CHAPITRE XI.
APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.
Difficulté du problème.
133.Dans le cas du Problème des trois Corps, une difficulté
spéciale se présente et rend plus difficile l’application des méthodes
du Chapitre IX.
En effet,
ne dépend plus des six variables de la première série
![{\displaystyle \beta \,\mathrm {L} ,\quad \beta '\,\mathrm {L} ',\quad \beta \,\mathrm {G} ,\quad \beta '\,\mathrm {G} ',\quad \beta \,\Theta ,\quad \beta '\,\Theta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312eb952ba7d8dcea3049f594dfcaf024829da10)
mais seulement de deux d’entre elles
![{\displaystyle \beta \,\mathrm {L} \quad \mathrm {et} \quad \beta '\,\mathrm {L} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/457625877e46eaf784ae40d2176ea811f8506de8)
Parmi les quantités que nous avons appelées
![{\displaystyle n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef224e78cba46d3c9608f13bf0efc40049c63e36)
il y en a donc quatre qui sont nulles, à savoir
![{\displaystyle -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta \mathrm {G} }},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta '\mathrm {G} '}},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta \Theta }},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta '\Theta '}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f95208ace332e8f6b7f4dcd7ad4151fc33a88d2)
La condition pour que les conclusions du Chapitre subsistent,
à savoir qu’il n’y ait entre les
aucune relation linéaire à coefficients
entiers, n’est donc pas satisfaite.
Cette difficulté ne se présenterait pas, au moins si les trois Corps
se meuvent dans un plan, avec toute autre loi d’attraction que celle
de Newton ; en effet, ces équations
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\mathrm {G} }}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\mathrm {G} '}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Theta }}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Theta '}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f66e8c0a31726b772629c273e41475cffe05cbc)
ont une signification évidente. Elles veulent dire que dans le mouvement
képlérien les périhélies et les nœuds sont fixes ; nous avons
en effet les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dg}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {G} }}&{\frac {d\theta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {G} '}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b364325360e6a7b8649b21c43cb0dd4a96f160)
Dans le mouvement képlérien
se réduit à
et
sont des constantes.
Or dans le cas du Problème des deux Corps et avec une loi
différente de celle de Newton, les nœuds sont encore fixes, mais
les périhélies ne le sont plus. Il en résulte que si le mouvement a
lieu dans un plan, et si l’on n’a plus à s’inquiéter des nœuds, la
méthode du Chapitre IX est applicable sans modification.
Extension de la méthode du Chapitre IX à certains cas singuliers.
134.Examinons donc le cas où
ne contient pas toutes les
variables
Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait 3 degrés de liberté
et que
contienne deux des variables de la première série
et
et ne contienne pas la troisième
On a alors
![{\displaystyle n_{3}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabbb442720afbe162eb18d2a7034b3d3efe5122)
Nous supposons toujours
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {F} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166769bbf7bbb32fa328728f9f9b2e94a1a01481)
est une fonction de
périodique par rapport
à
et ![{\displaystyle y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3766e8440eb174c6b3e3b7679b0988b5e01fead)
Je considère un instant
comme une fonction de
et de
seulement ; c’est une fonction périodique de ces deux variables et
j’appelle
la valeur moyenne de cette fonction périodique qui
dépend encore de
et
Je considère d’abord le cas où
ne dépend que de
et
et est au contraire indépendant de
Nous cherchons encore à trouver une fonction,
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \,\mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {S} _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e63f13f7a6096d6bddf53e3f2b1752b2f911d4)
de même forme que la fonction
envisagée dans le no 125 et qui
satisfasse formellement à l’équation
(4)
|
|
|
étant une constante que nous pourrons écrire
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mu \,\mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {C} _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1abcead4c8351ba1414d3cdc7a55aba9dc8b9fb)
étant des constantes arbitraires.
Nous poserons d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=x_{2}^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa2f14070fbcc1d1f680881178a5f71c628de2a)
Les constantes
et
seront liées par la relation
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0})=\mathrm {C} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4feedb3e10431902b5effad86dfc5fe789237b37)
Mais, comme la constante
est arbitraire,
et
seront eux-mêmes
arbitraires.
Je poserai ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}&=-n_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}}}&=-n_{2}^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787ce11f33f27fce6110b4a8871c5fe38f17aeae)
Il vient
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+[\mathrm {S} _{0}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7f92acb9f66260cffaec5d9c695f5d95c388ad)
étant une fonction arbitraire de
qu’il reste à déterminer.
En égalant dans l’équation (4) les coefficients de
il vient, comme
au no 125,
(5)
|
|
|
Quelle que soit la fonction arbitraire
le second membre de
l’équation (5) sera une fonction périodique de
et de
et la
valeur moyenne de cette fonction sera
![{\displaystyle \mathrm {R} \left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},{\frac {d[\mathrm {S} _{0}]}{dy_{3}}},y_{3}\right)-\mathrm {C} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cf3d409be2e74281a4d904445def80d8eeff06)
Nous voulons que la fonction
soit de la forme suivante
![{\displaystyle \alpha _{1,1}y_{1}+\alpha _{1,2}y_{1}+\alpha _{1,3}y_{3}{}+{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8e6d50daedce1c35ade6049d143a14d8713c93)
fonction périodique de
![{\displaystyle y1,\,y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb1c30225caa20c39af28c0863d8f105f7fa783)
et
Pour que cela soit possible, il faut et il suffit, comme nous l’avons
vu au no 125, que la valeur moyenne du second membre de (5) se
réduise à une constante que nous appellerons
Nous aurons
alors, pour déterminer la fonction arbitraire
l’équation suivante
(6)
|
|
|
J’ai supposé plus haut que
ne dépendait pas de
il suffira
donc pour satisfaire à cette équation (6) de prendre
![{\displaystyle [\mathrm {S} _{0}]=x_{3}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0104af562cf3b033f3b5942dba9de0fea350a2c)
étant une constante qui peut encore être regardée comme arbitraire,
puisque la constante
l’est elle-même ; on aura alors,
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+x_{3}^{0}y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c88e2a8a56d8ed9455ab9bbe12a939923038eb3)
En égalant dans l’équation (5) les valeurs moyennes des deux
membres, il vient
![{\displaystyle n_{1}^{0}\,\alpha _{11}+n_{2}^{0}\,\alpha _{12}=\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77abcd77e9a89f41baa067e5463b9678d7433138)
Comme
est arbitraire, je ferai
ce qui me permettra de
faire comme au no 125,
![{\displaystyle \alpha _{11}=\alpha _{12}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b818c170bb818984b646dea3b84e0558ebef2481)
L’équation (5) permet alors de déterminer
à une fonction
arbitraire près de
Cela posé, imaginons que l’on ait déterminé complètement les
fonctions
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0},\quad \mathrm {S} _{1},\quad \mathrm {S} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {S} _{p-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7060e18aecd7e26409110e956431bdf428401cb)
et qu’on ait calculé
à une fonction arbitraire près de
supposons que l’on se propose d’achever la détermination de
et de calculer
à une fonction arbitraire près de ![{\displaystyle y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3766e8440eb174c6b3e3b7679b0988b5e01fead)
Égalons dans les deux membres de (4) les coefficients de
il
viendra
(7)
|
|
|
étant une fonction qui ne dépend que des
et des dérivées de
ainsi que de
et de
Les fonctions
sont connues. Nous connaissons
à une fonction arbitraire près de
; nous connaissons donc
et
Donc on peut regarder
comme une fonction connue
des
et cette fonction sera périodique.
Étant donnée une fonction périodique
de
et
nous
désignerons par
la valeur moyenne de
considérée un instant
comme fonction de
et
seulement. Il en résulte que
est
encore une fonction de
On verrait, comme plus haut, que la valeur moyenne du second
membre de (7) doit se réduire à une constante
d’où
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{3}}}\right]+\left[\Phi _{p}\right]=\mathrm {C} '_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aba965429ca2ea1a0489176c8e1f0e85439ede0)
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\right]+\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d(\mathrm {S} _{p-1}-[\mathrm {S} _{p-1}])}{dy_{3}}}\right]+\left[\Phi _{p}\right]=\mathrm {C} '_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d3a2cb974bf1cfb280a783f22ae6e81a69bbdd)
Comme
ne dépend pas de
il vient
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\right]={\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}\right]={\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55df5d8144a75a80d68b150fb0e6a40f9e894c8f)
d’où
(8)
|
|
|
Connaissant
à une fonction arbitraire près de
nous connaissons
![{\displaystyle \mathrm {S} _{p-1}-\left[\mathrm {S} _{p-1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ee3d660ee83567a61f3f2d35290f4b35cb2746)
Le second membre de (8) est donc entièrement connu. D’autre
part,
est une fonction connue de
et
où ces variables
sont remplacées par les constantes connues
et
Nous
connaissons donc
et l’on pourra tirer de l’équation (8)
et par intégration ![{\displaystyle [\mathrm {S} _{p-1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ca0b8c20d8a9b0d5b6e7d04d6c9761c3c88082)
Pour que
soit une fonction périodique de
il faut que
la valeur moyenne du second membre de (8) soit nulle ; or on peut toujours disposer de la constante arbitraire
pour qu’il en soit ainsi.
La détermination de
est ainsi achevée ; l’équation (7) nous
permettra ensuite de déterminer
à une fonction arbitraire près
de
Pour que la valeur de
tirée de (7) soit périodique en
et
il faut que la valeur moyenne du second membre soit nulle.
Or cette valeur moyenne est
et, comme la constante
reste arbitraire, nous pouvons prendre
![{\displaystyle \mathrm {C} _{p}=\mathrm {C} '_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba58b53e069f322648d2b61bfc3e2b42ee745af)
Ainsi l’on pourra toujours déterminer les fonctions
par récurrence.
Les conclusions du no 125 subsistent donc ; la seule différence,
c’est que le développement de
suivant les puissances de
au lieu de commencer par un terme tout connu, commence par
un terme en
Supposons maintenant qu’il y ait 4 degrés de liberté et huit
variables
;
que
ne dépende que
de
et
et
de
Les mêmes conclusions subsisteront encore pourvu que :
1o Il n’y ait entre
et
(c’est-à-dire entre
et
) aucune
relation linéaire à coefficients entiers ;
2o Il n’y ait non plus entre
et
aucune relation linéaire à coefficients entiers.
En effet, l’équation analogue à (8) qui sert à déterminer
s’écrit alors
(8 bis)
|
|
|
et pour que l’on puisse tirer de là
en fonction périodique
des
et
il faut et il suffit qu’il n’y ait entre
et
aucune relation linéaire à coefficients entiers.
135.Nous avons supposé jusqu’ici que
ne dépendait que des
variables de la première série
et
(en supposant, comme à la fin du numéro précédent, qu’il y a 4 degrés de liberté
et que
ne dépend que de
et de
)
Imaginons maintenant que
dépende non seulement de
et
mais encore de
et de
Si nous remplaçons
et
par les constantes
et
et
et
par
et
et que nous égalions ensuite
à une
constante
nous aurons l’équation suivante
(1)
|
|
|
qui définira une fonction
des deux variables
et ![{\displaystyle y_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3568703d5caed306297f0f3f14d0e65ee458ffdb)
Supposons que l’on ait trouvé une fonction
satisfaisant à cette
équation ; que cette fonction dépende en outre des deux constantes
et
et de deux constantes d’intégration nouvelles que j’appellerai
et
La fonction
![{\displaystyle \mathrm {U} =\xi _{1}y_{1}+\xi _{2}y_{2}+\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2957aff51ee3be8f8b83c9bedfdeecc41655b176)
satisfera alors à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {U} }{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{3}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{4}}},y_{3},y_{4}\right)=\mathrm {C} '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a2fa1446e533bee82fa3fa438de134fb581324)
De plus les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}&\eta _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af7200e55b80ebcd70aa23eab7cff808f6898f3)
définiront un changement de variables, les variables anciennes étant
les
et les
et les variables nouvelles étant les
et les ![{\displaystyle \eta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15db564442258b161e5e0aae9ec81db21990d95b)
D’après ce que nous avons vu au no 4, ce changement de
variables n’altérera pas la forme canonique des équations.
On voit aisément que
![{\displaystyle x_{1}=\xi _{1},\qquad x_{2}=\xi _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad9d764c513d6692d4bf7a0b51452484db6dc3f)
et, par conséquent, qu’après le changement de variables
ne
dépendra que de
et de ![{\displaystyle \xi _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a856f4e4824b4a7cd58e21271952587a295062fc)
Si l’on suppose (ce que nous ferons) que la fonction
est telle
que
(ou
),
(ou
)
soient des fonctions des
et des
périodiques par rapport aux
la fonction
après le changement de variables sera périodique par
rapport aux
Nous avons appelé
la valeur moyenne de
considérée
comme fonction périodique de
et
Je dis que, si après le
changement de variables nous regardons
comme une fonction
périodique de
et
sa valeur moyenne sera encore
En effet, on a par définition
![{\displaystyle 4\pi ^{2}\mathrm {R} =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}\,dy_{1}\,dy_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4661c559bee52abd7962aa936a0c717e20f8417)
et je me propose de démontrer que
![{\displaystyle 4\pi ^{2}\mathrm {R} =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb6acb81a4da9c8b2ec1855d56dc424757dba02)
On a en effet
![{\displaystyle \iint \mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}=\iint \mathrm {F} _{1}\left({\frac {d\eta _{1}}{dy_{1}}}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{2}}}-{\frac {d\eta _{1}}{dy_{2}}}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{1}}}\,dy_{1}\,dy_{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2309f0adab81df275421f2b2c455463039a54b6a)
or, dans les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\xi _{1},&x_{2}&=\xi _{2},&x_{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}},&\eta _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\quad (i=3,\,4),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13da4591684d666a7cab64a025f7604c8878802d)
et
et
n’entrent pas ; ce qui montre que, quand on
exprimera les variables nouvelles en fonction des anciennes
et
ne dépendront ni de
ni de ![{\displaystyle y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3c8c2e01474c1a353aef6bec0e5f0aae6d3a0)
Donc, si l’on remplace, dans
et
par leurs valeurs en fonction
de
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {T} }{dy_{1}}}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{2}}}=0,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{i}\,dy_{1}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{i}\,dy_{2}}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b32a4f8a64cf46e76d3d76b2d391bb7e34a14f)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\eta _{1}}{dy_{1}}}&=1+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{1}\,dy_{1}}}=1,&{\frac {d\eta _{1}}{dy_{2}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{1}\,dy_{2}}}=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe747bba706eb82ae5f718a430417501e8db44f)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{1}}}&=0,&{\frac {d\eta _{2}}{dy_{2}}}&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1f3f808fed57ca12d500e8e2ac98f459fa3b62)
On a donc
![{\displaystyle \iint \mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}=\iint \mathrm {F} _{1}\,dy_{1}\,dy_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69c16d602377b8dbf9276e86c8db5fdaf363624)
C.Q.F.D.
De plus, la quantité
qui doit être une constante ne pourra
dépendre que des constantes d’intégration, c’est-à-dire des
de
sorte que
ne dépendra [en vertu de l’équation (1)] que de
et
Nous sommes donc ramené au cas traité dans le paragraphe
précédent, et nous devons conclure que les équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c058bcbb07fffb487725c9521224bc15ba212f)
peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\xi _{i}&=\xi _{i}^{0}&{}+{}&\mu \,\xi _{i}^{1}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}\xi _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \,\eta _{i}^{1}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}\eta _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640a73a809f754e19cd1a77778ffa4542836c686)
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i},&n_{i}&=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}n_{i}^{p}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581c2960a71b4162dff8addde0580eae7d7ef5bd)
où les
sont des constantes, où les
et les
sont des fonctions
périodiques des
dépendant en outre des
constantes d’intégration
où les
sont
autres constantes d’intégration ; où enfin
les quantités
dépendent encore des constantes ![{\displaystyle \xi _{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c7c1a48f7847e8db44cc7fa4e54a59a8daba20)
Revenant aux variables primitives, on verra ensuite que les
équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd774eb8de71b97ebafc19f362e32a258594635)
peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu \,x_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}x_{i}^{p}+\ldots ,\\y_{i}&=\varepsilon _{i}w_{i}+y_{i}^{0}+\mu \,x_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}y_{i}^{p}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ac5bb80b729b76091b6f161c0a9830d3d58436)
les
et les
étant des fonctions périodiques des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Quant au coefficient
il peut être égal à 0 ou à 1. Il est toujours
égal à 1 pour
1 ou 2 ; il est égal à 1 ou à 0 pour
3,
selon que c’est
ou
qui est périodique par rapport
aux
et de même, il es égal à 1 ou 0 pour
4, selon que
c’est
ou
qui est périodique par rapport aux
Tout est donc ramené à l’intégration de l’équation aux dérivées
partielles (1), ou, ce qui revient au même, à l’intégration des équations
canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}}&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2636442b9ed56643c38a10c3883c78962d7ae07c)
Application au Problème des trois Corps.
136.Appliquons ce qui précède au Problème des trois Corps ;
nous avons mis les équations de ce problème sous la forme
(1)
|
|
|
avec
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884875c1275dae5ead9bde523251808f456acca1)
étant un paramètre très petit, et
la fonction perturbatrice.
Nos variables sont celles du no 11,
(2)
|
|
|
ou bien encore celles du no 12,
(3)
|
|
|
ne dépend que de
et de
dépend des douze variables,
mais est périodique par rapport à
et
Si l’on considère donc
comme fonction périodique de
et de
et que l’on appelle
la
valeur moyenne de cette fonction,
ne sera pas autre chose que
la fonction que nous avons désignée ainsi dans le Chapitre précédent.
Elle dépend de dix variables, à savoir des douze variables (2)
à l’exception de
et de
ou bien des douze variables (3) à l’exception
de
et de
Si l’on adopte les variables (2), elle sera périodique
par rapport à
et ![{\displaystyle \theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6201dd51d4e7f2f87938a83c7bbb78851dd4440d)
La méthode des nos 134 et 135 sera donc applicable aux équations
(1) et en permettra l’intégration formelle pourvu que l’on
sache intégrer les équations
(4)
|
|
|
où les variables
et
sont les quatre dernières paires de variables
conjuguées (2) ou les quatre dernières paires de variables conjuguées
(3), et où
et
sont regardées comme des constantes.
Or ces équations (4) sont précisément celles que nous avons
appris dans le Chapitre précédent à intégrer formellement. On
conçoit donc comment la méthode de M. Lindstedt peut être
applicable au cas général du Problème des trois Corps.
L’application de cette méthode que je viens d’exposer succinctement
sera l’objet des pages qui vont suivre.
Changement de variables.
137.Nous allons donc faire un changement de variables analogues
à celui du no 131.
Nous poserons pour cela
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\Lambda &=\beta \,\mathrm {L} ,&\Lambda '&=\beta '\,\mathrm {L} ')\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d288b486860ff9b25130f9bc7eb1752cb36198)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =\Lambda \lambda _{1}+\Lambda '&\lambda _{1}'+\xi (\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi )+\xi '(-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi )\\&+p(\sigma _{3}\cos \varphi '+\sigma _{4}\sin \varphi ')+p'(-\sigma _{3}\sin \varphi '+\sigma _{4}\cos \varphi ')\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9f5d799a4797a51290f124ccff184863d9b56a)
et
étant les angles définis au no 131.
Nous ferons ensuite, comme dans le même numéro,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {d\mathrm {V} }{d\Lambda }},&\eta &={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }},&\eta '&={\frac {\mathrm {V} }{\xi '}},&q&={\frac {d\mathrm {V} }{dp}},&q'&={\frac {\mathrm {V} }{p'}},&\tau _{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\sigma _{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad09e4ef95bb88c42ac2692a4b0e7226dc8fa11b)
et nous reconnaîtrons que la forme canonique des équations n’est
pas altérée si l’on remplace les variables anciennes
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e67cdc4c2daf10644a790e79f47a98bced2185c)
par les variables nouvelles
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082c90b51ed53c6ce56634df86a44e1ef773bccf)
Les variables
et
ont déjà été déterminées en fonctions des
des
des
des
et des
dans le Chapitre précédent.
Il me reste à voir quelle est la forme de la relation qui lie les
nouvelles variables
et
à
et
Il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}+\psi ,&\lambda '&=\lambda _{1}'+\psi ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e578edc01b6c3f13a37ec5e1dc29ffb9683b286)
et
étant des formes quadratiques des
et des
dont les
coefficients dépendent de
et de
et qui s’écrivent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi &={\frac {d\varphi }{d\Lambda }}\,(\sigma _{2}\tau _{1}-\sigma _{1}\tau _{2})+{\frac {d\varphi '}{d\Lambda }}\,(\sigma _{4}\tau _{3}-\sigma _{3}\tau _{4}),\\[0.5ex]\psi '&={\frac {d\varphi }{d\Lambda '}}(\sigma _{2}\tau _{1}-\sigma _{1}\tau _{2})+{\frac {d\varphi '}{d\Lambda '}}(\sigma _{4}\tau _{3}-\sigma _{3}\tau _{4}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf13d58f747199ee60a8ae26b74587aa49965b97)
et
étant les angles que nous avons appelés ainsi au no 131.
On verrait alors, en raisonnant comme au no 135, que toute
fonction périodique en
et
est encore, après le changement de
variables, périodique en
et
et que la valeur moyenne est la
même dans les deux cas.
Nous pouvons tirer de là quelques conclusions au sujet de la
forme de la fonction
dépend d’une manière quelconque de
et de
mais elle
est périodique en
et
de plus elle est développable suivant
les puissances des
et des
J’ajouterai qu’elle ne doit pas changer quand on change
et
e,
et
et quand les
et les
changent de signe à la
fois. Il suffit, pour s’en rendre compte, de se reporter à ce que nous
avons dit au no 12 et d’observer que quand
![{\displaystyle \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \sigma _{i},\quad \tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f889adb3617767fc05b14258e4ebbcd907d860a)
se changent en
![{\displaystyle \lambda _{1}+\pi ,\quad \lambda '_{1}+\pi ,\quad -\sigma _{i},\quad -\tau _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a72e96793d58580f26286ac1189e8eef57a64d)
les quantités
et
se changent en
et
et que les
variables
etc., changent de signe.
Nous allons enfin faire un dernier changement de variables
en posant, comme au no 131,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\cos \omega _{i},&\sigma _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\sin \omega _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e737e0b9bcceca09a4ea4b56c623b9d04ceda71)
ce qui, en vertu de la remarque du no 6, n’altère pas la forme canonique.
devient alors développable suivant les puissances des
et il
vient d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}=2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22fa61c6579da7cf873a90ea1050a20f22d1b41)
Cas des orbites planes.
138.Après ce changement de variables les équations du mouvement
prennent la forme suivante.
Les deux séries de variables conjuguées sont
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa85a67fcf1606d4969b57857d0fe078c698879)
et l’on a
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfe83ba5688cc6098e9b31a15a34bf3c5c77cae)
ne dépend que de
et de
et
qui sont périodiques
par rapport à
et
sont développables suivant les puissances de
![{\displaystyle \cos \omega _{i}{\sqrt {\rho _{i}}},\qquad \sin \omega _{i}{\sqrt {\rho _{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a193264a830427f70749663317a7f6e0591146)
De plus, ces fonctions ne changent pas quand on augmente
et
d’une même quantité ; elles ne dépendent donc que des
différences,
![{\displaystyle \lambda _{i}-\omega _{i},\quad \lambda '_{i}-\omega _{i},\quad \omega _{k}-\omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eaaff9c2f3c3ec62fbc021b136473b4b836dec5)
Si dans
nous remplaçons
par
et que nous égalions
à
une constante, en regardant d’ailleurs
et
comme des constantes
données, nous obtiendrons une équation aux dérivées partielles
(1)
|
|
|
D’après ce que nous avons vu aux nos 134 et 135, il suffit de
savoir intégrer cette équation pour pouvoir former des séries développées
suivant les puissances croissantes de
et satisfaisant
formellement aux équations du mouvement,
(2)
|
|
|
Il est un cas particulier où l’intégration de l’équation (1) est relativement facile : c’est celui où l’on étudie le mouvement de
trois corps seulement se mouvant dans un même plan.
Dans ce cas en effet, le nombre des quantités
se réduit à 2, de
sorte que, si l’on regarde
et
comme des constantes,
ne
dépend plus que de quatre variables
et
mais il y a
plus : nous avons vu plus haut que
ne dépendait que des différences
Donc
ne dépendra que des
trois variables
et
de sorte que l’équation (1) s’écrira
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}},\omega _{1}-\omega _{2}\right)=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143674f8222ca2b1f2203984bc9090bf567bde89)
Si nous posons
et que nous prenions pour variables
nouvelles
et
l’équation devient
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \omega _{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }},\,\varphi \right)=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf105099a7fc82432e89afa921df8b9b97c7a45d)
Si nous donnons alors à
une valeur constante arbitraire que
j’appellerai
l’équation ne contient plus que
et
On en tirera
donc
en fonction de
de la constante
et de
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }}=f(\varphi ,\mathrm {C} ,h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe12e430ae1b74cbc3cb7185cdff91d68cc617f)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {T} =h\omega _{1}+\int f\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315e348dc839f432e62fd0a54a5b1b23780219d0)
Voyons quelle est la forme de cette fonction
J’observe que
est développable suivant les puissances de
et de
que le terme de degré 0 se réduit à une constante que
j’appellerai
et que les termes de degré 1 se réduisent à
![{\displaystyle 2\mathrm {A} _{1}{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6d8f5eaeeeebafa25a5da1e9c7044e96087e92)
Je poserai alors (en introduisant deux nouvelles constantes
d’intégration
et
à la place de
et de
)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} &=\mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\Omega _{1}+2\mathrm {A} _{2}\Omega _{2},\\h&=\Omega _{1}+\Omega _{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7099c503fba2b1f79eda2f24388fced44f510328)
Nous aurons alors pour déterminer
et
les deux équations
simultanées
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {R} -\mathrm {H} =\mathrm {A} _{1}\Omega _{1}+\mathrm {A} _{2}\Omega _{2},\\[0.5ex]&{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}=\Omega _{1}+\Omega _{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693edc4b33b5259e0264a7a2e0bbd462f8a592ac)
Le déterminant fonctionnel des deux premiers membres par
rapport à
et
se réduit pour
à
Il
n’est donc pas nul.
Donc, d’après le théorème du no 30, on pourra tirer de ces équations
et
sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances
croissantes des
les termes de degré 0 seront nuls, les
termes du premier degré se réduiront respectivement à
et
les termes de degré supérieur auront pour coefficients des fonctions
périodiques de
La fonction
du no 135 pourra alors s’écrire
![{\displaystyle \mathrm {U} =\Lambda \,\lambda _{1}+\Lambda '\,\lambda '_{1}+\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56431cfb473fcd6ea74f1e2b5047a1415739925)
et nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {T} =\mathrm {V} _{1}\omega _{1}+\mathrm {V} _{2}\omega _{2}+\mathrm {T} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadc02cf0557f3ebe308b4b9b9eca5548aead6c0)
et
étant deux constantes dépendant de
et
et
étant
une fonction périodique de
et ![{\displaystyle \omega _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1424d64ee679ae634225e9bec1ef5d2d546fe834)
Nous allons faire le changement de variables défini au no 4, en
prenant pour variables nouvelles de la première série
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \mathrm {V} _{1}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {V} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27721a81e4d22de371b8b50a24ee886f0d3988fa)
liées aux variables anciennes
et
par les relations
(3)
|
|
|
Les variables conjuguées que j’appellerai
![{\displaystyle \lambda _{2},\quad \lambda _{2}',\quad v_{1}\quad \mathrm {et} \quad v_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f76ac81ffc105b5d1375d5eeecb2f58f19fce)
seront alors définies par les équations
(4)
|
|
|
Je suppose que dans
qui dépendait des constantes
et
on ait remplacé ces constantes en fonctions de
et
C’est dans ce sens qu’il faut entendre
Pour que les conclusions du no 135 soient applicables, il faut
que les variables anciennes
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \rho _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e90480c425d3fafdb7777726d58c58685de689)
ainsi que les variables
![{\displaystyle \omega _{i}-v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55490172d6ca1c39d429b0a5ca875d21dd26b137)
soient des fonctions uniformes des variables nouvelles
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{2},\quad \lambda '_{2},\quad \mathrm {V} _{i},\quad v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af76b90c2e69ce59c3f26519f4e034ccd6a357d)
et que ces fonctions soient périodiques, par rapport à
et à ![{\displaystyle v_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8de5816d8f6fe1a87f6017fd98c40bf836da922)
Cherchons d’abord les expressions de
et
en fonctions des
variables nouvelles, nous avons pour cela les deux équations
(5)
|
|
|
Nous devons d’abord nous demander si les valeurs de
et de
tirées de ces équations seront des fonctions uniformes des variables
nouvelles. Pour qu’elles cessassent de l’être, il faudrait que le
déterminant fonctionnel des seconds membres par rapport à
et
s’annulât, c’est-à-dire que l’on eût
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \left({\dfrac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{1}}},{\dfrac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{2}}}\right)}{\partial (\omega _{1},\omega _{2})}}=1&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{1}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{2}}}\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{1}}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{1}}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{2}}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f95f60484ffd13bb6b95bd24c53b361a5e085d)
J’écrirai, pour abréger, cette équation sous la forme suivante
![{\displaystyle 1+\mathrm {J} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6e40861dd38c6faf5e2ede161dd8f5437f7373)
J’observe d’abord que
et
seront dans les applications des
quantités très petites de l’ordre du carré des excentricités.
Ces quantités
sont liées aux
par les relations suivantes
![{\displaystyle \rho _{i}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d6ec0a384b3d743360470107bc1fe56f65d198)
Or
peut être développé suivant les puissances croissantes
des
il n’y a pas dans ce développement de terme tout connu
et les termes du premier degré se réduisent à ![{\displaystyle \Omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859d6aab59c0852f9213ff1a37203cf17774024a)
On tirera de là, par le théorème du no 30,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}&=f_{1}(\rho _{1},\rho _{2}),&\Omega _{2}&=f_{2}(\rho _{1},\rho _{2}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e256858f129ccb83835a32139738ec9cf02ba74)
et
étant des séries développées suivant les puissances de
et de
dont les coefficients dépendent d’ailleurs d’une manière
quelconque de
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \omega _{1}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ff832587f40068f89033095084308ef53b2cfc)
et
![{\displaystyle \quad \omega _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509e8c323a3a4a390866dcd90c621f832fea8171)
Les termes de degré 0 seront nuls, ceux du premier degré se réduiront
respectivement à
et à ![{\displaystyle \rho _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1176972764aea9e1b99cf5d757838aea11c6f3)
Il résulte de là que
et
seront, comme
et
de l’ordre du
carré des excentricités.
D’après la définition de
et
ces quantités pourront être
développées suivant les puissances de
et
les coefficients du
développement dépendant d’une manière quelconque de
et de
ces développements ne contiendront pas de termes de degré 0 et
les termes du premier degré se réduiront respectivement à
et
à
Il résulte de là :
1o Que
et
sont de l’ordre du carré des excentricités ;
2o Qu’on peut inversement développer
et
suivant les puissances
de
et de
et qu’on a alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}&=\mathrm {V} _{1}+\varphi _{1}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}),&\Omega _{2}&=\mathrm {V} _{2}+\varphi _{2}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10d05bd263416534dff10f5845a419554db57cc)
et
ne contenant que des termes du second degré au moins
par rapport à
et ![{\displaystyle \mathrm {V} _{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96734df482e45feb2a3f19b0ff74743760318f88)
3o Que
peut se développer suivant les puissances croissantes
de
et de
et ne contient alors que des termes du deuxième
degré au moins par rapport à ces deux quantités ;
4o Que le développement de
et de
suivant les puissances
croissantes de
et de
commençant par des termes du premier
degré, ces deux dérivées sont du même ordre de grandeur que le
carré des excentricités ;
5o Qu’il en est de même des dérivées secondes
et par
conséquent de
étant très petit,
ne peut être nul.
Nous devons donc conclure que
et
et par conséquent
sont des fonctions uniformes des variables nouvelles.
J’ajoute que
sont des fonctions périodiques de
et de
si, en effet, nous augmentons
et
de
,
et
de
et
étant des entiers, les équations (5) ne cesseront
pas d’être satisfaites, puisque
est périodique en
et
et
ne changeront pas.
En substituant ces valeurs de
et de
dans les équations (3)
et (4) on verrait que les variables anciennes
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \rho _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e90480c425d3fafdb7777726d58c58685de689)
sont des fonctions uniformes des variables nouvelles, périodiques
par rapport aux ![{\displaystyle v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f6b09bb5d4cc2995af950d87d91ad372e9c085)
Nous nous trouvons donc dans des conditions où les résultats
du no 135 sont applicables.
Exprimons la fonction
à l’aide des nouvelles variables. J’observe
d’abord que
reste exprimé en fonction de
et de
seulement.
De plus,
est périodique par rapport aux variables de la
seconde série
et
La valeur moyenne de
considérée comme fonction périodique
de
et
se réduit à
D’autre part,
se réduit en vertu
de l’équation (1) à la constante
ou bien encore à
![{\displaystyle \mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\Omega _{1}+2\mathrm {A} _{2}\Omega _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b855cae91d3aa31e00e9b86122c3639e5e71aa)
ou à
![{\displaystyle \mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\mathrm {V} _{1}+2\mathrm {A} _{2}\mathrm {V} _{2}+2\mathrm {A} _{1}\varphi _{1}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2})+2\mathrm {A} _{2}\varphi _{2}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ad0f2f5442943d1a696d1e9c958e2109d33463)
Ainsi
dépend seulement de
et
et ne dépend pas des
variables de la seconde série.
Nous retombons donc sur le cas étudié au no 134.
Je dis maintenant que
ne change pas quand
et
augmentent d’une même quantité. En effet, nous savons déjà que
ne change pas quand
et
augmentent d’une même
quantité et que
ne dépend que de la différence
Les équations (4) et (5) montrent alors que, quand
et
augmentent d’une même quantité
et
augmentent
de cette même quantité
donc quand ces quatre variables
nouvelles augmentent de
ne change pas.
La façon dont
dépend de
et de
est assez compliquée,
parce que
avant le changement de variables, contenait les radicaux
et
Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} (\Lambda ,\;\Lambda ',\;\lambda _{2},\;\lambda _{2}',\;\mathrm {V} _{1},\;\mathrm {V} _{2},\;v_{1},\;v_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b6db4b5ba4e372650af1d78529c607bcc6e3d0)
ce que devient la fonction
après le changement de variables.
Nous avons à intégrer l’équation
(6)
|
|
|
Nous voulons satisfaire formellement à cette équation en faisant
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \,\mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {S} ^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281674ba83debc1d5070fbff995d94370f14096d)
et
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\Lambda _{0}\lambda _{2}+\Lambda '_{0}\lambda '_{2}+\mathrm {V} _{1}^{0}v_{1}+\mathrm {V} _{2}^{0}v_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0094604590ac0bf473709daca4ab6609466ed524)
et
doivent être nos quatre constantes d’intégration.
On n’a pour cela, comme nous l’avons vu, qu’à appliquer la méthode
du no 134.
Étude d’une intégrale particulière.
139.On trouve une intégrale particulière remarquable en supposant
que les deux dernières constantes
et
soient nulles.
Il suffit pour cela de faire dans l’équation (6)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dv_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edfd975846ae687a126330bbc0150e4baf8d4d2)
Il arrive alors que le premier membre de cette équation ne dépend
plus ni de
ni de ![{\displaystyle v_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8de5816d8f6fe1a87f6017fd98c40bf836da922)
En effet, avant le dernier changement de variables que nous
venons de faire,
était développable suivant les puissances de
![{\displaystyle {\sqrt {\rho _{i}}}\cos \omega _{i}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7dde5d353836fd3bf6df213587756960427790)
et
![{\displaystyle \quad {\sqrt {\rho _{i}}}\sin \omega _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb11fc39b54ffc6d703bf37343d51742ccfa1c9)
et ne dépendait d’autre part que des autres variables
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d3d08e2ae8d6bc92ac589dd65ecdf29168e735)
et
![{\displaystyle \quad \lambda '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ebef4788a93ab44fb4fccbb992aacc2f0e2e7c)
Si donc on fait
![{\displaystyle \rho _{1}=\rho _{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f54fd34f1e909a570196e72158b00e7ac412840)
ne dépend plus que de
et ![{\displaystyle \lambda '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73625005c2a7ed693e8886f4cc7c4b4a72c6d835)
Si, d’autre part, on fait
![{\displaystyle \mathrm {V} _{1}=\mathrm {V} _{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eb2cff3257be3b1db6086f4808f569101bc9c4)
qui est développable suivant les puissances croissantes des
et ne contient que des termes du second degré au moins par rapport
à ces quantités, s’annulera ainsi que ses dérivées du premier
ordre. De même
et
s’annuleront et il viendra
![{\displaystyle \rho _{i}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}=\Omega _{i}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\omega _{i}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6b25e51dde3de473b299d957b606fcd3cf88fd)
![{\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }}=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\Lambda }}=\lambda _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435bdd712cb443bab2b0cd045f36f1583adb197a)
De même
![{\displaystyle \lambda '_{2}-\lambda '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3917e2f79d94d2e6baad57755c111b242e2223ab)
Il résulte de là que
et
s’annulant et, d’autre part,
et
se
réduisant à
et
il résulte, dis-je, que
ne dépend plus que
des quatre variables
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4e93f5bda4b06316b2cefad1711a746c436518)
et
![{\displaystyle \quad \lambda '_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f7301ef8ebb33301954ac6b8a4177751b77506)
Si donc on fait
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dv_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c639f6c1cec9bea09c98cdd9f3744e09794c6dfa)
le premier membre de l’équation (6) ne contient plus que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89195a65a94e83b50b2184fa89cafe5de75d76d0)
Cette équation est alors très facile à intégrer ; on n’aurait pour
y parvenir qu’à appliquer les procédés du no 125 ; mais il y a ici
quelque chose de plus.
L’intégrale n’est plus purement formelle et la série développée
suivant les puissances de
à laquelle on parvient est convergente.
En effet,
ne dépend que de la différence
puisque nous
avons vu que
ne doit pas changer quand
et
augmentent d’une même quantité et qu’ici
a cessé de dépendre de
et de
Il résulte de là que les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},\lambda _{2},\lambda '_{2}\right)&=\mathrm {C} ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}}+{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}&=\mathrm {C} ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913152054c493a29665e035a5b1ab22d8ae8f9a2)
(où
et
sont deux constantes quelconques) sont compatibles ;
on en tirera
et
et, par conséquent,
sous la forme de séries
ordonnées suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
L’intégrale ainsi obtenue dépend de deux constantes arbitraires
et
mais ces deux constantes peuvent s’exprimer à l’aide de
deux des quatre constantes primitivement choisies, à savoir de
et de
les deux autres constantes
et
étant nulles par
hypothèse.
Nous appellerons cette intégrale particulière de l’équation (6),
(7)
|
|
|
Si les constantes
et
sont convenablement choisies (Cf. 125),
sera de la forme suivante
![{\displaystyle \Lambda _{0}\lambda _{2}+\Lambda '_{0}\lambda '_{0}+{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705685a5249e30f85345a5d1b9f0d34639ecb5d8)
fonction périodique de
![{\displaystyle {}\lambda _{2}-\lambda '_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244e5f7c328b5d62c5b1a94598f2161a36d698d3)
La discussion de cette intégrale particulière
ne conduirait pas,
ainsi qu’on serait tenté de le croire, à des solutions particulières
simples du Problème des trois Corps.
140.L’existence de la fonction
étant ainsi démontrée, on
peut en déduire le résultat suivant, en raisonnant comme au no 125.
Il existe des séries
(1)
|
|
|
ordonnées suivant les puissances de
et qui satisfont formellement
aux équations du Problème des trois Corps.
et
sont des constantes ; on a
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3c84d3eb37cc81f28a14bda8e7d50f0ec4fcc8)
Les
les
les
les
sont des fonctions périodiques
des
qui dépendent en outre des constantes
D’autre part, les quantités
(qui dépendent en outre des constantes
) sont développables suivant les puissances croissantes
de
de telle sorte que l’on a
![{\displaystyle n_{i}=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\mu ^{2}n_{i}^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d808f6f97bb3c43812f1993619f669a4c5f8837)
Le point sur lequel je désire attirer l’attention, c’est que l’on a
![{\displaystyle {\begin{array}{c}n_{3}^{0}=n_{4}^{0}=0,\\n_{1}^{0}\gtrless 0,\quad n_{2}^{0}\gtrless 0.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0980e04bb686755924a850e0125418e99c4727b)
Les coefficients des séries qui précèdent auraient pu être calculés
d’une façon plus rapide et sans passer par toute cette série
de changements de variables, si je ne m’étais attaché surtout à établir
simplement et rigoureusement la possibilité même du développement.
Il y a plus : les variables primitives
peuvent être développées en séries de même forme, c’est-à-dire
en séries dont les termes sont des fonctions périodiques de
et
Il suffit, pour s’en convaincre, de remplacer dans
les expressions des variables primitives en fonctions des variables
nouvelles, d’y remplacer, dis-je, ces variables nouvelles par leurs
expressions (1) ; et alors on pourra avoir avantage à calculer directement
les coefficients des développements des variables primitives,
sans passer par l’intermédiaire des variables nouvelles qui
ont servi à démontrer la possibilité de ce développement.
Je ne veux pas insister ici sur les procédés qui peuvent permettre
le calcul direct de ces coefficients. Ce que j’ai dit au no 127 suffit
pour en faire comprendre l’esprit, et j’aurai d’ailleurs l’occasion
d’y revenir au Chapitre XIV.
J’indiquerai seulement un moyen d’éviter le dernier changement
de variables, celui par lequel on passe des
et des
aux
et aux
ce serait là, dans les cas où l’on ne pourrait l’éviter, la
partie la plus pénible du calcul.
Il suffit pour cela de grouper convenablement les termes et cela
est possible pourvu que les excentricités soient petites.
Nous pouvons distinguer dans
deux sortes de termes :
1o Ceux qui sont de degré 0, 1, 2 ou 3 par rapport aux excentricités
et aux inclinaisons ;
2o Ceux qui sont de degré 4 au moins par rapport aux excentricités
et aux inclinaisons.
Les termes de la seconde sorte sont beaucoup plus petits que
ceux de la première. Soit alors
l’ensemble des termes de la
première sorte et
l’ensemble des termes de la seconde sorte ;
nous pourrons supposer que
est une constante très petite et que
est fini, et écrire
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} '_{1}+\mu \varepsilon \,\mathrm {F} ''_{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38c07f1d097956c235b9af4a2b49aa192d6d4cf)
Rien n’empêchera alors de réunir les termes
aux termes
puisque
est beaucoup plus petit que
ou de chercher
à développer suivant les puissances de
et de ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
Alors on conserve les variables
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \rho _{i},\quad \omega _{i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3dd9134d4637131c4d78ac5c710fa9d78540ef)
la valeur moyenne de
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274b4b34e248a97cc044731bd904478126b4d547)
(Cf. no 131), et est par conséquent indépendante des variables de la
seconde série. Or le dernier changement de variables n’avait
d’autre but que de rendre
indépendant des variables de la
seconde série. Il est donc maintenant inutile.
Cas général du Problème des trois Corps.
141.Passons maintenant au cas du Problème des trois Corps
dans l’espace. Le nombre des variables
et
est alors égal à 4
et l’équation (1) du no 135 s’écrit
(1)
|
|
|
Elle n’est plus susceptible d’être intégrée par le procédé que nous
avons employé au no 138 ; on ne connaît même pas de moyen de
l’intégrer exactement, mais on peut trouver une méthode simple
d’intégration formelle, ce qui peut nous suffire au point de vue
où nous nous sommes placé.
Les quantités
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}=\rho _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a18a3151ab836dfbdf486b26574bb977eeb90f)
sont de l’ordre du carré des excentricités ; si donc nous posons
![{\displaystyle \mathrm {T} =\mu '\,\mathrm {T} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3c6d47f7b51836c856eb2dc64339a1001d9e60)
étant une constante de l’ordre du carré des excentricités, les
dérivées
seront finies.
La fonction
est développable suivant les puissances croissantes
des
et nous avons
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b24e8ff3dc6985f4f17eba45067c330774d3de)
représentant l’ensemble des termes de degré
par rapport
aux
(
ne diffèrent pas des quantités appelées
ainsi au no 131). Si je désigne par
ce que devient
quand
on y remplace
par
l’équation (1) pourra s’écrire
![{\displaystyle \mathrm {R} _{0}(\mathrm {T} )+\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} )+\mathrm {R} _{4}(\mathrm {T} )+\ldots =\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab409cc6850bcf27ac5ff1a1f2f55e1c4b561aa)
ou bien
![{\displaystyle \mathrm {R} _{0}(\mathrm {T} '')+\mu '\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')+{\mu '}^{2}\mathrm {R} _{4}(\mathrm {T} '')+\ldots =\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d531dac9590f66abd5eb43070c5a99d7a18e74d)
ne dépend que de
et de
et, comme nous regardons momentanément
ces quantités comme des constantes,
sera aussi une
constante.
Si alors nous posons
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {R} _{0}+\mu '\mathrm {C} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f437622f497e96ad1b5dbe8b0f8b6ed2a4e1f2f8)
l’équation (1) deviendra
(2)
|
|
|
Nous sommes ainsi conduit à intégrer une équation aux dérivées
partielles dont le premier membre dépend des dérivées
et est d’ailleurs périodique par rapport aux variables indépendantes
Ce premier membre dépend d’un paramètre
et quand ce paramètre
s’annule, il se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')=\sum _{i=1}^{i=4}2\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abcd31e71f0100dc7242fc294a3604e94f06bcd)
Pour
le premier membre ne dépend donc plus des
mais
seulement des dérivées ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09913655f9df6201955fe6dde1e19900da0dbd7e)
Nous nous trouvons donc dans les conditions où l’analyse du
no 125 est applicable et nous pouvons conclure qu’il existe une série
![{\displaystyle \mathrm {T} ''_{0}+\mu '\mathrm {T} ''_{1}+{\mu '}^{2}\mathrm {T} ''_{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c0e5919c702ec074722880e2d3346d20e0c756)
développée suivant les puissances de
et qui, substituée à la
place de
satisfait formellement à l’équation (2), et que cette
série est telle que les dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} _{k}''}{d\omega _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5849ad0e0d7e596aa6694031bf92ba929154c44b)
soient périodiques par rapport aux ![{\displaystyle \omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fb1685cabb3d45fc90a0f419ebeb1f2723e95f)
Nous poserons
![{\displaystyle \mathrm {T} ''_{0}=\Omega '_{1}\omega _{1}+\Omega '_{2}\omega _{2}+\Omega '_{3}\omega _{3}+\Omega '_{4}\omega _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76eb12d8ef79252ec5dda7060d4933dde318bb9)
étant nos quatre constantes d’intégration ; et la
constante
devra satisfaire à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} '={\textstyle \sum }2\mathrm {A} _{i}\Omega '_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958b95e8ab53b3b87f61172e3d747e8bd8ef0fa3)
On vérifie sans peine que
est un polynôme entier de degré
par rapport aux quatre constantes ![{\displaystyle \Omega '_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a76823ad9979c91fbfb8559ac8430738d8cacd)
Il en résulte que
![{\displaystyle \mathrm {T} =\mu '\mathrm {T} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3da30f16984cce4858408367fece2cfa8589699)
se présente sous la forme d’une série développée suivant les puissances
entières croissantes des quatre quantités
![{\displaystyle \mu '\Omega '_{1},\quad \mu '\Omega '_{2},\quad \mu '\Omega '_{3},\quad \mu '\Omega '_{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4075841d7c59767b86854d4f376dec1dff96ea95)
que j’appellerai pour abréger
![{\displaystyle \Omega _{1},\quad \Omega _{2},\quad \Omega _{3},\quad \Omega _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855cd1a57797605b05b12be913ad51eb062ee114)
Cette série, développée suivant les puissances des quatre constantes
qui sont de l’ordre du carré des excentricités, satisfait
formellement à l’équation (1).
Posons, comme au no 138,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} &=\Lambda \,\lambda _{1}+\Lambda '\,\lambda '_{1}+\mathrm {T} ,\\\mathrm {T} &=\mathrm {V} _{1}\omega _{1}+\mathrm {V} _{2}\omega _{2}+\mathrm {V} _{3}\omega _{3}+\mathrm {V} _{4}\omega _{4}+\mathrm {T} ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ad9bdcf879136bc4c76dd046edbd7cce9cdeca)
étant périodique par rapport aux
et les
étant des constantes
développables suivant les puissances croissantes des ![{\displaystyle \Omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859d6aab59c0852f9213ff1a37203cf17774024a)
Les
sont inversement développables suivant les puissances
des
on peut aussi développer T suivant les puissances des
et la série ainsi obtenue satisfait encore formellement à l’équation (1).
Nous allons maintenant faire un changement de variables analogue
à celui du no 138 [[[Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.11#Eq.138-3|équations (3)]], (4) et (5)].
Nous poserons donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},&v_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}},&\lambda _{2}&=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }},&\lambda '_{2}&=\lambda '_{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda '}},&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9aa6a98fc91d1b5c6b5d7850847123775e812f)
En remplaçant les variables anciennes
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\omega _{i}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0c6b013b753060c84c7fcdec1fd0bc05b98b09)
par les nouvelles
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e12b4b854a68abd138bab144b07d434b71eefa)
on n’altère pas la forme canonique des équations.
On démontrerait comme dans le no 138 :
1o Que les
sont de l’ordre du carré des excentricités ;
2o Que les quantités
sont des fonctions périodiques des
3o Que
est développable par rapport aux puissances croissantes
de
des
et des
les
étant eux-mêmes
développables suivant les puissances croissantes des
4o Que
est une fonction périodique des
de
et
5o Que la valeur moyenne de
considérée comme fonction
périodique des deux variables
et
est égale à
et ne dépend
que de
et des
Nous sommes donc dans les conditions où l’analyse du no 135
est applicable.
Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {F} (\Lambda ,\Lambda ',\mathrm {V} _{i},\lambda _{2},\lambda '_{2},v_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39488c83b3d47ccb1f857e0046c2ebc726eadf04)
ce que devient la fonction
après le changement de variables ; on
pourra trouver une série développable suivant les puissances de
satisfaisant formellement à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}},\lambda _{2},\lambda '_{2},v_{i}\right)=\mathrm {C} _{0}+\mu \,\mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460bcfb653ec7880b839c30e7964c4d45305f9b4)
et dépendant de six constantes que j’appellerai
Nous arrivons ainsi aux mêmes conclusions que dans les nos 138
et 140.