CHAPITRE VI.
DÉVELOPPEMENT APPROCHÉ DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Énoncé du problème.
90.J’ai dit que M. Flamme avait donné une remarquable expression
approchée des termes de rang élevé de la fonction perturbatrice.
Il y est parvenu en appliquant à ce problème la méthode de
M. Darboux qui permet de trouver les coefficients de rang élevé
dans la série de Fourier ou dans celle de Taylor, quand on connaît
les propriétés analytiques de la fonction représentée par ces séries.
Mais la méthode de M. Darboux n’est applicable qu’aux fonctions
d’une seule variable, tandis que la fonction perturbatrice
doit être développée suivant les sinus et cosinus des multiples des
deux anomalies moyennes. Voici donc quel est le détour employé
par M. Flamme : il obtient d’abord, par les procédés ordinaires,
un premier développement de la fonction perturbatrice dont les
termes sont de la forme
rayon vecteur de la première planète, anomalie vraie,
anomalie excentrique ; et quantités analogues
pour la seconde planète.
Alors les deux facteurs
ne dépendent plus que d’une seule variable, à savoir : le premier
de l’anomalie moyenne de la première planète, le second de
l’autre anomalie moyenne M. Flamme applique à chacun de ces
deux facteurs la méthode de M. Darboux.
Cet artifice ne saurait nous suffire pour notre objet ; il nous faut,
au contraire, appliquer directement à la fonction perturbatrice la méthode de M. Darboux et pour cela étendre cette méthode au cas
des fonctions de deux variables.
91.La fonction qu’il s’agit de développer est celle que nous
avons appelée et dont je vais rappeler l’expression en reprenant
les notations du no 11.
On a alors
La fonction ainsi définie dépend des variables (4) du no 11
de et de Si nous supposons que
et soient des fonctions données du paramètre
et soient développables suivant les puissances croissantes de ce paramètre, ne dépendra
plus que des variables (4) et de et sera développable suivant les
puissances croissantes de
Cela peut se faire d’une infinité de manières ; nous supposerons,
par exemple, que et sont des constantes indépendantes
de
Les variables (4) sont les variables képlériennes relatives à deux
orbites osculatrices définies dans le no 11. Le rayon vecteur dans
la première orbite osculatrice est AB, dans la seconde orbite le
rayon vecteur est CD. L’angle de ces deux rayons vecteurs (qui
n’est autre chose que la différence des deux longitudes vraies dans
les deux orbites osculatrices, si ces deux orbites sont dans un
même plan) est l’angle BDC que j’appellerai simplement D.
Les quantités et AB dépendent
seulement des variables (4) et non de Au contraire, AC
et BC dépendent non seulement des variables (4) mais encore de
Nous pouvons donc nous proposer de développer
et
suivant les puissances de Nous trouvons ainsi
Si l’on pose alors
il vient
Envisageons successivement les divers termes de la fonction perturbatrice
Tout d’abord Le premier terme
ne dépend que de l’anomalie moyenne et nullement de l’anomalie
moyenne il ne pourra donc donner dans le développement des
termes en
où
De même le second terme
ne pourra donner dans le développement final des termes en
où
Nous pourrons donc en général laisser de côté ces deux premiers termes.
Le dernier terme
peut se mettre sous une autre forme. Si je désigne par l’inclinaison
des orbites et par et les longitudes vraies comptées à partir du nœud, on a
d’où
La méthode de M. Flamme est directement applicable aux quatre facteurs
Il reste donc à développer le troisième terme
qui est connu sous le nom de partie principale de la fonction
perturbatrice. C’est du développement de cette partie principale
que nous allons maintenant nous occuper.
Digression sur une propriété de la fonction perturbatrice.
92.On pourrait être tenté d’éviter la nécessité de développer la
partie principale de la fonction perturbatrice en employant l’artifice suivant :
Nous avons trouvé
en désignant par et les deux rayons vecteurs et par l’angle
de ces deux rayons vecteurs.
Pour arriver à ce résultat, nous avons pris, comme dans le no 11,
pour orbites osculatrices l’orbite de B par rapport à A et celle de C
par rapport à D, centre de gravité de A et de B.
Mais il est clair qu’on aurait pu également choisir comme orbites
osculatrices celle de C par rapport à A et celle de B par rapport
à E, centre de gravité de A et de C.
Cela revient à permuter les deux planètes B et C ; on aurait donc
trouvé ainsi, comme nouvelle fonction perturbatrice,
d’où
S’il existe une intégrale
on pourra l’écrire, en prenant pour variables les éléments osculateurs
des deux premières orbites [variables (4) du no 11], et l’on
aura ainsi
On pourra l’écrire également en prenant pour variables les éléments
osculateurs des deux nouvelles orbites (orbites de C par
rapport à A et de B par rapport à E) ; on aura alors
sera formé avec les éléments des deux nouvelles orbites comme
avec les éléments correspondants des deux anciennes, mais
ne sera pas formé comme
On devra avoir alors, ainsi que nous l’avons vu au no 81,
et de même
comme est formée comme je puis supprimer l’accent et écrire
d’où
(1)
|
|
|
Nous avons vu que, s’il existe une intégrale uniforme et si, après
avoir développé on forme les expressions (14) du no 84, il doit
y avoir entre ces expressions un certain nombre de relations.
Mais, en raisonnant sur l’équation (1) comme nous l’avons fait
sur l’équation (3) du no 81, on arriverait à un résultat analogue.
Développons et formons à l’aide de ce développement les
expressions (14) ; s’il existe une intégrale uniforme, il devra y avoir
entre ces expressions un certain nombre de relations.
Si donc on pouvait établir que ces relations n’existent pas, on
aurait démontré qu’il ne peut exister non plus d’intégrale uniforme.
Comme le développement de est incomparablement plus
facile que celui de il semble que ce procédé doit simplifier
beaucoup notre tâche.
Mais il est tellement artificiel, qu’a priori on conçoit des doutes
sur son efficacité et qu’on se demande s’il n’est pas illusoire. Il
l’est en effet, car les expressions (14) formées à l’aide de
sont nulles ou indéterminées.
Supposons que l’on développe sous la forme suivante
Les coefficients seront fonctions de
et des autres éléments osculateurs ( et exceptés).
Donnons à et à des valeurs telles que
(en appelant et les moyens mouvements).
Je dis que, pour ces valeurs de et de le coefficient
s’annulera.
Pour cela je vais me servir du lemme suivant.
Soit
(2)
|
|
|
un système de variables conjuguées deux à deux ; soit
(3)
|
|
|
un autre système de variables conjuguées. Supposons que ces deux
systèmes soient liés par des relations telles que l’on puisse passer
de l’un à l’autre sans altérer la forme canonique des équations. On
devra avoir alors, d’après le no 5,
(4)
|
|
|
Supposons que les et les dépendent d’un certain paramètre
et soient développables par rapport aux puissances de
que, pour et se réduisent à et à
On aura alors
(5)
|
|
|
les et les étant des fonctions des et des
Alors l’expression
sera une différentielle exacte. C’est là une conséquence nécessaire
de l’identité (4), qui entraîne évidemment la suivante
Considérons maintenant les équations canoniques
où
Changeons de variables et prenons les variables (3) comme nouvelles
variables, il viendra
Si nous remplaçons les et les par leurs valeurs (5), il viendra
d’où, en identifiant les deux développements,
Si l’on observe que et que
on pourra écrire
(6)
|
|
|
Supposons que ne dépende que de deux variables et
et que soient périodiques de période par
rapport à et C’est ce qui arrive dans tous les problèmes que nous avons
traités jusqu’ici.
Supposons de même que soit périodique en et et soit
dépendant de
Supposons qu’on veuille développer et
sous la même forme, et soit
L’équation (6) montre que
Si donc on donne à et à des valeurs telles que
on aura également
Appliquons ce résultat au cas qui nous occupe.
Soient
(7)
|
|
|
les variables (4) du no 11 relatives aux deux orbites osculatrices
anciennes B, par rapport à A, C par rapport à D.
Soient
(8)
|
|
|
les variables (4) du no 11 relatives aux deux nouvelles orbites
(B par rapport à E, C par rapport à A).
Ces variables (8) pourront remplacer les variables (7) sans que
la forme canonique des équations soit altérée ; elles dépendront
des variables (7) et de elles seront développables suivant les puissances de elles se réduiront aux variables (7)
pour
Nous nous trouverons donc dans les conditions où le résultat
précédent est applicable et nous devons conclure que, si l’on pose
s’annule pour
Ce résultat peut se vérifier directement sans difficulté. Reportons-nous
en effet aux expressions données par M. Tisserand dans sa
Mécanique céleste (t. I, p. 312).
Le résultat qu’il s’agit de vérifier, traduit dans les notations de
M. Tisserand, peut s’énoncer ainsi (je rappelle que M. Tisserand
désigne par le cosinus de l’angle des deux rayons vecteurs).
Si l’on pose
s’annule pour
et, en effet, en se reportant aux expressions de la page que je viens
de citer, on trouve
dépendant seulement des excentricités, des inclinaisons, des
longitudes des périhélies et des nœuds ; cette expression s’annulera donc pour
et par conséquent pour
C.Q.F.D.
J’ai cru néanmoins devoir rattacher ce théorème à une théorie
plus générale qui permettra peut-être de découvrir d’autres propositions
analogues.
Principes de la méthode de M. Darboux.
93.Après cette digression, je reviens à mon sujet principal. Il
convient d’abord de rappeler les résultats de M. Darboux, qui
doivent nous servir de point de départ.
1o Soit une série
admettant pour rayon de convergence
On aura, quand croîtra indéfiniment
2o Imaginons maintenant que la fonction
demeure finie sur la circonférence de rayon ainsi que ses premières
dérivées ; le produit ne croîtra pas au delà de
toute limite quand augmente.
3o Si l’on a
on aura approximativement
(1)
|
|
|
je veux dire que le rapport des deux membres de l’égalité (1) tendra
vers 1, quand croîtra indéfiniment.
4o Supposons maintenant que la fonction ait sur la circonférence
de rayon deux points singuliers et que
dans le voisinage du point nous ayons
et dans le voisinage du point
et restant finis ainsi que leurs premières dérivées. Il
viendra alors, pour
d’où l’on déduit la valeur approximative de
5o Si l’on a
on aura
si
nous aurons approximativement
Cette dernière formule n’est applicable que si n’est pas entier
positif ; dans ce cas, on aurait
6o Soit
une série contenant des puissances positives et négatives est convergente
pourvu que
Soient et deux points singuliers de la fonction situés
sur la circonférence soient et deux points
singuliers de sur la circonférence Supposons que
n’ait pas d’autre point singulier sur ces deux circonférences.
Soient
deux séries convergentes pour
Soient
deux séries convergentes pour
Si les différences
sont finies ainsi
que leurs premières dérivées, la première dans le voisinage du
point la seconde dans le domaine du point la
troisième dans celui du point la quatrième quand est voisin
de on aura
Les valeurs approximatives des coefficients dépendent donc
uniquement des singularités que présente la fonction sur les
circonférences qui limitent la convergence.
Extension aux fonctions de plusieurs variables.
94.Appliquons ces principes au cas qui nous occupe.
Il s’agit de développer une certaine fonction des deux anomalies
moyennes et sous la forme suivante
On a donc
Il s’agit de trouver une valeur approchée du coefficient
quand, le rapport étant donné et fini, les deux nombres et
sont très grands ou plus généralement quand on a
étant des entiers finis et un entier très grand ; et
sont premiers entre eux.
Si je dis alors qu’on a approximativement
cette égalité signifiera que le rapport
tend vers l’unité quand croît indéfiniment et que
restent finis.
Le problème à résoudre étant ainsi défini, j’emploierai les notations suivantes.
Posons
il viendra
Si nous posons alors, pour abréger,
il viendra
en faisant, pour abréger,
Soit maintenant
l’intégrale étant prise par rapport à le long de la circonférence
Nous aurons
Toutes les intégrales sont nulles, sauf celles pour lesquelles
et qui sont égales à
Si on aura
Il vient alors
Si donc on développe sous la forme
le coefficient ne sera autre chose que si
Nous sommes donc conduit à chercher l’expression approchée
de pour très grand et par conséquent à étudier les singularités
de la fonction
95.La fonction est définie comme une intégrale prise par
rapport à le long de la circonférence On peut remplacer
cette circonférence par un contour quelconque, à une condition
toutefois.
Regardons un instant comme une constante et comme
une fonction de Cette fonction admettra un certain nombre de
points singuliers.
Il faut qu’entre la circonférence et le contour il n’y ait
aucun de ces points singuliers.
Faisons maintenant varier d’une manière continue ; ces points
singuliers se déplaceront d’une manière continue. Si, en même
temps, on déforme le contour d’une façon continue, et de telle
sorte qu’il ne passe jamais par aucun point singulier, la fonction
restera holomorphe.
La fonction ne peut donc cesser d’être continue que s’il
devient impossible de déformer le contour de façon qu’il ne passe
pas par un point singulier. Voici comment cela peut arriver ; imaginons
que, pour une certaine valeur de nous ayons deux points
singuliers et l’un extérieur, l’autre intérieur au contour Si,
en faisant varier d’une manière continue, l’un d’eux, par
exemple, vient sur le contour nous pourrons déformer en
le faisant fuir pour ainsi dire devant ce point singulier mobile, de façon que ce point ne puisse jamais atteindre ce contour. Ainsi
restera toujours extérieur à et intérieur à
Mais supposons maintenant que et se rapprochent
indéfiniment l’un de l’autre ;
le contour pris pour ainsi dire entre deux feux, ne pourra plus
fuir devant ces deux points mobiles et la fonction ne sera plus
holomorphe.
Par conséquent, pour obtenir tous les points singuliers de
il suffit d’exprimer que deux des points singuliers de considérés
comme fonction de se confondent en un seul.
La série
sera convergente dans une région limitée par deux circonférences
ces deux circonférences iront passer par un ou plusieurs des points
singuliers que je viens de définir.
Mais, si l’on veut savoir quels sont ceux de ces points singuliers
qui sont sur ces circonférences et qui définissent par conséquent
les limites de convergence de notre série, une discussion plus approfondie
est nécessaire.
Tous les points singuliers ne conviennent pas, en effet, à la question,
et cela pour plusieurs raisons.
En premier lieu, la fonction n’est pas uniforme ; si deux
points singuliers et de cette fonction considérée comme
fonction de viennent à se confondre pour une certaine valeur de
il faut, pour que cette valeur soit un véritable point singulier
de que et appartiennent à une même détermination de
et de plus que cette détermination soit encore la même que celle
qui figure dans l’intégrale
laquelle prise le long de définit la fonction
Il faut, en outre, qu’avant de se confondre en un seul, ces deux points et
ne soient pas d’un même côté du contour
Soit un chemin tracé dans le plan des et allant d’un point
de module 1 à des points singuliers définis plus haut. Supposons qu’on suive ce chemin de en
et qu’on étudie les variations de en prenant pour valeur initiale
Bien que la fonction puisse ne pas être et ne soit pas en
général uniforme, la détermination particulière de que nous
avons en vue est ainsi entièrement définie, puisque nous nous donnons
la valeur initiale et le chemin parcouru.
Il s’agit alors de savoir si le point est bien un point singulier
pour cette détermination particulière de
La fonction n’étant pas uniforme, il faut faire varier
non pas sur un plan, mais sur une surface de Riemann possédant
autant de feuillets que la fonction possède de déterminations (ce
nombre peut être infini).
Quand variera en suivant le chemin les points singuliers se
déplaceront et la surface de Riemann se déformera.
C’est sur cette surface de Riemann qu’il faut supposer le contour tracé.
Ce contour se réduira pour au cercle tracé sur
un des feuillets de quand la surface se déformera, on devra
déformer également le contour de telle sorte qu’il ne s’y trouve
jamais de point singulier. Une discussion spéciale, souvent délicate,
fera voir alors si, pour une valeur de très voisine de les
deux points singuliers de qui se confondent pour
sont de part et d’autre du contour ce qui est la condition nécessaire
et suffisante pour que le point soit un point singulier
pour la détermination particulière de que nous envisageons.
Comment reconnaître maintenant si le point se trouve sur une
des circonférences
qui limitent la convergence de la série,
et si, par conséquent, il est un de ceux dont dépend la valeur approchée
que nous cherchons ?
Traçons le chemin allant du point de module 1 au point
de façon que le module de varie constamment dans le même sens. Si le point appartient à l’une de nos deux circonférences, il devra
être un point singulier pour la détermination de définie par
le chemin et on le reconnaîtra par le moyen que je viens d’expliquer.
Si un point satisfait à cette condition, je dirai que ce point
singulier est admissible.
Cela posé, parmi tous les points singuliers admissibles de module
plus grand que 1, ceux-là seront sur la circonférence dont
le module sera le plus petit.
De même, parmi tous les points singuliers admissibles de module
plus petit que 1, ceux-là seront sur la circonférence dont
le module sera le plus grand.
J’ajouterai, en terminant, que la fonction possède plusieurs
déterminations qui s’échangent entre elles, soit quand deux des
déterminations de s’échangent entre elles, soit quand deux
des points singuliers de tournent autour l’un de l’autre.
Je vais d’abord chercher à déterminer les points singuliers
de je déterminerai ensuite par une discussion spéciale quels
sont ceux qui conviennent à la question.
Recherche des points singuliers.
96.Bornons-nous au cas où le mouvement se passe dans un
plan.
Soient et les anomalies excentriques, et
les excentricités, et les grands axes,
et les longitudes des périhélies.
On aura
Les coordonnées de la première planète, par rapport au grand axe
de son ellipse et à une perpendiculaire menée par le foyer, seront
ce seront donc les parties réelle et imaginaire de Si l’on pose
Si l’on pose de même
les coordonnées de la deuxième planète, rapportée aux mêmes
axes que la première, seront les parties réelle et imaginaire de
Soit
soit
il viendra
Les points singuliers de sont les mêmes que ceux de
car ne diffère de que par une puissance de
et le point qui, d’ailleurs, n’interviendra pas dans la discussion, est
déjà un point singulier de
Les points singuliers de seront ceux pour lesquels et
et par conséquent
cesseront d’être fonctions uniformes de et de et, par conséquent,
de et de et, en outre, ceux pour lesquels
Je vais poser
d’où
Nous en déduirons
et
Nous aurons ensuite
en posant, pour abréger,
Nous aurons, d’autre part,
Les points singuliers de nous sont donnés par
Nous pouvons transcrire ces équations en nous servant des
variables et elles deviennent alors algébriques ; les deux
premières s’écrivent, en effet,
(1)
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|
(2)
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|
|
et les deux dernières, en chassant les dénominateurs,
(3)
|
|
|
(4)
|
|
|
Pour trouver les points singuliers de il suffit d’exprimer
que deux des points singuliers de se confondent. Mais cela
peut arriver de deux manières :
Ou bien un point singulier défini par l’une des quatre équations
va se confondre avec un point singulier défini par une autre de ces quatre équations : nous
obtiendrons ainsi les points singuliers de première espèce de
Ou bien deux des points singuliers définis par une de ces quatre
équations se confondront en un seul : nous obtiendrons ainsi les
points singuliers de deuxième espèce de
Pour avoir les points de première espèce, il suffit de combiner
deux à deux les quatre équations (1), (2), (3), (4). On voit que
ces points ne dépendent en aucune façon des entiers et
Pour avoir les points de deuxième espèce, voici comment il faut faite :
Soit une des quatre équations (1), (2), (3), (4) ; pour
exprimer que deux des points singuliers définis par cette équation
se confondent, il me suffit d’écrire
Si nous changeons de variables en exprimant et et, par conséquent,
en fonctions de et de il vient
de sorte que l’équation peut être remplacée par
ou bien encore
Les premiers membres des équations (1) et (2) ne dépendent
que de ou bien que de nous pouvons les laisser de côté ; mais nous avons des points singuliers qui nous seront donnés par les
deux équations
ou encore par les deux équations
Nous avons
L’équation peut donc être remplacée par la suivante :
ou
(5)
|
|
|
De même l’équation peut être remplacée par la suivante
(6)
|
|
|
Les points singuliers de deuxième espèce sont donc donnés par
les équations (3) et (5) ou bien par les équations (4) et (6) ; à
l’inverse de ceux de première espèce, ils dépendent donc du rapport
des entiers et
Tous les points singuliers de sont donc donnés par des
équations algébriques.
Ces équations algébriques se simplifient quand on suppose
Il est permis alors de supposer et par conséquent
L’équation (1) ne change pas, l’équation (2) se réduit à et
il n’y a plus à en tenir compte, les équations (3) et (4) deviennent
(3)
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(4)
|
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|
Les équations (5) et (6) deviennent
(5)
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(6)
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La combinaison des équations (3) et (5) donne
(7)
|
|
|
et celle des équations (4) et (6) donne
(8)
|
|
|
Les équations (7) et (8) nous donnent les valeurs de correspondant
aux points de la deuxième espèce ; l’équation (1) nous
donne les valeurs de correspondant à certains points de première
espèce. Il nous reste à parler des points de première espèce
définis par les équations (3) et (4), puisque l’équation (2) devient
illusoire.
Les équations (3) et (4) s’écrivent
Si elles sont satisfaites à la fois, on aura
Or
Il reste donc
de sorte que les valeurs de correspondant à cette sorte de points
singuliers seront données par les deux équations
(9)
|
|
|
(10)
|
|
|
Les valeurs de qui correspondent aux points singuliers nous
seront données par les cinq équations (1), (7), (8), (9) et (10).
Observons que les équations (1), (9) et (10) sont réciproques et
que les équations (7) et (8) se changent l’une dans l’autre quand
on change en Si est un point singulier, il en sera donc de
même de C’est ce qu’il était aisé de prévoir.
Si l’on fait nos équations se réduisent à donc,
quand tend vers 0, les racines des équations (1), (7) et (8) tendent
vers 0 ou vers l’infini.
Si l’on pose
les équations (3), (4), (5), (6), (7) et (8) deviennent
(3)
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|
(4)
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|
(5)
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|
(6)
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|
(7)
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(8)
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|
L’équation (1) nous donne d’autre part comme solution
Lorsque et sont très petits, nous avons vu que les valeurs
de sont très petites, ou très grandes, et, comme les équations ne
changent pas quand on change en nous devons conclure qu’il
y en a précisément autant de très petites que de très grandes.
Nos équations et les valeurs correspondantes de se simplifient
un peu quand, supposant très petit, on néglige le carré de cette
quantité.
Les équations (1), (9) et (10) nous donnent alors respectivement
pour trois valeurs très petites, qui sont approximativement
(11)
|
|
|
et trois valeurs très grandes, qui sont approximativement
(11 bis)
|
|
|
L’équation (7) nous donne deux valeurs très petites, définies
approximativement par l’équation
(12)
|
|
|
et une valeur très grande ; qui est approximativement
(13 bis)
|
|
|
L’équation (8) nous donne deux valeurs très grandes, définies par
(12 bis)
|
|
|
et une très petite, qui s’écrit
(13)
|
|
|
Il est aisé de vérifier que les équations (12) et (12 bis) ont leurs
racines réelles quand Si donc et sont de signe contraire
et que soit assez petit, les équations (7) et (8) auront leurs racines
réelles.
Les valeurs de correspondant aux divers points singuliers étant
ainsi définies, il reste à déterminer les valeurs de et de
J’observe d’abord que, si l’on a un point singulier correspondant
à certaines valeurs de de et de les valeurs inverses
correspondront à un autre point singulier, que j’appellerai le réciproque du premier. On constate, en effet, que notre système
d’équations ne change pas quand on change en
et et cela était d’ailleurs aisé à prévoir.
Les valeurs de et de seront définies par les couples d’équations suivants :
(1),(3); (1),(4); (7),(3); (8),(4);
(9),(3) ou (4); (10), (3) ou (4).
Ces équations nous montrent que, si est très petit et peut être
regardé comme un infiniment petit du premier ordre, est très
petit si est très petit et très grand si est très grand.
Nous avons, d’autre part,
Si est infiniment petit du premier ordre, est infiniment
petit (ou infiniment grand) du même ordre ; il en est de même de
l’exposant est alors fini ; par conséquent
est un infiniment petit (ou infiniment grand) d’ordre
Je distinguerai parmi les points singuliers celui qui est défini
par [solution de l’équation (1)] et par l’équation (3).
Pour ce point, en effet, et sont nuls.
De même, pour le point défini par [autre solution de (1)]
et par l’équation (4), et qui est le réciproque du premier, les valeurs
de et de sont infinies.
Nous n’aurons donc pas à nous occuper de ces deux points singuliers
dans la discussion qui va suivre.
Discussion.
97.Voici la question qu’il me reste à résoudre.
J’ai en tout 14 points singuliers, 7 qui correspondent à des valeurs
très petites de et de 7 qui correspondent à des valeurs très
grandes de et de
À un autre point de vue, 7 de ces points correspondent à des
valeurs très petites de et 7 à des valeurs très grandes de Il s’agit de savoir quel est, parmi les 7 premiers, celui pour lequel le
module de est le plus grand (cela nous apprendra en même temps,
puisque les valeurs de sont réciproques deux à deux comme le
sont celles de et de quel est, parmi les 7 derniers, celui pour
lequel le module de est le plus petit).
Si les points singuliers correspondants sont admissibles, ce
seront eux qui définiront les circonférences
Pour ne pas prolonger la discussion par l’examen d’un trop grand
nombre de cas différents, je vais faire quelques hypothèses particulières.
Je supposerai
Je supposerai également que le rapport est voisin du rapport des
moyens mouvements changé de signe, c’est-à-dire que l’on a à
peu près (en désignant par et ces moyens mouvements)
Les termes les plus intéressants sont, en effet, ceux qui correspondent
à de petits diviseurs.
On a alors à peu près
ce qui montre que et sont de signe contraire ; je supposerai par
exemple positif et négatif ; comme est plus grand que 1,
sera positif.
Grâce à ces hypothèses, toutes les valeurs de sont réelles.
Cela rend possible une représentation géométrique simple qui
permettra de suivre plus facilement la discussion.
Dans la figure ci-contre, nous représentons chaque point singulier
par un point du plan dont les coordonnées rectangulaires
sont et
J’ai fait deux figures (fig. 1 et fig. 2), la première représentant
le quadrant du plan compris entre l’axe des positifs et celui des positifs ; et la seconde représentant le quadrant compris
entre l’axe des négatifs et l’axe des négatifs.
Fig. 1.
Fig. 2.
Les droites AS et A′S′ ont respectivement pour équation
Les deux branches de courbe C′B′DBP et QFAE′R′ ont pour équation
c’est-à-dire l’équation (3) ; les deux branches de courbe
B′D′BCOREL et R′F′Q′
ont pour équation
(4)
|
|
|
Les divers points singuliers sont représentés sur la figure par les
points suivants
A....................
|
Équations (1) et (3)
|
B....................
|
(9), (3) et (4) [2e éq. (11)],
|
C....................
|
(8) et (4) [(13)],
|
D....................
|
(7) et (3) [(12) racine négative],
|
E....................
|
(1) et (4)
|
F....................
|
(7) et (3) [(12) racine positive],
|
R....................
|
(10), (3) et (4) [3e éq. (11)] ;
|
et par les points A′, B′, C′, D′, E′, F′ et R′, respectivement réciproques
des premiers.
Il est aisé de vérifier que, si est assez petit, ces points sont
bien disposés dans l’ordre de la figure, c’est-à-dire que les abscisses
des points
C′B′D′DBCFREE′R′F′
vont en croissant.
Comparons les valeurs de correspondant à ces divers points.
On voit d’abord que, pour les points de la fig. (1) (où
est réel positif et que, pour les points de fig. (2) (où
), l’argument de est égal à
celui de égal à
Reste à voir comment varie le module de Si l’on
suit l’une des courbes (3) ou (4), les maxima et minima de
correspondent aux points de contact de ces courbes (3) et (4) avec
les courbes
c’est-à-dire aux points C′, D, F, A pour la courbe (3), et aux points
D′, C, F′ pour la courbe (4).
Voici comment varie :
1o Quand on suit la courbe (3)
En O′................
|
|
|
En Q ................
|
|
De O′ en C′ ..........
|
croît
|
|
De Q en F ............
|
croît
|
En C′................
|
max.
|
|
En F ................
|
max.
|
De C′ en D ...........
|
décroît
|
|
De F en A ............
|
décroît
|
En D ................
|
min.
|
|
En A ................
|
|
De D en P ...........
|
croît
|
|
De A en O′...........
|
croît
|
En P ................
|
|
|
En O′................
|
|
2o Quand on suit la courbe (4)
En P′................
|
|
|
En O ................
|
|
De P′ en D′ ..........
|
croît
|
|
De O en L ou en A′ ....
|
croît
|
En D′................
|
max.
|
|
En A′................
|
|
De D′ en C ..........
|
décroît
|
|
De A′ en F′ ..........
|
décroît
|
En C ................
|
min.
|
|
En F′ ................
|
|
De C en O′ ..........
|
croît
|
|
De F′ en Q′ ..........
|
croît
|
En O ................
|
|
|
En Q′ ................
|
|
On en conclut que le du point B est plus grand que celui du
point C, et celui du point E que celui du point R.
De même, le du point D est plus petit que celui du point B, et
le de R est plus petit que celui de F.
Nous avons vu que, la fonction n’étant pas uniforme, il
fallait tracer les contours d’intégration sur la surface de Riemann
correspondante dont le nombre des feuillets est infini. Pour éviter
la considération de cette surface de Riemann, on peut changer de
variables. Observons, en effet, que le carré de est fonction uniforme
de et de et, par conséquent, que le carré de
est fonction uniforme de et de
Si donc nous convenons de donner à une valeur déterminée
et que nous considérions momentanément comme constante, à un
point du plan des correspondront seulement deux valeurs de
égales et de signe contraire. Nous pourrons alors avec
avantage tracer nos contours d’intégration sur le plan des
Donnons d’abord à une valeur initiale dont le module soit égal à 1. Nous sommes convenus, en définissant que le contour
d’intégration le long duquel doit être prise l’intégrale
doit se réduire au cercle pour les valeurs de de module 1.
Pour nous devrons donc prendre pour contour dans le
plan des le cercle et dans le plan des
le cercle
Voici donc la règle pour reconnaître si un point singulier de
est admissible. Soit la valeur de et la
valeur de qui correspondent
à ce point singulier. Nous supposerons, par exemple,
que le module de est plus petit que 1 ; aussi bien savons-nous
que, parmi les points singuliers de la moitié ont leur module
plus petit que 1. Nous allons faire varier de la manière suivante :
son argument devra rester constant et constamment égal à celui
de et son module ira en croissant de à 1. En d’autres termes,
le point décrira un segment de droite limité aux points
et
Pour chacune des valeurs de considérée comme
fonction de présente un certain nombre de points singuliers ; pour
deux de ces points singuliers se confondent en un seul et
avec Quand décrit la droite
ces deux points singuliers varient d’une manière continue et parfaitement définie. Quand
atteint la valeur finale il peut arriver ou bien que les positions
finales de ces deux points singuliers sont toutes deux intérieures,
ou toutes deux extérieures au cercle et alors le point
considéré est inadmissible, ou bien que ces positions finales sont l’une
extérieure et l’autre intérieure à ce cercle et alors le point considéré est admissible.
La fonction est multipliée par une racine ième de l’unité
quand est multiplié par une racine ième de l’unité. Supposons donc que, pour une valeur donnée de le point
le point
soit un point singulier de considérée comme fonction
de Il en sera de même des points
Nous avons vu que les valeurs de qui correspondent aux points
singuliers de sont toutes réelles, et ont par conséquent pour
argument 0 ou Les valeurs correspondantes de auront donc
pour argument étant entier. Soit donc
une de ces valeurs, je pourrai écrire
ayant pour argument 0 ou et étant entier.
Si correspond à un point singulier de [c’est-à-dire à
deux points singuliers de confondus], il en sera de même
de
Je dis que la condition nécessaire et suffisante pour que le point
soit admissible, c’est que le point le soit.
En effet, appliquons la règle : quand le point décrira la droite
les deux points singuliers, primitivement confondus en auront
pour positions finales et de même les deux points singuliers
primitivement confondus en auront pour positions finales
Il suffit évidemment, pour démontrer le théorème énoncé, d’observer que
Il suffira donc d’examiner les points singuliers qui correspondent à des valeurs réelles et positives de c’est-à-dire aux points
F, E, R et A de la figure, et les points singuliers qui correspondent
à la valeur de l’argument de c’est-à-dire aux points D, B et C
de la figure.
Le point E est inadmissible ; en effet, la valeur correspondante
de est
quand le point décrira la droite les deux points singuliers
primitivement confondus en resteront réels. À chacun d’eux
correspondra une valeur de et une de et par conséquent un
point représentatif sur notre figure.
L’un de ces points représentatifs décrira alors la droite ES et
l’autre la courbe EL.
L’un des points singuliers restera donc fixe et égal à et aura
par conséquent son module toujours plus petit que 1.
La valeur initiale de est réelle et positive : la droite
sera donc une portion de l’axe des quantités réelles et la valeur finale
sera égale à 1.
Le second point singulier (qui correspond au point représentatif
qui a suivi la courbe EL) a une valeur réelle et positive que j’appelle
il s’agit de savoir si est plus petit ou plus grand que 1.
Lorsque ce point représentatif décrira la courbe EL depuis E
jusqu’en L, le module de ira en croissant depuis une certaine
valeur très petite jusqu’à l’infini ; il passera donc une fois et une
seule par la valeur 1. Il s’agit de montrer que la valeur correspondante
de est plus petite que 1. Pour cela, il suffit de faire
voir que, quand l’abscisse de ce point représentatif atteint la
valeur 1, est plus grand que 1.
Or on trouve que, pour
Il reste donc à démontrer que
Or il est clair que
Donc
Donc le point E est inadmissible.
C.Q.F.D.
Le point F est inadmissible ; ici encore la droite sera une
portion de l’axe des quantités réelles puisque sera réel. Les
points singuliers primitivement confondus en ne resteront pas
réels, mais ils resteront imaginaires conjugués ; ils ont donc
même module ; il est donc impossible que quand
atteindra sa valeur finale l’un de ces points
soit plus grand que 1 et l’autre plus petit que 1 en valeur absolue.
C.Q.F.D.
Il nous sera cependant utile de savoir si, quand atteint sa
valeur finale 1, le module commun de ces deux points singuliers
est plus grand ou plus petit que 1. Comme il est primitivement
plus petit que 1, il ne pourrait cesser de l’être qu’en passant par
la valeur 1. Il faudrait donc que, pour une valeur de imaginaire
et de module 1, eût une valeur réelle et positive.
Construisons donc dans le plan des les lignes d’égal argument
de la fonction
Ces lignes sont représentées sur fig. 3 au moins dans la partie
du plan qui seule nous intéresse et qui avoisine le point O.
Les points remarquables sont le point correspondant au
point O de la fig. 1, le point correspondant au point A et
deux points qui correspondent aux points D et F. Ces points
sont d’ailleurs désignés sur la fig. 3 par les mêmes lettres.
Parmi les lignes d’égal argument, les unes regardées comme
remarquables sont représentées en trait plein. Ce sont l’axe des
quantités réelles d’une part et, d’autre part, des lignes allant du
point O au point F et du point A au point D.
Les autres lignes d’égal argument aboutissant soit au point A, soit au point O, soit à l’un et à l’autre, sont représentées en trait
pointillé.
Quand le point décrira la droite le point décrira la
courbe en trait plein FO de notre fig. 3.
Fig. 3.
On voit donc que le module de restera toujours très petit et
que l’on aura
Le point R est inadmissible ; en effet, quand le point décrira
la droite les deux points singuliers primitivement confondus
resteront d’abord réels ; les deux points représentatifs décriront
les deux branches de courbe RE et RF ; quand le premier de ces
points atteindra le point E, le point singulier correspondant se
confondra avec un autre ; les deux points ainsi confondus se sépareront
ensuite et les points représentatifs correspondants décriront
les courbes EL et ES ; nous avons vu, en parlant du point E, que
les valeurs finales de sont réelles et plus petites que 1.
De même, quand le second point représentatif atteindra F, le
point singulier correspondant se confondra avec un autre, s’en
séparera ensuite ; les valeurs finales, comme nous l’avons vu en
parlant du point F, sont imaginaires conjuguées et de module plus
petit que 1.
Nous avons donc ici non plus 2, mais 4 valeurs finales ; et elles
sont toutes quatre plus petites que 1 en valeur absolue.
C.Q.F.D.
Le point B est inadmissible. Les deux points singuliers primitivement
confondus se séparent, mais les valeurs correspondantes
de restent réelles. Les deux points représentatifs décrivent les
branches de courbe BP et BD′. Pour le premier, qui décrit BP, la
valeur absolue de va en diminuant ; elle reste donc plus petite
que 1 ; considérons le second qui décrit BD′, il me reste à démontrer
que, bien que la valeur absolue de aille en augmentant, elle
reste plus petite que 1, tant que le module de est lui-même inférieur
à 1.
Pour cela, il faut faire voir que, pour or, pour
Or
C.Q.F.D.
Le point C est inadmissible. Les deux points singuliers primitivement
confondus se séparent, demeurant réel ; le premier
point représentatif décrit CO, le second CB. Pour le premier,
va constamment en diminuant : sa valeur finale est donc plus
petite que 1. Examinons le second point singulier qui correspond
au point représentatif qui décrit GB. Quand il est arrivé en B, il se
confond avec un autre point singulier, et s’en sépare de nouveau ;
les deux points représentatifs décriront les deux courbes BP et
BD′ ; d’après ce que nous venons de voir, les valeurs finales de
sont plus petites que 1. Ainsi nous avons, non pas deux, mais trois
valeurs finales, toutes trois plus petites que 1.
C.Q.F.D.
Le point D est admissible. Les deux valeurs de demeurent réelles, le premier point représentatif décrit DB ; arrivée en B, la
courbe représentative se bifurque en BP et en BD′, et les valeurs
finales de sont plus petites que 1, ainsi que nous venons de le voir.
Le second point représentatif décrit DB′ ; je dis que la valeur
finale de est plus grande que 1. Pour cela, il faut faire voir que,
pour on a or, pour
De nos trois valeurs absolues finales, deux sont plus petites, une
plus grande que 1. Donc le point est admissible.
C.Q.F.D.
En résumé, des six points BCDEFR, le point D est seul admissible.
De même des six points réciproques B′C′D′E′F′R′, le point D′
est seul admissible.
Si donc l’une des excentricités est assez petite, l’autre nulle,
l’inclinaison des orbites nulle, le grand axe de l’orbite circulaire
plus grand que celui de l’orbite elliptique ; si le rapport
diffère peu de celui des moyens mouvements, ce sont les points D et
D′ qui déterminent les rayons de convergence et
Pour faciliter l’intelligence de cette discussion, j’ai construit
une quatrième figure où j’ai représenté la variation des points
singuliers en prenant pour abscisse si est réel, et
si est imaginaire, et pour ordonnée Je n’ai représenté toutefois que
ceux des points singuliers qui jouent un rôle dans la discussion.
Les droites tracées en trait mixte sont les deux axes
de coordonnées et et les droites
Les courbes en trait plein représentent la variation des points
singuliers réels, et les courbes en trait pointillé celle des points
singuliers imaginaires. D’après les conventions faites plus haut,
chacun des points de ces courbes pointillées représentent deux
points singuliers imaginaires conjugués.
Les divers points remarquables sont désignés par les mêmes
lettres que les points correspondants des autres figures. Pour trouver les diverses valeurs finales obtenues en partant d’un point
singulier donné, il faut suivre les courbes pleines ou pointillées,
en allant toujours en descendant (puisque sur la figure l’axe
des positifs est dirigé vers le bas) jusqu’à la droite
Fig. 4.
On trouve ainsi que
Pour le point
|
D
|
les valeurs finales sont
|
|
»
|
B
|
»
|
|
»
|
C
|
»
|
|
»
|
F
|
»
|
|
»
|
R
|
»
|
|
»
|
E
|
»
|
|
Je rappelle que représente deux valeurs finales imaginaires
conjuguées. On voit que, de toutes ces valeurs finales, toutes,
sauf sont plus petites que 1 en valeurs absolues.
Discussion dans le cas général.
98.Les limites qui me sont imposées ici ne me permettent pas
de répéter cette discussion dans le cas le plus général ; mais je puis
indiquer en quelques mots de quelle manière elle doit être conduite.
Quand on fera varier les éléments des orbites, d’une manière
continue, les points singuliers de varieront aussi d’une façon continue. Supposons que l’on fasse varier ces éléments de telle
sorte que les orbites restent réelles et qu’à aucun moment elles ne
se coupent en un point réel, de telle sorte aussi qu’à aucun moment
deux points singuliers de ne viennent à se confondre. Considérons
un point singulier de il va varier d’une façon continue
et, comme nous supposons qu’il ne se confond jamais avec
aucun autre, on pourra le suivre dans ses variations sans avoir à
craindre aucune ambiguïté.
Cela posé, je dis que, si ce point est admissible à un certain moment,
il restera toujours admissible et inversement, sauf dans un
cas sur lequel nous reviendrons.
En effet, dire que le point singulier est admissible, c’est dire que,
parmi les valeurs finales de correspondant à ce point, il y en a
dont le module est plus grand que 1 et d’autres dont le module
est plus petit que 1. Mais il importe de préciser davantage. En
effet, dans le cas particulier traité dans le numéro précédent,
était fonction uniforme de et de
ce qui nous a permis de représenter les points singuliers de
sur le plan des
Dans le cas général il n’en est plus de même et une représentation
aussi simple n’est plus possible. Il faut représenter les points
singuliers de (considérée comme fonction de ) sur une
surface de Riemann particulière que j’ai appelée plus haut cette
surface peut être définie comme il suit : nous avons
(1)
|
|
|
Si nous regardons comme donné, cette équation définit une
relation entre et à laquelle satisfont une infinité de systèmes
de valeurs de et de ou bien encore de
et de chacun de
ces systèmes de valeurs représente ce qu’on peut appeler un point
analytique. À chacun des points de la surface de Riemann correspondra
un de ces points analytiques et un seul, et réciproquement.
Quand on fera varier cette surface de Riemann va varier
aussi, puisque alors les points singuliers de se déplacent.
Soit ce que devient quand z atteint une valeur de module 1. Sur la surface nous pourrons tracer un cercle que j’appellerai
et dont l’équation sera
(En effet, si l’on donne à une valeur quelconque de module 1,
on peut toujours choisir une valeur de ayant également pour
module 1, de manière que ait telle valeur que l’on veut de module 1.)
Ce cercle partage en deux régions la surface de Riemann
J’appellerai celle de ces deux régions qui contient les points
voisins de et pour lesquels et l’autre région.
Supposons donc que l’on fasse suivre au point la droite du
numéro précédent et que l’on étudie les variations des points singuliers
de quand on fait varier ces points se déplacent
sur la surface en même temps que cette surface varie elle-même.
Deux de ces points d’abord confondus en un seul [qui est un point
singulier de ] se séparent ; quand le module de atteint la
valeur 1 et que s’est réduite à ils atteignent sur cette
surface deux positions finales. (La discussion du numéro précédent
nous a fait voir des cas où l’un de ces points singuliers se séparait
lui-même en deux autres ; il y a alors plus de deux positions finales,
mais ce que je vais dire reste applicable.) Si toutes ces positions
finales appartiennent à la même des deux régions déterminées sur
la surface par le cercle le point singulier correspondant
de est inadmissible ; dans le cas contraire, il est admissible.
On voit la nuance qui sépare cet énoncé de celui que j’avais
d’abord donné et qui convenait dans le cas particulier du numéro
précédent. Les affixes de deux points peuvent être, l’un plus grand,
l’autre plus petit que 1 en valeur absolue, et ces deux points peuvent
appartenir néanmoins à la même des deux régions définies
plus haut, s’ils ne font pas partie du même feuillet de la surface
de Riemann.
Cela posé, je dis que, quand on fait varier les éléments des deux
orbites, un point singulier d’abord admissible ne peut, en général,
devenir inadmissible ou inversement. En effet, considérons les
variations de la surface et de ce que nous avons appelé les valeurs
finales. Pour qu’un point singulier cessât en effet d’être admissible ou le devînt, il faudrait que la valeur finale correspondante
franchît le cercle pour passer d’une des deux régions
dans l’autre. Or quelle est la signification des équations de ce
cercle
Elles signifient que les deux anomalies excentriques sont réelles.
À chaque point M de la surface de Riemann et en particulier de
la surface correspond sur les deux orbites un couple de points
P et P′ définis par les valeurs des anomalies excentriques, ou ce
qui revient au même de et de Si le point M est sur le cercle
les points P et P′ sont réels. Le point M ne peut être singulier que
si la distance PP′ est nulle, ou si l’un des points P et P′ sont à une
distance nulle du Soleil. Cette seconde circonstance ne peut pas
se présenter si les points P et P′ sont réels ; ni la première non
plus si, comme nous l’avons supposé, les deux orbites ne se coupent
en aucun point réel.
Il est donc impossible qu’un point du cercle soit singulier ;
c’est-à-dire qu’une des valeurs finales franchisse ce cercle ; c’est-à-dire
enfin qu’un point singulier de perde ou acquière le
caractère d’admissibilité.
Il est cependant un cas dont il me reste à parler et où ce raisonnement
se trouverait en défaut. Je suppose que l’on fasse suivre
au point la droite et que l’on étudie les variations
correspondantes des points singuliers de Au commencement, deux
de ces points sont confondus entre eux et se confondent par conséquent
avec un point singulier A de ils se séparent ensuite :
soit l’un d’eux-, il peut arriver (et nous en avons vu des exemples
au numéro précédent) que, pour une certaine valeur de le point
vienne à se confondre avec un autre point singulier de
(généralement différent de celui avec lequel il se confondait
d’abord) et, par conséquent, avec un point singulier B de Il
s’en sépare ensuite, de sorte que le point singulier A admet non
pas deux, mais trois valeurs finales.
Je dirai dans ce cas, pour abréger le langage, que le point B est
subordonné au point A ; il faut, pour qu’il en soit ainsi, que le du
point B ait même argument et module plus rapproché de 1 que
le du point A.
Soient alors A et B deux points singuliers de et supposons
que leurs aient d’abord des arguments différents. Faisons varier
d’une manière continue les éléments des deux orbites et, par conséquent,
les points A et B ; si, à un certain moment le point B devient
subordonné au point A, il peut arriver qu’à ce moment, par exception
à la règle générale formulée plus haut, le point A devienne
admissible ou cesse de l’être.
Voyons comment cette circonstance pourra se présenter. Observons
d’abord que les valeurs de qui correspondent aux points
singuliers de nous sont fournies par un certain nombre
d’équations algébriques. Si les deux points A et B sont ainsi définis
par une seule et même équation irréductible, je dirai qu’ils sont
de même nature, et, dans le cas contraire, qu’ils sont de nature
différente. On verrait sans peine que, si les points A et B sont de
nature différente, le point B peut devenir subordonné à A, sans
que ce point A puisse perdre ou acquérir le caractère d’admissibilité.
Je suppose maintenant que les points A et B soient de même
nature. Si le point B est inadmissible, il peut encore devenir subordonné
à A sans que ce dernier point devienne admissible ou cesse
de l’être. Si, au contraire, le point B est admissible, il arrivera en
général, au moment où B deviendra subordonné à A, que A cessera
d’être admissible s’il l’était, et le deviendra s’il ne l’était pas. Le
point B conserve d’ailleurs toujours son caractère d’admissibilité
ou d’inadmissibilité.
Les considérations qui précèdent nous fournissent donc le moyen,
en faisant varier les éléments des orbites d’une manière continue,
et en suivant les variations des points singuliers, de reconnaître
quels sont ceux qui sont admissibles, soit que l’on s’astreigne à
faire varier les éléments de façon que deux points singuliers n’aient
à aucun moment un de même argument, afin d’éviter la discussion
nécessaire pour savoir s’ils sont réellement subordonnés l’un à
l’autre, soit que l’on ne s’y astreigne pas en se résignant à faire
cette discussion.
On peut faire varier, non seulement les éléments des orbites,
mais le rapport en oubliant un instant qu’il doit être
commensurable, ce que nous n’avons supposé que dans un but très particulier qui ne se rattache en aucune façon à la discussion de
l’admissibilité des points singuliers. Ce rapport doit toutefois, pour
que ce que nous venons de dire reste applicable, rester réel et ne
passer ni par 0 ni par l’infini.
Il suffit donc, pour pouvoir appliquer les considérations précédentes,
de connaître quels sont les points admissibles pour certaines
valeurs des éléments. Ce que j’ai dit dans le numéro précédent
sur un cas particulier semble donc pouvoir nous suffire ;
mais, dans ce cas particulier, certains points singuliers se réduisent
à 0 ou à l’infini et je les ai laissés de côté dans la discussion.
C’est pour cette raison que j’ai encore quelques mots à ajouter.
Supposons d’abord que, les deux excentricités étant finies, l’inclinaison
reste nulle. Soit
Les points singuliers de seront alors définis par les équations suivantes
(3)
|
|
|
(4)
|
|
|
Les courbes (3) et (4) sont du troisième ordre ; pour qu’elles
soient réelles, il faut et il suffit que les grands axes des deux
orbites coïncident, c’est-à-dire que la différence soit égale
à 0 ou à
Supposons la courbe (3) présentera un point double
Si est très petit, la courbe présentera trois branches : la première
que j’appellerai et qui différera peu de la branche B’DBP
de la fig. 1 ; la seconde que j’appellerai ira passer par l’origine
et par le point double. Elle sera d’abord asymptote à l’axe des négatifs, s’écartera très peu de cet axe ; après avoir passé par le
point double, elle différera peu de la branche AO′ de la fig. 1 ;
la troisième que j’appellerai est asymptote à l’axe des et diffère
d’abord très peu de la branche CRA de la fig. 1 ; elle va ensuite
passer par le point double et s’écarte ensuite très peu de l’axe
des auquel elle est asymptote. Je dirai désormais que deux points
sont réciproques, quand on passe de l’un à l’autre en changeant
en en
en et en Les deux courbes (3)
et (4) sont alors réciproques l’une de l’autre. Si et par conséquent
que nos courbes soient réelles, cette définition ne différera
pas de celle du numéro précédent.
Nous avons comme points singuliers :
1o Les intersections des courbes (3) et (4) différant très peu des
points B, B′, R, R′ de la fig. 1 et que je puis toujours désigner
par les mêmes lettres. Nous avons vu qu’ils sont inadmissibles.
2o Les intersections de et de la courbe (4), de et
de la courbe (3) différant très peu des points E et E′ de la fig. 1 ;
ils sont aussi inadmissibles.
3o Trois points situés sur la courbe (3) et différant très peu des
points D, F et C′ de la fig. 1 ; le premier seul est admissible.
4o Trois points réciproques des premiers situés sur la courbe (4) ;
celui qui diffère peu de D′ est seul admissible.
5o Un point défini par les équations (3) et (5) situé sur la
branches et se réduisant à pour
Ce point, dont il n’a pas été question dans le numéro précédent, exige
une discussion spéciale. Cette discussion prouverait que ce point
que j’appellerai T est admissible ; les deux points singuliers de
d’abord confondus avec lui, se séparent quand décrit
la droite et sont d’abord imaginaires conjugués, puis ils se réunissent
de nouveau en un seul point qui correspond au point D
et se séparent encore pour redevenir réels. On voit que les valeurs
finales de T sont les mêmes que celles de D ; donc T est admissible
comme D.
6o Un point T′, réciproque de T, et par conséquent admissible
comme lui.
7o Le point double que j’appellerai U ; par ce point passent deux des branches de la courbe (3) et les deux droites
À ce point correspondent quatre valeurs finales ; car,
quand décrit la droite quatre points singuliers de
d’abord confondus en un seul, se séparent de façon que les quatre
points représentatifs décrivent respectivement les deux branches
de (3) et les deux droites parmi ces valeurs finales,
trois sont plus petites que 1 en valeur absolue ou plus exactement
appartiennent à la région de la surface de Riemann La
quatrième valeur finale, celle qui correspond à la branche de
courbe appartient à l’autre région. Le point est donc admissible.
8o Le point U′ réciproque de U, c’est-à-dire le point double
de (4), sera admissible pour la même raison.
9o Il reste encore les points d’intersection de la droite,
avec la courbe (4) que j’appelle V et W′ et ceux de la droite
avec la courbe (3) que j’appelle V′ et W, auxquels
j’adjoindrai les deux points réciproques l’un de l’autre
que j’appellerai X et X′. Le point X est inadmissible et les deux
valeurs finales correspondant respectivement aux deux droites
et appartiennent à la région
Passons au point V [c’est celle des intersections de
avec (4) qui est très près de l’origine] : quand le point décrit
les deux points représentatifs correspondant aux deux points singuliers
qui se séparent suivent : le premier la courbe (4) jusqu’au
point R et le second la droite jusqu’en U. Les points R et U
sont donc subordonnés à V et V admet, comme valeurs finales,
l’ensemble des valeurs finales de R et de U. Toutes celles de R
appartiennent à celles de U qui est admissible appartiennent
aux deux régions. Donc le point V est admissible ; mais il cesse
de l’être dès que la différence au lieu d’être nulle, devient
très petite. Dans ce cas, en effet, R et U cessent d’être subordonnés
à V, et les seules valeurs finales que conserve V sont, d’une part, une valeur finale peu différente d’une de celles de R, et une autre
peu différente d’une de celles de U (celle qui correspond à )
et qui, toutes deux, appartiennent à
Enfin W est inadmissible [c’est celle des intersections de (3)
avec qui est voisine de l’axe des ]. En effet, à ce point sont
subordonnées F et X dont les valeurs finales appartiennent à
En résumé, si l’inclinaison est nulle, la différence
très petite, l’excentricité petite, l’excentricité
très petite par rapport à les seuls points admissibles seront D, T, U
et leurs réciproques.
Supposons maintenant que l’inclinaison n’est plus nulle, mais
très petite.
Si nous écrivons que la distance des deux planètes est nulle,
nous n’obtiendrons plus, comme dans le cas précédent, deux équations
distinctes (3) et (4), mais une équation unique
qui, si l’on considère (comme dans la fig. 1) et comme les
coordonnées d’un point dans un plan, représentera une courbe du
sixième ordre.
Cette courbe se décompose en deux courbes du troisième ordre
(3) et (4) quand l’inclinaison est nulle ; pour qu’elle soit réelle, il
faut et il suffit que les grands axes des orbites soient perpendiculaires
à la ligne des nœuds.
Si l’inclinaison est très petite, les points singuliers seront :
1o Des points très peu différents de E, D, F, C, T, V, W, X et
de leurs réciproques ; je les désignerai par les mêmes lettres ; il
est clair que D et T sont seuls admissibles avec leurs réciproques.
2o Deux points B₁ et B₂ très peu différents de B ; deux points
R₁ et R₂ très peu différents de R et leurs réciproques. Tous inadmissibles.
3o Neuf points peu différents de U, à savoir deux
intersections de avec deux de avec
quatre points de Une discussion spéciale serait nécessaire.
Avant ainsi reconnu quels sont les points admissibles, il resterait, pour voir celui qu’il convient de conserver, à voir quel est
celui qui correspond à la valeur de la plus voisine de 1.
Si l’excentricité qui correspond au plus grand des deux
grands axes et l’inclinaison sont petites par rapport à l’autre
excentricité, si la différence est petite, le point qui nous
convient est le point D.
Forcé de me borner, j’arrête là cette discussion que je n’ai fait
qu’ébaucher. Mais il me semble que l’importance du sujet peut
tenter plus d’un chercheur ; il devrait donner, outre cette discussion,
une méthode pratique et rapide de résolution des équations
algébriques auxquelles on est conduit en tenant compte de la petitesse
de certaines quantités, et de ce fait qu’on peut se contenter le
plus souvent d’une médiocre approximation. Sa tâche serait d’ailleurs
grandement facilitée par une étude analytique complète de la
fonction et de ses différentes déterminations.
Application de la méthode de M. Darboux.
99.Supposons maintenant que l’on ait déterminé par la discussion
qui précède le point singulier de qui convient à la
question, que l’on sache, par conséquent, quelles sont les deux
circonférences
qui limitent le domaine où est développable par la série de
Laurent et quels sont les points singuliers situés sur cette circonférence.
En général, il n’y en aura qu’un seul sur chacune d’elles.
Soit donc le point singulier qui se trouve sur la circonférence
Soient et les valeurs correspondantes de et
On voit aisément que et sont parfaitement déterminés par les
équations algébriques que nous avons discutées plus haut ; au contraire,
n’est pas entièrement déterminé, mais est susceptible de valeurs que j’appellerai
étant une racine ième primitive de l’unité.
Appliquons au développement de la méthode de M. Darboux.
Pour cela, il nous est nécessaire de savoir comment cette
fonction se comporte dans le voisinage du point singulier
Lorsque est très voisin de la fonction admet deux
points singuliers et très voisins de elle admettra également
autres couples de points singuliers
très voisins respectivement de
Le contour d’intégration le long duquel devra se calculer
devra passer entre les points et et de même entre les points
et On pourra, d’ailleurs, supposer que ce contour présente
la symétrie suivante : il sera formé de arcs
et l’on passera de l’arc à l’arc
en changeant en comme
l’intégrale prise le long des arcs
sera la même, et l’on aura
L’arc qui est notre nouveau chemin d’intégration passera
alors seulement entre les points singuliers et d’ailleurs,
décomposons l’arc en trois arcs partiels
et j’appellerai
et les extrémités de l’arc
et celles de et celles de
Je supposerai que c’est qui passe entre et et
que, quand tend vers aucun des quatre points
ne
tende vers de telle sorte que ces quatre points soient à une
distance finie de et de
Notre intégrale prise le long de est la somme de trois autres,
prises respectivement le long de de et de
La première et la troisième restent des fonctions holomorphes de dans le
voisinage du point puisque les points et sont à une distance
finie des arcs et C’est donc la seconde intégrale seulement,
prise le long de qui admet comme point singulier ;
c’est donc l’étude de cette seconde intégrale qui nous fera connaître
l’allure de la fonction dans le voisinage de
Voyons donc comment se comporte la fonction dans le
voisinage de Cela dépend, bien entendu, de la nature
du point singulier considéré. J’examinerai d’abord l’hypothèse où
ce point est l’un de ceux que nous avons désignés par D, F, T, C
et par les mêmes lettres accentuées, ou bien encore, dans le cas où
l’inclinaison n’est pas nulle, l’un de ceux que nous avons désignés
par B₁, B₂, R₁, R₂ ou de leurs réciproques. C’est là l’hypothèse la
plus importante, car nous avons vu que, si l’inclinaison et l’une
des excentricités sont très petites, c’est le point D qui nous convient.
Dans cette hypothèse est développable suivant les
puissances croissantes de et de
J’ai donc
en désignant par une série développée suivant les puissances
croissantes de et de
Je supposerai que est assez voisin de et que les points que
je viens d’appeler et (extrémités de
) sont assez voisins de (bien que leur distance à ce point
ait été supposée finie) pour que la série converge pour et pour
Quelle sera maintenant la forme de cette série En premier lieu, pour
on devra avoir
Si donc, dans on fait le premier terme du développement
de sera un terme en Il suit de là et d’un théorème de M. Weierstrass, que l’on a identiquement
où est une série développée suivant les puissances de
et et ne s’annulant pas pour où et
sont deux séries ordonnées suivant les puissances de et se déduisant
respectivement à et à 0 pour (Weierstrass,
Abhandlungen aus der Functionenlehre, Berlin, Springer, 1886,
p. 107 et suiv. ; voir aussi Poincaré, Thèse inaugurale, Paris,
Gauthier-Villars, 1879).
Nous pouvons poser alors
d’où
étant développable suivant les puissances croissantes de
et
Passons à une seconde hypothèse qui sera celle où, l’inclinaison
étant nulle, le point singulier sera l’un des points B, R, B′ ou
R′. On verrait alors que est encore de la même forme ; il
y a cependant une différence. Dans la première hypothèse, est
divisible par mais non par dans la seconde, est
divisible par
Les dernières hypothèses qu’il nous reste à examiner sont celles
où l’on a soit ou soit ou
Dans ce cas, il peut être utile de faire un changement de variable.
Supposons d’abord
Nous prendrons alors pour variables nouvelles, non plus et
mais et dans le voisinage du point singulier considéré, est
développable suivant les puissances croissantes de et
et, par conséquent, suivant celles de et
et, par conséquent, suivant celles de et
est
également développable suivant les puissances de et de
Si donc nous posons
(1)
|
|
|
sera développable suivant les puissances de et et
nous aurons
La fonction sous le signe ne présente de point
singulier que si
Pour que présente un point singulier, il faut que deux des
points singuliers de viennent à se confondre. Or cela n’aura
lieu que si l’on a à la fois
L’équation correspond aux courbes (3) et (4) du numéro
précédent (ou à la courbe du sixième degré qui les remplace quand
l’inclinaison n’est pas nulle). Les équations correspondent
aux points singuliers étudiés dans les deux premières
hypothèses.
D’où cette conséquence, le point E et son réciproque ne sont
pour la fonction que des points singuliers apparents, et l’on
n’aura jamais à s’en occuper.
Supposons maintenant
ou
Nous prendrons alors pour variables nouvelles et nous trouverons,
en conservant à la signification que lui donne l’équation (1),
Nous en conclurions que les points définis par les équations
ou
(et pour lesquels on n’a pas en même temps ),
c’est-à-dire les points V, W et leurs réciproques, ne sont pour la fonction
que des points singuliers apparents.
Dans le cas où l’on a à la fois
le choix du changement de variables, qui peut d’ailleurs se faire
d’une infinité de manières, est plus délicat. Voici comment on peut
faire ce choix.
Nous avons
Posons
Alors sera développable suivant les puissances de et suivant
celles de on aura pour et
pour D’autre part, il viendra
d’où
En général, et seront des fonctions développables suivant
les puissances de et de [il y aurait exception toutefois dans le
cas où l’inclinaison serait nulle et où l’on aurait
ou bien
ce point que nous avons appelé U, appartient en effet comme point double à la courbe (3) ; ce cas mériterait une
discussion spéciale].
On a donc, en prenant pour variables indépendantes et
étant développable suivant les puissances de de
et de ce qui nous permet d’écrire
et étant développables suivant les puissances de
et de
La première intégrale est une fonction holomorphe de dans
le voisinage du point quant à la seconde, elle est tout à
fait de la même forme que l’intégrale
que nous avons été conduits à envisager dans les deux premières
hypothèses. Nous devons donc conclure que les points
sont pour la fonction des points singuliers véritables et non
pas seulement apparents.
On peut être étonné, au premier abord, de la différence entre les
points singuliers tels que E, V, W, etc., qui ne sont qu’apparents,
et les points tels que ou tels que D, etc., qui sont
de véritables points singuliers.
L’origine en semble pourtant tout à fait la même ; on obtient ces
points en écrivant que deux des points singuliers et de la
fonction viennent à se confondre. Mais examinons la chose
d’un peu plus près. Donnons à une valeur très voisine de de
façon que les deux points et soient très peu différents l’un de
l’autre, et étudions l’allure de la fonction dans le voisinage
de ces deux points. La différence entre les deux cas est alors très grande.
Premier cas. — Le point est un point tel que D ou que
c’est-à-dire un point singulier véritable de
Alors deux valeurs de s’échangent entre elles quand on
tourne autour du point et ces deux mêmes valeurs s’échangent
encore entre elles quand on tourne autour du point Si l’on
construit une courbe en prenant pour abscisse et pour
ordonnée, cette courbe variera naturellement quand on fera varier
et pour elle aura un point double.
Second cas. — Le point est un point tel que E, c’est-à-dire
un point singulier apparent de
Alors quatre valeurs de s’échangent quand on tourne
autour de et à savoir la première avec la deuxième, la
troisième avec la quatrième quand on tourne autour de la deuxième
avec la troisième quand on tourne autour de
Construisons donc la surface de Riemann relative à la fonction
c’est-à-dire une surface de Riemann ayant autant de
feuillets que cette fonction a de déterminations. Dans le
premier cas, l’ordre de connexion de cette surface s’abaissera de
deux unités quand deviendra égal à dans le second cas, il
demeurera le même. C’est là la véritable raison de la différence
entre les deux cas.
Cette circonstance que certains points singuliers ne sont qu’apparents
est susceptible, si on l’applique convenablement, de simplifier
considérablement la discussion des deux numéros précédents.
100.Rien n’est plus aisé maintenant que de connaître l’allure
de la fonction dans le voisinage du point
Nous avons en effet
restant holomorphe pour et l’intégrale étant prise
le long de
Comme est développable suivant les puissances de et
et suivant celles de nous pouvons écrire
de sorte qu’en posant
il vient
D’autre part,
Nous en conclurons (en observant que le chemin d’intégration
passe entre et ) que
étant holomorphe pour
Dans le cas où serait divisible par il faudrait dire
(deuxième hypothèse du numéro précédent) et non
Il vient ensuite
Donc reste holomorphe en si est impair. Si maintenant
est pair et que nous posions
on aura
étant holomorphe en
Il vient donc finalement
restant holomorphe en pour
Je puis écrire encore
et restant holomorphes pour
Nous avons
Si donc
et si
on aura approximativement pour très grand
En général, on pourra se contenter de prendre le premier terme
étant la valeur de pour ou bien encore celle de
pour
Or, si j’appelle le carré de la distance des deux planètes, on a,
Donc
à la condition, bien entendu, qu’on fasse dans
Ce que je viens de dire s’applique à la première et à la deuxième
hypothèse du numéro précédent. Si l’on supposait
une méthode analogue serait applicable puisque nous avons, dans
ce cas, ramené à une intégrale
qui est de même forme que
Le coefficient que nous venons de calculer est celui qui
entre dans le développement de la partie principale de la
fonction perturbatrice. Nous avons posé en effet
Il conviendrait maintenant de tenir compte de la partie complémentaire
de la fonction perturbatrice. Posons donc
puis
Si l’on suppose sera le
coefficient de dans de même que était
le coefficient de dans
La fonction n’a d’autres points singuliers que
ceux des droites
La fonction n’aura donc que 4 points singuliers, à savoir
Il en résulte que, si le point singulier qui convient à la question
n’est pas un de ces quatre points, c’est-à-dire dans les deux premières
hypothèses du no 99 (ce qui est le cas le plus ordinaire),
la différence
sera négligeable par rapport à
et la valeur approchée de sera la même que celle de
Si, au contraire, le point singulier qui convient à la question est l’un de ces quatre points, il faudra tenir compte de la différence
ce qui ne présente d’ailleurs pas de difficulté.
Application à l’Astronomie.
101.Le plus souvent on pourra se contenter d’une approximation
assez grossière ; et, en effet, ce qu’on se propose, c’est de
reconnaître si certains termes, dont l’ordre est très élevé, mais qui,
par suite de la presque commensurabilité des moyens mouvements,
sont affectés de diviseurs très petits, si ces termes, dis-je, sont ou
ne sont pas négligeables. Le plus souvent ils le seront, et il suffira
de se faire une idée de leur ordre de grandeur.
Je prendrai comme exemple la célèbre inégalité de Pallas. Pour
l’étudier il faut faire le calcul en prenant
d’où
Il semble qu’on pourrait tenter de retrouver par cette voie le résultat
de Le Verrier.
102.Mais ce n’est pas là le but principal que je me suis proposé
en entreprenant ce travail. C’est, on se le rappelle, de combler la
lacune que j’ai signalée à la fin du Chapitre précédent dans la
démonstration de la non-existence des intégrales uniformes.
Dans le no 85, j’ai établi en effet ce qui suit. Soit
dépend à la fois des deux grands axes, des deux excentricités,
de l’inclinaison des orbites, des longitudes des deux périhélies
(comptées à partir du nœud), c’est-à-dire de sept variables.
Soit
et étant des entiers, et premiers entre eux
et de signe contraire. Donnons aux deux grands axes des valeurs déterminées
choisies de telle sorte que le rapport des moyens mouvements soit
égal à Les coefficients ne dépendront plus que de
cinq variables. Posons, comme dans le Chapitre précédent,
dépendra de six variables qui sont les deux excentricités, les
longitudes de périhélies, l’inclinaison et
Eh bien, s’il existait une intégrale uniforme, il y aurait une
relation entre six quelconques des quantités et les diverses quantités
pourraient s 'exprimer en fonctions de cinq variables seulement et non de six.
Or, nous avons
et, par conséquent,
S’il y avait donc une intégrale uniforme, les coefficients du développement
de ne dépendraient que de cinq paramètres.
En appliquant les règles des numéros précédents, on trouverait
que l’on a approximativement pour très grand
On verrait alors sans peine que, si les s’expriment à l’aide de
cinq variables seulement, il doit en être de même de
et, par conséquent, que les dépendent seulement de quatre
variables. On reconnaîtrait ensuite qu’il n’en est pas ainsi.
C’était là mon premier dessein ; mais il est plus simple d’opérer autrement.
Les points singuliers de ne dépendent évidemment que
des coefficients ils ne devraient donc dépendre que de cinq
variables seulement.
Soient
six des points singuliers de les points singuliers correspondants
de seront
et ils dépendront de et de nos cinq autres variables, excentricités,
inclinaison, longitudes des périhélies, que j’appellerai pour un instant
S’il y avait une intégrale uniforme, ils ne devraient dépendre que
de cinq variables et le déterminant fonctionnel
devrait être nul.
Mais ce déterminant est égal à
Or n’est pas nul, ni infini ; on devrait donc avoir
En d’autres termes, les rapports deux à deux des points singuliers
de ne devraient dépendre que de quatre variables que j’appellerai
Or ces points singuliers sont de deux sortes.
Nous avons d’abord ceux qui nous sont donnés par les équations
je les appelle et
On voit toute de suite que et ne dépendent que des
deux excentricités, c’est-à-dire de et de que
Le rapport ne dépendrait que de nos quatre variables
or ce rapport est égal à
Donc et de même
ne dépendraient que des quatre variables
Il en serait donc ainsi de et de qui sont manifestement fonctions de
et de
Passons aux points singuliers de la seconde sorte, qui nous sont
fournis par les équations
Quand, dans ces équations, on prend comme variables et elles
deviennent algébriques. L’équation définit alors, comme nous
l’avons vu, une courbe du sixième degré qui, pour une inclinaison
nulle, se décompose en deux courbes (3) et (4) du troisième degré ;
de l’équation combinée avec on peut, si l’inclinaison
est nulle, en déduire deux autres qui sont les équations (5) et (6) du no 96.
Soit une des racines des équations
(1)
|
|
|
les rapports et, par conséquent, ne dépendraient que des
quatre variables
Si donc sont trois racines des équations (1),
et dépendraient seulement de ces quatre variables,
de sorte que le déterminant fonctionnel
est nul. Supposons par exemple que et soient les deux
excentricités ; dépendra seulement de et de
de sorte que ce déterminant fonctionnel est égal à
puisque les trois dernières variables sont l’inclinaison et les longitudes
des périhélies et
On devrait donc avoir
ce qui voudrait dire que les racines de l’équation (1) (quand on
regarde les deux excentricités et, par conséquent, et comme
des constantes) ne dépendraient plus que de deux variables.
Il me reste à démontrer qu’il n’en est pas ainsi.
103.Commençons par le cas où l’inclinaison est nulle. Dans ce
cas, les racines des équations (1) ne dépendent que des grands
axes, des excentricités et de la différence Si, comme nous
venons de le faire, nous regardons les grands axes et les excentricités
comme des constantes, ces racines ne dépendront plus que de la différence
En se rappelant ce que nous avons dit au no 85 et en raisonnant
comme nous venons de le faire dans le numéro précédent, on verrait
que pour que le problème des trois Corps dans le plan admît
une intégrale uniforme (autre que celles des forces vives et des
aires), il faudrait que ces racines ne dépendissent pas de
et qu’elles demeurassent constantes quand les grands axes et
les excentricités demeurent eux-mêmes constants et l’inclinaison nulle.
Or il est clair qu’il n’en est pas ainsi, car est réel quand
est nul et imaginaire, en général, dans le cas contraire.
Revenons maintenant au cas où l’inclinaison n’est pas nulle.
Énumérons les points singuliers donnés par les équations
(1)
|
|
|
Pour cela, supposons l’inclinaison très petite, nous verrons, en
nous reportant à ce qui a été dit au no 98, qu’il existe :
1o Huit points singuliers très peu différents de D, C, F, T et de
leurs réciproques ;
2o Huit points singuliers dont deux diffèrent très peu de B,
deux autres très peu de R et deux autres très peu de chacun de
leurs réciproques ;
3o Quatre points très peu différents de U et en
effet, quand l’inclinaison est nulle, les deux courbes
ont un point double en U ;
4o Quatre points très peu différents de U′
En tout 24 points singuliers.
On peut arriver au même résultat d’une autre manière.
On voit que
est un polynôme entier du sixième ordre en et de sorte que l’équation
est celle d’une courbe du sixième ordre qui se décompose en deux
autres (3) et (4), quand l’inclinaison est nulle.
D’autre part, l’équation peut être remplacée par la suivante
Cette équation est celle d’une courbe du neuvième ordre,
et les points singuliers seront les intersections de ces deux courbes,
moins celles qui sont rejetées à l’origine ou à l’infini.
La courbe admet l’origine comme point double et les
axes comme asymptotes doubles ; la courbe admet l’origine comme point triple et les deux axes comme asymptotes triples.
Mais il y a plus. On peut remarquer que est la somme de trois
carrés, de sorte que je puis écrire
avec
D’autre part, on peut poser
d’où
Il vient donc, en tenant compte de
de sorte qu’en supprimant le facteur le système
peut être remplacé par le suivant
La courbe n’est plus que du septième ordre ; elle n’a plus
à l’origine qu’un point simple. Elle admet comme asymptotes les
deux axes, deux droites autres que l’axe des et parallèles à cet
axe, deux droites autres que l’axe des et parallèles à cet axe, une
droite non parallèle aux axes.
Les deux courbes ont en tout 42 intersections.
Parmi ces intersections il y en a deux à l’origine. Voyons combien
il y en a à l’infini dans la direction de l’axe des
La courbe a trois asymptotes parallèles à l’axe des parmi
lesquelles cet axe lui-même ; la courbe admet cet axe comme
asymptote double ; en général, cela ferait sept points d’intersection.
En général, en effet, s’il y a une asymptote double, c’est qu’il y a un « point de rebroussement à l’infini ». Il n’en est pas ainsi pour la
courbe mais elle présente deux branches de courbes distinctes
se touchant à l’infini, ce qui donne non pas sept, mais huit points d’intersection.
Nous avons donc à l’infini huit points dans la direction de l’axe
des et huit dans celle de l’axe des
Il reste donc
points singuliers.
Cela posé, est-il possible que les de ces 24 points singuliers
ne dépendent que de deux variables ? Appelons et ces deux
variables. Nous pouvons en choisir une troisième de façon
que et soient des fonctions de
Alors, quand on ferait varier
les deux autres variables et demeurant constantes,
les ne devraient pas varier.
On a par hypothèse
En différentiant la première de ces deux équations, on trouve
Or et d’autre part devrait être nul puisque
ne devrait pas varier. Il resterait donc
(2)
|
|
|
Voyons ce que signifie cette équation. Si l’on fait varier la
courbe (ou ce qui revient au même la courbe ) varie ;
considérons la courbe
infiniment peu différente de et que j’appellerai la courbe
L’équation (2) signifierait que cette courbe devrait passer par
les 24 points singuliers.
Or ces deux, courbes et sont du sixième ordre ; elles ne peuvent
donc, sans se confondre, admettre plus de 36 points d’intersection.
Elles en ont quatre à l’origine où elles ont toutes deux un point double.
Elles admettent l’axe des comme asymptote double, ce qui
fait (en tenant compte de la remarque faite plus haut au sujet de
la nature de cette asymptote double) huit intersections à l’infini
dans la direction de l’axe des Il y en aurait de même huit dans
la direction de l’axe des
Cela ferait en tout
intersections.
Les deux courbes devraient donc se confondre.
Ainsi, quand on ferait varier la courbe
ne devrait pas varier.
Interprétons ce résultat.
Considérons les deux ellipses décrites par les deux planètes. Ces
deux ellipses seront invariables de grandeur et de forme puisque
nous sommes convenus de regarder les grands axes et les excentricités
comme des constantes ; mais, quand on fera varier
et ces deux ellipses se déplaceront l’une par rapport à l’autre.
Je puis supposer que l’une des ellipses est fixe, et l’autre
mobile.
Dire que la courbe ne change pas quand et
restent constants, c’est dire que l’on peut trouver une loi du mouvement
de telle que si, à un instant quelconque, un point de
est à une distance nulle d’un point de
(inutile de rappeler que ces deux points étant imaginaires peuvent être à une distance nulle
sans coïncider), la distance de ces deux points restera constamment nulle.
Soit la position du point à un instant quelconque. Il y a
sur quatre points :
qui sont à une distance nulle
de ces quatre points ne peuvent être en ligne droite. Le point
devrait donc rester sur quatre sphères de rayon nul ayant leurs
centres en
mais, comme ces centres ne sont pas en ligne droite, ces quatre sphères ne peuvent avoir que deux
points communs à distance finie. Il est donc impossible que le
point se meuve en restant sur ces quatre sphères.
La non-existence des intégrales uniformes se trouve ainsi rigoureusement démontrée.