CHAPITRE XVIII.
CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
Équations à second membre.
190.Nous avons vu au no 177 que l’équation (6 b) du no 169
pouvait,
par un changement convenable de variables, être ramenée à la forme
(1)
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Dans cette expression,
est une fonction connue de
et cette
expression est une somme de termes de la forme
ou
![{\displaystyle \beta \sin \lambda t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30199355a7ff3635ab9ff63e2262228454a3d07)
Dans le Chapitre précédent, nous avons appris à intégrer l’équation
sans second membre, c’est-à-dire l’équation (1) où l’on a
fait
et nous savons, d’autre part, que l’intégration d’une
équation linéaire à second membre peut toujours se ramener à
celle de l’équation privée de second membre.
La question est donc résolue ; nous avons même au no 184 envisagé
l’équation (1) en y faisant
![{\displaystyle \varphi (t)=\beta \cos \lambda t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f21bd33c4ede07dbb30e098caf0fe64b81ca31)
et nous avons vu qu’on y pouvait satisfaire en y faisant
(2)
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et que les
étaient définis par les relations (4) et (4 bis) du
no 184.
De même, si nous faisons
![{\displaystyle \varphi (t)=\beta \sin \lambda t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637ea6489234d6d0200f987854fc3b9a3ba79888)
on satisfera à l’équation (1) en faisant
(2 bis )
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pourvu que les
soient encore définis par les relations (4)
et (4 bis).
Il est clair alors que, si
est une somme de termes de la
forme
et
on aura une solution particulière de
l’équation (1) qui sera une somme de termes de la forme
ou
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n}\sin(\lambda +2n)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef58644e6883b17f6c3e81b5c34f2fb5f4ca5763)
et l’on obtiendra la solution générale en ajoutant à cette solution
particulière la solution générale de l’équation sans second membre.
Il y aurait exception dans le cas où l’un des coefficients
définis par les équations (4) et (4 bis) du no 184, serait infini ;
c’est ce qui arrive, comme il est aisé de le voir, si λ est égal
à
étant un entier.
Dans ce cas, on peut toujours intégrer l’équation (1), mais le
temps
sort des signes sinus et cosinus, de sorte que la solution ne
conserve pas sa forme purement trigonométrique.
Si l’on suppose, par exemple,
![{\displaystyle \varphi (t)=\beta \cos ht,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8430f4678fb79c1f27691dbb82652857b51cd6)
la solution générale sera de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t+{\textstyle \sum }\,(\mathrm {B} _{n}+\mathrm {C} _{1}\mathrm {A} _{n})\cos(h+2n)t\\&+\mathrm {C} _{2}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4663109b2489f5d86af4012139d3849e698ffe44)
Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la solution
conserve sa forme trigonométrique, c’est qu’aucun des
correspondant
aux divers termes de
ne soit égal à
Si maintenant
sans être rigoureusement égal à
était
très voisin de
l’un des
sans être infini, deviendrait très
grand.
Cela n’aurait pas d’inconvénient si l’équation (1), c’est-à-dire
l’équation (6 b) du no 169, était rigoureusement exacte ; mais il n’en est pas ainsi : elle n’est qu’approchée, ainsi que nous l’avons
vu au Chapitre XVI, et, pour qu’elle soit suffisamment approchée,
Il faut que
que nous appelons ici
reste toujours très petit.
Si donc l’un des coefficients
était très grand,
ne resterait
pas très petit ; les termes négligés pourraient devenir assez grands
pour que la méthode d’approximation devînt illusoire.
On doit donc éviter qu’à aucun moment, dans la suite des
approximations, on ne voie apparaître dans le second membre
de (1) des termes dont l’argument
soit très peu différent
de
Considérons d’une manière plus générale l’équation
(5)
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où
et
sont des fonctions de
développables en séries
trigonométriques.
Soit
ou
un terme de
soit
ou
un terme de
Considérons l’équation sans second membre
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\,f(t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e591fdc8c67e2d5ce9c14481f5162b389a08b939)
Soient
et
deux solutions indépendantes de cette équation,
et
leurs dérivées par rapport à
on aura
![{\displaystyle x_{1}x_{2}'-x_{2}x_{1}'=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08e15cdec300f10e40c9e72d33e015cf941f600)
étant une constante que nous pourrons toujours supposer égale à 1.
La solution générale de l’équation à second membre sera alors
(6)
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D’après le no 188,
et
sont une somme de termes de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} {\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}\left(h+\gamma \right)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bd0914c74a828ce68da2bd4f3c45b606bfa042)
étant une constante, qui est la même pour tous les termes, et
étant une combinaison linéaire à coefficients entiers des coefficients ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Quelle est maintenant la condition pour que l’expression (6)
conserve sa forme trigonométrique ? Il suffit que,
et
supposés développés en séries trigonométriques, il n’y ait pas de
terme tout connu ;
Ou bien encore que le développement de
ou de
ne contienne
pas de terme ayant même argument que l’un des termes
de
Ou enfin que
étant l’un quelconque des arguments des termes
de
ne soit pas une combinaison linéaire des
à coefficients
entiers.
Si, en particulier, la fonction
est périodique de façon que
![{\displaystyle \mu =n\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f3b543951687264df97a6ed225e8a640288c5d)
étant entier, le rapport
ne devra pas être entier.
Si
est une fonction périodique de deux arguments
et
de telle façon que
![{\displaystyle \mu =m\alpha +n\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3230b51dff6f9557947f4d152342aa91a7106317)
et
étant entiers, on ne devra pas avoir de relations de la forme
![{\displaystyle \lambda -h=m\alpha +n\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e9afb915d02bb2ad00ceae9c5a09648b793371)
Ces conditions sont suffisantes, mais elles ne sont pas nécessaires ;
si, en effet, un terme de
et un terme de
ont même
argument, leur produit donnera dans le développement de
un terme tout connu. Nous obtiendrons donc ainsi autant de
termes tout connus dans le produit
qu’il y a dans les deux
facteurs de couples de termes ayant même argument. Mais il peut
se faire que ces termes se détruisent mutuellement.
La condition nécessaire et suffisante est donc que le terme tout
connu de
et celui de
soient nuls.
Équation de l’évection.
191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration
par approximations successives de l’équation
(1)
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est un coefficient très petit,
est une fonction connue
de
et de
dont les termes sont tous de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \,x^{p}\cos \lambda t+\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025a9322cb6bfc8d924c041165aae58fc86a3683)
est un entier,
et
sont des constantes quelconques.
Je vais écrire cette équation sous la forme
(2)
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et
étant des constantes très petites dont je me réserve de déterminer
plus loin la valeur en la modifiant à chaque approximation.
Comme première approximation je ferai
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\gamma =0,&\varphi &=\varphi (0,t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a153bf7873f15089651dbbb6a7cdbd0c5c0382)
J’obtiendrai ainsi une équation de même forme que l’équation (1)
du numéro précédent et elle me donnera une première valeur
approchée de
que j’appellerai
je désignerai par
la valeur
correspondante du nombre
La fonction
conservera sa forme trigonométrique et ne contiendra
pas de terme séculaire, parce qu’en général aucune des
différences
ne sera entière.
Pour la seconde approximation il faut faire
![{\displaystyle \varphi =\varphi (\xi _{1},t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fb8630cd8be943af3aa36ef969fefc87f2bbc6)
Mais si l’on conservait à
et à
la valeur zéro, les développements
de
et de
contiendraient des termes tout connus et
le temps sortirait, d’après ce que nous avons vu plus haut, des
signes trigonométriques.
Il convient donc d’attribuer à
et à
de nouvelles valeurs
et
que nous choisirons de telle sorte que l’intégrale générale de
l’équation
(2 bis)
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ne contienne pas de termes séculaires. Nous savons quelle est
la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi.
Soient
et
deux intégrales indépendantes de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e71f3b67f5ed10e753eb325bb64d667018c547c)
Il faut que les développements de
et de
ne contienne
pas de terme tout connu. Il est clair que l’on peut toujours disposer
de
et de
pour qu’il en soit ainsi.
Cela posé, envisageons l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eefa5bb420c9c93da121fcb9d609b64ad0d436c)
Soient
et
deux intégrales de cette équation et
la
valeur correspondante du nombre
et
seront alors
développés suivant les cosinus et les sinus de
étant
un entier.
Observons maintenant que
contient des termes de deux sortes.
Ceux de la première sorte dépendent des sinus et des cosinus de
![{\displaystyle (h_{1}+2n)t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e299ba4405d4d53aee42e9070183cd732e189b2f)
ceux de la seconde sorte dépendent des sinus et des cosinus de
![{\displaystyle (\lambda +2n)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4c3ef61912afb8463d8d0b53633a48639b513b)
étant un des arguments dont dépend ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
Soit alors
ce que devient
quand on y remplace
par
dans les termes de la première sorte ; et soit
ce que devient
quand on y remplace
par
Au lieu de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=\psi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9267425cde520add04bab59966a72f61960ac8f8)
qu’il pourrait paraître naturel d’envisager, puisqu’elle s’obtient
en faisant dans les deux membres de (2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\beta _{2},&\gamma &=\gamma _{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c3c77940355f2c3d9b31f56c9a6c3185125e02)
et dans le second membre
![{\displaystyle x=\xi _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6deb8fd426133c68798cb1c751ee41ed7cb1f8ab)
au lieu de cette équation, dis-je, nous envisagerons la suivante
(3)
|
|
|
En effet
diffère très peu de
de sorte que la différence
est bien de l’ordre des termes que nous négligeons.
Considérons une solution quelconque de cette équation (3).
Comme
et
diffèrent peu de
et
et
de
les
termes tout connus de
et
![{\displaystyle x_{2}^{(2)}\psi _{1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09ce009869f676c399d3ff7f59b9faa15ca166c)
différeront peu de ceux de
et
![{\displaystyle x_{2}^{(2)}\psi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0b514f57f7be0d1f8f443bced8b273a8e14972)
qui sont nuls ; ils seront donc très petits ; donc, dans la solution
envisagée de l’équation (3), les termes séculaires seront très petits
et nous pourrons les négliger ; j’appellerai alors
non pas la
solution de l’équation (3) elle-même, mais ce que devient cette
solution quand on en a retranché ces termes séculaires.
Soit alors
![{\displaystyle \psi _{2}=\beta _{2}\xi _{2}+\gamma _{3}\xi _{2}\cos 2t+\alpha \varphi (\xi _{2},t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb281fba55a136e9d19980fed473370d982e59c7)
Nous déterminerons β₂ et γ₃ de telle façon que les termes tout
connus de
et
![{\displaystyle x_{2}^{(2)}\psi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad88edec8ba7b57ae36a44e3aeb84277de4434ab)
soient nuls.
Formons maintenant l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{3})\cos 2t\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599c8121080a95cf5001b86ca2d1e00f4a516a32)
Soient
et
deux solutions de cette équation et
la valeur
correspondante de
Soit
ce que devient
quand on y remplace
par
c’est-à-dire
que
est déduit de
comme
de
Soit
ce que
devient
quand on y remplace
par
Envisageons l’équation
(4)
|
|
|
et soit
ce que devient une des solutions de cette équation quand
on en retranche les termes séculaires, de telle sorte que
se
déduise d’une solution de (4) par la même loi que
d’une solution
de (3).
Il est aisé de voir en effet que ces termes séculaires sont du
même ordre que ceux que nous avons négligés dans cette troisième
approximation.
Ayant ainsi défini
on procéderait d’après la même règle aux
approximations suivantes.
Il me reste quelques observations à faire.
Pour former l’équation (3), nous avons remplacé plus haut
dans
et dans
le coefficient
par
c’est-à-dire que nous
avons remplacé
et
par
et
et de même aux approximations
suivantes.
Si nous ne l’avions pas fait, nous aurions introduit un beaucoup
plus grand nombre d’arguments qu’il n’est nécessaire, ce qui
aurait été un très grave inconvénient.
Mais en revanche il semble d’abord que nous aurions ainsi évité
complètement les termes séculaires ; en effet,
contiendrait des
termes d’argument
et
des termes d’argument
de sorte que les produits
ne contiendraient
plus de termes tous connus, mais seulement des
termes en
![{\displaystyle \cos(h_{1}-h_{2})t,\quad \sin(h_{1}-h_{2})t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cda43701008ddede97ccb077241029d9152ec5)
Mais ce serait là une illusion ; car, la différence
étant
très petite, ces termes sont à très longue période ; l’intégration
introduirait de très petits diviseurs et la convergence des approximations
deviendrait illusoire.
D’autre part, il semble que le succès de la méthode tient à la
circonstance suivante. À chaque approximation nous avons deux conditions à remplir, puisque nous devons annuler les termes tout
connus de
![{\displaystyle x_{1}^{(i+1)}\psi _{i}',x_{2}^{(i+1)}\psi _{i}'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6bcca2ee8a6b9910acb1c27bcf331aaa2b6737)
et nous disposons précisément de deux arbitraires
et ![{\displaystyle \gamma _{i+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdcb854762349f6d673e45f4b46c652aaf7a5068)
On pourrait être tenté de croire que c’est pour cela que
M. Gyldén a fait passer dans le premier membre le terme
![{\displaystyle q_{1}x\cos 2t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43ddb0e73386c11e6ac2b758442d21bf6a74023)
malgré la petitesse du coefficient
et qu’il a simplement voulu
avoir deux termes dans le premier membre afin de disposer de
deux coefficients indéterminés.
Ce serait là une erreur.
Les principes du Chapitre IX nous montrent en effet que, quand
même
et
seraient nuls, on pourrait poursuivre les approximations
sans introduire de termes séculaires ; nous aurions, il est
vrai, deux conditions à remplir, mais quand nous aurions disposé
du seul coefficient arbitraire qui nous reste de façon à satisfaire à
la première de ces conditions, la seconde, ainsi que nous l’avons
vu au no 127, serait remplie d’elle-même.
On le comprendra mieux d’ailleurs, quand j’aurai modifié la
méthode d’approximations successives du présent numéro de
façon à lui donner la forme suivante.
192.Soit
la valeur de
obtenue dans la
ième approximation
par la méthode du numéro précédent ; ce sera une somme de
termes dépendant du sinus ou du cosinus d’angles tels que le
suivant
![{\displaystyle \varphi =(m_{1}h_{1}+2m_{2}+m_{3}\lambda _{3}+m_{4}\lambda _{4}+\ldots +m_{n}\lambda _{n})t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acacbf0868099b552843c3bd6e2b357caad6329)
sont des entiers ;
est la
ième valeur approchée
du nombre
sont les arguments des divers termes
de ![{\displaystyle \varphi (x,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe837a12a6d55830e5d02fb330caebc96d32a53)
Posons
il viendra
![{\displaystyle \varphi =m_{1}w_{i}+(2m_{2}+m_{3}\lambda _{3}+\ldots +m_{n}\lambda _{n})t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5629995cc50e2160c5f97e9491b7279740a3a339)
Alors
pourra être considérée comme une fonction de deux
variables
et
de plus, cette fonction sera développable suivant les puissances du petit paramètre
qui entre dans le second
membre de (1) ; de même,
sera développable suivant les puissances
de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Ainsi le problème dont nous nous sommes occupés au numéro
précédent peut s’énoncer comme il suit. Nous avons cherché à
satisfaire formellement à l’équation (1) en y remplaçant
par
une série développable suivant les puissances de
et suivant les
cosinus et les sinus des multiples de
![{\displaystyle w,\quad 2t,\quad \lambda _{3}t,\quad \lambda _{4}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc093224c04d083b0076944eb5512de03dfd6fc9)
La variable auxiliaire
doit elle-même être égale à
le nombre
étant développable suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
On peut donner la solution de ce problème sous une forme plus
satisfaisante pour l’esprit en dirigeant les approximations comme
je vais le faire.
Si nous mettons en évidence ce fait que
dépend de
de deux
manières, d’abord directement, puis parce que
est aussi fonction
de
et
fonction de
l’équation (1) s’écrira
(5)
|
|
|
Comme
doit être développé suivant les puissances de
nous
écrirons
(6)
|
|
|
et de même pour ![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
(7)
|
|
|
(
n’a donc plus le même sens que dans le numéro précédent).
Substituons les développements (6) et (7) dans l’équation aux
dérivées partielles (5). Les deux membres de cette équation sont
alors développés suivant les puissances de
Égalons dans les deux
membres de (5) les termes indépendants de
puis les coefficients
de
puis ceux de
nous obtiendrons une série d’équations
que j’appellerai
de telle façon que l’équation
s’obtienne en égalant les coefficients de
L’équation
devra servir à déterminer
et
l’équation
à déterminer
et
et enfin l’équation
à déterminer
et
Pour écrire plus facilement nos équations, nous conviendrons,
comme dans le Chapitre XV, de représenter par
toute fonction
connue.
Alors
s’écrit
![{\displaystyle h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{0}}{dt^{2}}}+x_{0}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a8c2547325cbcee0bce62510b49fc1cad78bdd)
De même,
s’écrit (en se souvenant que
et
sont supposés
avoir été préalablement déterminés à l’aide de
)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2&h_{0}h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+x_{1}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1308e72dd4529b7f13431899712387c6afe0f0b2)
et, en général,
s’écrira
![{\displaystyle {\begin{aligned}2&h_{0}h_{i}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{i}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+x_{i}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7c8d95dc04458312a14396ec8c4bff01a9a14)
L’équation
est facile à intégrer ; elle se ramène en effet à
l’équation (1) du no 190 qui a fait l’objet du Chapitre précédent.
Nous aurons une intégrale en faisant
![{\displaystyle x_{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(w+2nt),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99838671956facef7d0f64a4ad2a4591cd086786)
les coefficients
étant les mêmes que dans le no 178 et
étant égal au nombre que nous avons appelé
dans le Chapitre XVII.
Nous en aurons une encore en faisant
![{\displaystyle x_{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(w+2nt).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c829870466593379cbbca047ccb9ba480fce0768)
Si donc nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(w+2nt),&\eta &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(w+2nt)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cfd9542d4cfad2def9efc33ed9e6005ee45b7d)
et si
et si
sont des constantes arbitraires, nous aurons encore une intégrale en faisant
![{\displaystyle x_{0}=\beta \xi +\gamma \eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2378a91d215327ac7880621365e9fc60e357586)
C’est la seule d’ailleurs qui soit périodique en
et en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Passons à l’équation
; si
était connu, on pourrait l’écrire
(8)
|
|
|
Comment intégrerions-nous alors l’équation (8) ?
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi '&=h_{0}\,{\frac {d\xi }{dw}}+{\frac {d\xi }{dt}}=-{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h_{0}+2n)\sin(w+2nt),\\[0.75ex]\eta '&=h_{0}\,{\frac {d\eta }{dw}}+{\frac {d\eta }{dt}}=+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h_{0}+2n)\sin(w+2nt).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06aec86f59273db59ec8f9ff3f5f41f0348a8b51)
Le déterminant
sera une constante que nous pourrons
toujours supposer égale à 1, puisque les rapports des coefficients
sont seuls déterminés et que l’on peut choisir arbitrairement ![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f1e0455adc35f58bae6e8ce49bcb393e1c2ea6)
Appliquons maintenant la méthode de la variation des constantes.
Si nous désignons par
et
non plus deux constantes,
mais deux fonctions de
et de
nous pourrons définir ces deux
fonctions par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=\beta \xi &+\gamma \eta ,\\[0.75ex]h_{0}\,{\frac {dx_{1}}{dw}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\beta \xi '+\gamma \eta '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d147d451a3115f2467098ee03e55e450fad360)
Si nous posons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta '&=h_{0}\,{\frac {d\beta }{dw}}+{\frac {d\beta }{dt}},\\[0.75ex]\gamma '&=h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba9b297551684f5e1722cf2b1a39dd23fdfec12)
l’équation (8) pourra alors être remplacée par les deux suivantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\beta '\xi \,&{}+{}&\gamma '\eta \,&=0\\\beta '\xi '&{}+{}&\gamma '\eta '&=\Phi ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6883cbdf799db7034dfd563d370b3d657ff759b)
d’où
(9)
|
|
|
Ces équations (9) sont faciles à intégrer.
Prenons, par exemple, la deuxième de ces équations (9) ;
sera développable en une série de la forme
(10)
|
|
|
les
et les
sont des constantes,
est un entier ;
est une
combinaison linéaire à coefficients entiers de
et des
j’ai mis
en évidence le terme tout connu ![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8094cef709e1302f623cbba5562943ff504dc1e7)
L’équation
![{\displaystyle h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}}=\Phi \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560e3072f6dfcdfb2ce6b37418a1a2e57ad0a6b1)
nous donne alors
![{\displaystyle \gamma =\mathrm {B} _{0}t+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {\mathrm {B} \sin(mw+\mu t+k)}{mh_{0}+\mu }}+\psi (w-h_{0}t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caaf24ad50890ed3c128b01ecbfe100bbe8f2d7)
étant une fonction arbitraire de ![{\displaystyle w-h_{0}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3ff1b97a827b182d76359e7f9f7e5275e66cbf)
Si nous voulons que
soit développable en série trigonométrique,
de même forme que la série (10), il faut :
1o Que cette fonction
soit nulle (car je ne suppose pas que
l’on ait de relation de la forme
). Nous prendrons
donc
2o Que
soit nul.
Pour que nous puissions résoudre le problème que nous nous
sommes proposé, il faut donc remplir deux conditions :
Le terme tout connu de
de même que celui de
devra
être nul.
Nous choisirons
de façon à satisfaire à l’une de ces conditions
et l’autre devra être remplie d’elle-même, à moins que le problème
proposé ne soit impossible.
On se servirait de même de l’équation
pour déterminer
et
pour que
conserve la forme trigonométrique, il faut deux
conditions ; on satisfera à l’une en choisissant convenablement
et la seconde devra être remplie d’elle-même.
Ainsi :
Ou bien le problème proposé est impossible ;
Ou bien nos conditions doivent être remplies d’elles-mêmes.
193.Pour démontrer que ces conditions sont effectivement
remplies d’elles-mêmes, il me reste à établir la possibilité du problème.
C’est ainsi que la méthode du no 127 n’aurait pas été légitime
si je n’avais démontré préalablement au no 125 la possibilité
du développement.
Considérons un système d’équations canoniques
(1)
|
|
|
Je suppose que
est développable suivant les puissances d’un
paramètre
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6debfd6db6c32c6000d8d2be2dd05cc4f170eea0)
mais je ne suppose plus, comme au no 125, que
soit indépendant
des ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
Je suppose que
soit périodique de période
par rapport
aux
Je suppose, enfin, que l’on ait su intégrer les équations
(2)
|
|
|
et que la solution satisfasse aux conditions suivantes :
1o Les variables
et
seront des fonctions de
constantes
d’intégration
![{\displaystyle x_{1}',\quad x_{2}',\quad \ldots ,\quad x_{n}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0aecbc6384c4f8e31d99af5fb953f7f7374b27f)
et de
arguments
![{\displaystyle y_{1}',\quad y_{2}',\quad \ldots ,\quad y_{n}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5cf22d734aeb318e2bc45f4d85c58256fc6bba)
2o Ces
arguments seront eux-mêmes des fonctions du temps,
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle y_{i}'=\lambda _{i}t+\varpi _{i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5371886cbf08b3f25741b8c787c9142acec6ae22)
les
seront des constantes qui dépendront des
premières constantes
d’intégration
les
seront
nouvelles constantes d’intégration.
3o Les
et les
seront des fonctions périodiques des
,
de période
4o L’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}-{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78f0e0349c0de8f676f3cc363a7ede9a3075cd0)
sera une différentielle exacte.
On aura évidemment
(3)
|
|
|
c’est-à-dire que
ne dépendra que des constantes d’intégration ![{\displaystyle x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0431991b3251ca808bb14e43a221a94c47586d7e)
On se rappelle le théorème du no 4, qui pourrait d’ailleurs
s’énoncer ainsi.
Quand on fait un changement de variables, en passant d’un
système de variables conjuguées
à un autre système de
variables conjuguées
la condition pour que la forme canonique
ne soit pas altérée, c’est que l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'-{\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f7d6f2794d8ddd76d41bfc107f774f8d20c269)
soit une différentielle exacte.
Il en résulte que, si dans le cas qui nous occupe, nous prenons
pour variables nouvelles
et
les équations (1) conserveront
leur forme canonique et deviendront
(5)
|
|
|
Il est évident :
1o Que
sera périodique par rapport aux
2o Que
ne dépendra que des
à cause de l’équation (3).
Les équations (5) satisfont donc aux conditions des nos 125 et 127
et il en résulte qu’on pourra y satisfaire formellement de la
manière suivante :
Les
et les
seront développables suivant les puissances de
sous la forme
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x_{i}'&=x_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}'&=y_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,y_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9374880537446c0181c69da79c7ab2d3dfa05892)
Les
et les
seront des fonctions de
constantes d’intégrations
et de
arguments
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680a79bac02a65a0831ba663ca9433a8cc90c21b)
les
étant des constantes développables suivant les puissances
de
et les
des constantes arbitraires.
Les
et les
seront périodiques par rapport aux
à
l’exception de
qui se réduira à
j’ajoute que
est une
constante.
Nous n’avons plus qu’à substituer ces valeurs de
et
dans les
équations qui donnent les variables anciennes en fonctions de ces
variables nouvelles
et
et nous verrons ainsi qu’on peut satisfaire
formellement aux équations (5) de la façon suivante :
Les
et les
seront développables suivant les puissances de
sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu x_{i}^{1}+\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}+\mu y_{i}^{1}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7755f5f482474c3f95b4ca446255960382e155e4)
Les
et les
seront périodiques par rapport aux
à
l’exception de
mais
sera périodique ; il n’arrivera pas
toutefois que
se réduira à une constante et
à
194.Appliquons ces principes à l’équation (1) du no 191, que
j’écrirai ainsi en lui donnant un nouveau numéro
Cherchons à la ramener à la forme canonique.
(6)
|
|
|
Cherchons à la ramener à la forme canonique.
Soit
une fonction de
et de
telle que
![{\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {d\psi }{dx}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d38c0434ee2a328b3e4a4aeb671e9ff0d709f90)
sera, comme
développable suivant les puissances de
et suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
![{\displaystyle 2t,\quad \lambda _{3}t,\quad \lambda _{4}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187a4414e6a08d58749df115f807b026643bd3d9)
Posons pour plus de symétrie
![{\displaystyle 2=\lambda _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742da8ea7515cb66ef7cbb784d79101d5c6a47c2)
Posons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&={\frac {dx}{dt}},&y_{i}&=\lambda _{i}t&(i&=2,\,3,\,\ldots ,n),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf7b841b3131c4bd05b46ac9ccd01de39467f0e)
et supposons que dans
dans
et dans le terme
on ait
remplacé partout
par
de telle façon que les deux membres
de (6) deviennent des fonctions de
de
et des
périodiques de période
par rapport aux ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
Introduisons
variables auxiliaires
![{\displaystyle x_{2},\quad x_{3},\quad \ldots ,\quad x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19177fe3bbeefdca74ba25d1d1cfc0aa0ded8f4d)
et posons
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {y^{2}}{2}}-\alpha \psi +{\frac {x^{2}}{2}}(q^{2}-q_{1}\cos y_{2})+{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5e4e6385a0185dec7cd0a153d1f7f8e00882d1)
Nous pourrons remplacer l’équation (6) par le système d’équations
canoniques
(7)
|
|
|
Si nous posons ensuite (Cf. no 181)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&={\frac {1}{q}}{\sqrt {2x_{1}}}\cos y_{1},&y&=q{\sqrt {2x_{1}}}\sin y_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9d98b33fbcaa3a2f422b4d6f367dc011f63073)
l’expression
![{\displaystyle x\,dy-x_{1}\,dy_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a47e6c0c8ad1e624479dae2b59ecc2b6d0a1b3e)
sera une différentielle exacte ; la forme canonique des équations
ne sera donc pas altérée si nous prenons pour variables
![{\displaystyle (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e96aca4456b78b896a875a828ea8c8b5358a185)
sera d’ailleurs périodique par rapport à
et il viendra
![{\displaystyle q^{2}x^{2}+y^{2}=2qx_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9101dda5ecdd31a76161737cd5327046164f3ce3)
C’est le petit paramètre
qui joue ici le rôle de
et l’on voit
que
est développé suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Si nous faisons
se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=qx_{1}-{\frac {q_{1}}{q^{2}}}\,x_{1}\cos ^{2}y_{1}\cos y_{2}-{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5578ca0c58276dea3c3612e49b6d4487452e6a2b)
Nous pourrons trouver une fonction
dépendant de
constantes arbitraires
qui satisfasse à l’équation
(8)
|
|
|
C’est, avec quelques différences de notations, l’équation du no 181 ;
nous avons vu, dans ce no 181, qu’en regardant
comme un coefficient
très petit analogue au paramètre
du no 125, on peut
appliquer à cette équation les méthodes de ce no 125. La fonction
est une fonction de
et
seulement périodique en
et
(Cf. no 181) ; on n’a pour
s’en convaincre qu’à appliquer à l’équation (8) la méthode du
no 125 en faisant jouer à
le rôle de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Il résulte de là que l’on peut satisfaire aux équations
(9)
|
|
|
en faisant, comme au no 3,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&y_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ac2def6ef304de3d6df30f0d3eba1ebeb5c549)
et, d autre part,
![{\displaystyle y_{i}=\lambda _{i}t+\varpi _{i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0492a464b1b7937de710d9890fb6df8efd7dcb)
et
sont des constantes, la seconde arbitraire.
Nous aurons simplement
et
![{\displaystyle y_{i}=y_{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ac6cc32644d07e139233c06ad66854788d2f0f)
pour ![{\displaystyle i>2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3c70d586c63c199a12ddec49cd3c703fcb707a)
Nous aurons également
Quant à
il sera égal à
![{\displaystyle -ht+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7c670b05d77756eeb94cea0fc0ffb01c35e874)
de sorte que le coefficient
ne sera autre chose que le nombre
changé de signe.
Il est aisé de trouver la fonction
ou bien encore l’expression
des
et des
en fonctions des
on les trouvera sans peine,
en effet, quand on connaîtra le nombre
et les coefficients
déterminés au Chapitre précédent.
J’observerai seulement que, d’après la définition même des variables nouvelles
et
l’expression
![{\displaystyle d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbf1e811a5bb297b660b527179e4bbf4dedeafd)
et par conséquent la suivante
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,(x_{i}\,dy_{i}-x_{i}'\,dy_{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e72980d2442c5b07d21a5bc13b1880d0db7be0)
seront des différentielles exactes.
D’autre part, les
et les
seront des fonctions périodiques
des
Enfin il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=+hx_{1}'-\lambda ^{2}x_{2}'-\lambda ^{3}x_{3}'-\ldots -\lambda ^{n}x_{n}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ee4603ab7258f9d3b60e57f7388ff6a45e1e1d)
Si donc nous prenons pour variables nouvelles les
et les
la
forme canonique des équations (7) ne sera pas altérée et elles
pourront s’écrire
(10)
|
|
|
D’ailleurs
sera périodique par rapport aux
et, pour
ne dépendra que des
Nous serons donc dans les conditions des nos 125 et 127 et nous
pourrons conclure que les
et les
et par conséquent les
et
les
pourront s’exprimer formellement en fonctions de
de
constantes arbitraires et de
variables
de telle façon que les
fonctions
soient développables suivant les
puissances de
et périodiques par rapport aux
ils seront de la
forme
![{\displaystyle w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0d66294b47e6f04d5f4db61b2abda6fab8ee73)
les
étant de nouvelles constantes d’intégration, et les
des
constantes développables suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Il est d’ailleurs aisé de voir que, dans le cas particulier qui nous
occupe, on a pour
![{\displaystyle n_{k}=\lambda _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbd5f2d22c85303b4d03a0ef32a675ce5f63976)
Pour satisfaire non seulement aux équations (7), mais à l’équation (6) d’où nous les avons déduites, il faut prendre
![{\displaystyle w_{k}=\lambda _{k}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2a6ccc70b3f0de6d8c81e38190dbd70c92e306)
Il résulte de tout cela que le problème que nous nous sommes
proposé au numéro précédent est possible, et par conséquent que
les conditions dont nous avons parlé à la fin de ce numéro doivent
être remplies d’elles-mêmes.
195. Comme cela doit avoir lieu quel que soit
et même pour
et que ce fait n’a pu échapper à M. Gyldén, ce n’est pas
pour éviter les termes séculaires que cet astronome a fait passer
dans ce premier membre le terme en
bien que ce coefficient
soit très petit : c’est pour une autre raison dont je vais
chercher à rendre compte.
Si l’on se reporte au Chapitre précédent, on verra que les coefficients
deviennent infinis quand le nombre
est entier ; ils
sont donc très grands quand le nombre
est voisin d’un entier ou
encore, puisque
diffère peu de
quand le nombre
est voisin
d’un entier.
Si donc, écrivant l’équation du Chapitre précédent sous la forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=+q_{1}x\cos 2t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a669e48480de1f42a5e3e1f6906fd110cf5077)
on eût appliqué les procédés du no 127 en faisant jouer à
le
rôle de
la convergence aurait été très lente dans le cas où
serait voisin d’un entier.
Considérons maintenant l’équation
(1)
|
|
|
Soit
ou
![{\displaystyle \mathrm {A} \,x^{m}\sin \lambda t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f189645f1046e4ddb4a0440f1947f3f2207f2e2d)
un terme quelconque de
sera un entier positif ou nul.
Si
ce terme sera indépendant de
et pourra rester sans
inconvénient dans le second membre ; si
le terme contiendra
en facteur
qui sera généralement très petit et ne pourra avoir
beaucoup d’influence.
Reste le cas où
D’après ce que nous venons de voir, on peut appliquer les procédés
du no 127 à l’équation
(2)
|
|
|
et, si l’on fait jouer à
le rôle de
la convergence sera lente ou
rapide suivant que
sera ou ne sera pas voisin d’un entier. Elle
sera lente surtout si
est voisin de 1 ; et, en effet, d’après ce
que nous avons vu au no 179, l’expression de
contient en
dénominateur ![{\displaystyle q^{2}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe02df7cb5db6f760b47c63546d0c6e18e16692)
Il en résulte que la fonction
développée comme dans ce
no 179 suivant les puissances de
contient des termes en
![{\displaystyle {\frac {q_{1}}{q^{2}-1}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121b749365bd15752238c5fdb16d74dda0255d2d)
La fonction
qui satisfait à l’équation
(3)
|
|
|
est donc très grande si
est voisin de 1. Or l’équation (2)
se ramène à l’équation (3) en y changeant
en
en
en ![{\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}q_{1}}{4}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64be0ab773154eaebc019b7f6c49c817e11e51d3)
L’intégrale de (2) pourra donc devenir grande et sa convergence
sera lente si
est voisin de 1, ainsi que je viens de l’énoncer.
Si donc, dans le second membre de (1), il y a un terme tel que
y entre en facteur à la première puissance, et si son argument
est tel que
est voisin de 1, on augmentera beaucoup la rapidité
de la convergence en faisant passer ce terme dans le premier
membre.
Voyons si ce cas se présente dans l’application de la méthode
de M. Gyldén au Problème des trois Corps.
Reprenons l’équation (6 bis) du no 169
(6 bis)
|
|
|
Les termes de
sont de l’ordre de grandeur des forces perturbatrices ;
ils dépendent de
et
nous pouvons
supposer qu’on en ait fait disparaître
et
par les procédés
des nos 170 à 172 ou par des procédés analogues, qu’on ait remplacé
en fonction de
Alors
ne dépendra plus que de
et de
et ses termes seront
de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \rho ^{m}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\lambda \,v_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0295da81f509454ff0cef62ef85c3c4ba40e40f)
Quant à
il sera égal à
![{\displaystyle m+\mu \,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e962c1480b6d03ad1819928f0d3e03bdbd264894)
et
étant des entiers et
le rapport des moyens mouvements
des deux planètes.
Distinguons dans
les deux termes suivants
et
![{\displaystyle \beta \rho \cos 2v_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd765dc60ad06d3447d92c7d7c3f82c7f81bce8)
et posons
![{\displaystyle \mathrm {B} =\alpha \rho +\beta \rho \cos 2v_{0}+\mathrm {B} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4810bb3fdb1c6f5b1c89b5ec29266334c350ef)
Nous pourrons faire passer
dans le premier membre et écrire
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1-\alpha )=\mathrm {B} '+\beta \rho \cos 2v_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d88e47be8abf37f6a747c5e8ec998707450c3db)
Cette équation est de même forme que l’équation (1). Pour
savoir s’il convient de faire passer dans le premier membre le
terme
il faut voir si la quantité qui correspond à
est voisine de 1. Or cette quantité est égale à
![{\displaystyle {\sqrt {1-\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7fd1619f7a26f09991f709fedf76d5b00d5e9bd)
et
est de l’ordre de la fonction perturbatrice. On augmentera
donc beaucoup la rapidité de la convergence en faisant passer ce
terme dans le premier membre et il n’y a pas les mêmes raisons
pour y faire passer les autres termes de ![{\displaystyle \mathrm {B} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af21701b025867fa3c20c96c4c98f4d6230129f6)
Mais voyons maintenant la chose d’un peu plus près. La difficulté
provient de ce que le coefficient de
est voisin de 1 ; ou bien
encore de ce que ce coefficient de
se réduit à 1 quand les masses
perturbatrices sont nulles.
Quand les masses perturbatrices sont nulles en effet, le mouvement
devient képlérien et les équations du mouvement se
réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&=v_{0},&{\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84818b525da544770180f262c7e3cbdfbbf6942e)
Si les masses perturbatrices restant nulles, les deux planètes
eussent été attirées par un astre central, mais suivant toute autre
loi que celle de Newton, ces équations seraient devenues
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&=v_{0},&{\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+\varphi (u)&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c6ae169a79791a317a9ace761dcf493c9bc2cf)
étant une fonction de
dépendant de la loi d’attraction.
Posons ensuite, comme au no 169,
![{\displaystyle u=u_{1}+\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2f1429d955a31f7f493b4f842a1d145ce97af6)
étant une fonction connue de
peu différente de
et négligeons
les puissances supérieures de
l’équation deviendra
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dv_{0}^{2}}}+\varphi '(u_{1})\rho =\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7be2a8adecbe9c8bf53800e42c6a385644dd568)
étant la dérivée de
et
une fonction connue de
ainsi
que ![{\displaystyle \varphi '(u_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e7f86b3a11dcc9b8df6955083310b5b2aa93a9)
Si, par exemple,
était une constante, ou si
était une
fonction linéaire,
est une constante généralement différente
de 1, de sorte que la difficulté que nous venons de rencontrer ne
se présenterait pas.
Ainsi la difficulté qui nous a obligé à faire passer le terme en
dans le premier membre n’existe pas avec toute autre loi que celle
de Newton.
Cela tient à ce que, si l’on adopte la loi de Newton et si les
masses perturbatrices sont toujours supposées nulles, les périhélies
sont fixes, ce qui n’est plus vrai avec toute autre loi d’attraction.
C’est ce que j’ai déjà fait observer au début du Chapitre XI.
Ainsi la difficulté dont M. Gyldén se tire en faisant passer le
terme en
dans le premier membre est précisément la même dont
nous avons triomphé plus haut par les procédés du Chapitre XI.
Équation de la variation.
196.L’équation (5 a) du no 169, dite équation de la variation,
s’écrit
(1)
|
|
|
étant une constante et
une suite de termes très petits que
nous supposerons dépendre seulement de ![{\displaystyle \chi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd732617efd911a348c98aed09f1c3494f01eb8a)
Posons alors
![{\displaystyle mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k=\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cdfc7fb55831e003ea02ccff32aa39b02742d4)
l’équation deviendra
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {A} }{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a26a43ba76e32bf95ea3207afd196fd7dfa282)
étant une fonction très petite de
et de
comme
est très
petit, je puis écrire
![{\displaystyle \mathrm {A} =\alpha \,m\,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617ae441130636e37ea511e6d29a47f179d400be)
étant un coefficient très petit, et me proposer de développer
suivant les puissances croissantes de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
On a donc
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =\alpha \,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422c2da7a87417af64d9721f9babf4ff9a5abbdd)
Sous cette forme on voit que l’équation (1) rentre comme cas
particulier dans la suivante
(2)
|
|
|
et
étant des fonctions quelconques et
un coefficient très petit.
Il en est de même de l’équation (6 c) du no 169 qui peut s’écrire
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1+\alpha )-\mathrm {C} \rho ^{3}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6daabdae00187c54942ed6a2831550d93b4076c1)
étant une somme de termes très petits, que l’on peut transformer
par les procédés des nos 170 à 172, de sorte que nous pouvons supposer
qu’ils ne contiennent que
et ![{\displaystyle v_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ea1b2de969559c097b8c50fea2bb10bfd11668)
C’est donc cette équation (2) que nous allons étudier.
Une remarque est nécessaire avant d’aller plus loin.
Considérons l’équation (1) du no 191 ; nous nous sommes efforcé
de développer la solution de cette équation suivant les puissances
de
dans le Chapitre XVI nous n’avions pas posé le problème
tout à fait de la même manière ; nous avions dit qu’il fallait dans
le second membre de cette équation remplacer
d’abord par 0,
puis par sa première valeur approchée et ainsi de suite.
Mais il est aisé de voir que ces deux modes d’approximation
reviennent au même ; si en effet nous faisons dans cette équation
elle se réduit à
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f3f17ee665dfd1addec5f296d69c216f9c1e3d)
et elle admet alors pour solution particulière
ce qui est
bien la valeur de
que nous avions admise en première approximation ;
de même avec l’équation (6 c) du no 169 que l’on peut
écrire
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\mathrm {A} \,\rho -\mathrm {C} \,\rho ^{3}=\alpha f(\rho ,v_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2385ef9a94c924434cdf4eb1c6eb4e8e8bead114)
Si l’on fait
l’équation admet comme solution particulière
or au Chapitre XVI nous avons précisément admis comme
première approximation
Les deux modes d’approximation sont donc encore équivalents.
Il n’en est plus tout à fait de même en ce qui concerne l’équation (1)
du présent numéro que nous avons écrite
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =\alpha \,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422c2da7a87417af64d9721f9babf4ff9a5abbdd)
Si l’on fait
elle se réduit à
(3)
|
|
|
et elle admet évidemment comme solution particulière
Mais ce que nous avions admis au Chapitre XVI, comme première
approximation, ce n’était pas
![{\displaystyle \mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d781e3dfb5560765464cdd08522d56007d28972c)
mais
![{\displaystyle \chi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f96b19bfe61cc36197c00630fb9e23dfba6980)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {V} =mv_{0}+n\mu v_{0}+k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f19f554c31810141aa92ce81220757dfb47957)
ce qui n’est évidemment pas une solution de l’équation (3).
Les deux modes d’approximation ne sont pas absolument équivalents ;
mais, à cause de la petitesse du coefficient
on peut
prendre comme première approximation une solution de l’équation (3)
au lieu de faire
sans que la rapidité de la convergence
s’en trouve sensiblement ralentie. C’est d’ailleurs ainsi qu’a
opéré M. Gyldén.
Reprenons donc l’équation
(2)
|
.
|
|
Comme au no 191, je supposerai que
soit une fonction
périodique de période
par rapport aux arguments
![{\displaystyle \lambda _{2}t,\quad \lambda _{3}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04859182ca2e0ce16f71dbab9d91d01917510009)
et je poserai
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&={\frac {dx}{dt}},&y_{i}&=\lambda _{i}t,&\varphi ={\frac {d\psi }{dx}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9d1537ddb2b0e77da2f0f312dbeb4a8013de42)
Je poserai de même
![{\displaystyle f={\frac {d\theta }{dx}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e165049dbcb34db296db033910d506ad258b3d55)
Si alors je pose
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {y^{2}}{2}}+\theta -\alpha \,\psi -{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ee9e55e6a03d1f024838c1cf6cb277de66bcc0)
l’équation (2) peut être remplacée par les équations canoniques
(4)
|
|
|
Nous nous proposons d’intégrer formellement ces équations sous
la forme suivante ; nos variables devront être développées suivant
les puissances de
et les coefficients seront des fonctions périodiques
de période
de
paramètres
![{\displaystyle w,\quad w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9329c8e2f7f6aef4ab7f3de2456dc198d6ef34)
avec
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&=ht+\varpi _{1},&w_{i}&=h_{i}t+\varpi _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd1cedd1640343fbb81e133f4d1f70ba3567635)
Il faudra d’ailleurs évidemment, comme au no 194, faire
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{i}&=\lambda _{i},&\varpi _{i}&=0,&y_{i}&=w_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db827c354aeab181d3f9b7c07ac410cdc5287e4)
Quant au nombre
il sera développable suivant les puissances
de
Les résultats du no 193 peuvent se résumer comme il suit. Si
un pareil problème est possible pour
il sera encore possible
quand on ne supposera plus
nul.
Or, si nous faisons
notre équation se réduit à
(5)
|
|
|
Elle s’intègre très aisément par quadratures, et l’on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\omega (w),&y&=h\,\omega '(w),&w&=ht+\varpi _{1},\\[0.75ex]&&y_{i}&=w_{i}=\lambda _{i}t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3e9b4fd32e3ea6bed0441e2457ceff3c8ddff8)
et
sont des fonctions de
et d’une constante d’intégration
elles sont périodiques de période
par rapport à
le nombre
est une fonction de
et
est une nouvelle constante d’intégration.
Le problème que nous nous sommes proposé, étant possible
pour
le sera encore pour
Il reste à le résoudre effectivement.
Pour cela je récris l’équation (2), en mettant en évidence ce fait
que
dépend de
d’abord directement et en outre par l’intermédiaire
de
Je suis ainsi une méthode tout à fait pareille à
celle du no 192. Je trouve ainsi
(6)
|
|
|
Je substitue à la place de
et de
leurs développements suivant
les puissances de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{2}+\ldots ,\\h&=h_{0}+\alpha h_{1}+\alpha ^{2}h_{2}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f9a5edadedf33bd149ef90772a97478c96cef0)
et j’égale les coefficients des puissances semblables de
J’obtiens
ainsi les équations suivantes
(7)
|
|
|
(8)
|
|
|
(9)
|
|
|
Je désigne par
toute fonction connue de
et de
le second
membre de (8) est connu parce que
et
ont été déterminés à
l’aide de l’équation (7) ; le second membre de (9) est connu parce
que
ont été déterminés à l’aide de (7) et de (8),
et ainsi de suite.
L’équation (7) se ramène à l’équation (5) ; on aura donc
![{\displaystyle x_{0}=\omega (w,\beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915fcc35630cade1916ed42f33a26fb5228af708)
étant une fonction de
et de la constante
périodique par
rapport à ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Considérons maintenant l’équation (8) ; si
était connu, elle
s’écrirait
(8 bis)
|
|
|
C’est là une équation linéaire à second membre. Nous sommes
donc conduit à envisager l’équation sans second membre
![{\displaystyle h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}z}{dw^{2}}}++2h_{0}\,{\frac {d^{2}z}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+f'(x_{0})z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2c6e5054f405985d03ab220a684809f65f58d9)
Cette équation admet évidemment comme solution particulière
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=z_{1}={\frac {d\omega }{d\beta }},&z&=z_{2}={\frac {d\omega }{dw}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3729c86dda8c78f908902aef56c7a71cc78162)
Posons, comme au no 192,
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}'&=h_{0}\,{\frac {dz_{1}}{dw}}+{\frac {dz_{1}}{dt}},&z_{2}'&=h_{0}\,{\frac {dz_{2}}{dw}}+{\frac {dz_{2}}{dt}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c62d0c4551477745dd472b3f4dc188683ef308)
Le déterminant
sera une constante que j’appellerai
Observons en passant que j’ai écrit les équations comme
si
dépendaient à la fois de
et de
tandis que
ces fonctions ne dépendent en réalité que de
et que par conséquent
beaucoup des termes de ces équations sont nuls.
Soient alors
et
deux quantités définies par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\gamma z_{1}+\delta z_{2},\\h_{0}\,{\frac {dx_{1}}{dw}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\gamma z_{1}'+\delta z_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a0c9f52fc1cb47a67470b394eec7c7b8418132)
Posons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma '&=h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}},\\\delta '&=h_{0}\,{\frac {d\delta }{dw}}+{\frac {d\delta }{dt}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d174cec832e1606137f2fd708cba8411ede0a86f)
L’équation (8 bis) pourra alors être remplacée par les deux
suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma 'z_{1}+\delta 'z_{2}&=0,\\\gamma 'z_{1}'+\delta 'z_{2}'&=\Phi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b443cc9ca6891e06f8c78e9520a2f906ebc9bd77)
d’où
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\gamma '&=&{}-{}&\Phi \,z_{2},\\\delta '&=&&\Phi \,z_{1}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dad31ab1e95258ddfbac56f4abac22285924c30)
Ces équations pourront s’intégrer par le même procédé que les
équations analogues du no 192 et l’on ne rencontrera pas de difficulté, pourvu que les valeurs moyennes de
et
soient
nulles.
On disposera alors de
de façon à annuler l’une de ces valeurs
moyennes et l’autre s’annulera d’elle-même, puisque nous savons
d’avance que le problème est possible.
L’équation (9) et les équations suivantes se traiteraient de la
même manière.
Dans certains cas particuliers, l’intégration de l’équation (5) se
ramène aux fonctions elliptiques ; c’est ce qui arrive par exemple
quand
est un polynôme du troisième degré en
ou
quand
se réduit à un facteur constant multiplié par
c’est-à-dire dans le cas des équations (6 c) et (5 a) du no 169.
Résumé.
197.Dans les pages qui précèdent j’ai plutôt cherché à faire
comprendre l’esprit des méthodes de M. Gyldén qu’à respecter
scrupuleusement son mode d’exposition. Il me reste à dire ce qu’à
mon sens on doit penser de ces méthodes.
Toutes les fois que le rapport des moyens mouvements n’est pas
très près d’être commensurable, les méthodes de M. Newcomb,
que j’ai exposées dans les Chapitres IX à XV, paraîtront, surtout
avec les perfectionnements que j’y ai introduits, plus simples et
plus satisfaisantes pour l’esprit que celles de M. Gyldén.
Cependant l’étude de ces dernières n’en conserve pas moins
toute son utilité. En effet, il y a bien des cas où le rapport des
moyens mouvements est trop près d’être commensurable pour que
les méthodes des Chapitres IX à XV soient encore applicables ;
M. Gyldén a employé pour les traiter des procédés analogues à
ceux qui lui avaient réussi dans des cas plus simples et il a obtenu
le même succès.
Il importe donc de se pénétrer de l’esprit de ces méthodes,
soit qu’on veuille les employer directement, soit qu’on veuille
seulement s’en servir comme de moyens de découverte susceptibles
de nous conduire à l’invention de théories nouvelles, qui
pourront être plus satisfaisantes pour une raison ou pour une
autre.
Cet esprit, d’ailleurs, peut se résumer d’un mot. Si un terme
quelconque devient très grand et rend la convergence lente, on
en tient compte dès la première approximation.
Généralisation des solutions périodiques.
198.A la théorie des équations que nous avons étudiées dans
ce Chapitre se rattache une proposition dont M. Gyldén, sans
l’énoncer expressément, a fait quelquefois usage. Je ne puis la
passer sous silence.
Considérons l’équation suivante
(1)
|
|
|
est une constante quelconque ;
est un paramètre très petit ;
est une fonction de
et
développable suivant les puissances
de
et de
et suivant les sinus et les cosinus des multiples
de
arguments
![{\displaystyle \lambda _{1}t,\quad \lambda _{2}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e168d671604eec444c760359672cc644d627c25)
S’il n’y avait qu’un seul argument
la fonction
serait une
fonction périodique de
de période
L’équation (1) admettrait
alors une solution périodique de même période. Et en effet,
pour
cette équation, quelle que soit la constante
admettra évidemment une solution périodique qui sera
![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Donc, en vertu des principes du Chapitre III, elle en admettra
encore une pour les petites valeurs de
Ce résultat peut-il se généraliser pour le cas où
contient
arguments différents
![{\displaystyle \lambda _{1}t,\quad \lambda _{2}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t\,?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41934af6c34bfcdde985ce10b8afc5939a33d5fb)
L’équation (1) admet-elle alors une solution de la forme suivante
(2)
|
|
|
où
sont développables suivant les sinus et le
cosinus des multiples des ![{\displaystyle \lambda _{i}t\,?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d01b311262213e3dd61102872253cd5b1619066)
Pour nous en rendre compte, nous allons employer une méthode
qui rappellera celle du no 45 et qui, quoique plus générale, sera
plus simple, parce que, dans ce no 45, j’avais introduit à dessein, en
supposant
une difficulté qui ne se présente pas dans le cas
général.
Supposons le problème résolu et substituons, à la place de
dans
le développement (2) ; après cette substitution,
sera développable
suivant les puissances de
d’abord parce que cette fonction
était déjà développable suivant les puissances de cette variable
avant la substitution et, ensuite, parce que la valeur de
donnée
par l’équation (2) est elle-même développée suivant les puissances
de
Nous aurons donc
![{\displaystyle f=\varphi _{0}+\mu \,\varphi _{1}+\mu ^{2}\varphi _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535585aa1eca3a8d86df892e0e649f52f348400f)
ne dépendra que de
de
et de
de
de
et de
et ainsi de suite.
L’équation (1) nous donnera alors, en égalant les coefficients des
diverses puissances de
(3)
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ce qui nous permettra de déterminer par récurrence les diverses
fonctions
![{\displaystyle x_{3},\,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f6d52716597111f3100b3c328ea74e0ee47573)
Les équations (3) sont de la forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}-\alpha x_{i}=\varphi _{i-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97d474823270acc13cb96947e47ca58241cc2a5)
Si
est développable suivant les sinus et cosinus des multiples
des
et s’écrit
![{\displaystyle \varphi _{i-1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos \left[(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})t+k\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006659a5f36ff5e4493caecd031518320d4ba222)
les
étant des entiers et
et
des constantes quelconques, nous
pourrons prendre
(4)
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et
sera de la forme voulue.
Il reste à reconnaître si le développement (2) est convergent.
C’est ce qui arrive toutes les fois que
est positif.
Supposons, en effet,
positif ; nous aurons alors
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}>{\frac {1}{\alpha +(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602fd80dba5d9abc21e472a9a36a966b0a618881)
Reprenons la notation du Chapitre II et introduisons une nouvelle
fonction de
de même forme que
et que nous appellerons
supposons qu’elle soit telle que
![{\displaystyle \varphi _{i-1}\ll \varphi _{i-1}'\quad \left(\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda _{1}t},\,e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots e^{\pm i\lambda _{n}t}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5256ae1e1dcb245d8e430fa201bfa04bc8c94cc0)
Définissons ensuite
par l’équation
![{\displaystyle \alpha x_{i}'=\varphi _{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed538294d2eef5047fc4a06ae251dea334d8f048)
et
par l’équation (4), nous aurons évidemment
![{\displaystyle x_{i}\ll x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1936478622ccb6120bc94bbd806c9460220ceaf1)
Soit alors une fonction
de même forme que
et telle que
![{\displaystyle f\ll f'\quad \left(\mathrm {arg} \,x,\,\mu ,\,e^{\pm i\lambda _{1}t},\,e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots e^{\pm i\lambda _{n}t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9362c9958b431047d8a1f03a19296ec769bf538f)
Envisageons l’équation (5) qui définira une nouvelle fonction
(5)
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On peut tirer de cette équation
en une série convergente
ordonnée suivant les puissances de
![{\displaystyle x'=x_{1}'\mu +x_{2}'\mu ^{2}+x_{3}'\mu ^{3}+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e518496675c4c011092f1b3d35042ed8101eaace)
les coefficients en sont ordonnés suivant les sinus et cosinus des
multiples des ![{\displaystyle \lambda _{i}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19526a777eaacbdc6dbbaa8069c43bb9424281a)
Si nous substituons ce développement à la place de
dans
il vient
![{\displaystyle f'=\varphi _{0}'+\mu \varphi _{1}'+\mu ^{2}\varphi _{2}'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b433f575e6e8a54be0bc351330f09ee90f0f184e)
dépendant seulement de
de
et de
de
de
et
de ![{\displaystyle x_{2}',\,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf1fd6ddf1b950bef8b8126bd379f7b80da3564)
Nous aurons d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\varphi _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},t)\ll \varphi _{k}'(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},t),\\\left(\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,e^{\pm i\lambda t}\right).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67585117ce275c2c495daf5ba5c2fdf389f0b415)
J’écris, pour abréger,
pour les
arguments
![{\displaystyle e^{\pm i\lambda _{n}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67367240216c3328b0be65358608cea8e3e29fbf)
L’équation (5) nous donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha x_{1}'&=\varphi _{0}',&\alpha x_{2}'&=\varphi _{1}',&&\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf29c602887babfee8fa341967bbdeeda5f3144)
et l’on trouvera successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}&\ll \varphi _{0}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{1}&\ll x_{1}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{1}(x_{1},t)&\ll \varphi _{1}'(x_{1},t)\quad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{1}(x_{1},t)&\ll \varphi _{1}'(x_{1}',t)\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{2}&\ll x_{2}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},t)&\ll \varphi _{2}'(x_{1},x_{2},t)\quad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},t)&\ll \varphi _{2}'(x_{1}',x_{2},t)\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{3}&\ll x_{3}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f620ae43d003a9e9207801bb14b2709e9f50235)
et enfin
![{\displaystyle x\ll x'\quad (\mathrm {arg} \,\mu ,e^{\pm i\lambda t}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9f04f86318b0cf8b0b6f1a2d508e06baac927c)
ce qui montre que le développement (2) est bien convergent.
Ainsi ce développement converge dans deux cas :
1o Quel que soit
quand il n’y a qu’un seul argument
2o Quel que soit le nombre des arguments, quand
est positif.