CHAPITRE IX.
MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.
Historique.
123.M. Lindstedt a proposé, dans les Mémoires de l’Académie de Saint-Pétersbourg,
1882, un procédé d’intégration par approximations successives de l’équation suivante
(1)
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où
est une fonction développée suivant les puissances
croissantes de
et dont les coefficients sont des fonctions périodiques
du temps ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Il a même fait voir que la même méthode est applicable aux
équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+n_{1}^{2}x&=\mu \,\varphi (x,y,t),\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+n_{2}^{2}y&=\mu \,\psi (x,y,t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfa81368ceae2b23edeefc13e97fb9af4c4cef4)
qui sont plus générales que l’équation (1) et qui se réduisent à un
cas particulier des équations de la Dynamique, quand on a
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\psi }{dx}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d5a0ffe732b82db7a3cd55a63689a4858c6a02)
L’équation (1) a une importance extrême en Mécanique céleste ;
car M. Gyldén s’y est trouvé conduit plusieurs fois dans le cours
de ses belles recherches.
M. Lindstedt ne démontrait pas la convergence des développements
qu’il avait ainsi formés, et, en effet, ils sont divergents ; mais nous avons vu dans le Chapitre précédent comment ils peuvent
néanmoins être intéressants et utiles.
Mais il y a une autre difficulté plus grave ; on constate aisément
que la méthode est applicable dans les premières approximations,
mais on peut se demander si l’on ne sera pas arrêté dans les approximations
suivantes ; M. Lindstedt n’avait pu l’établir rigoureusement
et conservait même à ce sujet quelques doutes. Ces doutes
n’étaient pas fondés et sa belle méthode est toujours légitime ; je
l’ai démontré d’abord par l’emploi des invariants intégraux dans
le Bulletin astronomique, t. iii, p. 57, puis, sans me servir de ces
invariants, dans les Comptes rendus, t. cviii, p. 21. C’est la
seconde de ces démonstrations que je reproduirai dans le présent
Chapitre. J’ai été ainsi conduit à un mode d’exposition de la
méthode de M. Lindstedt qui s’étend immédiatement au cas le plus
général des équations de la Dynamique.
Plusieurs cas particuliers y échappaient encore toutefois et
entre autres le cas général du Problème des trois Corps.
Ce cas avait toutefois, en raison de son importance, attiré l’attention
de M. Lindstedt. Ce savant astronome avait dans les
Comptes rendus, t. XCVII, p. 1276 et 1353, montré comment sa
méthode y pouvait être appliquée.
Malheureusement les mêmes difficultés que j’ai signalées plus
haut subsistaient encore et non seulement les développements
divergent, ce dont nous n’avons pas à nous inquiéter pour les
raisons exposées dans le Chapitre précédent, mais on pouvait
même douter de leur possibilité et, par conséquent, de la légitimité
de la méthode elle-même.
Je crois être arrivé à lever ces doutes et c’est à quoi je consacrerai
le Chapitre XI.
Aussi, pour expliquer la manière d’appliquer la méthode de
M. Lindstedt au Problème des trois Corps, j’adopterai un mode
d’exposition qui ne sera, ni celui du savant inventeur, ni celui qui
conviendrait au calcul des divers termes du développement, mais
celui qui se prête le mieux à la démonstration de la légitimité de la
méthode.
M. Lindstedt avait été devancé dans la voie où il a travaillé par
M. Newcomb (Smithsonian contributions to Knowledge, décembre
1874), qui avait donné le premier des séries représentant le mouvement des planètes et ne contenant que des sinus et des
cosinus. Sa méthode, sur laquelle je reviendrai plus loin, est
fondée sur la variation des constantes arbitraires.
124.Bien que parmi les méthodes récemment introduites dans
la Mécanique céleste, celles de M. Lindstedt ne soient pas les premières
en date, je crois néanmoins que c’est par elles qu’il convient
de commencer l’exposition de ces nouveaux procédés d’approximations
successives. Je ne pourrais pas, en effet, en séparer
l’exposition de celles de M. Newcomb qui sont les premières dans
l’ordre chronologique et, d’ailleurs, les méthodes de M. Lindstedt
sont en effet les moins compliquées de toutes et celles qui s’adaptent
le mieux aux cas les plus simples. Elles ne se trouvent en
défaut que quand on est en présence de très petits diviseurs, et
il faut alors leur préférer les méthodes plus perfectionnées de
M. Gyldén. Ma façon d’exposer la théorie de M. Lindstedt différera
beaucoup de celle de cet astronome et je l’appliquerai d’ailleurs
à des cas plus nombreux, mais les séries que j’obtiendrai
seront identiques aux siennes, ainsi que je le montrerai plus loin.
Je compléterai d’ailleurs ses résultats sur un grand nombre de
points et je chercherai à les étendre à des problèmes aussi nombreux
que possible.
Exposé de la méthode.
125.Reprenons les équations du no 13
(1)
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Le problème consiste à satisfaire formellement aux équations (1)
par des séries de la forme suivante
(2)
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les quantités
et
étant elles-mêmes de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x_{i}^{k}&=\textstyle \sum \mathrm {A} \cos ht&{}+{}&\textstyle \sum \mathrm {B} \sin ht&{}+{}&\mathrm {C} ,\\y_{i}^{k}&=\textstyle \sum \mathrm {A} '\cos ht&{}+{}&\textstyle \sum \mathrm {B} '\sin ht&{}+{}&\mathrm {C} 't+\mathrm {D} ',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e3e07667b53359a8c546a33d7336a63c0a2ed3)
et
étant des coefficients indépendants de
et du temps
mais qui peuvent être fonctions d’un certain
nombre de constantes d’intégration ; les
sont des coefficients
dépendant de
et développés suivant les puissances de ce paramètre.
Quand je dis que les séries (2) satisfont formellement aux équations
(1), voici ce que j’entends :
Substituons dans ces équations (1) les séries (2) arrêtées au
er terme, c’est-à-dire faisons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}x_{i}^{p},\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}y_{i}^{p},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d3d41fb125ea9de44a02069e6295271e930891)
je dirai que les séries (2) satisfont formellement aux équations (1),
si, après cette substitution, la différence des deux membres de
ces équations devient divisible par ![{\displaystyle \mu ^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372f7ae55d10f11bd7bb1b5580dcafd3e1bdc58e)
Pour déterminer les séries (2), nous nous servirons d’un procédé
entièrement différent de celui dont M. Lindstedt a fait usage.
Cherchons donc à former une série de la forme suivante
(3)
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dont les coefficients
soient eux-mêmes des séries de la forme
suivante
![{\displaystyle \mathrm {S} _{k}=\alpha _{k,1}y_{1}+\alpha _{k,2}y_{2}+\ldots +\alpha _{k,n}y_{n}+\varphi _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2f82fd6ac9124b35b13c7101f335bcd6aa4d1b)
les
étant des coefficients constants et
étant une fonction de
périodique, de période
par rapport à ces
variables.
Nous chercherons à déterminer la série (3) de façon à satisfaire
formellement à l’équation aux dérivées partielles
(4)
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La constante du second membre (qui n’est autre chose que la
constante des forces vives) pouvant dépendre de
nous la poserons égale à
![{\displaystyle \mathrm {C} _{0}+\mu \mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9f8d9cbe63afcec90979489f143068d0ccea99)
Faisons dans l’équation (4)
il viendra si l’on se rappelle que
ne dépend pas des ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
(5)
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On peut satisfaire à cette équation en faisant
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{0}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e2d36e312842f69d627dcbd610a5248eaecfc6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=x_{2}^{0},&&\ldots ,&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{n}}}&=x_{n}^{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089b46894ef5a933da942e68f6981dab0067a0b0)
les
étant des constantes qui peuvent être choisies arbitrairement
puisque la constante
est elle-même arbitraire.
Nous poserons, comme dans les Chapitres qui précèdent,
![{\displaystyle n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2207f3641dcf6761ebfcbeb598aca1e8e29a087f)
En égalant ensuite les coefficients des puissances semblables de
dans les deux membres de l’équation (4), on obtient une série
d’équations qui permettent de déterminer par récurrence
, ![{\displaystyle \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c70874374019000ada94cfc5d8a558f89a75c5f)
Voici quelle est la forme de ces équations
(6)
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est un polynôme entier par rapport aux quantités
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{k}}{dy_{i}}}\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,p-1;\;i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cd91add1ad4a7a7f446d6ef7ef547b93079829)
et les coefficients de ce polynôme sont des fonctions de
et de
périodiques, de période
par rapport aux ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Je dis qu’on pourra tirer la fonction
de cette équation (6)
et de telle sorte que
soient périodiques, de
période
par rapport aux
Supposons, en effet, que cela soit vrai pour les dérivées de
par rapport aux
Alors
sera une fonction périodique de
et je pourrai écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{p}=\mathrm {A} &+\textstyle \sum \mathrm {B} \cos(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\dots +m_{n}y_{n})\\&+\textstyle \sum \mathrm {C} \sin(m_{1}y_{1}+\dots +m_{n}y_{n}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fad62f40ada1cbd3ecaa4be258a6a97ad34f29)
les nombres
étant des entiers pendant que les
les
et les
sont des coefficients constants indépendants des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
On peut faire alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} _{p}={}&\alpha _{p,1}y_{1}+\alpha _{p,2}y_{2}+\dots +\alpha _{p,n}y_{n}\\&+\sum {\frac {\mathrm {B} \sin(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\dots +m_{n}y_{n})}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\dots +m_{n}n_{n}^{0}}}\\&+\sum {\frac {\mathrm {C} \cos(m_{1}y_{1}+\dots +m_{n}y_{n})}{m_{1}n_{1}^{0}+\dots +m_{n}n_{n}^{0}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3770f08445fdaf67a11399244b9417634f9190)
Les
sont des constantes qui peuvent être choisies arbitrairement
puisqu’elles sont assujetties seulement à la condition
![{\displaystyle \alpha _{p,1}n_{1}^{0}+\alpha _{p,2}n_{2}^{0}+\dots +\alpha _{p,n}n_{n}^{0}=\mathrm {A} +\mathrm {C} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d151a4af24e94c4172f0e06dea75c2e58d5b9d93)
et que la constante
est arbitraire.
Cette méthode ne serait en défaut que s’il existait des entiers
tels que
![{\displaystyle \textstyle \sum m_{i}n_{i}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e58855aeac339a5876a54cf57b1ae29da2d4bc8)
Nous supposerons qu’il n’en est pas ainsi.
Il est à remarquer que les fonctions
ainsi définies contiennent
des constantes arbitraires ; elles dépendent d’abord de
![{\displaystyle x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656448004856f54f4cbd538519502c1bd22fc21a)
puis de
![{\displaystyle \alpha _{1,1},\quad \alpha _{1,2},\quad \dots ,\quad \alpha _{1,n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189d411082b4334edd5e23caf7173718e808846b)
puis de
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\alpha _{2,1},&\alpha _{2,2},&\dots ,&\alpha _{2,n},\\\dots ,&\dots ,&\dots ,&\dots ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906c4bc42fdcf80996fd2fda05e90e9e65568a1a)
puis de
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\alpha _{p,1},&\alpha _{p,2},&\dots ,&\alpha _{p,n},\\\dots ,&\dots ,&\dots ,&\dots ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb24abf8ee9320937ba05182a4af1054320b1c0)
Nous ne voulons conserver que
constantes arbitraires ; nous
continuerons donc à considérer les
comme arbitraires, en choisissant d’une manière quelconque, mais définitive, les
Nous
pourrions convenir, par exemple, de choisir les
de façon que
![{\displaystyle 0=\mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} _{2}=\dots =\mathrm {C} _{p}=\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051fa8d0899b6eefe28a3b869644b7e6a72e1dd6)
mais je préfère prendre tous les
nuls ; les constantes
ne sont pas nulles alors ; en général, elles dépendent,
ainsi que
de
![{\displaystyle x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc41c0e2ae794149f133caeb538726238d83634)
Cela posé, soit
![{\displaystyle \Sigma _{p}=\mathrm {S} _{0}+\mu \mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {S} _{2}+\dots +\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622fb558a4e9ee3e4c75b0010f4cc0c212f60628)
Posons
(7)
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Si nous changeons de variables, en prenant pour variables nouvelles
les
et les
au lieu des
et des
[les nouvelles
variables étant liées aux anciennes par les relations (7)], le théorème
du no 4 nous apprend que les équations resteront canoniques
et que nous aurons
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dw_{i}}},\qquad {\frac {dw_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}^{0}}}\qquad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f4b92502fd5d16ff26605d33ef5dc0a5d26f91)
Voyons maintenant quelle sera la forme de
quand elle sera
exprimée en fonction des nouvelles variables
et
Par hypothèse,
la série
satisfait formellement à l’équation (4) ; cela revient
à dire que nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{i},y_{i})=\mathrm {F} \left({\frac {d\Sigma _{p}}{dy_{i}}},y_{i}\right)=\mathrm {C} _{0}+\mu \mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\dots +\mu ^{p}\mathrm {C} _{p}+\mu ^{p+1}\Phi _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7f40883ce874d3993a6b12172a3537df6d0bb2)
étant une fonction des
des
et de
susceptible d’être
développée suivant les puissances de
Quant aux quantités
nous avons vu que ce sont des fonctions des
Nous poserons
![{\displaystyle \nu _{i}^{p}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu \,{\frac {d\mathrm {C} _{1}}{dx_{i}^{0}}}-\mu ^{2}\,{\frac {d\mathrm {C} _{2}}{dx_{i}^{0}}}-\dots -\mu ^{p}\,{\frac {d\mathrm {C} _{p}}{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa88bd78facf881091e8201ff23e49c085a3ab3)
Alors, pour
se réduit à ![{\displaystyle n^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc94e09f89a917af4382d9492f9fc332be482a38)
Il vient alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}&=\mu ^{p+1}{\frac {d\Phi _{p}}{dw_{i}}},&{\frac {dw_{i}}{dt}}&=\nu _{i}^{p}-\mu ^{p+1}{\frac {d\Phi _{p}}{dx_{i}^{0}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9458d75227c4d0a93eedad4250c1c0dcbb6e6d11)
si l’on néglige les quantités de l’ordre de
on tirera de ces équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0}&=\mathrm {const.} ,&w_{i}&=\nu _{i}^{p}t+\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7a5609ebda1f1d8082f78f9ab758d4b027fbcf)
On peut exprimer ce résultat en disant que le théorème de
Jacobi du no 3 est applicable au calcul formel, en employant le
langage du Chapitre VIII.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu {\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu ^{2}{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\ldots \;ad\;inf.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d960283c96db57155e260bb6dd2893576bbb6fe7)
Nous avons là une série ordonnée suivant les puissances de
qui peut être divergente ; mais peu nous importe, puisque nous
nous plaçons au point de vue du Chapitre précédent, c’est-à-dire
au point de vue formel.
Posons ensuite
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d8c8b87c6261130f0e05032d735d6cb15808e3)
les
étant regardées comme des constantes d’intégration. Envisageons
ensuite les équations
(8)
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De ces équations (8), on peut tirer les
et les
sous la forme
de séries ordonnées suivant les puissances de
et dont les coefficients
sont des fonctions des
et des
Ces séries peuvent
d’ailleurs être convergentes ou divergentes, peu importe.
Soient
(2)
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|
ces séries ; voyons quelle est la forme des
et des
Pour
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\dots +x_{n}^{0}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448c85add8535fc06feab97ecbd07b18f6a1cca9)
et il vient par conséquent
![{\displaystyle x_{i}=x_{i}^{0},\qquad y_{i}=w_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9360eca77fd0284e5d5c9aeac41aff64d68709cb)
Ainsi le premier terme du développement de
est une constante
et le premier terme du développement de
(c’est-à-dire
) se
réduit à
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3c84d3eb37cc81f28a14bda8e7d50f0ec4fcc8)
Si, au lieu de tirer les
et les
des équations (8), nous les
avions tirées des équations (7), les
premiers termes auraient
été les mêmes, puisque la différence
est de l’ordre de ![{\displaystyle \mu ^{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68271d08fdde676ea8f2581373a3dd102750f039)
Pour déterminer les quantités
![{\displaystyle x_{i}^{k},\quad y_{i}^{k}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n\,;\;k=0,\,1,\,2,\,\dots ,\,p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c99f6eab75c7e728b998ac58b9f72c78f1267a)
envisageons donc les équations (7) que nous écrirons sous la
forme suivante
(7 bis)
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Nous pouvons tirer des équations (7 bis) les
et les
en séries
ordonnées suivant les puissances de
et convergentes si
est
assez petit ; il nous suffit pour cela d’appliquer le théorème du
no 30,
puisque
représente une fonction complètement
définie et n’est pas une simple expression formelle.
Nous avons supposé que les quantités
sont nulles ; il en
résultera que les
et par conséquent
sont des
fonctions périodiques de période
par rapport aux
Si donc dans les équations (7 bis) on change
en
et
en
(
étant des entiers), ces équations
ne changeront pas. Donc les valeurs de
et de
tirées de ces équations sont périodiques, de période
par rapport aux
Donc dans les séries (2) les quantités
et
sont des fonctions
périodiques de période
par rapport aux
126.L’existence des séries (8) étant ainsi démontrée, on peut
se proposer de les former sans passer par l’intermédiaire de
l’expression auxiliaire
Mais je veux auparavant montrer qu’il est possible de satisfaire
formellement aux équations (1) du numéro précédent par une
infinité d’autres séries de même forme que les séries (2).
1o La fonction
du numéro précédent est déterminée par
l’équation (4) à une constante près seulement, ou plutôt, puisque
les quantités
sont regardées comme des constantes,
à une fonction arbitraire près de
et
Si donc une fonction
satisfait à l’équation (4), il en sera de
même de la fonction
![{\displaystyle \mathrm {S} '=\mathrm {S} +\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8209765634cf53a4f5d1c5c40036c0eca8be63d)
étant une fonction de
et
développable suivant
les puissances croissantes de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Remplaçons alors les équations (8) par les suivantes
(8 bis)
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Nous pourrons supposer que
est divisible par
on pourra
alors tirer des équations (8 bis) les
et les
sous la forme de
séries (2 bis) de même forme que les séries (2).
On aura
(2 bis)
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les
et les
étant comme les
et les
des fonctions périodiques des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
La comparaison des équations (8 bis) et des équations (8)
montre qu’on obtiendra les séries (2 bis) en partant des séries (2)
et en y changeant
en
2o Plus généralement, soient
![{\displaystyle \omega _{1},\quad \omega _{2},\quad \dots ,\quad \omega _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fbcf01077f8f7ea000c0d07a7613b6ac3f22a1)
fonctions de
et de
développables suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Si, dans les séries (2), l’on change
en
![{\displaystyle w_{1}+\mu \omega _{1},\quad w_{2}+\mu \omega _{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}+\mu \omega _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2b5de7c8030a7a656792e62a0ac7e5c7dbbb7a)
ces séries conserveront la même forme ; nous avons en effet
(2)
|
|
|
les
et les
étant développables suivant les puissances de
et
périodiques par rapport aux ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Quand on changera
en
il viendra
(2 ter)
|
|
|
Il est manifeste que
et
sont encore développables suivant les puissances de
et périodiques par rapport aux ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
De plus les séries (2 ter) satisfont formellement aux équations (1).
En effet, les séries (2) satisfont à ces équations quand
on y fait
![{\displaystyle \omega _{i}=n_{i}t+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9242ac45536cba1edb729be62a39b6ffe88347)
quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes d’intégration ![{\displaystyle \varpi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ada1df8290abdb5d0e612615aab6da6d374b1b)
Or les
sont des fonctions des
qui sont des constantes : ce
sont donc des constantes. Donc changer
en
revient
à remplacer les constantes d’intégration
par des constantes
différentes
ce qui, d’après la remarque que nous venons
de faire, n’empêchera pas nos séries de satisfaire encore aux équations différentielles (1).
Ainsi les séries (2 ter) satisfont formellement aux équations (1).
Seulement elles ne peuvent pas être tirées d’équations analogues
aux équations (8) et (8 bis), à moins que
![{\displaystyle \mu (\omega _{1}dx_{1}^{0}+\omega _{2}dx_{2}^{0}+\ldots +\omega _{n}dx_{n}^{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc25b5a7c7ce6226f6b222249badf0387e67ca4)
ne soit la différentielle exacte d’une fonction de
qui n’est autre alors que la fonction
que nous avons considérée
un peu plus haut.
3o Dans les séries (2) changeons
![{\displaystyle x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656448004856f54f4cbd538519502c1bd22fc21a)
en
![{\displaystyle x_{1}^{0}+\mu v_{1},\quad x_{2}^{0}+\mu v_{2},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0}+\mu v_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0020507fb649790f974d6379ce443c6b807b6bc)
étant des fonctions de
et
développables suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Si les
sont regardées comme des constantes, les
seront
également des constantes.
Si l’on altère de la sorte la valeur des constantes d’intégration,
les séries (2) conserveront la même forme et elles ne cesseront pas
de satisfaire formellement aux équations (1).
En résumé, écrivons les séries (2) sous la forme suivante
(2)
|
|
|
en mettant ainsi en évidence que
et
dépendent
non seulement des
et de
mais des ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
Soient ensuite
![{\displaystyle \omega _{1},\quad \omega _{2},\quad \dots ,\quad \omega _{n};\quad v_{1},\quad v_{2},\quad \dots ,\quad v_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c40a87f311378260d365e5e44ac6fafc0bd460b)
fonctions des
et de
développables suivant les puissances
de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Formons les séries
(2 quater)
|
|
|
ces séries satisferont formellement aux équations (1) quelles que
soient les fonctions
et ![{\displaystyle v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f6b09bb5d4cc2995af950d87d91ad372e9c085)
De plus les fonctions
![{\displaystyle \varphi _{i}(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu )\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0929d16eefef9ae9727aaab9d6b55434f04ec9ad)
et
![{\displaystyle \quad \psi _{i}(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ba431c139c84023a0201f14fcf566eb3ea27c3)
étant périodiques par rapport aux
il en sera de même des fonctions
![{\displaystyle v_{i}+\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )\quad \mathrm {et} \quad \omega _{i}+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5efec1b37d43b97bcacc5b683aa7b8acdf7bb29)
Une deuxième remarque :
Posons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}v_{i}&+\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\varphi _{i}'(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ),\\\omega _{i}&+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\psi _{i}'(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948b0d203d904c0cf676d4fbc0570c773b5ed214)
Les fonctions
et
sont des fonctions périodiques
des
je vais considérer les valeurs moyennes de ces fonctions
périodiques et je les appellerai respectivement
![{\displaystyle \varphi _{i}^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \psi _{i}^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \varphi _{i}'^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \psi _{i}'^{0}(x_{k}^{0},\,\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c157e8704161be7f464f5ec6b3a387ec93ba0930)
Cela posé, voici ce que je me propose de démontrer :
Soient
et
fonctions tout à fait arbitraires
de
et
assujetties seulement à être
développables suivant les puissances de
Je dis qu’on pourra toujours, quelles que soient ces fonctions
et
choisir les fonctions
et
de telle façon que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{i}'^{0}&=\theta _{i},&\psi _{i}'^{0}&=\eta _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652f5fdfcad3840b846c10b63f0b1f50ccaa86a8)
En effet, il suffit pour cela de définir les
et les
par les
équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}v_{i}&+\varphi _{i}^{0}&(&x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\theta _{i}(x_{k}^{0},\,\mu ),\\\omega _{i}&+\psi _{i}^{0}&(&x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\eta _{i}(x_{k}^{0},\,\mu ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92175d1dafbf48dc189df8f1063d35ffa02135e1)
Or on peut toujours tirer de ces équations les
et les
sous la
forme de séries ordonnées suivant les puissances de
et dont les
coefficients sont des fonctions de ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
Si nous écrivons les séries (2 quater) sous la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\dots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\dots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356d4db1cd301d5650dfd2e4645d18f6f0d99231)
les
et les
sont des fonctions périodiques des
D’après la
remarque qui précède, on peut toujours s’arranger de telle
façon que les valeurs moyennes de ces fonctions périodiques
et
soient telles fonctions que l’on veut de
![{\displaystyle x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc41c0e2ae794149f133caeb538726238d83634)
Calcul direct des séries.
127.Passons maintenant au calcul direct des séries (2 quater).
Pour cela, supposons que dans
par exemple, qui est une fonction
des
des
et de
on remplace ces variables par leurs
développements
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x_{i}^{0}&+\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\w_{i}&+\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e2c19349e24ce962537494e62d7e5aff402bc7)
ce
deviendra alors une fonction des
des
des
des
et de
Cette fonction sera périodique par rapport aux
elle
sera développable suivant les puissances de
des
et des
(si
) ; elle dépendra des
d’une manière quelconque.
Écrivons alors
(9)
|
|
|
les
étant des fonctions des
des
des
des
périodiques par rapport aux ![{\displaystyle w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0f650d2bd33c7ab6ec1f0a25fbf56bef18bb01)
Nous aurons de même
(10)
|
|
|
les
étant des fonctions de même forme que les ![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a7d790481b2b2c6a2a725d536abd7ea2dd3a72)
Si l’on se rappelle que
est nul, et que
ne dépend pas
des
on conclura sans peine que
ne dépend que
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\mathrm {des} \;x_{i}^{0},&\;\mathrm {des} \;x_{i}^{1},&\;\ldots ,&\;x_{i}^{k-1},\\\mathrm {des} \;w_{i},&\;\mathrm {des} \;y_{i}^{1},&\;\ldots ,&\;y_{i}^{k-1}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1e8f9afc27af9d4fefca0b3c4104cf6341e59f)
Au contraire,
dépend des mêmes quantités et, en outre, des
mais il est indépendant des
D’ailleurs
est nul et
se réduit
à ![{\displaystyle n_{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51f1a99be72099c7d248bdb2bdb2c6c437466dc)
Nous supposerons d’autre part que
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db6c215648f0fc3e84253b567f55099a5a49fdc)
d’où
![{\displaystyle {\frac {dw_{i}}{dt}}=n_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b2e35c1879d79c2cd7b214fed06cc8e7d28a59)
Nous supposerons que
est développable suivant les puissances
de
et nous écrirons
(11)
|
|
|
Nos équations différentielles s’écriront alors
(12)
|
|
|
On a, en effet,
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=\sum {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dw_{k}}{dt}}={\textstyle \sum }n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008515c5faa510c89956c5f9be02a1186b770562)
Dans les équations (12), remplaçons
et
par leurs
développements (9), (10) et (11) et égalons ensuite les puissances
semblables de
En posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sum _{k=1}^{k=n}\sum _{q=1}^{q=p-1}n_{k}^{q}\,{\frac {dx_{i}^{p-q}}{dw_{k}}}&=-\mathrm {Z} _{i}^{p}&\quad &(\mathrm {si} \;p>1)&\qquad &\mathrm {Z} _{i}^{1}=0,\\\sum _{k=1}^{k=n}\sum _{q=1}^{q=p-1}n_{k}^{q}\,{\frac {dy_{i}^{p-q}}{dw_{k}}}&=-\mathrm {T} _{i}^{p}&\quad &(\mathrm {si} \;p>1)&\qquad &\mathrm {T} _{i}^{1}=0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54bb9c664e87e2d90d3aaaa1dec23d23463e5f30)
Il viendra, en égalant les coefficients de
![{\displaystyle (p>1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbef300759c9f3b88ee8b50b2ad8ab04f05413b0)
(13)
|
|
|
En égalant les termes indépendants de
il vient simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=0,&{\textstyle \sum }n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=n_{i}^{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4e16bbab2725aa56cad67ae5473e1edf890b99)
équations auxquelles on peut, comme nous le savions déjà, satisfaire en faisant
![{\displaystyle x_{i}^{0}=\mathrm {const.} ,\qquad y_{i}^{0}=w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cd8df65e873c34d6a01ff2b9592c8281cf3ccd)
Les équations (13) se réduisent alors à
(14)
|
|
|
Voyons comment on peut se servir des équations (14) pour
déterminer par récurrence les fonctions
![{\displaystyle x_{i}^{p}\quad \mathrm {et} \quad y_{i}^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ee346fedd8314edcdd4d78b720b08d86001904)
de façon que ces fonctions soient périodiques par rapport aux
et que leurs valeurs moyennes soient telles fonctions que nous
voulons des ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
Nous avons vu dans les deux numéros précédents que cette
détermination est possible.
Supposons que l’on ait calculé
(15)
|
|
|
et que l’on se propose de calculer à l’aide des équations (14)
et ![{\displaystyle y_{i}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0596eda9415bdefa3281ba3645d86274d25fa5b2)
Comme
et
ne dépendent que des variables (15), le second
membre de la première équation (14) est une fonction connue
des
périodique par rapport à ces variables.
Soit
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f140650e50afefa5434b63bf125e65fcbe131c26)
cette fonction, nous en déduirons, en intégrant l’équation (14),
![{\displaystyle x_{i}^{p}=\sum {\frac {\mathrm {A} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}}+\mathrm {K} _{i}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016d5c018fb003bb0c8876e4645e2f91539e8882)
Ainsi
est une fonction périodique des
il n’y aurait d’exception
que dans deux cas : si les
satisfaisaient à une relation linéaire
à coefficients entiers
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m_{i}n_{i}^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8ecba4ce4305a4687f404c38703e785fa0a789)
mais nous avons supposé le contraire ; ou bien si la fonction périodique
avait une valeur moyenne différente de 0. Il
n’est pas facile de démontrer directement qu’il n’en est pas ainsi,
mais comme nous savons d’avance que
doit être une fonction
périodique des
nous sommes certains que la valeur moyenne de
est nulle. C’est pour cela que j’ai commencé l’exposition
de la méthode de M. Lindstedt par les considérations des
deux numéros précédents, au lieu de débuter tout de suite par
le calcul du présent numéro.
Quant à la constante
on peut arbitrairement l’égaler à telle
fonction que l’on veut des
d’après ce que nous avons vu au
numéro précédent.
Il reste à calculer
à l’aide de la seconde équation (14). On
verrait, comme pour
que l’on trouvera
sous la forme d’une
fonction périodique des
à la condition que la partie moyenne de
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}-n_{i}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a9942944d51c0020967063ac48bd41b52f12ba)
soit nulle. Or la constante
est restée arbitraire, et il est clair
qu’on peut toujours la choisir de façon à annuler cette valeur
moyenne.
On ne sera donc jamais arrêté dans le calcul des différents termes
des séries (2 quater).
Il reste beaucoup d’arbitraires dont un calculateur habile pourra
disposer pour abréger ses calculs ; on peut en effet choisir arbitrairement
les valeurs moyennes de
et de
Parmi les choix que l’on peut faire, je citerai le suivant, sans
avoir l’intention toutefois de le recommander particulièrement.
On peut choisir les constantes
de telle façon que
![{\displaystyle n_{i}^{p}=0,\qquad n_{i}=n_{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f99de6c822345d3f1fa899e54b5e8f873a31a4)
Cette méthode est applicable toutes les fois qu’on peut choisir
les quantités
de façon qu’il n’y ait entre elles aucune relation
linéaire à coefficients entiers, et, par conséquent, toutes les fois
que l’on peut choisir arbitrairement les rapports de ces
quantités.
C’est ce qui arrive, par exemple, dans le cas particulier du Problème
des trois Corps défini au no 9 ; dans ce cas, on a en effet
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2x_{1}^{2}}}+x_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906e0df460ce66450738c87d3e19473e50464300)
d’où
![{\displaystyle n_{1}^{0}={\frac {1}{x_{1}^{2}}},\qquad n_{2}^{0}=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3ea39935c64dd05c2ba9987b574c57f3e70959)
Il est clair que nous pouvons choisir
de façon que le rapport
ait telle valeur que nous voulons.
C’est ce qui arrive également avec l’équation suivante, qui s’introduit
dans l’application des méthodes de M. Gyldén, et qui a fait
l’objet des études particulières de M. Lindstedt,
(16)
|
|
|
où
est une fonction développée suivant les puissances de
et
périodique en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
J’observe d’abord que
peut toujours être regardée comme la
dérivée prise par rapport à
d’une fonction
de même forme. Je
puis alors comme nous l’avons vu au no 2, remplacer l’équation
précédente par les suivantes :
![{\displaystyle -\mathrm {F} ={\frac {q^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}y^{2}}{2}}-\mu \,\varphi (y,x)+p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b82cf87819f5331d4c3ad8c07595aa8d9c40793)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}=1,&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}=q,&{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1483f2cda7bdaf6c34a18fdf28a9d1694d8207)
![{\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=-n^{2}y+\mu \,\varphi '(y,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e787cacc212c749cb790e908188defbe8b33f1d8)
Posons ensuite
![{\displaystyle y=\rho \sin y_{1},\quad q=n\rho \cos y_{1},\quad {\frac {n\rho ^{2}}{2}}=x_{1},\quad p=x_{2},\quad x=y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a498411a54e3793aea0ca835e1196e2c6d9e055)
nos équations deviendront
![{\displaystyle -\mathrm {F} =nx_{1}+x_{2}-\mu \,\varphi \left({\sqrt {\frac {2x_{1}}{n}}}\sin y,\,y_{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df27ac9c6186937844d5c8b9bb7b60efad3bb91)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}},&{\frac {dx_{2}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee93c8e70382f3c7b7d38a22f026a51b1a04a0af)
La forme canonique des équations ne sera en effet pas altérée, en
vertu du no 6.
Ici nous avons, en faisant
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=-nx_{1}-x_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf62f96857d79db3eba231c4a2badbf87727e98)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}^{0}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}=-n,&n_{2}^{0}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861a97e28ada2f58027906adad684261ee6d2437)
Si donc
est incommensurable, il n’y a entre
et
aucune
relation linéaire à coefficients entiers, et la méthode est applicable.
Elle serait applicable également au cas général du Problème des
trois Corps, si ces trois corps se mouvaient dans un plan et s’attiraient
suivant toute autre loi que la loi de Newton, mais elle cesse
de l’être (à moins de modifications importantes qui feront l’objet
des numéros suivants) si la loi d’attraction est la loi newtonienne.
En effet, dans ce cas (et en reprenant les notations du no 125),
ne contient plus
et par conséquent
est nul ; il en résulte
qu’il y a, entre les
une relation linéaire à coefficients entiers, à savoir
![{\displaystyle n_{3}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabbb442720afbe162eb18d2a7034b3d3efe5122)
Le calcul direct tel qu’il a été exposé dans ce numéro se rapproche
beaucoup plus de la méthode originale de M. Lindstedt. Il
présente un avantage important sur les procédés indirects des
deux numéros précédents, puisqu’il nous donne immédiatement
les valeurs des des
et des
en fonctions des
et, par conséquent,
du temps, et se prête ainsi au calcul des éphémérides. Mais ces procédés
indirects nous étaient nécessaires ; car, sans eux, je n’aurais
pu démontrer la légitimité du calcul direct (qui ne peut s’achever
que si la valeur moyenne de
est nulle), ou du moins je
n’aurais pu le faire sans employer les invariants intégraux dont je
ne parlerai que dans un Chapitre ultérieur.
À un autre point de vue, la connaissance de ces procédés indirects
ne nous sera pas non plus inutile. Nous avons vu, en effet,
dans l’Introduction, qu’on peut quelquefois employer avec avantage
une intégrale ou une relation invariante (pour parler le langage
des nos 1 et 19) au lieu d’une solution. D’ailleurs le calcul
de la fonction
peut servir de vérification au calcul direct.
128.On peut choisir la constante
définie plus haut, de telle
façon que
c’est-à-dire la valeur moyenne de
soit nulle, et, par conséquent, que
![{\displaystyle n_{i}^{p}=0,\qquad n_{i}=n_{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f99de6c822345d3f1fa899e54b5e8f873a31a4)
En effet, nous avons
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}^{p}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{1}}}x_{1}^{p}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{2}}}x_{2}^{p}-\dots -{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{n}}}x_{n}^{p}+\mathrm {U} _{i}^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1372627bedcc5c955952a7b3848bcf2f8a3db3)
ne dépendant que de
et
En égalant les valeurs moyennes, il vient
![{\displaystyle \left[\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}\right]=-\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}\,\mathrm {K} _{k}^{p}+\left[\mathrm {U} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce9156bb2527873ab9d8fef7782c20dd11e0192)
Les fonctions
et
sont entièrement connues ; il en est donc
de même de
et, par conséquent, il suffit, pour annuler
les
de choisir les constantes
de façon à satisfaire aux
équations linéaires
(1)
|
|
|
Il faut et il suffit, pour que cela soit possible, que le hessien de
ne soit pas nul. Or il est précisément nul dans le cas de l’équation (16),
c’est-à-dire dans le cas particulier dont s’est surtout
occupé M. Lindstedt ; c’est ce qui explique pourquoi ce savant
astronome n’a pas aperçu la possibilité de faire
![{\displaystyle n_{i}=n_{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329a6825a39d6e54f60926355ae7cae5b5ae0c0d)
Ce hessien est encore nul dans le cas particulier du Problème des
trois Corps défini au no 9, mais nous avons vu au no 43 qu’on peut,
par un artifice simple, tourner cette difficulté.
Comparaison avec la méthode de M. Newcomb.
129.M. Newcomb, pour parvenir à des séries de même formé
que celles qui nous ont occupé dans ce Chapitre, a employé la
méthode de la variation des constantes arbitraires. Pour bien montrer
que le résultat ne pouvait différer de celui que nous avons
obtenu dans les numéros précédents, nous allons exposer cette
méthode sous la forme suivante.
Reprenons l’équation aux dérivées partielles
(1)
|
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|
qui est l’équation (4) du no 125.
Soit
une fonction de
et de
constantes
satisfaisant approximativement à l’équation (1), de
telle sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}}},y_{i}\right)=\varphi (x_{i}^{0},y_{i})=\varphi _{0}(x_{i}^{0})+\varepsilon \varphi _{1}(x_{i}^{0},y_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69085383968877e7d111ee3753a1a4c59988d44f)
ne dépendant que des constantes
et
étant très petit. Nous
aurons alors une solution approximative des équations canoniques
(2)
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|
en faisant
(3)
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|
|
et en regardant les
et les
comme des constantes arbitraires.
Supposons maintenant qu’on veuille pousser plus loin l’approximation
en appliquant la méthode de Lagrange ; on regardera alors
les
et les
non plus comme des constantes, mais comme de
nouvelles fonctions inconnues. Voici comment, d’après le théorème
du no 4, nous devrons former nos nouvelles équations. Substituons
à la place des
leurs valeurs en fonction des
et des
tirées des équations (3) ; il viendra
![{\displaystyle \varphi (x_{i}^{0},y_{i})=\psi (x_{i}^{0},y_{i}^{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46220c435f5601fc122cfb8625a5f21c71caaa0b)
et nous aurons les équations canoniques
(4)
|
|
|
J’ai pris comme variables les
au lieu des
ce qui revient au
même, afin de mieux mettre en évidence la forme canonique des
équations.
L’intégration des équations (4) peut être ramenée à celle de
l’équation aux dérivées partielles
(5)
|
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|
Soit
une fonction des
et de
nouvelles constantes
satisfaisant à cette équation. Si nous posons
(6)
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nous satisferons aux équations (4) en égalant les
à des constantes
et les
à des fonctions linéaires du temps.
Si
n’est qu’une intégrale approximative de (5), nous n’aurons
ainsi que des solutions approximatives des équations (4).
Telle est la méthode de la variation des constantes ; ce n’est pas
tout à fait celle que nous avons appliquée au no 125 ; conservant
l’équation (1), après en avoir trouvé une solution approximative,
nous en cherchions une solution plus approchée encore. Soit
cette solution, qui dépendra des
et de
constantes
Si nous
posons alors
(7)
|
|
|
les
seront des constantes et les
des fonctions linéaires dû
temps, soit exactement si
est une solution exacte de (1), soit
approximativement si
n’est qu’une solution approchée. Pouvons-nous
choisir
de telle façon que les équations (7) équivalent
aux équations (3) et (6) ? Les équations (3) et (6) peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}d\mathrm {S} '&={\textstyle \sum }x_{i}\,dy_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }y_{i}^{0}\,dx_{i}^{0},\\d\mathrm {S} ''&={\textstyle \sum }x_{i}^{0}\,dy_{i}^{0}&{}+{}&{\textstyle \sum }y_{i}^{1}\,dx_{i}^{1},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fababef27bc9be904d8ede283384ea7c533ae0)
et les équations (7)
![{\displaystyle d\mathrm {S} '''={\textstyle \sum }x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }y_{i}^{1}\,dx_{i}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1876c1eab0ec19e1e0b39f832d90962f8af38682)
Il suffira donc de prendre
![{\displaystyle \mathrm {S} '''=\mathrm {S} '+\mathrm {S} ''-{\textstyle \sum }x_{i}^{0}y_{i}^{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1820a2a6f7c4847e775bbf22178438609e40128)
la méthode du no 125 ne diffère donc pas essentiellement de celle
de M. Newcomb et ne présente sur elle d’autre avantage que celui
d’éviter de trop nombreux changements de variables.
J’ajouterai que nous avons choisi d’une manière particulière les
constantes d’intégration, afin de conserver aux équations leur
forme canonique. M. Newcomb ne s’y est pas astreint, et c’est ce
que font d’ailleurs les astronomes dans l’application de la méthode
de Lagrange. Les équations où s’introduisent les crochets de
Lagrange prennent ainsi une forme en apparence plus compliquée.
Mais cette différence n’a rien d’essentiel.