CHAPITRE VI.
DÉVELOPPEMENT APPROCHÉ DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Énoncé du problème.
90.J’ai dit que M. Flamme avait donné une remarquable expression
approchée des termes de rang élevé de la fonction perturbatrice.
Il y est parvenu en appliquant à ce problème la méthode de
M. Darboux qui permet de trouver les coefficients de rang élevé
dans la série de Fourier ou dans celle de Taylor, quand on connaît
les propriétés analytiques de la fonction représentée par ces séries.
Mais la méthode de M. Darboux n’est applicable qu’aux fonctions
d’une seule variable, tandis que la fonction perturbatrice
doit être développée suivant les sinus et cosinus des multiples des
deux anomalies moyennes. Voici donc quel est le détour employé
par M. Flamme : il obtient d’abord, par les procédés ordinaires,
un premier développement de la fonction perturbatrice dont les
termes sont de la forme
![{\displaystyle \Lambda \rho ^{\alpha }e^{i(\beta v+\gamma u)},\quad {\rho '}^{\alpha '}e^{i(\beta 'v'+\gamma 'u')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30db6dc46f1eeb9fc1bc9106b449765022db3035)
rayon vecteur de la première planète,
anomalie vraie,
anomalie excentrique ;
et
quantités analogues
pour la seconde planète.
Alors les deux facteurs
![{\displaystyle \rho ^{\alpha }e^{i(\beta v+\gamma u)}\quad \mathrm {et} \quad {\rho '}^{\alpha '}e^{i(\beta 'v'+\gamma 'u')}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c2a3d911f22c7b2cbb9bf9ac94ecb9731d7b13)
ne dépendent plus que d’une seule variable, à savoir : le premier
de l’anomalie moyenne
de la première planète, le second de
l’autre anomalie moyenne
M. Flamme applique à chacun de ces
deux facteurs la méthode de M. Darboux.
Cet artifice ne saurait nous suffire pour notre objet ; il nous faut,
au contraire, appliquer directement à la fonction perturbatrice la méthode de M. Darboux et pour cela étendre cette méthode au cas
des fonctions de deux variables.
91.La fonction qu’il s’agit de développer est celle que nous
avons appelée
et dont je vais rappeler l’expression en reprenant
les notations du no 11.
On a alors
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {m_{2}m_{3}}{\mu \mathrm {BC} }}-{\frac {m_{3}m_{1}}{\mu \mathrm {AC} }}-{\frac {m_{1}m_{2}}{\mu \mathrm {AB} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5face09c46957118237be892b3cd4d7e55dbc41)
La fonction
ainsi définie dépend des variables (4) du no 11
de
et de
Si nous supposons que
et
soient des fonctions données du paramètre
et soient développables suivant les puissances croissantes de ce paramètre,
ne dépendra
plus que des variables (4) et de
et sera développable suivant les
puissances croissantes de
Cela peut se faire d’une infinité de manières ; nous supposerons,
par exemple, que
et
sont des constantes indépendantes
de
Les variables (4) sont les variables képlériennes relatives à deux
orbites osculatrices définies dans le no 11. Le rayon vecteur dans
la première orbite osculatrice est AB, dans la seconde orbite le
rayon vecteur est CD. L’angle de ces deux rayons vecteurs (qui
n’est autre chose que la différence des deux longitudes vraies dans
les deux orbites osculatrices, si ces deux orbites sont dans un
même plan) est l’angle BDC que j’appellerai simplement D.
Les quantités
et AB dépendent
seulement des variables (4) et non de
Au contraire,
AC
et BC dépendent non seulement des variables (4) mais encore de
Nous pouvons donc nous proposer de développer
et
suivant les puissances de
Nous trouvons ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\qquad \alpha _{2}=\beta \,\,+{\frac {\mu \beta ^{2}}{m_{1}}}\,+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\&\qquad \alpha _{3}=\beta '+{\frac {\mu \beta '^{2}}{m_{1}}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\{\frac {1}{\mathrm {BC} }}&={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} \,\cos \mathrm {D} }}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ,\\{\frac {1}{\mathrm {AC} }}&={\frac {1}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \mu }{m_{1}}}\,{\frac {\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4281a7c83449d99426429da63a391e17aeac486f)
Si l’on pose alors
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44689de573892b5cdc5824fee71a1adba3c63ab9)
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}&={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {\beta '_{1}m_{1}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta _{2}m_{1}}{\mathrm {AB} }},\\\mathrm {F} _{1}&=-{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}-{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}}+{\frac {\beta \beta '\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2976cef96520bd9d9f23858f50d3b1c9e72cda79)
Envisageons successivement les divers termes de la fonction perturbatrice
Tout d’abord Le premier terme
![{\displaystyle -{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c57cb863ad11b76f1b07725fb62f2f05f69989)
ne dépend que de l’anomalie moyenne
et nullement de l’anomalie
moyenne
il ne pourra donc donner dans le développement des
termes en
![{\displaystyle \sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a38256c88be4b36afe1998336b0776cd868702)
où ![{\displaystyle n\gtrless 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba171bb1c6f328b23843f081238e841cc9d1be98)
De même le second terme
![{\displaystyle -{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}=-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c9694a7566aa7d61159e0e8b5928db5e894c36)
ne pourra donner dans le développement final des termes en
![{\displaystyle \sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a38256c88be4b36afe1998336b0776cd868702)
où ![{\displaystyle m\gtrless 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1732fc8d0d69042b774684bf35df129f530a8a83)
Nous pourrons donc en général laisser de côté ces deux premiers termes.
Le dernier terme
![{\displaystyle {\frac {\beta \beta '\,\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1372b19304313a1b19c64c495afad35a0fb6c8dc)
peut se mettre sous une autre forme. Si je désigne par
l’inclinaison
des orbites et par
et
les longitudes vraies comptées à partir du nœud, on a
![{\displaystyle \cos \mathrm {D} =\cos v\cos v'+\cos i\sin v\sin v',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314951dc88ef0797eb582b224d0db1d5300c4195)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}=(\mathrm {AB} \,\cos v){\frac {\cos v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}+\cos i(\mathrm {AB} \,\sin v){\frac {\sin v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90702e7c56fe1d3c948d12d79d951c976508f902)
La méthode de M. Flamme est directement applicable aux quatre facteurs
![{\displaystyle \mathrm {AB} \,\cos v,\quad {\frac {\cos v'}{\mathrm {CD} ^{2}}},\quad \mathrm {AB} \,\sin v,\quad {\frac {\sin v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d0ffd46ebb28470148541d89d69e80b909eeef)
Il reste donc à développer le troisième terme
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b83072fdc6e479803248b6d7770de02ae9e4ae)
qui est connu sous le nom de partie principale de la fonction
perturbatrice. C’est du développement de cette partie principale
que nous allons maintenant nous occuper.
Digression sur une propriété de la fonction perturbatrice.
92.On pourrait être tenté d’éviter la nécessité de développer la
partie principale de la fonction perturbatrice en employant l’artifice suivant :
Nous avons trouvé
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}+\beta \beta '\mathrm {F} _{1}^{0}+{\frac {\beta \beta 'r\cos \omega }{r'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac930a6c21214a941f69d07a13ceb1a0881bf2fc)
en désignant par
et
les deux rayons vecteurs et par
l’angle
de ces deux rayons vecteurs.
Pour arriver à ce résultat, nous avons pris, comme dans le no 11,
pour orbites osculatrices l’orbite de B par rapport à A et celle de C
par rapport à D, centre de gravité de A et de B.
Mais il est clair qu’on aurait pu également choisir comme orbites
osculatrices celle de C par rapport à A et celle de B par rapport
à E, centre de gravité de A et de C.
Cela revient à permuter les deux planètes B et C ; on aurait donc
trouvé ainsi, comme nouvelle fonction perturbatrice,
![{\displaystyle \mathrm {F} '_{1}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}+\beta \beta '\mathrm {F} _{1}^{0}+{\frac {\beta \beta 'r'\cos \omega }{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f069bcfe5a015b28e3bba7eddba21644ff23ca6e)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}=\beta \beta '\left({\frac {r'\,\cos \omega }{r^{2}}}-{\frac {r\,\cos \omega }{r'^{2}}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146b74c1df2f0104810339fdf5e06ea639f1b7f4)
S’il existe une intégrale
![{\displaystyle \Phi =\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6822266d24d12d5c7292995bae11ad9b5474fd18)
on pourra l’écrire, en prenant pour variables les éléments osculateurs
des deux premières orbites [variables (4) du no 11], et l’on
aura ainsi
![{\displaystyle \Phi _{0}+\mu \Phi _{1}+\ldots =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42310d36caf5a69fc34f2fbc6e405fdc020fe221)
On pourra l’écrire également en prenant pour variables les éléments
osculateurs des deux nouvelles orbites (orbites de C par
rapport à A et de B par rapport à E) ; on aura alors
![{\displaystyle \Phi '_{0}+\mu \Phi '_{1}+\ldots =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080f8d04652d8e429ea7d119be82433b3138539b)
sera formé avec les éléments des deux nouvelles orbites comme
avec les éléments correspondants des deux anciennes, mais
ne sera pas formé comme ![{\displaystyle \Phi _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4eab61a9605170163c8fd0f54282150ef64b45)
On devra avoir alors, ainsi que nous l’avons vu au no 81,
![{\displaystyle [\Phi _{0},\,\mathrm {F} _{1}]+[\Phi _{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96842f2092670b784dc67d7369cc617655ad2059)
et de même
![{\displaystyle [\Phi '_{0},\,\mathrm {F} '_{1}]+[\Phi '_{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c4c9df52f4714e4e076fa73c3b92af252fac36)
comme
est formée comme
je puis supprimer l’accent et écrire
![{\displaystyle [\Phi _{0},\,\mathrm {F} '_{1}]+[\Phi '_{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0637f80e84ba313270151aa60baaaa6e9f895d)
d’où
(1)
|
|
|
Nous avons vu que, s’il existe une intégrale uniforme et si, après
avoir développé
on forme les expressions (14) du no 84, il doit
y avoir entre ces expressions un certain nombre de relations.
Mais, en raisonnant sur l’équation (1) comme nous l’avons fait
sur l’équation (3) du no 81, on arriverait à un résultat analogue.
Développons
et formons à l’aide de ce développement les
expressions (14) ; s’il existe une intégrale uniforme, il devra y avoir
entre ces expressions un certain nombre de relations.
Si donc on pouvait établir que ces relations n’existent pas, on
aurait démontré qu’il ne peut exister non plus d’intégrale uniforme.
Comme le développement de
est incomparablement plus
facile que celui de
il semble que ce procédé doit simplifier
beaucoup notre tâche.
Mais il est tellement artificiel, qu’a priori on conçoit des doutes
sur son efficacité et qu’on se demande s’il n’est pas illusoire. Il
l’est en effet, car les expressions (14) formées à l’aide de
sont nulles ou indéterminées.
Supposons que l’on développe
sous la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71819ede47de4990bb3c5d1944c03a8020b4d823)
Les coefficients
seront fonctions de
et des autres éléments osculateurs (
et
exceptés).
Donnons à
et à
des valeurs telles que
![{\displaystyle m_{1}\,n+m_{2}\,n'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f5c489a535ad9637a2765c8e2a2eda1f662719)
(en appelant
et
les moyens mouvements).
Je dis que, pour ces valeurs de
et de
le coefficient
s’annulera.
Pour cela je vais me servir du lemme suivant.
Soit
(2)
|
|
|
un système de variables conjuguées deux à deux ; soit
(3)
|
|
|
un autre système de variables conjuguées. Supposons que ces deux
systèmes soient liés par des relations telles que l’on puisse passer
de l’un à l’autre sans altérer la forme canonique des équations. On
devra avoir alors, d’après le no 5,
(4)
|
|
|
Supposons que les
et les
dépendent d’un certain paramètre
et soient développables par rapport aux puissances de
que, pour
et
se réduisent à
et à
On aura alors
(5)
|
|
|
les
et les
étant des fonctions des
et des ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
Alors l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }(\xi _{i}\,dy_{i}-\eta _{i}\,dx_{i})=d\mathrm {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e354d17aa426ff29f625acb1190496bac173a7a0)
sera une différentielle exacte. C’est là une conséquence nécessaire
de l’identité (4), qui entraîne évidemment la suivante
![{\displaystyle {\textstyle \sum }(d\xi _{i}\,\delta y_{i}-dy_{i}\,\delta \xi _{i}+dx_{i}\,\delta \eta _{i}-d\eta _{i}\,\delta x_{i})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a39ad47a5ef9e6ffec8b5e1b53aefab758ddb92)
Considérons maintenant les équations canoniques
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\quad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a676343b87ef8c1f4dbdd6ccf19b57f53a1155)
où
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})+\mu \mathrm {F} _{1}(x_{i},\,y_{i})+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b866981ac2b5778f7900cfacce8c8eb5df9e9be3)
Changeons de variables et prenons les variables (3) comme nouvelles
variables, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} '_{0}(x'_{i},\,y'_{i})+\mu \mathrm {F} '_{1}(x'_{i},\,y'_{i})+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b05b6355c191262edb6e092fa8f86eb722d2e4)
Si nous remplaçons les
et les
par leurs valeurs (5), il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '_{0}(x'_{i},\,y'_{i})&=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i})+\mu \,{\textstyle \sum }\left({\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dx_{i}}}\xi _{i}+{\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dy_{i}}}\eta _{i}\right)\\&\;\;+{\text{ des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\[1.0ex]\mathrm {F} '_{1}(x'_{i},\,y'_{i})&=\mathrm {F} '_{1}(x_{i},\,y_{i})+{\text{ des termes divisibles par }}\mu ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab9d592b5555c61f18bce9d8ca5ca7212545c0f)
d’où, en identifiant les deux développements,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})&=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i}),\\\mathrm {F} _{1}(x_{i},\,y_{i})=\mathrm {F} '_{1}(x_{i},\,y_{i})&+\sum \left({\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dx_{i}}}\,\xi _{i}+{\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{d\mathrm {y_{i}} }}\,\eta _{i}\right)\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb670a789817afed573c4da516827959bb7a57e)
Si l’on observe que
et que
![{\displaystyle \xi _{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},\quad \eta _{i}=-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e404bc5a2755c3dea9d71325450883e0d88d1b5)
on pourra écrire
(6)
|
|
|
Supposons que
ne dépende que de deux variables
et
et que
soient périodiques de période
par
rapport à
et
C’est ce qui arrive dans tous les problèmes que nous avons
traités jusqu’ici.
Supposons de même que
soit périodique en
et
et soit
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c710e866b369519f0c345d9853040c622d088b7d)
dépendant de ![{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\,;\;\;y_{3},\,y_{4},\,\ldots ,\,y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7a75457498caa063767a6eaafb4dd0f131fd23)
Supposons qu’on veuille développer
et
sous la même forme, et soit
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b856fd1995569a8272e2e654591ac50be40f9ee7)
L’équation (6) montre que
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\sqrt {-1}}\,\mathrm {A} \left(m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151e513b07d2b15320863aa8cb474d2ab3014df5)
Si donc on donne à
et à
des valeurs telles que
![{\displaystyle m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06661416c542cff7c5441bff6668077991430e7b)
on aura également
![{\displaystyle \mathrm {B=0.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea33b09699a828c2c3f299b167bf56c1ecffaaef)
Appliquons ce résultat au cas qui nous occupe.
Soient
(7)
|
|
|
les variables (4) du no 11 relatives aux deux orbites osculatrices
anciennes B, par rapport à A, C par rapport à D.
Soient
(8)
|
|
|
les variables (4) du no 11 relatives aux deux nouvelles orbites
(B par rapport à E, C par rapport à A).
Ces variables (8) pourront remplacer les variables (7) sans que
la forme canonique des équations soit altérée ; elles dépendront
des variables (7) et de
elles seront développables suivant les puissances de
elles se réduiront aux variables (7)
pour
Nous nous trouverons donc dans les conditions où le résultat
précédent est applicable et nous devons conclure que, si l’on pose
![{\displaystyle \mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m'_{1}l')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2759a26a3e73a137c1baeb9ce79cba2369195b)
s’annule pour
![{\displaystyle m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6d2ad7bd4f73c0d7cb1d567b272742bd200712)
Ce résultat peut se vérifier directement sans difficulté. Reportons-nous
en effet aux expressions données par M. Tisserand dans sa
Mécanique céleste (t. I, p. 312).
Le résultat qu’il s’agit de vérifier, traduit dans les notations de
M. Tisserand, peut s’énoncer ainsi (je rappelle que M. Tisserand
désigne par
le cosinus de l’angle des deux rayons vecteurs).
Si l’on pose
![{\displaystyle \sigma \left({\frac {r}{r'^{2}}}-{\frac {r'}{r^{2}}}\right)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n,n'}e^{{\sqrt {-1}}(n\zeta +n'\zeta ')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acec078437ddc95956691e140ed50cb6afab1466)
s’annule pour
![{\displaystyle {\frac {n}{a^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {n'}{a'^{\frac {3}{2}}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f22b76ffa527332932d0aa041476239e224ca6)
et, en effet, en se reportant aux expressions de la page que je viens
de citer, on trouve
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n,n'}=\left({\frac {n'a}{n\,a'^{2}}}-{\frac {n\,a'}{n'a^{2}}}\right)\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e6e48f5523a8bbd86b4a878e4b0624ef677cac)
dépendant seulement des excentricités, des inclinaisons, des
longitudes des périhélies et des nœuds ; cette expression s’annulera donc pour
![{\displaystyle {\frac {n^{2}}{a^{3}}}={\frac {n'^{2}}{a'^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1648c901ee0093fbef55c50d22cf25269cb431d3)
et par conséquent pour
C.Q.F.D.
J’ai cru néanmoins devoir rattacher ce théorème à une théorie
plus générale qui permettra peut-être de découvrir d’autres propositions
analogues.
Principes de la méthode de M. Darboux.
93.Après cette digression, je reviens à mon sujet principal. Il
convient d’abord de rappeler les résultats de M. Darboux, qui
doivent nous servir de point de départ.
1o Soit une série
![{\displaystyle \varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7562d6affe6e0aefe85b2ee2d2c27a6d2216c7b1)
admettant pour rayon de convergence ![{\displaystyle r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a)
On aura, quand
croîtra indéfiniment
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\lim a_{n}\rho ^{n}=0&\;\mathrm {si} \;\rho <r,\\\lim a_{n}\rho ^{n}=\infty &\;\mathrm {si} \;\rho >r.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef218d7885ae0644cf4511634d515bc9980d763b)
2o Imaginons maintenant que la fonction
![{\displaystyle \varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7562d6affe6e0aefe85b2ee2d2c27a6d2216c7b1)
demeure finie sur la circonférence de rayon
ainsi que ses
premières
dérivées ; le produit
ne croîtra pas au delà de
toute limite quand
augmente.
3o Si l’on a
![{\displaystyle \varphi (x)=(1-\alpha x)^{k}={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055ce931a7b07a0d80af4c0de304f3f13f82e74e)
on aura approximativement
(1)
|
|
|
je veux dire que le rapport des deux membres de l’égalité (1) tendra
vers 1, quand
croîtra indéfiniment.
4o Supposons maintenant que la fonction
ait sur la circonférence
de rayon
deux points singuliers
et
que
dans le voisinage du point
nous ayons
![{\displaystyle \varphi (x)=\mathrm {A} _{1}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{1}}+\mathrm {A} _{2}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{2}}+\ldots +\mathrm {A} _{h}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{h}}+\psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b37d82b06c135c386d8d5701525db5f4e1afe1e)
et dans le voisinage du point ![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
![{\displaystyle \varphi (x)=\mathrm {B} _{1}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{1}}+\mathrm {B} _{2}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{2}}+\ldots +\mathrm {B} _{k}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{k}}+\psi _{1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5fc879a3afcc0ceb205ed1dde2e69a5deb515e)
et
restant finis ainsi que leurs
premières dérivées. Il
viendra alors, pour ![{\displaystyle n=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95d0d2ff5092ef306b1f9df43e2620098a6aac3)
![{\displaystyle \lim n^{p+1}r^{n}\left[a_{n}-\sum \mathrm {A} _{i}{\frac {n^{1-\gamma _{i}}}{\alpha ^{\gamma _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\gamma _{i})}}-\sum \mathrm {B} _{i}{\frac {n^{1-\delta _{i}}}{\alpha ^{\delta _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\delta _{i})}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3494bd774fbd72acb02f1d66ef41f17a9c22b0be)
d’où l’on déduit la valeur approximative de ![{\displaystyle a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4733ab60320bf912d93dce5a27ccd1dca7e905)
5o Si l’on a
![{\displaystyle \varphi (x)=\log(1-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1414bf610ad6d3f53400dfe87207f88df40d1c1b)
on aura
![{\displaystyle a_{n}=-{\frac {1}{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8995ee57d509d28d9120e900c2f0c05fa65920)
si
![{\displaystyle \varphi (x)=\log(1-x)(1-x)^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c585121a475061c00d5067ecfefa182663888b72)
nous aurons approximativement
![{\displaystyle a_{n}={\frac {-n^{1-k}\log {n}}{\Gamma (-k)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f233077f0816986a6c282bd30df5dcdad2f0df)
Cette dernière formule n’est applicable que si
n’est pas entier
positif ; dans ce cas, on aurait
![{\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{k+1}\,k!}{n(n-1)-(n-k)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d4b22ad10e70590f29f73ab8015065c9f7af96)
6o Soit
![{\displaystyle \varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}x^{-n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a634ba3ec70438ab886ba81145ab181d0145883)
une série contenant des puissances positives et négatives est convergente
pourvu que
![{\displaystyle |x|<\mathrm {R} \quad |x|>r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c9ecbc75cdbd87280e0e635ee08f7379edff6a)
Soient
et
deux points singuliers de la fonction
situés
sur la circonférence
soient
et
deux points
singuliers de
sur la circonférence
Supposons que
n’ait pas d’autre point singulier sur ces deux circonférences.
Soient
![{\displaystyle \psi (x)={\textstyle \sum }b_{n}x^{n},\quad \psi _{1}(x)={\textstyle \sum }c_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9567a1d46c19c472a256888df472750473de8)
deux séries convergentes pour
![{\displaystyle |x|<\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85a74c41b8ed68c3cb1b724b1f91a74db62d5b3)
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{2}(x)&={\textstyle \sum }b_{-n}x^{-n},&\psi _{3}(x)&={\textstyle \sum }c_{-n}x^{-n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0284fcebdae1bfb1ba41f5ba1cb71c95b1c2a5d2)
deux séries convergentes pour
![{\displaystyle |x|>{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6340fd2eeb9ec23037ffefd40e34435957c11605)
Si les différences
sont finies ainsi
que leurs
premières dérivées, la première dans le voisinage du
point
la seconde dans le domaine du point
la
troisième dans celui du point
la quatrième quand
est voisin
de
on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\lim n^{p+1}\mathrm {R} ^{n}(a_{n}-b_{n}-c_{n})&=0\\\lim n^{p+1}{r}^{n}(a_{-n}-b_{-n}-c_{-n})&=0\\\end{aligned}}\right\}\;(\mathrm {pour} \;n=\infty ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556bd53c2817206995afe8298a072664dd3a0abe)
Les valeurs approximatives des coefficients
dépendent donc
uniquement des singularités que présente la fonction
sur les
circonférences qui limitent la convergence.
Extension aux fonctions de plusieurs variables.
94.Appliquons ces principes au cas qui nous occupe.
Il s’agit de développer une certaine fonction
des deux anomalies
moyennes
et
sous la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63da6be56b2ad808cd665b8129a968f629edaed4)
On a donc
![{\displaystyle 4\pi ^{2}\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}^{0}e^{-{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,dl\,dl'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72a7fddc7583114664fab85c99d11b7c66d89a5)
Il s’agit de trouver une valeur approchée du coefficient
quand, le rapport
étant donné et fini, les deux nombres
et
sont très grands ou plus généralement quand on a
![{\displaystyle m_{1}=an+b,\quad m_{2}=cn+d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7331f43870a61556ee25afbe4ff9027c2c0325)
étant des entiers finis et
un entier très grand ;
et
sont premiers entre eux.
Si je dis alors qu’on a approximativement
![{\displaystyle \mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\varphi (n),\quad (m_{1}=an+b,\;m_{2}=cn+d),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bc1a84fa5b93963bbfe035a33617910f96fa45)
cette égalité signifiera que le rapport
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}}{\varphi (n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1aaba92d18216b17f4b52feefc3bf274f4afb8a)
tend vers l’unité quand
croît indéfiniment et que
restent finis.
Le problème à résoudre étant ainsi défini, j’emploierai les notations suivantes.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{{\sqrt {-1}}l}&=t^{c},&e^{{\sqrt {-1}}l'}&=t^{-a}z^{\frac {1}{c}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aae062aae1e7b0569450d990f3e3f5fc5d56b80)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}t^{m_{1}c-m_{2}a}z^{\frac {m_{2}}{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1dac1618cb2579937187a95d30ef8e53168f9e)
Si nous posons alors, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} (z,\,t)=\mathrm {F} _{1}^{0}t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2523468e68fc67175800d530f3fdd2a540b569)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} (z,\,t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}t^{\alpha }z^{\frac {m_{2}-d}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9127ebc9b210458e64fcbfa714a9a4fe812d130e)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \alpha =m_{1}c-m_{2}a+ad-bc-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164dfa6df39215d40eb7d8ef9b19d3e9529b1c6f)
Soit maintenant
![{\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2i\pi }}\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9d53696b6044a1ece6f8bb4fb11b29c2104733)
l’intégrale étant prise par rapport à
le long de la circonférence
Nous aurons
![{\displaystyle \Phi (z)=\sum {\frac {\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}}{2i\pi }}z^{\frac {m_{2}-d}{c}}\int t^{\alpha }\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e6902f7e455b9379afd90791a99a513fb3af1f)
Toutes les intégrales sont nulles, sauf celles pour lesquelles
et qui sont égales à
Si
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=an+b,&m_{2}&=cn+d,&{\frac {m_{2}-d}{c}}&=n.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fba0e73d0908d977ef0b39e4249ae8a96c73a0d)
Il vient alors
![{\displaystyle \Phi (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e24cdfdff7e5c3986fa53717f8be13c16eb7918)
Si donc on développe
sous la forme
![{\displaystyle \Phi (z)={\textstyle \sum }\,a_{n}z^{n}+{\textstyle \sum }\,a_{-n}z^{-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0a4c9e3231566f731e20cdce251e418cf14dd1)
le coefficient
ne sera autre chose que
si
![{\displaystyle m_{2}=cn+d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa2746f0a36b76d07f31f2ef6ef1eb4d1054d8b)
Nous sommes donc conduit à chercher l’expression approchée
de
pour
très grand et par conséquent à étudier les singularités
de la fonction
95.La fonction
est définie comme une intégrale prise par
rapport à
le long de la circonférence
On peut remplacer
cette circonférence par un contour
quelconque, à une condition
toutefois.
Regardons un instant
comme une constante et
comme
une fonction de
Cette fonction admettra un certain nombre de
points singuliers.
Il faut qu’entre la circonférence
et le contour
il n’y ait
aucun de ces points singuliers.
Faisons maintenant varier
d’une manière continue ; ces points
singuliers se déplaceront d’une manière continue. Si, en même
temps, on déforme le contour
d’une façon continue, et de telle
sorte qu’il ne passe jamais par aucun point singulier, la fonction
restera holomorphe.
La fonction
ne peut donc cesser d’être continue que s’il
devient impossible de déformer le contour
de façon qu’il ne passe
pas par un point singulier. Voici comment cela peut arriver ; imaginons
que, pour une certaine valeur de
nous ayons deux points
singuliers
et
l’un extérieur, l’autre intérieur au contour
Si,
en faisant varier
d’une manière continue, l’un d’eux,
par
exemple, vient sur le contour
nous pourrons déformer
en
le faisant fuir pour ainsi dire devant ce point singulier mobile, de façon que ce point
ne puisse jamais atteindre ce contour. Ainsi
restera toujours extérieur à
et
intérieur à
Mais supposons maintenant que
et
se rapprochent
indéfiniment l’un de l’autre ;
le contour
pris pour ainsi dire entre deux feux, ne pourra plus
fuir devant ces deux points mobiles et la fonction
ne sera plus
holomorphe.
Par conséquent, pour obtenir tous les points singuliers de
il suffit d’exprimer que deux des points singuliers de
considérés
comme fonction de
se confondent en un seul.
La série
![{\displaystyle \Phi (z)={\textstyle \sum }a_{n}z^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37707867f1d91e081bab9e7288362f4baaac0625)
sera convergente dans une région limitée par deux circonférences
![{\displaystyle |z|=\mathrm {R} ,\qquad |z|=r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bca67941da379ca05cb362b68dcb6fffca3cba4)
ces deux circonférences iront passer par un ou plusieurs des points
singuliers que je viens de définir.
Mais, si l’on veut savoir quels sont ceux de ces points singuliers
qui sont sur ces circonférences et qui définissent par conséquent
les limites de convergence de notre série, une discussion plus approfondie
est nécessaire.
Tous les points singuliers ne conviennent pas, en effet, à la question,
et cela pour plusieurs raisons.
En premier lieu, la fonction
n’est pas uniforme ; si deux
points singuliers
et
de cette fonction
considérée comme
fonction de
viennent à se confondre pour une certaine valeur de
il faut, pour que cette valeur soit un véritable point singulier
de
que
et
appartiennent à une même détermination de
et de plus que cette détermination soit encore la même que celle
qui figure dans l’intégrale
![{\displaystyle {\frac {1}{2i\pi }}\int \mathrm {F} \,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391e35e5dd80d5c31c746bee76eb9b59682131d3)
laquelle prise le long de
définit la fonction ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)
Il faut, en outre, qu’avant de se confondre en un seul, ces deux points
et
ne soient pas d’un même côté du contour
Soit
un chemin tracé dans le plan des
et allant d’un point
de module 1 à des points singuliers
définis plus haut. Supposons qu’on suive ce chemin de
en
et qu’on étudie les variations de
en prenant pour valeur initiale
![{\displaystyle \Phi (z_{0})={\textstyle \sum }a_{n}z_{0}^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z_{0}^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a559a80f9a2090165fe7075976ddf2a77769ecdc)
Bien que la fonction
puisse ne pas être et ne soit pas en
général uniforme, la détermination particulière de
que nous
avons en vue est ainsi entièrement définie, puisque nous nous donnons
la valeur initiale et le chemin parcouru.
Il s’agit alors de savoir si le point
est bien un point singulier
pour cette détermination particulière de
La fonction
n’étant pas uniforme, il faut faire varier
non pas sur un plan, mais sur une surface de Riemann
possédant
autant de feuillets que la fonction
possède de déterminations (ce
nombre peut être infini).
Quand
variera en suivant le chemin
les points singuliers se
déplaceront et la surface de Riemann
se déformera.
C’est sur cette surface de Riemann qu’il faut supposer le contour
tracé.
Ce contour se réduira pour
au cercle
tracé sur
un des feuillets de
quand la surface
se déformera, on devra
déformer également le contour
de telle sorte qu’il ne s’y trouve
jamais de point singulier. Une discussion spéciale, souvent délicate,
fera voir alors si, pour une valeur de
très voisine de
les
deux points singuliers de
qui se confondent pour
sont de part et d’autre du contour
ce qui est la condition nécessaire
et suffisante pour que le point
soit un point singulier
pour la détermination particulière de
que nous envisageons.
Comment reconnaître maintenant si le point
se trouve sur une
des circonférences
![{\displaystyle |z|=\mathrm {R} ,\qquad |z|=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac7575d493e7fdbc525517d0af2e674d2ab57ff)
qui limitent la convergence de la série,
![{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{n}z_{0}^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z^{-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4971becfb7b99be46d3837cb3c40795aa9b9096)
et si, par conséquent, il est un de ceux dont dépend la valeur approchée
que nous cherchons ?
Traçons le chemin
allant du point
de module 1 au point
de façon que le module de
varie constamment dans le même sens. Si le point
appartient à l’une de nos deux circonférences, il devra
être un point singulier pour la détermination de
définie par
le chemin
et on le reconnaîtra par le moyen que je viens d’expliquer.
Si un point
satisfait à cette condition, je dirai que ce point
singulier est admissible.
Cela posé, parmi tous les points singuliers admissibles de module
plus grand que 1, ceux-là seront sur la circonférence
dont
le module sera le plus petit.
De même, parmi tous les points singuliers admissibles de module
plus petit que 1, ceux-là seront sur la circonférence
dont
le module sera le plus grand.
J’ajouterai, en terminant, que la fonction
possède plusieurs
déterminations qui s’échangent entre elles, soit quand deux des
déterminations de
s’échangent entre elles, soit quand deux
des points singuliers de
tournent autour l’un de l’autre.
Je vais d’abord chercher à déterminer les points singuliers
de
je déterminerai ensuite par une discussion spéciale quels
sont ceux qui conviennent à la question.
Recherche des points singuliers.
96.Bornons-nous au cas où le mouvement se passe dans un
plan.
Soient
et
les anomalies excentriques,
et
les excentricités,
et
les grands axes,
et
les longitudes des périhélies.
On aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}l&=u-\sin \varphi \sin u,&l'&=u'-\sin \varphi '\sin u'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a4228133a0158c8eed7a80d3433a3f3873165a)
Les coordonnées de la première planète, par rapport au grand axe
de son ellipse et à une perpendiculaire menée par le foyer, seront
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\cos u-\sin \varphi )\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {L} ^{2}\cos \varphi \sin u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd648e8bfb4cc18586bbeea2b9da846e23dc68a)
ce seront donc les parties réelle et imaginaire de
Si l’on pose
![{\displaystyle \xi =\cos u-\sin \varphi +{\sqrt {-1}}\cos \varphi \sin u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f49fabd78fff83f9058407f47a56c513b94513)
Si l’on pose de même
![{\displaystyle \eta =\cos u'-\sin \varphi '+{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42a68e659977a4590fa4d60d51fe3f7076e8276)
les coordonnées de la deuxième planète, rapportée aux mêmes
axes que la première, seront les parties réelle et imaginaire de
![{\displaystyle \eta \mathrm {L'} ^{2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fab51f5c2ac18e249194fff63163fd766175d67)
Soit
![{\displaystyle \beta =\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc5bb1e4ffd1dbec7e2e883ec136119e783d930)
soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{0}&=\cos u\,-\,\sin \varphi \,-\,{\sqrt {-1}}\cos \varphi \,\sin u,\\\eta _{0}&=\cos u'-\sin \varphi '-{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',\\\beta _{0}&=\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{-{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af3ab995b05744291174dae32024b629a72adfa)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {1}{\sqrt {(\xi -\beta \eta )(\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0})}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe72d0f2138ee2985e64436ca6607f05c358796f)
Les points singuliers de
sont les mêmes que ceux de
car
ne diffère de
que par une puissance de
et le point
qui, d’ailleurs, n’interviendra pas dans la discussion, est
déjà un point singulier de
Les points singuliers de
seront ceux pour lesquels
et
et par conséquent
cesseront d’être fonctions uniformes de
et de
et, par conséquent,
de
et de
et, en outre, ceux pour lesquels
![{\displaystyle \xi =\beta \eta \quad \mathrm {ou} \quad \xi _{0}=\beta _{0}\eta _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fd7665b997558c412c09cc5b3d8db069152d72)
Je vais poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{iu},&y&=e^{iu'}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29801964682e3f3d169ab62d30af259df67ad00)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos u&={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right),&\cos u'&={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right),\\i\sin u&={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&i\sin u'&={\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3008f6facfc21ecc12c4df526ff2582ec479c2)
Nous en déduirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}l&=u-{\frac {\sin \varphi }{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&l'&=u'-{\frac {\sin \varphi '}{2i}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b1f374f2a9d950fa1cfa411456e1c8bfe3687b)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{il}&=x\,e^{{\frac {\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)},&e^{il'}&=y\,e^{{\frac {\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6283554d38bfb50200d49b7506b9d8bf469b98)
Nous aurons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}t&=e^{\frac {il}{c}}=x^{\frac {1}{c}}e^{{\frac {\sin \varphi }{2c}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)},&z&=e^{icl'}t^{ca}=y^{c}x^{a}e^{\omega },\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e15155a29fdd11596fa2d61428a1960fd67057)
en posant, pour abréger,
![{\displaystyle \omega ={\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)+{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13011827e2b9cc739b5a181884f35b4412b95d34)
Nous aurons, d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\sin \varphi +{\frac {\cos \varphi }{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),\\\eta &={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right)-\sin \varphi '+{\frac {\cos \varphi '}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89b9b7f155d99ba7510791ed7857e4df611ed92)
Les points singuliers de
nous sont donnés par
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dl}{du}}&=1-\sin \varphi \,\cos u\,\,=0,\\{\frac {dl'}{du'}}&=1-\sin \varphi '\cos u'=0\,;\\\mathrm {H} \;\,&=\xi \;\,-\beta \;\,\eta \;\,=0,\\\mathrm {H} _{0}&=\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f82c3e5d8f2683a3631c678181dba1e026c7dbc)
Nous pouvons transcrire ces équations en nous servant des
variables
et
elles deviennent alors algébriques ; les deux
premières s’écrivent, en effet,
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
et les deux dernières, en chassant les dénominateurs,
(3)
|
|
|
(4)
|
|
|
Pour trouver les points singuliers de
il suffit d’exprimer
que deux des points singuliers de
se confondent. Mais cela
peut arriver de deux manières :
Ou bien un point singulier défini par l’une des quatre équations
va se confondre avec un point singulier défini par une autre de ces quatre équations : nous
obtiendrons ainsi les points singuliers de première espèce de
Ou bien deux des points singuliers définis par une de ces quatre
équations se confondront en un seul : nous obtiendrons ainsi les
points singuliers de deuxième espèce de
Pour avoir les points de première espèce, il suffit de combiner
deux à deux les quatre équations (1), (2), (3), (4). On voit que
ces points ne dépendent en aucune façon des entiers
et
Pour avoir les points de deuxième espèce, voici comment il faut faite :
Soit
une des quatre équations (1), (2), (3), (4) ; pour
exprimer que deux des points singuliers définis par cette équation
se confondent, il me suffit d’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}f&=0,&{\frac {df}{dt}}&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcfc76f6ae7cbdb270e283e8793a5d58864ad98e)
Si nous changeons de variables en exprimant
et
et, par conséquent,
en fonctions de
et de
il vient
![{\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {-i}{t}}\left(c\,{\frac {df}{dl}}-a\,{\frac {df}{dl'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6dcbc4a264c427c69cf137e74242197f2f9f743)
de sorte que l’équation
peut être remplacée par
![{\displaystyle c\,{\frac {df}{dl}}-a\,{\frac {df}{dl'}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8398c514cfd8705f3e49a97d6d623c31cc59c67)
ou bien encore
![{\displaystyle {\frac {c}{1-\sin \varphi \cos u}}\,{\frac {df}{du}}-{\frac {q}{1-\sin \varphi '\cos u'}}\,{\frac {df}{du'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1bbd235750936cca4be584a4950c464f690fbc)
Les premiers membres des équations (1) et (2) ne dépendent
que de
ou bien que de
nous pouvons les laisser de côté ; mais nous avons des points singuliers qui nous seront donnés par les
deux équations
![{\displaystyle \mathrm {H} =0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84168a352d6363175901eb8cfd4e7d98dd1ce26d)
ou encore par les deux équations
![{\displaystyle \mathrm {H} _{0}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae8be04a3881a704747cebd7dc39fdffb01a1d5)
Nous avons
![{\displaystyle \mathrm {H} =\cos u-\sin \varphi +i\cos \varphi \sin u-\beta (\cos u'-\sin \varphi '+i\cos \varphi '\sin u').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fc8a6cafe304462afde01cf8caf6fd4e3d907c)
L’équation
peut donc être remplacée par la suivante :
![{\displaystyle {\frac {c(-\sin u+i\cos \varphi \sin u)}{1-\sin \varphi \cos u}}+{\frac {a\beta (-\sin u'+i\cos \varphi '\sin u')}{1-\sin \varphi '\cos u'}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6718b073f636e9fe884c8f28a81ea1ec9a26ffc)
ou
(5)
|
|
|
De même l’équation
peut être remplacée par la suivante
(6)
|
|
|
Les points singuliers de deuxième espèce sont donc donnés par
les équations (3) et (5) ou bien par les équations (4) et (6) ; à
l’inverse de ceux de première espèce, ils dépendent donc du rapport
des entiers
et
Tous les points singuliers de
sont donc donnés par des
équations algébriques.
Ces équations algébriques se simplifient quand on suppose
Il est permis alors de supposer
et par conséquent
L’équation (1) ne change pas, l’équation (2) se réduit à
et
il n’y a plus à en tenir compte, les équations (3) et (4) deviennent
(3)
|
|
|
(4)
|
|
|
Les équations (5) et (6) deviennent
(5)
|
|
|
(6)
|
|
|
La combinaison des équations (3) et (5) donne
(7)
|
|
|
et celle des équations (4) et (6) donne
(8)
|
|
|
Les équations (7) et (8) nous donnent les valeurs de
correspondant
aux points de la deuxième espèce ; l’équation (1) nous
donne les valeurs de
correspondant à certains points de première
espèce. Il nous reste à parler des points de première espèce
définis par les équations (3) et (4), puisque l’équation (2) devient
illusoire.
Les équations (3) et (4) s’écrivent
![{\displaystyle \xi -\beta \eta =\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6384a9011a46396e2529c478f3f579a07c37e0)
Si elles sont satisfaites à la fois, on aura
![{\displaystyle \xi \xi _{0}=\beta \beta _{0}\eta \eta _{0}=\beta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17399d557204549236817accc3d9f1b9b9d5ba9a)
Or
![{\displaystyle \xi \xi _{0}=(1-\sin \varphi \cos u)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143f4640d38d48b12506c283bd3918c0b2e133b8)
Il reste donc
![{\displaystyle 1-\sin \varphi \cos u=\pm \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1997d7b6d54e9250b7a00a05af97233344d3c583)
de sorte que les valeurs de
correspondant à cette sorte de points
singuliers seront données par les deux équations
(9)
|
|
|
(10)
|
|
|
Les valeurs de
qui correspondent aux points singuliers nous
seront données par les cinq équations (1), (7), (8), (9) et (10).
Observons que les équations (1), (9) et (10) sont réciproques et
que les équations (7) et (8) se changent l’une dans l’autre quand
on change
en
Si
est un point singulier, il en sera donc de
même de
C’est ce qu’il était aisé de prévoir.
Si l’on fait
nos équations se réduisent à
donc,
quand
tend vers 0, les racines des équations (1), (7) et (8) tendent
vers 0 ou vers l’infini.
Si l’on pose
![{\displaystyle \mathrm {tang} {\frac {\varphi }{2}}=\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159c29932e1f015c0ac1247f04960e439e649f9e)
les équations (3), (4), (5), (6), (7) et (8) deviennent
(3)
|
|
|
(4)
|
|
|
(5)
|
|
|
(6)
|
|
|
(7)
|
|
|
(8)
|
|
|
L’équation (1) nous donne d’autre part comme solution
![{\displaystyle x=\tau ,\quad x={\frac {1}{\tau }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2970cc9138164e784742baba8b0b11be2d0c9bc)
Lorsque
et
sont très petits, nous avons vu que les valeurs
de
sont très petites, ou très grandes, et, comme les équations ne
changent pas quand on change
en
nous devons conclure qu’il
y en a précisément autant de très petites que de très grandes.
Nos équations et les valeurs correspondantes de
se simplifient
un peu quand, supposant
très petit, on néglige le carré de cette
quantité.
Les équations (1), (9) et (10) nous donnent alors respectivement
pour
trois valeurs très petites, qui sont approximativement
(11)
|
|
|
et trois valeurs très grandes, qui sont approximativement
(11 bis)
|
|
|
L’équation (7) nous donne deux valeurs très petites, définies
approximativement par l’équation
(12)
|
|
|
et une valeur très grande ; qui est approximativement
(13 bis)
|
|
|
L’équation (8) nous donne deux valeurs très grandes, définies par
(12 bis)
|
|
|
et une très petite, qui s’écrit
(13)
|
|
|
Il est aisé de vérifier que les équations (12) et (12 bis) ont leurs
racines réelles quand
Si donc
et
sont de signe contraire
et que
soit assez petit, les équations (7) et (8) auront leurs racines
réelles.
Les valeurs de
correspondant aux divers points singuliers étant
ainsi définies, il reste à déterminer les valeurs de
et de
J’observe d’abord que, si l’on a un point singulier correspondant
à certaines valeurs de
de
et de
les valeurs inverses
correspondront à un autre point singulier, que j’appellerai le réciproque du premier. On constate, en effet, que notre système
d’équations ne change pas quand on change
en
et
et cela était d’ailleurs aisé à prévoir.
Les valeurs de
et de
seront définies par les couples d’équations suivants :
(1),(3); (1),(4); (7),(3); (8),(4);
(9),(3) ou (4); (10), (3) ou (4).
Ces équations nous montrent que, si
est très petit et peut être
regardé comme un infiniment petit du premier ordre,
est très
petit si
est très petit et très grand si
est très grand.
Nous avons, d’autre part,
![{\displaystyle z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949b9c4a5203f25879fb20e2e791c0a390ca6c4b)
Si
est infiniment petit du premier ordre,
est infiniment
petit (ou infiniment grand) du même ordre ; il en est de même de
l’exposant
est alors fini ; par conséquent
est un infiniment petit (ou infiniment grand) d’ordre
Je distinguerai parmi les points singuliers celui qui est défini
par
[solution de l’équation (1)] et par l’équation (3).
Pour ce point, en effet,
et
sont nuls.
De même, pour le point défini par
[autre solution de (1)]
et par l’équation (4), et qui est le réciproque du premier, les valeurs
de
et de
sont infinies.
Nous n’aurons donc pas à nous occuper de ces deux points singuliers
dans la discussion qui va suivre.
Discussion.
97.Voici la question qu’il me reste à résoudre.
J’ai en tout 14 points singuliers, 7 qui correspondent à des valeurs
très petites de
et de
7 qui correspondent à des valeurs très
grandes de
et de
À un autre point de vue, 7 de ces points correspondent à des
valeurs très petites de
et 7 à des valeurs très grandes de
Il s’agit de savoir quel est, parmi les 7 premiers, celui pour lequel le
module de
est le plus grand (cela nous apprendra en même temps,
puisque les valeurs de
sont réciproques deux à deux comme le
sont celles de
et de
quel est, parmi les 7 derniers, celui pour
lequel le module de
est le plus petit).
Si les points singuliers correspondants sont admissibles, ce
seront eux qui définiront les circonférences
![{\displaystyle |z|=\mathrm {R} ,\quad |z|=r\qquad \left(\mathrm {nous\;avons\;ici\,} \;\mathrm {R} ={\frac {1}{r}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3254a64842c2a2886e32c702141d0c625c786f6c)
Pour ne pas prolonger la discussion par l’examen d’un trop grand
nombre de cas différents, je vais faire quelques hypothèses particulières.
Je supposerai
![{\displaystyle \beta >1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7047713170e0fc8782d196002db2f4f0559df2f)
Je supposerai également que le rapport
est voisin du rapport des
moyens mouvements changé de signe, c’est-à-dire que l’on a à
peu près (en désignant par
et
ces moyens mouvements)
![{\displaystyle an+cn'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4bfd79319eeab55fa28b00ba51abda24a8d01b)
Les termes les plus intéressants sont, en effet, ceux qui correspondent
à de petits diviseurs.
On a alors à peu près
![{\displaystyle {\frac {c}{a}}=-(\beta )^{\frac {3}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccff078193383fbc3a83555475a891b9d3eca79)
ce qui montre que
et
sont de signe contraire ; je supposerai par
exemple
positif et
négatif ; comme
est plus grand que 1,
sera positif.
Grâce à ces hypothèses, toutes les valeurs de
sont réelles.
Cela rend possible une représentation géométrique simple qui
permettra de suivre plus facilement la discussion.
Dans la figure ci-contre, nous représentons chaque point singulier
par un point du plan dont les coordonnées rectangulaires
sont
et
J’ai fait deux figures (fig. 1 et fig. 2), la première représentant
le quadrant du plan compris entre l’axe des
positifs et celui des
positifs ; et la seconde représentant le quadrant compris
entre l’axe des
négatifs et l’axe des
négatifs.
![Figure 1](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-t1-307f1.svg/360px-H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-t1-307f1.svg.png)
Fig. 1.
![Figure 1](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-t1-307f2.svg/360px-H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-t1-307f2.svg.png)
Fig. 2.
Les droites AS et A′S′ ont respectivement pour équation
![{\displaystyle x=\tau ,\quad x={\frac {1}{\tau }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2970cc9138164e784742baba8b0b11be2d0c9bc)
Les deux branches de courbe C′B′DBP et QFAE′R′ ont pour équation
![{\displaystyle y={\frac {(x-\tau )^{2}}{\beta (1+\tau ^{2})x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1454de4e175981f0f8101244ac470c1f823ffb)
c’est-à-dire l’équation (3) ; les deux branches de courbe
B′D′BCOREL et R′F′Q′
ont pour équation
(4)
|
|
|
Les divers points singuliers sont représentés sur la figure par les
points suivants
A....................
|
Équations (1) et (3)
|
B....................
|
(9), (3) et (4) [2e éq. (11)],
|
C....................
|
(8) et (4) [(13)],
|
D....................
|
(7) et (3) [(12) racine négative],
|
E....................
|
(1) et (4)
|
F....................
|
(7) et (3) [(12) racine positive],
|
R....................
|
(10), (3) et (4) [3e éq. (11)] ;
|
et par les points A′, B′, C′, D′, E′, F′ et R′, respectivement réciproques
des premiers.
Il est aisé de vérifier que, si
est assez petit, ces points sont
bien disposés dans l’ordre de la figure, c’est-à-dire que les abscisses
des points
C′B′D′DBCFREE′R′F′
vont en croissant.
Comparons les valeurs de
correspondant à ces divers points.
On voit d’abord que, pour les points de la fig. (1) (où
est réel positif et que, pour les points de fig. (2) (où
), l’argument de
est égal à
celui de
égal à
Reste à voir comment varie le module de
Si l’on
suit l’une des courbes (3) ou (4), les maxima et minima de
correspondent aux points de contact de ces courbes (3) et (4) avec
les courbes
![{\displaystyle z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7f9ea38b1f948b35e6a587741639cb35a513fe)
c’est-à-dire aux points C′, D, F, A pour la courbe (3), et aux points
D′, C, F′ pour la courbe (4).
Voici comment varie
:
1o Quand on suit la courbe (3)
En O′................
|
|
|
En Q ................
|
|
De O′ en C′ ..........
|
croît
|
|
De Q en F ............
|
croît
|
En C′................
|
max.
|
|
En F ................
|
max.
|
De C′ en D ...........
|
décroît
|
|
De F en A ............
|
décroît
|
En D ................
|
min.
|
|
En A ................
|
|
De D en P ...........
|
croît
|
|
De A en O′...........
|
croît
|
En P ................
|
|
|
En O′................
|
|
2o Quand on suit la courbe (4)
En P′................
|
|
|
En O ................
|
|
De P′ en D′ ..........
|
croît
|
|
De O en L ou en A′ ....
|
croît
|
En D′................
|
max.
|
|
En A′................
|
|
De D′ en C ..........
|
décroît
|
|
De A′ en F′ ..........
|
décroît
|
En C ................
|
min.
|
|
En F′ ................
|
|
De C en O′ ..........
|
croît
|
|
De F′ en Q′ ..........
|
croît
|
En O ................
|
|
|
En Q′ ................
|
|
On en conclut que le
du point B est plus grand que celui du
point C, et celui du point E que celui du point R.
De même, le
du point D est plus petit que celui du point B, et
le
de R est plus petit que celui de F.
Nous avons vu que, la fonction
n’étant pas uniforme, il
fallait tracer les contours d’intégration sur la surface de Riemann
correspondante dont le nombre des feuillets est infini. Pour éviter
la considération de cette surface de Riemann, on peut changer de
variables. Observons, en effet, que le carré de
est fonction uniforme
de
et de
et, par conséquent, que le carré de
est fonction uniforme de
et de
Si donc nous convenons de donner à
une valeur déterminée
et que nous considérions momentanément comme constante, à un
point du plan des
correspondront seulement deux valeurs de
égales et de signe contraire. Nous pourrons alors avec
avantage tracer nos contours d’intégration sur le plan des
Donnons d’abord à
une valeur initiale
dont le module soit égal à 1. Nous sommes convenus, en définissant
que le contour
d’intégration le long duquel doit être prise l’intégrale
![{\displaystyle \Phi (z)=\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcaa411e14d54550695a1e8c52ced9f3a1a4e0ab)
doit se réduire au cercle
pour les valeurs de
de module 1.
Pour
nous devrons donc prendre pour contour dans le
plan des
le cercle
et dans le plan des
le cercle
Voici donc la règle pour reconnaître si un point singulier de
est admissible. Soit
la valeur de
et
la
valeur de
qui correspondent
à ce point singulier. Nous supposerons, par exemple,
que le module de
est plus petit que 1 ; aussi bien savons-nous
que, parmi les points singuliers de
la moitié ont leur module
plus petit que 1. Nous allons faire varier
de la manière suivante :
son argument devra rester constant et constamment égal à celui
de
et son module ira en croissant de
à 1. En d’autres termes,
le point
décrira un segment de droite
limité aux points
et
Pour chacune des valeurs de
considérée comme
fonction de
présente un certain nombre de points singuliers ; pour
deux de ces points singuliers se confondent en un seul et
avec
Quand
décrit la droite
ces deux points singuliers varient d’une manière continue et parfaitement définie. Quand
atteint la valeur finale
il peut arriver ou bien que les positions
finales de ces deux points singuliers sont toutes deux intérieures,
ou toutes deux extérieures au cercle
et alors le point
considéré est inadmissible, ou bien que ces positions finales sont l’une
extérieure et l’autre intérieure à ce cercle et alors le point considéré est admissible.
La fonction
est multipliée par une racine
ième de l’unité
quand
est multiplié par une racine
ième de l’unité. Supposons donc que, pour une valeur donnée de
le point
le point
![{\displaystyle x^{\frac {1}{c}}=\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c603ae35f0015257e7455f8e64f6a659a01935)
soit un point singulier de
considérée comme fonction
de
Il en sera de même des points
![{\displaystyle x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {2i\pi }{c}},\quad x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {4i\pi }{c}},\quad \ldots ,\quad x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {2(c-1)i\pi }{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2785f7f3da0e91fffaf716e8888df70a2831874e)
Nous avons vu que les valeurs de
qui correspondent aux points
singuliers de
sont toutes réelles, et ont par conséquent pour
argument 0 ou
Les valeurs correspondantes de
auront donc
pour argument
étant entier. Soit donc
une de ces valeurs, je pourrai écrire
![{\displaystyle \alpha _{i}=\alpha '_{i}e^{\frac {2ki\pi }{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abf03e31af17dd33091f912d49a3559af8aa8a1)
ayant pour argument 0 ou
et
étant entier.
Si
correspond à un point singulier de
[c’est-à-dire à
deux points singuliers de
confondus], il en sera de même
de
Je dis que la condition nécessaire et suffisante pour que le point
soit admissible, c’est que le point
le soit.
En effet, appliquons la règle : quand le point
décrira la droite
les deux points singuliers, primitivement confondus en
auront
pour positions finales
et
de même les deux points singuliers
primitivement confondus en
auront pour positions finales
![{\displaystyle \gamma \,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\quad \mathrm {et} \quad \gamma '\,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd7c480a1ac0c2450c1b41da3dc09de3d05abd7)
Il suffit évidemment, pour démontrer le théorème énoncé, d’observer que
![{\displaystyle |\gamma |=\left|\gamma \,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\right|,\quad |\gamma '|=\left|\gamma '\,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d26fd16f7a1451dec4c10e79bcce0445f8708ef)
Il suffira donc d’examiner les points singuliers qui correspondent à des valeurs réelles et positives de
c’est-à-dire aux points
F, E, R et A de la figure, et les points singuliers qui correspondent
à la valeur
de l’argument de
c’est-à-dire aux points D, B et C
de la figure.
Le point E est inadmissible ; en effet, la valeur correspondante
de
est
![{\displaystyle \alpha _{i}=\tau ^{\frac {1}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4816d31784846a4a8c0c0b02e48b87ffc01513)
quand le point
décrira la droite
les deux points singuliers
primitivement confondus en
resteront réels. À chacun d’eux
correspondra une valeur de
et une de
et par conséquent un
point représentatif sur notre figure.
L’un de ces points représentatifs décrira alors la droite ES et
l’autre la courbe EL.
L’un des points singuliers restera donc fixe et égal à
et aura
par conséquent son module toujours plus petit que 1.
La valeur initiale
de
est réelle et positive : la droite
sera donc une portion de l’axe des quantités réelles et la valeur finale
sera égale à 1.
Le second point singulier (qui correspond au point représentatif
qui a suivi la courbe EL) a une valeur réelle et positive que j’appelle
il s’agit de savoir si
est plus petit ou plus grand que 1.
Lorsque ce point représentatif décrira la courbe EL depuis E
jusqu’en L, le module de
ira en croissant depuis une certaine
valeur très petite jusqu’à l’infini ; il passera donc une fois et une
seule par la valeur 1. Il s’agit de montrer que la valeur correspondante
de
est plus petite que 1. Pour cela, il suffit de faire
voir que, quand l’abscisse
de ce point représentatif atteint la
valeur 1,
est plus grand que 1.
Or on trouve que, pour
![{\displaystyle z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}=y^{c}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e759b7665039a920398faf647cafa5013175df7)
Il reste donc à démontrer que
Or il est clair que
![{\displaystyle y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})}{(1-\tau ^{2})}}>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6e61251a90032d306b5d0e447a22ca3466f137)
Donc
![{\displaystyle \gamma <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68099067311785ef5658ce23d04e9833da7291e)
Donc le point E est inadmissible.
C.Q.F.D.
Le point F est inadmissible ; ici encore la droite
sera une
portion de l’axe des quantités réelles puisque
sera réel. Les
points singuliers primitivement confondus en
ne resteront pas
réels, mais ils resteront imaginaires conjugués ; ils ont donc
même module ; il est donc impossible que quand
atteindra sa valeur finale
l’un de ces points
soit plus grand que 1 et l’autre plus petit que 1 en valeur absolue.
C.Q.F.D.
Il nous sera cependant utile de savoir si, quand
atteint sa
valeur finale 1, le module commun de ces deux points singuliers
est plus grand ou plus petit que 1. Comme il est primitivement
plus petit que 1, il ne pourrait cesser de l’être qu’en passant par
la valeur 1. Il faudrait donc que, pour une valeur de
imaginaire
et de module 1,
eût une valeur réelle et positive.
Construisons donc dans le plan des
les lignes d’égal argument
de la fonction
![{\displaystyle z={\frac {(x-\tau )^{2c}}{[\beta (1+\tau ^{2})x]^{c}}}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed67e46cbab868d2c1bb7fcd6c8daa4294bff607)
Ces lignes sont représentées sur fig. 3 au moins dans la partie
du plan qui seule nous intéresse et qui avoisine le point O.
Les points remarquables sont le point
correspondant au
point O de la fig. 1, le point
correspondant au point A et
deux points qui correspondent aux points D et F. Ces points
sont d’ailleurs désignés sur la fig. 3 par les mêmes lettres.
Parmi les lignes d’égal argument, les unes regardées comme
remarquables sont représentées en trait plein. Ce sont l’axe des
quantités réelles d’une part et, d’autre part, des lignes allant du
point O au point F et du point A au point D.
Les autres lignes d’égal argument aboutissant soit au point A, soit au point O, soit à l’un et à l’autre, sont représentées en trait
pointillé.
Quand le point
décrira la droite
le point
décrira la
courbe en trait plein FO de notre fig. 3.
![Figure 3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-f06-3.svg/400px-H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-f06-3.svg.png)
Fig. 3.
On voit donc que le module de
restera toujours très petit et
que l’on aura
![{\displaystyle \gamma <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68099067311785ef5658ce23d04e9833da7291e)
Le point R est inadmissible ; en effet, quand le point
décrira
la droite
les deux points singuliers primitivement confondus
resteront d’abord réels ; les deux points représentatifs décriront
les deux branches de courbe RE et RF ; quand le premier de ces
points atteindra le point E, le point singulier correspondant se
confondra avec un autre ; les deux points ainsi confondus se sépareront
ensuite et les points représentatifs correspondants décriront
les courbes EL et ES ; nous avons vu, en parlant du point E, que
les valeurs finales de
sont réelles et plus petites que 1.
De même, quand le second point représentatif atteindra F, le
point singulier correspondant se confondra avec un autre, s’en
séparera ensuite ; les valeurs finales, comme nous l’avons vu en
parlant du point F, sont imaginaires conjuguées et de module plus
petit que 1.
Nous avons donc ici non plus 2, mais 4 valeurs finales ; et elles
sont toutes quatre plus petites que 1 en valeur absolue.
C.Q.F.D.
Le point B est inadmissible. Les deux points singuliers primitivement
confondus se séparent, mais les valeurs correspondantes
de
restent réelles. Les deux points représentatifs décrivent les
branches de courbe BP et BD′. Pour le premier, qui décrit BP, la
valeur absolue de
va en diminuant ; elle reste donc plus petite
que 1 ; considérons le second qui décrit BD′, il me reste à démontrer
que, bien que la valeur absolue de
aille en augmentant, elle
reste plus petite que 1, tant que le module de
est lui-même inférieur
à 1.
Pour cela, il faut faire voir que, pour
or, pour
![{\displaystyle |z|=|y|^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c55bd822b8a7158ef2965bb26b4c7bbe7edfaa)
Or
C.Q.F.D.
Le point C est inadmissible. Les deux points singuliers primitivement
confondus se séparent,
demeurant réel ; le premier
point représentatif décrit CO, le second CB. Pour le premier,
va constamment en diminuant : sa valeur finale est donc plus
petite que 1. Examinons le second point singulier qui correspond
au point représentatif qui décrit GB. Quand il est arrivé en B, il se
confond avec un autre point singulier, et s’en sépare de nouveau ;
les deux points représentatifs décriront les deux courbes BP et
BD′ ; d’après ce que nous venons de voir, les valeurs finales de
sont plus petites que 1. Ainsi nous avons, non pas deux, mais trois
valeurs finales, toutes trois plus petites que 1.
C.Q.F.D.
Le point D est admissible. Les deux valeurs de
demeurent réelles, le premier point représentatif décrit DB ; arrivée en B, la
courbe représentative se bifurque en BP et en BD′, et les valeurs
finales de
sont plus petites que 1, ainsi que nous venons de le voir.
Le second point représentatif décrit DB′ ; je dis que la valeur
finale de
est plus grande que 1. Pour cela, il faut faire voir que,
pour
on a
or, pour
![{\displaystyle |z|=|y|^{c};\quad |y|={\frac {(1+\tau )^{2}}{\beta (1+\tau ^{2})}}<1\quad \mathrm {(si} \;\tau \;\mathrm {est} \;\mathrm {assez} \;\mathrm {petit).} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a378e533d5dec520080d1adbf68c3716797fa68)
De nos trois valeurs absolues finales, deux sont plus petites, une
plus grande que 1. Donc le point est admissible.
C.Q.F.D.
En résumé, des six points BCDEFR, le point D est seul admissible.
De même des six points réciproques B′C′D′E′F′R′, le point D′
est seul admissible.
Si donc l’une des excentricités est assez petite, l’autre nulle,
l’inclinaison des orbites nulle, le grand axe de l’orbite circulaire
plus grand que celui de l’orbite elliptique ; si le rapport
diffère peu de celui des moyens mouvements, ce sont les points D et
D′ qui déterminent les rayons de convergence
et
Pour faciliter l’intelligence de cette discussion, j’ai construit
une quatrième figure où j’ai représenté la variation des points
singuliers en prenant pour abscisse
si
est réel, et
si
est imaginaire, et pour ordonnée
Je n’ai représenté toutefois que
ceux des points singuliers qui jouent un rôle dans la discussion.
Les droites tracées en trait mixte
sont les deux axes
de coordonnées
et
et les droites
Les courbes en trait plein représentent la variation des points
singuliers réels, et les courbes en trait pointillé celle des points
singuliers imaginaires. D’après les conventions faites plus haut,
chacun des points de ces courbes pointillées représentent deux
points singuliers imaginaires conjugués.
Les divers points remarquables sont désignés par les mêmes
lettres que les points correspondants des autres figures. Pour trouver les diverses valeurs finales obtenues en partant d’un point
singulier donné, il faut suivre les courbes pleines ou pointillées,
en allant toujours en descendant (puisque sur la figure l’axe
des
positifs est dirigé vers le bas) jusqu’à la droite
![Figure 3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-f06-4.svg/400px-H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-f06-4.svg.png)
Fig. 4.
On trouve ainsi que
Pour le point
|
D
|
les valeurs finales sont
|
![{\displaystyle \gamma _{1},\;\gamma _{2}\;\mathrm {et} \;\gamma _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4602fab8760728d11e5c83382dd4e54c28c28a)
|
»
|
B
|
»
|
![{\displaystyle \gamma _{2}\;\mathrm {et} \;\gamma _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea3922aef2b7e763114b2e03a4ea85d9975f858)
|
»
|
C
|
»
|
![{\displaystyle \gamma _{2},\;\gamma _{3}\;\mathrm {et} \;\gamma _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf520169acf77be548a64dbe26653942462d115)
|
»
|
F
|
»
|
![{\displaystyle \gamma _{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f354c369d955b62365a09213a1f1be9e632ba1a9)
|
»
|
R
|
»
|
![{\displaystyle \gamma _{5},\;\gamma _{6}\;\mathrm {et} \;\gamma _{7},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a760723570f1801c949faf179b454005350b437)
|
»
|
E
|
»
|
![{\displaystyle \gamma _{6}\;\mathrm {et} \;\gamma _{7}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40cff11d1d705b43b89db436e51f4b6eaf7e4dc)
|
Je rappelle que
représente deux valeurs finales imaginaires
conjuguées. On voit que, de toutes ces valeurs finales, toutes,
sauf
sont plus petites que 1 en valeurs absolues.
Discussion dans le cas général.
98.Les limites qui me sont imposées ici ne me permettent pas
de répéter cette discussion dans le cas le plus général ; mais je puis
indiquer en quelques mots de quelle manière elle doit être conduite.
Quand on fera varier les éléments des orbites, d’une manière
continue, les points singuliers de
varieront aussi d’une façon continue. Supposons que l’on fasse varier ces éléments de telle
sorte que les orbites restent réelles et qu’à aucun moment elles ne
se coupent en un point réel, de telle sorte aussi qu’à aucun moment
deux points singuliers de
ne viennent à se confondre. Considérons
un point singulier de
il va varier d’une façon continue
et, comme nous supposons qu’il ne se confond jamais avec
aucun autre, on pourra le suivre dans ses variations sans avoir à
craindre aucune ambiguïté.
Cela posé, je dis que, si ce point est admissible à un certain moment,
il restera toujours admissible et inversement, sauf dans un
cas sur lequel nous reviendrons.
En effet, dire que le point singulier est admissible, c’est dire que,
parmi les valeurs finales de
correspondant à ce point, il y en a
dont le module est plus grand que 1 et d’autres dont le module
est plus petit que 1. Mais il importe de préciser davantage. En
effet, dans le cas particulier traité dans le numéro précédent,
était fonction uniforme de
et de
ce qui nous a permis de représenter les points singuliers de
sur le plan des
Dans le cas général il n’en est plus de même et une représentation
aussi simple n’est plus possible. Il faut représenter les points
singuliers de
(considérée comme fonction de
) sur une
surface de Riemann particulière que j’ai appelée plus haut
cette
surface peut être définie comme il suit : nous avons
(1)
|
|
|
Si nous regardons
comme donné, cette équation définit une
relation entre
et
à laquelle satisfont une infinité de systèmes
de valeurs de
et de
ou bien encore de
et de
chacun de
ces systèmes de valeurs représente ce qu’on peut appeler un point
analytique. À chacun des points de la surface de Riemann correspondra
un de ces points analytiques et un seul, et réciproquement.
Quand on fera varier
cette surface de Riemann
va varier
aussi, puisque alors les points singuliers de
se déplacent.
Soit
ce que devient
quand z atteint une valeur de module 1. Sur la surface
nous pourrons tracer un cercle que j’appellerai
et dont l’équation sera
![{\displaystyle |x|=|y|=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e69d7872d4a7ba07135a137b280388cc9e20c4)
(En effet, si l’on donne à
une valeur quelconque de module 1,
on peut toujours choisir une valeur de
ayant également pour
module 1, de manière que
ait telle valeur que l’on veut de module 1.)
Ce cercle
partage en deux régions la surface de Riemann
J’appellerai
celle de ces deux régions qui contient les points
voisins de
et pour lesquels
et
l’autre région.
Supposons donc que l’on fasse suivre au point
la droite
du
numéro précédent et que l’on étudie les variations des points singuliers
de
quand on fait varier
ces points se déplacent
sur la surface
en même temps que cette surface
varie elle-même.
Deux de ces points d’abord confondus en un seul [qui est un point
singulier de
] se séparent ; quand le module de
atteint la
valeur 1 et que
s’est réduite à
ils atteignent sur cette
surface
deux positions finales. (La discussion du numéro précédent
nous a fait voir des cas où l’un de ces points singuliers se séparait
lui-même en deux autres ; il y a alors plus de deux positions finales,
mais ce que je vais dire reste applicable.) Si toutes ces positions
finales appartiennent à la même des deux régions déterminées sur
la surface
par le cercle
le point singulier correspondant
de
est inadmissible ; dans le cas contraire, il est admissible.
On voit la nuance qui sépare cet énoncé de celui que j’avais
d’abord donné et qui convenait dans le cas particulier du numéro
précédent. Les affixes de deux points peuvent être, l’un plus grand,
l’autre plus petit que 1 en valeur absolue, et ces deux points peuvent
appartenir néanmoins à la même des deux régions définies
plus haut, s’ils ne font pas partie du même feuillet de la surface
de Riemann.
Cela posé, je dis que, quand on fait varier les éléments des deux
orbites, un point singulier d’abord admissible ne peut, en général,
devenir inadmissible ou inversement. En effet, considérons les
variations de la surface
et de ce que nous avons appelé les valeurs
finales. Pour qu’un point singulier cessât en effet d’être admissible ou le devînt, il faudrait que la valeur finale correspondante
franchît le cercle
pour passer d’une des deux régions
dans l’autre. Or quelle est la signification des équations de ce
cercle
![{\displaystyle |x|=|y|=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e69d7872d4a7ba07135a137b280388cc9e20c4)
Elles signifient que les deux anomalies excentriques sont réelles.
À chaque point M de la surface de Riemann
et en particulier de
la surface
correspond sur les deux orbites un couple de points
P et P′ définis par les valeurs des anomalies excentriques, ou ce
qui revient au même de
et de
Si le point M est sur le cercle
les points P et P′ sont réels. Le point M ne peut être singulier que
si la distance PP′ est nulle, ou si l’un des points P et P′ sont à une
distance nulle du Soleil. Cette seconde circonstance ne peut pas
se présenter si les points P et P′ sont réels ; ni la première non
plus si, comme nous l’avons supposé, les deux orbites ne se coupent
en aucun point réel.
Il est donc impossible qu’un point du cercle
soit singulier ;
c’est-à-dire qu’une des valeurs finales franchisse ce cercle ; c’est-à-dire
enfin qu’un point singulier de
perde ou acquière le
caractère d’admissibilité.
Il est cependant un cas dont il me reste à parler et où ce raisonnement
se trouverait en défaut. Je suppose que l’on fasse suivre
au point
la droite
et que l’on étudie les variations
correspondantes des points singuliers de
Au commencement, deux
de ces points sont confondus entre eux et se confondent par conséquent
avec un point singulier A de
ils se séparent ensuite :
soit
l’un d’eux-, il peut arriver (et nous en avons vu des exemples
au numéro précédent) que, pour une certaine valeur de
le point
vienne à se confondre avec un autre point singulier de
(généralement différent de celui avec lequel il se confondait
d’abord) et, par conséquent, avec un point singulier B de
Il
s’en sépare ensuite, de sorte que le point singulier A admet non
pas deux, mais trois valeurs finales.
Je dirai dans ce cas, pour abréger le langage, que le point B est
subordonné au point A ; il faut, pour qu’il en soit ainsi, que le
du
point B ait même argument et module plus rapproché de 1 que
le
du point A.
Soient alors A et B deux points singuliers de
et supposons
que leurs
aient d’abord des arguments différents. Faisons varier
d’une manière continue les éléments des deux orbites et, par conséquent,
les points A et B ; si, à un certain moment le point B devient
subordonné au point A, il peut arriver qu’à ce moment, par exception
à la règle générale formulée plus haut, le point A devienne
admissible ou cesse de l’être.
Voyons comment cette circonstance pourra se présenter. Observons
d’abord que les valeurs de
qui correspondent aux points
singuliers de
nous sont fournies par un certain nombre
d’équations algébriques. Si les deux points A et B sont ainsi définis
par une seule et même équation irréductible, je dirai qu’ils sont
de même nature, et, dans le cas contraire, qu’ils sont de nature
différente. On verrait sans peine que, si les points A et B sont de
nature différente, le point B peut devenir subordonné à A, sans
que ce point A puisse perdre ou acquérir le caractère d’admissibilité.
Je suppose maintenant que les points A et B soient de même
nature. Si le point B est inadmissible, il peut encore devenir subordonné
à A sans que ce dernier point devienne admissible ou cesse
de l’être. Si, au contraire, le point B est admissible, il arrivera en
général, au moment où B deviendra subordonné à A, que A cessera
d’être admissible s’il l’était, et le deviendra s’il ne l’était pas. Le
point B conserve d’ailleurs toujours son caractère d’admissibilité
ou d’inadmissibilité.
Les considérations qui précèdent nous fournissent donc le moyen,
en faisant varier les éléments des orbites d’une manière continue,
et en suivant les variations des points singuliers, de reconnaître
quels sont ceux qui sont admissibles, soit que l’on s’astreigne à
faire varier les éléments de façon que deux points singuliers n’aient
à aucun moment un
de même argument, afin d’éviter la discussion
nécessaire pour savoir s’ils sont réellement subordonnés l’un à
l’autre, soit que l’on ne s’y astreigne pas en se résignant à faire
cette discussion.
On peut faire varier, non seulement les éléments des orbites,
mais le rapport
en oubliant un instant qu’il doit être
commensurable, ce que nous n’avons supposé que dans un but très particulier qui ne se rattache en aucune façon à la discussion de
l’admissibilité des points singuliers. Ce rapport
doit toutefois, pour
que ce que nous venons de dire reste applicable, rester réel et ne
passer ni par 0 ni par l’infini.
Il suffit donc, pour pouvoir appliquer les considérations précédentes,
de connaître quels sont les points admissibles pour certaines
valeurs des éléments. Ce que j’ai dit dans le numéro précédent
sur un cas particulier semble donc pouvoir nous suffire ;
mais, dans ce cas particulier, certains points singuliers se réduisent
à 0 ou à l’infini et je les ai laissés de côté dans la discussion.
C’est pour cette raison que j’ai encore quelques mots à ajouter.
Supposons d’abord que, les deux excentricités étant finies, l’inclinaison
reste nulle. Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tang} {\frac {\varphi }{2}}&=\tau ,&\mathrm {tang} {\frac {\varphi '}{2}}&=\tau '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761d5727c9b4b2ee7bb321fb865c3f22454f6cb2)
Les points singuliers de
seront alors définis par les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tau ,&x&={\frac {1}{\tau }},&y&=\tau ',&y&={\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419c00648a0e5c0039beb3709158189f3636bc63)
(3)
|
|
|
(4)
|
|
|
Les courbes (3) et (4) sont du troisième ordre ; pour qu’elles
soient réelles, il faut et il suffit que les grands axes des deux
orbites coïncident, c’est-à-dire que la différence
soit égale
à 0 ou à ![{\displaystyle \pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b721b560eaa34cbf1e346505aca908d473be5)
Supposons
la courbe (3) présentera un point double
![{\displaystyle x=\tau ,\qquad y=\tau '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0f64276ca7daf8bc7d6b98b19a17b2f6e95d39)
Si
est très petit, la courbe présentera trois branches : la première
que j’appellerai
et qui différera peu de la branche B’DBP
de la fig. 1 ; la seconde que j’appellerai
ira passer par l’origine
et par le point double. Elle sera d’abord asymptote à l’axe des
négatifs, s’écartera très peu de cet axe ; après avoir passé par le
point double, elle différera peu de la branche AO′ de la fig. 1 ;
la troisième que j’appellerai
est asymptote à l’axe des
et diffère
d’abord très peu de la branche CRA de la fig. 1 ; elle va ensuite
passer par le point double et s’écarte ensuite très peu de l’axe
des
auquel elle est asymptote. Je dirai désormais que deux points
sont réciproques, quand on passe de l’un à l’autre en changeant
en
en
en
et
en
Les deux courbes (3)
et (4) sont alors réciproques l’une de l’autre. Si
et par conséquent
que nos courbes soient réelles, cette définition ne différera
pas de celle du numéro précédent.
Nous avons comme points singuliers :
1o Les intersections des courbes (3) et (4) différant très peu des
points B, B′, R, R′ de la fig. 1 et que je puis toujours désigner
par les mêmes lettres. Nous avons vu qu’ils sont inadmissibles.
2o Les intersections de
et de la courbe (4), de
et
de la courbe (3) différant très peu des points E et E′ de la fig. 1 ;
ils sont aussi inadmissibles.
3o Trois points situés sur la courbe (3) et différant très peu des
points D, F et C′ de la fig. 1 ; le premier seul est admissible.
4o Trois points réciproques des premiers situés sur la courbe (4) ;
celui qui diffère peu de D′ est seul admissible.
5o Un point défini par les équations (3) et (5) situé sur la
branches
et se réduisant à
pour
Ce point, dont il n’a pas été question dans le numéro précédent, exige
une discussion spéciale. Cette discussion prouverait que ce point
que j’appellerai T est admissible ; les deux points singuliers de
d’abord confondus avec lui, se séparent quand
décrit
la droite
et sont d’abord imaginaires conjugués, puis ils se réunissent
de nouveau en un seul point qui correspond au point D
et se séparent encore pour redevenir réels. On voit que les valeurs
finales de T sont les mêmes que celles de D ; donc T est admissible
comme D.
6o Un point T′, réciproque de T, et par conséquent admissible
comme lui.
7o Le point double
que j’appellerai U ; par ce point passent deux des branches de la courbe (3) et les deux droites
À ce point correspondent quatre valeurs finales ; car,
quand
décrit la droite
quatre points singuliers de
d’abord confondus en un seul, se séparent de façon que les quatre
points représentatifs décrivent respectivement les deux branches
de (3) et les deux droites
parmi ces valeurs finales,
trois sont plus petites que 1 en valeur absolue ou plus exactement
appartiennent à la région
de la surface de Riemann
La
quatrième valeur finale, celle qui correspond à la branche de
courbe
appartient à l’autre région. Le point est donc admissible.
8o Le point U′ réciproque de U, c’est-à-dire le point double
de (4), sera admissible pour la même raison.
9o Il reste encore les points d’intersection de la droite,
avec la courbe (4) que j’appelle V et W′ et ceux de la droite
avec la courbe (3) que j’appelle V′ et W, auxquels
j’adjoindrai les deux points réciproques l’un de l’autre
![{\displaystyle \left(x={\tau },\quad y={\frac {1}{\tau '}}\right)\quad \mathrm {et} \quad \left(x={\frac {1}{\tau }},\quad y={\tau '}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d4e5f41560192bb8be84ca8a2308c048f16127)
que j’appellerai X et X′. Le point X est inadmissible et les deux
valeurs finales correspondant respectivement aux deux droites
et
appartiennent à la région ![{\displaystyle \mathrm {R} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213d46e88f9a334e8b2a9a5b68f04f484003aa1c)
Passons au point V [c’est celle des intersections de
avec (4) qui est très près de l’origine] : quand le point
décrit
les deux points représentatifs correspondant aux deux points singuliers
qui se séparent suivent : le premier la courbe (4) jusqu’au
point R et le second la droite
jusqu’en U. Les points R et U
sont donc subordonnés à V et V admet, comme valeurs finales,
l’ensemble des valeurs finales de R et de U. Toutes celles de R
appartiennent à
celles de U qui est admissible appartiennent
aux deux régions. Donc le point V est admissible ; mais il cesse
de l’être dès que la différence
au lieu d’être nulle, devient
très petite. Dans ce cas, en effet, R et U cessent d’être subordonnés
à V, et les seules valeurs finales que conserve V sont, d’une part, une valeur finale peu différente d’une de celles de R, et une autre
peu différente d’une de celles de U (celle qui correspond à
)
et qui, toutes deux, appartiennent à
Enfin W est inadmissible [c’est celle des intersections de (3)
avec
qui est voisine de l’axe des
]. En effet, à ce point sont
subordonnées F et X dont les valeurs finales appartiennent à
En résumé, si l’inclinaison est nulle, la différence
très petite, l’excentricité
petite, l’excentricité
très petite par rapport à
les seuls points admissibles seront D, T, U
et leurs réciproques.
Supposons maintenant que l’inclinaison n’est plus nulle, mais
très petite.
Si nous écrivons que la distance des deux planètes est nulle,
nous n’obtiendrons plus, comme dans le cas précédent, deux équations
distinctes (3) et (4), mais une équation unique
![{\displaystyle \Theta (x,\,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10811d0a3b26ba475b83c927780caffcf83af4bf)
qui, si l’on considère (comme dans la fig. 1)
et
comme les
coordonnées d’un point dans un plan, représentera une courbe du
sixième ordre.
Cette courbe se décompose en deux courbes du troisième ordre
(3) et (4) quand l’inclinaison est nulle ; pour qu’elle soit réelle, il
faut et il suffit que les grands axes des orbites soient perpendiculaires
à la ligne des nœuds.
Si l’inclinaison est très petite, les points singuliers seront :
1o Des points très peu différents de E, D, F, C, T, V, W, X et
de leurs réciproques ; je les désignerai par les mêmes lettres ; il
est clair que D et T sont seuls admissibles avec leurs réciproques.
2o Deux points B₁ et B₂ très peu différents de B ; deux points
R₁ et R₂ très peu différents de R et leurs réciproques. Tous inadmissibles.
3o Neuf points peu différents de U, à savoir
deux
intersections de
avec
deux de
avec
quatre points de
Une discussion spéciale serait nécessaire.
Avant ainsi reconnu quels sont les points admissibles, il resterait, pour voir celui qu’il convient de conserver, à voir quel est
celui qui correspond à la valeur de
la plus voisine de 1.
Si l’excentricité qui correspond au plus grand des deux
grands axes et l’inclinaison sont petites par rapport à l’autre
excentricité, si la différence
est petite, le point qui nous
convient est le point D.
Forcé de me borner, j’arrête là cette discussion que je n’ai fait
qu’ébaucher. Mais il me semble que l’importance du sujet peut
tenter plus d’un chercheur ; il devrait donner, outre cette discussion,
une méthode pratique et rapide de résolution des équations
algébriques auxquelles on est conduit en tenant compte de la petitesse
de certaines quantités, et de ce fait qu’on peut se contenter le
plus souvent d’une médiocre approximation. Sa tâche serait d’ailleurs
grandement facilitée par une étude analytique complète de la
fonction
et de ses différentes déterminations.
Application de la méthode de M. Darboux.
99.Supposons maintenant que l’on ait déterminé par la discussion
qui précède le point singulier de
qui convient à la
question, que l’on sache, par conséquent, quelles sont les deux
circonférences
![{\displaystyle {\begin{aligned}|z|=&r,&|z|=&\mathrm {R} ={\frac {1}{r}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3eeadebadd3d258049ec32c1c489ae67d9682f)
qui limitent le domaine où
est développable par la série de
Laurent et quels sont les points singuliers situés sur cette circonférence.
En général, il n’y en aura qu’un seul sur chacune d’elles.
Soit donc
le point singulier qui se trouve sur la circonférence
Soient
et
les valeurs correspondantes de
et
On voit aisément que
et
sont parfaitement déterminés par les
équations algébriques que nous avons discutées plus haut ; au contraire,
![{\displaystyle t_{0}=x_{0}^{\frac {1}{c}}\,e^{{\frac {\sin \varphi }{2c}}\left({\frac {1}{x_{0}}}-x_{0}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbed332e5235540a08b426737c8cfe0f054e39d)
n’est pas entièrement déterminé, mais est susceptible de
valeurs que j’appellerai
![{\displaystyle t_{0},\;\;jt_{0},\;\;j^{2}t_{0},\;\;\ldots ,\;\;j^{c-1}t_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094f91a82dcdef34ff68547646c77c7951f20913)
étant une racine
ième primitive de l’unité.
Appliquons au développement de
la méthode de M. Darboux.
Pour cela, il nous est nécessaire de savoir comment cette
fonction se comporte dans le voisinage du point singulier
Lorsque
est très voisin de
la fonction
admet deux
points singuliers
et
très voisins de
elle admettra également
autres couples de points singuliers
![{\displaystyle jt_{1},\;\mathrm {et} \;jt_{2},\quad j^{2}t_{1},\;\mathrm {et} \;j^{2}t_{2},\quad \ldots ,\quad j^{c-1}t_{1}\;\mathrm {et} \;j^{c-1}t_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95c763cba8b5efc39b30e4b66d2ccab2ed24a8c)
très voisins respectivement de
![{\displaystyle jt_{0},\quad j^{2}t_{0},\quad \ldots ,\quad j^{c-1}t_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da824cf29bdba48d26d2b36c072f8a505472921)
Le contour d’intégration
le long duquel devra se calculer
![{\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2\,i\,\pi }}\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae9b4f79148a46b2ff23afe98c68d63513c224d)
devra passer entre les points
et
et de même entre les points
et
On pourra, d’ailleurs, supposer que ce contour présente
la symétrie suivante : il sera formé de
arcs
et l’on passera de l’arc
à l’arc
en changeant
en
comme
![{\displaystyle \mathrm {F} (z,\,tj^{k})=j^{-k}\mathrm {F} (z,\,t)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bda87426c1cb0d3bdb2f084942bedcdb0ddcdf1)
l’intégrale prise le long des
arcs
sera la même, et l’on aura
![{\displaystyle \Phi (z)={\frac {c}{2\,i\,\pi }}\int _{\mathrm {C} _{0}}\mathrm {F} (z,\,t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59366a6100c0259b6931703d01f9f0025005360)
L’arc
qui est notre nouveau chemin d’intégration passera
alors seulement entre les points singuliers
et
d’ailleurs,
décomposons l’arc
en trois arcs partiels
et
j’appellerai
et
les extrémités de l’arc
et
celles de
et
celles de
Je supposerai que c’est
qui passe entre
et
et
que, quand
tend vers
aucun des quatre points
ne
tende vers
de telle sorte que ces quatre points soient à une
distance finie de
et de
Notre intégrale prise le long de
est la somme de trois autres,
prises respectivement le long de
de
et de
La première et la troisième restent des fonctions holomorphes de
dans le
voisinage du point
puisque les points
et
sont à une distance
finie des arcs
et
C’est donc la seconde intégrale seulement,
prise le long de
qui admet
comme point singulier ;
c’est donc l’étude de cette seconde intégrale qui nous fera connaître
l’allure de la fonction
dans le voisinage de
Voyons donc comment se comporte la fonction
dans le
voisinage de
Cela dépend, bien entendu, de la nature
du point singulier considéré. J’examinerai d’abord l’hypothèse où
ce point est l’un de ceux que nous avons désignés par D, F, T, C
et par les mêmes lettres accentuées, ou bien encore, dans le cas où
l’inclinaison n’est pas nulle, l’un de ceux que nous avons désignés
par B₁, B₂, R₁, R₂ ou de leurs réciproques. C’est là l’hypothèse la
plus importante, car nous avons vu que, si l’inclinaison et l’une
des excentricités sont très petites, c’est le point D qui nous convient.
Dans cette hypothèse
est développable suivant les
puissances croissantes de
et de
J’ai donc
![{\displaystyle \mathrm {F} (z,\,t)={\frac {1}{\sqrt {\psi (z,\,t)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff0f87cba468840908aaea8f35bf72410813e6d)
en désignant par
une série développée suivant les puissances
croissantes de
et de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Je supposerai que
est assez voisin de
et que les points que
je viens d’appeler
et
(extrémités de
) sont assez voisins de
(bien que leur distance à ce point
ait été supposée finie) pour que la série
converge pour
et pour
Quelle sera maintenant la forme de cette série
En premier lieu, pour
![{\displaystyle t=t_{0},\quad z=z_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a91af82cea2ad79890e8dd831d44333d9e42369)
on devra avoir
![{\displaystyle \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{dt}}=0\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca0a7d9ea9f9de52534919d9ff764c948824094)
Si donc, dans
on fait
le premier terme du développement
de
sera un terme en
Il suit de là et d’un théorème de M. Weierstrass, que l’on a identiquement
![{\displaystyle \psi =[(t-h)^{2}+k]\psi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb87b97cad500ddbaaf9cf0f3ec76fc2e37627b)
où
est une série développée suivant les puissances de
et
et ne s’annulant pas pour
où
et
sont deux séries ordonnées suivant les puissances de
et se déduisant
respectivement à
et à 0 pour
(Weierstrass,
Abhandlungen aus der Functionenlehre, Berlin, Springer, 1886,
p. 107 et suiv. ; voir aussi Poincaré, Thèse inaugurale, Paris,
Gauthier-Villars, 1879).
Nous pouvons poser alors
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\psi _{1}}}}=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33afd6bafcf99110eed4ad36a74f0c9b1b505871)
d’où
![{\displaystyle \quad \mathrm {F} (z,\,t)={\frac {\theta }{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c06759361c41b5ec9d8fd91d81d24148a3d9bf)
étant développable suivant les puissances croissantes de
et ![{\displaystyle t-t_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90c3515d93e4667934e91813025ce16092f04f1)
Passons à une seconde hypothèse qui sera celle où, l’inclinaison
étant nulle, le point singulier
sera l’un des points B, R, B′ ou
R′. On verrait alors que
est encore de la même forme ; il
y a cependant une différence. Dans la première hypothèse,
est
divisible par
mais non par
dans la seconde,
est
divisible par
Les dernières hypothèses qu’il nous reste à examiner sont celles
où l’on a soit
ou
soit
ou
Dans ce cas, il peut être utile de faire un changement de variable.
Supposons d’abord
![{\displaystyle x_{0}=\tau \;\;\;\mathrm {ou} \;\;\;{\frac {1}{\tau }},\quad \;\;y_{0}\gtrless \tau ',\;\;\;y_{0}\gtrless {\frac {1}{\tau '}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b805445c39d69c6d4051e8f15e3a39a621f08a)
Nous prendrons alors pour variables nouvelles, non plus
et
mais
et
dans le voisinage du point singulier considéré,
est
développable suivant les puissances croissantes de
et
et, par conséquent, suivant celles de
et
et, par conséquent, suivant celles de
et
est
également développable suivant les puissances de
et de
Si donc nous posons
(1)
|
|
|
sera développable suivant les puissances de
et
et
nous aurons
![{\displaystyle 2i\pi \Phi (z)=\int {\frac {dx}{c\,x^{2}{\sqrt {\psi }}}}\,{\frac {(x-\tau )(1-\tau x)}{1+\tau ^{2}}}=\int \mathrm {H} (z,\,x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92581245d2805e09e4bef91f258fbb3f0162f6db)
La fonction
sous le signe
ne présente de point
singulier que si
Pour que
présente un point singulier, il faut que deux des
points singuliers de
viennent à se confondre. Or cela n’aura
lieu que si l’on a à la fois
![{\displaystyle \psi ={\frac {d\psi }{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d168a8c06f78c9a4f8d0d39c016f68ff95ee76b)
L’équation
correspond aux courbes (3) et (4) du numéro
précédent (ou à la courbe du sixième degré qui les remplace quand
l’inclinaison n’est pas nulle). Les équations
correspondent
aux points singuliers étudiés dans les deux premières
hypothèses.
D’où cette conséquence, le point E et son réciproque ne sont
pour la fonction
que des points singuliers apparents, et l’on
n’aura jamais à s’en occuper.
Supposons maintenant
![{\displaystyle x_{0}\gtrless \tau ,\quad x_{0}\gtrless {\frac {1}{\tau }},\qquad y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b11e42e99deca4545fc06db13381df9417f9ec)
ou
![{\displaystyle \quad \tau '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badc0c875fb06a67342c5fa90aee10873385663b)
Nous prendrons alors pour variables nouvelles
et
nous trouverons,
en conservant à
la signification que lui donne l’équation (1),
![{\displaystyle 2i\pi \Phi (z)=\int {\frac {-dy}{a\,y^{2}\,{\sqrt {\psi }}}}\,{\frac {(y-\tau ')(1-\tau 'y)}{1+\tau '^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5a0089910124f200e456f6c6728dc871818000)
Nous en conclurions que les points définis par les équations
![{\displaystyle y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674a5f55986d7414dd681759485f6a8fb0b81735)
ou
![{\displaystyle \quad \tau ',\qquad \psi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76829f0b0efe66a19c2e9587e57a2d30d48c8f77)
(et pour lesquels on n’a pas en même temps
),
c’est-à-dire les points V, W et leurs réciproques, ne sont pour la fonction
que des points singuliers apparents.
Dans le cas où l’on a à la fois
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c32e12339dbda6639bf81a0f1068b61c153482d)
le choix du changement de variables, qui peut d’ailleurs se faire
d’une infinité de manières, est plus délicat. Voici comment on peut
faire ce choix.
Nous avons
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}\;\;\;\,y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)},\\z_{0}&=x_{0}^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x_{0}}}-x_{0}\right)}\,y_{0}^{c}\,e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y_{0}}}-y_{0}\right)}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31af3a156c946644cf7c6ae970349e2750b743f8)
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}&=x_{0}^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x_{0}}}-x_{0}\right)}(1+\xi ^{2}),\\y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}&=y_{0}^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y_{0}}}-y_{0}\right)}(1+\eta ^{2}).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2455fa5c1aea317e56312bc9c33d672e0b0df9f)
Alors
sera développable suivant les puissances de
et
suivant
celles de
on aura
pour
et
pour
D’autre part, il viendra
![{\displaystyle {\frac {z}{z_{0}}}-1=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\xi ^{2}\eta ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70eef6ca37caf4d4cdbf02cf15d942c5706d561a)
d’où
![{\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {z-z_{0}-\xi ^{2}}{z_{0}(1+\xi ^{2})}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de69a4e727591dba67fa8091da6ac51883900fe)
En général,
et
seront des fonctions développables suivant
les puissances de
et de
[il y aurait exception toutefois dans le
cas où l’inclinaison serait nulle et où l’on aurait
![{\displaystyle x_{0}=\tau ,\quad y_{0}=\tau '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957aa9c292bfc225bec149efcb11442f23de768f)
ou bien
![{\displaystyle x_{0}={\frac {1}{\tau }},\quad y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cef01008ca23ad3c678330637d7de633d130144)
ce point
que nous avons appelé U, appartient en effet comme point double à la courbe (3) ; ce cas mériterait une
discussion spéciale].
On a donc, en prenant pour variables indépendantes
et
![{\displaystyle \Phi (z)=\int \varphi (z,\,\xi )\,d\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb12792396f6abcc19aeb215a55c18b622110c11)
étant développable suivant les puissances de
de
et de
ce qui nous permet d’écrire
![{\displaystyle \Phi (z)=\int \varphi _{1}\,d\xi +\int {\frac {\varphi _{2}\,d\xi }{\sqrt {z-z_{0}-\xi ^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfc072d41a6189ccde44f0b94194132c11b76c8)
et
étant développables suivant les puissances de
et de ![{\displaystyle z-z_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e18413f94c5e343539b3fcfbccb2f785ea8d9d)
La première intégrale est une fonction holomorphe de
dans
le voisinage du point
quant à la seconde, elle est tout à
fait de la même forme que l’intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c1a2ad408983ef57d15a6e692c9d013042f990)
que nous avons été conduits à envisager dans les deux premières
hypothèses. Nous devons donc conclure que les points
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c32e12339dbda6639bf81a0f1068b61c153482d)
sont pour la fonction
des points singuliers véritables et non
pas seulement apparents.
On peut être étonné, au premier abord, de la différence entre les
points singuliers tels que E, V, W, etc., qui ne sont qu’apparents,
et les points tels que
ou tels que D, etc., qui sont
de véritables points singuliers.
L’origine en semble pourtant tout à fait la même ; on obtient ces
points en écrivant que deux des points singuliers
et
de la
fonction
viennent à se confondre. Mais examinons la chose
d’un peu plus près. Donnons à
une valeur très voisine de
de
façon que les deux points
et
soient très peu différents l’un de
l’autre, et étudions l’allure de la fonction
dans le voisinage
de ces deux points. La différence entre les deux cas est alors très grande.
Premier cas. — Le point
est un point tel que D ou que
c’est-à-dire un point singulier véritable de
Alors deux valeurs de
s’échangent entre elles quand on
tourne autour du point
et ces deux mêmes valeurs s’échangent
encore entre elles quand on tourne autour du point
Si l’on
construit une courbe en prenant
pour abscisse et
pour
ordonnée, cette courbe variera naturellement quand on fera varier
et pour
elle aura un point double.
Second cas. — Le point
est un point tel que E, c’est-à-dire
un point singulier apparent de
Alors quatre valeurs de
s’échangent quand on tourne
autour de
et
à savoir la première avec la deuxième, la
troisième avec la quatrième quand on tourne autour de
la deuxième
avec la troisième quand on tourne autour de
Construisons donc la surface de Riemann relative à la fonction
c’est-à-dire une surface de Riemann ayant autant de
feuillets que cette fonction
a de déterminations. Dans le
premier cas, l’ordre de connexion de cette surface s’abaissera de
deux unités quand
deviendra égal à
dans le second cas, il
demeurera le même. C’est là la véritable raison de la différence
entre les deux cas.
Cette circonstance que certains points singuliers ne sont qu’apparents
est susceptible, si on l’applique convenablement, de simplifier
considérablement la discussion des deux numéros précédents.
100.Rien n’est plus aisé maintenant que de connaître l’allure
de la fonction
dans le voisinage du point
Nous avons en effet
![{\displaystyle \Phi (z)=\Phi _{1}(z)+{\frac {1}{2i\pi }}\int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3d92b1606c991105cf269ce0cb5c20e15a7a7f)
restant holomorphe pour
et l’intégrale étant prise
le long de ![{\displaystyle \mathrm {C} ''_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240f5f8ddf43ab40f561a79ba4a7325ea54611fa)
Comme
est développable suivant les puissances de
et
et
suivant celles de
nous pouvons écrire
![{\displaystyle \theta =\theta _{0}+\theta _{1}(t-h)+\theta _{2}(t-h)^{2}+\ldots +\theta _{n}(t-h)^{n}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897116a99ee77d2754bfeafccac067cb5f9e6b33)
de sorte qu’en posant
![{\displaystyle 2i\pi \mathrm {J} _{n}=\int {\frac {(t-h)^{n}\,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83de5c7ee2b57a82c2f23e550ea7cb0ea5ff67f3)
il vient
![{\displaystyle \Phi (z)=\Phi _{1}(z)+{\textstyle \sum }\theta _{n}\mathrm {J} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2983876cabcf71b053cdbb432afd6273252f19)
D’autre part,
![{\displaystyle 2i\pi \mathrm {J} _{0}=\int _{\beta }^{\gamma }{\frac {dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}=\log {\frac {\gamma -h+{\sqrt {(\gamma -h)^{2}+k}}}{\beta -h+{\sqrt {(\beta -h)^{2}+k}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae2c09ea8e3f81e5ebcae65ccdaa6f40b1b72a8)
Nous en conclurons (en observant que le chemin d’intégration
passe entre
et
) que
![{\displaystyle 2i\pi \mathrm {J} _{0}=\lambda _{0}(z)+\log(z-z_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e364901ba92febd2ea8c7608bd38ac70e6265d8)
étant holomorphe pour ![{\displaystyle z=z_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0525b32971d2d5001dc828ca8b1efba1e4c709c2)
Dans le cas où
serait divisible par
il faudrait dire
(deuxième hypothèse du numéro précédent) et non
Il vient ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}2i\pi \mathrm {J} _{1}=\int _{\beta }^{\gamma }{\frac {(t-k)\,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}&={\text{fonction holomorphe de }}z,\\n\mathrm {J} _{n}+k(n-1)\mathrm {J} _{n-2}&={\text{fonction holomorphe de }}z.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec6280a4a3a4930e719161f42ea244d415ebd1d)
Donc
reste holomorphe en
si
est impair. Si maintenant
est pair et que nous posions
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {(n-1)(n-3)\ldots 1}{n(n-2)\ldots 2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b037aec618a6a6f2c444ab06271099792ecebd)
on aura
![{\displaystyle 2i\pi \mathrm {J} _{n}=\lambda _{n}(z)+(-k)^{\frac {n}{2}}\alpha _{n}\log(z-z_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501d80c56ee5f0a151c68c60da40b5f811e5a02f)
étant holomorphe en ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Il vient donc finalement
![{\displaystyle \Phi (z)=\sum _{n=0}^{n=\infty }{\frac {\theta _{2n}(-k)^{n}\alpha _{n}}{2i\pi }}\log(z-z_{0})+\Phi _{2}(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edc0f10ebe98966f58bad58820dfcea5564be3c)
restant holomorphe en
pour ![{\displaystyle z=z_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0525b32971d2d5001dc828ca8b1efba1e4c709c2)
Je puis écrire encore
![{\displaystyle \Phi (z)=\Phi _{2}(z)+\Phi _{3}(z)\log(z-z_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4762ee610653602d14ed0546ab15db6d1e5bda)
et
restant holomorphes pour ![{\displaystyle z=z_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0525b32971d2d5001dc828ca8b1efba1e4c709c2)
Nous avons
![{\displaystyle \Phi (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{an+b,cn+d}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd29a4354e139d6324ca1531ccaf7c8f62d60042)
Si donc
![{\displaystyle \Phi _{3}(z)=\delta _{0}+\delta _{1}(z-z_{0})+\delta _{2}(z-z_{0})^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d91edcee62cbbd1f2a07c471fdbf7e365b1417)
et si
![{\displaystyle (z-z_{0})^{h}\log(z-z_{0})={\textstyle \sum }\gamma _{n,h}z^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed16825ac4b007094bc3d668f5c7a4bf3f356a9)
on aura approximativement pour
très grand
![{\displaystyle \mathrm {A} _{an+b,cn+d}=\delta _{0}\gamma _{n,0}+\delta _{1}\gamma _{n,1}+\ldots +\delta _{p}\gamma _{n,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb64995ae08b37ce2c633e097c0eeeb6473593e5)
En général, on pourra se contenter de prendre le premier terme
![{\displaystyle \delta _{0}\gamma _{n,0}={\frac {\theta _{0,0}}{2i\pi }}\,{\frac {-1}{nz_{0}^{d}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a34ee1059dc7d119341dabc32c77c9a848e849)
étant la valeur de
pour
ou bien encore celle de
pour
![{\displaystyle t=t_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97de8a1e6c41d2310938a0dcdc51f8f7a4c5fb2f)
Or, si j’appelle
le carré de la distance des deux planètes, on a,
![{\displaystyle \mathrm {F} (z,\,t)={\frac {\theta }{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}={\frac {t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}}}{\sqrt {\Delta }}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2ade1f1391aaea7fc4110116dbc3f271003bf9)
Donc
![{\displaystyle \theta _{0,0}={\frac {1}{2}}t_{0}^{ad-bc-1}\,z_{0}^{-{\frac {d}{c}}}{\frac {d^{2}\Delta }{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d988b1135c6381ea55215ba9d7721eb89de0822)
à la condition, bien entendu, qu’on fasse
dans ![{\displaystyle {\frac {d^{2}\Delta }{dt^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afaf39944e070c649ce6a20302d85e086a7529e7)
Ce que je viens de dire s’applique à la première et à la deuxième
hypothèse du numéro précédent. Si l’on supposait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c32e12339dbda6639bf81a0f1068b61c153482d)
une méthode analogue serait applicable puisque nous avons, dans
ce cas, ramené
à une intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {\varphi _{2}\,d\xi }{\sqrt {z-z_{0}-\xi ^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb0464c9e5433b914d6a6e4729b07796fc8d88a)
qui est de même forme que
![{\displaystyle \int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0133781421fb2eacae2d0e9f0024330fb3eca78)
Le coefficient
que nous venons de calculer est celui qui
entre dans le développement de la partie principale
de la
fonction perturbatrice. Nous avons posé en effet
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2cdb154092dd613f46c40d268bda0d03d544d3)
Il conviendrait maintenant de tenir compte de la partie complémentaire
de la fonction perturbatrice. Posons donc
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1cb7b6aec2fbc995b2ff4cdf8d24e394081b45)
puis
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '(z,\,t)&=\mathrm {F} _{1}t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}},\\2i\pi \Phi '(z)&=\int \mathrm {F} '(z,\,t)\,dt.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdded2fc494645aed4bbc9d9749337df11a18e18)
Si l’on suppose
sera le
coefficient de
dans
de même que
était
le coefficient de
dans ![{\displaystyle \Phi (z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed20f2d2f908d67ce1e923966556f6f7cf37aa6)
La fonction
n’a d’autres points singuliers que
ceux des droites
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tau ,&x&={\frac {1}{\tau }},&y&=\tau ',&y&={\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419c00648a0e5c0039beb3709158189f3636bc63)
La fonction
n’aura donc que 4 points singuliers, à savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237122df41b287939895b75d0332f521d5320a26)
Il en résulte que, si le point singulier qui convient à la question
n’est pas un de ces quatre points, c’est-à-dire dans les deux premières
hypothèses du no 99 (ce qui est le cas le plus ordinaire),
la différence
sera négligeable par rapport à
et la valeur approchée de
sera la même que celle de ![{\displaystyle \mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22d82ddf57f468f158063df8ce5d9cfd530df0b)
Si, au contraire, le point singulier
qui convient à la question est l’un de ces quatre points, il faudra tenir compte de la différence
ce qui ne présente d’ailleurs pas de difficulté.
Application à l’Astronomie.
101.Le plus souvent on pourra se contenter d’une approximation
assez grossière ; et, en effet, ce qu’on se propose, c’est de
reconnaître si certains termes, dont l’ordre est très élevé, mais qui,
par suite de la presque commensurabilité des moyens mouvements,
sont affectés de diviseurs très petits, si ces termes, dis-je, sont ou
ne sont pas négligeables. Le plus souvent ils le seront, et il suffira
de se faire une idée de leur ordre de grandeur.
Je prendrai comme exemple la célèbre inégalité de Pallas. Pour
l’étudier il faut faire le calcul en prenant
![{\displaystyle a=2,\quad b=1,\quad c=-1,\quad d=0,\quad n=8,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d94eb37144cd679b50685068dc7e9596384c6a)
d’où
![{\displaystyle m_{1}=17,\quad m_{2}=-8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd61280efc69b9407e98d585ee15fb6d97a6e81b)
Il semble qu’on pourrait tenter de retrouver par cette voie le résultat
de Le Verrier.
102.Mais ce n’est pas là le but principal que je me suis proposé
en entreprenant ce travail. C’est, on se le rappelle, de combler la
lacune que j’ai signalée à la fin du Chapitre précédent dans la
démonstration de la non-existence des intégrales uniformes.
Dans le no 85, j’ai établi en effet ce qui suit. Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1cb7b6aec2fbc995b2ff4cdf8d24e394081b45)
dépend à la fois des deux grands axes, des deux excentricités,
de l’inclinaison des orbites, des longitudes des deux périhélies
(comptées à partir du nœud), c’est-à-dire de sept variables.
Soit
![{\displaystyle m_{1}=an,\quad m_{2}=cn,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdffe78522dabcc9c151ec1013a96da058e1a31b)
et
étant des entiers,
et
premiers entre eux
et de signe contraire. Donnons aux deux grands axes des valeurs déterminées
choisies de telle sorte que le rapport des moyens mouvements soit
égal à
Les coefficients
ne dépendront plus que de
cinq variables. Posons, comme dans le Chapitre précédent,
![{\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\mathrm {B} _{an,cn}\zeta ^{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980e13b7e79029c9fa155fd91a4fbe9694bc44c1)
dépendra de six variables qui sont les deux excentricités, les
longitudes de périhélies, l’inclinaison et ![{\displaystyle \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8843b83e5b60116bafbba232629752394ad08e56)
Eh bien, s’il existait une intégrale uniforme, il y aurait une
relation entre six quelconques des quantités
et les diverses quantités
![{\displaystyle \mathrm {D} _{-n},\quad \ldots ,\quad \mathrm {D} _{-1},\quad \mathrm {D} _{0},\quad \mathrm {D} _{1},\quad \mathrm {D} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {D} _{n},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f52442793ac8c960e5c6dfb731bb11123f66ec)
pourraient s 'exprimer en fonctions de cinq variables seulement et non de six.
Or, nous avons
![{\displaystyle \Phi '(z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{an,cn}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe950ccd18af1a4ac30aa79ebfe7a974df88f9e7)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \Phi '(z\zeta )={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48402d3d632a6d2defbb805630af43eadf23394)
S’il y avait donc une intégrale uniforme, les coefficients du développement
de
ne dépendraient que de cinq paramètres.
En appliquant les règles des numéros précédents, on trouverait
que l’on a approximativement pour
très grand
![{\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\left({\frac {\zeta }{z_{0}}}\right)^{n}\left({\frac {\mathrm {E} _{1}}{n}}+{\frac {\mathrm {E} _{2}}{n^{2}}}+{\frac {\mathrm {E} _{3}}{n^{3}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6e77144538030bda7c8d62a185d47e2a6b15c6)
On verrait alors sans peine que, si les
s’expriment à l’aide de
cinq variables seulement, il doit en être de même de
![{\displaystyle {\frac {\zeta }{z_{0}}},\quad \mathrm {E} _{1},\quad \mathrm {E} _{2},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c591321f3fa1d70d382b140bded6b03814aa2fa)
et, par conséquent, que les
dépendent seulement de quatre
variables. On reconnaîtrait ensuite qu’il n’en est pas ainsi.
C’était là mon premier dessein ; mais il est plus simple d’opérer autrement.
Les points singuliers de
ne dépendent évidemment que
des coefficients
ils ne devraient donc dépendre que de cinq
variables seulement.
Soient
![{\displaystyle z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e318d568337095680a4c1f89368213bca22cbd92)
six des points singuliers de
les points singuliers correspondants
de
seront
![{\displaystyle {\frac {z_{1}}{\zeta }},\quad {\frac {z_{2}}{\zeta }},\quad \ldots ,\quad {\frac {z_{6}}{\zeta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c348c8a63cf147990b75e571b06c082b9682274)
et ils dépendront de
et de nos cinq autres variables, excentricités,
inclinaison, longitudes des périhélies, que j’appellerai pour un instant
![{\displaystyle \alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7769a9b76356dbadf9f0048a6eb4c37caf13e3ca)
S’il y avait une intégrale uniforme, ils ne devraient dépendre que
de cinq variables et le déterminant fonctionnel
![{\displaystyle {\frac {\partial \left({\dfrac {z_{1}}{\zeta }},\,{\dfrac {z_{2}}{\zeta }},\,\ldots ,\,{\dfrac {z_{6}}{\zeta }}\right)}{\partial \left(\zeta ,\,\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{5}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6b4470f40644b287425a49e70ac5de2c24ba0c)
devrait être nul.
Mais ce déterminant est égal à
![{\displaystyle -{\frac {z_{1}^{6}}{\zeta ^{7}}}\,{\frac {\partial \left({\dfrac {z_{2}}{z_{1}}},\,{\dfrac {z_{3}}{z_{1}}},\,\ldots ,\,{\dfrac {z_{6}}{z_{1}}}\right)}{\partial \left(\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{5}\right)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5dea1e7eabb7a390a157f15b1b8978c3040a85)
Or
n’est pas nul, ni
infini ; on devrait donc avoir
![{\displaystyle {\frac {\partial \left({\dfrac {z_{2}}{z_{1}}},\,{\dfrac {z_{3}}{z_{1}}},\,\ldots ,\,{\dfrac {z_{6}}{z_{1}}}\right)}{\partial \left(\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{5}\right)}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfee295c103fdc76a0db0acaa9d7c775dc416bb0)
En d’autres termes, les rapports deux à deux des points singuliers
de
ne devraient dépendre que de quatre variables que j’appellerai
Or ces points singuliers sont de deux sortes.
Nous avons d’abord ceux qui nous sont donnés par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da603d4db7871305bae229aecada111e7a2b7ec5)
![{\displaystyle z=x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}\,y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb317979b37cbfc13b0e591956951937e1fb22d6)
je les appelle
et ![{\displaystyle z_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4403bb7e909e14aaa1351a339b449f5b317b888)
On voit toute de suite que
et
ne dépendent que des
deux excentricités, c’est-à-dire de
et de
que
![{\displaystyle z_{1}z_{3}=z_{2}z_{4}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a8cf0368ff11731246c6652da2e4f6c9aeb233)
Le rapport
ne dépendrait que de nos quatre variables
or ce rapport est égal à
Donc
et de même
ne dépendraient que des quatre variables ![{\displaystyle \beta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb2e35288c34cd111b23ed569530026976d6a62)
Il en serait donc ainsi de
et de
qui sont manifestement fonctions de
et de
Passons aux points singuliers de la seconde sorte, qui nous sont
fournis par les équations
![{\displaystyle \Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2aca0dd59d30c901aded2237062a85cabd96ce)
Quand, dans ces équations, on prend comme variables
et
elles
deviennent algébriques. L’équation
définit alors, comme nous
l’avons vu, une courbe du sixième degré qui, pour une inclinaison
nulle, se décompose en deux courbes (3) et (4) du troisième degré ;
de l’équation
combinée avec
on peut, si l’inclinaison
est nulle, en déduire deux autres qui sont les équations (5) et (6) du no 96.
Soit
une des racines des équations
(1)
|
|
|
les rapports
et, par conséquent,
ne dépendraient que des
quatre variables ![{\displaystyle \beta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb2e35288c34cd111b23ed569530026976d6a62)
Si donc
sont trois racines des équations (1),
et
dépendraient seulement de ces quatre variables,
de sorte que le déterminant fonctionnel
![{\displaystyle {\frac {\partial (\tau ,\,\tau ',\,z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3},\,\alpha _{4},\,\alpha _{5})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e32ccc155888955875377c01d6290070bdc5024)
est nul. Supposons par exemple que
et
soient les deux
excentricités ;
dépendra seulement de
et
de
de sorte que ce déterminant fonctionnel est égal à
![{\displaystyle {\frac {d\tau }{d\alpha _{1}}}\,{\frac {d\tau '}{d\alpha _{2}}}\,{\frac {\partial (z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (i,\,\varpi ,\,\varpi ')}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcc9a2ebddb89a0f91a5f09f200799184fc8b3c)
puisque les trois dernières variables sont l’inclinaison
et les longitudes
des périhélies
et ![{\displaystyle \varpi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdd04b113a9f9a144ebfb86e6f71265453cafd8)
On devrait donc avoir
![{\displaystyle {\frac {\partial (z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (i,\,\varpi ,\,\varpi ')}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04e2bf3996b148c61910f53b564682303735e4b)
ce qui voudrait dire que les racines de l’équation (1) (quand on
regarde les deux excentricités et, par conséquent,
et
comme
des constantes) ne dépendraient plus que de deux variables.
Il me reste à démontrer qu’il n’en est pas ainsi.
103.Commençons par le cas où l’inclinaison est nulle. Dans ce
cas, les racines des équations (1) ne dépendent que des grands
axes, des excentricités et de la différence
Si, comme nous
venons de le faire, nous regardons les grands axes et les excentricités
comme des constantes, ces racines ne dépendront plus que de la différence
En se rappelant ce que nous avons dit au no 85 et en raisonnant
comme nous venons de le faire dans le numéro précédent, on verrait
que pour que le problème des trois Corps dans le plan admît
une intégrale uniforme (autre que celles des forces vives et des
aires), il faudrait que ces racines ne dépendissent pas de
et qu’elles demeurassent constantes quand les grands axes et
les excentricités demeurent eux-mêmes constants et l’inclinaison nulle.
Or il est clair qu’il n’en est pas ainsi, car
est réel quand
est nul et imaginaire, en général, dans le cas contraire.
Revenons maintenant au cas où l’inclinaison n’est pas nulle.
Énumérons les points singuliers donnés par les équations
(1)
|
|
|
Pour cela, supposons l’inclinaison très petite, nous verrons, en
nous reportant à ce qui a été dit au no 98, qu’il existe :
1o Huit points singuliers très peu différents de D, C, F, T et de
leurs réciproques ;
2o Huit points singuliers dont deux diffèrent très peu de B,
deux autres très peu de R et deux autres très peu de chacun de
leurs réciproques ;
3o Quatre points très peu différents de U
et en
effet, quand l’inclinaison est nulle, les deux courbes
ont un point double en U ;
4o Quatre points très peu différents de U′
En tout 24 points singuliers.
On peut arriver au même résultat d’une autre manière.
On voit que
![{\displaystyle x^{2}y^{2}\Delta =\mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a309f81915c4e5286c800ec186b1d89456655cc)
est un polynôme entier du sixième ordre en
et
de sorte que l’équation
![{\displaystyle \mathrm {P} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d62b3014aebd0697b814a552df04d400cefc97)
est celle d’une courbe du sixième ordre qui se décompose en deux
autres (3) et (4), quand l’inclinaison est nulle.
D’autre part, l’équation
peut être remplacée par la suivante
![{\displaystyle \mathrm {Q} =cx^{2}(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y){\frac {d\mathrm {P} }{dx}}-ay^{2}(1+\tau '^{2})(x-\tau ')(1-\tau x){\frac {d\mathrm {P} }{dy}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8fd3f4f3dca255a0c2a8d00ad1c5fae369d7d5)
Cette équation
est celle d’une courbe du neuvième ordre,
et les points singuliers seront les intersections de ces deux courbes,
moins celles qui sont rejetées à l’origine ou à l’infini.
La courbe
admet l’origine comme point double et les
axes comme asymptotes doubles ; la courbe
admet l’origine comme point triple et les deux axes comme asymptotes triples.
Mais il y a plus. On peut remarquer que
est la somme de trois
carrés, de sorte que je puis écrire
![{\displaystyle \mathrm {P} =\mathrm {U} _{1}^{2}+\mathrm {U} _{2}^{2}+\mathrm {U} _{3}^{2}=\Sigma \mathrm {U} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd09891a6ceddb1a1c0eb1272ca3d371f1797a3)
avec
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {A} x^{2}y+\mathrm {B} xy^{2}+\mathrm {C} xy+\mathrm {D} x+\mathrm {E} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d155e36c6eb75248950dfefdc3ff16758476553)
D’autre part, on peut poser
![{\displaystyle \mathrm {V} =x\,{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}-\mathrm {U} =\mathrm {A} x^{2}y-\mathrm {E} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8191d73e5006d21d45600ef4ffa84fb9f158251d)
d’où
![{\displaystyle x\,{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}=2\Sigma \mathrm {VU} +\mathrm {P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3517cd52946d11eadd5311b9b37fe56453d8b7)
Il vient donc, en tenant compte de ![{\displaystyle \mathrm {P} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fa7482b47e8d8463c2638fadd53dd3b2904722)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Q} &=2cxy(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y)\Sigma (\mathrm {A} x^{2}-\mathrm {E} )\mathrm {U} \\&-2axy(1+\tau '^{2})(x-\tau )(1-\tau x)\,\Sigma (\mathrm {B} y^{2}-\mathrm {D} )\mathrm {U} ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4383dc8af1d9cc6391b39cdec1ed036a8933c50c)
de sorte qu’en supprimant le facteur
le système
![{\displaystyle \mathrm {P} =\mathrm {Q} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b1021b9a56e4d3684833ffae6b07d586db0e72)
peut être remplacé par le suivant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} &=0,\\\mathrm {R} &=c(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y)\Sigma (\mathrm {A} x^{2}-\mathrm {E} )\mathrm {U} \\&-a(1+\tau '^{2})(x-\tau )(1-\tau x)\,\Sigma (\mathrm {B} y^{2}-\mathrm {D} )\mathrm {U} =0.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d164cc4d471d396cc1a2c5ed7fdf3becc058669)
La courbe
n’est plus que du septième ordre ; elle n’a plus
à l’origine qu’un point simple. Elle admet comme asymptotes les
deux axes, deux droites autres que l’axe des
et parallèles à cet
axe, deux droites autres que l’axe des
et parallèles à cet axe, une
droite non parallèle aux axes.
Les deux courbes
ont en tout 42 intersections.
Parmi ces intersections il y en a deux à l’origine. Voyons combien
il y en a à l’infini dans la direction de l’axe des
La courbe
a trois asymptotes parallèles à l’axe des
parmi
lesquelles cet axe lui-même ; la courbe
admet cet axe comme
asymptote double ; en général, cela ferait sept points d’intersection.
En général, en effet, s’il y a une asymptote double, c’est qu’il y a un « point de rebroussement à l’infini ». Il n’en est pas ainsi pour la
courbe
mais elle présente deux branches de courbes distinctes
se touchant à l’infini, ce qui donne non pas sept, mais huit points d’intersection.
Nous avons donc à l’infini huit points dans la direction de l’axe
des
et huit dans celle de l’axe des
Il reste donc
![{\displaystyle 42-2-8-8=24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a761eabcfdfcb98005740ad315acff39e4131e)
points singuliers.
Cela posé, est-il possible que les
de ces 24 points singuliers
ne dépendent que de deux variables ? Appelons
et
ces deux
variables. Nous pouvons en choisir une troisième
de façon
que
et
soient des fonctions de
Alors, quand on ferait varier
les deux autres variables
et
demeurant constantes,
les
ne devraient pas varier.
On a par hypothèse
![{\displaystyle \Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2aca0dd59d30c901aded2237062a85cabd96ce)
En différentiant la première de ces deux équations, on trouve
![{\displaystyle {\frac {d\Delta }{dt}}\,dt+{\frac {d\Delta }{dz}}\,dz+{\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}\,d\gamma _{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e6ac540881177fa32c3be17edbb75e6a72ae2c)
Or
et d’autre part
devrait être nul puisque
ne devrait pas varier. Il resterait donc
(2)
|
|
|
Voyons ce que signifie cette équation. Si l’on fait varier
la
courbe
(ou ce qui revient au même la courbe
) varie ;
considérons la courbe
![{\displaystyle \Delta +{\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cdaf6cf7d0cc5f44b1aac275374ed8729c67a7)
infiniment peu différente de
et que j’appellerai la courbe
L’équation (2) signifierait que cette courbe
devrait passer par
les 24 points singuliers.
Or ces deux, courbes
et
sont du sixième ordre ; elles ne peuvent
donc, sans se confondre, admettre plus de 36 points d’intersection.
Elles en ont quatre à l’origine où elles ont toutes deux un point double.
Elles admettent l’axe des
comme asymptote double, ce qui
fait (en tenant compte de la remarque faite plus haut au sujet de
la nature de cette asymptote double) huit intersections à l’infini
dans la direction de l’axe des
Il y en aurait de même huit dans
la direction de l’axe des
Cela ferait en tout
![{\displaystyle 24+4+8+8=44}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff56964ea4361e6caa5bed9da6be974d37a5ed8)
intersections.
Les deux courbes devraient donc se confondre.
Ainsi, quand on ferait varier
la courbe
ne devrait pas varier.
Interprétons ce résultat.
Considérons les deux ellipses décrites par les deux planètes. Ces
deux ellipses seront invariables de grandeur et de forme puisque
nous sommes convenus de regarder les grands axes et les excentricités
comme des constantes ; mais, quand on fera varier
et
ces deux ellipses se déplaceront l’une par rapport à l’autre.
Je puis supposer que l’une des ellipses
est fixe, et l’autre
mobile.
Dire que la courbe
ne change pas quand
et
restent constants, c’est dire que l’on peut trouver une loi du mouvement
de
telle que si, à un instant quelconque, un point
de
est à une distance nulle d’un point
de
(inutile de rappeler que ces deux points étant imaginaires peuvent être à une distance nulle
sans coïncider), la distance de ces deux points restera constamment nulle.
Soit
la position du point
à un instant quelconque. Il y a
sur
quatre points :
qui sont à une distance nulle
de
ces quatre points ne peuvent être en ligne droite. Le point
devrait donc rester sur quatre sphères de rayon nul ayant leurs
centres en
mais, comme ces centres ne sont pas en ligne droite, ces quatre sphères ne peuvent avoir que deux
points communs à distance finie. Il est donc impossible que le
point
se meuve en restant sur ces quatre sphères.
La non-existence des intégrales uniformes se trouve ainsi rigoureusement démontrée.