
suivant les puissances de
et les coefficients du développement
sont plus petits en valeur absolue que ceux de
![{\displaystyle {\frac {1}{h\left(1-{\dfrac {\mu }{\mu _{0}}}\right)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38506e8b2c828f442c599912482bb086cf34086c)
Nous avons écrit plus haut
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}^{p}=\Sigma \,\mathrm {C} \,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc4c2d29f4679ab5444deef1848db662a8faecf)
D’après nos hypothèses,
peut être développé suivant les puissances
de
de telle sorte que je puis poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} &=\Sigma \,\mathrm {E} \,\mu ^{i},&\mathrm {H} _{i}^{p}&=\Sigma \,\mathrm {E} \,\mu ^{i}\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}\end{aligned}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b023e51b95b0fbbc65a2987474aaed3f9685a2)
Reprenons maintenant les équations (2′′), en y faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=h\left(1-{\frac {\mu }{\mu _{0}}}\right),\\{\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}&=\Sigma \,|\mathrm {E} |\,\mu ^{i}\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc32b6ba1a5f72440311888d624e45a289746aa)
Les seconds membres des équations (2′′) seront alors des séries
convergentes ordonnées selon les puissances de
de
![{\displaystyle \eta _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d001768af1689ec9c03e24a549972728f4d0a7)
On en tirera les
sous la forme des séries (4′′), convergentes
et ordonnées suivant les puissances de
Des équations (2′), nous tirerions d’autre part les
sous la
forme des séries (4′) ordonnées suivant les puissances de
Chacun des termes de (4′) est
plus petit en valeur absolue que le terme correspondant de (4′′),
et comme les séries (4′′) convergent, il en sera de même des
séries (4′).
Solutions asymptotiques des équations de la Dynamique.
107.Reprenons les équations (1) du no 13
(1)
|
|
|
et les hypothèses faites à leur sujet dans ce numéro.
Nous avons vu dans le no 42 que ces équations admettent des
solutions périodiques et nous pouvons en conclure que, pourvu
que l’un des exposants caractéristiques
correspondants soit réel,
ces équations admettront aussi des solutions asymptotiques.
À la fin du numéro précédent, nous avons envisagé le cas où,
dans les équations (1) du no 104, les seconds membres
sont
développables suivant les puissances de
mais où les exposants
caractéristiques restent distincts les uns des autres pour
Dans le cas des équations qui vont maintenant nous occuper,
c’est-à-dire des équations (1) du no 13, les seconds membres sont
encore développables selon les puissances de
mais tous les
exposants caractéristiques sont nuls pour
Il en résulte un grand nombre de différences importantes.
En premier lieu, les exposants caractéristiques
ne sont pas
développables suivant les puissances de
mais suivant celles
de
(cf. no 74). De même les fonctions que j’ai appelées
au début du [[Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.07#par104|no 104]] (et qui, dans le cas particulier des équations
de la Dynamique qui nous occupe ici, ne sont autres que les fonctions
et
du no 79), sont développables, non suivant les
puissances de
mais suivant les puissances de
Alors, dans les équations (2′) du no 104
![{\displaystyle {\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26b23bc5ce9f121f6f3995fe4e1fbf36b542277)
le second membre
est développé suivant les puissances des
et de
(et non pas de
).
On en tirera les
sous la forme des séries obtenues au no 104
![{\displaystyle \eta _{i}=\Sigma \,\mathrm {N} \,{\frac {\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \,\mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}}{\Pi }}\,e^{t\left(\Sigma \alpha \beta +\gamma {\sqrt {-1}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca7c7578b7f693070917917392fdff0088ecd18)
et
et
seront développés suivant les puissances de
![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Un certain nombre de questions se posent alors naturellement :
1o Nous savons que
et
sont développables suivant les
puissances de
en est-il de même du quotient
2o S’il en est ainsi, il existe des séries ordonnées suivant les
puissances de
des
de
et de
qui satisfont
formellement aux équations proposées ; ces séries sont-elles convergentes ?
3o Si elles ne sont pas convergentes, quel parti peut-on en tirer
pour le calcul des solutions asymptotiques ?
Développement de ces solutions selon les puissances de ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
108.Je me propose de démontrer que l’on peut développer
suivant les puissances de
et que, par conséquent, il existe des
séries ordonnées suivant les puissances de
des
de
et de
qui satisfont formellement aux équations (1). On
pourrait en douter ; en effet,
est le produit d’un certain nombre
de diviseurs (5) du no 104. Tous ces diviseurs sont développables
suivant les puissances de
mais quelques-uns d’entre eux, ceux
pour lesquels
est nul, s’annulent avec
Il peut donc arriver
que
s’annule avec
et contienne en facteur une certaine puissance
de
Si alors
ne contenait pas cette même puissance en
facteur, le quotient
se développerait encore selon les puissances
croissantes de
mais le développement commencerait par des
puissances négatives.
Je dis qu’il n’en est pas ainsi et que le développement de
ne
contient que des puissances positives de
Voyons par quel mécanisme ces puissances négatives de
disparaissent. Posons
![{\displaystyle \mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}=w_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01501ae06c124f08f4cb7469f256639315b0e166)
et considérons les
et les
comme des fonctions des variables
et ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Il importe, avant d’aller plus loin, de faire la remarque suivante :
parmi les
exposants caractéristiques
deux sont nuls et les autres sont deux à deux égaux et de signe contraire. Nous ne conserverons
que
au plus de ces exposants, en convenant de
regarder comme nuls les coefficients
et les variables
qui correspondent
aux
exposants rejetés. Nous ne conserverons
que ceux de ces exposants dont la partie réelle est positive.
Cela posé, les équations (1) deviennent
(2)
|
|
|
(3)
|
|
|
Cherchons, en partant de ces équations, à développer les
et
les
suivant les puissances croissantes de
et des
de
telle façon que les coefficients soient des fonctions périodiques de
Nous pouvons écrire
![{\displaystyle \alpha _{k}=\alpha _{k}^{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{k}^{2}\mu +\ldots =\Sigma \,\alpha _{k}^{p}\,\mu ^{\frac {p}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52e879c7a33e15e6fea261c38c1f614e2e267b7)
car nous avons vu au no 74 comment on peut développer les exposants
caractéristiques suivant les puissances de ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Écrivons, d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+x_{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots ={\textstyle \sum }x_{i}^{p}\mu ^{\frac {p}{2}},\\y_{i}-n_{i}t&=y_{i}^{0}\,+y_{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots ={\textstyle \sum }y_{i}^{p}\mu ^{\frac {p}{2}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a53a64e2177ac9283480e6154d0b7a742f53f5)
les
et les
étant des fonctions de
et des
périodiques par rapport à
et développables suivant les puissances des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Si, dans les équations (2) et (3), nous substituons ces valeurs à
la place de
des
et des
les deux membres de ces équations
seront développés suivant les puissances de
Égalons dans les deux membres des équations (2) les coefficients
de
et dans les deux membres des équations (3) les coefficients
de
nous obtiendrons les équations suivantes
(4)
|
|
|
où
et
ne dépendent que de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad &\ldots ,\quad x_{i}^{p-1},\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad &\ldots ,\quad y_{i}^{p-2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f39e6fdc03abf6ede23163618d08195c4285f34)
Convenons, comme nous l’avons fait plus haut, de représenter par
la valeur moyenne de
si
est une fonction périodique de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Des équations (4), nous pourrons alors déduire les suivantes
(5)
|
|
|
Supposons maintenant qu’un calcul préalable nous ait fait connaître
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{p}\;\;\;-\left[x_{i}^{p}\right],\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad y_{i}^{p-2},\quad y_{i}^{p-1}-\left[y_{i}^{p-1}\right].\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c72f2adae51da43e1fca6f71999bf6806df251)
Les équations (5) vont nous permettre de calculer
et
et par conséquent
et
Les équations (4) nous permettront
ensuite de déterminer
![{\displaystyle x_{i}^{p+1}-\left[x_{i}^{p+1}\right]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031f26bc29dce9e978f1c3ba79452d452663190a)
et
![{\displaystyle \quad y_{i}^{p}-\left[y_{i}^{p}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e934f89b3ffb0f2cbf8a214ff71a7c9eec88632)
de sorte que ce procédé nous fournira par récurrence tous les
coefficients des développements de
et de ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
La seule difficulté est la détermination de
et
par les équations (5).
Les fonctions
et
sont développées suivant les
puissances croissantes des
et nous allons calculer les divers termes
de ces développements en commençant par les termes du degré
le moins élevé.
Pour cela nous allons reprendre les notations du no 79, c’est-à-dire
que nous allons poser
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}=\mathrm {C} _{i\,k}^{0}\quad \mathrm {et} \quad \left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}}\right]=b_{i\,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfffd2109242a9751ac6d3134c83696e69c095fd)
(pour les valeurs nulles des
).
Si alors nous appelons
et
les coefficients de
![{\displaystyle w_{1}^{m_{1}}w_{2}^{m_{2}}\ldots w_{n-1}^{m_{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ac42b97884b060164150a801ba9085cfee6647)
dans
et
nous aurons pour déterminer ces
coefficients les équations suivantes
(6)
|
|
|
Dans ces équations (6),
et
sont des quantités connues,
parce qu’elles ne dépendent que de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{p}\;\;\;-\left[x_{i}^{p}\right],\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad y_{i}^{p-2},\quad y_{i}^{p-1}-\left[y_{i}^{p-1}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0207fee07e440cd0b50f7bea52c67401c0c90078)
ou des termes de
et
dont le degré par rapport
aux
est plus petit que
![{\displaystyle m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d6840279543a0b399233fa6c5eb305cb8bb3)
De plus, nous avons posé, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {S} =m_{1}\alpha _{1}^{1}+m_{2}\alpha _{2}^{1}+\ldots +m_{n-1}\alpha _{n-1}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7364cadd1f92f61ea8bd880d3ce1d6313414e5)
Nous avons donc pour le calcul des coefficients
et
un système
d’équations linéaires. Il ne pourrait y avoir de difficulté que si le
déterminant de ces équations était nul ; or ce déterminant est égal à
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}[\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{1}^{1})^{2}][\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{2}^{1})^{2}]\ldots [\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{n-1}^{1})^{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad5026b15540d8365e8b344e5e9c4d8dbe643df)
Il ne pourrait s’annuler que pour
![{\displaystyle \mathrm {S} =0,\quad \mathrm {S} =\pm \alpha _{i}^{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5190d21f2d86bfcdce5adcab914f6cb483dcff9e)
c’est-à-dire pour
![{\displaystyle m_{1}+m_{1}+\ldots +m_{n-1}=0\quad \mathrm {ou} \quad 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cfd90bebf92ca882d9673309e7808843cb364a2)
On ne pourrait donc rencontrer de difficulté que dans le calcul
des termes du degré 0 ou 1 par rapport aux
Mais nous n’avons pas à revenir sur le calcul de ces termes ; en
effet, nous avons appris à calculer les termes indépendants des
dans le no 44 et les coefficients de
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff5bbe10830edce5fc85528a5ad9df418c1e66b)
dans le no 79.
Les termes indépendants des
ne sont en effet autre chose que
les séries (2) du no 44 et les coefficients de
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff5bbe10830edce5fc85528a5ad9df418c1e66b)
ne sont autre chose que les séries
et
du no 79.
Il me reste à dire un mot des premières approximations.
Nous donnerons aux
des valeurs constantes qui ne sont autres
que celles que nous avons désignées ainsi au no 44.
Nous aurons alors les équations suivantes :
(7)
|
|
|
Dans
qui ne dépend que des
ces quantités doivent être remplacées
par
Dans
les
sont remplacés par
et les
par
devient alors une fonction périodique de
dont la période est
Nous désignerons par
la valeur moyenne de cette fonction périodique
est alors une fonction périodique et de période
par rapport aux ![{\displaystyle y_{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a2c55614f0de86516a1a45965b92c1940cde79)
Les deux premières équations (7) montrent que les
et les
ne dépendent que des
En égalant dans les deux dernières équations
(7) les valeurs moyennes des deux membres, il vient
(8)
|
|
|
Ces équations (8) doivent servir à déterminer les
et les
en
fonctions des
Peut-on satisfaire à ces équations en substituant
à la place des
et des
des séries développées suivant les
puissances de ![{\displaystyle w\,?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429c0459c5d7f41094e12c3ecf205568dad7034e)
Pour nous en rendre compte envisageons les équations différentielles suivantes
(9)
|
|
|
Ces équations différentielles où les fonctions inconnues sont les
et les
admettront une solution périodique
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&=0,&y_{i}^{0}&=\varpi _{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dc90e833baf67cc6bf6ab82edd4a1104b5370c)
étant la quantité désignée ainsi au no 44.
Les exposants caractéristiques relatifs à cette solution périodique
sont précisément les quantités
Parmi ces quantités nous sommes
convenus de ne conserver que celles dont la partie réelle est positive.
Les équations (9) admettent un système de solutions asymptotiques
et il est aisé de voir que ces solutions se présentent sous la
forme de séries développées suivant les puissances des
Ces séries
satisferont alors aux équations (8). Ces équations peuvent donc être résolues.
Les
et les
étant ainsi déterminés, le reste du calcul ne
présente plus, comme nous l’avons vu, aucune difficulté. Il existe
donc des séries ordonnées suivant les puissances de
des
et
de
et qui satisfont formellement aux équations (1).
Cela prouve que le développement de
ne débute jamais par
une puissance négative de
L’analyse des no 110 et
111 nous en fournira une nouvelle démonstration.
Divergence des séries du no 108.
109.Malheureusement les séries ainsi obtenues ne sont pas convergentes.
Soit en effet
![{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {-1}}\,\gamma +\Sigma \,\alpha \beta -a_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c493a6bb3268d5e439110d41c96689ac320e4fb0)
Si
n’est pas nul, cette expression est développable suivant les
puissances de
mais le rayon de convergence de la série ainsi
obtenue tend vers 0 quand
tend vers 0.
Si donc on développe les diverses quantités
suivant les puissances
de
on pourra toujours, parmi ces quantités, en trouver une infinité pour lesquelles le rayon de convergence du développement
est aussi petit qu’on le veut.
On pourrait encore espérer, quelque invraisemblable que cela
puisse paraître, qu’il n’en est pas de même pour les développements
des diverses quantités
mais la démonstration que j’ai donnée
dans le tome XIII des Acta mathematica (p. 222) et sur laquelle
je reviendrai dans la suite montre qu’il n’est pas ainsi en général ;
il faut donc renoncer à ce faible espoir et conclure que les séries
que nous venons de former sont divergentes.
Mais, quoiqu’elles soient divergentes, ne peut-on en tirer
quelque parti ?
Considérons d’abord la série suivante qui est plus simple que
celles que nous avons en vue
![{\displaystyle \mathrm {F} (w,\,\mu )={\boldsymbol {\sum }}_{n}{\frac {x^{n}}{1+n\mu }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2368db96815df8bee66e5c01e0a3c09298de7450)
Cette série converge uniformément quand
reste positif et que
reste plus petit en valeur absolue qu’un nombre positif
plus
petit que 1, mais d’ailleurs quelconque. De même la série
![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (p)}}{\frac {d^{p-1}\mathrm {F} (w,\,\mu )}{d\mu ^{p-1}}}=\pm {\boldsymbol {\sum }}{\frac {n^{p-1}w^{n}}{(1+n\mu )^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bca8150baefe86f524bc41c8b3788f019614427)
converge uniformément.
Si maintenant l’on cherche à développer
suivant les
puissances de
la série à laquelle on est conduit
(10)
|
|
|
ne converge pas. Si, dans cette série, on néglige tous les termes où
l’exposant de
est supérieur à
on obtient une certaine fonction
![{\displaystyle \Phi _{p}(w,\,\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec33b55c4609e21de38d2200a0070459e3d8f9fd)
Il est aisé de voir que l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} (w,\,\mu )-\Phi _{p}(w,\,\mu )}{\mu ^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0996e4239f193fcb21e010319b05f134aa81b4c0)
tend vers 0 quand
tend vers 0 par valeurs positives, de sorte que
la série (10) représente asymptotiquement la fonction
pour les petites valeurs de
de la même manière que la série de
Stirling représente asymptotiquement la fonction eulérienne pour les
grandes valeurs de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Je me propose d’établir, dans les numéros suivants, que les séries
divergentes que nous avons appris à former dans le no 108 sont
tout à fait analogues à la série (10).
Considérons en effet l’une des séries
(10′)
|
|
|
les raisonnements du no 105 ont montré que ces séries sont uniformément
convergentes pourvu que les
restent inférieurs en
valeur absolue à certaines limites et que
reste réel.
Si l’on développe
suivant les puissances de
les séries (10′) sont divergentes, ainsi que nous l’avons dit. Supposons que l’on
néglige dans le développement les termes où l’exposant de
est
supérieur à
on obtiendra une certaine fonction
![{\displaystyle \Phi _{p}\left({\sqrt {\mu }},\,w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{k},\,t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c40ae2282cd76b8c76cf8fa25d0750afcd9a92)
qui sera développable suivant les puissances des
de
et
qui sera un polynôme de degré
en ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
On verra plus loin que l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} -\Phi _{p}}{\sqrt {\mu ^{p}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7118c90043b28dfc169c57c43817d1eaa9e62fb)
tend vers 0 quand
tend vers 0 par valeurs positives, et cela
quelque grand que soit ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
En effet, si l’on désigne par
l’ensemble des termes du développement
de
où l’exposant de
est au plus égal à
on a
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} -\Phi _{p}}{\sqrt {\mu ^{p}}}}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {1}{\sqrt {\mu ^{p}}}}\left({\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}-\mathrm {H} _{p}\right)w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{k}^{\beta _{k}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c8bb17456504e65f862310f9652c7ad9eebc43)
et je montrerai que la série du second membre est uniformément
convergente et que tous les termes tendent vers 0 quand
tend vers 0.
On peut donc dire que les séries que nous avons obtenues dans
le no 108 représentent les solutions asymptotiques pour les petites
valeurs de
de la même manière que la série de Stirling représente
les fonctions eulériennes.
Démonstration nouvelle de la proposition du no 108.
110.Pour démontrer ce fait, je vais faire subir aux équations
une transformation qui me fournira en même temps une nouvelle
démonstration du théorème qui a fait l’objet du no 108. Supposons
2 degrés de liberté seulement pour fixer les idées ; alors nous ne
conserverons plus qu’une seule des quantités
et nous pourrons
écrire nos équations sous la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}+\alpha w{\frac {dx_{i}}{dw}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}+\alpha w{\frac {dy_{i}}{dw}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\quad (i=1,2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5213beefd18e2c61ec4db6868c972f885de554d2)
en supprimant les indices de
et de
devenus inutiles.
Nous savons que
est développable suivant les puissances impaires
de
et, par conséquent,
suivant les puissances de
inversement
est développable suivant les puissances de
nous
pouvons remplacer
par ce développement, de sorte que
sera
développée suivant les puissances de
Pour
se
réduit à
qui ne dépend que de
et de
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b6ac1dd217872b2cdf2cf1bdf0699a55fb269a)
la solution périodique qui nous sert de point de départ. Posons, comme au no 79,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd309daff57bb87198aa40aaf7fd62e41858684)
nos équations deviendront
(11)
|
|
|
et
sont développés suivantes les puissances des
des
et de
et les coefficients sont des fonctions périodiques de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Pour
et par conséquent
s’annulent ;
donc
est divisible par
et je puis poser
![{\displaystyle \Xi _{i}=\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0f97ba129e9f20b1a539062744cc78a1395714)
représentant l’ensemble des termes du premier degré par
rapport aux
et aux
et
représentant
l’ensemble des termes de degré supérieur.
De même, quand
est nul,
et par conséquent
ne dépendent plus que des
et non des
Je puis donc poser
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}=\mathrm {Y} _{i}+\mathrm {Y} _{i}'+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e35a10607146b7fd338d798d0563364ed5be569)
représentant l’ensemble des termes du premier degré
par rapport aux
et
pendant que
représentent l’ensemble des termes de degré supérieur au premier. Je suppose en
outre que
et
ne dépendent que de
et de ![{\displaystyle \xi _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a856f4e4824b4a7cd58e21271952587a295062fc)
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=\alpha \zeta _{1},&\xi _{2}&=\alpha \zeta _{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4142415589bc96457be2c070e661fe6424f36c62)
deviendra divisible par
et
par
de sorte que je pourrai poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Y} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}&=\alpha \mathrm {Z} _{i},&\mathrm {Y} _{i}'+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}'&=\alpha \mathrm {Z} _{i}'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8122a6032013560adc284fcc8cbc69668fe6c71e)
et que nos équations deviendront
(12)
|
|
|
Considérons les équations
(13)
|
|
|
Ces équations sont linéaires par rapport aux inconnues
et
Elles ne diffèrent pas des équations (2) du no 79, sinon parce que
et
y sont remplacés par
et
D’après ce que nous avons aux nos 69 et 74,
l’équation qui définit les exposants caractéristiques admet quatre racines, l’une égale à
l’autre à
et les deux autres à 0.
À la première racine, c’est-à-dire à la racine
correspondra
une solution des équations (2) du no 79, que nous avons appris à
former dans ce numéro et que nous avons écrite ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i},&\eta _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {T} _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8344280ce74deec788a4c435a37fb319d38730)
Je rappelle que
est nul et, par conséquent,
que
est divisible par ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
À la seconde racine
correspondra de même une autre solution
des équations (2) et nous l’écrirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{-\alpha t}\mathrm {S} _{i}',&\eta _{i}&=e^{-\alpha t}\mathrm {T} _{i}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5889ea5bbd0254b6dd999e0156007ae73ddd6e)
Enfin aux deux racines 0, correspondront (cf. no 80) deux solutions
des équations (2) que nous écrirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}'',&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'',\\\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}'''+\alpha t\mathrm {S} _{i}'',&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'''+\alpha t\mathrm {T} _{i}''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e063b5d416c80bcbba1461e09c2af2b7b82118)
sont des fonctions périodiques de
comme
et ![{\displaystyle \mathrm {T} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b21ebbec0d2530fe5d289b61ea9b4bd1aa719a)
D’après ce que nous avons vu aux nos 79 et 80,
et
seront comme
divisibles par
Posons alors
(13 bis)
|
|
|
Les fonctions
ainsi définies joueront un rôle analogue à celui des
fonctions
du no 105. Les équations (12) deviennent alors
(14)
|
|
|
sont des fonctions développées suivant les puissances
de
et
dont tous les termes sont du deuxième degré au moins par rapport aux
et dont les coefficients sont des
fonctions périodiques de
De plus, les
doivent être des fonctions
périodiques de
et les termes du premier degré en
dans
et
doivent se réduire à
0, 0 et 0.
Ces équations (14) sont analogues aux équations (2′′) du no 105.
On trouve en effet
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \mathrm {X} _{i}'&=\Theta _{1}\mathrm {S} _{i}\,+\Theta _{2}\mathrm {S} _{i}'\,+\Theta _{3}\mathrm {S} _{i}''\,+\Theta _{4}\mathrm {S} _{i}''',\\\alpha \mathrm {Z} _{i}'&=\Theta _{1}\mathrm {T} _{i}+\Theta _{2}\mathrm {T} _{i}'+\Theta _{3}\mathrm {T} _{i}''+\Theta _{4}\mathrm {T} _{i}''',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d6eec1eb7c9b47ffd34bc8f1323c40e8176ff0)
ce qui nous donne quatre équations d’où l’on peut tirer les quatre fonctions
puisque les
les
les
et les
sont des fonctions connues. Je dis qu’on trouvera
![{\displaystyle \Theta _{i}=\mathrm {U} _{i,1}\mathrm {X} _{1}'+\mathrm {U} _{i,2}\mathrm {X} _{2}'+\mathrm {U} _{i,3}\mathrm {Z} _{1}'+\mathrm {U} _{i,4}\mathrm {Z} _{2}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f007f1a9749042dd954674451c89024eb687b221)
les
étant des fonctions périodiques de
développables suivant
les puissances croissantes et positives de
Il suffit en effet, pour
cela, que le déterminant
![{\displaystyle \Delta =\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}'&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}''&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}'''\\{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}'&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}''&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}'''\\\mathrm {T} _{1}&\mathrm {T} _{1}'&\mathrm {T} _{1}''&\mathrm {T} _{1}'''\\\mathrm {T} _{2}&\mathrm {T} _{2}'&\mathrm {T} _{2}''&\mathrm {T} _{2}'''\\\end{array}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e24229ec4d97e417f7a0021b4a045cd99da56f)
ne soit pas divisible par
c’est-à-dire ne s’annule pas pour ![{\displaystyle \alpha =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccefb075eb872b58821421eb59741512b87f54f7)
Pour
se réduit à la quantité que nous avons appelée
au no 79 et
à
et ces quantités satisfont aux équations (9) et (10) de ce no 79.
Ici nous développons non suivant les puissances de
mais
suivant celles de
de sorte que la quantité que nous avions
[13]appelée
dans le no 79 est égale à 1. Les équations (9) du no 79
vont donc s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{i}&={\frac {\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}+{\frac {\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}}{\alpha }},\\{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }}&=b_{i\,1}\mathrm {T} _{1}+b_{i\,2}\mathrm {T} _{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22037643cc4261cd5fa1700f8ba067366cab482)
et elles devront être satisfaites pour ![{\displaystyle \alpha =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccefb075eb872b58821421eb59741512b87f54f7)
En ce qui concerne la seconde solution, l’exposant est égal à
et, par conséquent,
est égal à
de sorte que ces
équations deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\mathrm {T} _{i}'&={\frac {\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}'}{\alpha }}+{\frac {\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}'}{\alpha }},\\-{\frac {\mathrm {S} _{i}'}{\alpha }}&=b_{i\,1}\mathrm {T} _{1}'+b_{i\,2}\mathrm {T} _{2}',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24ff15998b812109be299d8b8e5876c93145a27)
ce qui permet de supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{i}'&=\mathrm {T} _{i},&\mathrm {S} _{i}'&=-\mathrm {S} _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a335b13b2854e03f19b9acfe3862e16aab9616df)
étant divisible par
s’annule pour
En même temps, pour
on a
![{\displaystyle \mathrm {T} _{i}''=n_{i}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e01ec52b13de8d1a26c6340f6f79fb567f5c361)
Pour
s’annule et on a
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {S} _{i}'''}{\alpha }}=\mathrm {S} _{i}^{\star }\gtrless 0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4749fe79c36ceb0677e7494217f4c4810b216ca)
on trouve
![{\displaystyle n_{i}=\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}^{\star }+\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}^{\star }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf1b222e6f4ea0c7f3440f3932fd0e3fc664d55)
Nous pouvons conclure de là que le déterminant
se réduit pour
à
![{\displaystyle \Delta =2\left|{\begin{array}{cc}{\dfrac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{1}'''}{\alpha }}\\{\dfrac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{2}'''}{\alpha }}\end{array}}\right|\;\left|{\begin{array}{cc}\mathrm {T} _{1}&n_{1}\\\mathrm {T} _{2}&n_{2}\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056827611645748c6717c21a2470006ef9568c04)
On trouve d’ailleurs
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}\mathrm {T} _{1}&n_{1}\\\mathrm {T} _{2}&n_{2}\\\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{cc}{\dfrac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{1}'''}{\alpha }}\\{\dfrac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{2}'''}{\alpha }}\\\end{array}}\right|\;\left|{\begin{array}{cc}\mathrm {C} _{1\,1}^{0}&\mathrm {C} _{1\,2}^{0}\\\mathrm {C} _{2\,1}^{0}&\mathrm {C} _{2\,2}^{0}\\\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e52d2a44c3ff96dc2c86843bb5b7d8234aeab7)
Le déterminant des
qui n’est autre chose que le hessien de
ne s’annule pas en général, de sorte que
ne peut s’annuler que si l’on a
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} _{1}}{n_{1}}}={\frac {\mathrm {T} _{2}}{n_{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae10fa8023cc5951d44d755f141be9793836ffb)
mais, si l’on observe que
![{\displaystyle n_{1}b_{i1}+n_{2}b_{i2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a458238eb150b87e2554d5ce98425556fb6b4d80)
on en déduirait
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}={\frac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c3ce5f8317874c060ce2f3da81d46a3ff04cf8)
ce qui ne peut avoir lieu.
Le déterminant
n’est donc pas nul. On peut encore l’établir
de la manière suivante. Considérons les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=b_{i1}\eta _{1}+b_{i2}\eta _{2},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\xi _{1}+\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\xi _{2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601e7c66e3cb9b3762c736f4cee94d19df8d906)
Ce sont des équations linéaires à coefficients constants. Elles
admettent quatre solutions linéairement indépendantes, à savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{t}{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }},&\eta _{i}&=e^{t}\mathrm {T} _{i}\,;\\\xi _{i}&=e^{-t}{\frac {\mathrm {S} _{i}'}{\alpha }},&\eta _{i}&=e^{-t}\mathrm {T} _{i}'\,;\\\xi _{i}&={\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}''\,;\\\xi _{i}&={\frac {\mathrm {S} _{i}'''}{\alpha }}+t{\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'''+t\mathrm {T} _{i}''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641b49a35f0b1b872dd2df457502a50bf932ba11)
Il va sans dire que, dans les
et les
il faut faire
de telle sorte que ces quantités se réduisent à des constantes.
Ces quatre solutions étant linéairement indépendantes, leur
déterminant pour
ne doit pas s’annuler ; or ce déterminant
est précisément
Donc
n’est pas nul.
C.Q.F.D.
On voit ainsi que les fonctions
jouissent bien des propriétés énoncées.
111.L’analyse précédente s’étend immédiatement au cas où il
y a plus de 2 degrés de liberté.
Si nous posons
![{\displaystyle \xi _{i}={\sqrt {\mu }}\zeta _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e02eb00d8a188c7d325c09f4b8169d7fc4610a)
les équations pourront s’écrire comme dans le numéro précédent
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\zeta _{i}}{dw_{k}}}&={\sqrt {\mu }}\mathrm {X} _{i}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {X} _{i}'\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}&={\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}'\\\end{aligned}}\right\}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7e1cc99f9b22a0ded2b712e83e58fc2e83a0a9)
Les fonctions
et
jouissent
des mêmes propriétés que dans le numéro précédent, c’est-à-dire qu’elles sont développables
suivant les puissances des
des
et de
et périodiques par rapport à
De plus,
et
sont linéaires par rapport aux
et aux
et
et
ne contiennent que des termes du second degré au moins par rapport à ces variables.
Considérons ensuite les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}&={\sqrt {\mu }}\,\mathrm {X} _{i},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&={\sqrt {\mu }}\,\mathrm {Z} _{i}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394de67e1c978a145dd398f2f26c7ecaf6b17f15)
elles admettront
solutions linéairement indépendantes correspondant
aux
exposants caractéristiques qui ne sont pas
nuls ; ces solutions pourront s’écrire
![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}\zeta _{i}=\xi _{i}=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{ik},\quad \eta _{i}=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{ik},\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,2n-2)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54fd95c007d233b04ce6ca50c3f11f748f0528d)
elles admettront en outre deux solutions dégénérescentes définies
au no 80 et que j’écrirai
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\mathrm {S} _{i,2n-1},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i,2n-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f127e4ce7f8e95ba81432cc9628ba3ac6e0918d0)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\mathrm {S} _{i,2n}+{\sqrt {\mu }}\,t\,\mathrm {S} _{i,2n-1},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i,2n}+{\sqrt {\mu }}\,t\,\mathrm {T} _{i,2n-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3314d4082fccb5f0425867eb0bb7095d8685835)
Les fonctions
et
sont
périodiques en
De plus
est divisible par ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Nous pouvons alors poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {S} _{ik}\theta _{k},&\eta _{i}&=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {T} _{ik}\theta _{k},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2be5bafa3e6b6e6f3a708cc08810db84036667)
et alors nous trouverons les équations
(14 bis)
|
|
|
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\theta _{2n-1}}{dt}}&+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{2n-1}}{dw_{k}}}-{\sqrt {\mu }}\theta _{2n}={\sqrt {\mu }}\Theta _{2n-1},\\{\frac {d\theta _{2n}}{dt}}&+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{2n}}{dw_{k}}}={\sqrt {\mu }}\Theta _{2n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb64f161f98d1d209644c14ff1b69b3224e9717)
Les fonctions
sont définies par les
équations du premier degré
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}'&=\sum _{k=1}^{k=2n}{\frac {\mathrm {S} _{ik}}{\sqrt {\mu }}}\Theta _{k},\\[1.5ex]{\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}'&={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{ik}\Theta _{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d21b85a19bf169e4736ee5903f3458744070da3)
Le déterminant de ces
équations, c’est-à-dire le déterminant
formé avec les
et les
ne s’annule pas pour
On le démontrerait comme dans le numéro précédent ; la seconde
démonstration en particulier peut être appliquée sans changement
au cas qui nous occupe.
Nous en conclurons que les fonctions
sont périodiques par
rapport à
et développables suivant les puissances croissantes et
positives des
et de
Cela posé, il est facile de démontrer la proposition du no 108.
Supposons en effet que
des exposants caractéristiques
aient leur partie réelle positive et cherchons à satisfaire
aux équations (14 bis) en remplaçant les
par des séries développées
suivant les puissances de
Soit donc
![{\displaystyle \theta _{i}={\textstyle \sum }[i,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma ]\,e^{\gamma {\sqrt {-1}}}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{p}^{\beta _{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9112d1fa7b39c16cbc3210d00f02208a1c6f19c)
sont des entiers positifs,
un entier positif ou
négatif et les coefficients
que j’écrirai aussi
pour abréger
sont des constantes qu’il s’agit de déterminer.
Si nous substituons ces valeurs des
dans les
il viendra
![{\displaystyle \Theta _{i}={\textstyle \sum }(i,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma )\,e^{\gamma {\sqrt {-1}}}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{p}^{\beta _{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66780886871a38883e0b37cadbe85adec0772b97)
les coefficients
ou
seront des constantes
qui dépendront, suivant une certaine loi, des coefficients
indéterminés
Je dis que les
et, par conséquent,
les
sont développables suivant les puissances croissantes
de
et que le développement ne contient pas de puissance négative.
En effet, les équations (14 bis) nous donnent
![{\displaystyle [i,\,\beta _{k},\,\gamma ]=(i,\,\beta _{k},\,\gamma ){\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}-\alpha _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8f0c1deff2bd3f6947ab289198ad78541b11cf)
pour
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}[2n,\,\beta _{k},\,\gamma ]&=(2n,\,\beta _{k},\,\gamma ){\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}}}\\{}[2n-1,\,\beta _{k},\,\gamma ]&=\{(2n,\,\beta _{k},\,\gamma )+(2n-1,\,\beta _{k},\,\gamma )\}{\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}}}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babd0d0e01da0059bf190cfb93610bdd97d0c7d0)
Ces formules permettent de calculer par récurrence les coefficients
Si, en effet, nous convenons de dire que le coefficient
de même que
est de degré
![{\displaystyle \beta _{1}+\beta _{2}+\ldots +\beta _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9a1d41f8f1de3dbee3af301c81bc6b16d8a99f)
il est aisé de voir que la quantité
ne dépend que des
coefficients
de degré moindre, qui peuvent être supposés
connus par un calcul préalable.
De même on peut démontrer par récurrence la proposition
énoncée. En effet, je dis qu’elle est vraie de
si elle est
vraie des coefficients de degré moindre ; car, s’il en est ainsi, elle
sera vraie de
qui dépend seulement de ces coefficients
de degré moindre. Il reste donc à démontrer que la fraction
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}-\alpha _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516f2dd0d6d6298bfd7e4e272da9b095a487911a)
est développable suivant les puissances positives de
Or, cela
est évident ; car, si
n’est pas nul, le dénominateur n’est pas divisible
par
Si
est nul le dénominateur est divisible par
mais non par
mais il en est de même du numérateur.
La proposition du no 108 est donc ainsi démontrée de nouveau.
112.Revenons au cas où il n’y a que 2 degrés de liberté et
reprenons les équations (14) du no 110.
Soit
une fonction qui, de même que
et
soit
développée suivant les puissances de
de
et
et qui soit telle que chacun de ses coefficients soit réel,
positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient du terme
correspondant dans
et
tous les termes de
seront
d’ailleurs, comme ceux des
du second degré au moins par rapport aux
Observons que le nombre
![{\displaystyle {\frac {n{\sqrt {-1}}}{2}}+p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d6344a7535b670485982a854a0e62c606a9d99)
(où
est entier positif, négatif ou nul, et où
est entier positif et
au moins égal à 1) est toujours plus grand en valeur absolue que 1,
quels que soient d’ailleurs n, p et
Or les nombres qui joueront
le rôle des diviseurs (5) du no 105 divisés par
sont précisément
de cette forme.
Formons alors les équations
(15)
|
|
|
qui sont analogues aux équations (2′′) du no 105.
Des équations (14), on peut tirer les
sous la forme de séries
ordonnées suivant les puissances de
et de
et qui sont
analogues aux séries (4′) du no 104. Des équations (15), on peut tirer
les
sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances des
mêmes variables et analogues aux séries (4′′) du no 105. Chacun des
termes de ces dernières séries est positif et plus grand en valeur
absolue que le terme correspondant des premières séries[1] si donc
elles convergent, il en est de même des séries tirées des équations (14).
Or il est aisé de voir que l’on peut trouver un nombre
indépendant
de
tel que, si
les séries tirées de (15) convergent.
Il en résulte que les séries ordonnées suivant les puissances
de
et tirées de (14) convergent uniformément quelque petit que
soit
ainsi que je l’ai annoncé plus haut. Ce raisonnement est
en tout point semblable à celui du no 105 ; la fonction
joue le
rôle de
et
celui de
car tous les diviseurs (5) sont de la forme
et par conséquent plus grands que
en valeur absolue.
Nous possédons maintenant les
sous la forme de séries ordonnées
suivant les puissances de
et de
les coefficients sont
des fonctions connues de
Si l’on développe chacun de ces coefficients
suivant les puissances de
on obtiendra les
développés
suivant les puissances de
Les séries ainsi obtenues sont divergentes,
comme nous l’avons vu plus haut ; soient néanmoins
(16)
|
|
|
ces séries.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} _{1}&=\Theta _{1}+\theta _{1},&\mathrm {H} _{2}&=\Theta _{2}-\theta _{2},&\mathrm {H} _{3}&=\Theta _{3}+\theta _{3},&\mathrm {H} _{4}&=\Theta _{4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510648bf07bd6a095839713682dbe9daafc37ed9)
Posons
(17)
|
|
|
en égalant
aux
premiers termes de la série (16) plus un
terme complémentaire ![{\displaystyle \alpha ^{p}u_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f18fb0c88b8be26ca84a5e755c87ad0efda246c)
Si dans
on remplace les
par leurs développements (17), les
peuvent se développer suivant les puissances de
et on peut écrire
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}=\Theta _{i}^{0}+\alpha ^{2}\Theta _{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p-1}\Theta _{i}^{p-1}+\alpha ^{p}\mathrm {U} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09e45b9469efe2f7c35ede9a48d8f607207985a)
les
étant indépendants de
pendant que
est développable
suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
On aura alors les équations
(18)
|
|
|
et ensuite
(19)
|
|
|
Voici quelle est la forme de la fonction
les quantités
peuvent être regardées comme des fonctions connues de
et de
définies par les équations (18) et par l’équation (20) que j’écrirai
plus loin, pendant que les
restent les fonctions inconnues.
Alors
est une fonction développée suivant les puissances de
de
de
et des
De plus, tout terme du
ième degré par rapport aux
est au moins du degré
par rapport à
En effet, les
et par conséquent les
sont
développables suivant les puissances des
et, par conséquent, des
et des
Tout terme du
ième degré par rapport aux
sera donc divisible
par
dans
et par
dans
![{\displaystyle \mathrm {U} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1594f7057b1b9c89f7fd9ea343add6d769cc2f10)
Soit
ce que devient
quand on annule
et les
on aura
(20)
|
|
|
Je puis ensuite, en posant
![{\displaystyle \mathrm {U} _{i}'=\mathrm {U} _{i}-w\,{\frac {d\theta _{i}^{p}}{dw}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36519f0f49be8dbe62139c5fb881509cfd78e3f6)
puis
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} _{1}&=\mathrm {U} _{1}'-u_{1},&\mathrm {V} _{2}&=\mathrm {U} _{2}'+u_{2},&\mathrm {V} _{3}&=\mathrm {U} _{3}'-u_{4},&\mathrm {V} _{4}&=\mathrm {U} _{4}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e62cfad9a433e311337054338f66f7c834df65)
mettre les équations (19) sous Ja forme
(21)
|
|
|
On voit alors que les
ne contiennent que des termes du
deuxième degré au moins par rapport à
et aux ![{\displaystyle u_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f89c186305a7404fa27735b8db0514aa6d3447)
En effet, les
sont divisibles par
et se réduisent à
ou à 0
quand on y supprime les termes de degré supérieur au premier
en
Il en résulte d’abord que
est divisible par
D’autre part, le second membre de l’équation (17) ne contiendra que des
termes du premier degré au moins par rapport à
et
Donc
ne contient que des termes du deuxième degré par rapport à
et
aux
Il en résulte que les seuls termes du premier degré qui
peuvent subsister dans
et
se réduisent respectivement
à
et 0.
D’ailleurs
est divisible par
donc les
ne contiennent que des termes du deuxième degré au moins.
C.Q.F.D.
Des équations (21) on peut tirer les
sous la forme de séries
développées suivant les puissances de
et de
En appliquant
à ces équations le même raisonnement qu’aux équations (14), je
vais démontrer que ces séries convergent quand
et que
la convergence reste uniforme quelque petit que soit
Il en sera de même pour les séries qui représentent
Il résultera de là qu’on peut assigner une limite supérieure indépendante
de
à
à
pourvu que
Je montrerai ensuite plus loin, aux nos 116 et 117, que cela a
encore lieu pour toutes les valeurs positives de
Soit en effet
une fonction développée suivant les puissances de
des
de
et de
et telle que l’on ait
(pour
)
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}<\Phi \left(\mathrm {arg.} u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4},\,\alpha ,\,w,\,e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3b6ae069c5c7c3f3db0bcb66bdbd8d758b516f)
Soit
ce que devient
quand on y remplace
par
Envisageons les équations suivantes
(21 bis)
|
|
|
analogues aux équations (15). Il est clair que ces équations admettront
une solution telle que
soient développables
suivant les puissances de
de
et de
et s’annulent avec
![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Ces séries
seront convergentes pourvu que
ne dépasse pas une certaine limite que j’appellerai
Comparons
maintenant les équations (21) et les fonctions
qui y
satisfont, avec les équations (21 bis) et les fonctions
qui y satisfont.
Je me propose d’établir que
t
![{\displaystyle u_{i}\ll u_{i}'\left(\mathrm {arg.} \;w,\,e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ed1dae7469f77048a849c2baa7be1ca6b1c957)
(Je fais remarquer que
ne figure pas parmi les arguments
par rapport auxquels est prise cette inégalité.)
En effet, soit
et
l’ensemble des termes de
et de
qui sont de degré
au plus en
supposons que l’on ait établi que
![{\displaystyle u_{i}^{n}\ll u_{i}'^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8a6c376dfea1ab3bfe1ed6da14aa194163812f)
Je vais faire voir que
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}\ll u_{i}'^{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0845b41c2b998b4afcae96aec0356d139c3cf74d)
J’aurai alors établi par récurrence l’inégalité à démontrer.
Si l’on substitue dans
et dans
à la place des
et des
les développements de ces quantités suivant les puissances de
et de
ces fonctions
et
deviendront elles-mêmes
développables suivant les puissances de
et de
Désignons encore par
et
l’ensemble des termes de degré
au plus en
Si alors
on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}^{n+1}\ll \Phi '^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee96cb2e6e368338aba22a9a48adc5fbce4e47f7)
Soit alors
![{\displaystyle \mathrm {A} \,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3399767ff42e6fd987dd2661cd264dc8469f5a0)
un terme de
et
![{\displaystyle \mathrm {A} _{i}\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5a6094ffab39c3a61ec0d6d9b17f127536f869)
le terme correspondant de
on aura
![{\displaystyle |\mathrm {A} _{i}|<\mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b8a8d7f90736b22b76918dff2a0a186e28e740)
Soient alors
![{\displaystyle \mathrm {B} _{i}\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {B} _{i}'\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200b9d4147033dcef04aedd696451bb9e3174ac4)
les termes correspondants de
et de ![{\displaystyle u_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244434f04a91d93ff9fecae30396773972448895)
Les équations (21) et (21 bis) nous donnent alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{1}={\frac {\mathrm {A} _{1}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n}},\qquad \mathrm {B} _{2}&={\frac {\mathrm {A} _{2}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+2}},\qquad \mathrm {B} _{4}={\frac {\mathrm {A} _{4}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+1}},\\[1ex]\mathrm {B} _{3}&={\frac {\mathrm {B} _{4}+\mathrm {A} _{3}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+1}}\cdot \\[1ex]\mathrm {B} _{1}'=\mathrm {B} _{2}'&=\mathrm {B} _{4}'=\mathrm {A} ,\qquad \mathrm {B} _{1}'=\mathrm {B} _{4}'+\mathrm {A} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbde3ea7572c46f82a7008d3605c8668dc4760a)
Comme
![{\displaystyle \left|{\frac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n\right|>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010210d808e00a0387976dc5da8280782e93b636)
on a
![{\displaystyle |\mathrm {B} _{i}|<\mathrm {B} _{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6c40e7b6982b33727e3c035db6d91aad2deb64)
d’où
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}\ll u_{i}'^{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8181013ae10f48549fb74655fb3b31e42dafbc76)
et par récurrence
![{\displaystyle u_{i}\ll u_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77786ea20362816cf2303a9820f56ce5e729096f)
C.Q.F.D.
Comme cette inégalité est prise par rapport aux arguments
et
elle peut être différentiée tant par rapport à
que par
rapport à
de sorte que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du_{i}}{dt}}&\ll {\frac {du_{i}'}{dt}},&{\frac {du_{i}}{dw}}&\ll {\frac {du_{i}'}{dw}},&{\frac {d^{2}u_{i}}{dw^{2}}}&\ll {\frac {d^{2}u_{i}'}{dw^{2}}},&&\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d374a61fff48907ca4e1cc451fae4aaaf4afbdcb)
Soit
la valeur de
pour
si
on aura pour les valeurs positives de
![{\displaystyle |u_{i}|<u_{i}'^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525fc1137b380464b9deb9a74a46e8fb7d006c6b)
Mais
est développable suivant les puissances de
on peut
donc lui assigner une limite supérieure indépendante de
pour les
petites valeurs de
puisqu’il tend vers une limite finie quand
tend vers o.
Il en est de même, en vertu des inégalités que nous venons
d’établir de
On démontrerait de même qu’il en est encore ainsi des dérivées
C.Q.F.D.
113.Observons que les équations (14) et de même les équations
(21) peuvent se mettre sous la forme canonique.
En effet, si nous posons, comme au début du no 110,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd309daff57bb87198aa40aaf7fd62e41858684)
{{SA|les équations canoniques du mouvement être divisibles par
mais elles peuvent être d’ailleurs
quelconques, puisque
ne sont déterminés qu’à un
facteur constant près. Nous pourrons donc poser
![{\displaystyle (\mathrm {U} ,\mathrm {U} ')=(\mathrm {U} '',\mathrm {U} ''')=\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf722b3971b520c14cb6f060a9f53c180c6f1709)
Si l’on observe que, d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\xi _{i}&=\theta _{1}\,d\mathrm {S} _{i}+\theta _{2}\,d\mathrm {S} _{i}'+\theta _{3}\,d\mathrm {S} _{i}''+\theta _{4}\,d\mathrm {S} _{i}'''+\mathrm {S} _{i}\,d\theta _{1}+\mathrm {S} _{i}'\,d\theta _{2}+\mathrm {S} _{i}''\,d\theta _{3}+\mathrm {S} _{i}'''\,d\theta _{4}\\d\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}\,\delta \theta _{1}+\mathrm {S} _{i}'\,\delta \theta _{2}+\mathrm {S} _{i}''\,\delta \theta _{3}+\mathrm {S} _{i}'''\,\delta \theta _{4},\qquad \ldots .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665ac3db4bb533a9592a8aae170febc6742f5e20)
On conclura que
![{\displaystyle \alpha (d\theta _{1}\,\delta \theta _{2}-d\theta _{2}\,\delta \theta _{1}+d\theta _{3}\,\delta \theta _{4}-d\theta _{4}\,\delta \theta _{3})=(\delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega )\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270ab03755ddb856f408168340c99b0918f6218c)
désignant une expression homogène et linéaire tant par rapport
aux
que par rapport aux
les coefficients de cette fonction
bilinéaire sont d’ailleurs des fonctions périodiques de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Je dis que
est une différentielle exacte et, en effet, les équations (14) nous donnent
![{\displaystyle \alpha (d\theta _{1}\,\delta \theta _{2}-d\theta _{2}\,\delta \theta _{1}+d\theta _{3}\,\delta \theta _{4}-d\theta _{4}\,\delta \theta _{3})=\alpha ^{2}(\delta \mathrm {G} +\delta \mathrm {G} ')\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e98e102e1cb373f3e8a225347be1b8d52a11ce9)
où
est la différentielle exacte d’une fonction
![{\displaystyle \mathrm {G} =\theta _{1}\theta _{2}+{\frac {\theta _{4}^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4128943c51181c2cd0f5b8b594fdaf3eda30b070)
et où
![{\displaystyle \delta \mathrm {G} '=\Theta _{1}\,\delta \theta _{2}-\Theta _{2}\,\delta \theta _{1}+\Theta _{3}\,\delta \theta _{4}-\Theta _{4}\,\delta \theta _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e05ea20c76426ecbfba06b095b91963ae9a7af)
Je dis que
est une différentielle exacte ; il suffit, pour s’en convaincre, d’observer que, dans cette
expression, les termes du premier degré par rapport aux
se
réduisant à
sont une différentielle exacte et qu’il doit en être
de même de ceux dont le degré est supérieur à 1, puisque
est
une différentielle exacte et que
ne contient que des termes du premier degré.
Nous pouvons donc poser
![{\displaystyle \delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega =\alpha ^{2}\delta \Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268b45252b4052a470b5d7ba82db7c43ae446729)
où
![{\displaystyle \Phi =\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {F} ''}{\alpha ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a979ea8aab20df045366ff22d4611123b4989ce9)
désignant l’ensemble des termes de
qui sont de degré supérieur
au deuxième par rapport aux
et aux ![{\displaystyle \eta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15db564442258b161e5e0aae9ec81db21990d95b)
Nous pouvons donc écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}&=\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{2}}},&{\frac {d\theta _{2}}{dt}}&=-\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{1}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a30229489a73a33ade11039032ab87b99e3b88)
Si nous nous rappelons que les
dépendent de
non pas
seulement directement, mais encore par l’intermédiaire de
nous
écrirons ces équations sous la forme
(14 bis)
|
|
|
auxquelles il faudrait adjoindre deux équations analogues que l’on déduirait des premières en changeant
et
en
et ![{\displaystyle \theta _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ff51bc9abbd326e73a76dcd2e72a0c3f79755a)
Ce sont là les équations (14) mises sous la forme canonique.
Il s’agit d’en faire autant pour les équations (21).
Si, dans
on remplace les
par leurs valeurs (17), cette
fonction devient développable suivant les puissances croissantes de
et des
si ensuite nous désignons par
l’ensemble des
termes du degré
au moins par rapport à
nos équations deviennent
(21 bis)
|
|
|
avec deux autres équations analogues.
Ce sont là les équations (21) ramenées à la forme canonique.
Forme des fonctions ![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a589bf969bb8a58024eea46d7d159e9eb442fb8)
114.Considérons la fonction
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,y_{1},\,y_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f67e004447eaafca4d3a3e050aed80b1180e867)
et remplaçons-y
par
(22)
|
|
|
et
par
(22 bis)
|
|
|
Les lettres
(23)
|
|
|
ont la même signification que dans le no 108. La seule différence
est que nous n’avons ici que 2 degrés de liberté et que le paramètre
par rapport auquel nous développons et qui joue le rôle
de
est ici égal à
les quantités (23) sont donc des fonctions
connues de
et de
Quant à
et
ce sont
des termes complémentaires quelconques. Je me propose de rechercher à
quelle condition
est développable suivant les puissances de
des
et des ![{\displaystyle v_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c816d8f7a258ef517a2bca018fbdb4ca8db1dc5)
Posons pour abréger
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\alpha x_{i}^{1}&{}+{}&\alpha ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+\alpha ^{p+1}x_{i}^{p+1}&&{}+{}\alpha ^{p+1}&v_{i}&=x_{i}',\\\alpha y_{i}^{1}&{}+{}&\alpha ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+\alpha ^{p}y_{i}^{p}&&{}+{}\alpha ^{p}&v_{i}'&=y_{i}'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302d51d77f201edb2dabfb86ddb7d26e6aed502b)
La condition nécessaire et suffisante pour que
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{i}^{0}+x_{i}',\,n_{i}t+y_{i}^{0}+y_{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbaa253fd05383c831e28bb5ab3e29cb9efaf413)
soit développable suivant les puissances croissantes des
et
des
et, par conséquent, suivant celles de
des
et des
sera évidemment que le point
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&y_{i}&=n_{i}t+y_{i}^{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0d10e70d0a66962013f42cf6183545a3843cef)
ne soit pas un point singulier pour ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
Or
et
sont des constantes ; les
sont des fonctions de
définies par les équations (8) du no 108. Mais il arrivera, dans la
plupart des applications, que, si l’on donne à
et à
les valeurs
constantes qui correspondent à une solution périodique,
restera
holomorphe quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux
Prenons, par exemple, le problème du no 9 et supposons que
définissent la forme de l’ellipse décrite par la
masse infiniment petite, pendant que
définissent la position du périhélie de cette ellipse et celle de la masse sur son orbite.
Pour que
cessât d’être holomorphe, il faudrait que cette
masse infiniment petite rencontrât une des deux autres masses ; or, si l’ellipse ne coupe pas la circonférence décrite par la seconde
masse, comme il arrivera dans presque toutes les applications,
cette rencontre ne pourra jamais se produire quelles que soient
les valeurs réelles attribuées à
et à
Il en sera encore de même si nous prenons un plus grand
nombre de degrés de liberté et si nous étudions le Problème des
trois Corps dans toute sa généralité.
Alors les variables
définissent la forme des ellipses et
l’inclinaison mutuelle de leurs plans, les variables
définissent la
position des nœuds, des périhélies et des masses elles-mêmes. Il arrivera
alors, dans la plupart des cas, que, si l’on donne aux variables
les valeurs
qui correspondent à une solution périodique et
à l’hypothèse limite
ces deux ellipses ne pourront se couper
de quelque manière qu’on les tourne dans leur plan. La fonction
ne pourra donc cesser d’être holomorphe quelles que soient les
valeurs réelles attribuées aux
Nous sommes ainsi conduit à supposer que, pour
est
holomorphe pour toutes les valeurs réelles des
Les cas où cela
n’aurait pas lieu n’ont pas d’importance au point de vue des applications.
C’est d’ailleurs l’hypothèse que nous avons toujours faite jusqu’ici.
Si alors on remplace dans
les
et les
par les
expressions (22),
peut se développer suivant les puissances de
de
et de
et ce développement, dont les coefficients sont des fonctions
de
et de
reste convergent pour toutes les valeurs de
et
de
Les rayons de convergence tant par rapport à
qu’aux
et aux
sont des fonctions continues de
et de
qui ne
s’annulent pour aucune valeur réelle de ces variables.
Si l’on observe que les
les
les
les
les
sont liés entre eux par les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\alpha \zeta _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4cc9e003386f261f2f9c6a6ee75ceca8a5cb30)
et par les relations (13 bis), (17) et (22), on conclura que
et,
par conséquent,
sont développables suivant les puissances de
et des
que les coefficients du développement et les rayons de
convergence sont des fonctions continues de
et de
et que ces
rayons de convergence ne s’annulent pour aucune valeur réelle
de
et de ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
De ce fait, et de ce que nous savons déjà au sujet des fonctions
(qui ne sont autre chose que les dérivées de
), nous
pouvons conclure ce qui suit :
On peut trouver deux nombres réels et positifs
et
indépendants de
et de
assez grands pour que l’on ait (en posant,
pour abréger,
)
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}\ll \mathrm {M} w^{2}+\mathrm {M} ws+{\frac {\mathrm {M} \alpha ^{p}s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}\qquad (\mathrm {arg} \,\alpha ,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcb677850b0dbfdea69eea1145f093c1abe281d)
pour toutes les valeurs réelles de
et pour toutes les valeurs de
comprises entre 0 et une limite supérieure quelconque
Cela
aura lieu quelque grand que soit
mais les nombres
et
devront être choisis d’autant plus grands que
sera lui-même plus grand.
Lemme fondamental.
115.Établissons maintenant le lemme suivant :
Soient
deux fonctions de
et
qui soient développables suivant les puissances de
et telles que l’on
ait pour toutes les valeurs de
et de
que l’on a à considérer
![{\displaystyle \varphi \ll \varphi '\quad (\mathrm {arg} \,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20ad97c3a6b0690e5fc2950e0d2432cb44c8514)
Considérons les deux équations suivantes
(1)
|
|
|
et
(1 bis)
|
|
|
Considérons une solution particulière de chacune de ces deux
équations, choisie de telle sorte que, pour
(
étant une
valeur positive quelconque de
), on ait
![{\displaystyle |x|<x'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d925f60da9c41650bf66d17102ecb5b128625973)
Je dis que, pour toutes les valeurs de
plus grandes que
on aura encore
(2)
|
|
|
Changeons de variables en posant
![{\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\log w+\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa779b952df303fca85c69c7b1b48dbffc7d11c)
On aura alors, en représentant par des
ronds les dérivées partielles
prises par rapport aux variables
et ![{\displaystyle w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6)
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial w}}={\frac {dx}{dw}}+{\frac {1}{\alpha \,w}}\,{\frac {dx}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e391f01f0b1a7d13e028ce15f0893973461567d8)
Nos équations deviendront donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \,w{\frac {\partial x}{\partial w}}&=\varphi ,&\alpha \,w{\frac {\partial x'}{\partial w}}&=\varphi ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49cd0fcb6d22ade04c0abd420c0edf1f342e7b2)
si pour un certain système de valeurs des variables
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&=w_{1},&\tau &=\tau _{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d62ae2f2e41bd13ba341c71c511a83fa97e87c9)
l’inégalité (2) est satisfaite ; on aura également
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\varphi |&<\varphi ',\\[1ex]\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}\right|&<{\frac {\partial x'}{\partial w}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a20ec57a0166e5a6b318868dd0ec4b9e9c894f)
de sorte que l’inégalité (2) sera encore satisfaite pour
![{\displaystyle w=w_{1}+dw,\qquad \tau =\tau _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd937774883218c496a3aac1dab3856086a9d274)
puisque l’on aura
![{\displaystyle |x|<x'\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<{\frac {\partial x'}{\partial w}}dw}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3303312284120ea512f6aba8be6bb8a1db6c74ad)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \left|x+{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<|x|+\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<x'+{\frac {\partial x'}{\partial w}}dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77d543ac4703a97f9bcc59e0e222fcf3a4eb9b5)
Il suffit donc qu’elle le soit encore quand on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&=w_{0},&\tau &=\tau _{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0af7e4def7f22a8f4b2bda255ed9d0e83772c0e)
pour qu’elle le soit quand on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&>w_{0},&\tau &=\tau _{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b25029c6a19d1e0418503825fb6f9be3bf1e382)
Mais nous avons supposé qu’elles le sont, quel que soit
et, par
conséquent
pour
elles le seront donc encore, quel que
soit
et, par conséquent
pour
C.Q. F. D.
On démontrerait absolument de la même manière un lemme un
peu plus général :
Soient
des fonctions de
et
développables suivant les puissances des
et
telles que l’on ait pour toutes les valeurs considérées de
et de
![{\displaystyle \varphi _{1}\ll \varphi _{1}',\quad \varphi _{2}\ll \varphi _{2}',\quad \ldots ,\quad \varphi _{n}\ll \varphi _{n}',\qquad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbdda219bf984b16f20ab5a3eb9a4ad1c2b6302)
Envisageons les équations
(3)
|
|
|
et
(3 bis)
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|
Supposons que l’on ait, quel que soit
pour ![{\displaystyle w=w_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5421e3abc33fed701a68a8ab2a229a807c59b2)
![{\displaystyle |x_{i}|<x_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71d7a18593eaf995de92dd1b086cc2b379a917a)
cela aura lieu quel que soit
pour ![{\displaystyle w>w_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75b74406c2a1b9cc2bb980e3a145a157bb0777b)
Faisons maintenant des hypothèses plus particulières au sujet
des fonctions
et
Supposons :
1o Que ces fonctions sont périodiques par rapport à
et de période
2o Que pour les petites valeurs de
elles sont développables
suivant les puissances croissantes de
cela peut d’ailleurs ne pas
avoir lieu pour toutes les valeurs considérées de
il suffit qu’il
en soit ainsi pour les petites valeurs de cette variable ;
3o Que ces fonctions sont développables suivant les puissances entières du paramètre
et sont divisibles par
on doit d’ailleurs avoir
![{\displaystyle \varphi _{i}\ll \varphi _{i}'\qquad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},\,\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecf51d2f0e26b4994e2e48bd1d2fa88d6ddb8a3)
4o Que si l’on appelle
et
ce que deviennent
et
quand on y annule tous les
ces quantités
et
sont divisibles par
Si toutes ces hypothèses sont réalisées, les théories des numéros
précédents nous font savoir qu’il existe des solutions particulières
des équations (3) et (3 bis) de la forme suivante
(4)
|
|
|
les
et les
étant des fonctions de
et de
périodiques
par rapport à
et développables suivant les puissances croissantes de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Les équations (3) [ou (3 bis) qui sont de même forme] peuvent
en effet se ramener à la forme des équations (2) du no 104.
Reprenons, en effet, ces équations (2) du no 104, elles s’écrivent
![{\displaystyle {\frac {\partial \xi _{i}}{\partial t}}=\Xi _{i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2325da8d820dfec61ab8608fb09153edbb857b7)
les
étant développables suivant les puissances des
et d’un
paramètre très petit, sont de plus des fonctions de
elles s’annulent
avec les ![{\displaystyle \xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590fd98954ba468f505f262c67f06f0337ec4e48)
Les
dépendent de
non seulement directement, mais par l’intermédiaire
des exponentielles
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b52537a72ee725d053f3b5c0fdd1425cba72dd8)
Ici nous supposons que tous les coefficients
sont
nuls à l’exception de l’un d’entre eux ; nous n’aurons donc à nous
occuper que d’une seule exponentielle
Les
dépendront
alors de
d’abord directement, puis par l’intermédiaire de
Si
donc nous représentons les dérivées partielles par des
et les
dérivées totales par des
il viendra
![{\displaystyle {\frac {\partial \xi _{i}}{\partial t}}={\frac {d\xi _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\xi _{i}}{dw}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8b1e9af9d884385a4567aa353cf6066430303e)
et nos équations deviendront
(5)
|
|
|
La seule différence de forme entre les équations (3) et les équations
(5), c’est alors que les seconds membres des équations (3)
dépendent de
et ne s’annulent pas pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bf1250fc2108e116b790ef505b26e63003d3e7)
Mais il est aisé de faire disparaître cette différence de forme. Il
suffit pour cela d’adjoindre aux équations (3) l’équation suivante
![{\displaystyle {\frac {dx_{n+1}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx_{n+1}}{dw}}=\alpha \,x_{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd04b6647665faefa0be4f1e49c80bdc66811832)
qui admet pour solution
et de remplacer
par
dans les fonctions
Alors ces fonctions
ne contiennent plus
et s’annulent pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n+1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ff803e0394dcb18b1b7117a030d0d83ebe17a7)
Nous pouvons donc appliquer aux équations (3) et (3 bis) les
résultats du no 104 et conclure que ces équations admettent des
solutions de la forme (4).
Le calcul des coefficients
se fait très facilement
par récurrence en appliquant les procédés du no 104.
Supposons donc que l’on trouve ainsi
![{\displaystyle |\mathrm {A} _{i,2}|<\mathrm {A} _{i,2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ce844fccf76b9a7f2208edb5130df4e6f4e825)
et cela quel que soit ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Nous en conclurons que
![{\displaystyle \lim \left|{\frac {x_{i}}{w^{2}}}\right|<\lim {\frac {x_{i}'}{w^{2}}}\qquad (\mathrm {pour} \;w=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b81a04cf1d493693d0de42ec46b757ff1ddad8)
et, par conséquent, qu’on peut trouver une valeur
de
assez
petite pour que l’on ait
![{\displaystyle |x_{i}|<x_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71d7a18593eaf995de92dd1b086cc2b379a917a)
pour toutes les valeurs réelles de
et pour toutes les valeurs de
plus petites que
et plus grandes que 0.
On aura alors, en vertu du lemme démontré plus haut,
![{\displaystyle |x_{i}|<x_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71d7a18593eaf995de92dd1b086cc2b379a917a)
pour toutes les valeurs réelles de
et pour toutes les valeurs positives de ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Analogie des séries du no 108 avec celle de Stirling.
116.Appliquons le lemme précédent aux équations (21) que
nous écrirons
(21)
|
|
|
D’après ce que nous avons vu à la fin du no 114, nous pouvons
trouver deux nombres positifs
et
tels que, pour toutes les
valeurs réelles de
et pour toutes les valeurs de
comprises entre
0 et
(et cela restera vrai quelque grand que soit
), on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} _{i}'\ll u_{k}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,w\,s&+{\frac {\mathrm {M} \alpha ^{p}s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}\qquad (\mathrm {arg} \;\alpha ,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}),\\[1ex]s&=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103a55d4ce56b019c36552395d116dd738b81f88)
Quant à l’indice
de
il est égal à
pour
ou
et à
pour
ou
Posons alors
![{\displaystyle u_{k}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,w\,s+{\frac {\mathrm {M} \,\alpha ^{p}\,s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}=\Phi (w,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6558e5e3ea9305d8bcd83d60739f77e848141b33)
et comparons aux équations (21) les équations
(21 bis)
|
|
|
Parmi les solutions particulières des équations (21) et (21 bis),
nous choisirons celles qui sont divisibles par
(ce sont bien
celles-là que nous avons appelées plus haut
).
Il est clair que nous pourrons toujours prendre
assez grand pour que
![{\displaystyle \lim \left|{\frac {u_{i}}{w^{2}}}\right|<\lim {\frac {u_{i}'}{w^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f51d2a25934a638f408a564b67e06d07e5dd9e)
Nous en conclurons alors que
![{\displaystyle |u_{i}|<u_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789004fb5d20e0dbefbbb7a0df826cf61b78ba61)
pour
![{\displaystyle 0<w<\mathrm {W} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0ea1dc09c12effc4aca015fb933eb880676718)
Cherchons maintenant à intégrer les équations (21 bis). J’observe
d’abord que,
ne dépendant pas de
les
n’en dépendront pas
non plus et qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'=u_{2}'&=u_{3}'=u_{4}'={\frac {s'}{4}},\\[1ex]w\,{\frac {ds'}{dw}}={\frac {s'}{4}}+\mathrm {M} \,w^{2}&+\mathrm {M} \,s'\,w+{\frac {\mathrm {M} \,\alpha ^{p}\,s'^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s'}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e1ca070f6cab22982e47e4218db36e202b332e)
Cette dernière équation admet une intégrale
![{\displaystyle s'=\varphi (w,\,\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32cec424faa91deaf3c9dafbc933049afe828a3b)
développable suivant les puissances de
et de
et divisible
par
quand
tend vers 0,
tend manifestement vers l’intégrale
de l’équation
![{\displaystyle w\,{\frac {ds'}{dw}}={\frac {s'}{4}}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,s'\,w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c2ea337f8e43ecf8967dc89a4cad5bcf880f1d)
Cette équation linéaire s’intègre très aisément, on trouve
![{\displaystyle \lim s'=\mathrm {M} \,w^{\frac {1}{4}}\,e^{\mathrm {M} w}\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {M} w}\,w^{\frac {3}{4}}\,dw\qquad (\mathrm {pour} \;\alpha =0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695f21d76641974ffe088e6290b5bc695378f581)
De cette formule, je ne veux retenir qu’une chose, c’est que, si
![{\displaystyle 0<w<\mathrm {W} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f11c5177488416fd63e51c65aaa06d56a6a9fdf)
et, par conséquent,
et
tendent vers une limite finie
quand
tend vers 0.
Il résulte de là que la série
![{\displaystyle \theta _{i}^{0}+\alpha \theta _{i}^{1}+\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c9f0811c39082345b732874afd3b485ebf5ace)
représente la fonction
asymptotiquement (c’est-à-dire à la façon
de la série de Stirling) ou, en d’autres termes, que l’expression
![{\displaystyle {\frac {\theta _{i}-\theta _{i}^{0}-\alpha \theta _{i}^{1}-\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}-\ldots -\alpha ^{p-1}\theta _{i}^{p-1}}{\alpha ^{p-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781009423a4a10e2b3bbe375eabe2e872b3f1b6c)
tend vers 0 avec
En effet, cette expression est égale à
![{\displaystyle \alpha (\theta _{i}^{p}+u_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2252126027fbf5d24a20933597e8a0d7ad96cd53)
et nous venons de voir que
reste fini quand
tend vers 0.
117.Mais ce n’est pas tout ; je dis que
reste fini quand
tend vers 0.
Nous avons en effet
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)+\alpha \,w\,{\frac {d}{dw}}\!\left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)+\alpha \left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)=\alpha {\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}{\frac {du_{k}}{dw}}+\alpha {\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2458acb21ef67c9576762bbde2584581dd54722)
et
sont des fonctions de
de
de
et des
mais, d’après
ce que nous venons de voir, nous pouvons assigner aux
des
limites supérieures ; nous pourrons donc en assigner également
aux
et aux
Supposons, par exemple, que l’on ait
![{\displaystyle \left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}\right|<\mathrm {A} ,\quad \left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\right|<\mathrm {B} \quad (\mathrm {pour} \;w<\mathrm {W} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1643f83ad26240a91c378d7537705b1a60de21a)
et
étant deux nombres positifs.
D’autre part, nous savons qu’on peut assigner une limite à
pour
si
est inférieur à la quantité que nous avons
appelée
à la fin du no 112.
Supposons, par exemple, que l’on ait
![{\displaystyle \left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\right|<u_{0}'\quad \mathrm {pour} \;w=w_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c269faf8d18ea60a1d51eb1101e5fe38464c37)
étant un nombre positif. Soit ensuite
une fonction définie comme il suit
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {du'}{dw}}&=\alpha \,u'(4\mathrm {A} +\mathrm {W} )+\alpha \,\mathrm {B} ,\\[1ex]u'=u_{0}\quad &\mathrm {pour} \quad w=w_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9538a395320be691e2a2e0bdb08c227967cff19)
On aura manifestement
![{\displaystyle \left|{\frac {du_{i}}{dw}}\right|<u'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32ddbe14f70a5f5ca9520c5fd5c2ef0947bfdad)
Or on voit sans peine que
ne dépend que de
et satisfait à l’équation
![{\displaystyle w\,{\frac {du'}{dw}}=u'(4\mathrm {A} +\mathrm {W} )+\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d664eb59c03d007901d4b4fc6336ecafa0f3d4e)
Donc
est fini ; donc
reste finie quand
tend vers 0.
Donc on a asymptotiquement (en entendant ce mot au même sens que plus haut)
![{\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dw}}={\frac {d\theta _{i}^{0}}{dw}}+\alpha {\frac {d\theta _{i}^{1}}{dw}}+\alpha ^{2}{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dw}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23477847c82df84f8b951042f54bc862f851483)
On démontrerait de même que l’on a asymptotiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\theta _{i}}{dt}}&=\,{\frac {d\theta _{i}^{0}}{dt}}\;+\alpha \,{\frac {d\theta _{i}^{1}}{dt}}\;+\alpha ^{2}\,{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dt}}\;+\ldots ,\\[1ex]{\frac {d^{2}\theta _{i}}{dw^{2}}}&={\frac {d^{2}\theta _{i}^{0}}{dw^{2}}}+\alpha {\frac {d^{2}\theta _{i}^{1}}{dw^{2}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}\theta _{i}^{2}}{dw^{2}}}+\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b16b63e943b9d96aa83b7850b58714552848306)
Voici donc la conclusion finale à laquelle nous parvenons :
Les séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0}&+{\sqrt {\mu }}x_{i}^{1}+\mu x_{i}^{2}+\ldots ,&n_{i}t+y_{i}^{0}&+{\sqrt {\mu }}y_{i}^{1}+\mu y_{i}^{2}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d554739d0bf907a45aef3cfcce791ab0642794)
définies dans ce paragraphe sont divergentes, mais elles jouissent
de la même propriété que la série de Stirling, de telle sorte que
l’on a asymptotiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}x_{i}^{1}+\mu x_{i}^{2}+\ldots ,\\y_{i}&=n_{i}t+y_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}y_{i}^{1}+\mu y_{i}^{2}+\ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9537fa3bee8b695725d14d8f5d07780b0d5b5ef6)
De plus, si
est un signe quelconque de différentiation, c’est-à-dire si l’on pose
![{\displaystyle \mathrm {D} f={\frac {d^{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{k}}f}{dt^{\lambda _{0}}dw_{1}^{\lambda _{1}}dw_{2}^{\lambda _{2}}\ldots dw_{k}^{\lambda _{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6cc0b6c9c01f9fc77e8b3cb2ee95860b372f81)
on aura encore asymptotiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} x_{i}&=\mathrm {D} x_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {D} x_{i}^{1}+\mu \mathrm {D} x_{i}^{2}+\ldots ,\\\mathrm {D} y_{i}&=\mathrm {D} (n_{i}t+y_{i}^{0})+{\sqrt {\mu }}\mathrm {D} y_{i}^{1}+\mu \mathrm {D} y_{i}^{2}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1661a09cd6443c94cbd3ac01beb59a16d0950875)
En ce qui concerne l’étude des séries analogues à celles de Stirling, je renverrai au § 1 d’un Mémoire que j’ai publié dans les
Acta mathematica (t. VIII, p. 295).
Il est clair d’ailleurs que les mêmes raisonnements subsisteraient
quand on aurait plus de 2 degrés de liberté et, par conséquent
variables
au lieu d’une seule.
FIN DU TOME PREMIER.