CHAPITRE X.
APPLICATION À L’ÉTUDE DES VARIATIONS SÉCULAIRES.
Exposé de la question.
130.On peut faire des principes du Chapitre précédent une
application importante à l’étude de certaines équations que les
astronomes ont souvent considérées.
Soient
(1)
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nos équations canoniques, et soit
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8a5ad6d570d34526ededfbb5ee5c93b11d394e)
Supposons que nos variables conjuguées
et
soient les
variables képlériennes du no 11, que
dépende seulement de
et de
c’est-à-dire des deux grands axes, et qu’en négligeant
et les termes suivants
représente la fonction perturbatrice.
Alors
est développable suivant les sinus et cosinus des multiples
des deux anomalies moyennes
et
j’appellerai
la valeur
moyenne de cette fonction périodique de
et de
On a souvent, pour étudier les variations séculaires des éléments
des deux planètes, négligé dans
les termes périodiques et réduit,
par conséquent, cette fonction à sa valeur moyenne
Nos équations
deviennent alors
(1 bis)
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Est-on certain, en opérant de la sorte, d’obtenir exactement les coefficients des termes séculaires de
et de
je veux dire les
coefficients des termes dont la période croît indéfiniment quand
les masses tendent vers 0 ? Il est évident que non ; mais l’approximation
est généralement assez grande et les astronomes s’en sont,
à juste titre, contentés jusqu’ici. De là l’intérêt qui s’attache à
l’étude de ces équations (1 bis).
et
ne dépendant pas de
et de
il vient d’abord
![{\displaystyle {\frac {d(\beta \,\mathrm {L} )}{dt}}={\frac {d(\beta '\mathrm {L} ')}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789324c6cc0ab5323696ccbc403236d6e56b3393)
de sorte que
et
peuvent être considérés comme des constantes.
Nous pourrons donc nous contenter d’envisager les quatre paires
de variables conjuguées,
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\beta \,\mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta ',\\g,&\theta ,&g',&\theta '\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68c9a478d4ba409acb8f4b542913ed57eb92883)
(notations du no 11), que nous appellerons pour un instant
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}x_{1},&x_{2},&x_{3},&x_{4},\\y_{1},&y_{2},&y_{3},&y_{4},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee50901532589738e9abbd14411574c3b226c0e4)
Alors
ne dépend d’aucune de ces huit variables et nos équations
(1 bis) deviennent
(1 ter)
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|
La fonction
ne dépend que de nos huit variables
et
puisqu’elle est indépendante de
et de
et que
et
sont désormais
regardées comme des constantes. Nos équations (1 ter) ont
donc la forme canonique.
Quand
et
auront été déterminés par les équations (1 ter),
on calculera
et
par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dt}{dt}}&=-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {dt'}{dt}}&=-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{\beta '\,d\mathrm {L} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37709553fd77c39b9381a2ed906ac79c97b8e207)
qui s’intégreront par de simples quadratures, puisque
et
n’entrent
pas dans le second membre.
Les fondateurs de la Mécanique céleste ont envisagé ces équations en réduisant
à ses premiers termes, c’est-à-dire à ceux
qui sont du second ordre par rapport aux excentricités et aux
inclinaisons. Les équations sont alors linéaires et à coefficients
constants. Depuis, Le Verrier et Cellérier ont envisagé les termes
du quatrième ordre et ont reconnu qu’ils n’altèrent pas la stabilité.
Mais les principes du Chapitre précédent permettent, comme
nous allons le voir, de généraliser ce résultat et de montrer qu’il
est encore vrai (au point de vue du calcul formel bien entendu)
quelque loin que l’on pousse l’approximation.
Nouveau changement de variables.
131.Si l’on adopte les variables (4) du no 12,
est développable
suivant les puissances de
et
il n’y
a
pas, comme nous l’avons vu, de termes de degré impair, par rapport
à ces quantités
(2)
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Nous pourrons donc écrire
![{\displaystyle \mathrm {R} (\xi ,\xi ',\eta ,\eta ',p,p',q,q')=\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\mathrm {R} _{6}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1295cbfddc6c4a50974d99237706153a34e09fd)
comprenant l’ensemble des termes du
ième degré par rapport
aux quantités (2). Il s’agit d’intégrer les équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\eta }},&{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\xi }},&\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8023ee0f50cc112e4d7343100336c263e2ae93d1)
Mais nous avons encore un changement de variables à faire pour
amener nos équations à la forme la plus commode.
Supposons d’abord que l’on néglige les termes d’ordre supérieur
au deuxième par rapport aux quantités (2) et que l’on écrive
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57264aa4dfc05fecd623b30c8b597230cc502a0f)
est une constante,
est un polynôme homogène et du second
degré par rapport aux variables (2). Si donc on forme les équations canoniques
(3)
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ces équations seront linéaires par rapport aux variables (2).
Supposons que, au lieu de développer
suivant les puissances
des variables (2), nous développions suivant les puissances des
excentricités et des inclinaisons et qu’on obtienne ainsi le développement suivant
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}^{\star }+\mathrm {R} _{2}^{\star }+\mathrm {R} _{4}^{\star }+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2e4b52d508be2465bec9b7d91e116388cd3c6b)
représentant l’ensemble des termes du degré
par rapport aux
excentricités et aux inclinaisons.
D’après ce que nous avons vu au no 12, les variables (2) sont
développables suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons,
de telle sorte qu’en arrêtant chacun de ces développements
à son premier terme il vienne
(4)
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(j’ai posé pour abréger, comme au no 12,
).
Il résulte de là que
![{\displaystyle \mathrm {R} _{0}=\mathrm {R} _{0}^{\star }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0900db9b1c16488bbe12c078afe841405cc47af4)
et que, pour obtenir
il suffit de remplacer dans
les
variables (2) par leur valeur approchée (4).
Inversement, on obtiendra
en remplaçant dans
les quantités
![{\displaystyle e\cos \varpi ,\quad e'\cos \varpi ',\quad e\sin \varpi ,\quad e'\sin \varpi ',\quad i\cos \theta ,\quad i'\cos \theta ',\quad i\sin \theta ,\quad i'\sin \theta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60eec2703d8151ad7277f9c5ed0d93118b28c45)
par
![{\displaystyle {\frac {\xi }{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {\xi '}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {-\eta }{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {-\eta '}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {p}{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {p'}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {-q}{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {-q'}{\sqrt {\Lambda '}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e48e2cca48dee40107d0e8dea82d57b037744ee)
Mais le développement de
est bien connu ;
n’est autre
chose, en effet, que l’ensemble des termes séculaires de la fonction
perturbatrice qui sont du deuxième degré par rapport aux excentricités
et aux inclinaisons.
Je puis en conclure deux choses :
1o Que les équations linéaires (3) peuvent se déduire par un
changement de variables très simple des équations (A) et (C) de
la Mécanique céleste de Laplace (Livre II, Chap. VII, t. Ier,
nos 55 et 59, p. 321 et 334, édition de Gauthier-Villars, 1878)
qui servent à calculer les variations séculaires des excentricités et
des périhélies, des inclinaisons et des nœuds ;
2o Que la fonction
est d’une forme particulière et peut s’écrire
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} '_{2}(\xi ,\xi ')+\mathrm {R} '_{2}(\eta ,\eta ')+\mathrm {R} _{2}''(p,p')+\mathrm {R} _{2}''(q,q').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b121a385c88ea6692767a4e87ff6bf00aee215)
Elle est ainsi la somme de quatre formes quadratiques, la première
dépendant seulement de
et de
la seconde formée avec
et
comme la première avec
et
la troisième dépendant seulement
de
et de
la quatrième formée avec
et
comme la troisième
avec
et ![{\displaystyle p'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f82e4b30804343bb1b6a429c904d7ff8bd9def)
Cela posé, nous allons faire un changement linéaire de variables
en nous arrangeant de façon à ne pas altérer la forme canonique
des équations.
Posons pour cela
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\mathrm {V} =&+\xi (\sigma _{1}\cos \varphi &{}+{}&\sigma _{2}\sin \varphi )&{}+{}&\xi '(-\sigma _{1}\sin \varphi &{}+{}&\sigma _{2}\cos \varphi )\\&+p(\sigma _{3}\cos \varphi '&{}+{}&\sigma _{4}\sin \varphi ')&{}+{}&p'(-\sigma _{3}\sin \varphi '&{}+{}&\sigma _{4}\cos \varphi '),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e74b67d95fb56e5c964193bb898cbc5f36f0df)
et
étant deux angles dépendant de
et de ![{\displaystyle \Lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a6f988124d5f079ee13190c67b6ec511513368)
Posons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{aligned}\eta &={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}=\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi ,&\eta '&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi '}}=-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi ,\\q&={\frac {d\mathrm {V} }{dp}}=\sigma _{3}\cos \varphi '+\sigma _{4}\sin \varphi ',&q'&={\frac {d\mathrm {V} }{dp'}}=-\sigma _{3}\sin \varphi '+\sigma _{4}\cos \varphi '.\end{aligned}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d476b30b1ef2d32acc544843e853e6740e8325c0)
J’ai ainsi des relations qui définiront les variables nouvelles
en fonctions des variables anciennes.
J’introduis encore quatre nouvelles variables
définies
par les relations
![{\displaystyle \tau _{i}={\frac {d\mathrm {V} }{d\sigma _{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd17c45e6078cfac42d6b74e69dab0512a922897)
d’où
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\xi &=\tau _{1}\cos \varphi &{}+{}&\tau _{2}\sin \varphi ,&\qquad \xi '&=-\tau _{1}\sin \varphi &{}+{}&\tau _{2}\cos \varphi ,\\\xi &=\tau _{3}\cos \varphi '&{}+{}&\tau _{4}\sin \varphi ',&\qquad \xi '&=-\tau _{3}\sin \varphi '&{}+{}&\tau _{4}\cos \varphi '.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2402ff68616c74b5cf8c2045e1502c13e2ec5ff5)
D’après le théorème du no 4, la forme canonique des équations
ne sera pas altérée si l’on remplace les variables anciennes
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrl}\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\eta ,&\eta ',&q,&q'\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905154381a9558bc696e8562bea9790fadd9be23)
par les variables nouvelles
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrl}\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4},\\\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddf4475b693918ceefeb6d8d45a5f537f8dd2f5)
Il reste à montrer comment on choisira les angles
et
en fonctions
de
et de ![{\displaystyle \Lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a6f988124d5f079ee13190c67b6ec511513368)
On choisira l’angle
de telle façon que la forme quadratique
![{\displaystyle \mathrm {R} '_{2}(\xi ,\xi ')=\mathrm {R} '_{2}(\tau _{1}\cos \varphi +\tau _{2}\sin \varphi ,\,-\tau _{1}\sin \varphi +\tau _{2}\cos \varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66c389b296bf0a4df25a5e671ce1bcb6770deb9)
se réduise à une somme de deux carrés
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}\tau _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}\tau _{2}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340a8d63e718db187ed95d8b9699cca852cd4528)
On aura de même
![{\displaystyle \mathrm {R} '_{2}(\eta ,\eta ')=\mathrm {R} '_{2}(\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi ,\,-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi )=\mathrm {A} _{1}\sigma _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}\sigma _{2}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ce5752b59c27804d0bf82305a4d93fb82c3c60)
On choisira de même l’angle
de telle façon que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} ''_{2}(p,p')&=\mathrm {A} _{3}\tau _{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}\tau _{4}^{2},\\\mathrm {R} ''_{2}(q,q')&=\mathrm {A} _{3}\sigma _{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}\sigma _{4}^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6993bf369c660104b45d59095c3adf530f401b0)
on aura alors
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}=\mathrm {A} _{1}(\sigma _{1}^{2}+\tau _{1}^{2})+\mathrm {A} _{2}(\sigma _{2}^{2}+\tau _{2}^{2})+\mathrm {A} _{3}(\sigma _{3}^{2}+\tau _{3}^{2})+\mathrm {A} _{4}(\sigma _{4}^{2}+\tau _{4}^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cf8b2d2a769ff027095ccfa4aaffcbd25106b9)
Remarquons que
dépendent de
et de ![{\displaystyle \Lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a6f988124d5f079ee13190c67b6ec511513368)
La relation entre les variables
et
qui s’écrit
(5)
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est une substitution linéaire orthogonale ; c’est grâce à cette circonstance,
comme nous l’avons expliqué au no 5, que la forme canonique des équations n’est pas altérée. Le problème est donc
ramené à la recherche des angles
et
c’est-à-dire au choix de
la substitution orthogonale (5), mais cette recherche revient à
l’intégration des équations (A) et (C) de Laplace citées plus haut ;
le calcul numérique peut donc être long, mais il a déjà été fait en
ce qui concerne le système solaire.
On obtiendra des résultats analogues dans le cas où, au lieu de
trois corps, on en considérerait
La fonction
serait encore la somme de quatre formes quadratiques,
mais chacune de ces quatre formes au lieu de dépendre
seulement de deux variables en contiendrait
Nous aurons alors
variables analogues aux
analogues
aux
analogues aux
analogues aux
Tout se ramènera
encore à déterminer une substitution linéaire orthogonale qui,
appliquée aux variables
transforme la première de ces quatre
formes quadratiques en une somme de
carrés.
Mais revenons au Problème des trois Corps.
Faisons un dernier changement de variables en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\cos \omega _{i},&\sigma _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\sin \omega _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e737e0b9bcceca09a4ea4b56c623b9d04ceda71)
ce qui, d’après le no 6, n’altère pas la forme canonique des équations.
est alors développable suivant les puissances des
et périodique
par rapport aux
on a d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}=2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed42d701c56bd576651adfde3e106ff5ffb71312)
c’est-à-dire que
ne dépend pas des ![{\displaystyle \omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fb1685cabb3d45fc90a0f419ebeb1f2723e95f)
Application de la méthode du Chapitre IX.
132.Après ces divers changements de variables, nos équations
se présentent sous la forme suivante
(2)
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Pour pouvoir appliquer à ces équations les méthodes du Chapitre
précédent, il faudrait pouvoir développer
suivant les puissances croissantes d’un paramètre très petit. Nous ne pouvons plus pour
cela nous servir de
puisque tous les termes du second membre
sont du même degré (de degré i), par rapport à
heureusement
les quantités
qui sont de l’ordre du carré des excentricités et
des inclinaisons sont elles-mêmes très petites.
Nous n’avons donc, pour être ramené au cas traité dans le Chapitre
précédent, qu’à poser
![{\displaystyle \rho _{i}=\varepsilon \rho '_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b6898cc549e65cec3264f84546dceea4e17cb8)
étant une constante très petite, et les quantités
étant finies.
Il vient alors
(2 bis)
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![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4576c812d48d8bfa829ee6c240d4aa19d02793c)
sera homogène et du degré
par rapport aux
de sorte que,
quand on remplacera
par
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\varepsilon \mathrm {R} '_{2}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} '_{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc0cd7996217ddc0d695002b381bbfbf4462138)
s’obtenant en remplaçant
par
dans ![{\displaystyle \mathrm {R} _{2p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafd8a6474ff0ac2f5fef4993b46e234eb911434)
Nos équations deviennent alors, si l’on observe que
se réduit
à une constante,
(3)
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On voit que les équations ont conservé la forme canonique ; la
fonction
se réduit alors à
![{\displaystyle \mu \left(\mathrm {R} '_{2}+\varepsilon \mathrm {R} '_{4}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} '_{6}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3511f33944ee6ef5be9934bc07c868b3861e51)
On voit qu’elle est développée suivant les puissances de
elle est
périodique par rapport aux variables de la seconde série
enfin
le premier terme
ne dépend pas de ces variables
Nous nous
trouvons donc dans les conditions où les résultats du Chapitre
précédent sont applicables.
La seule hypothèse que nous devions faire, c’est qu’il n’y ait pas
entre les quatre constantes
de relation linéaire à coefficients entiers. La probabilité pour que cette relation existe
est nulle, mais on peut encore se demander s’il n’y a pas une relation
simple de cette forme qui soit assez près d’être satisfaite pour
que les séries ne convergent plus que très lentement. On sait que
Le Verrier a discuté cette question, mais il a dû la laisser indécise
en ce qui concerne les planètes inférieures, parce que les masses
en sont mal connues et que les coefficients
dépendent de ces
masses.
Il est clair que tout ce qui précède s’applique, sans qu’on ait
rien à y changer, au cas où l’on aurait plus de trois corps.
Ainsi on peut satisfaire formellement aux équations qui définissent
les variations séculaires par des séries trigonométriques de
la forme de celles de MM. Newcomb et Lindstedt. Alors
sont exprimés par des séries dont les termes
sont périodiques par rapport à
Ce résultat aurait été envisagé
par Laplace ou Lagrange comme établissant complètement la stabilité
du système solaire. Nous sommes plus difficiles aujourd’hui
parce que la convergence des développements n’est pas démontrée ;
le résultat n’en est pas moins important.
Remarquons, en terminant, que, dans le cas où il n’y a que trois
corps et où ils se meuvent dans un plan, nos équations canoniques
(3) peuvent être ramenées à n’avoir plus qu’un seul degré
de liberté ; on peut donc les intégrer par de simples quadratures.
Inutile de rappeler que l’intégration des équations (3) équivaut
à celle de l’équation aux dérivées partielles
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},\omega _{i}\right)=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26281af23b92408b0d32963eca6855a78a5d7825)
où
est la fonction inconnue, les
les variables indépendantes
et dont le premier membre est la fonction
où
a été remplacé
par ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71657b8f8b1b409beaa76af61bdaec4400123f4)