CHAPITRE XVIII.
CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
Équations à second membre.
190.Nous avons vu au no 177 que l’équation (6 b) du no 169
pouvait,
par un changement convenable de variables, être ramenée à la forme
(1)
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Dans cette expression, est une fonction connue de et cette
expression est une somme de termes de la forme
ou
Dans le Chapitre précédent, nous avons appris à intégrer l’équation
sans second membre, c’est-à-dire l’équation (1) où l’on a
fait et nous savons, d’autre part, que l’intégration d’une
équation linéaire à second membre peut toujours se ramener à
celle de l’équation privée de second membre.
La question est donc résolue ; nous avons même au no 184 envisagé
l’équation (1) en y faisant
et nous avons vu qu’on y pouvait satisfaire en y faisant
(2)
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et que les étaient définis par les relations (4) et (4 bis) du
no 184.
De même, si nous faisons
on satisfera à l’équation (1) en faisant
(2 bis )
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pourvu que les soient encore définis par les relations (4)
et (4 bis).
Il est clair alors que, si est une somme de termes de la
forme et on aura une solution particulière de
l’équation (1) qui sera une somme de termes de la forme
ou
et l’on obtiendra la solution générale en ajoutant à cette solution
particulière la solution générale de l’équation sans second membre.
Il y aurait exception dans le cas où l’un des coefficients
définis par les équations (4) et (4 bis) du no 184, serait infini ;
c’est ce qui arrive, comme il est aisé de le voir, si λ est égal
à étant un entier.
Dans ce cas, on peut toujours intégrer l’équation (1), mais le
temps sort des signes sinus et cosinus, de sorte que la solution ne
conserve pas sa forme purement trigonométrique.
Si l’on suppose, par exemple,
la solution générale sera de la forme
Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la solution
conserve sa forme trigonométrique, c’est qu’aucun des correspondant
aux divers termes de ne soit égal à
Si maintenant sans être rigoureusement égal à était
très voisin de l’un des sans être infini, deviendrait très
grand.
Cela n’aurait pas d’inconvénient si l’équation (1), c’est-à-dire
l’équation (6 b) du no 169, était rigoureusement exacte ; mais il n’en est pas ainsi : elle n’est qu’approchée, ainsi que nous l’avons
vu au Chapitre XVI, et, pour qu’elle soit suffisamment approchée,
Il faut que que nous appelons ici reste toujours très petit.
Si donc l’un des coefficients était très grand, ne resterait
pas très petit ; les termes négligés pourraient devenir assez grands
pour que la méthode d’approximation devînt illusoire.
On doit donc éviter qu’à aucun moment, dans la suite des
approximations, on ne voie apparaître dans le second membre
de (1) des termes dont l’argument soit très peu différent
de
Considérons d’une manière plus générale l’équation
(5)
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où et sont des fonctions de développables en séries
trigonométriques.
Soit ou un terme de soit ou
un terme de
Considérons l’équation sans second membre
Soient et deux solutions indépendantes de cette équation,
et leurs dérivées par rapport à on aura
étant une constante que nous pourrons toujours supposer égale à 1.
La solution générale de l’équation à second membre sera alors
(6)
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D’après le no 188,
et sont une somme de termes de la forme
étant une constante, qui est la même pour tous les termes, et étant une combinaison linéaire à coefficients entiers des coefficients
Quelle est maintenant la condition pour que l’expression (6)
conserve sa forme trigonométrique ? Il suffit que, et
supposés développés en séries trigonométriques, il n’y ait pas de
terme tout connu ;
Ou bien encore que le développement de ou de ne contienne
pas de terme ayant même argument que l’un des termes
de
Ou enfin que étant l’un quelconque des arguments des termes
de ne soit pas une combinaison linéaire des à coefficients
entiers.
Si, en particulier, la fonction est périodique de façon que
étant entier, le rapport ne devra pas être entier.
Si est une fonction périodique de deux arguments et
de telle façon que
et étant entiers, on ne devra pas avoir de relations de la forme
Ces conditions sont suffisantes, mais elles ne sont pas nécessaires ;
si, en effet, un terme de et un terme de ont même
argument, leur produit donnera dans le développement de
un terme tout connu. Nous obtiendrons donc ainsi autant de
termes tout connus dans le produit qu’il y a dans les deux
facteurs de couples de termes ayant même argument. Mais il peut
se faire que ces termes se détruisent mutuellement.
La condition nécessaire et suffisante est donc que le terme tout
connu de et celui de soient nuls.
Équation de l’évection.
191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration
par approximations successives de l’équation
(1)
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est un coefficient très petit, est une fonction connue
de et de dont les termes sont tous de la forme
est un entier, et sont des constantes quelconques.
Je vais écrire cette équation sous la forme
(2)
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et étant des constantes très petites dont je me réserve de déterminer
plus loin la valeur en la modifiant à chaque approximation.
Comme première approximation je ferai
J’obtiendrai ainsi une équation de même forme que l’équation (1)
du numéro précédent et elle me donnera une première valeur
approchée de que j’appellerai je désignerai par la valeur
correspondante du nombre
La fonction conservera sa forme trigonométrique et ne contiendra
pas de terme séculaire, parce qu’en général aucune des
différences ne sera entière.
Pour la seconde approximation il faut faire
Mais si l’on conservait à et à la valeur zéro, les développements
de et de contiendraient des termes tout connus et
le temps sortirait, d’après ce que nous avons vu plus haut, des
signes trigonométriques.
Il convient donc d’attribuer à et à de nouvelles valeurs
et que nous choisirons de telle sorte que l’intégrale générale de
l’équation
(2 bis)
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ne contienne pas de termes séculaires. Nous savons quelle est
la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi.
Soient et deux intégrales indépendantes de l’équation
Il faut que les développements de et de ne contienne
pas de terme tout connu. Il est clair que l’on peut toujours disposer
de et de pour qu’il en soit ainsi.
Cela posé, envisageons l’équation
Soient et deux intégrales de cette équation et la
valeur correspondante du nombre et seront alors
développés suivant les cosinus et les sinus de étant
un entier.
Observons maintenant que contient des termes de deux sortes.
Ceux de la première sorte dépendent des sinus et des cosinus de
ceux de la seconde sorte dépendent des sinus et des cosinus de
étant un des arguments dont dépend
Soit alors ce que devient quand on y remplace par
dans les termes de la première sorte ; et soit ce que devient
quand on y remplace par
Au lieu de l’équation
qu’il pourrait paraître naturel d’envisager, puisqu’elle s’obtient
en faisant dans les deux membres de (2)
et dans le second membre
au lieu de cette équation, dis-je, nous envisagerons la suivante
(3)
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En effet diffère très peu de de sorte que la différence
est bien de l’ordre des termes que nous négligeons.
Considérons une solution quelconque de cette équation (3).
Comme et diffèrent peu de et et de les
termes tout connus de
et
différeront peu de ceux de
et
qui sont nuls ; ils seront donc très petits ; donc, dans la solution
envisagée de l’équation (3), les termes séculaires seront très petits
et nous pourrons les négliger ; j’appellerai alors non pas la
solution de l’équation (3) elle-même, mais ce que devient cette
solution quand on en a retranché ces termes séculaires.
Soit alors
Nous déterminerons β₂ et γ₃ de telle façon que les termes tout
connus de
et
soient nuls.
Formons maintenant l’équation
Soient et deux solutions de cette équation et la valeur
correspondante de
Soit ce que devient quand on y remplace par c’est-à-dire
que est déduit de comme de Soit ce que
devient quand on y remplace par
Envisageons l’équation
(4)
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et soit ce que devient une des solutions de cette équation quand
on en retranche les termes séculaires, de telle sorte que se
déduise d’une solution de (4) par la même loi que d’une solution
de (3).
Il est aisé de voir en effet que ces termes séculaires sont du
même ordre que ceux que nous avons négligés dans cette troisième
approximation.
Ayant ainsi défini on procéderait d’après la même règle aux
approximations suivantes.
Il me reste quelques observations à faire.
Pour former l’équation (3), nous avons remplacé plus haut
dans et dans le coefficient par c’est-à-dire que nous
avons remplacé et par et et de même aux approximations
suivantes.
Si nous ne l’avions pas fait, nous aurions introduit un beaucoup
plus grand nombre d’arguments qu’il n’est nécessaire, ce qui
aurait été un très grave inconvénient.
Mais en revanche il semble d’abord que nous aurions ainsi évité
complètement les termes séculaires ; en effet, contiendrait des
termes d’argument et des termes d’argument
de sorte que les produits ne contiendraient
plus de termes tous connus, mais seulement des
termes en
Mais ce serait là une illusion ; car, la différence étant
très petite, ces termes sont à très longue période ; l’intégration
introduirait de très petits diviseurs et la convergence des approximations
deviendrait illusoire.
D’autre part, il semble que le succès de la méthode tient à la
circonstance suivante. À chaque approximation nous avons deux conditions à remplir, puisque nous devons annuler les termes tout
connus de
et nous disposons précisément de deux arbitraires et
On pourrait être tenté de croire que c’est pour cela que
M. Gyldén a fait passer dans le premier membre le terme
malgré la petitesse du coefficient et qu’il a simplement voulu
avoir deux termes dans le premier membre afin de disposer de
deux coefficients indéterminés.
Ce serait là une erreur.
Les principes du Chapitre IX nous montrent en effet que, quand
même et seraient nuls, on pourrait poursuivre les approximations
sans introduire de termes séculaires ; nous aurions, il est
vrai, deux conditions à remplir, mais quand nous aurions disposé
du seul coefficient arbitraire qui nous reste de façon à satisfaire à
la première de ces conditions, la seconde, ainsi que nous l’avons
vu au no 127, serait remplie d’elle-même.
On le comprendra mieux d’ailleurs, quand j’aurai modifié la
méthode d’approximations successives du présent numéro de
façon à lui donner la forme suivante.
192.Soit la valeur de obtenue dans la ième approximation
par la méthode du numéro précédent ; ce sera une somme de
termes dépendant du sinus ou du cosinus d’angles tels que le
suivant
sont des entiers ; est la ième valeur approchée
du nombre sont les arguments des divers termes
de
Posons il viendra
Alors pourra être considérée comme une fonction de deux
variables et de plus, cette fonction sera développable suivant les puissances du petit paramètre qui entre dans le second
membre de (1) ; de même, sera développable suivant les puissances
de
Ainsi le problème dont nous nous sommes occupés au numéro
précédent peut s’énoncer comme il suit. Nous avons cherché à
satisfaire formellement à l’équation (1) en y remplaçant par
une série développable suivant les puissances de et suivant les
cosinus et les sinus des multiples de
La variable auxiliaire doit elle-même être égale à le nombre
étant développable suivant les puissances de
On peut donner la solution de ce problème sous une forme plus
satisfaisante pour l’esprit en dirigeant les approximations comme
je vais le faire.
Si nous mettons en évidence ce fait que dépend de de deux
manières, d’abord directement, puis parce que est aussi fonction
de et fonction de l’équation (1) s’écrira
(5)
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Comme doit être développé suivant les puissances de nous
écrirons
(6)
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et de même pour
(7)
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( n’a donc plus le même sens que dans le numéro précédent).
Substituons les développements (6) et (7) dans l’équation aux
dérivées partielles (5). Les deux membres de cette équation sont
alors développés suivant les puissances de Égalons dans les deux
membres de (5) les termes indépendants de puis les coefficients
de puis ceux de nous obtiendrons une série d’équations
que j’appellerai de telle façon que l’équation
s’obtienne en égalant les coefficients de
L’équation devra servir à déterminer et l’équation à déterminer et et enfin l’équation à déterminer
et
Pour écrire plus facilement nos équations, nous conviendrons,
comme dans le Chapitre XV, de représenter par toute fonction
connue.
Alors s’écrit
De même, s’écrit (en se souvenant que et sont supposés
avoir été préalablement déterminés à l’aide de )
et, en général, s’écrira
L’équation est facile à intégrer ; elle se ramène en effet à
l’équation (1) du no 190 qui a fait l’objet du Chapitre précédent.
Nous aurons une intégrale en faisant
les coefficients étant les mêmes que dans le no 178 et
étant égal au nombre que nous avons appelé dans le Chapitre XVII.
Nous en aurons une encore en faisant
Si donc nous posons
et si et si sont des constantes arbitraires, nous aurons encore une intégrale en faisant
C’est la seule d’ailleurs qui soit périodique en et en
Passons à l’équation ; si était connu, on pourrait l’écrire
(8)
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Comment intégrerions-nous alors l’équation (8) ?
Posons
Le déterminant sera une constante que nous pourrons
toujours supposer égale à 1, puisque les rapports des coefficients
sont seuls déterminés et que l’on peut choisir arbitrairement
Appliquons maintenant la méthode de la variation des constantes.
Si nous désignons par et non plus deux constantes,
mais deux fonctions de et de nous pourrons définir ces deux
fonctions par les équations
Si nous posons, pour abréger,
l’équation (8) pourra alors être remplacée par les deux suivantes
d’où
(9)
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Ces équations (9) sont faciles à intégrer.
Prenons, par exemple, la deuxième de ces équations (9) ;
sera développable en une série de la forme
(10)
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les et les sont des constantes, est un entier ; est une
combinaison linéaire à coefficients entiers de et des j’ai mis
en évidence le terme tout connu
L’équation
nous donne alors
étant une fonction arbitraire de
Si nous voulons que soit développable en série trigonométrique,
de même forme que la série (10), il faut :
1o Que cette fonction soit nulle (car je ne suppose pas que
l’on ait de relation de la forme ). Nous prendrons
donc
2o Que soit nul.
Pour que nous puissions résoudre le problème que nous nous
sommes proposé, il faut donc remplir deux conditions :
Le terme tout connu de de même que celui de devra
être nul.
Nous choisirons de façon à satisfaire à l’une de ces conditions
et l’autre devra être remplie d’elle-même, à moins que le problème
proposé ne soit impossible.
On se servirait de même de l’équation pour déterminer
et pour que conserve la forme trigonométrique, il faut deux
conditions ; on satisfera à l’une en choisissant convenablement
et la seconde devra être remplie d’elle-même.
Ainsi :
Ou bien le problème proposé est impossible ;
Ou bien nos conditions doivent être remplies d’elles-mêmes.
193.Pour démontrer que ces conditions sont effectivement
remplies d’elles-mêmes, il me reste à établir la possibilité du problème.
C’est ainsi que la méthode du no 127 n’aurait pas été légitime
si je n’avais démontré préalablement au no 125 la possibilité
du développement.
Considérons un système d’équations canoniques
(1)
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Je suppose que est développable suivant les puissances d’un
paramètre sous la forme
mais je ne suppose plus, comme au no 125, que soit indépendant
des
Je suppose que soit périodique de période par rapport
aux
Je suppose, enfin, que l’on ait su intégrer les équations
(2)
|
|
|
et que la solution satisfasse aux conditions suivantes :
1o Les variables et seront des fonctions de constantes
d’intégration
et de arguments
2o Ces arguments seront eux-mêmes des fonctions du temps,
de sorte que l’on aura
les seront des constantes qui dépendront des premières constantes
d’intégration les seront nouvelles constantes d’intégration.
3o Les et les seront des fonctions périodiques des ,
de période
4o L’expression
sera une différentielle exacte.
On aura évidemment
(3)
|
|
|
c’est-à-dire que ne dépendra que des constantes d’intégration
On se rappelle le théorème du no 4, qui pourrait d’ailleurs
s’énoncer ainsi.
Quand on fait un changement de variables, en passant d’un
système de variables conjuguées à un autre système de
variables conjuguées la condition pour que la forme canonique
ne soit pas altérée, c’est que l’expression
soit une différentielle exacte.
Il en résulte que, si dans le cas qui nous occupe, nous prenons
pour variables nouvelles et les équations (1) conserveront
leur forme canonique et deviendront
(5)
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|
Il est évident :
1o Que sera périodique par rapport aux
2o Que ne dépendra que des à cause de l’équation (3).
Les équations (5) satisfont donc aux conditions des nos 125 et 127
et il en résulte qu’on pourra y satisfaire formellement de la
manière suivante :
Les et les seront développables suivant les puissances de
sous la forme
Les et les seront des fonctions de constantes d’intégrations
et de arguments
les étant des constantes développables suivant les puissances
de et les des constantes arbitraires.
Les et les seront périodiques par rapport aux à
l’exception de qui se réduira à j’ajoute que est une
constante.
Nous n’avons plus qu’à substituer ces valeurs de et dans les
équations qui donnent les variables anciennes en fonctions de ces
variables nouvelles et et nous verrons ainsi qu’on peut satisfaire
formellement aux équations (5) de la façon suivante :
Les et les seront développables suivant les puissances de
sous la forme
Les et les seront périodiques par rapport aux à
l’exception de mais sera périodique ; il n’arrivera pas
toutefois que se réduira à une constante et à
194.Appliquons ces principes à l’équation (1) du no 191, que
j’écrirai ainsi en lui donnant un nouveau numéro
Cherchons à la ramener à la forme canonique.
(6)
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|
Cherchons à la ramener à la forme canonique.
Soit une fonction de et de telle que
sera, comme développable suivant les puissances de et suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
Posons pour plus de symétrie
Posons ensuite
et supposons que dans dans et dans le terme on ait
remplacé partout par de telle façon que les deux membres
de (6) deviennent des fonctions de de et des
périodiques de période par rapport aux
Introduisons variables auxiliaires
et posons
Nous pourrons remplacer l’équation (6) par le système d’équations
canoniques
(7)
|
|
|
Si nous posons ensuite (Cf. no 181)
l’expression
sera une différentielle exacte ; la forme canonique des équations
ne sera donc pas altérée si nous prenons pour variables
sera d’ailleurs périodique par rapport à
et il viendra
C’est le petit paramètre qui joue ici le rôle de et l’on voit
que est développé suivant les puissances de
Si nous faisons se réduira à
Nous pourrons trouver une fonction dépendant de constantes arbitraires qui satisfasse à l’équation
(8)
|
|
|
C’est, avec quelques différences de notations, l’équation du no 181 ;
nous avons vu, dans ce no 181, qu’en regardant comme un coefficient
très petit analogue au paramètre du no 125, on peut
appliquer à cette équation les méthodes de ce no 125. La fonction
est une fonction de
et seulement périodique en et (Cf. no 181) ; on n’a pour
s’en convaincre qu’à appliquer à l’équation (8) la méthode du
no 125 en faisant jouer à le rôle de
Il résulte de là que l’on peut satisfaire aux équations
(9)
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|
|
en faisant, comme au no 3,
et, d autre part,
et sont des constantes, la seconde arbitraire.
Nous aurons simplement
et
pour
Nous aurons également
Quant à il sera égal à
de sorte que le coefficient ne sera autre chose que le nombre
changé de signe.
Il est aisé de trouver la fonction ou bien encore l’expression
des et des en fonctions des on les trouvera sans peine,
en effet, quand on connaîtra le nombre et les coefficients
déterminés au Chapitre précédent.
J’observerai seulement que, d’après la définition même des variables nouvelles et l’expression
et par conséquent la suivante
seront des différentielles exactes.
D’autre part, les et les seront des fonctions périodiques
des
Enfin il viendra
Si donc nous prenons pour variables nouvelles les et les la
forme canonique des équations (7) ne sera pas altérée et elles
pourront s’écrire
(10)
|
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|
D’ailleurs sera périodique par rapport aux et, pour
ne dépendra que des
Nous serons donc dans les conditions des nos 125 et 127 et nous
pourrons conclure que les et les et par conséquent les et
les pourront s’exprimer formellement en fonctions de de
constantes arbitraires et de variables de telle façon que les
fonctions soient développables suivant les
puissances de et périodiques par rapport aux ils seront de la
forme
les étant de nouvelles constantes d’intégration, et les des
constantes développables suivant les puissances de
Il est d’ailleurs aisé de voir que, dans le cas particulier qui nous
occupe, on a pour
Pour satisfaire non seulement aux équations (7), mais à l’équation (6) d’où nous les avons déduites, il faut prendre
Il résulte de tout cela que le problème que nous nous sommes
proposé au numéro précédent est possible, et par conséquent que
les conditions dont nous avons parlé à la fin de ce numéro doivent
être remplies d’elles-mêmes.
195. Comme cela doit avoir lieu quel que soit et même pour
et que ce fait n’a pu échapper à M. Gyldén, ce n’est pas
pour éviter les termes séculaires que cet astronome a fait passer
dans ce premier membre le terme en bien que ce coefficient
soit très petit : c’est pour une autre raison dont je vais
chercher à rendre compte.
Si l’on se reporte au Chapitre précédent, on verra que les coefficients
deviennent infinis quand le nombre est entier ; ils
sont donc très grands quand le nombre est voisin d’un entier ou
encore, puisque diffère peu de quand le nombre est voisin
d’un entier.
Si donc, écrivant l’équation du Chapitre précédent sous la forme
on eût appliqué les procédés du no 127 en faisant jouer à le
rôle de la convergence aurait été très lente dans le cas où
serait voisin d’un entier.
Considérons maintenant l’équation
(1)
|
|
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Soit
ou
un terme quelconque de sera un entier positif ou nul.
Si ce terme sera indépendant de et pourra rester sans
inconvénient dans le second membre ; si le terme contiendra
en facteur qui sera généralement très petit et ne pourra avoir
beaucoup d’influence.
Reste le cas où
D’après ce que nous venons de voir, on peut appliquer les procédés
du no 127 à l’équation
(2)
|
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|
et, si l’on fait jouer à le rôle de la convergence sera lente ou
rapide suivant que sera ou ne sera pas voisin d’un entier. Elle
sera lente surtout si est voisin de 1 ; et, en effet, d’après ce
que nous avons vu au no 179, l’expression de contient en
dénominateur
Il en résulte que la fonction développée comme dans ce
no 179 suivant les puissances de contient des termes en
La fonction qui satisfait à l’équation
(3)
|
|
|
est donc très grande si est voisin de 1. Or l’équation (2)
se ramène à l’équation (3) en y changeant en en
en
L’intégrale de (2) pourra donc devenir grande et sa convergence
sera lente si est voisin de 1, ainsi que je viens de l’énoncer.
Si donc, dans le second membre de (1), il y a un terme tel que
y entre en facteur à la première puissance, et si son argument
est tel que est voisin de 1, on augmentera beaucoup la rapidité
de la convergence en faisant passer ce terme dans le premier
membre.
Voyons si ce cas se présente dans l’application de la méthode
de M. Gyldén au Problème des trois Corps.
Reprenons l’équation (6 bis) du no 169
(6 bis)
|
|
|
Les termes de sont de l’ordre de grandeur des forces perturbatrices ;
ils dépendent de et nous pouvons
supposer qu’on en ait fait disparaître et par les procédés
des nos 170 à 172 ou par des procédés analogues, qu’on ait remplacé
en fonction de
Alors ne dépendra plus que de et de et ses termes seront
de la forme
Quant à il sera égal à
et étant des entiers et le rapport des moyens mouvements
des deux planètes.
Distinguons dans les deux termes suivants
et
et posons
Nous pourrons faire passer dans le premier membre et écrire
Cette équation est de même forme que l’équation (1). Pour
savoir s’il convient de faire passer dans le premier membre le
terme il faut voir si la quantité qui correspond à
est voisine de 1. Or cette quantité est égale à
et est de l’ordre de la fonction perturbatrice. On augmentera
donc beaucoup la rapidité de la convergence en faisant passer ce
terme dans le premier membre et il n’y a pas les mêmes raisons
pour y faire passer les autres termes de
Mais voyons maintenant la chose d’un peu plus près. La difficulté
provient de ce que le coefficient de est voisin de 1 ; ou bien
encore de ce que ce coefficient de se réduit à 1 quand les masses
perturbatrices sont nulles.
Quand les masses perturbatrices sont nulles en effet, le mouvement
devient képlérien et les équations du mouvement se
réduisent à
Si les masses perturbatrices restant nulles, les deux planètes
eussent été attirées par un astre central, mais suivant toute autre
loi que celle de Newton, ces équations seraient devenues
étant une fonction de dépendant de la loi d’attraction.
Posons ensuite, comme au no 169,
étant une fonction connue de peu différente de et négligeons
les puissances supérieures de l’équation deviendra
étant la dérivée de et une fonction connue de ainsi
que
Si, par exemple, était une constante, ou si était une
fonction linéaire, est une constante généralement différente
de 1, de sorte que la difficulté que nous venons de rencontrer ne
se présenterait pas.
Ainsi la difficulté qui nous a obligé à faire passer le terme en
dans le premier membre n’existe pas avec toute autre loi que celle
de Newton.
Cela tient à ce que, si l’on adopte la loi de Newton et si les
masses perturbatrices sont toujours supposées nulles, les périhélies
sont fixes, ce qui n’est plus vrai avec toute autre loi d’attraction.
C’est ce que j’ai déjà fait observer au début du Chapitre XI.
Ainsi la difficulté dont M. Gyldén se tire en faisant passer le
terme en dans le premier membre est précisément la même dont
nous avons triomphé plus haut par les procédés du Chapitre XI.
Équation de la variation.
196.L’équation (5 a) du no 169, dite équation de la variation,
s’écrit
(1)
|
|
|
étant une constante et une suite de termes très petits que
nous supposerons dépendre seulement de
Posons alors
l’équation deviendra
étant une fonction très petite de et de comme est très
petit, je puis écrire
étant un coefficient très petit, et me proposer de développer
suivant les puissances croissantes de
On a donc
Sous cette forme on voit que l’équation (1) rentre comme cas
particulier dans la suivante
(2)
|
|
|
et étant des fonctions quelconques et un coefficient très petit.
Il en est de même de l’équation (6 c) du no 169 qui peut s’écrire
étant une somme de termes très petits, que l’on peut transformer
par les procédés des nos 170 à 172, de sorte que nous pouvons supposer
qu’ils ne contiennent que et
C’est donc cette équation (2) que nous allons étudier.
Une remarque est nécessaire avant d’aller plus loin.
Considérons l’équation (1) du no 191 ; nous nous sommes efforcé
de développer la solution de cette équation suivant les puissances
de dans le Chapitre XVI nous n’avions pas posé le problème
tout à fait de la même manière ; nous avions dit qu’il fallait dans
le second membre de cette équation remplacer d’abord par 0,
puis par sa première valeur approchée et ainsi de suite.
Mais il est aisé de voir que ces deux modes d’approximation
reviennent au même ; si en effet nous faisons dans cette équation
elle se réduit à
et elle admet alors pour solution particulière ce qui est
bien la valeur de que nous avions admise en première approximation ;
de même avec l’équation (6 c) du no 169 que l’on peut
écrire
Si l’on fait l’équation admet comme solution particulière
or au Chapitre XVI nous avons précisément admis comme
première approximation
Les deux modes d’approximation sont donc encore équivalents.
Il n’en est plus tout à fait de même en ce qui concerne l’équation (1)
du présent numéro que nous avons écrite
Si l’on fait elle se réduit à
(3)
|
|
|
et elle admet évidemment comme solution particulière Mais ce que nous avions admis au Chapitre XVI, comme première
approximation, ce n’était pas
mais
d’où
ce qui n’est évidemment pas une solution de l’équation (3).
Les deux modes d’approximation ne sont pas absolument équivalents ;
mais, à cause de la petitesse du coefficient on peut
prendre comme première approximation une solution de l’équation (3)
au lieu de faire sans que la rapidité de la convergence
s’en trouve sensiblement ralentie. C’est d’ailleurs ainsi qu’a
opéré M. Gyldén.
Reprenons donc l’équation
(2)
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.
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Comme au no 191, je supposerai que soit une fonction
périodique de période par rapport aux arguments
et je poserai
Je poserai de même
Si alors je pose
l’équation (2) peut être remplacée par les équations canoniques
(4)
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Nous nous proposons d’intégrer formellement ces équations sous
la forme suivante ; nos variables devront être développées suivant
les puissances de et les coefficients seront des fonctions périodiques
de période de paramètres
avec
Il faudra d’ailleurs évidemment, comme au no 194, faire
Quant au nombre il sera développable suivant les puissances
de
Les résultats du no 193 peuvent se résumer comme il suit. Si
un pareil problème est possible pour il sera encore possible
quand on ne supposera plus nul.
Or, si nous faisons notre équation se réduit à
(5)
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Elle s’intègre très aisément par quadratures, et l’on trouve
et sont des fonctions de et d’une constante d’intégration
elles sont périodiques de période par rapport à le nombre
est une fonction de et est une nouvelle constante d’intégration.
Le problème que nous nous sommes proposé, étant possible
pour le sera encore pour
Il reste à le résoudre effectivement.
Pour cela je récris l’équation (2), en mettant en évidence ce fait
que dépend de d’abord directement et en outre par l’intermédiaire
de Je suis ainsi une méthode tout à fait pareille à
celle du no 192. Je trouve ainsi
(6)
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Je substitue à la place de et de leurs développements suivant
les puissances de
et j’égale les coefficients des puissances semblables de J’obtiens
ainsi les équations suivantes
(7)
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(8)
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(9)
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Je désigne par toute fonction connue de et de le second
membre de (8) est connu parce que et ont été déterminés à
l’aide de l’équation (7) ; le second membre de (9) est connu parce
que ont été déterminés à l’aide de (7) et de (8),
et ainsi de suite.
L’équation (7) se ramène à l’équation (5) ; on aura donc
étant une fonction de et de la constante périodique par
rapport à
Considérons maintenant l’équation (8) ; si était connu, elle
s’écrirait
(8 bis)
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C’est là une équation linéaire à second membre. Nous sommes
donc conduit à envisager l’équation sans second membre
Cette équation admet évidemment comme solution particulière
Posons, comme au no 192,
Le déterminant sera une constante que j’appellerai
Observons en passant que j’ai écrit les équations comme
si dépendaient à la fois de et de tandis que
ces fonctions ne dépendent en réalité que de et que par conséquent
beaucoup des termes de ces équations sont nuls.
Soient alors et deux quantités définies par les équations
Posons, pour abréger,
L’équation (8 bis) pourra alors être remplacée par les deux
suivantes
d’où
Ces équations pourront s’intégrer par le même procédé que les
équations analogues du no 192 et l’on ne rencontrera pas de difficulté, pourvu que les valeurs moyennes de et soient
nulles.
On disposera alors de de façon à annuler l’une de ces valeurs
moyennes et l’autre s’annulera d’elle-même, puisque nous savons
d’avance que le problème est possible.
L’équation (9) et les équations suivantes se traiteraient de la
même manière.
Dans certains cas particuliers, l’intégration de l’équation (5) se
ramène aux fonctions elliptiques ; c’est ce qui arrive par exemple
quand est un polynôme du troisième degré en ou
quand se réduit à un facteur constant multiplié par
c’est-à-dire dans le cas des équations (6 c) et (5 a) du no 169.
Résumé.
197.Dans les pages qui précèdent j’ai plutôt cherché à faire
comprendre l’esprit des méthodes de M. Gyldén qu’à respecter
scrupuleusement son mode d’exposition. Il me reste à dire ce qu’à
mon sens on doit penser de ces méthodes.
Toutes les fois que le rapport des moyens mouvements n’est pas
très près d’être commensurable, les méthodes de M. Newcomb,
que j’ai exposées dans les Chapitres IX à XV, paraîtront, surtout
avec les perfectionnements que j’y ai introduits, plus simples et
plus satisfaisantes pour l’esprit que celles de M. Gyldén.
Cependant l’étude de ces dernières n’en conserve pas moins
toute son utilité. En effet, il y a bien des cas où le rapport des
moyens mouvements est trop près d’être commensurable pour que
les méthodes des Chapitres IX à XV soient encore applicables ;
M. Gyldén a employé pour les traiter des procédés analogues à
ceux qui lui avaient réussi dans des cas plus simples et il a obtenu
le même succès.
Il importe donc de se pénétrer de l’esprit de ces méthodes,
soit qu’on veuille les employer directement, soit qu’on veuille
seulement s’en servir comme de moyens de découverte susceptibles
de nous conduire à l’invention de théories nouvelles, qui
pourront être plus satisfaisantes pour une raison ou pour une
autre.
Cet esprit, d’ailleurs, peut se résumer d’un mot. Si un terme
quelconque devient très grand et rend la convergence lente, on
en tient compte dès la première approximation.
Généralisation des solutions périodiques.
198.A la théorie des équations que nous avons étudiées dans
ce Chapitre se rattache une proposition dont M. Gyldén, sans
l’énoncer expressément, a fait quelquefois usage. Je ne puis la
passer sous silence.
Considérons l’équation suivante
(1)
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est une constante quelconque ; est un paramètre très petit ;
est une fonction de et développable suivant les puissances
de et de et suivant les sinus et les cosinus des multiples
de arguments
S’il n’y avait qu’un seul argument la fonction serait une
fonction périodique de de période L’équation (1) admettrait
alors une solution périodique de même période. Et en effet,
pour cette équation, quelle que soit la constante
admettra évidemment une solution périodique qui sera
Donc, en vertu des principes du Chapitre III, elle en admettra
encore une pour les petites valeurs de
Ce résultat peut-il se généraliser pour le cas où contient
arguments différents
L’équation (1) admet-elle alors une solution de la forme suivante
(2)
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où sont développables suivant les sinus et le
cosinus des multiples des
Pour nous en rendre compte, nous allons employer une méthode
qui rappellera celle du no 45 et qui, quoique plus générale, sera
plus simple, parce que, dans ce no 45, j’avais introduit à dessein, en
supposant une difficulté qui ne se présente pas dans le cas
général.
Supposons le problème résolu et substituons, à la place de
dans le développement (2) ; après cette substitution, sera développable
suivant les puissances de d’abord parce que cette fonction
était déjà développable suivant les puissances de cette variable
avant la substitution et, ensuite, parce que la valeur de donnée
par l’équation (2) est elle-même développée suivant les puissances
de Nous aurons donc
ne dépendra que de de et de de de et de
et ainsi de suite.
L’équation (1) nous donnera alors, en égalant les coefficients des
diverses puissances de
(3)
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ce qui nous permettra de déterminer par récurrence les diverses
fonctions
Les équations (3) sont de la forme
Si est développable suivant les sinus et cosinus des multiples
des et s’écrit
les étant des entiers et et des constantes quelconques, nous
pourrons prendre
(4)
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et sera de la forme voulue.
Il reste à reconnaître si le développement (2) est convergent.
C’est ce qui arrive toutes les fois que est positif.
Supposons, en effet, positif ; nous aurons alors
Reprenons la notation du Chapitre II et introduisons une nouvelle
fonction de de même forme que et que nous appellerons
supposons qu’elle soit telle que
Définissons ensuite par l’équation
et par l’équation (4), nous aurons évidemment
Soit alors une fonction de même forme que
et telle que
Envisageons l’équation (5) qui définira une nouvelle fonction
(5)
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On peut tirer de cette équation en une série convergente
ordonnée suivant les puissances de
les coefficients en sont ordonnés suivant les sinus et cosinus des
multiples des
Si nous substituons ce développement à la place de dans il vient
dépendant seulement de de et de de de et
de
Nous aurons d’ailleurs
J’écris, pour abréger, pour les arguments
L’équation (5) nous donnera
et l’on trouvera successivement
et enfin
ce qui montre que le développement (2) est bien convergent.
Ainsi ce développement converge dans deux cas :
1o Quel que soit quand il n’y a qu’un seul argument
2o Quel que soit le nombre des arguments, quand est positif.