CHAPITRE XVII.
CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
177.Il nous reste maintenant :
1o À intégrer les équations (6 a), (6 b), (6 c), (5 a), (α) et (β)
du no 169.
2o À voir comment on pourra, dans la formation de ces équations,
discerner les termes qui doivent passer dans le premier
membre de ceux qui doivent rester dans le second.
Je m’occuperai d’abord de l’intégration des équations (6 a) et
(6 b) et j’y consacrerai le présent Chapitre.
L’équation (6 b), qui est la plus générale, s’écrit
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[(1+\alpha )-\mathrm {C} (1+\beta )\sin(\lambda v_{0}+k)\right]=\mathrm {B} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03cb8be59a023a0fcaf5740abe93da2b2c9fc31)
étant regardée comme une fonction connue de
c’est une
équation linéaire à second membre, dont l’intégration se ramène à
celle de l’équation sans second membre
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[(1+\alpha )-\mathrm {C} (1+\beta )\sin(\lambda v_{0}+k)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec86df12fa934e986fecc335d0ef997332eb742)
Si nous transformons cette équation en changeant les notations
et en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=x,&\lambda v_{0}+k&=2t+{\frac {\pi }{2}},\\{\frac {4}{\lambda ^{2}}}(1+\alpha )&=q^{2},&{\frac {4}{\lambda ^{2}}}\mathrm {C} (1+\beta )&=q_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e74d77677f00f7b54484597fba8c4f3c0ae777f)
elle devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200a55fb34f73f1b2e288643051d2414cf86d9f8)
Étude de l’équation de Gyldén.
178.Envisageons donc l’équation suivante
(1)
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Nous venons de voir que M. Gyldén, dans le cours de ses
recherches, avait été conduit à envisager l’équation suivante (Cf.
no 169, équations (α) et (β))
(2)
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étant une fonction développable suivant les puissances
de
et périodique par rapport à ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Or il arrive, dans les applications que M. Gyldén a faites de
cette équation, que les termes les plus importants de
sont
de la forme
![{\displaystyle \varphi (t)+x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7133569eb25983b8051912743cc0784020d8a9)
étant une fonction périodique de
seulement, et que tous les
autres termes peuvent être négligés dans une première approximation.
L’équation (2) peut alors être remplacée par la suivante
(3)
|
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|
C’est une équation linéaire à second membre, dont l’intégration se
ramène aisément, comme l’on sait, à celle de l’équation sans second
membre correspondante, qui n’est autre que cette équation (1).
Étudions donc cette équation (1) et rappelons d’abord ce que
les résultats généraux, démontrés dans le premier Volume au
sujet des équations linéaires (Chap. II, no 29, et Chap. IV, passim)
vont nous permettre d’en dire.
Ils nous apprennent d’abord que cette équation (1) admet deux
intégrales particulières de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{iht}\varphi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\varphi _{2}(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f0e8053c2c9f4e0b4c8a26c944c96ea5173cbd)
et
étant deux fonctions périodiques de
de période
et les deux exposants caractéristiques
et
étant égaux
et de signe contraire.
Pour aller plus loin, nous allons faire usage d’un théorème
général que j’ai démontré dans mon Mémoire sur les groupes des
équations linéaires (Acta mathematica, t. IV, p. 212).
Soit une équation linéaire de la forme suivante
(4)
|
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|
Les coefficients
sont des fonctions, non seulement de
mais d’un certain nombre de paramètres dont elles dépendent
linéairement.
Supposons, par exemple, qu’il y ait trois paramètres et appelons-les
et
Alors la fonction
sera de la forme
![{\displaystyle \varphi _{i}(x)=\mathrm {A} \varphi _{i}'(x)+\mathrm {B} \varphi _{i}''(x)+\mathrm {C} \varphi _{i}'''(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93dc61e7c017784624e32935b0e1e1c6263b2d6)
Les fonctions
et
seront continues, ainsi que
toutes leurs dérivées, dans l’intérieur d’un domaine d’où nous ne
ferons pas sortir ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Cela posé, donnons-nous les valeurs initiales de
et de ses
premières dérivées au point
et faisons varier
depuis 0,
jusqu’à une certaine valeur
en suivant un chemin déterminé.
Soit
la valeur que prendra
quand
arrivera au point
Il
est clair que
dépendra :
1o Des valeurs initiales de
et de ses dérivées (il en dépendra
d’ailleurs linéairement) ;
2o Des paramètres
Eh bien, le théorème en question, c’est que
peut être développé
en une série procédant suivant les puissances croissantes de
et
et que cette série convergera, quelles que soient les
valeurs de ces trois quantités ; ou, en d’autres termes, que
sera
une fonction entière de
et
Appliquons ce théorème à l’équation (1).
Soit
une intégrale particulière de cette équation telle que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (0)&=1,&\mathrm {F} '(0)&=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40b40714543ce96379ecf861fe145fe5141a252)
[je désigne pour abréger
par
].
Soit de même
une seconde intégrale particulière telle que
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=0,&f'(0)&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5c018616090933b1713acb3fc1451a984a6f79)
Alors si
et
sont les valeurs initiales de
et de
pour
on aura
![{\displaystyle x=x_{0}\mathrm {F} (t)+x_{0}'f(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c12b9a749301654f4fca466a1487a98f8876a07)
Notre théorème, c’est alors que
et
seront des fonctions entières de
et de
Il en est de même de
et
Supposons, en particulier, que
![{\displaystyle x=e^{iht}\varphi _{1}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563490adda2ca5865d10bdf5aa7477cee68d8c04)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(0)&=x_{0},&\varphi _{1}'(0)+ih\varphi _{1}(0)&=x_{0}'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d56b120fcc76aab56b37235bd38693a342779d)
et
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{ih\pi }\varphi _{1}(\pi )&=x_{0}\mathrm {F} (\pi )&{}+{}&x_{0}'f(\pi ),\\e^{ih\pi }\left[\varphi _{1}'(\pi )+ih\varphi _{1}(\pi )\right]&=x_{0}\mathrm {F} '(\pi )&{}+{}&x_{0}'f'(\pi ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec223eee178666f8f38472cbb792d52197d1a9a0)
Mais la fonction
est périodique, de sorte qu’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(0)&=\varphi _{1}(\pi ),&\varphi _{1}'(0)&=\varphi _{1}'(\pi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f16ab2ff1567a1ba1fdc2353cf66d8e3024937)
d’où
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{ih\pi }x_{0}&=x_{0}\mathrm {F} (\pi )&{}+{}&x_{0}'f(\pi ),\\e^{ih\pi }x_{0}'&=x_{0}\mathrm {F} '(\pi )&{}+{}&x_{0}'f'(\pi ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bce2075da0d7fa3e1091b7f940c606be31d06b4)
D’où
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} (\pi )-e^{ih\pi }\right]\left[f'(\pi )-e^{ih\pi }\right]-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0881f3b06b6e49a1ead44a80e492f79ba7082d8)
Ainsi
est une racine de l’équation en ![{\displaystyle \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9044c1a27dd84b9c1aa9cc2c1b6cd36f3f956ffb)
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} (\pi )-\mathrm {S} \right]\left[f'(\pi )-\mathrm {S} \right]-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bfad3a70c677e03df7031d6ec8cdbd46066252)
On verrait de la même manière que l’autre racine est
Donc la somme des racines est égale à
de sorte qu’on a
![{\displaystyle 2\cos h\pi =\mathrm {F} (\pi )+f'(\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c837bdf95eafc8ddad8cb9b6354be8bb40e561)
Il en résulte que
est une fonction entière de
et de
c’est-à-dire que
peut être développé suivant les puissances
entières de
et de
et que le développement est toujours convergent.
Je dis maintenant que ce développement ne contient que des
puissances paires de
Si, en effet, on change
en
les solutions
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{iht}\varphi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\varphi _{2}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f043f466a9b7b52def9e12ccb7359b1138272fb)
deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{iht}\psi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\psi _{2}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f1a88c0529fad9a59f37ba600d91189e1e9853)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(t)&=e^{\frac {ih\pi }{2}}\,\varphi _{1}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right),&\psi _{2}(t)&=e^{-{\frac {ih\pi }{2}}}\,\varphi _{2}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0def08a6281a56eafc7c437a62c0f738c1498339)
sont des fonctions périodiques en
Par conséquent, les exposants
caractéristiques ne changent pas.
En même temps, comme
![{\displaystyle \cos 2\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos 2t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48453fc3accfec46b146bf2a529405f688e725c)
l’équation (1) devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}-q_{1}\cos 2t\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209369b24951ce3d70853bb8f63f89fab542728b)
ce qui veut dire que les exposants caractéristiques et, par conséquent
ne changent pas quand on change
en
Or
cela ne peut avoir lieu que si le développement de
ne contient
que des puissances paires de ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
Observons maintenant que l’équation (1) ne change pas quand
on change
en
; il résulte de là que
est une fonction
paire de
et
une fonction impaire, c’est-à-dire que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&=\mathrm {F} (-t),&f(t)&=-f(-t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d2d566a64e4aeb93081d3d9f2487417ae8ca6a)
Or les solutions de l’équation (1) sont développables suivant
les cosinus et les sinus de
étant un entier positif
et négatif. IL résulte de là que
ne contiendra que des cosinus
pendant que
ne contiendra que des sinus. On aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos(h+2m)t,\\f(t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}\cos(h+2m)t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1121948c5e524bd8b2be62739f76c21725ad3e)
variant de
à
Il vient alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (0)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}=1,\\\mathrm {F} (\pi )&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos(h\pi +2m\pi )={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos h\pi =\cos h\pi ,\\f'(t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)\cos(h+2m)t,\\f'(0)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)=1,\\f'(\pi )&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)\cos(h+2m)\pi =\cos h\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6379f9add93b4081ad7a558392b64e2d7d97858)
On a donc
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\cos h\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c1b9fa22baffccab228d79cca75e11ac07f749)
179.Voyons maintenant comment on peut obtenir le développement
de
suivant les puissances croissantes de
Supposons que l’on cherche plus généralement le développement
de
et posons
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)=\mathrm {F} _{0}(t)+q_{1}\mathrm {F} _{1}(t)+q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(t)+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8b3c3882370c1e978d4e2ac0ccc8d19dda5734)
nous aurons, pour déterminer
la série d’équations
suivantes
(5)
|
|
|
De plus les fonctions
doivent être paires ;
doit se réduire
à 1 et les autres fonctions
à 0 pour
On en conclut d’abord que
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}(t)=\cos qt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8d08dd8079b812608113952184bcfaf9951ac7)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{1}={\frac {\cos(q+2)t}{2}}+{\frac {\cos(q-2)t}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec405260f7d23ecbf01c0239394eb52a77ba8c3c)
et
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(t)=-{\frac {\cos(q+2)t-\cos qt}{8(q+1)}}+{\frac {\cos(q-2)t-\cos qt}{8(q-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce89011120a80524d9e623f61512880dbc1824b)
Il vient ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{2}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{2}&=\alpha _{0}\cos(q+4)t+\alpha _{1}\cos(q+2)t\\&+\alpha _{2}\cos qt+\alpha _{3}\cos(q-2)t+\alpha _{4}cos(q-4)t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f4fc82ccbaa46b307d70d879f23acccec3c655)
étant des coefficients faciles à calculer, et l’on en déduit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{2}=&-{\frac {\alpha _{0}\cos(q\!+\!4)t}{8(q\!+\!2)}}-{\frac {\alpha _{1}\cos(q\!+\!2)t}{4(q\!+\!1)}}+{\frac {\alpha _{3}\cos(q\!-\!2)t}{4(q\!-\!1)}}+{\frac {\alpha _{4}\cos(q\!-\!4)t}{8(q\!-\!2)}}\\&+{\frac {\alpha _{0}\cos qt}{8(q+2)}}+{\frac {\alpha _{1}\cos qt}{4(q+1)}}-{\frac {\alpha _{3}\cos qt}{4(q-1)}}-{\frac {\alpha _{4}\cos qt}{8(q-2)}}+{\frac {\alpha _{2}t\sin qt}{2q}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d390e2534847bad8ad877a2521f5ab49115c91eb)
On voit d’ailleurs que
est égal
La loi est manifeste,
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{i}(t)=&{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right]+t{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{1}\sin(q+2n)t\\&+t^{2}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{2}\cos(q+2n)t+\ldots +t^{k}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{k}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}(q+2n)t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d3725e36c763c64151bd2186f3b5a0f48b7695)
La fonction
devant être paire, le coefficient de ![{\displaystyle t^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5727a7a073aaa5e7aa9be88d358972f336f16fdb)
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{k}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}(q+2n)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8521c8075fd58b4970179786ed30c143891c79d)
ne contiendra que des sinus si
est impair et des cosinus si
est pair.
Quelles sont maintenant les valeurs que peut prendre l’entier
?
Dans le premier terme
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c986e3db7b33e03283d33b906408d72428dada)
variera de
à
dans le coefficient de
pourra
varier de
à
dans le coefficient de
pourra varier de
à
et ainsi de suite,
de sorte que
ne pourra surpasser ![{\displaystyle {\frac {i}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0280d382fc550b4ef0e680dccf42abba39a171)
On peut trouver à l’aide des équations (5) des relations de
récurrence entre les coefficients
je ne m’y arrêterai pas pour
le moment.
Lorsqu’on fera
on aura
![{\displaystyle \cos(q+2n)\pi -\cos q\pi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a64326bbad9a8f50802d3f2f296feaaa112e3b)
et le premier terme de
disparaîtra ; de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {F} _{i}(\pi )=\pi {\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{1}\sin q\pi +\pi ^{2}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{2}\cos q\pi +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5479df6c07f5a6984f323743939a7f2b7687e5)
Nous savons d’ailleurs que
sera nul si
est impair, puisque
nous savons d’avance que le développement de
ne doit contenir
que des puissances paires de ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
C’est ainsi que M. Tisserand calcule
et, par conséquent,
Il trouve ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos h\pi &=\cos q\pi {\bigg [}1-{\frac {\pi ^{2}}{512q^{2}(1-q^{2})^{2}}}q_{1}^{4}+\ldots {\bigg ]}\\&+\sin q\pi {\bigg [}-{\frac {\pi }{16q(1-q^{2})}}q_{1}^{2}+{\frac {(15q^{4}-35q^{2}+8)\pi }{1024q^{3}(1-q^{2})^{3}(2^{2}-q^{2})}}q_{1}^{4}+\ldots {\bigg ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fdaa3c21f45cc9908f0fb5f9c0d2d4c81b47148)
ce que j’écrirai
![{\displaystyle \cos h\pi =\varphi (q,q_{1})\cos q\pi +\varphi _{1}(q,q_{1})\sin q\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7970f587506daede06ffbb5d67ae2de127cd05)
et
seront des séries développées suivant les
puissances croissantes de
dont les coefficients seront rationnels
en ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
La première question à résoudre est de savoir si
est réel ou
imaginaire. Si
![{\displaystyle \left|\cos h\pi \right|=\left|\mathrm {F} (\pi )\right|<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336f56123d1678465f4ac849b9c0fca60bfc2f9b)
est réel, la solution de notre équation différentielle est alors
stable et
de même que
reste compris entre des limites
finies. Si au contraire
![{\displaystyle \left|\mathrm {F} (\pi )\right|>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc317c0b7f5ec11f3c06b767f1a26643015d1062)
est imaginaire ; et les deux fonctions
et
sont de la
forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {F} (t)&=&&e^{\alpha \tau }\psi (t)&{}+{}&&&e^{-\alpha \tau }\psi (-t)\\f(t)&=\mathrm {A} &\,&e^{\alpha \tau }\psi (t)&{}-{}&\mathrm {A} &\,&e^{-\alpha \tau }\psi (-t)\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bad2d088ebf9496f7cb11f57fa7046a1f42da0)
et
étant des constantes réelles et
une fonction périodique
de
de période
Il en résulte que
et
peuvent croître
au delà de toute limite et que la solution de notre équation différentielle
est instable.
Si l’on considère un instant
et
comme les coordonnées d’un
point dans un plan, ce plan va se trouver partagé ainsi en deux
régions, l’une où
sera plus petit que 1 et
réel, l’autre où
sera plus grand que 1 et
imaginaire. Ces deux régions
sont séparées l’une de l’autre par les diverses branches des deux
courbes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos h\pi &=+1,&\cos h\pi &=-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13181e68620f0d9613b67a9574ef34e1a71971a6)
Il y a donc intérêt à construire ces deux courbes au moins dans la
partie du plan qui correspond aux petites valeurs de ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
Pour
on a
![{\displaystyle \cos h\pi =\cos q\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031c6d98b393035f0f929a960b57f2156215608a)
Donc la courbe
que j’appellerai la courbe
coupe
l’axe des
en des points dont les abscisses sont des entiers pairs,
et la courbe
que j’appellerai la courbe
coupe
l’axe des
aux points dont les abscisses sont des entiers impairs.
Tous les autres points de l’axe des
appartiennent à la première
région, celle où
est réel.
Reprenons alors l’équation
![{\displaystyle \cos h\pi =\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-q_{1}^{4}\mathrm {F} _{4}(\pi )-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7009c1dbb9251d04a368a21c0dfac967f11eb27)
qui lie
à
et à
le premier membre s’annule pour
il est développable suivant les puissances croissantes de
et de
enfin sa dérivée par rapport à
se réduit à
pour
et par conséquent ne s’annule pas
à moins que
ne soit entier. Si donc nous supposons que
n’est
pas entier, le théorème du no 30 nous apprend que
est développable
suivant les puissances croissantes de
et que la série est
convergente pourvu que
soit assez petit.
Voyons maintenant ce qui se passe quand
est entier. M. Tisserand,
en appliquant sa formule, a trouvé : pour
![{\displaystyle \cos h\pi =(-1)^{q}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{512q^{2}(1-q^{2})^{2}}}q_{1}^{4}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6b8e084e64ff93f18989834677b1b7ac900de3)
pour ![{\displaystyle |q|=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feeb0f3e6d492b325b07fc63b2d1afcea29b6905)
![{\displaystyle \cos h\pi =1+{\frac {5\pi ^{2}q_{1}^{4}}{73728}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba18bde91171263e9dfcbb263f066f4013aea90)
pour ![{\displaystyle |q|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5678803d701a5cf4019dfbeb476ec02c05ce7009)
![{\displaystyle \cos h\pi =-1-{\frac {\pi ^{2}q_{1}^{2}}{32}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55323f7167fa9891119498e2eb874e4897480bb3)
et enfin pour ![{\displaystyle |q|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42a64666ae7672ac0f77420715618630c260be4)
![{\displaystyle \cos h\pi =1-{\frac {\pi ^{2}q_{1}^{2}}{16}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e2a69300d3004414a1e23109ea523ff4135a99)
En effet, quand
est entier,
devient égal à
et
s’annule ; mais il arrive en même temps que
devient
infini ; de sorte que le produit
![{\displaystyle \sin q\pi \,\varphi _{1}(q,q_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd3f86f5384ab134ad33ea9797ee934702ed574)
tend vers une valeur finie quand
tend vers un nombre entier.
Considérons alors la limite
![{\displaystyle \mathrm {L} =\lim \sin q\pi \,\varphi _{1}(q,q_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a8add749fa2cfcae70624d55d0a90ec37f4f5a)
quand
tend vers une valeur entière.
Cette limite sera développable suivant les puissances de
mais, dans le développement de
le coefficient de
devient
infini pour
0 ou 1, celui de
pour
0, 1 ou 2, celui
de
pour
0, 1, 2 ou 3 ; il en résulte que, si
tend vers un
entier
le développement de
commencera par un terme en
d’autre part, le développement de
commence par
un terme en
C’est pour cette raison que dans les développements de
![{\displaystyle \cos h\pi -(-1)^{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62d521937f3f24c6ce461f42eb233997c26d8bf)
trouvés par M. Tisserand, le premier terme est en
pour
0
ou 1 et en
pour
1.
Considérons donc l’équation de la courbe
qui peut s’écrire
![{\displaystyle 1-\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-q_{1}^{4}\mathrm {F} _{4}(\pi )-\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff27250b7a871e9549ae84d0bca24069424bb3a)
La courbe passant par le point
![{\displaystyle q=2n,\quad q_{1}=0\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9150ce454436a6cb89520684431d5b8904ba1dbc)
(
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
entier),
le premier membre s’annule pour
il est d’ailleurs
développable suivant les puissances croissantes de
et de
il est aisé de voir que ce développement ne contient ni terme de
degré 0 ni terme de degré 1, mais qu’il commence par des termes
du second degré
![{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}\left(q-2n\right)^{2}+\mathrm {A} \,q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403265db832bfb5e62025ee96a0e80e37c69ef58)
étant égal à
![{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3590225be934f51361cfe63a7c969f84c048edc3)
pour
![{\displaystyle \quad n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8dd496fbcb21e47bf47207960607530b0aecb1)
et à 0 pour ![{\displaystyle n\gtrless 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba171bb1c6f328b23843f081238e841cc9d1be98)
Il en résulte que le point
est pour la courbe
un point double ; mais deux cas sont à distinguer :
1o Si
les termes du second degré se réduisent à la somme
de deux carrés, les deux branches de courbe qui passent par le
point double sont imaginaires ; l’origine est donc pour la courbe
un point isolé.
2o Si
est nul ; les deux branches de courbe qui passent
par le point double sont tangentes l’une à l’autre et coupent
l’axe des
à angle droit. Pour reconnaître si ces deux branches
sont réelles ou imaginaires, il faut tenir compte des termes en
et en
Le coefficient de
est, comme nous l’avons vu,
![{\displaystyle {\frac {+\pi ^{2}}{512.q^{2}(1-q^{2})^{2}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf1ea74d49e6cab7ec341d9e7fdd82f9d43ab3c)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {-5\pi ^{2}}{73728}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce7a3211ec3a943589124c09de16777770a2afc)
selon que
ou ![{\displaystyle =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568cf477676fd05b26e0ed54adeff066e813a8d4)
Le coefficient de
s’obtiendra en prenant les dérivées de
![{\displaystyle {\frac {\pi \sin q\pi }{16\,q\,(1-q^{2})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e48ee8b896e108634d45845aebca6cbcce6785b)
par rapport à
et en y faisant
On trouve ainsi
![{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16\,q\,(1-q^{2})}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb44afe81df341ff597a471e4bc1a42af64306a)
Pour que les branches de courbe soient réelles (en supposant
), il faut et il suffit que la forme quadratique
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {xy}{16\,q\,(1-q^{2})}}+{\frac {y^{2}}{512.q^{2}(1-q^{2})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55bcd167c68df63dc6d576c62ddafb764bf5b46)
soit indéfinie. Il ne peut y avoir doute que si cette forme se réduit
à un carré parfait ; or c’est précisément ce qui arrive ; nous voyons
ainsi que nos deux branches de courbe sont non seulement tangentes,
mais osculatrices l’une à l’autre ; mais nous serions obligés,
pour reconnaître si elles sont réelles, de calculer les termes d’ordre
supérieur, si nous n’avions heureusement un moyen indirect de
décider la question, moyen que j’exposerai plus loin.
Dans le cas de
notre forme quadratique devient
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {xy}{96}}-{\frac {5q^{2}}{73728}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1511f2b881de2c6591864f72272bd16fa419d1e3)
et est indéfinie ; les deux branches de courbe sont certainement réelles.
Construisons maintenant la courbe
dont l’équation est
![{\displaystyle -1-\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a007c0c73be4428ca94617502dc961c60e24763)
Le premier membre s’annule pour
![{\displaystyle q=n,\quad q_{1}=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37a88bda0731216b8009cab08980a8f16d14fe6)
(
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
entier impair),
et son développement suivant les puissances de
et de
commence par des termes du second degré
![{\displaystyle \mathrm {A} (q-n)^{2}+\mathrm {B} \,q_{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13437b450fd5582c3e0584ba941251363e01d8da)
Si
et
sont de signe différent et les deux branches
de courbe qui passent par le point double sont réelles.
Si
est nul, les deux branches de courbe sont tangentes
(et probablement osculatrices) l’une à l’autre ; pour décider
si elles sont réelles, il faut employer le procédé indirect dont j’ai
parlé plus haut.
Voici en quoi il consiste.
On peut se demander ce qui se passe quand on a
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=\cos h\pi =\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930f0ff61b03cf0088060d2ddfb933b2f7235fb5)
Alors, d’après ce que nous avons vu au no 29, la solution la plus
générale de l’équation (1) est de la forme
![{\displaystyle \psi (t)+t\,\psi _{1}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc01c92537f09bed7238a24c4379bd7b436382da)
et
étant des fonctions périodiques de
de période
si
et de période
si
(elles changent alors
de signe quand
se change en
). On a donc
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)=\psi (t)+t\,\psi _{1}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecb59ecf3d041593394bf1ae52f0aec27cff51d)
Si
n’est pas nul, c’est une solution de l’équation (1) ; or,
est une fonction paire ; donc
est paire et
impaire ;
donc
se réduit à un facteur constant près à
alors
est périodique.
Si
est identiquement nul,
est périodique.
Trois cas peuvent donc se présenter :
1o Ou bien
est périodique, et alors
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8472226fedb2de0a94d679d06a3762930b3443a)
2o Ou bien
est périodique, et alors
![{\displaystyle f(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badc9636370e77730dc111a13c4304dc3bb64fa1)
3o Ou bien ces deux fonctions sont périodiques toutes deux, et alors
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=f(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2b1f3211dc04f6350a9795e8fe59dbd849e4f1)
On peut arriver au même résultat de la façon suivante ; on a
identiquement
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)\,f'(t)-\mathrm {F} '(t)\,f(t)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42154f6d78a9be4276bac16aea98440f38c22ff0)
Si alors
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f5e22fb6e454454324f77b28df8f888422205e)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )\,f(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4404f82d08ddb9410f85a239a6874a1135ac03)
Donc l’une au moins des deux quantités
et
est nulle.
De même, si
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f5b31c02dd9d4f6cdf5a2f49591e94b21e2190)
ou
![{\displaystyle \quad f(\pi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06017ca9b427323c3ef0c196792ce9973d00363a)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )\,f'(\pi )=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a39b7fe319bec24fe6b9cfa8d8e722cbb0d0986)
et puisque
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\cos h\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c546597b351a4cc1cd91afce8c7ad4b9cf97eac1)
il viendra
![{\displaystyle \cos h\pi =\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706175d00b6de4f1ceedfe3b0273b09f1da44c70)
Les différents points des deux courbes
et
appartiennent
donc aux deux courbes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=0,&f(\pi )&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d2a7ea6fa94f1715ebba3f3ca6ae41044b69c3)
et réciproquement.
Remarquons d’abord que
et
sont des fonctions
entières de
et de
Pour
ces fonctions se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=-q\sin q\pi ,&f(\pi )&={\frac {\sin q\pi }{q}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1fc8c414600778e1e20430fa63392c60ec8c70c)
Donc, si
passe par une valeur entière différente de 0,
et
s’annulent en changeant de signe, et ces valeurs de
sont
pour ces deux fonctions des zéros simples. Il en résulte que les
points
(
entier,
),
qui sont des points doubles, tantôt pour
tantôt pour
sont
des points simples pour chacune des deux courbes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=0,&f(\pi )&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707d53825249baa5cd4b220498656c2b139cd5de)
Si
passe par 0,
s’annule sans changer de signe (zéro
double) et
ne s’annule pas ; l’origine est donc un point double
pour
mais
ne s’annule pas à l’origine.
Il y a donc quatre courbes analytiquement distinctes :
(α) |
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c849e0e2522bf48fd8644c048590a0e843a5512c) |
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d056cb60e2f4b3976917c1187cbb84c617c9660) |
|
(β) |
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c849e0e2522bf48fd8644c048590a0e843a5512c) |
![{\displaystyle \;f\,(\pi )=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a11f7f5ef1c5ad138ff4598050b59f434d66b4) |
|
(γ) |
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bdb7c39f483c3e4641bf05599f3846d7649952) |
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d056cb60e2f4b3976917c1187cbb84c617c9660) |
|
(δ) |
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bdb7c39f483c3e4641bf05599f3846d7649952) |
![{\displaystyle \;f\,(\pi )=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a11f7f5ef1c5ad138ff4598050b59f434d66b4) |
|
La courbe
est alors formée de l’ensemble des deux courbes
(α) et (β) ; chacune d’elles a un point simple en
![{\displaystyle q=2n,\quad q_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa60058af8fbf66a3e3dbc1f93c8165be448ea0a)
et c’est pour cette raison que ce point est un point double de
mais les deux branches de
qui passent en ce point, appartenant
ainsi à deux courbes analytiquement distinctes, ne peuvent être que réelles.
Il y a exception pour l’origine
![{\displaystyle q=0,\quad q_{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad5b018746830e99706f7c24ea3a849c78692d3)
ce point est un point double de (α), mais n’appartient pas à (β) ; d’après
ce que nous venons de dire, le raisonnement qui précède ne s’applique
donc pas et nous avons vu d’ailleurs que les deux branches
de courbe sont alors imaginaires.
De même, la courbe
est formée de l’ensemble des deux
courbes (α) et (β) ; chacune d’elles a un point simple en
![{\displaystyle q=2n+1,\quad q_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4446ad8b1609f40c11d5987e5087971c090df8c2)
Les deux branches de
qui passent par ce point appartiennent
à deux courbes analytiquement distinctes et sont par conséquent réelles.
Nous avons vu plus haut que changer
en
c’est la même
chose que de changer
en
Considérons d’abord la courbe (α)
![{\displaystyle \mathrm {F} (t+\pi )=\mathrm {F} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4a15c88efcfa6956af8880058a8b18b2be3a77)
On a
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)=\mathrm {F} (-t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82990c4383a7a8a42e9c9b90613c7f104041f9c2)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left(-t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left({\frac {\pi }{2}}-t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be351af12e20142d7d07a12c5fc6a91a7d31da49)
La fonction
est donc paire et périodique de période
Si donc on change
en
se change en
qui
est encore paire et périodique. Si donc le point
appartient
à la courbe (α), il en est de même du point
La
courbe (α) est donc symétrique par rapport à l’axe des
La courbe
étant symétrique dans son ensemble et se composant
de (α) et de (β), nous devons conclure (ce qu’il serait d’ailleurs
aisé de vérifier) que la courbe (β) est également symétrique
par rapport à l’axe des
On doit conclure que les deux courbes (α) et (β) ne peuvent
avoir au point
![{\displaystyle q=2n,\quad q_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef52e072df3cf5a7e2267f3f7d7a392b8dced59d)
qu’un contact d’ordre impair.
Considérons maintenant la courbe (γ)
![{\displaystyle \mathrm {F} (t+\pi )=-\mathrm {F} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873b693c8d094ad425f8315cc7c252adc7f8cf63)
Il vient
![{\displaystyle \mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left(-{\frac {\pi }{2}}-t\right)=-\mathrm {F} \left({\frac {\pi }{2}}-t\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f642440ede1318f4be7818642643546e9da504)
La fonction
est donc impaire et périodique. Si donc
le point
appartient à (γ), le point
appartiendra
à (δ). Les deux courbes (γ) et (δ) sont donc symétriques l’une de
l’autre par rapport à l’axe des
Il en résulte que ces deux courbes ne peuvent avoir en
![{\displaystyle q=2n+1,\quad q_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4446ad8b1609f40c11d5987e5087971c090df8c2)
qu’un contact d’ordre pair.
Ainsi le contact des deux branches de courbes en
est d’ordre 0 pour
d’ordre 1 pour
d’ordre 2 (au
moins) pour
d’ordre 3 (au moins) pour
il est
ensuite alternativement d’ordre pair et d’ordre impair et toujours
au moins d’ordre 2.
Cela peut donner à penser que ce contact est toujours d’ordre
mais je ne l’ai pas vérifié.
La figure suivante, contenue dans le rectangle
![{\displaystyle q=0,\quad q_{1}=0,\quad q_{1}=\varepsilon ,\quad q=4+\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d733ea31b1a7c39b68fe62299b93b3bd89dc070)
peut résumer la discussion qui précède. La région couverte de
hachures est celle où
est imaginaire.
![Figure 1](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-f17-1.svg/480px-H.Poincar%C3%A9-M%C3%A9ca.c%C3%A9leste-f17-1.svg.png)
Fig. 1.
On peut tirer de l’équation qui donne
en fonction de
et de
divers développements, dont la convergence est plus ou
moins rapide et qui donnent
ordonné suivant les puissances
de
Mais je crois qu’il est préférable de calculer
à l’aide
des formules précédentes et d’en déduire
par les Tables trigonométriques.
180.Une fois
déterminé, il s’agit de trouver les coefficients
du développement
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925ff5c4a3b3ce87b3483badd29a570c3e2e4f00)
D’après la définition même de
on doit avoir
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded52d465d44af23aa521d075d5eb2dd4b5b22e0)
Il vient, d’autre part,
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\,{\frac {e^{i(h+2n)t}}{2}}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\,{\frac {e^{-i(h+2n)t}}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ecc78c3dbbd9067a8e1e4cfb7daac0c3b3a245)
Mais, d’après ce que nous avons vu au no 29, notre équation (1)
doit admettre deux solutions de la forme
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\,{\frac {e^{i(h+2n)t}}{2}},\quad {\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{n}\,{\frac {e^{-i(h+2n)t}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f554a788fcd9ba6f6020b20b43313d10a6ed188)
et
doit en être une combinaison linéaire ; cela ne peut avoir
lieu que si
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}=\mathrm {B} _{n}=\mathrm {C} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1ee7eab63473c43f1a651520dca148e3cf2194)
Il en résulte que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t={\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} _{n}}{2i}}e^{i(h+2n)t}-{\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} _{n}}{2i}}e^{-i(h+2n)t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1090eebce4586fbc70b3daa9b2b1192cd658d836)
satisfera également à l’équation (1) et, par conséquent, que
![{\displaystyle f(t)={\frac {{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t}{{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58a441f044f871e0a673e5203e34b24131ccab1)
Il est clair que
est une fonction de
et de
mais ce n’est
plus une fonction entière de ces deux variables comme l’était
Ce n’est même pas une fonction uniforme. Il est évident
que les seuls points singuliers de cette fonction sont les points
des courbes
![{\displaystyle \cos h\pi =\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e5fba7178b2ef053354eba34dc9535204d7122)
pour lesquels les fonctions
et
cessent de pouvoir être
mises sous la forme que nous venons de leur donner.
Comment se comporte la fonction
dans le voisinage d’un de
ces points singuliers ?
Supposons que le point
se rapproche indéfiniment d’un
point M appartenant à la courbe
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136beb8a33a915f99ca353b36eecd25e0f57681b)
et que
tende vers une valeur entière
alors, à la limite,
est encore périodique. Posons, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1077e81c4ed9184bf88553111f56a1c934d4913)
il viendra, en réunissant dans
et
les termes en
et en ![{\displaystyle (h-2n-2p)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5f38b3401dd851040bda14bf4e784b3f465221)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t+\mathrm {A} _{-n-p}\cos(h-2n-2p)t\right],\\\mathrm {B} \,f(t)&={\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t\,+\mathrm {A} _{-n-p}\sin(h-2n-2p)t\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3700597206c80fd30eb2b07aa987f24bf4d94bfc)
Si nous faisons alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}&=\mathrm {C} ,&\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}&=\mathrm {D} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacbffdd46ce5f0534a555542b4f04138a043da6)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\left[\mathrm {C} \cos(h-p)t\cos(2n+p)t-\mathrm {D} \sin(h-p)t\sin(2n+p)t\right],\\\mathrm {B} \,f(t)&={\textstyle \sum }\left[\mathrm {C} \sin(h-p)t\,\cos(2n+p)t+\mathrm {D} \cos(h-p)t\sin(2n+p)t\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dae5a52117f9e601364f7ac9477de5e72bd358)
Quand
tend vers
tend vers 1 et
vers zéro ; mais, si
tend vers l’infini, de telle façon que
tende vers une limite finie, le produit
tendra
vers
étant une constante.
Si alors le point M appartient à la courbe
le développement
de
doit contenir seulement des termes en
![{\displaystyle \cos(2n+p)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6fa7ddea04eb5d108bf9b34f31e25eea205fd7)
et celui de
des termes en
et en ![{\displaystyle t\cos(2n+p)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a12f163f7dece5c6824cb9e495ccc6ef230eab)
Il faut donc que
tende vers une limite finie,
et
vers zéro.
Donc
et
tendront vers des limites finies, égales entre
elles. Si
est pair,
devra tendre vers zéro. Il est aisé de vérifier
que, si
![{\displaystyle \lim \mathrm {A} _{n}=\lim \mathrm {A} _{-n-p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f3107c79866231838f7741a8e328d4ea49c97e)
on aura, comme il convient,
![{\displaystyle \lim \mathrm {B} =\lim {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba1a7cd013e714f50c2df51c3135353ac312511)
Si, au contraire, le point M appartient à la courbe
le
développement de
devra contenir des termes en
![{\displaystyle \cos(2n+p)t\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b497656de94a499145028e6c12f3a726c4b061)
et
![{\displaystyle \quad t\sin(2n+p)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3027791ba121290b222ed8f597822624f6169080)
et celui de
des termes en ![{\displaystyle \sin(2n+p)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02133eae7cd779ace38a6c38ff8c51e175bd7ea4)
Il faut donc que
tende vers une limite finie,
et
vers l’infini.
Donc,
et
tendront vers l’infini, mais leur somme algébrique
restera finie.
Mais, que le point M appartienne à la courbe
ou à la
courbe
ce n’en est pas moins un point singulier pour la
fonction
En effet, quand le point
tourne autour de M,
la fonction
s’échange avec la fonction
comme le font
deux déterminations d’une même fonction algébrique.
Il résulte de là que, si
n’est pas entier,
pourra se développer suivant les puissances croissantes de
et que le rayon de convergence
de ce développement sera le module du point singulier
le plus rapproché, et les points singuliers seront les points des
courbes
et
qui correspondent à la valeur de
considérée.
Il reste à trouver les coefficients du développement. Supposons
le problème résolu et soit
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(q+2n+h-q)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d20a9dfd8341bcd1d889a01c8e32a4a169e9ac1)
ou en développant suivant les puissances de
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(q+2n)t-t{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h-q)\sin(q+2n)t\\[0.5ex]&-{\frac {t^{2}}{1.2}}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h-q)^{2}\cos(q+2n)+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32dbf76d8e0b59723480b114585eab571db7b76f)
Ce développement, qui contient les lignes trigonométriques de
multipliées par des puissances de
doit être identique
à celui que nous avons trouvé plus haut
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,q_{1}^{i}\mathrm {F} _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f1ebeb62b5a27d15ba8eceb163559a8c3ed522)
![{\displaystyle \mathrm {F} _{i}(t)={\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right]+t\beta _{i.n}^{1}\sin(q+2n)t+\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434581d5e8dc161f78d2b1a5b1aa6bc1394999dd)
Observons, en effet, que
sont développables
suivant les puissances croissantes de
En identifiant les deux développements, il vient alors
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}={\textstyle \sum }\,q_{1}^{i}\beta _{i.n}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9622d198ff3a6bbcee54fef5f4ef38bf4c5d5e6)
et
![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}=1-{\textstyle \sum }_{i}\,q_{1}^{i}\left({\textstyle \sum }_{n}\,\beta _{i.n}^{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1487eee08ab1117bb92cd5f65e4c79dccd947b96)
Nous avons donc le moyen de calculer les coefficients du développement.
La convergence est généralement suffisante quand
n’est pas voisin d’un nombre entier. Si
est voisin d’un entier
on peut augmenter la convergence de la manière suivante :
Comme
et
s’échangent quand on tourne autour du
point singulier le plus rapproché, les deux fonctions
![{\displaystyle \left(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\right)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4b816a059f7ac65c7d41a86eadb94d2a5284f)
et
![{\displaystyle \quad \left(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6785867a09e4311699b8d42eefc0bdc31efc0970)
restent uniformes dans le voisinage de ce point singulier, mais la
première de ces deux fonctions restera finie et la seconde pourra
devenir infinie du premier ordre, si ce point singulier appartient à
Mais alors
![{\displaystyle \left(\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}f(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6212401dc3fd714e440533a35e40788cbde52236)
restera fini. Les développements de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba35c508916b8b82ab6913d88b2ac0fe8c3319aa)
et
![{\displaystyle \quad \left(\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}f(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8587f66441aeba9b4983c72a23a02863781c81cb)
seront donc beaucoup plus convergents que ceux de
et
On aura donc avantage à s’en servir et à en tirer ensuite
et
par une équation du second degré.
Observons, en terminant, que la discussion de la forme des
courbes
et
dans le voisinage des points
![{\displaystyle q=n,\quad q_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab07bc909ded5ac997619ea0e0f1a913c9ef03a)
sera singulièrement facilitée si l’on se sert du développement
de
et de
au lieu de celui de ![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d443441225b1326fd4cbbdd2029beb82dd23b4d)
Ce qui précède constitue la théorie complète de notre équation (1). Je dois toutefois parler des diverses méthodes qui ont été
proposées pour l’intégrer et qui sont celle qui est fondée sur
l’application des théorèmes de Jacobi, et celles de MM. Gyldén,
Bruns, Hill et Lindstedt.
Méthode de Jacobi.
181.On peut appliquer à l’équation (1) la méthode exposée en
détail au Chapitre IX avec cette différence que les séries seraient
certainement convergentes. L’équation (1) rentre en effet comme
cas particulier dans l’équation (3) du no 2. Or nous avons vu que
cette équation du no 2 pouvait être ramenée à la forme canonique
des équations de Jacobi.
Si donc nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1},&{\frac {dx}{dt}}&={\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1},&y_{2}&=t,&q&=\mu q_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2fda6cc17fcb49631b394e1f20986a37d1006b)
et
![{\displaystyle \mathrm {F} =-qx_{1}-x_{2}+\mu x_{1}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e323311c9706629eb2b0c43b7bd33c71d75147d7)
l’équation
(1)
|
|
|
peut être remplacée par les équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=1,\qquad {\frac {dx_{2}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},&{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}=\mu \sin 2y_{1}\cos 2y_{2}\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=q-\mu \sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c1084ae7e34415527f9efec486e5690f9a4966)
Le problème est alors ramené à l’intégration de l’équation aux
dérivées partielles
(2)
|
|
|
à laquelle la méthode d’approximations successives du no 125 est
directement applicable.
Mais il n’y aurait pas grand avantage à l’employer, à moins que
l’équation (1) ne soit qu’une expression approximative du problème
qu’on se propose et qu’après avoir intégré cette équation
on ne veuille pousser plus loin l’approximation en employant la
méthode de la variation des constantes ou qu’on ne veuille s’en
servir comme vérification.
Observons en passant que l’intégration de l’équation (2) se
ramène à celle d’une équation différentielle du premier ordre,
![{\displaystyle {\frac {dy_{2}}{dy_{1}}}=q+\mu \sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6322b2b1dc182504c2646813d7cb22291c5cc367)
Quoi qu’il en soit, cherchons quelle relation il peut y avoir entre
la fonction
définie par l’équation (2) et les fonctions
et
définies dans les numéros précédents.
Nous trouverons pour la solution générale des équations canoniques
dérivées de l’équation (1) par le changement de variables qui
précède l’expression qui va suivre ; je rappelle que nous avons posé
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53d9aafc1b9247d3d68daf50bd4f1ebf2bb28b3)
notre expression sera, en désignant par
des constantes d’intégration,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1}&=x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(ht+hy_{1}^{0}+2nt+2ny_{2}^{0})\\{\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1}&=-x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)\sin(ht+hy_{1}^{0}+2nt+2ny_{2}^{0})\\y_{2}&=t+y_{2}^{0}\,;\qquad x_{2}=x_{2}^{0}+\int {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c3d1123105ad664227bf6993ac333bcf18b1b4)
Si l’on élimine entre ces équations les deux constantes
et
et
que l’on résolve par rapport à
et à
on aura
et
en
fonctions de
et
et d’autre part
![{\displaystyle x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}=d\mathrm {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/418770555332b29cc0126a060db91eabce253446)
sera une différentielle exacte (Cf. no 19, in fine).
Posons alors, pour abréger,
![{\displaystyle ht+hy_{1}^{0}=\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef948abf6edb50f776047bdc9543900dcb9b0bee)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1}&=&&x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(\varphi +2ny_{2}),\\{\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1}&={}&-&x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)\sin(\varphi +2ny_{2})\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd78055f2b4b4eb4399e4a99a3c36f5149474c37)
et il s’agira d’éliminer
entre ces deux équations.
Pour effectuer cette élimination, observons que ces deux équations
peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}{\frac {\sin y_{1}}{x_{1}^{0}}}&=\theta _{1}(y_{2})\cos \varphi +\theta _{2}(y_{2})\sin \varphi ,\\{\sqrt {2qx_{1}}}{\frac {\cos y_{1}}{x_{1}^{0}}}&=\theta _{3}(y_{2})\cos \varphi +\theta _{4}(y_{2})\sin \varphi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850f40ab225cee706d52e9bb76b54744a37eedc8)
les
étant des fonctions périodiques de
de période
et qui
s’expriment aisément à l’aide de
et
En résolvant ces
équations par rapport à
et
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}^{0}}{\sqrt {x_{1}}}}\cos \varphi &=\eta _{1}(y_{2})\cos y_{1}+\eta _{2}(y_{2})\sin y_{1},\\{\frac {x_{1}^{0}}{\sqrt {x_{1}}}}\sin \varphi &=\eta _{3}(y_{2})\cos y_{1}+\eta _{4}(y_{2})\sin y_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b599a58e8eadbdfa435334eb3bb216f7e68e71)
les quatre fonctions
étant périodiques de période
et
s’exprimant aisément à l’aide des
et, par conséquent, à l’aide
de
et
En faisant la somme des carrés, il vient alors, si
l’on observe que
doit être une fonction paire en ![{\displaystyle y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8269b96bd2c28b5f5ddb541d4e5514f53e26159)
![{\displaystyle {\frac {(x_{1}^{0})^{2}}{x_{1}}}=\zeta _{0}(y_{2})+\zeta _{1}(y_{2})\cos 2y_{1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e38c461ebd11d44d98ba29b7a1127c524ce914c)
les deux fonctions
étant encore périodiques de période
et
s’exprimant aisément à l’aide de
et ![{\displaystyle f(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db88c28d6c644c905a4e12de7971c3d1eed37540)
Or nous aurons
![{\displaystyle x_{1}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d857dfccce6513bcb1ea07af973fe0b14a89238)
d’où cette conclusion :
est une fonction périodique de période
tant par rapport
à
que par rapport à
et son développement contient, comme
on le verra en appliquant la méthode du no 125, des termes en
où
et
peuvent prendre toutes les valeurs
entières possibles. Mais la fonction inverse
![{\displaystyle {\frac {1}{\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026f930a95e289e4359b8f3a1ea2ec2cd007482e)
qui est aussi périodique en
et
ne pourra contenir que des
termes en
![{\displaystyle \cos 2ny_{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1b2ddedc749664401548f4498fcf3cb871041d)
ou
![{\displaystyle \quad \cos(2y_{1}+2ny_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b38532e97788e477c2f74c9af13ddda886da64)
étant évidemment une fonction paire tant par rapport à
que
par rapport à ![{\displaystyle y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3c8c2e01474c1a353aef6bec0e5f0aae6d3a0)
Si nous posons
![{\displaystyle u={\frac {1}{\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abe431344cf9c442edb737bffb35bbde9049d5b)
l’équation (2) nous donne
![{\displaystyle q\,{\frac {du}{dy_{1}}}+{\frac {du}{dy_{2}}}=\mu \left({\frac {du}{dy_{1}}}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}-2u\sin y_{1}\cos y_{1}\cos 2y_{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcf1b269441e919e991cc20f03c83c5b1cb14af)
Les procédés du no 125 sont applicables à cette équation bien
qu’elle ne contienne pas seulement les dérivées de
mais la
fonction
elle-même.
On trouve
![{\displaystyle u=u_{0}+\mu \,u_{1}+\mu ^{2}u_{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0390c16628acaad5df12d0e42a7c7501bfabf76e)
est une constante, et il est aisé de vérifier que
sont
bien de la forme indiquée, c’est-à-dire que
![{\displaystyle u_{i}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}^{i}\cos 2ny_{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}^{i}\cos(2y_{1}+2ny_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abb4006d94637db3f3427f7d66974630c55a353)
Il est aisé de former des relations de récurrence qui permettent de déterminer les constantes
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}^{i+1}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037dc15866db8095490f905223cf02e76c1b7942)
et
![{\displaystyle \quad \mathrm {B} _{n}^{i+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1619268deefe59cc95a4242831e54ca7b4349f0)
quand on connaît les
et les ![{\displaystyle \mathrm {B} _{n}^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ebda37a58670dd509a6693d9f15193ce78abca)
Méthode de M. Gyldén.
182.M. Picard a démontré le théorème suivant :
Si une équation linéaire a pour coefficients des fonctions doublement
périodiques et si son intégrale générale n’a d’autre singularité
que des pôles, cette intégrale s’exprime à l’aide des « fonctions
doublement périodiques de deuxième espèce », c’est-à-dire
des fonctions qui se reproduisent multipliées par un facteur constant
quand la variable augmente d’une période.
L’importance de ce théorème provient des deux circonstances suivantes :
1o Il est toujours facile de reconnaître sur l’équation même si
l’intégrale générale n’a d’autre singularité que des pôles ;
2o Toute fonction doublement périodique de deuxième espèce
s’exprime simplement à l’aide des fonctions
de Jacobi ou des
fonctions
de M. Weierstrass.
M. Gyldén a eu l’idée ingénieuse d’appliquer ce théorème à
l’intégration de l’équation (1). Mais il serait injuste de présenter
les choses sous cette forme sans citer le nom de M. Hermite. Ce
que M. Gyldén a appliqué en réalité, c’est un théorème de M. Hermite
sur l’équation de Lamé, qui n’est à la vérité qu’un cas particulier
de celui de M. Picard, mais qui lui est notablement antérieur.
Notre équation (1) peut s’écrire
(2)
|
|
|
en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=-q^{2}+{\frac {q_{1}}{2}},&b&={\frac {q_{1}}{2}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149e6a88af214099e8f93cd1790b0e10c2703f9e)
Considérons la fonction
![{\displaystyle \cos amt=cnt\quad (\mathrm {mod} \;k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870def5301d51ca0ff99dfb0fe887ee51e397bb8)
).
Il est clair, d’après la définition même de cette fonction, que
tendra vers
quand
tendra vers zéro. On peut donc, si
est
très petit, remplacer l’équation (2) par la suivante
(3)
|
|
|
et l’approximation sera d’autant plus grande que
sera plus petit.
Cela posé, voyons quelles sont les conditions pour que l’intégrale
générale de (3) n’ait d’autre singularité que des pôles. Le
seul point singulier de l’équation (3) est le point
![{\displaystyle {\frac {\omega 'i}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77a8ecda9fc94ef66d6630641f6542654e79b85)
en appelant
et
les périodes de
En effet, pour
![{\displaystyle t={\frac {\omega 'i}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b016f449a9be532aaf8c9acb67ab39ec346905fd)
devient infini. On sait que le résidu de
est
de sorte
que nous aurons, en développant
suivant les puissances de
![{\displaystyle t-{\frac {\omega 'i}{2}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b90e21974b7206a7f5050573bc88e677d95ae4)
une série de la forme suivante
![{\displaystyle -{\frac {1}{k^{2}u^{2}}}+\alpha _{0}+\alpha _{1}u^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf81c8ad312016483eed1c642434d3a6e192728)
ne contenant que des puissances paires de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
La condition pour que le développement de
suivant les puissances
croissantes de
commence par un terme en
s’obtient
aisément en égalant dans les deux membres de (3) les termes
en
qui sont alors les termes de degré le moins élevé ; elle s’écrit
![{\displaystyle n(n+1)=+{\frac {b}{k^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc294101bce88ef9058f34fefdfed90d0fb89da)
d’où
(4)
|
|
|
Si elle est remplie et si
est entier, l’équation (3) admet une
intégrale particulière qui aura un pôle pour ![{\displaystyle t={\frac {\omega 'i}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a125628b7209f0e56a90e4e7c5eee4f878d994fa)
Comment se comportera l’autre intégrale ? La théorie des équations
linéaires nous apprend qu’elle ne pourra non plus avoir
d’autre singularité qu’un pôle en
ou un point logarithmique ;
mais l’étude du développement de
suivant les puissances
de
montre aisément que du moment que
est une
fonction paire de
on n’a pas à craindre que le développement
des intégrales contienne un logarithme ; je renvoie pour plus de
détails aux travaux bien connus de M. Fuchs, sur les équations
linéaires dans le tome 66 du Journal de Crelle et à la thèse
de M. Tannery (Paris, Gauthier-Villars, 1873) où ces travaux
sont résumés. Ainsi, si la condition (4) est remplie, l’équation (3)
admettra deux intégrales particulières de la forme
![{\displaystyle x={\frac {\theta (t-\alpha _{1})\theta (t-\alpha _{2})\ldots \theta (t-\alpha _{n})}{\theta ^{n}(t)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebcddd3b2c845c26f3a7a8b3d2af74970b102537)
en désignant par
celle des quatre fonctions
qui s’annule pour
![{\displaystyle t={\frac {\omega 'i}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a125628b7209f0e56a90e4e7c5eee4f878d994fa)
Les
quantités
peuvent être facilement déterminées,
ainsi que l’ont fait voir les recherches de M. Hermite sur
l’équation de Lamé qui ont épuisé complètement la question.
Maintenant nous pouvons choisir un entier
assez grand, pour
que la valeur de
qui satisfait à la condition (4) soit aussi petite
que nous voudrons, et, par conséquent, pour que les équations (2)
et (3) diffèrent aussi peu l’une de l’autre qu’on le voudra.
Mais, comme
est généralement très petit, M. Gyldén estime
que, dans les applications, on pourra se contenter de la première
approximation et faire
Méthode de M. Bruns.
183.Reprenons l’équation
(1)
|
|
|
et faisons-y
![{\displaystyle x=e^{\int \!z\,dt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11c548d9b984d5acf619418ae2665723f89802f)
L’équation deviendra
(2)
|
|
|
Supposons maintenant que l’on développe
suivant les puissances
croissantes de
et qu’on ait
![{\displaystyle z=z_{0}+q_{1}z_{1}+q_{1}^{2}z_{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45224097a524b2d15863243df2efa0c588054c1)
Nous déterminerons successivement
![{\displaystyle z_{0},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad z_{3},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab681082c25e9989b5e6d82d4b399629fb2605b1)
par la suite d’équations.
(3)
|
|
|
Les équations (3) permettent de calculer les
par récurrence ; si,
en effet, on a intégré les
premières de ces équations, et si l’on
connaît par conséquent
![{\displaystyle z_{0},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{k-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51f7d5c7248a607dcf8b8d3968da1186e360a01)
la (
+1)ième s’écrira (en prenant
par exemple)
![{\displaystyle {\frac {dz_{k}}{dt}}+2iqz_{k}=\mathrm {U} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ec722d31e49735a85254de429c50859822abb8)
étant une fonction connue de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si
sont des fonctions périodiques de
de période
il en sera de même de
et nous pourrons écrire
![{\displaystyle \mathrm {U} _{k}={\textstyle \sum }\,a_{n}e^{2nit},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc55d6696300b2e3ab11b03e84324253eee0289c)
d’où
![{\displaystyle z_{k}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {a_{n}e^{2nit}}{2i(n+q)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd299930f0ce6c4954ff12e7b5c258b53dd3a60)
Nous pourrons donc, à moins que
ne soit entier, égaler
à une
fonction périodique de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Alors
est une fonction périodique de
que nous pourrons écrire
![{\displaystyle z=ih+{\frac {du}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25745d6dd10e07e913869094000c476f81926879)
étant la valeur moyenne de cette fonction périodique
et
une autre fonction périodique. On en déduit pour une intégrale
particulière de (1)
![{\displaystyle x=e^{iht+u}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4c98fd20880568f5cae959ecd7a2efec4e92b7)
Ce que nous avons appelé
dans le no 178 est alors la partie
réelle de
![{\displaystyle e^{iht}e^{u}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9b70e14921b97c2a619837fc379706e5e5ec5b)
Cette méthode est la plus simple quand on veut le développement
de
suivant les puissances de ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
Méthode de M. Lindstedt.
184.Considérons l’équation
(1)
|
|
|
et sa solution paire
![{\displaystyle x=\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fd34e072eb0474ed3f48fb210d78abe0ec283b)
Il est clair que nous aurons
(2)
|
|
|
Le problème consiste à déterminer
et les
de façon que les équations (2) soient satisfaites et la série
convergente.
Nous pouvons considérer également l’équation à second membre
(3)
|
|
|
cette équation admet une solution de la forme
![{\displaystyle x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\cos(\lambda +2n)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bc98d55ad72f646fbdb8a8342add4003ea8a9e)
Il serait aisé d’ailleurs (par la méthode ordinaire d’intégration
des équations linéaires à second membre) de calculer les coefficients
une fois qu’on connaîtrait
et les
mais, si l’on veut
les calculer directement, on est conduit aux équations suivantes
analogues aux équations (2)
(4)
|
|
|
Pour
cette équation devrait être remplacée par la suivante
(4 bis)
|
|
|
qui se réduit encore aux équations (2), quand on y fait
Posons alors
![{\displaystyle {\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(\lambda +2n)^{2}\right]}}=\mathrm {M} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998e9a46445bcb2f30aa5e59b6048d0cb240618f)
sera une fonction de ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Posons pour
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{\mathrm {B} _{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1b5d50ea3e3cdd0d1a556b1725300c604952d3)
et, au contraire, pour ![{\displaystyle n<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a251cc9b926ddfd9f5ccd94e0a60dffc6b5eea)
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{\mathrm {B} _{n+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3044e15938d058c04552cbf107e1ac4308ddf9)
de telle façon que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\mathrm {B} _{1}}{\mathrm {B} _{0}}},&\alpha _{2}&={\frac {\mathrm {B} _{2}}{\mathrm {B} _{1}}},&\ldots &,&\alpha _{-1}&={\frac {\mathrm {B} _{-1}}{\mathrm {B} _{0}}},&\alpha _{-2}&={\frac {\mathrm {B} _{-2}}{\mathrm {B} _{-1}}},&\ldots ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf21d7e18718d057517ec86fc02324dfcf6d639)
les équations (4) deviendront, en supposant ![{\displaystyle n>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b90cfe174f0cf1c285539df4d03d339af13d87)
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {M} _{n}}}=\alpha _{n+1}+{\frac {1}{\mathrm {A} _{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbc87e618be88c252a7de9247e7dce085fe83d0)
d’où
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\mathrm {M} _{n}}{1-\mathrm {M} _{n}\alpha _{n+1}}}={\frac {\mathrm {M} _{n}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n+1}}{1-\mathrm {M} _{n+1}\alpha _{n+2}}}}}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b898dc5a2c67bf57063028ab26c6766b3ba55d8c)
Nous sommes donc conduit à exprimer
par la fraction continue
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}}{1-\ldots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fae4d5c92b622b4b8eb50b7050bc2b6acd4ead6)
Cette fraction continue est-elle convergente ? Soit
sa
ième
réduite, nous aurons
(5)
|
|
|
et, d’autre part,
![{\displaystyle \mathrm {P} _{n}\mathrm {Q} _{n-1}-\mathrm {P} _{n-1}\mathrm {Q} _{n}=\mathrm {M} _{1}^{2}\,\mathrm {M} _{2}^{2}\,\mathrm {M} _{3}^{2}\ldots \mathrm {M} _{n-1}^{2}\,\mathrm {M} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1509db41be47f5ab53bc8d5082bc50c7ea856271)
Je remarque d’abord que, quand
croît indéfiniment,
tend
vers 0 et que la série
(6)
|
|
|
est absolument convergente (sauf dans le cas où l’une des quantités
est infinie, c’est-à-dire où
est égal à
à un entier
près ; ce cas doit être exclu de la discussion qui va suivre). D’ailleurs,
à partir d’un certain rang, tous les termes de cette série
seront positifs.
Je dis maintenant que
va tendre vers une limite finie et qu’il
en sera de même de
En effet,
et
sont définis par les équations de récurrence (5).
Déterminons par les mêmes équations deux quantités
et
de telle sorte que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{n}&=\mathrm {R} _{n-1}-\mathrm {R} _{n-2}\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1},\\\mathrm {R} _{n}'&=\mathrm {R} _{n-1}'-\mathrm {R} _{n-2}'\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670af9656dc38b1e4ba8ff7ba2c691cd7df84c2c)
Nous pourrons nous donner arbitrairement deux quelconques des
quantités
et aussi deux quelconques des quantités ![{\displaystyle \mathrm {R} _{n}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec4e44e17752712c641ce74dd284948dde15dab)
Considérons dans la série (6) les
premiers termes qui suivent
le
ième
![{\displaystyle \mathrm {M} _{n}\,\mathrm {M} _{n+1}+\mathrm {M} _{n+1}\,\mathrm {M} _{n+2}+\ldots +\mathrm {M} _{n+p-1}\,\mathrm {M} _{n+p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfe64e94a83a2bf523a7b1f747a6cacef9cc1b5)
Soit
la somme de ces
termes, nous pourrons toujours
prendre
assez grand pour que
soit positif et plus petit
que 1.
Considérons alors l’équation de récurrence
![{\displaystyle \mathrm {R} _{n+p}=\mathrm {R} _{n+p-1}-\mathrm {R} _{n+p-2}\,\mathrm {M} _{n+p-1}\,\mathrm {M} _{n+p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9a99c97d438545517893d8055a1e7ebea3c55c)
Cette équation montre que, si l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}1>\mathrm {R} _{n+p-1}&>(1-\mathrm {S} _{n.p-1}),\\1>\mathrm {R} _{n+p-2}&>(1-\mathrm {S} _{n.p-2})>0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721dfdc5252a2fc81424e6f93314e34c0e983c22)
on aura également
(7)
|
|
|
Il suffit donc que l’on choisisse
et
de façon à satisfaire
à l’inégalité (7) pour que tous les termes
y satisfassent.
est donc toujours plus grand que
et, par conséquent,
positif. De plus, l’équation de récurrence montre que
va constamment
en décroissant quand l’indice
croît. Donc
tend vers une limite finie et déterminée. Choisissons donc
et
et
de façon à satisfaire aux inégalités (7) et
de façon que le déterminant
![{\displaystyle \mathrm {R} _{n+1}\,\mathrm {R} _{n+2}'-\mathrm {R} _{n+2}\,\mathrm {R} _{n+1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d42573b25a46c89cf566c30fc656d30c699b2cd)
ne soit pas nul.
Alors
et
tendront vers deux limites finies, déterminées
et différentes de 0,
et
Comme
et
satisfont aux mêmes relations de récurrence
que
et
et que ces relations sont linéaires, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {P} _{n}&=\mu &&\mathrm {R} _{n}+\mu '&&\mathrm {R} _{n}',\\\mathrm {P} _{n}&=\mu _{1}&&\mathrm {R} _{n}+\mu _{1}'&&\mathrm {R} _{n}',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ad445c26b1193d9c9341954ae5485e354fe41d)
étant des coefficients constants et la limite de notre fraction continue sera
![{\displaystyle {\frac {\mu \mathrm {R} +\mu '\mathrm {R} '}{\mu _{1}\mathrm {R} +\mu _{1}'\mathrm {R} '}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e7504a8e361374f7e69a635eb1a04d552ea740)
Pour certaines valeurs de
et
par conséquent, pour
certaines valeurs des coefficients
il peut arriver que cette fraction
soit nulle ou infinie ; mais elle ne se présentera jamais sous
la forme indéterminée
Dans le cas où
et où, par conséquent,
il n’y a presque rien à changer à ce qui précède. Si, par exemple,
on avait
notre fraction continue deviendrait
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{1+{\dfrac {\dfrac {\mathrm {M} _{1}}{\mathrm {M} _{3}}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}}{1-\ldots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06629a857478a503c9cb1ea7900ceaf49725ab60)
La limite de notre fraction continue étant une fonction de
nous
pouvons l’appeler
et écrire
![{\displaystyle \alpha _{1}=\psi (\lambda ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3d959efa1859087f9a6c0589d1f3fd15c339b6)
On trouverait de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{-1}&=\psi (-\lambda ),&\alpha _{2}&=\psi (\lambda +2),&\alpha _{3}&=\psi (\lambda +4),&\alpha _{n}&=\psi (\lambda +2n-2),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2105b0c6c5bf59fcea408d9789a29e1d755607b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{-2}&=\psi (2-\lambda ),&\alpha _{-n}&=\psi (2n-2-\lambda ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542a16c2f04cac3b1f16156232aa5a88ebbf25be)
ce qui met en évidence la propriété caractéristique de la fonction
à savoir que
![{\displaystyle \psi (\lambda )+{\frac {1}{\psi (\lambda -2)}}={\frac {2(q^{2}-\lambda ^{2})}{q_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7a58110a5a5fcdfca74c82cfd07b4e43e898d7)
Quand on a calculé
et
il est facile de calculer tous
les rapports
et
Si alors on avait la valeur de
on en
déduirait facilement celle de tous les coefficients
Or il est
évident que
satisfera à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}(q^{2}-\lambda ^{2})={\frac {\mathrm {B} _{0}q_{1}}{2}}\left[\psi (\lambda )+\psi (-\lambda )\right]+\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07eeeeb5f9919a58c36fac17d24d4d813055c15)
ce qui détermine ![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8094cef709e1302f623cbba5562943ff504dc1e7)
Pour
doit se réduire à
et
à 0 ; d’où l’équation suivante qui détermine
![{\displaystyle q^{2}-h^{2}={\frac {q_{1}}{2}}\left[\psi (h)+\psi (-h)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd90026993d98efd0cde9b45c85ed0470bded6e)
Une fois
déterminé (et cela se fera en général plus aisément
par l’une des méthodes exposées plus haut), on calculerait comme
nous venons de l’expliquer les
et les
Méthode de M. Hill.
185.Reprenons les équations (1), (2), (3), (4) et (4 bis) du
numéro précédent ; ces équations sont linéaires et, bien qu’elles
soient en nombre infini, M. Hill a eu la hardiesse de les traiter
par les procédés ordinaires de résolution des équations linéaires
en nombre fini, c’est-à-dire par les déterminants.
Cette hardiesse est-elle justifiée ? C’est ce que j’ai essayé de
faire voir dans une discussion que j’ai publiée dans le Tome XIV
du Bulletin de la Société mathématique de France et dont je
vais rappeler ici les principaux résultats.
Considérons un Tableau à double entrée, indéfini,
(5)
|
|
|
Dans ce Tableau les termes de la diagonale principale sont tous
égaux à 1.
Soit
le déterminant formé en prenant les
premières lignes
et les
premières colonnes du Tableau (5). Je dirai que le
Tableau (5) est un déterminant d’ordre infini et que ce déterminant
convergé si
tend vers une limite finie et déterminée
quand
croît indéfiniment.
Pour nous rendre compte des conditions de convergence d 'un
déterminant, appuyons-nous sur le mode suivant de génération, qui n’est autre que celui qui est connu sous le nom de clefs algébriques.
Soit à développer le déterminant
![{\displaystyle \mathrm {D} =\left|{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{array}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab04983568cce416c073e722a388be972d608af)
Développons le produit
![{\displaystyle {\textstyle \prod }_{p}\left({\textstyle \sum }_{n}a_{pn}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff908beef062cdb6244b168b977aedc2cce611b2)
puis affectons chacun des termes du produit développé, suivant
les cas, de l’un des coefficients
ou
nous obtiendrons
ainsi ![{\displaystyle \mathrm {D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f509e2299cfb2ecd9f23c4c6aa877a5a451c2f03)
Il est aisé d’en déduire l’inégalité suivante : formons le produit
![{\displaystyle \Pi ={\textstyle \prod }_{p}\left({\textstyle \sum }_{n}|a_{pn}|\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f8c165ddd0df4a7667adbf08215e6042d09eb5)
on aura
(6)
|
|
|
Supposons maintenant qu’on remplace dans le déterminant
un certain nombre d’éléments par zéro, le déterminant
deviendra
et
deviendra
un certain nombre de termes s’annuleront
dans le développement de
et les termes correspondants
s’annuleront aussi dans le développement de
On aura alors
(7)
|
|
|
Telles sont les deux inégalités très simples qui vont nous servir de
point de départ.
Pour que le déterminant
d’ordre infini converge, il suffit que
le produit
correspondant, qui s’écrit
(8)
|
|
|
converge lui-même ou, d’après un théorème bien connu, que la
série
![{\displaystyle |a_{21}|+|a_{31}|+|a_{41}|+\ldots +|a_{n1}|+\ldots +|a_{12}|+|a_{32}|+\ldots +|a_{13}|+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639f8288defd1c01009549040ade35e8d203c7cc)
converge elle-même.
En effet, soient
et
les déterminants obtenus en prenant
dans le Tableau (5) les
premières, puis les
premières
lignes et colonnes. Soient
et
les valeurs correspondantes
du produit
défini plus haut.
Comme dans le Tableau (5) les termes de la diagonale principale
sont égaux à 1, on passera de
à
en annulant un certain
nombre des éléments de ce déterminant
on aura donc
![{\displaystyle \left|\Delta _{n+p}-\Delta _{n}\right|<\Pi _{n+p}-\Pi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec1231d0c6d4fd8b45235bb7713805904bd4119)
Mais, si le produit (8) converge, le second membre de cette inégalité
tend vers zéro quand
et
croissent indéfiniment. Il en
est donc de même du premier membre, ce qui prouve que
tend
vers une limite finie et déterminée.C.Q.F.D.
Donc, pour que le déterminant
converge, il suffit que la série
obtenue en prenant dans ce déterminant tous les éléments qui
n’appartiennent pas à la diagonale principale converge absolument.
Je vais faire voir maintenant que le déterminant converge absolument,
c’est-à-dire qu’on peut modifier l’ordre des colonnes ou
des lignes sans changer la valeur limite du déterminant.
Soient en effet deux Tableaux analogues à (5) et ne différant
que par l’ordre des colonnes et des lignes. Je supposerai toutefois
que, dans l’un comme dans l’autre Tableau, les éléments égaux à 1
occupent la diagonale principale. Soit
le déterminant obtenu
en prenant les
premières lignes et colonnes du premier Tableau.
Soit
le déterminant obtenu en prenant les
premières lignes
et colonnes du second Tableau,
étant assez grand pour que tous
les éléments de
se retrouvent dans
Soient
et
les
produits
correspondant à
et
On passera de
à
en
annulant dans
un certain nombre d’éléments. Je puis donc
écrire
![{\displaystyle \left|\Delta _{p}'-\Delta _{n}\right|<\Pi _{p}'-\Pi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526afde0cf5bf95cb5e251d147ee4f718756a154)
Mais, le produit (8) étant absolument convergent, on aura
![{\displaystyle \lim \Pi _{p}'=\lim \Pi _{n}\qquad (n,p=\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2eba7655aa717835be1d013d81107bde5cf662)
On aura donc aussi
C.Q.F.D.
Imaginons maintenant que le Tableau (5) soit indéfini dans les
deux sens, de sorte que les colonnes et les lignes soient numérotées
depuis
jusqu’à
Le terme qui appartiendra à la fois à la ligne numérotée
et à
la colonne numérotée
s’appellera
D’ailleurs
et
pourront
prendre toutes les valeurs entières positives ou négatives, y compris
la valeur zéro.
Nous appellerons
le déterminant formé en prenant les
lignes numérotées
et les
colonnes portant les mêmes
numéros. Le déterminant d’ordre infini convergera si
tend
vers une limite finie et déterminée.
Nous supposerons toujours que les termes de la diagonale principale
sont égaux à 1, c’est-à-dire que
Alors, en raisonnant tout à fait comme plus haut, on trouverait
que le déterminant converge absolument pourvu que la série
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,|a_{np}|\quad (n\gtrless p\,;\,n,\,p\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab45dbbe8ad7bb9688e8ca3f2d32afff0d56f7ea)
variant de
![{\displaystyle \;-\infty \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fe788ab44f0b4722d80b7998c8667cd31192fd)
à
![{\displaystyle \;+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cca1195caff51b4ad33b640c1ed2edb1a9baab)
soit convergente.
Supposons maintenant que dans notre Tableau à double entrée,
c’est-à-dire d’après la définition qui précède, dans notre déterminant
d’ordre infini, on remplace tous les éléments d’une certaine
ligne par une suite de quantités
![{\displaystyle \ldots ,\quad x_{-n},\quad \ldots ,\quad x_{-1},\quad x_{0},\quad x_{1},\quad \ldots ,\quad x_{n},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4addeeb1004770bf3f8e0e4d2fa6da58eee6b16)
qui soient toutes plus petites en valeur absolue qu’un certain
nombre positif
Je dis que le déterminant restera convergent si
la série
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,|a_{np}|\qquad (n\gtrless p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05f6a6798cacda97110ef474b896637dc4b67dd)
converge.
En effet, prenons, comme il a été dit plus haut,
lignes
et
colonnes dans le Tableau à double entrée, de façon à
former le déterminant
Supposons que l’on fasse la somme des
valeurs absolues des éléments de chaque ligne, en exceptant la
ligne dont les éléments ont été remplacés par des quantités
Faisons ensuite le produit
des
sommes ainsi obtenues. Un
terme quelconque du déterminant
sera un terme du produit
multiplié par une des quantités
ou par cette quantité changée
de signe. Donc, d’après l’hypothèse
![{\displaystyle |x_{i}|<k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45f67640b16d10fcc20b31b5e682d5092d87bd8)
on devra avoir
![{\displaystyle |\Delta _{n}|<k\,\Pi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c1bd0211d82077a4517bb5a2f32d97f1da2ec5)
Si l’on annule quelques-uns des éléments de
ce déterminant
devient
et le produit
devient
Quelques-uns des termes
du produit
s’annulent et les termes correspondants de
s’annulent également. On a donc
![{\displaystyle \left|\Delta _{n}'-\Delta _{n}\right|<k\left(\Pi _{n}-\Pi _{n}'\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5d2c46cee30b7268b65d48c0e79e132979c698)
Observons maintenant que, pour passer du déterminant
au déterminant
il suffit d’y annuler certains éléments ; nous
trouverons
![{\displaystyle \left|\Delta _{n+p}-\Delta _{n}\right|<k\left(\Pi _{n+p}-\Pi _{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02ad7fe1717d30be2dbc029f707a1cda4e4ec1a)
et nous en déduirons, comme précédemment, que
tend vers
une limite finie et déterminée, pourvu qu’il en soit ainsi de
et c’est précisément ce qui arrive quand la série
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,|a_{np}|\qquad (n\gtrless p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05f6a6798cacda97110ef474b896637dc4b67dd)
converge.
186.Appliquons ces principes au cas particulier qui a été traité
par M. Hill dans son Mémoire sur le mouvement du périgée de la
Lune (Acta math., t. VIII).
Reprenons les équations (2) du no 184
(2)
|
|
|
Nous avons une infinité d’équations linéaires à une infinité
d’inconnues. Pour avoir le droit de les traiter d’après les règles
ordinaires du calcul et de calculer leur déterminant je veux
d’abord que la diagonale principale ait tous ses éléments égaux
à 1 et j’écris, par conséquent, cette équation sous la forme
(2 bis)
|
|
|
On aura donc, en appelant encore
l’élément du déterminant
qui appartient à la ligne numérotée
et à la colonne numérotée
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{nn}&=1;&a_{n.n-1}&=a_{n.n+1}=-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\,;\\[0.5ex]&&a_{n.p}&=0\quad \left({\begin{array}{r}p<n-1\\\mathrm {ou} \;p>n+1\end{array}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefc27cf2e60bd463eaf867ae8eaae844854804d)
Pour que le déterminant converge, il suffit donc que la série
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{n=+\infty }\left|{\frac {_{1}}{q^{2}-(h+2n)^{2}}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7499368fdfe9d8c4c003fcd7e306bbb5ea3dda)
converge, condition qui est évidemment remplie.
Ce déterminant est évidemment une fonction de
que j’appellerai
avec M. Hill
Alors
sera déterminé par l’équation
(3)
|
|
|
sur laquelle nous allons revenir.
Supposons ensuite que dans ce déterminant nous remplacions
les éléments de la ligne numérotée zéro par des indéterminées
que nous remplacions par conséquent
![{\displaystyle \ldots ,\quad a_{0.-p}=0,\quad \ldots ,\quad a_{0.-1}={\frac {-q_{1}}{2(q^{2}-h^{2})}},\quad a_{0.0}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1d689ea4c21f45f20dc876c805b9a4772e05c1)
![{\displaystyle a_{0.1}={\frac {-q_{1}}{2(q^{2}-h^{2})}},\quad \ldots ,\quad a_{0.p}=0,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e19076fc14393d8e4107a97c1352d1846d3d5a)
respectivement par
![{\displaystyle \ldots ,\quad x_{-p},\quad \ldots ,\quad x_{-1},\quad x_{0},\quad x_{1},\quad \ldots ,\quad x_{p},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0097d2e5bd0ad277b447318d1b7c3d74316a6c2c)
D’après ce qui précède, le déterminant
ainsi obtenu convergera
encore pourvu que les quantités
soient plus petites qu’un
nombre donné
Il sera une fonction linéaire des
et pourra
s’écrire
![{\displaystyle \Delta =\ldots +\mathrm {A} _{-p}x_{-p}+\ldots +\mathrm {A} _{0}x_{0}+\ldots +\mathrm {A} _{p}x_{p}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6629c8b5e92c71b1fd975f56c45f6bf91fcd39)
On obtiendra d’ailleurs évidemment
en donnant à
la
valeur 1 et aux autres indéterminées
la valeur zéro.
Je dis que les quantités
ainsi définies, satisfont aux équations (2).
Si nous donnons, en effet, à
la valeur
c’est-à-dire
la valeur
![{\displaystyle 0,\quad {\frac {-q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743bf3e3bfb8f732c1b38ba6e15b4babbdbb36de)
ou
![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
selon que
![{\displaystyle |n-p|>1,\quad |n-p|=1\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8598a750aa3cd8eae74f1c462f7c2ced56a419e)
ou que
![{\displaystyle \quad n=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1c76f264119a60317b64839758e39df0bf9cee)
notre déterminant deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\left(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d82f885d5be53d4ff6d61e0578dd2607f4bc6fc)
et il devra être nul, car il y a deux lignes identiques ; l’équation (2 bis)
sera donc satisfaite.
Il y a exception pour
car le déterminant n’a plus alors
deux lignes identiques ; mais il est encore nul, parce qu’il se réduit
alors à
qui est nul en vertu de l’équation (3).
Enfin la série
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{p}e^{(2p+h)it}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e437a6eadf82ca25a8da6f1898cbc52ade1df9ae)
converge ; car on l’obtient en faisant dans ![{\displaystyle \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2)
![{\displaystyle x_{p}=e^{(2p+h)it},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0050808f56dbd82a231a749434053225edd6c370)
et la valeur absolue de
est alors limitée, ce qui est, comme nous
l’avons vu, une condition suffisante de la convergence de Δ.
Application du théorème de M. Hadamard.
187.Il nous reste à étudier l’équation
(3)
|
|
|
Pour cela, il nous faut d’abord définir le déterminant que
M. Hill appelle
Pour cela, reprenons notre déterminant
et multiplions la
ligne numérotée zéro par
![{\displaystyle q^{2}-h^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f893df70c8028fb8bd311d21425c13c02d211ba6)
et la ligne numérotée
par
![{\displaystyle {\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5cca177c4b74c251a73032e6fb949c0f5dfac3)
Je dis que le déterminant
ainsi obtenu, sera encore convergent ;
et, en effet, si nous nous rappelons la définition donnée
plus haut de la limite d’un déterminant indéfini dans les deux sens,
nous verrons que
![{\displaystyle \nabla (h)=\square \,(h)(q^{2}-h^{2})\Pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f01d7b7c9b96a228b8c637cf85e5caee9c1ecfa)
étant la limite vers laquelle tend le produit des
facteurs
![{\displaystyle {\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b8aa49af1e0503d1633586cc9247070b58a7a9)
où
quand
croît indéfiniment :
est
donc la limite du produit infini
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+{\frac {h^{2}-q^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {h^{2}}{n^{2}}}+{\frac {(h^{2}-q^{2})^{2}}{16n^{4}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f92621304114e1ffdf264bc8496025933bcd3d5)
lequel est évidemment convergent. Donc
converge.
Appelons
celui des éléments de ce déterminant qui appartient
à la ligne numérotée
et à la colonne numérotée
Nous
aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0.0}=q^{2}-h^{2}&,&b_{n.n}&={\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}}\quad (n\gtrless 0),\\b_{0.1}=b_{0.-1}=-{\frac {q_{1}}{2}}&,&b_{n.n+1}&=b_{n.n+1}=-{\frac {q_{1}}{8n^{2}}}\quad (n\gtrless 0),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067f862a56f97882fa8a604ad174118bd7425c36)
![{\displaystyle b_{n.p}=0\quad (|n-p|>1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5fd81487386d65a08d2313871d55abcbfc1edb)
Nous allons remplacer dans
par
et étudier les propriétés
de la fonction
ainsi définie.
Je dis d’abord que c’est une fonction entière.
En effet, on aura évidemment, en remplaçant
par
![{\displaystyle {\begin{aligned}|b_{0.0}|&<q^{2}+x^{2},&|b_{n.n}|&<{\frac {q^{2}-(x+2n)^{2}}{4n^{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ca5c0bcbd6ecb4f204bd1eed995b257a62b104)
Par conséquent, d’après l’inégalité (6) du no 185, on aura
(4)
|
|
|
Or, en posant, pour abréger,
et associant les facteurs
du produit qui correspondent à des valeurs de
égales et
de signe contraire, ce produit infini peut s’écrire
![{\displaystyle \Pi \left[1+{\frac {x^{2}-\lambda ^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}+{\frac {(x^{2}-\lambda ^{2})^{2}}{16n^{4}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f699990b36f1f59db28b52d9c986b555ebc03d45)
et il est évidemment convergent et toujours fini. Donc il en est de
même de ![{\displaystyle \nabla (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab5548c4ae3f0863dc2c34b478dff90f8cba153)
Dans cette démonstration j’ai supposé
réel ; mais, si
était
imaginaire, il n’y aurait rien d’essentiel à y changer ; il suffirait
d’écrire
![{\displaystyle |q^{2}|+|q_{1}|+|x+20|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068c0d5e54a0ba329dc101659fd87972b3e92776)
au lieu de
![{\displaystyle q^{2}+|q_{1}|+(x+20)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7adf1c40c69f8bbb810af4bd41daf146c318d8c7)
Donc
est encore fini quelle que soit la valeur imaginaire
de
c’est donc une fonction entière.
Si l’on voulait démontrer par le menu que
jouit des autres
caractères d’une fonction entière, c’est-à-dire qu’elle est continue
et a une dérivée, il suffirait d’observer que le déterminant dont
la limite est
converge uniformément.
Appelons, en effet,
le déterminant formé en prenant
dans
les
lignes et les
colonnes numérotées
de
à
On aura
![{\displaystyle \nabla (x)=\lim \nabla _{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956e40f39a518811a131a12ce554cd3a6a9a793d)
Soit alors dans le plan des
un contour fermé
quelconque ;
soit
un point de ce contour et
un point intérieur à ce contour.
Comme
est un polynôme entier, on aura évidemment
![{\displaystyle 2i\pi \nabla _{n}(x)=\int {\frac {\nabla _{n}(z)\,dz}{z-x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371bb48f789fb01577ccc8b84f80a5fee4d38d8b)
l’intégrale étant prise bien entendu le long du contour C. La fonction
![{\displaystyle 2i\pi \varphi (x)=\int {\frac {\nabla (z)\,dz}{z-x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9672cad93d312f37c77b737b8479e17bd4c38828)
sera évidemment une fonction holomorphe de
je dis que
est égal à ![{\displaystyle \nabla (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab5548c4ae3f0863dc2c34b478dff90f8cba153)
En effet, comme il résulte des démonstrations précédentes que
la convergence de
est uniforme, nous pourrons prendre
assez grand pour que l’on ait au point
et sur tout le contour
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\nabla (x)-\nabla _{n}(x)|&<\varepsilon ,&|\nabla (z)-\nabla _{n}(z)|&<\varepsilon \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53278a8d590e0f55951399e4080dfd3a7b982322)
et, par conséquent,
![{\displaystyle 2i\pi |\varphi (x)-\nabla _{n}(x)|<\varepsilon \,l,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae65bb5690bbaf3a6e0d6f4f1e446a614f8d520f)
étant la longueur du contour
divisée par le minimum de ![{\displaystyle |z-x|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f62ae11cc02f9dcae9d9b05a72c486446d7bfbe)
Ainsi les différences
et
peuvent
être rendues aussi petites qu’on le veut, ce qui ne peut avoir
lieu que si
C. Q. F. D.
Donc
est holomorphe.
Je dis maintenant que
est périodique.
Désignons, en effet, par
le déterminant fini obtenu en
prenant dans
les
lignes et les
colonnes numérotées
de
à
et par
le déterminant obtenu en
prenant dans
les lignes et les colonnes correspondantes.
La démonstration de la convergence d’un déterminant indéfini
dans les deux sens a été donnée au no 185, quand la diagonale
principale a tous ses éléments égaux à 1. Elle ne suppose pas que
l’on s’astreigne à prendre autant de lignes dont les numéros sont
négatifs que de lignes dont les numéros sont positifs. On aura
donc
pour
![{\displaystyle n=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240243d41fea2dc34387b6dff7818dd7b73549af)
D’autre part, il est clair que
![{\displaystyle \mathrm {E} _{n}(n)=\mathrm {E} _{n}'(x)(q^{3}-x^{2})\Pi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8a32a4f2764065d4ff6f9afad56506886d18de)
où
est le produit des facteurs
(5)
|
|
|
où
prend les valeurs
et ![{\displaystyle n+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e78a98425372b5bd5d1a317bea9fc33afb109eb)
On aura d’ailleurs, ce qui se voit immédiatement en comparant
les déterminants,
![{\displaystyle \nabla _{n}(x+2)=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{2}\mathrm {E} _{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de0781331473a7722e762991a9ad619af7338df)
Nous allons faire tendre
vers l’infini, le premier membre tendra
vers
quant au second membre, il tendra vers
![{\displaystyle \square \,(x)\,(q^{2}-x^{2})\lim \Pi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ecaa7816a33e3931b9f96af7742157c19572bd)
Nous avons trouvé plus haut
![{\displaystyle \nabla (x)=\square \,(x)\,(q^{2}-x^{2})\lim \Pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48323132abed10a2d1a01a55784817e8a727f2fc)
étant le produit des facteurs (5) où l’on donne à
les valeurs
![{\displaystyle \pm n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6019d35575cbf8e573b799bd4af413006464b8c7)
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {\Pi '}{\Pi }}={\frac {q^{2}-{\dfrac {(x+2n+2)^{2}}{4(n+1)^{2}}}}{q^{2}-{\dfrac {(x-2n)^{2}}{4n^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7b7b7cfd1361f60e061bc57abfb3de3f5eb331)
d’où
![{\displaystyle \lim {\frac {\Pi '}{\pi }}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470f92c1daacb55afe3d730b5274329485459328)
d’où enfin
C.Q.F.D.
De plus, on a
![{\displaystyle \nabla _{n}(-x)=\nabla _{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03ff92f5c98443672c0b1520be50efcc6f84270)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \nabla (x)=\nabla (-x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ba41c0c5f519b97d3c3dd05824cafd72930983)
Poursuivant l’étude de la fonction entière
je me propose
de démontrer qu’elle est de genre zéro, quand on la regarde
comme fonction de
On sait qu’une fonction entière est dite
de genre zéro quand elle peut se développer en un produit infini
de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(1-{\frac {x}{b_{1}}}\right)\left(1-{\frac {x}{b_{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {x}{b_{n}}}\right)\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae82a0aa61cb950cacea844d9a854c3bdbbd1422)
Plus généralement on dit qu’une fonction entière est de genre
lorsqu’elle est développable en un produit d’un nombre infini de facteurs primaires de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(1-{\frac {x}{b}}\right)e^{\mathrm {P} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9538944b1e42e64f04e1159d181cd736d8b7f99)
étant un polynôme d’ordre
en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Pour démontrer ce point capital, je dois faire usage de certaines
inégalités que je vais d’abord établir.
Cherchons une limite supérieure de
![{\displaystyle |\nabla (y+ix)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e829fff29599d728564e842fdbc4eb257d1d50)
Comme la fonction
est périodique de période 2, j’e pourrai toujours
supposer que
est compris entre
et
On aura alors
![{\displaystyle \left|q^{2}+q_{1}+(y+ix-2n)^{2}\right|<q^{2}+|q_{1}|+x^{2}+(y-2n)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6b97c044ed8a3ea0f547f38eb26da5e16b9df7)
et, par conséquent, en posant comme plus haut,
![{\displaystyle \lambda =q^{2}+|q_{1}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f34bb337151c13a79a1e1b0bac83d5c725005b)
il viendra en faisant usage de notre inégalité fondamentale
(α)
|
|
|
Le second membre de cette inégalité est une fonction de
que
je désignerai par ![{\displaystyle \mathrm {F} (x^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0be95c51634fe0330d5c7f0f31905ffcf075380)
Posons pour un instant
et considérons la fonction
Il est aisé de voir qu’elle est de genre 1.
En effet, la fonction
est de genre 0 et peut se mettre sous
la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} (x)=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {x}{b_{n}^{3}}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf4a31fe7f165677ee9bb38b3ae5577f545fa18)
Je représente par
les racines de l’équation
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} (t^{3})=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {1}{b_{n}}}\right)\left(1-{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\right)\left(1-{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a120af28aa3dd98b1b29447e8250e8a13ce95765)
ou
![{\displaystyle \mathrm {F} (t^{3})=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {1}{b_{n}}}\right)e^{\frac {1}{b_{n}}}\Pi \left(1-{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\right)e^{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\Pi \left(1-{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}\right)e^{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe44f71e4fc09a7b89a6fb6da2420254c218ea4b)
On vérifierait sans peine que les trois produits du second membre
sont absolument convergents.
J’ai démontré dans le Bulletin de la Société mathématique de France
que, si une fonction
est de genre 1, on aura
![{\displaystyle \lim \varphi (x)e^{-\alpha x^{2}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a65b2ca163597111ca84dba3fd2c31b141183a)
si
tend vers l’infini avec un argument déterminé et de telle
sorte que
tende vers zéro.
Si donc
et
sont réels positifs, on aura
![{\displaystyle \lim \mathrm {F} (t^{3})e^{-\alpha t^{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb36631cb0d82f5b66508c6c5f38fb3d150dab86)
Quand on fera varier
de
à
le premier membre tendra
vers sa limite uniformément, d’où cette conséquence ; on pourra
trouver deux nombres positifs
et
tels que
![{\displaystyle \left|\nabla (y+ix)\right|<\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!x^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02a4fe22a3c0567a0b522daa3812eaef566456f)
en faisant
et remarquant que
![{\displaystyle |x|<|z|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639bafcd7086e1eac1a7f9ba168a8a9492e147da)
il viendra
![{\displaystyle \left|\nabla (z)\right|<\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!z^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda534588350c732055a037c53b655ff43f30b84)
Considérons maintenant le développement de
![{\displaystyle \nabla (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{n}z^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2d4ad7404d7593237c81651f77878a50ffd987)
il viendra
![{\displaystyle 2i\pi \,\mathrm {C} _{n}=\int {\frac {\nabla (z)\,dz}{z^{n+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6a327d07a635f1edab8d6d7d5800bee7a4b5dc)
l’intégrale étant prise le long d’un cercle de rayon quelconque
ayant pour centre l’origine.
On en conclut
![{\displaystyle \left|\mathrm {C} _{n}\right|<{\frac {\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!z^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}}}{\left|z^{n}\right|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0492152816d24234fa86a4724b1a6650ad0d2b32)
et cela quel que soit
Or le minimum de
![{\displaystyle e^{\alpha z^{\frac {4}{3}}}z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef3b9c2bb56362ae1f3c70e44ef1f9e01a0d124)
est
![{\displaystyle e^{\frac {3n}{4}}\left({\frac {3n}{4\alpha }}\right)^{-{\frac {3n}{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed6228a8916c73577a0d19e48cb327175975298)
d’où
![{\displaystyle \left|\mathrm {C} _{n}\right|<{\frac {\mathrm {K} \,e^{\frac {3n}{4}}}{\left({\dfrac {3n}{4\alpha }}\right)^{\frac {3n}{4}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c971f7604d323030c5c381fc17102b1d34e767d3)
Nous observerons que, la fonction
étant paire, les coefficients
sont nuls.
Je me propose de démontrer que
considéré comme fonction
de
est de genre zéro. En vertu d’un théorème de M. Hadamard
(Cf. Comptes rendus, t. CXV, p. 1121), il suffit pour cela d’établir
que
![{\displaystyle |\mathrm {C} _{2n}|<\mathrm {K} '\Gamma (n+1)^{-\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb3148dcfa78d773284462a79fe9c6f0e1ba6692)
étant plus grand que 1.
Or il vient
![{\displaystyle |\mathrm {C} _{2n}|\,\Gamma (n+1)^{+\mu }<\mathrm {K} \,e^{\frac {3n}{2}}\left({\frac {3n}{2\alpha }}\right)^{-{\frac {3n}{2}}}\Gamma (n+1)^{+\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037f7eb8ed5758c5db394b63b252a45562f268b1)
Si l’on remplace
par sa valeur approchée, le second
membre devient
![{\displaystyle \mathrm {K} \,e^{{\frac {3n}{2}}-n\mu }\left({\frac {3}{2\alpha }}\right)^{\frac {3n}{2}}n^{n\mu -{\frac {3n}{2}}}\left(2\pi n\right)^{\frac {\mu }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b85d1415e80848aad96b3d65cc0a413622cd2d8)
Il s’agit de démontrer que, pour une valeur de
cette
expression reste limitée. Or, si
![{\displaystyle \mu <{\tfrac {3}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2645d0fa2754a5c9bb75be961bda92f473b7e64a)
elle tend vers zéro, quand
croît indéfiniment.
Il suffira donc de prendre
![{\displaystyle 1<\mu <{\tfrac {3}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a2f836efa99f94f9d116742d4f9762e179e9d8)
Il résulte de là que la fonction
peut se développer en un
produit de la forme
[5]
|
|
|
Il reste donc à connaître les zéros de la fonction
d’après la nature même de la question, ces zéros seront
![{\displaystyle x=\pm (h+2n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71ceb082ea99352a5a75e0fecd2e51fa8589318)
étant un entier. En effet, c’est pour ces valeurs, et pour elles
seulement, que les équations (2) et (2 bis) du no 186 et par conséquent
l’équation (3) du no 186 pourront être satisfaites.
Les zéros de
sont donc les mêmes que ceux de
![{\displaystyle \cos \pi x-\cos \pi h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1cfac21e2fbf1b0b4ee60a86bb6f01b000de29)
comme ces deux fonctions sont toutes deux développables en produits
infinis de la forme (5) et que les facteurs de ces deux produits,
sauf la constante
sont les mêmes, les deux fonctions ne pourront
différer que par un facteur constant et l’on aura
(6)
|
|
|
Mais
n’est pas seulement fonction de
c’est une fonction
entière de
et de
et l’on démontrerait absolument de la même
manière que c’est une fonction de genre zéro tant par rapport à
que par rapport à
Il y a plus ; soit, par exemple,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (x)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}q_{1}^{n},\\\mathrm {A} &={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}'q_{1}^{n},\\\mathrm {A} \cos \pi h&={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}''q_{1}^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed884939c3ff445ddc6a6d2e9680f5964de7bd1)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\mathrm {D} _{n}'\cos \pi x-\mathrm {D} _{n}''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b035b40dfcdcf5d63ac35662dc728cea2c4f65c0)
On peut démontrer, absolument de la même manière que plus
haut, que
![{\displaystyle |\mathrm {D} _{n}|<\mathrm {K} '\Gamma (n)^{-\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032c28af6ffc61226763d345b545e30494693e5a)
si
est compris entre 1 et 3/2. Comme cette inégalité doit avoir lieu
quel que soit
devra satisfaire à une inégalité de même forme,
de sorte que
sera une fonction de genre zéro par rapport à
et
l’on verrait de la même façon que c’est une fonction de genre zéro
par rapport à ![{\displaystyle q^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76d73ebfa16ee8f5b6d24c8a1b95db09151c8f7)
Mais
ne peut jamais s’annuler ; car
ne s’annule jamais
identiquement (je veux dire quel que soit
). Or une fonction de
genre zéro qui ne s’annule pas se réduit à une constante.
Donc
est indépendant à la fois de
et de
Écrivons l’égalité (6) pour mettre en évidence la valeur de
sous la forme
![{\displaystyle \nabla (x,q_{1})=\mathrm {A} (\cos \pi x-\cos \pi h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4790113c288465388bf31d0dd0b60f7636764f5)
Pour
est égal à
il vient donc
![{\displaystyle \nabla (x,0)=\mathrm {A} (\cos \pi x-\cos \pi q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2c22c3ec2811423c28bcef74aa8ec7c66b4da0)
d’où, en divisant et faisant ![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)
![{\displaystyle {\frac {1-\cos \pi h}{1-\cos \pi q}}={\frac {\nabla (0,q_{1})}{\nabla (0,0)}}={\frac {\square \,(0,q_{1})}{\square \,(0,0)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2580eae250d0a12a2fbe26f54a47aad70183999)
ou enfin
(7)
|
|
|
car
![{\displaystyle \square \,(0,0)=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f510626713ec2ac8dd617cfe9968af894fbc4ea)
c’est de l’égalité (7) que M. Hill a tiré la valeur de ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Grâce aux considérations qui précèdent, la légitimité de sa
méthode est désormais rigoureusement établie.
Remarques diverses.
188.Dans le cas particulier que nous traitons, on pourrait
arriver à quelques-uns de ces résultats sans avoir recours au théorème
de M. Hadamard.
En effet, observons d’abord que, quand même
et
sont imaginaires,
l’égalité fondamentale (α) subsiste encore, pourvu que
![{\displaystyle \lambda =|q^{2}|+|q_{1}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a551c7e7716632e0c578e49e8d0e2cf023427ea6)
Si nous nous rappelons alors le développement connu
![{\displaystyle \sin \pi x=\pi x{\,\textstyle \prod }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5b6e1f10def9dc5516ce034465dfa2fc6f8881)
nous en déduirons
![{\displaystyle \cos \pi x-\cos \pi y={\frac {\pi ^{2}}{2\,}}(y^{2}-x^{2}){\,\textstyle \prod }\left[{\frac {(y-2n)^{2}-x^{2}}{4n^{2}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500073ba1833ad1a7c97e16713facf809af8965e)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} (x^{2})={\frac {2}{\pi ^{2}}}\left[\cos \pi {\sqrt {-x^{2}-\lambda }}-\cos \pi y\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f222c84adfd39ac54b56ae30b0abbc80be7019)
L’inégalité (α) est vraie quels que soient
et
pourvu que
et
soient réels.
Nous savons maintenant que le rapport
![{\displaystyle {\frac {\cos ix}{e^{|x|}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db3f715f5e4ef9a7ed4f7f937b5fc09c3cd1b05)
tend vers 1/2 quand
croît indéfiniment par valeurs réelles. Il
résulte de là qu’on peut trouver une constante numérique
telle que
![{\displaystyle \mathrm {F} (x^{2})<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {x^{2}+\lambda }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7118c656eea9be9f78f8e0cd9a3b0a85bc674cd)
on en déduit
![{\displaystyle |\nabla (y+ix)|<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {x^{2}+\lambda }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85b30e7b619fed806d8831c1726ce264b9b1861)
d’où
![{\displaystyle |\nabla (z)|<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {|z^{2}|+\lambda }}}<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {\lambda }}}\,e^{\pi |z|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fd5c8729950d7329257e14b94d2e242416c3fe)
Considérons maintenant le rapport
![{\displaystyle {\frac {\nabla (z)}{\cos \pi z-\cos \pi h}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7cadd94a33cbabfc16a2aa2a2e846775c6d01f6)
Le numérateur s’annule toutes les fois que le dénominateur s’annule,
et il en résulte que ce rapport est une fonction entière, tant
en
qu’en
et en ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
Comme ce rapport est une fonction périodique de
nous
pouvons toujours supposer que la partie réelle de
reste comprise
entre
et
faisons donc tendre la partie imaginaire
vers l’infini et voyons comment se comporte notre rapport
![{\displaystyle {\frac {\nabla (z)}{\cos \pi z-\cos \pi h}}={\frac {\nabla (z)}{e^{\pi |z|}}}\,{\boldsymbol {:}}\,{\frac {\cos \pi z-\cos \pi h}{e^{\pi |z|}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abddf989b7587e32b2022e75ae8634e9230d0e7)
Le premier facteur du second membre reste inférieur en valeur
absolue à
le second facteur tend vers 1/2 : notre rapport reste
donc fini. C’est donc une fonction entière de
qui reste constamment
inférieure à une certaine limite ; cette fonction doit donc
d’après un théorème connu se réduire à une constante indépendante
de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Il faut toujours avoir recours au théorème de
M. Hadamard pour
démontrer qu’elle est en outre indépendante de
et de
Extension des résultats précédents.
189.Toutes ces méthodes, sauf celle de M. Gyldén, s’appliquent
à toute équation de la forme
(1)
|
|
|
où
est une fonction périodique de
développable par conséquent
en série trigonométrique.
Il n’y aurait à faire que des changements de détail que le lecteur
pourra faire sans peine s’il veut traiter de cette manière une
équation de la forme (1). La plupart des résultats sont encore
vrais ; quelques-uns cependant ne le sont que si la fonction
est
paire.
M. Gyldén, voulant rendre son procédé applicable à l’équation (1),
a imaginé une méthode ingénieuse de tâtonnement sur
laquelle je ne juge pas utile d’insister, car il n’a eu que rarement
l’occasion d’en faire usage.
Supposons maintenant que la fonction φ(t) ne soit pas périodique,
mais soit de la forme
![{\displaystyle \varphi (t)=1+\mu \,\psi (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3ec95c2b74706f5ec0a58437c0eeb3e237984f)
étant un coefficient numérique très petit, et
étant la somme
de
termes de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} _{i}\sin(\alpha _{i}t+\beta _{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14b02fc467acd5ebe30df9241a33329538bb51e)
de sorte que
![{\displaystyle \psi (t)=\sum _{i=1}^{i=n}\mathrm {A} _{i}\sin(\alpha _{i}t+\beta _{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3365f879a64b75dd3c236e5369c464e6ed13e8d4)
Les
les
et les
sont des constantes ; mais les
ne sont pas commensurables entre eux, sans quoi la fonction serait périodique.
Dans ce cas, les procédés précédents sont encore applicables,
mais les séries auxquelles on parvient ainsi, et qu’on peut ordonner suivant les puissances de
ne sont plus convergentes, de sorte
que ces procédés n’ont plus d’autre valeur que celle que peut posséder,
d’après le Chapitre VIII, toute méthode de calcul formel.
Nous pourrons donc satisfaire formellement à l’équation (1), en faisant
(2)
|
|
|
Dans cette formule,
et
sont des séries ordonnées suivant
les puissances de
et dont les coefficients sont des constantes.
Les
sont des combinaisons linéaires à coefficients
entiers des
de sorte que
![{\displaystyle \gamma _{m}=\mathrm {N} _{1}\alpha _{1}+\mathrm {N} _{2}\alpha _{2}+\ldots +\mathrm {N} _{n}\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5434ad8a4a64fc7bcf8a5e8ef5a40de81894c15d)
et les sommations doivent être étendues à toutes les combinaisons
des valeurs entières des
![{\displaystyle \mathrm {N} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ce426a7ad7fb7bb360a5a2b543c071cbb70fa1)
La divergence de la série (2) pourra causer quelque étonnement.
Supposons, en effet, que les
sont de la forme
![{\displaystyle \alpha _{i}=m_{i}\lambda +m_{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc49aba7a98866c235139e9aae7d9d2151a2874)
les
et les
étant des entiers et une
constante qui est la
même pour tous les ![{\displaystyle \alpha _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7d2cd93febcff39846781bf91fbbd282032306)
Faisons varier
en conservant à
aux
aux
aux
et
aux
des valeurs invariables.
Pour toutes les valeurs commensurables de
les
seront
commensurables entre eux et la fonction
sera périodique. Nous
savons alors, par le no 29, que l’équation (1) admet une solution de
la forme (2) et de plus que cette solution n’est pas purement formelle
et que les séries sont convergentes.
Comme, dans tout intervalle, il y a une infinité de nombres
commensurables, on s’étonnera que les séries auxquelles on parvient,
quand
varie dans un intervalle si petit qu’il soit, puissent
être ainsi une infinité de fois convergentes et une infinité de fois
divergentes.
On comprendra mieux ce fait paradoxal si l’on étudie l’exemple
simple qui va suivre.
Soit l’équation du premier ordre
(3)
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Je supposerai que
est une série de la forme
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m.n}\mu ^{|m|+|n|}\cos(m\lambda -n)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fc3d6b14b47d68ee2631d2cd84ca2e4bcf1ea2)
Les
et les
prennent toutes les valeurs entières possibles,
est une constante, les
sont des coefficients constants, et
est un paramètre très petit, par rapport aux puissances duquel
nous développerons.
L’intégration donne alors
(4)
|
|
|
Cette solution doit être modifiée quand
est commensurable ; soit
en effet
et
étant premiers entre eux,
sera
nul quand on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}m&=hq,&n&=hp,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d20716933ce315ea5c0a6376421cc41098b48ab)
étant entier.
Il viendra alors
(5)
|
|
|
où sous le signe
on ne donne à
et à
que les valeurs qui
n’annulent pas
et où
![{\displaystyle \mathrm {B} =\sum _{h=-\infty }^{h=+\infty }\mathrm {A} _{hq.hp}\,\mu ^{|hq|+|hp|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5be2cd14bd1e9130141de1f0f11b6c50a5d1b7)
Si dans les formules (4) et (5) on passe des logarithmes aux
nombres, on trouvera dans un cas comme dans l’autre
![{\displaystyle x=e^{\mathrm {C} t}\psi (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447623d60e801eed140817bd403503a58b35209c)
étant une série ordonnée suivant les puissances de
et dont les coefficients sont formés d’un nombre fini de termes en
![{\displaystyle \sin(n\lambda -n)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a740ee65673d780dbfdeafd3edc25858d71b885)
ou
![{\displaystyle \cos(n\lambda -n)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a19e87b479976721776a78f17ec06cfd94d7ff)
Seulement il y a entre les deux cas deux différences :
1o Si
est commensurable, la série
est convergente ; si au
contraire
est incommensurable, la série
pourra être divergente
et la solution deviendra purement formelle.
2o La valeur de l’exposant
n’est pas la même dans les deux
cas. Si
est incommensurable,
est égal à
si
est commensurable,
est égal à
Donc
n’est pas une fonction continue de
Il doit en être de même de
dans le cas de l’équation (1) et
c’est ce qui nous explique pourquoi dans ce genre de questions il
n’est pas permis de raisonner par continuité.