Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.11

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 47-73).

CHAPITRE XI.

APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

---

Difficulté du problème.

133.Dans le cas du Problème des trois Corps, une difficulté spéciale se présente et rend plus difficile l’application des méthodes du Chapitre IX.

En effet, $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend plus des six variables de la première série

$\beta \,\mathrm {L} ,\quad \beta '\,\mathrm {L} ',\quad \beta \,\mathrm {G} ,\quad \beta '\,\mathrm {G} ',\quad \beta \,\Theta ,\quad \beta '\,\Theta ',$

mais seulement de deux d’entre elles

$\beta \,\mathrm {L} \quad \mathrm {et} \quad \beta '\,\mathrm {L} '.$

Parmi les quantités que nous avons appelées

$n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},$

il y en a donc quatre qui sont nulles, à savoir

$-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta \mathrm {G} }},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta '\mathrm {G} '}},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta \Theta }},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta '\Theta '}}\cdot$

La condition pour que les conclusions du Chapitre subsistent, à savoir qu’il n’y ait entre les $n_{i}^{0}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers, n’est donc pas satisfaite.

Cette difficulté ne se présenterait pas, au moins si les trois Corps se meuvent dans un plan, avec toute autre loi d’attraction que celle de Newton ; en effet, ces équations

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\mathrm {G} }}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\mathrm {G} '}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Theta }}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Theta '}}=0$

ont une signification évidente. Elles veulent dire que dans le mouvement képlérien les périhélies et les nœuds sont fixes ; nous avons en effet les équations

${\begin{aligned}{\frac {dg}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {G} }}&{\frac {d\theta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {G} '}}\cdot \end{aligned}}$

Dans le mouvement képlérien $\mathrm {F}$ se réduit à $\mathrm {F} _{0},$ $g$ et $\theta$ sont des constantes.

Or dans le cas du Problème des deux Corps et avec une loi différente de celle de Newton, les nœuds sont encore fixes, mais les périhélies ne le sont plus. Il en résulte que si le mouvement a lieu dans un plan, et si l’on n’a plus à s’inquiéter des nœuds, la méthode du Chapitre IX est applicable sans modification.

Extension de la méthode du Chapitre IX à certains cas singuliers.

134.Examinons donc le cas où $\mathrm {F} _{0}$ ne contient pas toutes les variables $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}.$

Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait 3 degrés de liberté et que $\mathrm {F} _{0}$ contienne deux des variables de la première série $x_{1}$ et $x_{2}$ et ne contienne pas la troisième $x_{3}.$

On a alors

$n_{3}^{0}=0.$

Nous supposons toujours

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {F} _{2}+\ldots$

$\mathrm {F} _{1}$ est une fonction de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $y_{1},$ $y_{2},$ $y_{3}$ périodique par rapport à $y_{1},$ $y_{2}$ et $y_{3}.$

Je considère un instant $\mathrm {F} _{1}$ comme une fonction de $y_{1}$ et de $y_{2}$ seulement ; c’est une fonction périodique de ces deux variables et j’appelle $\mathrm {R}$ la valeur moyenne de cette fonction périodique qui dépend encore de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ et $y_{3}.$

Je considère d’abord le cas où $\mathrm {R}$ ne dépend que de $x_{1},$ $x_{2}$ et $x_{3}$ et est au contraire indépendant de $y_{3}.$

Nous cherchons encore à trouver une fonction,

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \,\mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {S} _{2}+\ldots ,$

de même forme que la fonction $\mathrm {S}$ envisagée dans le n^o 125 et qui satisfasse formellement à l’équation

(4)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{3}}},y_{1},y_{2},y_{3}\right)=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante que nous pourrons écrire

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mu \,\mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {C} _{2}+\ldots ,$

$\mathrm {C} _{0},\,\mathrm {C} _{1},\,\mathrm {C} _{2},\,\ldots ,$ étant des constantes arbitraires.

Nous poserons d’abord

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=x_{2}^{0}.\end{aligned}}$

Les constantes $x_{1}^{0}$ et $x_{2}^{0}$ seront liées par la relation

$\mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0})=\mathrm {C} _{0}.$

Mais, comme la constante $\mathrm {C} _{0}$ est arbitraire, $x_{1}^{0}$ et $x_{2}^{0}$ seront eux-mêmes arbitraires.

Je poserai ensuite

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}&=-n_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}}}&=-n_{2}^{0}.\end{aligned}}$

Il vient

$\mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+[\mathrm {S} _{0}],$

$[\mathrm {S} 0]$ étant une fonction arbitraire de $y_{3}$ qu’il reste à déterminer. En égalant dans l’équation (4) les coefficients de $\mu ,$ il vient, comme au n^o 125,

(5)

$n_{1}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+n_{2}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{2}}}=\mathrm {F} _{1}\left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},{\frac {d[\mathrm {S} _{0}]}{dy_{3}}},y_{1},y_{2},y_{3}\right)-\mathrm {C} _{1}.$

Quelle que soit la fonction arbitraire $[\mathrm {S} _{0}],$ le second membre de l’équation (5) sera une fonction périodique de $y_{1}$ et de $y_{2}$ et la valeur moyenne de cette fonction sera

$\mathrm {R} \left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},{\frac {d[\mathrm {S} _{0}]}{dy_{3}}},y_{3}\right)-\mathrm {C} _{1}.$

Nous voulons que la fonction $\mathrm {S} _{1}$ soit de la forme suivante

$\alpha _{1,1}y_{1}+\alpha _{1,2}y_{1}+\alpha _{1,3}y_{3}{}+{}$ fonction périodique de $y1,\,y_{2}$ et $y_{3}.$

Pour que cela soit possible, il faut et il suffit, comme nous l’avons vu au n^o 125, que la valeur moyenne du second membre de (5) se réduise à une constante que nous appellerons $\mathrm {C} '_{1}-\mathrm {C} _{1}.$ Nous aurons alors, pour déterminer la fonction arbitraire $[\mathrm {S} _{0}],$ l’équation suivante

(6)

$\mathrm {R} \left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},{\frac {d[\mathrm {S} _{0}]}{dy_{3}}},y_{3}\right)=\mathrm {C} '_{1}.$

J’ai supposé plus haut que $\mathrm {R}$ ne dépendait pas de $y_{3}\,;$ il suffira donc pour satisfaire à cette équation (6) de prendre

$[\mathrm {S} _{0}]=x_{3}^{0},$

$x_{3}^{0}$ étant une constante qui peut encore être regardée comme arbitraire, puisque la constante $\mathrm {C} '_{1}$ l’est elle-même ; on aura alors,

$\mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+x_{3}^{0}y_{3}.$

En égalant dans l’équation (5) les valeurs moyennes des deux membres, il vient

$n_{1}^{0}\,\alpha _{11}+n_{2}^{0}\,\alpha _{12}=\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} '_{1}.$

Comme $\mathrm {C} _{1}$ est arbitraire, je ferai $\mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} '_{1};$ ce qui me permettra de faire comme au n^o 125,

$\alpha _{11}=\alpha _{12}=0.$

L’équation (5) permet alors de déterminer $\mathrm {S} _{1}$ à une fonction arbitraire près de $y_{3}.$

Cela posé, imaginons que l’on ait déterminé complètement les fonctions

$\mathrm {S} _{0},\quad \mathrm {S} _{1},\quad \mathrm {S} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {S} _{p-2},$

et qu’on ait calculé $\mathrm {S} _{p-1}$ à une fonction arbitraire près de $y_{3}\,;$ supposons que l’on se propose d’achever la détermination de $\mathrm {S} _{p-1}$ et de calculer $\mathrm {S} _{p}$ à une fonction arbitraire près de $y_{3}.$

Égalons dans les deux membres de (4) les coefficients de $\mu ^{p}$ il viendra

(7)

$n_{1}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}+n_{2}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}}={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{3}}}+\Phi _{p}-\mathrm {C} _{p},$

$\Phi _{p}$ étant une fonction qui ne dépend que des $y$ et des dérivées de $\mathrm {S} _{0},$ $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $.,$ $\mathrm {S} _{p-2}$ ainsi que de ${\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{1}}}$ et de ${\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{2}}}\cdot$ Les fonctions $\mathrm {S} _{0},$ $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{p-2}$ sont connues. Nous connaissons $\mathrm {S} _{p-1}$ à une fonction arbitraire près de $y_{3}$ ; nous connaissons donc ${\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{3}}}\cdot$ Donc on peut regarder $\Phi _{p}$ comme une fonction connue des $y$ et cette fonction sera périodique.

Étant donnée une fonction périodique $\mathrm {U}$ de $y_{1},$ $y_{2}$ et $y_{3},$ nous désignerons par $[\mathrm {U} ]$ la valeur moyenne de $\mathrm {U}$ considérée un instant comme fonction de $y_{1}$ et $y_{2}$ seulement. Il en résulte que $[\mathrm {U} ]$ est encore une fonction de $y_{3}.$

On verrait, comme plus haut, que la valeur moyenne du second membre de (7) doit se réduire à une constante $\mathrm {C} '_{p}-\mathrm {C} _{p},$ d’où

$\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{3}}}\right]+\left[\Phi _{p}\right]=\mathrm {C} '_{p},$

$\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\right]+\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d(\mathrm {S} _{p-1}-[\mathrm {S} _{p-1}])}{dy_{3}}}\right]+\left[\Phi _{p}\right]=\mathrm {C} '_{p}.$

Comme $\left[\mathrm {S} _{p-1}\right]$ ne dépend pas de $y_{1},y_{2},$ il vient

$\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\right]={\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}\right]={\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}},$

d’où

(8)

${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}=\mathrm {C} '_{p}-\left[\Phi _{p}\right]-\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d(\mathrm {S} _{p-1}-[\mathrm {S} _{p-1}])}{dy_{3}}}\right]\cdot$

Connaissant $\mathrm {S} _{p-1}$ à une fonction arbitraire près de $y_{3},$ nous connaissons

$\mathrm {S} _{p-1}-\left[\mathrm {S} _{p-1}\right].$

Le second membre de (8) est donc entièrement connu. D’autre part, $\mathrm {R}$ est une fonction connue de $x_{1},$ $x_{2}$ et $x_{3},$ où ces variables sont remplacées par les constantes connues $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0}$ et $x_{3}^{0}.$ Nous connaissons donc ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}$ et l’on pourra tirer de l’équation (8) ${\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}},$ et par intégration $[\mathrm {S} _{p-1}].$

Pour que $[\mathrm {S} _{p-1}]$ soit une fonction périodique de $y_{3},$ il faut que la valeur moyenne du second membre de (8) soit nulle ; or on peut toujours disposer de la constante arbitraire $\mathrm {C} '_{p}$ pour qu’il en soit ainsi.

La détermination de $\mathrm {S} _{p-1}$ est ainsi achevée ; l’équation (7) nous permettra ensuite de déterminer $\mathrm {S} _{p}$ à une fonction arbitraire près de $y_{3}.$ Pour que la valeur de $\mathrm {S} _{p}$ tirée de (7) soit périodique en $y_{1}$ et $y_{2},$ il faut que la valeur moyenne du second membre soit nulle. Or cette valeur moyenne est $\mathrm {C} '_{p}-\mathrm {C} _{p}$ et, comme la constante $\mathrm {C} _{p}$ reste arbitraire, nous pouvons prendre

$\mathrm {C} _{p}=\mathrm {C} '_{p}.$

Ainsi l’on pourra toujours déterminer les fonctions $\mathrm {S} _{p}$ par récurrence. Les conclusions du n^o 125 subsistent donc ; la seule différence, c’est que le développement de $n_{3}$ suivant les puissances de $\mu ,$ au lieu de commencer par un terme tout connu, commence par un terme en $\mu .$

Supposons maintenant qu’il y ait 4 degrés de liberté et huit variables $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $x_{4}$ ; $y_{1},$ $y_{2},$ $y_{3},$ $y_{4},$ que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépende que de $x_{1}$ et $x_{2},$ et $\mathrm {R}$ de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},\,x_{4}.$

Les mêmes conclusions subsisteront encore pourvu que :

1^o Il n’y ait entre ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}$ et ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}}}$ (c’est-à-dire entre $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0}$) aucune relation linéaire à coefficients entiers ;

2^o Il n’y ait non plus entre ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}$ et ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{4}^{0}}}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers.

En effet, l’équation analogue à (8) qui sert à déterminer $[\mathrm {S} _{p-i}]$ s’écrit alors

(8 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}&{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{4}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{4}}}\\&=(\mathrm {fonction} \;\mathrm {p{\acute {e}}riodique} \;\mathrm {connue} \;\mathrm {de} \;y_{3}\;\mathrm {et} \;y_{4}\;\mathrm {dont} \\&\quad \mathrm {la} \;\mathrm {valeur} \;\mathrm {moyenne} \;\mathrm {peut} \;\mathrm {{\hat {e}}tre} \;\mathrm {rendue} \;\mathrm {nulle} )\end{aligned}}\right.$

et pour que l’on puisse tirer de là $[\mathrm {S} _{p_{1}}]$ en fonction périodique des $y_{3}$ et $y_{4},$ il faut et il suffit qu’il n’y ait entre ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}$ et ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{4}^{0}}}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers.

135.Nous avons supposé jusqu’ici que $\mathrm {R}$ ne dépendait que des variables de la première série $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ et $x_{4}$ (en supposant, comme à la fin du numéro précédent, qu’il y a 4 degrés de liberté et que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de $x_{1}$ et de $x_{2}.$)

Imaginons maintenant que $\mathrm {R}$ dépende non seulement de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ et $x_{4}$ mais encore de $y_{3}$ et de $y_{4}.$

Si nous remplaçons $x_{1}$ et $x_{2}$ par les constantes $\xi _{1}$ et $\xi _{2},$ et $x_{2}$ et $x_{4}$ par ${\frac {d\mathrm {T} }{dy_{3}}}$ et ${\frac {d\mathrm {T} }{dy_{4}}}$ et que nous égalions ensuite $\mathrm {R}$ à une constante $\mathrm {C} '_{1},$ nous aurons l’équation suivante

(1)

$\mathrm {R} \left(\xi _{1},\xi _{2},{\frac {d\mathrm {T} }{dy_{3}}},{\frac {d\mathrm {T} }{dy_{4}}},y_{3},y_{4}\right)=\mathrm {C} '_{1},$

qui définira une fonction $\mathrm {T}$ des deux variables $y_{3}$ et $y_{4}.$

Supposons que l’on ait trouvé une fonction $\mathrm {T}$ satisfaisant à cette équation ; que cette fonction dépende en outre des deux constantes $\xi _{1}$ et $\xi _{2}$ et de deux constantes d’intégration nouvelles que j’appellerai $\xi _{3}$ et $\xi _{4}.$

La fonction

$\mathrm {U} =\xi _{1}y_{1}+\xi _{2}y_{2}+\mathrm {T}$

satisfera alors à l’équation

$\mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {U} }{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{3}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{4}}},y_{3},y_{4}\right)=\mathrm {C} '_{1}.$

De plus les relations

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}&\eta _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4)\end{aligned}}$

définiront un changement de variables, les variables anciennes étant les $x_{i}$ et les $y_{i}$ et les variables nouvelles étant les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}.$

D’après ce que nous avons vu au n^o 4, ce changement de variables n’altérera pas la forme canonique des équations.

On voit aisément que

$x_{1}=\xi _{1},\qquad x_{2}=\xi _{2},$

et, par conséquent, qu’après le changement de variables $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que de $\xi _{1}$ et de $\xi _{2}.$

Si l’on suppose (ce que nous ferons) que la fonction $\mathrm {U}$ est telle que $x_{3},$ $x_{4},$ $y_{1}-\eta _{1},$ $y_{2}-\eta _{2},$ $y_{3}-\eta _{3}$ (ou $y_{3}$), $y_{4}-\eta _{4}$ (ou $y_{4}$) soient des fonctions des $\xi _{i}$ et des $\eta _{i}$ périodiques par rapport aux $\eta _{i}$ la fonction $\mathrm {F}$ après le changement de variables sera périodique par rapport aux $\eta _{i}.$

Nous avons appelé $\mathrm {R}$ la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}$ considérée comme fonction périodique de $y_{1}$ et $y_{2}.$ Je dis que, si après le changement de variables nous regardons $\mathrm {F} _{1}$ comme une fonction périodique de $\eta _{1}$ et $\eta _{2},$ sa valeur moyenne sera encore $\mathrm {R} .$

En effet, on a par définition

$4\pi ^{2}\mathrm {R} =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}\,dy_{1}\,dy_{2},$

et je me propose de démontrer que

$4\pi ^{2}\mathrm {R} =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}.$

On a en effet

$\iint \mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}=\iint \mathrm {F} _{1}\left({\frac {d\eta _{1}}{dy_{1}}}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{2}}}-{\frac {d\eta _{1}}{dy_{2}}}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{1}}}\,dy_{1}\,dy_{2}\right)\,;$

or, dans les relations

${\begin{aligned}x_{1}&=\xi _{1},&x_{2}&=\xi _{2},&x_{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}},&\eta _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\quad (i=3,\,4),\end{aligned}}$

$y_{1}$ et $y_{2},$ $\eta _{1}$ et $\eta _{2}$ n’entrent pas ; ce qui montre que, quand on exprimera les variables nouvelles en fonction des anciennes $\xi _{1},$ $\xi _{2},$ $\xi _{3},$ $\xi _{4},$ $\eta _{3}$ et $\eta _{4}$ ne dépendront ni de $y_{1}$ ni de $y_{2}.$

Donc, si l’on remplace, dans $\mathrm {T} ,$ $\xi _{3}$ et $\xi _{4}$ par leurs valeurs en fonction de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $x_{4},$ $y_{3}$ et $y_{4},$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {T} }{dy_{1}}}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{2}}}=0,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{i}\,dy_{1}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{i}\,dy_{2}}}=0,\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {d\eta _{1}}{dy_{1}}}&=1+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{1}\,dy_{1}}}=1,&{\frac {d\eta _{1}}{dy_{2}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{1}\,dy_{2}}}=0\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{1}}}&=0,&{\frac {d\eta _{2}}{dy_{2}}}&=1.\end{aligned}}$

On a donc

$\iint \mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}=\iint \mathrm {F} _{1}\,dy_{1}\,dy_{2}.$
C.Q.F.D.

De plus, la quantité $\mathrm {C} '_{1}$ qui doit être une constante ne pourra dépendre que des constantes d’intégration, c’est-à-dire des $\xi _{i},$ de sorte que $\mathrm {R}$ ne dépendra [en vertu de l’équation (1)] que de $\xi _{1},$ $\xi _{2},$ $\xi _{3}$ et $\xi _{4}.$

Nous sommes donc ramené au cas traité dans le paragraphe précédent, et nous devons conclure que les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\end{aligned}}$

peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante

${\begin{alignedat}{5}\xi _{i}&=\xi _{i}^{0}&{}+{}&\mu \,\xi _{i}^{1}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}\xi _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \,\eta _{i}^{1}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}\eta _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i},&n_{i}&=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}n_{i}^{p}+\ldots ,\end{aligned}}$

où les $\xi _{i}^{0}$ sont des constantes, où les $\xi _{i}^{k}$ et les $\eta _{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des $w,$ dépendant en outre des $n$ constantes d’intégration $\xi _{i}^{0}\,;$ où les $\varpi _{i}$ sont $n$ autres constantes d’intégration ; où enfin les quantités $\eta _{i}^{p}$ dépendent encore des constantes $\xi _{i}^{0}.$

Revenant aux variables primitives, on verra ensuite que les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu \,x_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}x_{i}^{p}+\ldots ,\\y_{i}&=\varepsilon _{i}w_{i}+y_{i}^{0}+\mu \,x_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}y_{i}^{p}+\ldots \,;\end{aligned}}$

les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ étant des fonctions périodiques des $w.$

Quant au coefficient $\varepsilon _{i},$ il peut être égal à 0 ou à 1. Il est toujours égal à 1 pour $i=$ 1 ou 2 ; il est égal à 1 ou à 0 pour $i=$ 3, selon que c’est $y_{3}-\eta _{3}$ ou $y_{3}$ qui est périodique par rapport aux $\eta _{i}$ et de même, il es égal à 1 ou 0 pour $i=$ 4, selon que c’est $y_{4}-\eta _{4}$ ou $y_{4}$ qui est périodique par rapport aux $\eta _{i}.$

Tout est donc ramené à l’intégration de l’équation aux dérivées partielles (1), ou, ce qui revient au même, à l’intégration des équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}}&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Application au Problème des trois Corps.

136.Appliquons ce qui précède au Problème des trois Corps ; nous avons mis les équations de ce problème sous la forme

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

avec

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1},$

$\mu$ étant un paramètre très petit, et $\mu \,\mathrm {F} _{1}$ la fonction perturbatrice. Nos variables sont celles du n^o 11,

(2)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\Lambda =\beta \,\mathrm {L} ,&\Lambda '=\beta '\mathrm {L} ',&\beta \,\mathrm {G} ,&\beta \,\Theta ,&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta ',\\l,&l',&g,&\theta ,&g',&\theta '\end{array}}\right.$

ou bien encore celles du n^o 12,

(3)

$\left\{{\begin{array}{llllll}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q'.\\\end{array}}\right.$

$\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda$ et de $\Lambda '\,;$ $\mathrm {F} _{1}$ dépend des douze variables, mais est périodique par rapport à $l$ et $l'.$ Si l’on considère donc $\mathrm {F} _{1}$ comme fonction périodique de $l$ et de $l'$ et que l’on appelle $\mathrm {R}$ la valeur moyenne de cette fonction, $\mathrm {R}$ ne sera pas autre chose que la fonction que nous avons désignée ainsi dans le Chapitre précédent. Elle dépend de dix variables, à savoir des douze variables (2) à l’exception de $l$ et de $l'$ ou bien des douze variables (3) à l’exception de $\lambda$ et de $\lambda '.$ Si l’on adopte les variables (2), elle sera périodique par rapport à $g,$ $g',$ $\theta$ et $\theta '.$

La méthode des n^os 134 et 135 sera donc applicable aux équations (1) et en permettra l’intégration formelle pourvu que l’on sache intégrer les équations

(4)

${\begin{aligned}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}},&{\dfrac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

où les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ sont les quatre dernières paires de variables conjuguées (2) ou les quatre dernières paires de variables conjuguées (3), et où $\Lambda$ et $\Lambda '$ sont regardées comme des constantes.

Or ces équations (4) sont précisément celles que nous avons appris dans le Chapitre précédent à intégrer formellement. On conçoit donc comment la méthode de M. Lindstedt peut être applicable au cas général du Problème des trois Corps.

L’application de cette méthode que je viens d’exposer succinctement sera l’objet des pages qui vont suivre.

Changement de variables.

137.Nous allons donc faire un changement de variables analogues à celui du n^o 131.

Nous poserons pour cela

${\begin{aligned}(\Lambda &=\beta \,\mathrm {L} ,&\Lambda '&=\beta '\,\mathrm {L} ')\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {V} =\Lambda \lambda _{1}+\Lambda '&\lambda _{1}'+\xi (\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi )+\xi '(-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi )\\&+p(\sigma _{3}\cos \varphi '+\sigma _{4}\sin \varphi ')+p'(-\sigma _{3}\sin \varphi '+\sigma _{4}\cos \varphi ')\,;\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant les angles définis au n^o 131.

Nous ferons ensuite, comme dans le même numéro,

${\begin{aligned}\lambda &={\frac {d\mathrm {V} }{d\Lambda }},&\eta &={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }},&\eta '&={\frac {\mathrm {V} }{\xi '}},&q&={\frac {d\mathrm {V} }{dp}},&q'&={\frac {\mathrm {V} }{p'}},&\tau _{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\sigma _{i}}}\end{aligned}}$

et nous reconnaîtrons que la forme canonique des équations n’est pas altérée si l’on remplace les variables anciennes

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q',\end{array}}$

par les variables nouvelles

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4}.\end{array}}$

Les variables $\tau _{i}$ et $\sigma _{i}$ ont déjà été déterminées en fonctions des $\xi ,$ des $\eta ,$ des $p,$ des $q$ et des $\Lambda ,$ dans le Chapitre précédent.

Il me reste à voir quelle est la forme de la relation qui lie les nouvelles variables $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1}$ à $\lambda$ et $\lambda '.$

Il vient

${\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}+\psi ,&\lambda '&=\lambda _{1}'+\psi ',\end{aligned}}$

$\psi$ et $\psi '$ étant des formes quadratiques des $\sigma$ et des $\tau$ dont les coefficients dépendent de $\Lambda$ et de $\Lambda '$ et qui s’écrivent

${\begin{aligned}\psi &={\frac {d\varphi }{d\Lambda }}\,(\sigma _{2}\tau _{1}-\sigma _{1}\tau _{2})+{\frac {d\varphi '}{d\Lambda }}\,(\sigma _{4}\tau _{3}-\sigma _{3}\tau _{4}),\\[0.5ex]\psi '&={\frac {d\varphi }{d\Lambda '}}(\sigma _{2}\tau _{1}-\sigma _{1}\tau _{2})+{\frac {d\varphi '}{d\Lambda '}}(\sigma _{4}\tau _{3}-\sigma _{3}\tau _{4}),\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant les angles que nous avons appelés ainsi au n^o 131.

On verrait alors, en raisonnant comme au n^o 135, que toute fonction périodique en $\lambda$ et $\lambda '$ est encore, après le changement de variables, périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1}$ et que la valeur moyenne est la même dans les deux cas.

Nous pouvons tirer de là quelques conclusions au sujet de la forme de la fonction $\mathrm {F} .$

$\mathrm {F}$ dépend d’une manière quelconque de $\Lambda$ et de $\Lambda '\,;$ mais elle est périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'\,;$ de plus elle est développable suivant les puissances des $\sigma$ et des $\tau .$

J’ajouterai qu’elle ne doit pas changer quand on change $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'$ e, $\lambda _{1}+\pi$ et $\lambda _{1}'+\pi$ et quand les $\sigma$ et les $\tau$ changent de signe à la fois. Il suffit, pour s’en rendre compte, de se reporter à ce que nous avons dit au n^o 12 et d’observer que quand

$\lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \sigma _{i},\quad \tau _{i}$

se changent en

$\lambda _{1}+\pi ,\quad \lambda '_{1}+\pi ,\quad -\sigma _{i},\quad -\tau _{i},$

les quantités $\lambda$ et $\lambda '$ se changent en $\lambda +\pi$ et $\lambda '+\pi$ et que les variables $\xi ,$ etc., changent de signe.

Nous allons enfin faire un dernier changement de variables en posant, comme au n^o 131,

${\begin{aligned}\tau _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\cos \omega _{i},&\sigma _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\sin \omega _{i},\end{aligned}}$

ce qui, en vertu de la remarque du n^o 6, n’altère pas la forme canonique.

$\mathrm {F}$ devient alors développable suivant les puissances des ${\sqrt {\rho _{i}}},$ et il vient d’ailleurs

$\mathrm {R} _{2}=2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}.$

Cas des orbites planes.

138.Après ce changement de variables les équations du mouvement prennent la forme suivante.

Les deux séries de variables conjuguées sont

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}$

et l’on a

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,$

$\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda$ et de $\Lambda '\,;$ et $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},$ $\ldots ,$ qui sont périodiques par rapport à $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}',$ sont développables suivant les puissances de

$\cos \omega _{i}{\sqrt {\rho _{i}}},\qquad \sin \omega _{i}{\sqrt {\rho _{i}}}.$

De plus, ces fonctions ne changent pas quand on augmente $\lambda _{1},$ $\lambda _{1}'$ et $\omega _{i}$ d’une même quantité ; elles ne dépendent donc que des différences,

$\lambda _{i}-\omega _{i},\quad \lambda '_{i}-\omega _{i},\quad \omega _{k}-\omega _{i}.$

Si dans $\mathrm {R}$ nous remplaçons $\rho _{i}$ par ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}$ et que nous égalions $\mathrm {R}$ à une constante, en regardant d’ailleurs $\Lambda$ et $\Lambda '$ comme des constantes données, nous obtiendrons une équation aux dérivées partielles

(1)

$\mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},\,\omega _{i}\right)=\mathrm {C} .$

D’après ce que nous avons vu aux n^os 134 et 135, il suffit de savoir intégrer cette équation pour pouvoir former des séries développées suivant les puissances croissantes de $\mu$ et satisfaisant formellement aux équations du mouvement,

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\Lambda }{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda _{1}}},&{\frac {d\Lambda '}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda '_{1}}},&{\frac {d\rho _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\omega _{i}}},\\{\frac {d\lambda _{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }},&{\frac {d\Lambda '_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda '}},&{\frac {d\omega _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\rho _{i}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Il est un cas particulier où l’intégration de l’équation (1) est relativement facile : c’est celui où l’on étudie le mouvement de trois corps seulement se mouvant dans un même plan.

Dans ce cas en effet, le nombre des quantités $\rho _{i}$ se réduit à 2, de sorte que, si l’on regarde $\Lambda$ et $\Lambda '$ comme des constantes, $\mathrm {R}$ ne dépend plus que de quatre variables $\rho _{1},$ $\rho _{2},$ $\omega _{1}$ et $\omega _{2}\,;$ mais il y a plus : nous avons vu plus haut que $\mathrm {F}$ ne dépendait que des différences $\lambda _{1}-\omega _{i},$ $\lambda '_{1}-\omega _{i},$ $\omega _{k}-\omega _{i}.$ Donc $\mathrm {R}$ ne dépendra que des trois variables $\rho _{1},$ $\rho _{2}$ et $\omega _{1}-\omega _{2},$ de sorte que l’équation (1) s’écrira

$\mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}},\omega _{1}-\omega _{2}\right)=\mathrm {C} .$

Si nous posons $\omega _{1}-\omega _{2}=\varphi$ et que nous prenions pour variables nouvelles $\omega _{1}$ et $\varphi ,$ l’équation devient

$\mathrm {R} \left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \omega _{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }},\,\varphi \right)=\mathrm {C} .$

Si nous donnons alors à ${\frac {\partial \mathrm {T} }{d\omega _{1}}}$ une valeur constante arbitraire que j’appellerai $h,$ l’équation ne contient plus que ${\frac {\partial \mathrm {T} }{d\varphi }}$ et $\varphi .$ On en tirera donc ${\frac {\partial \mathrm {T} }{d\varphi }}$ en fonction de $\varphi ,$ de la constante $\mathrm {C}$ et de $h$ et l’on aura

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }}=f(\varphi ,\mathrm {C} ,h),$

d’où

$\mathrm {T} =h\omega _{1}+\int f\,d\varphi .$

Voyons quelle est la forme de cette fonction $\mathrm {T} .$

J’observe que $\mathrm {R}$ est développable suivant les puissances de ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}$ et de ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}},$ que le terme de degré 0 se réduit à une constante que j’appellerai $\mathrm {H} ,$ et que les termes de degré 1 se réduisent à

$2\mathrm {A} _{1}{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}\cdot$

Je poserai alors (en introduisant deux nouvelles constantes d’intégration $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ à la place de $\mathrm {C}$ et de $h$)

${\begin{aligned}\mathrm {C} &=\mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\Omega _{1}+2\mathrm {A} _{2}\Omega _{2},\\h&=\Omega _{1}+\Omega _{2}.\end{aligned}}$

Nous aurons alors pour déterminer ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}$ les deux équations simultanées

${\begin{aligned}&\mathrm {R} -\mathrm {H} =\mathrm {A} _{1}\Omega _{1}+\mathrm {A} _{2}\Omega _{2},\\[0.5ex]&{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}=\Omega _{1}+\Omega _{2}.\end{aligned}}$

Le déterminant fonctionnel des deux premiers membres par rapport à ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}$ se réduit pour ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}=0$ à $\mathrm {A} _{1}-\mathrm {A} _{2}.$ Il n’est donc pas nul.

Donc, d’après le théorème du n^o 30, on pourra tirer de ces équations ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes des $\Omega \,:$ les termes de degré 0 seront nuls, les termes du premier degré se réduiront respectivement à $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2},$ les termes de degré supérieur auront pour coefficients des fonctions périodiques de $\omega _{1}-\omega _{2}.$

La fonction $\mathrm {U}$ du n^o 135 pourra alors s’écrire

$\mathrm {U} =\Lambda \,\lambda _{1}+\Lambda '\,\lambda '_{1}+\mathrm {T} ,$

et nous aurons

$\mathrm {T} =\mathrm {V} _{1}\omega _{1}+\mathrm {V} _{2}\omega _{2}+\mathrm {T} ',$

$\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ étant deux constantes dépendant de $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ et $\mathrm {T} '$ étant une fonction périodique de $\omega _{1}$ et $\omega _{2}.$

Nous allons faire le changement de variables défini au n^o 4, en prenant pour variables nouvelles de la première série

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \mathrm {V} _{1}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {V} _{2}$

liées aux variables anciennes $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda _{1},$ $\lambda '_{1},$ $\rho _{i}$ et $\omega _{i}$ par les relations

(3)

${\begin{aligned}\Lambda &={\frac {d\mathrm {U} }{d\lambda _{1}}},&\Lambda '&={\frac {d\mathrm {U} }{d\lambda '_{1}}},&\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\omega _{i}}}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Les variables conjuguées que j’appellerai

$\lambda _{2},\quad \lambda _{2}',\quad v_{1}\quad \mathrm {et} \quad v_{2}$

seront alors définies par les équations

(4)

$\left\{{\begin{array}{c}{\begin{aligned}\lambda _{2}&={\dfrac {d\mathrm {U} }{d\Lambda }}=\lambda _{1}+{\dfrac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }},&\lambda '_{2}&={\dfrac {d\mathrm {U} }{d\Lambda '}}=\lambda '_{1}+{\dfrac {d\mathrm {T} }{d\Lambda '}},\end{aligned}}\\[0.5ex]v_{i}={\dfrac {d\mathrm {U} }{d\mathrm {V} _{i}}}={\dfrac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}}\cdot \end{array}}\right.$

Je suppose que dans $\mathrm {T} ,$ qui dépendait des constantes $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2},$ on ait remplacé ces constantes en fonctions de $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}.$ C’est dans ce sens qu’il faut entendre ${\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }},$ ${\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda '}},$ ${\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}}\cdot$

Pour que les conclusions du n^o 135 soient applicables, il faut que les variables anciennes

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \rho _{i},$

ainsi que les variables

$\omega _{i}-v_{i}$

soient des fonctions uniformes des variables nouvelles

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{2},\quad \lambda '_{2},\quad \mathrm {V} _{i},\quad v_{i}$

et que ces fonctions soient périodiques, par rapport à $v_{1}$ et à $v_{2}.$

Cherchons d’abord les expressions de $\omega _{1},$ et $\omega _{2}$ en fonctions des variables nouvelles, nous avons pour cela les deux équations

(5)

${\begin{aligned}v_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{1}}}=\omega _{1}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}}},&v_{2}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{2}}}=\omega _{2}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous devons d’abord nous demander si les valeurs de $\omega _{1}$ et de $\omega _{2}$ tirées de ces équations seront des fonctions uniformes des variables nouvelles. Pour qu’elles cessassent de l’être, il faudrait que le déterminant fonctionnel des seconds membres par rapport à $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ s’annulât, c’est-à-dire que l’on eût

${\begin{aligned}{\frac {\partial \left({\dfrac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{1}}},{\dfrac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{2}}}\right)}{\partial (\omega _{1},\omega _{2})}}=1&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{1}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{2}}}\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{1}}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{1}}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{2}}}=0.\end{aligned}}$

J’écrirai, pour abréger, cette équation sous la forme suivante

$1+\mathrm {J} =0.$

J’observe d’abord que $\rho _{1}$ et $\rho _{2}$ seront dans les applications des quantités très petites de l’ordre du carré des excentricités.

Ces quantités $\rho _{i}$ sont liées aux $\Omega _{i}$ par les relations suivantes

$\rho _{i}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}\cdot$

Or ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}$ peut être développé suivant les puissances croissantes des $\Omega _{i}\,;$ il n’y a pas dans ce développement de terme tout connu et les termes du premier degré se réduisent à $\Omega _{i}.$

On tirera de là, par le théorème du n^o 30,

${\begin{aligned}\Omega _{1}&=f_{1}(\rho _{1},\rho _{2}),&\Omega _{2}&=f_{2}(\rho _{1},\rho _{2}),\end{aligned}}$

$f_{1}$ et $f_{2}$ étant des séries développées suivant les puissances de $\rho _{1}$ et de $\rho _{2},$ dont les coefficients dépendent d’ailleurs d’une manière quelconque de

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \omega _{1}\quad$et$\quad \omega _{2}.$

Les termes de degré 0 seront nuls, ceux du premier degré se réduiront respectivement à $\rho _{1}$ et à $\rho _{2}.$

Il résulte de là que $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ seront, comme $\rho _{1}$ et $\rho _{2},$ de l’ordre du carré des excentricités.

D’après la définition de $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2},$ ces quantités pourront être développées suivant les puissances de $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2},$ les coefficients du développement dépendant d’une manière quelconque de $\Lambda$ et de $\Lambda '\,;$ ces développements ne contiendront pas de termes de degré 0 et les termes du premier degré se réduiront respectivement à $\Omega _{1}$ et à $\Omega _{2}.$

Il résulte de là :

1^o Que $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ sont de l’ordre du carré des excentricités ;

2^o Qu’on peut inversement développer $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ suivant les puissances de $\mathrm {V} _{1}$ et de $\mathrm {V} _{2}$ et qu’on a alors

${\begin{aligned}\Omega _{1}&=\mathrm {V} _{1}+\varphi _{1}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}),&\Omega _{2}&=\mathrm {V} _{2}+\varphi _{2}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}),\end{aligned}}$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ ne contenant que des termes du second degré au moins par rapport à $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}\,;$

3^o Que $\mathrm {T} '$ peut se développer suivant les puissances croissantes de $V_{1}$ et de $V_{2}$ et ne contient alors que des termes du deuxième degré au moins par rapport à ces deux quantités ;

4^o Que le développement de ${\frac {d\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}}}$ et de ${\frac {d\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}}}$ suivant les puissances croissantes de $\mathrm {V} _{1}$ et de $\mathrm {V} _{2}$ commençant par des termes du premier degré, ces deux dérivées sont du même ordre de grandeur que le carré des excentricités ;

5^o Qu’il en est de même des dérivées secondes ${\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{k}\,d\omega _{i}}}$ et par conséquent de $\mathrm {J} .$

$\mathrm {J}$ étant très petit, $1+\mathrm {J}$ ne peut être nul.

Nous devons donc conclure que $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ et par conséquent $\omega _{1}-v_{1},$ $\omega _{2}-v_{2}$ sont des fonctions uniformes des variables nouvelles.

J’ajoute que $v_{1}-\omega _{1},\,\mathrm {V} _{2}-\omega _{2}$ sont des fonctions périodiques de $v_{1}$et de $v_{2}\,;$ si, en effet, nous augmentons $v_{1}$ et $\omega _{1}$ de $2\mathrm {K} _{1}\pi ,$, $v_{2}$ et $\omega _{2}$ de $2\mathrm {K} _{2}\pi ,$ $\mathrm {K} _{1}$ et $\mathrm {K} _{2}$ étant des entiers, les équations (5) ne cesseront pas d’être satisfaites, puisque $\mathrm {T} '$ est périodique en $\omega _{1}$ et $\omega _{2},$ et $v_{1}-\omega _{1},$ $v_{2}-\omega _{2}$ ne changeront pas.

En substituant ces valeurs de $\omega _{1}$ et de $\omega _{2}$ dans les équations (3) et (4) on verrait que les variables anciennes

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \rho _{i},$

sont des fonctions uniformes des variables nouvelles, périodiques par rapport aux $v_{i}.$

Nous nous trouvons donc dans des conditions où les résultats du n^o 135 sont applicables.

Exprimons la fonction $\mathrm {F}$ à l’aide des nouvelles variables. J’observe d’abord que $\mathrm {F} _{0}$ reste exprimé en fonction de $\Lambda$ et de $\Lambda '$ seulement. De plus, $\mathrm {F}$ est périodique par rapport aux variables de la seconde série $\lambda _{2},$ $\lambda '_{2},$ $v_{1}$ et $v_{2}.$

La valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1},$ considérée comme fonction périodique de $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2},$ se réduit à $\mathrm {R} .$ D’autre part, $\mathrm {R}$ se réduit en vertu de l’équation (1) à la constante $\mathrm {C} ,$ ou bien encore à

$\mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\Omega _{1}+2\mathrm {A} _{2}\Omega _{2},$

ou à

$\mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\mathrm {V} _{1}+2\mathrm {A} _{2}\mathrm {V} _{2}+2\mathrm {A} _{1}\varphi _{1}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2})+2\mathrm {A} _{2}\varphi _{2}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}).$

Ainsi $\mathrm {R}$ dépend seulement de $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ et ne dépend pas des variables de la seconde série.

Nous retombons donc sur le cas étudié au n^o 134.

Je dis maintenant que $\mathrm {F}$ ne change pas quand $\lambda _{2},$ $\lambda '_{2},$ $v_{1}$ et $v_{2}$ augmentent d’une même quantité. En effet, nous savons déjà que $\mathrm {F}$ ne change pas quand $\lambda _{1},$ $\lambda '_{1},$ $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ augmentent d’une même quantité et que $\mathrm {T} '$ ne dépend que de la différence $\omega _{1}-\omega _{2}.$

Les équations (4) et (5) montrent alors que, quand $\lambda _{1},$ $\lambda '_{1},$ $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ augmentent d’une même quantité $\varepsilon ,$ $\lambda _{2},$ $\lambda '_{2},$ $v_{1}$ et $v_{2}$ augmentent de cette même quantité $\varepsilon \,;$ donc quand ces quatre variables nouvelles augmentent de $\varepsilon ,$ $\mathrm {F}$ ne change pas.

La façon dont $\mathrm {F}$ dépend de $\mathrm {V} _{1}$ et de $\mathrm {V} _{2}$ est assez compliquée, parce que $\mathrm {F} ,$ avant le changement de variables, contenait les radicaux ${\sqrt {\rho _{1}}}$ et ${\sqrt {\rho _{2}}}.$

Soit

$\mathrm {F} (\Lambda ,\;\Lambda ',\;\lambda _{2},\;\lambda _{2}',\;\mathrm {V} _{1},\;\mathrm {V} _{2},\;v_{1},\;v_{2})$

ce que devient la fonction $\mathrm {F}$ après le changement de variables. Nous avons à intégrer l’équation

(6)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},\lambda _{2},\lambda _{2}',{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{2}}},v_{1},v_{2}\right)=\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{1}\mu +\mathrm {C} _{2}^{1}\mu ^{2}+\ldots$

Nous voulons satisfaire formellement à cette équation en faisant

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \,\mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {S} ^{2}+\ldots$

et

$\mathrm {S} _{0}=\Lambda _{0}\lambda _{2}+\Lambda '_{0}\lambda '_{2}+\mathrm {V} _{1}^{0}v_{1}+\mathrm {V} _{2}^{0}v_{2},$

$\Lambda _{0},\,\Lambda '_{0},\,\mathrm {V} _{1}^{0}$ et $\mathrm {V} _{2}^{0}$ doivent être nos quatre constantes d’intégration. On n’a pour cela, comme nous l’avons vu, qu’à appliquer la méthode du n^o 134.

Étude d’une intégrale particulière.

139.On trouve une intégrale particulière remarquable en supposant que les deux dernières constantes $\mathrm {V} _{1}^{0}$ et $\mathrm {V} _{2}^{0}$ soient nulles.

Il suffit pour cela de faire dans l’équation (6)

${\frac {d\mathrm {S} }{dv_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{2}}}=0.$

Il arrive alors que le premier membre de cette équation ne dépend plus ni de $v_{1}$ ni de $v_{2}.$

En effet, avant le dernier changement de variables que nous venons de faire, $\mathrm {F}$ était développable suivant les puissances de

${\sqrt {\rho _{i}}}\cos \omega _{i}\quad$ et $\quad {\sqrt {\rho _{i}}}\sin \omega _{i},$

et ne dépendait d’autre part que des autres variables

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1}\quad$ et $\quad \lambda '_{1}.$

Si donc on fait

$\rho _{1}=\rho _{2}=0,$

$\mathrm {F}$ ne dépend plus que de $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1}.$

Si, d’autre part, on fait

$\mathrm {V} _{1}=\mathrm {V} _{2}=0,$

$\mathrm {T} ',$ qui est développable suivant les puissances croissantes des $\mathrm {V}$ et ne contient que des termes du second degré au moins par rapport à ces quantités, s’annulera ainsi que ses dérivées du premier ordre. De même $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ s’annuleront et il viendra

$\rho _{i}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}=\Omega _{i}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\omega _{i}}}=0,$

$\lambda _{2}=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }}=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\Lambda }}=\lambda _{1}.$

De même

$\lambda '_{2}-\lambda '_{1}.$

Il résulte de là que $\rho _{1}$ et $\rho _{2}$ s’annulant et, d’autre part, $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2}$ se réduisant à $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1}\,;$ il résulte, dis-je, que $\mathrm {F}$ ne dépend plus que des quatre variables

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{2}\quad$ et $\quad \lambda '_{2}.$

Si donc on fait

${\frac {d\mathrm {S} }{dv_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{2}}}=0,$

le premier membre de l’équation (6) ne contient plus que $\lambda _{2},$ $\lambda '_{2},$ ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},$ ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}\cdot$

Cette équation est alors très facile à intégrer ; on n’aurait pour y parvenir qu’à appliquer les procédés du n^o 125 ; mais il y a ici quelque chose de plus.

L’intégrale n’est plus purement formelle et la série développée suivant les puissances de $\mu$ à laquelle on parvient est convergente.

En effet, $\mathrm {F}$ ne dépend que de la différence $\lambda _{2}-\lambda '_{2},$ puisque nous avons vu que $\mathrm {F}$ ne doit pas changer quand $\lambda _{2},$ $\lambda '_{2},$ $v_{1}$ et $v_{2}$ augmentent d’une même quantité et qu’ici $\mathrm {F}$ a cessé de dépendre de $v_{1}$ et de $v_{2}.$

Il résulte de là que les deux équations

${\begin{aligned}\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},\lambda _{2},\lambda '_{2}\right)&=\mathrm {C} ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}}+{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}&=\mathrm {C} ',\end{aligned}}$

(où $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ sont deux constantes quelconques) sont compatibles ; on en tirera ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}$ et, par conséquent, $\mathrm {S}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $\mu .$

L’intégrale ainsi obtenue dépend de deux constantes arbitraires $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '\,;$ mais ces deux constantes peuvent s’exprimer à l’aide de deux des quatre constantes primitivement choisies, à savoir de $\Lambda _{0}$ et de $\Lambda '_{0},$ les deux autres constantes $\mathrm {V} _{1}^{0}$ et $\mathrm {V} _{2}^{0}$ étant nulles par hypothèse.

Nous appellerons cette intégrale particulière de l’équation (6),

(7)

$\Sigma (\lambda _{2},\,\lambda '_{2},\,\Lambda _{0},\,\Lambda '_{0}).$

Si les constantes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ sont convenablement choisies (Cf. 125), $\Sigma$ sera de la forme suivante

$\Lambda _{0}\lambda _{2}+\Lambda '_{0}\lambda '_{0}+{}$ fonction périodique de ${}\lambda _{2}-\lambda '_{2}.$

La discussion de cette intégrale particulière $\Sigma$ ne conduirait pas, ainsi qu’on serait tenté de le croire, à des solutions particulières simples du Problème des trois Corps.

Forme des développements.

140.L’existence de la fonction $\mathrm {S}$ étant ainsi démontrée, on peut en déduire le résultat suivant, en raisonnant comme au n^o 125.

Il existe des séries

(1)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\Lambda \,&=\Lambda _{0}&{}+{}&\mu \,\Lambda _{1}&{}+{}&\mu ^{2}\Lambda _{2}&{}+{}&\ldots ,\\\Lambda '&=\Lambda '_{0}&{}+{}&\mu \,\Lambda '_{1}&{}+{}&\mu ^{2}\Lambda '_{2}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {V} _{i}&=\mathrm {V} _{i}^{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {V} _{i}^{2}&{}+{}&\mu ^{2}\mathrm {V} _{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\\lambda _{2}&=w_{1}&{}+{}&\mu \,y_{1}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{1}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\\lambda '_{2}&=w_{2}&{}+{}&\mu \,y_{2}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{2}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\v_{1}&=w_{3}&{}+{}&\mu \,y_{3}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{3}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\v_{2}&=w_{4}&{}+{}&\mu \,y_{4}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{4}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}\right.$

ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et qui satisfont formellement aux équations du Problème des trois Corps.

$\Lambda _{0},\,\Lambda '_{0}$ et $\mathrm {V} _{i}^{0}$ sont des constantes ; on a

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.$

Les $\Lambda _{k},$ les $\Lambda '_{k},$ les $\Lambda _{i}^{k},$ les $y_{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des $w,$ qui dépendent en outre des constantes $\Lambda _{0},$ $\Lambda '_{0},$ $\mathrm {V} _{i}^{0}.$

D’autre part, les quantités $n_{i}$ (qui dépendent en outre des constantes $\Lambda _{0},$ $\Lambda '_{0},$ $\mathrm {V} _{i}^{0}$) sont développables suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ de telle sorte que l’on a

$n_{i}=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\mu ^{2}n_{i}^{2}+\ldots .$

Le point sur lequel je désire attirer l’attention, c’est que l’on a

${\begin{array}{c}n_{3}^{0}=n_{4}^{0}=0,\\n_{1}^{0}\gtrless 0,\quad n_{2}^{0}\gtrless 0.\end{array}}$

Les coefficients des séries qui précèdent auraient pu être calculés d’une façon plus rapide et sans passer par toute cette série de changements de variables, si je ne m’étais attaché surtout à établir simplement et rigoureusement la possibilité même du développement.

Il y a plus : les variables primitives $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda -\omega _{1},$ $\lambda -\omega _{2},$ $\xi ,$ $\xi ',$ $\eta ,$ $\eta '$ peuvent être développées en séries de même forme, c’est-à-dire en séries dont les termes sont des fonctions périodiques de $\omega _{1},$ $\omega _{2},$ $\omega _{3}$ et $\omega _{4}.$ Il suffit, pour s’en convaincre, de remplacer dans les expressions des variables primitives en fonctions des variables nouvelles, d’y remplacer, dis-je, ces variables nouvelles par leurs expressions (1) ; et alors on pourra avoir avantage à calculer directement les coefficients des développements des variables primitives, sans passer par l’intermédiaire des variables nouvelles qui ont servi à démontrer la possibilité de ce développement.

Je ne veux pas insister ici sur les procédés qui peuvent permettre le calcul direct de ces coefficients. Ce que j’ai dit au n^o 127 suffit pour en faire comprendre l’esprit, et j’aurai d’ailleurs l’occasion d’y revenir au Chapitre XIV.

J’indiquerai seulement un moyen d’éviter le dernier changement de variables, celui par lequel on passe des $\rho _{i}$ et des $\omega _{i}$ aux $\mathrm {V} _{i}$ et aux $v_{i}\,;$ ce serait là, dans les cas où l’on ne pourrait l’éviter, la partie la plus pénible du calcul.

Il suffit pour cela de grouper convenablement les termes et cela est possible pourvu que les excentricités soient petites.

Nous pouvons distinguer dans $\mathrm {F} _{1}$ deux sortes de termes :

1^o Ceux qui sont de degré 0, 1, 2 ou 3 par rapport aux excentricités et aux inclinaisons ;

2^o Ceux qui sont de degré 4 au moins par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Les termes de la seconde sorte sont beaucoup plus petits que ceux de la première. Soit alors $\mathrm {F} '_{1}$ l’ensemble des termes de la première sorte et $\varepsilon \mathrm {F} ''_{1}$ l’ensemble des termes de la seconde sorte ; nous pourrons supposer que $\varepsilon$ est une constante très petite et que $\mathrm {F} _{1}''$ est fini, et écrire

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} '_{1}+\mu \varepsilon \,\mathrm {F} ''_{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .$

Rien n’empêchera alors de réunir les termes $\mu \varepsilon \,\mathrm {F} ''_{1}$ aux termes $\mu ^{2}F_{2},$ puisque $\mu \varepsilon$ est beaucoup plus petit que $\mu \,;$ ou de chercher à développer suivant les puissances de $\mu$ et de $\varepsilon .$

Alors on conserve les variables

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \rho _{i},\quad \omega _{i}\,;$

la valeur moyenne de $\mathrm {F} '_{1}$ se réduit à

$\mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}$

(Cf. n^o 131), et est par conséquent indépendante des variables de la seconde série. Or le dernier changement de variables n’avait d’autre but que de rendre $\mathrm {R}$ indépendant des variables de la seconde série. Il est donc maintenant inutile.

Cas général du Problème des trois Corps.

141.Passons maintenant au cas du Problème des trois Corps dans l’espace. Le nombre des variables $\omega _{i}$ et $\rho _{i}$ est alors égal à 4 et l’équation (1) du n^o 135 s’écrit

(1)

$\mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}},\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4}\right)=\mathrm {C} .$

Elle n’est plus susceptible d’être intégrée par le procédé que nous avons employé au n^o 138 ; on ne connaît même pas de moyen de l’intégrer exactement, mais on peut trouver une méthode simple d’intégration formelle, ce qui peut nous suffire au point de vue où nous nous sommes placé.

Les quantités

${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}=\rho _{i}$

sont de l’ordre du carré des excentricités ; si donc nous posons

$\mathrm {T} =\mu '\,\mathrm {T} ''$

$\mu '$ étant une constante de l’ordre du carré des excentricités, les dérivées ${\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}$ seront finies.

La fonction $\mathrm {R}$ est développable suivant les puissances croissantes des ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}$ et nous avons

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\ldots ,$

$\mathrm {R} _{k}$ représentant l’ensemble des termes de degré ${\frac {k}{2}}$ par rapport aux $\rho _{i}$ ($\mathrm {R} _{0},$ $\mathrm {R} _{2},$ $\mathrm {R} _{4},\,\ldots$ ne diffèrent pas des quantités appelées ainsi au n^o 131). Si je désigne par $\mathrm {R} _{k}(\mathrm {T} )$ ce que devient $\mathrm {R} _{k}$ quand on y remplace $\rho _{i}$ par ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},$ l’équation (1) pourra s’écrire

$\mathrm {R} _{0}(\mathrm {T} )+\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} )+\mathrm {R} _{4}(\mathrm {T} )+\ldots =\mathrm {C}$

ou bien

$\mathrm {R} _{0}(\mathrm {T} '')+\mu '\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')+{\mu '}^{2}\mathrm {R} _{4}(\mathrm {T} '')+\ldots =\mathrm {C}$

$\mathrm {R} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda$ et de $\Lambda '$ et, comme nous regardons momentanément ces quantités comme des constantes, $\mathrm {R} _{0}$ sera aussi une constante.

Si alors nous posons

$\mathrm {C} =\mathrm {R} _{0}+\mu '\mathrm {C} '$

l’équation (1) deviendra

(2)

$\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')+\mu '\mathrm {R} _{4}(\mathrm {T} '')+{\mu '}^{2}\mathrm {R} _{6}(\mathrm {T} '')+\ldots =\mathrm {C} '.$

Nous sommes ainsi conduit à intégrer une équation aux dérivées partielles dont le premier membre dépend des dérivées ${\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}$ et est d’ailleurs périodique par rapport aux variables indépendantes $\omega _{i}.$ Ce premier membre dépend d’un paramètre $\mu '$ et quand ce paramètre s’annule, il se réduit à

$\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')=\sum _{i=1}^{i=4}2\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}\cdot$

Pour $\mu '=0,$ le premier membre ne dépend donc plus des $\omega _{i},$ mais seulement des dérivées ${\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}\cdot$

Nous nous trouvons donc dans les conditions où l’analyse du n^o 125 est applicable et nous pouvons conclure qu’il existe une série

$\mathrm {T} ''_{0}+\mu '\mathrm {T} ''_{1}+{\mu '}^{2}\mathrm {T} ''_{2}+\ldots ,$

développée suivant les puissances de $\mu '$ et qui, substituée à la place de $\mathrm {T} ',$ satisfait formellement à l’équation (2), et que cette série est telle que les dérivées

${\frac {d\mathrm {T} _{k}''}{d\omega _{i}}}$

soient périodiques par rapport aux $\omega _{i}.$

Nous poserons

$\mathrm {T} ''_{0}=\Omega '_{1}\omega _{1}+\Omega '_{2}\omega _{2}+\Omega '_{3}\omega _{3}+\Omega '_{4}\omega _{4},$

$\Omega '_{1},\,\Omega '_{2},\,\Omega '_{3},\,\Omega '_{4}$ étant nos quatre constantes d’intégration ; et la constante $\mathrm {C} '$ devra satisfaire à l’équation

$\mathrm {C} '={\textstyle \sum }2\mathrm {A} _{i}\Omega '_{i}.$

On vérifie sans peine que $\mathrm {T} ''_{k}$ est un polynôme entier de degré $k+1$ par rapport aux quatre constantes $\Omega '_{i}.$

Il en résulte que

$\mathrm {T} =\mu '\mathrm {T} ''$

se présente sous la forme d’une série développée suivant les puissances entières croissantes des quatre quantités

$\mu '\Omega '_{1},\quad \mu '\Omega '_{2},\quad \mu '\Omega '_{3},\quad \mu '\Omega '_{4},$

que j’appellerai pour abréger

$\Omega _{1},\quad \Omega _{2},\quad \Omega _{3},\quad \Omega _{4}.$

Cette série, développée suivant les puissances des quatre constantes $\Omega _{i}$ qui sont de l’ordre du carré des excentricités, satisfait formellement à l’équation (1).

Posons, comme au n^o 138,

${\begin{aligned}\mathrm {U} &=\Lambda \,\lambda _{1}+\Lambda '\,\lambda '_{1}+\mathrm {T} ,\\\mathrm {T} &=\mathrm {V} _{1}\omega _{1}+\mathrm {V} _{2}\omega _{2}+\mathrm {V} _{3}\omega _{3}+\mathrm {V} _{4}\omega _{4}+\mathrm {T} ',\end{aligned}}$

$\mathrm {T} '$ étant périodique par rapport aux $\omega ,$ et les $\mathrm {V} _{i}$ étant des constantes développables suivant les puissances croissantes des $\Omega _{i}.$

Les $\Omega _{i}$ sont inversement développables suivant les puissances des $\mathrm {V} _{i}\,;$ on peut aussi développer T suivant les puissances des $\mathrm {V} _{i}$ et la série ainsi obtenue satisfait encore formellement à l’équation (1).

Nous allons maintenant faire un changement de variables analogue à celui du n^o 138 [[[Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.11#Eq.138-3|équations (3)]], (4) et (5)].

Nous poserons donc

${\begin{aligned}\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},&v_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}},&\lambda _{2}&=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }},&\lambda '_{2}&=\lambda '_{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda '}},&\end{aligned}}$

En remplaçant les variables anciennes

${\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\omega _{i}\end{array}}$

par les nouvelles

${\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i},\end{array}}$

on n’altère pas la forme canonique des équations.

On démontrerait comme dans le n^o 138 :

1^o Que les $\mathrm {V} _{i}$ sont de l’ordre du carré des excentricités ;

2^o Que les quantités $\rho _{i},$ $\lambda _{1}-\lambda _{2},$ $\lambda '_{1}-\lambda '_{2},$ $\omega _{i}-v_{i}$ sont des fonctions périodiques des $v_{i}\,;$

3^o Que $\mathrm {F}$ est développable par rapport aux puissances croissantes de $\mu ,$ des $\mathrm {V} _{i}$ et des ${\sqrt {\rho _{i}}},$ les $\rho _{i}$ étant eux-mêmes développables suivant les puissances croissantes des $\mathrm {V} _{i}\,;$

4^o Que $\mathrm {F}$ est une fonction périodique des $v_{i}$ de $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2}\,;$

5^o Que la valeur moyenne de $\mathrm {F} ,$ considérée comme fonction périodique des deux variables $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2},$ est égale à $\mathrm {R}$ et ne dépend que de $\Lambda ,$ $\Lambda '$ et des $\mathrm {V} _{i}.$

Nous sommes donc dans les conditions où l’analyse du n^o 135 est applicable.

Soit donc

$\mathrm {F} (\Lambda ,\Lambda ',\mathrm {V} _{i},\lambda _{2},\lambda '_{2},v_{i})$

ce que devient la fonction $\mathrm {F}$ après le changement de variables ; on pourra trouver une série développable suivant les puissances de $\mu ,$ satisfaisant formellement à l’équation

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}},\lambda _{2},\lambda '_{2},v_{i}\right)=\mathrm {C} _{0}+\mu \,\mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\ldots$

et dépendant de six constantes que j’appellerai $\Lambda _{0},$ $\Lambda '_{0},$ $\mathrm {V} _{1}^{0},$ $\mathrm {V} _{2}^{0},$ $\mathrm {V} _{3}^{0},$ $\mathrm {V} _{4}^{0}.$

Nous arrivons ainsi aux mêmes conclusions que dans les n^os 138 et 140.