Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.09

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 15-37).

CHAPITRE IX.

MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

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Historique.

123.M. Lindstedt a proposé, dans les Mémoires de l’Académie de Saint-Pétersbourg, 1882, un procédé d’intégration par approximations successives de l’équation suivante

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+n^{2}x=\mu \,\varphi (x,t),$

où $\varphi (x,t)$ est une fonction développée suivant les puissances croissantes de $x$ et dont les coefficients sont des fonctions périodiques du temps $t.$

Il a même fait voir que la même méthode est applicable aux équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+n_{1}^{2}x&=\mu \,\varphi (x,y,t),\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+n_{2}^{2}y&=\mu \,\psi (x,y,t),\end{aligned}}$

qui sont plus générales que l’équation (1) et qui se réduisent à un cas particulier des équations de la Dynamique, quand on a

${\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\psi }{dx}}\cdot$

L’équation (1) a une importance extrême en Mécanique céleste ; car M. Gyldén s’y est trouvé conduit plusieurs fois dans le cours de ses belles recherches.

M. Lindstedt ne démontrait pas la convergence des développements qu’il avait ainsi formés, et, en effet, ils sont divergents ; mais nous avons vu dans le Chapitre précédent comment ils peuvent néanmoins être intéressants et utiles.

Mais il y a une autre difficulté plus grave ; on constate aisément que la méthode est applicable dans les premières approximations, mais on peut se demander si l’on ne sera pas arrêté dans les approximations suivantes ; M. Lindstedt n’avait pu l’établir rigoureusement et conservait même à ce sujet quelques doutes. Ces doutes n’étaient pas fondés et sa belle méthode est toujours légitime ; je l’ai démontré d’abord par l’emploi des invariants intégraux dans le Bulletin astronomique, t. iii, p. 57, puis, sans me servir de ces invariants, dans les Comptes rendus, t. cviii, p. 21. C’est la seconde de ces démonstrations que je reproduirai dans le présent Chapitre. J’ai été ainsi conduit à un mode d’exposition de la méthode de M. Lindstedt qui s’étend immédiatement au cas le plus général des équations de la Dynamique.

Plusieurs cas particuliers y échappaient encore toutefois et entre autres le cas général du Problème des trois Corps.

Ce cas avait toutefois, en raison de son importance, attiré l’attention de M. Lindstedt. Ce savant astronome avait dans les Comptes rendus, t. XCVII, p. 1276 et 1353, montré comment sa méthode y pouvait être appliquée.

Malheureusement les mêmes difficultés que j’ai signalées plus haut subsistaient encore et non seulement les développements divergent, ce dont nous n’avons pas à nous inquiéter pour les raisons exposées dans le Chapitre précédent, mais on pouvait même douter de leur possibilité et, par conséquent, de la légitimité de la méthode elle-même. Je crois être arrivé à lever ces doutes et c’est à quoi je consacrerai le Chapitre XI.

Aussi, pour expliquer la manière d’appliquer la méthode de M. Lindstedt au Problème des trois Corps, j’adopterai un mode d’exposition qui ne sera, ni celui du savant inventeur, ni celui qui conviendrait au calcul des divers termes du développement, mais celui qui se prête le mieux à la démonstration de la légitimité de la méthode.

M. Lindstedt avait été devancé dans la voie où il a travaillé par M. Newcomb (Smithsonian contributions to Knowledge, décembre 1874), qui avait donné le premier des séries représentant le mouvement des planètes et ne contenant que des sinus et des cosinus. Sa méthode, sur laquelle je reviendrai plus loin, est fondée sur la variation des constantes arbitraires.

124.Bien que parmi les méthodes récemment introduites dans la Mécanique céleste, celles de M. Lindstedt ne soient pas les premières en date, je crois néanmoins que c’est par elles qu’il convient de commencer l’exposition de ces nouveaux procédés d’approximations successives. Je ne pourrais pas, en effet, en séparer l’exposition de celles de M. Newcomb qui sont les premières dans l’ordre chronologique et, d’ailleurs, les méthodes de M. Lindstedt sont en effet les moins compliquées de toutes et celles qui s’adaptent le mieux aux cas les plus simples. Elles ne se trouvent en défaut que quand on est en présence de très petits diviseurs, et il faut alors leur préférer les méthodes plus perfectionnées de M. Gyldén. Ma façon d’exposer la théorie de M. Lindstedt différera beaucoup de celle de cet astronome et je l’appliquerai d’ailleurs à des cas plus nombreux, mais les séries que j’obtiendrai seront identiques aux siennes, ainsi que je le montrerai plus loin.

Je compléterai d’ailleurs ses résultats sur un grand nombre de points et je chercherai à les étendre à des problèmes aussi nombreux que possible.

Exposé de la méthode.

125.Reprenons les équations du n^o 13

(1)

$\left\{{\begin{array}{c}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\qquad {\dfrac {dy_{i}}{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\qquad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),\\\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\dots \end{array}}\right.$

Le problème consiste à satisfaire formellement aux équations (1) par des séries de la forme suivante

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\dots &{}+{}&\mu ^{n}x_{i}^{n}&{}+{}&\dots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\dots &{}+{}&\mu ^{n}y_{i}^{n}&{}+{}&\dots ,\end{alignedat}}\right.$

les quantités $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ étant elles-mêmes de la forme suivante

${\begin{alignedat}{4}x_{i}^{k}&=\textstyle \sum \mathrm {A} \cos ht&{}+{}&\textstyle \sum \mathrm {B} \sin ht&{}+{}&\mathrm {C} ,\\y_{i}^{k}&=\textstyle \sum \mathrm {A} '\cos ht&{}+{}&\textstyle \sum \mathrm {B} '\sin ht&{}+{}&\mathrm {C} 't+\mathrm {D} ',\end{alignedat}}$

$\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {A} ',$ $\mathrm {B} ',$ $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {D} '$ étant des coefficients indépendants de $\mu$ et du temps $t,$ mais qui peuvent être fonctions d’un certain nombre de constantes d’intégration ; les $h$ sont des coefficients dépendant de $\mu$ et développés suivant les puissances de ce paramètre.

Quand je dis que les séries (2) satisfont formellement aux équations (1), voici ce que j’entends :

Substituons dans ces équations (1) les séries (2) arrêtées au $p+1$^er terme, c’est-à-dire faisons

${\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}x_{i}^{p},\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}y_{i}^{p},\end{alignedat}}$

je dirai que les séries (2) satisfont formellement aux équations (1), si, après cette substitution, la différence des deux membres de ces équations devient divisible par $\mu ^{p}.$

Pour déterminer les séries (2), nous nous servirons d’un procédé entièrement différent de celui dont M. Lindstedt a fait usage.

Cherchons donc à former une série de la forme suivante

(3)

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots +\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}+\ldots$

dont les coefficients $\mathrm {S} _{k}$ soient eux-mêmes des séries de la forme suivante

$\mathrm {S} _{k}=\alpha _{k,1}y_{1}+\alpha _{k,2}y_{2}+\ldots +\alpha _{k,n}y_{n}+\varphi _{k},$

les $\alpha _{k,i}$ étant des coefficients constants et $\varphi _{k}$ étant une fonction de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,$ $y_{n},$ périodique, de période $2\pi$ par rapport à ces $n$ variables.

Nous chercherons à déterminer la série (3) de façon à satisfaire formellement à l’équation aux dérivées partielles

(4)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\right)=\mathrm {const.}$

La constante du second membre (qui n’est autre chose que la constante des forces vives) pouvant dépendre de $\mu ,$ nous la poserons égale à

$\mathrm {C} _{0}+\mu \mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\ldots$

Faisons dans l’équation (4) $\mu =0,$ il viendra si l’on se rappelle que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend pas des $y$

(5)

$\mathrm {F} _{0}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{n}}}\right)=\mathrm {C} _{0}.$

On peut satisfaire à cette équation en faisant

$\mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{0}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n},$

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=x_{2}^{0},&&\ldots ,&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{n}}}&=x_{n}^{0},\end{aligned}}$

les $x_{i}^{0}$ étant des constantes qui peuvent être choisies arbitrairement puisque la constante $\mathrm {C} _{0}$ est elle-même arbitraire.

Nous poserons, comme dans les Chapitres qui précèdent,

$n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}^{0}}}\cdot$

En égalant ensuite les coefficients des puissances semblables de $\mu$ dans les deux membres de l’équation (4), on obtient une série d’équations qui permettent de déterminer par récurrence $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{p},$, $\ldots .$

Voici quelle est la forme de ces équations

(6)

$n_{1}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}+n_{2}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}}+\ldots +n_{n}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}}=\Phi _{p}+\mathrm {C} _{p}.$

$\Phi _{p}$ est un polynôme entier par rapport aux quantités

${\frac {d\mathrm {S} _{k}}{dy_{i}}}\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,p-1;\;i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

et les coefficients de ce polynôme sont des fonctions de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\ldots ,$ $x_{n}^{0}$ et de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,$ $y_{n},$ périodiques, de période $2\pi$ par rapport aux $y.$

Je dis qu’on pourra tirer la fonction $\mathrm {S} _{p}$ de cette équation (6) et de telle sorte que ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}},$ ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},$ $\ldots ,$ ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}},$ soient périodiques, de période $2\pi$ par rapport aux $y.$

Supposons, en effet, que cela soit vrai pour les dérivées de $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{p-1}$ par rapport aux $y.$

Alors $\Phi _{p}$ sera une fonction périodique de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,$ $y_{n}$ et je pourrai écrire

${\begin{aligned}\Phi _{p}=\mathrm {A} &+\textstyle \sum \mathrm {B} \cos(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\dots +m_{n}y_{n})\\&+\textstyle \sum \mathrm {C} \sin(m_{1}y_{1}+\dots +m_{n}y_{n}),\end{aligned}}$

les nombres $m_{1},\,m_{2},\,\dots ,\,m_{n}$ étant des entiers pendant que les $\mathrm {A} ,$ les $\mathrm {B}$ et les $\mathrm {C}$ sont des coefficients constants indépendants des $y.$

On peut faire alors

${\begin{aligned}\mathrm {S} _{p}={}&\alpha _{p,1}y_{1}+\alpha _{p,2}y_{2}+\dots +\alpha _{p,n}y_{n}\\&+\sum {\frac {\mathrm {B} \sin(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\dots +m_{n}y_{n})}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\dots +m_{n}n_{n}^{0}}}\\&+\sum {\frac {\mathrm {C} \cos(m_{1}y_{1}+\dots +m_{n}y_{n})}{m_{1}n_{1}^{0}+\dots +m_{n}n_{n}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Les $\alpha _{p,i}$ sont des constantes qui peuvent être choisies arbitrairement puisqu’elles sont assujetties seulement à la condition

$\alpha _{p,1}n_{1}^{0}+\alpha _{p,2}n_{2}^{0}+\dots +\alpha _{p,n}n_{n}^{0}=\mathrm {A} +\mathrm {C} _{p}$

et que la constante $\mathrm {C} _{p}$ est arbitraire.

Cette méthode ne serait en défaut que s’il existait des entiers $m_{1},$ $m_{2},$ $\dots ,$ $m_{n},$ tels que

$\textstyle \sum m_{i}n_{i}^{0}=0.$

Nous supposerons qu’il n’en est pas ainsi.

Il est à remarquer que les fonctions $\mathrm {S} _{p}$ ainsi définies contiennent des constantes arbitraires ; elles dépendent d’abord de

$x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0},$

puis de

$\alpha _{1,1},\quad \alpha _{1,2},\quad \dots ,\quad \alpha _{1,n},$

puis de

${\begin{array}{rrrr}\alpha _{2,1},&\alpha _{2,2},&\dots ,&\alpha _{2,n},\\\dots ,&\dots ,&\dots ,&\dots ,\end{array}}$

puis de

${\begin{array}{rrrr}\alpha _{p,1},&\alpha _{p,2},&\dots ,&\alpha _{p,n},\\\dots ,&\dots ,&\dots ,&\dots ,\end{array}}$

Nous ne voulons conserver que $n$ constantes arbitraires ; nous continuerons donc à considérer les $x_{i}^{0}$ comme arbitraires, en choisissant d’une manière quelconque, mais définitive, les $\alpha _{i,k}.$ Nous pourrions convenir, par exemple, de choisir les $\alpha _{i,k}.$ de façon que

$0=\mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} _{2}=\dots =\mathrm {C} _{p}=\dots ,$

mais je préfère prendre tous les $\alpha _{i,k}.$ nuls ; les constantes $\mathrm {C} _{1},$ $\mathrm {C} _{2},$ $\dots ,$ $\mathrm {C} _{p},\,\dots$ ne sont pas nulles alors ; en général, elles dépendent, ainsi que $\mathrm {C} _{0},$ de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0}.$

Cela posé, soit

$\Sigma _{p}=\mathrm {S} _{0}+\mu \mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {S} _{2}+\dots +\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}.$

Posons

(7)

${\frac {d\Sigma _{p}}{dy_{i}}}=x_{i},\qquad {\frac {d\Sigma _{p}}{dx_{i}^{0}}}=w_{i}.$

Si nous changeons de variables, en prenant pour variables nouvelles les $x_{i}^{0}$ et les $w_{i},$ au lieu des $x_{i}$ et des $y_{i}$ [les nouvelles variables étant liées aux anciennes par les relations (7)], le théorème du n^o 4 nous apprend que les équations resteront canoniques et que nous aurons

${\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dw_{i}}},\qquad {\frac {dw_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}^{0}}}\qquad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Voyons maintenant quelle sera la forme de $\mathrm {F} ,$ quand elle sera exprimée en fonction des nouvelles variables $x_{i}^{0}$ et $w_{i}.$ Par hypothèse, la série $\mathrm {S}$ satisfait formellement à l’équation (4) ; cela revient à dire que nous aurons

$\mathrm {F} (x_{i},y_{i})=\mathrm {F} \left({\frac {d\Sigma _{p}}{dy_{i}}},y_{i}\right)=\mathrm {C} _{0}+\mu \mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\dots +\mu ^{p}\mathrm {C} _{p}+\mu ^{p+1}\Phi _{p},$

$\Phi _{p}$ étant une fonction des $x_{i}^{0},$ des $w_{i}$ et de $\mu$ susceptible d’être développée suivant les puissances de $\mu .$ Quant aux quantités $\mathrm {C} _{0},$ $\mathrm {C} _{1},$ $\dots ,$ $\mathrm {C} _{p},$ nous avons vu que ce sont des fonctions des $x_{i}^{0}.$

Nous poserons

$\nu _{i}^{p}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu \,{\frac {d\mathrm {C} _{1}}{dx_{i}^{0}}}-\mu ^{2}\,{\frac {d\mathrm {C} _{2}}{dx_{i}^{0}}}-\dots -\mu ^{p}\,{\frac {d\mathrm {C} _{p}}{dx_{i}^{0}}}\cdot$

Alors, pour $\mu =0,$ $\nu _{i}^{p}$ se réduit à $n^{0}.$

Il vient alors

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}&=\mu ^{p+1}{\frac {d\Phi _{p}}{dw_{i}}},&{\frac {dw_{i}}{dt}}&=\nu _{i}^{p}-\mu ^{p+1}{\frac {d\Phi _{p}}{dx_{i}^{0}}}\,;\end{aligned}}$

si l’on néglige les quantités de l’ordre de $\mu ^{p+1},$ on tirera de ces équations

${\begin{aligned}x_{i}^{0}&=\mathrm {const.} ,&w_{i}&=\nu _{i}^{p}t+\mathrm {const.} \end{aligned}}$

On peut exprimer ce résultat en disant que le théorème de Jacobi du n^o 3 est applicable au calcul formel, en employant le langage du Chapitre VIII.

Posons

${\begin{aligned}n_{i}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu {\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu ^{2}{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\ldots \;ad\;inf.\end{aligned}}$

Nous avons là une série ordonnée suivant les puissances de $\mu ,$ qui peut être divergente ; mais peu nous importe, puisque nous nous plaçons au point de vue du Chapitre précédent, c’est-à-dire au point de vue formel.

Posons ensuite

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

les $\varpi _{i}$ étant regardées comme des constantes d’intégration. Envisageons ensuite les équations

(8)

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}=x_{i},\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}=w_{i}.$

De ces équations (8), on peut tirer les $x_{i}$ et les $y_{i}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients sont des fonctions des $x_{i}^{0}$ et des $w_{i}$ Ces séries peuvent d’ailleurs être convergentes ou divergentes, peu importe.

Si dans ces séries on remplace les $w_{i}$ par $n_{i}t+\varpi _{i}$ et si l’on regarde les $x_{i}^{0}$ comme des constantes, elles satisferont formellement aux équations (1).

Soient

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{n}x_{i}^{n}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{n}y_{i}^{n}&{}+{}&\ldots \end{alignedat}}\right.$

ces séries ; voyons quelle est la forme des $x_{i}^{k}$ et des $y_{i}^{k}.$ Pour $\mu =0,$ $\mathrm {S}$ se réduit à

$\mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\dots +x_{n}^{0}y_{n},$

et il vient par conséquent

$x_{i}=x_{i}^{0},\qquad y_{i}=w_{i}$

Ainsi le premier terme du développement de $x_{i}$ est une constante et le premier terme du développement de $y_{i}$ (c’est-à-dire $y_{i}^{0}$) se réduit à

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.$

Si, au lieu de tirer les $x_{i}$ et les $y_{i}$ des équations (8), nous les avions tirées des équations (7), les $p+1$ premiers termes auraient été les mêmes, puisque la différence $\mathrm {S} -\Sigma _{p}$ est de l’ordre de $\mu ^{p+1}.$

Pour déterminer les quantités

$x_{i}^{k},\quad y_{i}^{k}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n\,;\;k=0,\,1,\,2,\,\dots ,\,p),$

envisageons donc les équations (7) que nous écrirons sous la forme suivante

(7 bis)

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+{\frac {d(\Sigma _{p}-\mathrm {S} _{0})}{dy_{i}}},&y_{i}&=w_{i}+{\frac {d(\Sigma _{p}-\mathrm {S} _{0})}{dx_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous pouvons tirer des équations (7 bis) les $x_{i}$ et les $y_{i}$ en séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et convergentes si $\mu$ est assez petit ; il nous suffit pour cela d’appliquer le théorème du n^o 30, puisque $\Sigma _{p}-S_{0}$ représente une fonction complètement définie et n’est pas une simple expression formelle.

Nous avons supposé que les quantités $\alpha _{ki}$ sont nulles ; il en résultera que les $\mathrm {S} _{k}\;(k>0)$ et par conséquent $\Sigma _{p}-S_{0}$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}.$

Si donc dans les équations (7 bis) on change $y_{i}$ en $y_{i}+2k_{i}\pi$ et $w_{i}$ en $w_{i}+2k_{i}\pi$ ($k_{1},$ $k_{2},$ $\dots ,$ $k_{n}$ étant des entiers), ces équations ne changeront pas. Donc les valeurs de $x_{i}$ et de $y_{i}-w_{i}$ tirées de ces équations sont périodiques, de période $2\pi$ par rapport aux $w.$

Donc dans les séries (2) les quantités $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi$ par rapport aux $w_{i}.$

Diverses formes des séries.

126.L’existence des séries (8) étant ainsi démontrée, on peut se proposer de les former sans passer par l’intermédiaire de l’expression auxiliaire $\mathrm {S} .$

Mais je veux auparavant montrer qu’il est possible de satisfaire formellement aux équations (1) du numéro précédent par une infinité d’autres séries de même forme que les séries (2).

1^o La fonction $\mathrm {S}$ du numéro précédent est déterminée par l’équation (4) à une constante près seulement, ou plutôt, puisque les quantités $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ sont regardées comme des constantes, à une fonction arbitraire près de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ et $x_{n}^{0}.$

Si donc une fonction $\mathrm {S}$ satisfait à l’équation (4), il en sera de même de la fonction

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} +\mathrm {R} ,$

$\mathrm {R}$ étant une fonction de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ et $\mu ,$ développable suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Remplaçons alors les équations (8) par les suivantes

(8 bis)

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous pourrons supposer que $\mathrm {R}$ est divisible par $\mu \,;$ on pourra alors tirer des équations (8 bis) les $x_{i}$ et les $y_{i}$ sous la forme de séries (2 bis) de même forme que les séries (2).

On aura

(2 bis)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}'^{2}&{}+{}&\dots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu y_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}'^{2}&{}+{}&\dots ,\end{alignedat}}\right.$

les $x_{i}'^{k}$ et les $y_{i}'^{k}$ étant comme les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ des fonctions périodiques des $w.$

La comparaison des équations (8 bis) et des équations (8) montre qu’on obtiendra les séries (2 bis) en partant des séries (2) et en y changeant $w_{i}$ en $w_{i}+{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}\cdot$

2^o Plus généralement, soient

$\omega _{1},\quad \omega _{2},\quad \dots ,\quad \omega _{n}$

$n$ fonctions de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\ldots ,$ $x_{n}^{0},$ et de $\mu$ développables suivant les puissances de $\mu .$

Si, dans les séries (2), l’on change $w_{1},$ $w_{2},$ $\ldots ,$ $w_{n},$ en

$w_{1}+\mu \omega _{1},\quad w_{2}+\mu \omega _{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}+\mu \omega _{n}$

ces séries conserveront la même forme ; nous avons en effet

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \varphi _{i}(w_{k},\mu ),\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \psi _{i}(w_{k},\mu ),\end{alignedat}}\right.$

les $\varphi _{i}$ et les $\psi _{i}$ étant développables suivant les puissances de $\mu$ et périodiques par rapport aux $w.$

Quand on changera $w_{i}$ en $w_{i}+\mu \omega _{i},$ il viendra

(2 ter)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\mu ),\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu [\omega _{i}+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\mu )].\end{alignedat}}\right.$

Il est manifeste que $\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\mu )$ et $\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\mu )$ sont encore développables suivant les puissances de $\mu$ et périodiques par rapport aux $w.$

De plus les séries (2 ter) satisfont formellement aux équations (1). En effet, les séries (2) satisfont à ces équations quand on y fait

$\omega _{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes d’intégration $\varpi _{i}.$

Or les $\omega _{i}$ sont des fonctions des $x_{i}^{0}$ qui sont des constantes : ce sont donc des constantes. Donc changer $w_{i}$ en $w_{i}+\mu \omega _{i}$ revient à remplacer les constantes d’intégration $\varpi _{i}$ par des constantes différentes $\varpi _{i}+\mu \omega _{i},$ ce qui, d’après la remarque que nous venons de faire, n’empêchera pas nos séries de satisfaire encore aux équations différentielles (1).

Ainsi les séries (2 ter) satisfont formellement aux équations (1).

Seulement elles ne peuvent pas être tirées d’équations analogues aux équations (8) et (8 bis), à moins que

$\mu (\omega _{1}dx_{1}^{0}+\omega _{2}dx_{2}^{0}+\ldots +\omega _{n}dx_{n}^{0})$

ne soit la différentielle exacte d’une fonction de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ qui n’est autre alors que la fonction $\mathrm {R}$ que nous avons considérée un peu plus haut.

3^o Dans les séries (2) changeons

$x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0},$

en

$x_{1}^{0}+\mu v_{1},\quad x_{2}^{0}+\mu v_{2},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0}+\mu v_{n}\,;$

$v_{1},\,v_{2},\,\dots ,\,v_{n}$ étant des fonctions de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ et $\mu$ développables suivant les puissances de $\mu .$

Si les $x_{i}^{0}$ sont regardées comme des constantes, les $v_{i}$ seront également des constantes.

Si l’on altère de la sorte la valeur des constantes d’intégration, les séries (2) conserveront la même forme et elles ne cesseront pas de satisfaire formellement aux équations (1).

En résumé, écrivons les séries (2) sous la forme suivante

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \varphi _{i}(w_{k},x_{k}^{0},\mu ),\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \psi _{i}(w_{k},x_{k}^{0},\mu ),\end{alignedat}}\right.$

en mettant ainsi en évidence que $x_{i}-x_{i}^{0}$ et $y_{i}-w_{i}$ dépendent non seulement des $w_{k}$ et de $\mu$ mais des $x_{k}^{0}.$

Soient ensuite

$\omega _{1},\quad \omega _{2},\quad \dots ,\quad \omega _{n};\quad v_{1},\quad v_{2},\quad \dots ,\quad v_{n}$

$2n$ fonctions des $x_{i}^{0}$ et de $\mu$ développables suivant les puissances de $\mu .$

Formons les séries

(2 quater)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu [v_{i}&{}+{}&\varphi _{i}&(&w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )],\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu [\omega _{i}&{}+{}&\psi _{i}&(&w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )];\end{alignedat}}\right.$

ces séries satisferont formellement aux équations (1) quelles que soient les fonctions $\omega _{i}$ et $v_{i}.$

De plus les fonctions

$\varphi _{i}(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu )\quad$ et $\quad \psi _{i}(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ),$

étant périodiques par rapport aux $w,$ il en sera de même des fonctions

$v_{i}+\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )\quad \mathrm {et} \quad \omega _{i}+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu ).$

Une deuxième remarque :

Posons

${\begin{alignedat}{4}v_{i}&+\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\varphi _{i}'(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ),\\\omega _{i}&+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\psi _{i}'(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ).\end{alignedat}}$

Les fonctions $\varphi _{i},\,\psi _{i},$ $\varphi _{i}'$ et $\psi _{i}'$ sont des fonctions périodiques des $w\,;$ je vais considérer les valeurs moyennes de ces fonctions périodiques et je les appellerai respectivement

$\varphi _{i}^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \psi _{i}^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \varphi _{i}'^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \psi _{i}'^{0}(x_{k}^{0},\,\mu )$

Cela posé, voici ce que je me propose de démontrer :

Soient $\theta _{i}$ et $\eta _{i}$ $(i=1,\,2,\,\dots ,n)$ $2n$ fonctions tout à fait arbitraires de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0}$ et $\mu ,$ assujetties seulement à être développables suivant les puissances de $\mu .$

Je dis qu’on pourra toujours, quelles que soient ces fonctions $\theta _{i}$ et $\eta _{i},$ choisir les fonctions $v_{i}$ et $\omega _{i}$ de telle façon que

${\begin{aligned}\varphi _{i}'^{0}&=\theta _{i},&\psi _{i}'^{0}&=\eta _{i}.\end{aligned}}$

En effet, il suffit pour cela de définir les $v_{i}$ et les $\omega _{i}$ par les équations suivantes

${\begin{alignedat}{3}v_{i}&+\varphi _{i}^{0}&(&x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\theta _{i}(x_{k}^{0},\,\mu ),\\\omega _{i}&+\psi _{i}^{0}&(&x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\eta _{i}(x_{k}^{0},\,\mu ).\end{alignedat}}$

Or on peut toujours tirer de ces équations les $v_{i}$ et les $\omega _{i}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients sont des fonctions de $x_{k}^{0}.$

Si nous écrivons les séries (2 quater) sous la forme suivante

${\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\dots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\dots ,\end{alignedat}}$

les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des $w.$ D’après la remarque qui précède, on peut toujours s’arranger de telle façon que les valeurs moyennes de ces fonctions périodiques $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ soient telles fonctions que l’on veut de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0}.$

Calcul direct des séries.

127.Passons maintenant au calcul direct des séries (2 quater). Pour cela, supposons que dans ${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}$ par exemple, qui est une fonction des $x_{i},$ des $y_{i}$ et de $\mu ,$ on remplace ces variables par leurs développements

${\begin{alignedat}{5}x_{i}^{0}&+\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\w_{i}&+\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}$

ce ${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}$ deviendra alors une fonction des $x_{i}^{0},$ des $x_{i}^{k},$ des $w_{i},$ des $y_{i}^{k}$ et de $\mu .$ Cette fonction sera périodique par rapport aux $w_{i}\,;$ elle sera développable suivant les puissances de $\mu ,$ des $x_{i}^{k}$ et des $y_{i}^{k}$ (si $k>1$) ; elle dépendra des $x_{i}^{0}$ d’une manière quelconque.

Écrivons alors

(9)

${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}=\mathrm {X} _{i}^{0}+\mu \mathrm {X} _{i}^{1}+\mu ^{2}\mathrm {X} _{i}^{2}+\ldots +\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}^{k}+\ldots ,$

les $\mathrm {X} _{i}^{k}$ étant des fonctions des $w_{i},$ des $x_{i}^{k},$ des $y_{i}^{k},$ des $x_{i}^{0}$ périodiques par rapport aux $w_{i}.$

Nous aurons de même

(10)

$-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}=\mathrm {Y} _{i}^{0}+\mu \mathrm {Y} _{i}^{1}+\mu ^{2}\mathrm {Y} _{i}^{2}+\ldots +\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}^{k}+\ldots ,$

les $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ étant des fonctions de même forme que les $\mathrm {X} _{i}^{k}.$

Si l’on se rappelle que ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}$ est nul, et que ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}$ ne dépend pas des $y_{i}$ on conclura sans peine que $\mathrm {X} _{i}^{k}.$ ne dépend que

${\begin{array}{rrrr}\mathrm {des} \;x_{i}^{0},&\;\mathrm {des} \;x_{i}^{1},&\;\ldots ,&\;x_{i}^{k-1},\\\mathrm {des} \;w_{i},&\;\mathrm {des} \;y_{i}^{1},&\;\ldots ,&\;y_{i}^{k-1}.\end{array}}$

Au contraire, $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ dépend des mêmes quantités et, en outre, des $x_{i}^{k},$ mais il est indépendant des $y_{i}^{k}.$ D’ailleurs $\mathrm {X} _{i}^{0}$ est nul et $\mathrm {Y} _{i}^{0}$ se réduit à $n_{i}^{0}.$

Nous supposerons d’autre part que

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}$

d’où

${\frac {dw_{i}}{dt}}=n_{i}.$

Nous supposerons que $n_{i}$ est développable suivant les puissances de $\mu ,$ et nous écrirons

(11)

$n_{i}=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\mu ^{2}n_{i}^{2}+\ldots .$

Nos équations différentielles s’écriront alors

(12)

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\textstyle \sum }_{k}n_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

On a, en effet,

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\sum {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dw_{k}}{dt}}={\textstyle \sum }n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\cdot$

Dans les équations (12), remplaçons ${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}$ $-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$ et $n_{k}$ par leurs développements (9), (10) et (11) et égalons ensuite les puissances semblables de $\mu .$

En posant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}\sum _{k=1}^{k=n}\sum _{q=1}^{q=p-1}n_{k}^{q}\,{\frac {dx_{i}^{p-q}}{dw_{k}}}&=-\mathrm {Z} _{i}^{p}&\quad &(\mathrm {si} \;p>1)&\qquad &\mathrm {Z} _{i}^{1}=0,\\\sum _{k=1}^{k=n}\sum _{q=1}^{q=p-1}n_{k}^{q}\,{\frac {dy_{i}^{p-q}}{dw_{k}}}&=-\mathrm {T} _{i}^{p}&\quad &(\mathrm {si} \;p>1)&\qquad &\mathrm {T} _{i}^{1}=0.\end{alignedat}}$

Il viendra, en égalant les coefficients de $\mu ^{p}$ $(p>1)$

(13)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}&=\mathrm {X} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {Z} _{i}^{p}&{}-{}&{\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{p}\,{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}},\\{\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}&=\mathrm {Y} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {T} _{i}^{p}&{}-{}&{\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{p}\,{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}\cdot \end{alignedat}}\right.$

En égalant les termes indépendants de $\mu ,$ il vient simplement

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=0,&{\textstyle \sum }n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=n_{i}^{0},\end{aligned}}$

équations auxquelles on peut, comme nous le savions déjà, satisfaire en faisant

$x_{i}^{0}=\mathrm {const.} ,\qquad y_{i}^{0}=w_{i}.$

Les équations (13) se réduisent alors à

(14)

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}&=\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p},&{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}&=\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}-n_{i}^{p}.\end{aligned}}$

Voyons comment on peut se servir des équations (14) pour déterminer par récurrence les fonctions

$x_{i}^{p}\quad \mathrm {et} \quad y_{i}^{p},$

de façon que ces fonctions soient périodiques par rapport aux $w$ et que leurs valeurs moyennes soient telles fonctions que nous voulons des $x_{k}^{0}.$

Nous avons vu dans les deux numéros précédents que cette détermination est possible.

Supposons que l’on ait calculé

(15)

$x_{i}^{1},\quad x_{i}^{2},\quad \ldots ,\quad x_{i}^{p-1},\quad y_{i}^{1},\quad y_{i}^{2},\quad \ldots ,\quad y_{i}^{p-1},$

et que l’on se propose de calculer à l’aide des équations (14) $x_{i}^{p}$ et $y_{i}^{p}.$

Comme $\mathrm {X} _{i}^{p}$ et $\mathrm {Z} _{i}^{p}$ ne dépendent que des variables (15), le second membre de la première équation (14) est une fonction connue des $w,$ périodique par rapport à ces variables.

Soit

$\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)$

cette fonction, nous en déduirons, en intégrant l’équation (14),

$x_{i}^{p}=\sum {\frac {\mathrm {A} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}}+\mathrm {K} _{i}^{p}.$

Ainsi $x_{i}^{p}$ est une fonction périodique des $w\,;$ il n’y aurait d’exception que dans deux cas : si les $n_{i}^{0}$ satisfaisaient à une relation linéaire à coefficients entiers

${\textstyle \sum }\,m_{i}n_{i}^{0}=0,$

mais nous avons supposé le contraire ; ou bien si la fonction périodique $\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}$ avait une valeur moyenne différente de 0. Il n’est pas facile de démontrer directement qu’il n’en est pas ainsi, mais comme nous savons d’avance que $x_{i}^{p}$ doit être une fonction périodique des $w,$ nous sommes certains que la valeur moyenne de $\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}$ est nulle. C’est pour cela que j’ai commencé l’exposition de la méthode de M. Lindstedt par les considérations des deux numéros précédents, au lieu de débuter tout de suite par le calcul du présent numéro.

Quant à la constante $\mathrm {K} _{i}^{p},$ on peut arbitrairement l’égaler à telle fonction que l’on veut des $x_{k}^{0},$ d’après ce que nous avons vu au numéro précédent.

Il reste à calculer $y_{i}^{p}$ à l’aide de la seconde équation (14). On verrait, comme pour $x_{i}^{p},$ que l’on trouvera $y_{i}^{p}$ sous la forme d’une fonction périodique des $w,$ à la condition que la partie moyenne de

$\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}-n_{i}^{p}$

soit nulle. Or la constante $n_{i}^{p}$ est restée arbitraire, et il est clair qu’on peut toujours la choisir de façon à annuler cette valeur moyenne.

On ne sera donc jamais arrêté dans le calcul des différents termes des séries (2 quater).

Il reste beaucoup d’arbitraires dont un calculateur habile pourra disposer pour abréger ses calculs ; on peut en effet choisir arbitrairement les valeurs moyennes de $x_{i}^{p},$ et de $y_{i}^{p}.$

Parmi les choix que l’on peut faire, je citerai le suivant, sans avoir l’intention toutefois de le recommander particulièrement. On peut choisir les constantes $\mathrm {K} _{i}^{p}$ de telle façon que

$n_{i}^{p}=0,\qquad n_{i}=n_{i}^{0}.$

Cette méthode est applicable toutes les fois qu’on peut choisir les quantités $n_{i}^{0},$ de façon qu’il n’y ait entre elles aucune relation linéaire à coefficients entiers, et, par conséquent, toutes les fois que l’on peut choisir arbitrairement les rapports de ces $n$ quantités.

C’est ce qui arrive, par exemple, dans le cas particulier du Problème des trois Corps défini au n^o 9 ; dans ce cas, on a en effet

$\mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2x_{1}^{2}}}+x_{2},$

d’où

$n_{1}^{0}={\frac {1}{x_{1}^{2}}},\qquad n_{2}^{0}=-1.$

Il est clair que nous pouvons choisir $x_{1}$ de façon que le rapport ${\tfrac {n_{1}^{0}}{n_{2}^{0}}}$ ait telle valeur que nous voulons.

C’est ce qui arrive également avec l’équation suivante, qui s’introduit dans l’application des méthodes de M. Gyldén, et qui a fait l’objet des études particulières de M. Lindstedt,

(16)

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+n^{2}y=\mu \,\varphi '(y,x),$

où $\varphi '$ est une fonction développée suivant les puissances de $y$ et périodique en $x.$

J’observe d’abord que $\varphi '$ peut toujours être regardée comme la dérivée prise par rapport à $y$ d’une fonction $\varphi$ de même forme. Je puis alors comme nous l’avons vu au n^o 2, remplacer l’équation précédente par les suivantes :

$-\mathrm {F} ={\frac {q^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}y^{2}}{2}}-\mu \,\varphi (y,x)+p,$

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}=1,&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}=q,&{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\end{aligned}}$

${\frac {dq}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=-n^{2}y+\mu \,\varphi '(y,x).$

Posons ensuite

$y=\rho \sin y_{1},\quad q=n\rho \cos y_{1},\quad {\frac {n\rho ^{2}}{2}}=x_{1},\quad p=x_{2},\quad x=y_{2},$

nos équations deviendront

$-\mathrm {F} =nx_{1}+x_{2}-\mu \,\varphi \left({\sqrt {\frac {2x_{1}}{n}}}\sin y,\,y_{2}\right),$

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}},&{\frac {dx_{2}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

La forme canonique des équations ne sera en effet pas altérée, en vertu du n^o 6.

Ici nous avons, en faisant $\mu =0,$

$\mathrm {F} _{0}=-nx_{1}-x_{2},$

d’où

${\begin{aligned}n_{1}^{0}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}=-n,&n_{2}^{0}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=1.\end{aligned}}$

Si donc $n$ est incommensurable, il n’y a entre $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers, et la méthode est applicable.

Elle serait applicable également au cas général du Problème des trois Corps, si ces trois corps se mouvaient dans un plan et s’attiraient suivant toute autre loi que la loi de Newton, mais elle cesse de l’être (à moins de modifications importantes qui feront l’objet des numéros suivants) si la loi d’attraction est la loi newtonienne.

En effet, dans ce cas (et en reprenant les notations du n^o 125), $\mathrm {F} _{0}$ ne contient plus $x_{3},$ et par conséquent $n_{3}^{0}$ est nul ; il en résulte qu’il y a, entre les $n_{i}^{0},$ une relation linéaire à coefficients entiers, à savoir

$n_{3}^{0}=0.$

Le calcul direct tel qu’il a été exposé dans ce numéro se rapproche beaucoup plus de la méthode originale de M. Lindstedt. Il présente un avantage important sur les procédés indirects des deux numéros précédents, puisqu’il nous donne immédiatement les valeurs des des $x_{i}$ et des $y_{i}$ en fonctions des $w,$ et, par conséquent, du temps, et se prête ainsi au calcul des éphémérides. Mais ces procédés indirects nous étaient nécessaires ; car, sans eux, je n’aurais pu démontrer la légitimité du calcul direct (qui ne peut s’achever que si la valeur moyenne de $\mathrm {X} _{i}^{0}+\mathrm {Z} _{i}^{p}$ est nulle), ou du moins je n’aurais pu le faire sans employer les invariants intégraux dont je ne parlerai que dans un Chapitre ultérieur.

À un autre point de vue, la connaissance de ces procédés indirects ne nous sera pas non plus inutile. Nous avons vu, en effet, dans l’Introduction, qu’on peut quelquefois employer avec avantage une intégrale ou une relation invariante (pour parler le langage des n^os 1 et 19) au lieu d’une solution. D’ailleurs le calcul de la fonction $\mathrm {S}$ peut servir de vérification au calcul direct.

128.On peut choisir la constante $\mathrm {K} _{i}^{p},$ définie plus haut, de telle façon que $[\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}],$ c’est-à-dire la valeur moyenne de $\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p},$ soit nulle, et, par conséquent, que

$n_{i}^{p}=0,\qquad n_{i}=n_{i}^{0}.$

En effet, nous avons

$\mathrm {Y} _{i}^{p}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{1}}}x_{1}^{p}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{2}}}x_{2}^{p}-\dots -{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{n}}}x_{n}^{p}+\mathrm {U} _{i}^{p},$

$\mathrm {U} _{i}^{p}$ ne dépendant que de $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ $(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n;$ $k=0,\,1,$ $2,\,\ldots ,\,p-1).$ En égalant les valeurs moyennes, il vient

$\left[\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}\right]=-\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}\,\mathrm {K} _{k}^{p}+\left[\mathrm {U} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}\right]$

Les fonctions $\mathrm {U} _{i}^{p}$ et $\mathrm {T} _{i}^{p}$ sont entièrement connues ; il en est donc de même de $[\mathrm {U} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}],$ et, par conséquent, il suffit, pour annuler les $n_{i}^{p}$ de choisir les constantes $\mathrm {K} _{k}^{p}$ de façon à satisfaire aux $n$ équations linéaires

(1)

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{1}}}\mathrm {K} _{1}^{p}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{2}}}\mathrm {K} _{2}^{p}+\ldots +{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{n}}}\mathrm {K} _{n}^{p}=\left[\mathrm {U} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}\right].$

Il faut et il suffit, pour que cela soit possible, que le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ ne soit pas nul. Or il est précisément nul dans le cas de l’équation (16), c’est-à-dire dans le cas particulier dont s’est surtout occupé M. Lindstedt ; c’est ce qui explique pourquoi ce savant astronome n’a pas aperçu la possibilité de faire

$n_{i}=n_{i}^{0}.$

Ce hessien est encore nul dans le cas particulier du Problème des trois Corps défini au n^o 9, mais nous avons vu au n^o 43 qu’on peut, par un artifice simple, tourner cette difficulté.

Comparaison avec la méthode de M. Newcomb.

129.M. Newcomb, pour parvenir à des séries de même formé que celles qui nous ont occupé dans ce Chapitre, a employé la méthode de la variation des constantes arbitraires. Pour bien montrer que le résultat ne pouvait différer de celui que nous avons obtenu dans les numéros précédents, nous allons exposer cette méthode sous la forme suivante.

Reprenons l’équation aux dérivées partielles

(1)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},y_{i}\right)=\mathrm {const.} ,$

qui est l’équation (4) du n^o 125.

Soit $\mathrm {S} '$ une fonction de $y1,\,y2,$ $\dots ,$ $y_{n}$ et de $n$ constantes $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ satisfaisant approximativement à l’équation (1), de telle sorte que l’on ait

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}}},y_{i}\right)=\varphi (x_{i}^{0},y_{i})=\varphi _{0}(x_{i}^{0})+\varepsilon \varphi _{1}(x_{i}^{0},y_{i}),$

$\varphi _{0}$ ne dépendant que des constantes $x_{i}^{0}$ et $\varepsilon$ étant très petit. Nous aurons alors une solution approximative des équations canoniques

(2)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

en faisant

(3)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}}}&=x_{i},&{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{i}^{0}}}&=y_{i}^{0}=n_{i}t+\varpi _{i},&n_{i}&=-{\frac {d\varphi _{0}}{dx_{i}^{0}}},\end{aligned}}$

et en regardant les $x_{i}^{0}$ et les $\varpi _{i}$ comme des constantes arbitraires.

Supposons maintenant qu’on veuille pousser plus loin l’approximation en appliquant la méthode de Lagrange ; on regardera alors les $x_{i}^{0}$ et les $\varpi _{i}$ non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles fonctions inconnues. Voici comment, d’après le théorème du n^o 4, nous devrons former nos nouvelles équations. Substituons à la place des $y_{i}$ leurs valeurs en fonction des $x_{i}^{0}$ et des $y_{i}^{0}$ tirées des équations (3) ; il viendra

$\varphi (x_{i}^{0},y_{i})=\psi (x_{i}^{0},y_{i}^{0}),$

et nous aurons les équations canoniques

(4)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dy_{i}^{0}}},&{\frac {dy_{i}^{0}}{dt}}&=-{\frac {d\psi }{dx_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

J’ai pris comme variables les $y_{i}^{0}$ au lieu des $\varpi _{i},$ ce qui revient au même, afin de mieux mettre en évidence la forme canonique des équations.

L’intégration des équations (4) peut être ramenée à celle de l’équation aux dérivées partielles

(5)

$\psi \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}^{0}}},y_{i}^{0}\right)=\mathrm {const.}$

Soit $\mathrm {S} ''$ une fonction des $y_{i}^{0}$ et de $n$ nouvelles constantes $x_{i}^{1},$ satisfaisant à cette équation. Si nous posons

(6)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} ''}{dy_{i}^{0}}}&=x_{i}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} ''}{dx_{i}^{1}}}&=y_{i}^{1},\end{aligned}}$

nous satisferons aux équations (4) en égalant les $x_{i}^{1}$ à des constantes et les $y_{i}^{1}$ à des fonctions linéaires du temps.

Si $\mathrm {S} ''$ n’est qu’une intégrale approximative de (5), nous n’aurons ainsi que des solutions approximatives des équations (4).

Telle est la méthode de la variation des constantes ; ce n’est pas tout à fait celle que nous avons appliquée au n^o 125 ; conservant l’équation (1), après en avoir trouvé une solution approximative, nous en cherchions une solution plus approchée encore. Soit $\mathrm {S} '''$ cette solution, qui dépendra des $y_{i}$ et de $n$ constantes $x_{i}^{1}.$ Si nous posons alors

(7)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} '''}{dy_{i}}}&=x_{i},&{\frac {d\mathrm {S} '''}{dx_{i}^{1}}}&=y_{i}^{1},\end{aligned}}$

les $x_{i}^{1}$ seront des constantes et les $y_{i}^{1}$ des fonctions linéaires dû temps, soit exactement si $\mathrm {S} '''$ est une solution exacte de (1), soit approximativement si $\mathrm {S} '''$ n’est qu’une solution approchée. Pouvons-nous choisir $\mathrm {S} '''$ de telle façon que les équations (7) équivalent aux équations (3) et (6) ? Les équations (3) et (6) peuvent s’écrire

${\begin{alignedat}{4}d\mathrm {S} '&={\textstyle \sum }x_{i}\,dy_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }y_{i}^{0}\,dx_{i}^{0},\\d\mathrm {S} ''&={\textstyle \sum }x_{i}^{0}\,dy_{i}^{0}&{}+{}&{\textstyle \sum }y_{i}^{1}\,dx_{i}^{1},\end{alignedat}}$

et les équations (7)

$d\mathrm {S} '''={\textstyle \sum }x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }y_{i}^{1}\,dx_{i}^{1}.$

Il suffira donc de prendre

$\mathrm {S} '''=\mathrm {S} '+\mathrm {S} ''-{\textstyle \sum }x_{i}^{0}y_{i}^{0}\,;$

la méthode du n^o 125 ne diffère donc pas essentiellement de celle de M. Newcomb et ne présente sur elle d’autre avantage que celui d’éviter de trop nombreux changements de variables.

J’ajouterai que nous avons choisi d’une manière particulière les constantes d’intégration, afin de conserver aux équations leur forme canonique. M. Newcomb ne s’y est pas astreint, et c’est ce que font d’ailleurs les astronomes dans l’application de la méthode de Lagrange. Les équations où s’introduisent les crochets de Lagrange prennent ainsi une forme en apparence plus compliquée. Mais cette différence n’a rien d’essentiel.