Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.14

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 112-156).

CHAPITRE XIV.

CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

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151.Il ne sera peut-être pas sans intérêt de revenir sur les résultats obtenus dans les trois Chapitres précédents et d’en dégager la signification. Mon but est d’ailleurs avant tout de montrer comment on pourra calculer directement les coefficients des développements que nous avons appris à former d’une manière indirecte et dont nous avons ainsi démontré l’existence. Cette existence une fois établie, le calcul de ces coefficients peut se faire, en effet, d’une façon plus rapide, sans qu’on doive s’astreindre aux nombreux changements de variables qui nous ont été nécessaires plus haut.

Je commencerai par considérer le cas particulier des équations du n^o 134.

Dans ce n^o 134, nous avons montré que, par des procédés analogues à ceux du n^o 125 légèrement modifiés, on peut satisfaire formellement à nos équations canoniques en faisant

${\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}$

les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ étant des fonctions périodiques de quantités que j’appellerai $w,$ sauf $y_{i}^{0}$ qui devra se réduire à $w_{i}\,;$ les $x_{i}^{0}$ sont des constantes arbitraires dont dépendent d’ailleurs les autres fonctions $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k},$ et l’on a

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

$\varpi _{i}$ étant une constante d’intégration et $n_{i}$ une constante dépendant de $\mu$ et des $x_{i}^{0}$ et développable suivant les puissances de $\mu .$

On peut, par les procédés du n^o 126, donner à ces séries une infinité de formes et cela de telle sorte que les valeurs moyennes des fonctions périodiques $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ soient telles fonctions arbitraires que l’on veut des $x_{i}^{0}.$

Observons qu’après comme avant la transformation de ces séries par les procédés du n^o 126, l’expression $\textstyle \sum x_{i}\,dy_{i}$ (considérée comme fonction des $w_{i}$ pendant que les $x_{i}^{0}$ seront regardés comme des constantes) devra être une différentielle exacte.

Soit donc encore

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .$

Supposons qu’il y ait $2n$ variables conjuguées deux à deux ; que les variables de la première série soient de deux sortes ; nous appellerons celles de la première sorte les $x_{i},$ celles de la deuxième sorte les $x'_{i}.$

Les variables de la deuxième série conjuguées des $x_{i}$ s’appelleront les $y_{i}$ et celles qui sont conjuguées des $x'_{i}$ s’appelleront les $y'_{i},$ de sorte que nos équations canoniques s’écriront

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dx'_{i}}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dy'_{i}}},\\{\frac {dy_{i}}{dt}}&=\,-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},&{\frac {dy'_{i}}{dt}}&=\,-{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Je suppose que $\mathrm {F} _{0}$ dépende des $x_{i},$ mais non des $y_{i},$ des $y'_{i},$ ni des $x'_{i},$ que $\mathrm {F}$ est périodique par rapport aux $y_{i}$ et aux $y'_{i}\,;$ que, si l’on appelle $\mathrm {R}$ la partie moyenne de $\mathrm {F} _{1}$ (en considérant pour un instant $\mathrm {F} _{1}$ comme une fonction périodique des $y_{i}$ seulement, mais non des $y'_{i}$), $\mathrm {R}$ ne dépende pas des $y'_{i},$ mais seulement des $x_{i}$ et des $x'_{i}.$ Ce sont, en sommé, les mêmes hypothèses que celles du n^o 134.

Nous avons vu alors qu’on peut satisfaire formellement aux équations (1) par des séries de la forme suivante

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&={x}_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,{x}_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}{x}_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\x_{i}'&=x_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \,y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}'&=w'_{i}&{}+{}&\mu \,y_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}\right.$

les $x_{i}^{k},\,x_{i}'^{k},\,y_{i}^{k},\,y_{i}'^{k}$ étant des fonctions périodiques des $w_{i}$ et des $w'_{i}$ dépendent en outre des constantes $x_{i}^{0}$ et $x_{i}'^{0}$ et dont les valeurs moyennes peuvent être des fonctions arbitrairement

choisies de ces constantes, ce qui se verrait par un raisonnement

tout pareil à celui du n^o 126. On a de plus

${\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i},&w'_{i}&=n'_{i}t+\varpi '_{i}\,;\end{aligned}}$

les $\varpi _{i}$ et les $\varpi '_{i}$ sont des constantes d’intégration ; tes $n_{i}$ et les $n'_{i}$ sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ de sorte que

${\begin{aligned}n_{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}n_{i}^{k},&n'_{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}n_{i}'^{k}\end{aligned}}$

avec

${\begin{aligned}n_{i}^{0}&\gtrless 0,&n_{i}'^{0}=0.\end{aligned}}$

La possibilité d’un pareil développement étant établie par le n^o 134, je me propose d’en calculer directement les coefficients.

À cet effet, je suppose que, dans les équations (1), on substitue les développements (2) et que, par conséquent, on ne regarde plus nos variables comme exprimées directement en fonctions du temps, mais comme dépendant du temps par l’intermédiaire des $w_{i}$ et des $w'_{i}\,;$ ces équations (1) deviendront

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }_{k}\,n'_{k}{\frac {dx_{i}}{dw'_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &,\end{aligned}}\right.$

Après la substitution des développements (2), il viendra d’ailleurs

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}^{k},&-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}^{k},\end{aligned}}$

équations analogues aux équations (9) et (10) du n^o 127, et de même

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{dy'_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}'^{k},&-{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}'^{k}.\end{aligned}}$

Les $\mathrm {X} _{i}^{k},\,\mathrm {Y} _{i}^{k},\,\mathrm {X} _{i}'^{k},\,\mathrm {Y} _{i}'^{k}$ seront des fonctions des $w_{i},$ des $x_{i}^{k},$ des $y_{i}^{k},$ des $x_{i}^{0}$ et des mêmes lettres accentuées. Elles seront périodiques par rapport aux $w$ et aux $w'.$

Recherchons, comme dans le n^o 127, de quelles variables dépendent toutes ces quantités. Comme

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx'_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy'_{i}}}=0,$

on voit que les $\mathrm {X} _{i}^{k},\,\mathrm {X} _{i}'^{k}$ les $\mathrm {Y} _{i}'^{k}$ dépendront seulement des

${\begin{array}{rrrl}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&\ldots ,&x_{i}^{k-1},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&\ldots ,&y_{i}^{k-1}\end{array}}$

et des mêmes lettres accentuées ; tandis que les $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ dépendront en outre des $x_{i}^{k},$ mais non des $x_{i}'^{k},$ des $y_{i}^{k},$ des $y_{i}'^{k}.$

Considérons l’expression

${\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\cdot$

Substituons-y, à la place de $x_{i},$ son développement (2) et à la place des $n_{k}$ leur développement suivant les puissances de $\mu .$ Cette expression deviendra développable suivant les puissances de $\mu ,$ et pour employer des notations analogues à celles du n^o 127, j’écrirai son développement sous la forme suivante

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}&=\Sigma '\,\mu ^{p}n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}+\Sigma \,\mu ^{p}n_{k}^{p}{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}-\Sigma \,\mu ^{p}\mathrm {Z} _{i}^{p},\\{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}&=\Sigma '\,\mu ^{p}n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}+\Sigma \,\mu ^{p}n_{k}^{p}{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}-\Sigma \,\mu ^{p}\mathrm {T} _{i}^{p}.\end{aligned}}\right.$

Il faut convenir que le signe $\Sigma$ exprime une sommation étendue à toutes les valeurs de $k$ et à toutes les valeurs de $p$ depuis 0 jusqu’à l’infini, et le signe $\Sigma '$ une sommation étendue à toutes les valeurs de $k$ et à toutes les valeurs de $p$ depuis 1 jusqu’à l’infini.

Il convient de se rappeler que $y_{i}^{0}=w_{i},$ $y_{i}'^{0}=w'_{i}$ et d’adjoindre aux équations (4) deux autres équations de même forme où les lettres $x_{i},$ $y_{i},$ $x_{i}^{p},$ $y_{i}^{p},$ $x_{i}^{0},$ $y_{i}^{0},$ $\mathrm {Z} _{i}^{p}$ et $\mathrm {T} _{i}^{p}$ sont remplacées par les mêmes lettres accentuées.

Nous écrirons de même

(5)

${\textstyle \sum }_{k}\,n'_{k}{\frac {dx_{i}}{dw'_{k}}}=\Sigma '\,\mu ^{p}n_{k}'^{1}{\frac {dx_{i}^{p-1}}{dw'_{k}}}+\Sigma \,\mu ^{p}n_{k}'^{p}{\frac {dx_{i}^{0}}{dw'_{k}}}-\Sigma \,\mu ^{p}\mathrm {U} _{i}^{p},$

Il faut convenir que la sommation $\Sigma$ s’étend à toutes les valeurs de $p$ de 1 à l’infini et la sommation $\Sigma '$ à toutes les valeurs de $p$ de 2 à l’infini et nous adjoindrons à cette équation (5) trois autres de même forme où les lettres

$x_{i},\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{p}$

seront respectivement remplacées par

$y_{i},\quad y_{i}^{p-1},\quad y_{i}^{0},\quad \mathrm {V} _{i}^{p},$

ou par

$x'_{i},\quad x_{i}'^{p-1},\quad x_{i}'^{0},\quad \mathrm {U} _{i}'^{p},$

ou par

$y'_{i},\quad y_{i}'^{p-1},\quad y_{i}'^{0},\quad \mathrm {V} _{i}'^{p}.$

Nous obtiendrons alors une série d’équations analogues aux équations (14) du n^o 127 et qui s’écriront, en remarquant que les $x_{i}^{0}$ et les $x_{i}^{0}$ sont des constantes et que les $y_{i}'^{0}$ et les $y_{i}^{0}$ se réduisent à $w_{i}$ et $w'_{i}$

(6)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}&{}+{}&{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'^{1}{\frac {dx_{i}^{p-1}}{dw'_{k}}}&=\mathrm {X} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {Z} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {U} _{i}^{p},\\{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}&{}+{}&{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'^{1}{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw'_{k}}}&=\mathrm {Y} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {T} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {V} _{i}^{p}-n_{i}^{p},\\{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}'^{p}}{dw_{k}}}&{}+{}&{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'^{1}{\frac {dx_{i}'^{p-1}}{dw'_{k}}}&=\mathrm {X} _{i}'^{p}&{}+{}&\mathrm {Z} _{i}'^{p}&{}+{}&\mathrm {U} _{i}'^{p},\\{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}'^{p}}{dw_{k}}}&{}+{}&{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'^{1}{\frac {dy_{i}'^{p-1}}{dw'_{k}}}&=\mathrm {Y} _{i}'^{p}&{}+{}&\mathrm {T} _{i}'^{p}&{}+{}&\mathrm {V} _{i}'^{p}-n_{i}'^{p}.\end{alignedat}}\right.$

Pour p$=0,$ le premier membre de chacune des équations (6) doit être supprimé et il en est encore de même du second terme de ce premier membre pour $p=1.$ Il suffit, pour s’en rendre compte, de se rappeler la signification conventionnelle attribuée aux signes $\Sigma$ et $\Sigma '$ dans les équations (4) et (5).

Soit maintenant $\mathrm {U}$ une fonction périodique quelconque des $w_{i}$ et des $w'_{i}.$ Convenons de représenter par $[\mathrm {U} ]$ la valeur moyenne de $\mathrm {U}$ considérée pour un instant comme fonction périodique des $w_{i}$ seulement. Il résulte de cette définition que

${\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dw_{i}}}\right]&=0,&\left[{\frac {d\mathrm {U} '}{dw'_{i}}}\right]&={\frac {d[\mathrm {U} ]}{dw'_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous représenterons par $[[\mathrm {U} ]]$ la valeur moyenne de $\mathrm {U}$ considérée comme fonction périodique à la fois des $w_{i}$ et des $w'_{i}.$ C’est une constante, indépendante des $w$ et des $w',$ tandis que $[\mathrm {U} ]$ indépendante des $w$ était encore une fonction périodique des $w'.$ Prenons alors dans les équations (6) les valeurs moyennes des deux membres, il viendra

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[x_{i}^{p-1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}+\mathrm {U} _{i}^{p}\right],\\{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[y_{i}^{p-1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}+\mathrm {V} _{i}^{p}\right]-n_{i}^{p},\\{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[x_{i}'^{p-1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {X} _{i}'^{p}+\mathrm {Z} _{i}'^{p}+\mathrm {U} _{i}'^{p}\right],\\{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[y_{i}'^{p-1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {Y} _{i}'^{p}+\mathrm {T} _{i}'^{p}+\mathrm {V} _{i}'^{p}\right]-n_{i}'^{p}.\end{aligned}}\right.$

Les premiers membres doivent être supprimés pour $p=1.$

Voyons comment ces équations (6) et (7) nous permettront le calcul des coefficients du développement (2).

Dans les équations (6) faisons d’abord $p=0.$ Il vient (puisque

$\mathrm {Z} _{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{0},\quad \ldots ,\quad$ sont nuls

et que les premiers membres doivent être supprimés, ainsi que je l’ai dit plus haut)

${\begin{aligned}0&=0,&\mathrm {Y} _{i}^{0}&=n_{i}^{0},&\mathrm {Y} _{i}'^{0}&=n_{i}'^{0}.\end{aligned}}$

Ces équations nous donnent les valeurs des $n_{i}^{0}$ qui, d’ailleurs, nous sont déjà connues et nous apprennent que les $n_{i}'^{0}$ sont nuls, puisque les $\mathrm {Y} _{i}'^{0}$ le sont.

Considérons maintenant les équations (7) en y faisant $p=1,$ il viendra (en observant que $\mathrm {Z} _{i}^{1},$ $\mathrm {U} _{i}^{1},\,\ldots$ sont nuls)

(8)

$\left\{{\begin{array}{c}{\big [}\mathrm {X} _{i}^{1}{\big ]}={\big [}\mathrm {X} _{i}'^{1}{\big ]}=0,\\{\big [}\mathrm {Y} _{i}^{1}{\big ]}=n_{i}^{1},\qquad {\big [}\mathrm {Y} _{i}'^{1}{\big ]}=n_{i}'^{1}.\end{array}}\right.$

Pour interpréter ces équations, il convient de rechercher ce que c’est que les quantités $\left[\mathrm {X} _{i}^{1}\right],\,\ldots .$ Pour avoir $\mathrm {X} _{i}^{1},$ $\mathrm {X} _{i}'^{1},$ et $\mathrm {Y} _{i}'^{1},$, il faut envisager les dérivées

${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy'_{i}}},\quad -{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}},$

et y remplacer les $x_{i},$ les $x'_{i},$ les $y_{i}$ et les $y'_{i},$ par $x_{i}^{0},$ $x_{i}'^{0},$ $w_{i},\,w'_{i}.$

Soit $\mathrm {F} _{1}^{\star }$ le résultat de cette substitution dans $\mathrm {F} _{1},$ on aura

${\begin{aligned}x_{i}^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dw_{i}}},&x_{i}'^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dw'_{i}}},&\mathrm {Y} _{i}'^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dx_{i}'^{0}}},\\&&\left[\mathrm {F} _{1}^{\star }\right]&=\mathrm {R} ^{\star },&&\end{aligned}}$

$\mathrm {R} ^{\star }$ étant le résultat de la même substitution dans $\mathrm {R} .$

D’où

${\begin{aligned}\left[\mathrm {X} _{i}^{1}\right]&={\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dw_{i}}}=0,&\left[\mathrm {X} _{i}'^{1}\right]&={\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dw'_{i}}},\end{aligned}}$

$\left[\mathrm {Y} _{i}'^{1}\right]=-{\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}}}\cdot$

D’après nos hypothèses, $\mathrm {R}$ ne dépend pas des $y$ et des $y',$ ni par conséquent $\mathrm {R} ^{\star }$ des $w$ et des $w'.$

Donc $[\mathrm {X} _{i}^{1}]$ et $[\mathrm {X} _{i}'^{1}]$ sont nuls, et $[\mathrm {Y} _{i}'^{1}]$ ne dépend que des $x_{i}^{0}$ et des $x_{i}'^{0}$ et est, par conséquent, une constante.

Des quatre équations (8), les deux premières sont donc satisfaites d’elles-mêmes ; la quatrième peut nous donner $n_{i}'^{1},$ puisque le premier membre est une constante.

Il vient ensuite (en appelant $\mathrm {F} _{0}^{\star }$ le résultat de la substitution des $x_{i}^{0}$ à la place des $x_{i}$ dans $\mathrm {F} _{0}$)

$\mathrm {Y} _{i}^{1}=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{1}-{\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dx_{i}^{0}}},$

d’où

(9)

$n_{i}^{1}=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\left[x_{k}^{1}\right]-{\frac {d\mathrm {R} \star }{dx_{i}^{0}}}\cdot$

Les $n_{i}^{1}$ doivent être des constantes, et il en est de même des ${\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}^{0}}}\,;$ il doit donc en être de même des $[x_{k}^{1}].$

En effet, pour avoir $x_{k}^{1},$ il faut, dans ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{k}}}$ (n^o 134), remplacer les $y$ et les $y'$ par les $w$ et les $w'\,;$ ou, ce qui revient au même, si l’on fait cette substitution dans $\mathrm {S} _{1},$ on aura

$x_{k}^{1}={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\cdot$

Or

$\mathrm {S} _{1}={\textstyle \sum }_{k}\,\alpha _{1.k}y_{k}+\mathrm {S} '_{1},$

$\mathrm {S} '_{1}$ étant périodique par rapport aux $y$ et aux $y',$ et les $\alpha _{1.k}$ étant des constantes ; on aura donc

$x_{k}^{1}=\alpha _{1.k}+{\frac {d\mathrm {S} '_{1}}{dw_{k}}},$

d’où

$\left[x_{k}^{1}\right]=\alpha _{1.k}.$
C.Q.F.D.

Envisageons la première des équations (7) en y faisant $p=2\,;$ si les $[x_{i}^{1}]$ sont des constantes, il restera

$\left[\mathrm {X} _{i}^{2}+\mathrm {Z} _{i}^{2}+\mathrm {U} _{i}^{2}\right]=0.$

Or, il résulte des définitions que

$\left[\mathrm {Z} _{i}^{p}\right]=0,\qquad \mathrm {U} _{i}^{2}=0.$

Il vient donc

$\left[\mathrm {X} _{i}^{2}\right]=0.$

Cette conclusion, où nous avons été conduit en nous appuyant sur la possibilité du développement démontrée dans les Chapitres précédents, peut être obtenue directement.

On a en effet

(10)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}^{2}&=\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}y_{k}^{1}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw'_{k}}}y_{k}'^{1}\\&+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{1}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dx_{k}'^{0}}}x_{k}'^{1}+{\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dw_{i}}},\end{aligned}}\right.$

Il va sans dire que dans $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2},$ je suppose les $y_{i},$ les $x_{i},\,\ldots ,$ remplacés par les $w_{i}$ les $x_{i}^{0},\,..$

Il est clair que la valeur moyenne de ${\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dw_{i}}}$ est nulle ; il me reste donc à montrer que la somme algébrique des valeurs moyennes des quatre premiers termes du second membre de (10) est également nulle.

En effet, supposons les expressions

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}},\quad y_{k}^{1},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw'_{k}}},\quad y_{k}'^{1},\quad \ldots$

développées en séries trigonométriques procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples des $w_{i}.$ $\mathrm {X} _{i}^{2}$¡ se trouvera ainsi développé en une série de même forme et il s’agit de calculer les termes de cette série qui sont indépendants des $w_{i}.$

Il suffit pour cela de calculer les termes indépendants des $w_{i}$ dans le produit

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}\,y_{k}^{1}$

et dans tous les autres produits analogues.

Or on obtiendra les termes constants de ce produit en considérant un terme de

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}},$

dépendant de

$\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q})$

(si je suppose que le nombre des $w_{i}$ soit égal à $q$) ou de

$\sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q}),$

par un terme de $y_{k}^{1}$ dépendant du même cosinus ou du même sinus.

Observons d’abord que nous n’avons pas à nous inquiéter du cas où

$m_{1}=m_{2}=\ldots =m_{q}=0.$

En effet,

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}$

étant une dérivée par rapport à $w_{i}$ d’une fonction périodique par rapport aux $w,$ ne peut pas contenir de termes indépendants des $w.$ Cela n’est pas sans importance, et en effet il en résulte que nous n’avons pas besoin de calculer les

$\left[y_{1}^{k}\right],\quad \left[x_{1}^{k}\right],\quad \ldots .$

Or les équations (6) vont bien nous donner les $y_{k}^{1},$ les $x_{k}^{1},\,\ldots ,$ à une fonction arbitraire près des $w,$ mais elles ne nous donneraient pas les valeurs moyennes de ces fonctions. Nous venons heureusement de voir qu’elles nous sont inutiles.

Soit donc

$m_{1},\quad m_{2},\quad \ldots ,\quad m_{q}$

un système quelconque d’entiers positifs ou négatifs et n’étant pas tous nuls à la fois. Posons

$m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q}=h.$

Nous chercherons dans les deux facteurs de chacun des termes du second membre de l’équation (10) les termes en $\cos h$ et en $\sin h$ et nous verrons s’ils donnent des termes indépendants des $w$ dans $\mathrm {X} _{i}^{2}.$

Soit donc

$\mathrm {A} \cos h+\mathrm {B} \sin h$

les termes de $\mathrm {F} _{1}$ dépendant de $h.$ Il est clair que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront des fonctions des $x_{i}^{0},$ des $x_{i}'^{0}$ et des $w'_{i}.$

Les termes correspondants seront

Dans	${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}\,:\;$	$-m_{i}m_{k}(\mathrm {A} \,c+\mathrm {B} \,s),$
Dans	${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}\,:\;$	$m_{i}\left(-{\frac {d\mathrm {A} }{dw'_{k}}}\,s+{\frac {d\mathrm {B} }{dw'_{k}}}\,c\,\right),$
Dans	${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dx_{k}^{0}}}\,:\;$	$m_{i}\left(-{\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}^{0}}}\,\,s+{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{k}^{0}}}\,c\,\right),$
Dans	${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dx_{k}'^{0}}}\,:\;$	$m_{i}\left(-{\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}'^{0}}}\,s+{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{k}'^{0}}}\,c\right),$

(les lettres $s$ et $c$ sont mises, pour abréger, pour $\sin h$ et $\cos h$).

Maintenant nous avons les équations (6), en y faisant $p=1,$ qui deviennent

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=+{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}}},\\{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}},\end{aligned}}$

avec deux autres équations où les lettres $x_{i}^{1},$ $y_{i}^{1},$ $w_{i}$ (et non pas $w_{k}$) et $x_{i}^{0}$ sont remplacées par les mêmes lettres accentuées. Si donc nous posons

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{q}n_{q}^{0}={\frac {1}{\mathrm {M} }},$

nous verrons que les termes en $\sin h$ et $\cos h$ seront

Dans	$y_{k}^{1}\,:\;$	$-\mathrm {M} \left({\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}^{0}}}\,\,s-{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{k}^{0}}}\,c\,\right),$
Dans	$y_{k}'^{1}\,:\;$	$-\mathrm {M} \left({\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}'^{0}}}\,s-{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{k}'^{0}}}\,c\right),$
Dans	$x_{k}^{1}\,:\;$	$+\mathrm {M} \,m_{k}(\mathrm {A} \,c+\mathrm {B} \,s),$
Dans	$x_{k}'^{1}\,:\;$	$+\mathrm {M} \left({\frac {d\mathrm {A} }{dw'_{k}}}\,\,s-{\frac {d\mathrm {B} }{dw'_{k}}}\,c\,\right).$

Si l’on remplace dans le second membre de L’équation (10), on voit que tous ces termes s’annulent. On a donc bien, comme nous l avions prévu,

$\left[\mathrm {X} _{i}^{2}\right]=0.$

Cela posé, en faisant dans les équations (6) $p=1,$ on pourra calculer sans peine

$y_{i}^{1},\quad x_{i}^{1},\quad y_{i}'^{1},\quad x_{i}'^{1},$

à une fonction arbitraire près des $w'.$

Nous connaissons alors $n_{i}^{0},$ $n_{i}^{1},$ $n_{i}'^{1}$ et

$y_{i}^{1}-[y_{i}^{1}],\quad x_{i}^{1}-[x_{i}^{1}],\quad y_{i}'^{1}-[y_{i}'^{1}],\quad x_{i}'^{1}-[x_{i}'^{1}].$

Nous savons de plus que $[x_{i}^{1}]$ est une constante, c’est-à-dire une fonction des $x_{i}^{0}$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ et, d’après la remarque faite au début et analogue à celle de la fin du n^o 126, nous savons que cette fonction peut être choisie arbitrairement. Nous devons donc conclure que $x_{i}^{1}$ est entièrement connu.

Nous avons ensuite à déterminer

$[x_{i}'^{1}]\quad$ et $\quad [y_{i}'^{1}]$

Nous nous servirons pour cela des équations (7), en y faisant $p=2.$ Si nous remarquons que

$\left[\mathrm {Z} _{i}'^{2}\right]=\left[\mathrm {U} _{'}i^{2}\right]=\left[\mathrm {T} _{i}'^{2}\right]=\left[\mathrm {V} _{i}'^{2}\right]=0,$

nous verrons qu’elles deviennent

(11)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[x_{i}'^{1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {X} _{i}'^{2}\right],\\{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[y_{i}'^{1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {Y} _{i}'^{2}\right]-n_{i}'^{2}.\end{aligned}}\right.$

Nous avons donné plus haut [équation (10)] l’expression de ${\mathrm {X} }_{i}^{2}\,;$ il suffit, pour en déduire celle de $\mathrm {X} _{i}'^{2},$ d’y changer $w_{i}$ en $w'_{i}$ et, pour en déduire celle de $\mathrm {Y} _{i}'^{2},$ d’y changer $w_{i}$ en $x_{i}'^{0}.$

On aura donc dans $\left[\mathrm {X} _{i}'^{2}\right],$ par exemple, des termes de la forme suivante :

(12)

$\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dw_{k}}}y_{k}^{1}\right],\quad \left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{1}\right],\quad \ldots$

et l’on trouvera

${\begin{aligned}\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dw_{k}}}y_{k}^{1}\right]&=\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dw_{k}}}\left(y_{k}^{1}-[y_{k}^{1}]\right)\right]+{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dw'_{i}\,dw_{k}}}[y_{k}^{1}]\,;\\[0.5ex]\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{1}\right]&=\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dx_{k}^{0}}}\left(x_{k}^{1}-[x_{k}^{1}]\right)\right]+{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dw'_{i}\,dx_{k}^{0}}}[x_{k}^{1}]\,;\quad \ldots \end{aligned}}$

Mais, par hypothèse, $\mathrm {R}$ ne dépend que des $x_{i}$ et des $x_{i}',$ par conséquent les dérivées de $\mathrm {R} ^{\star }$ par rapport à $w_{i}'$ sont nulles. D’où cette conclusion :

Les termes (12) qui entrent dans le second membre de la première équation (11) ne dépendent que de

$y_{k}^{1}-[y_{k}^{1}],\quad x_{k}^{1}-[x_{k}^{1}],\quad \ldots$

qui sont connus, et non pas de $[y_{k}^{1}],$ $[x_{k}^{1}],\,\ldots$ qui sont inconnus. ${\big [}\mathrm {X} _{i}'^{2}{\big ]}$ est donc une fonction connue des $w'$ et nous pouvons, par conséquent, déduire de là la valeur de $[x_{i}'^{1}],$ à une condition toutefois, c’est que

${\big [}{\big [}\mathrm {X} _{i}'^{2}{\big ]}{\big ]}=0.$

Cette condition doit être remplie d’elle-même, puisque nous savons d’avance que le développement est possible.

Pour la même raison, ${\big [}\mathrm {Y} _{i}'^{2}{\big ]}$ est une fonction connue ; en effet, nous connaissons maintenant $[x_{k}^{1}],$ $[x_{k}'^{1}],$ mais nous ne connaissons pas encore $[y_{k}^{1}]$ ni $[y_{k}'^{1}].$ Or les termes de ${\big [}\mathrm {Y} _{i}'^{2}{\big ]}$ qui dépendent de $[y_{k}^{1}]$ et de $[y_{k}'^{1}]$ s’écrivent

$-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}\,dw_{k}}}[y_{k}^{1}]-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}\,dw_{k}'}}[y_{k}'^{1}],$

et, comme $\mathrm {R} ^{\star }$ ne dépend pas des $w$ ni des $w',$ ils sont nuls et la seconde équation (11), jointe à

${\big [}{\big [}\mathrm {Y} _{i}'^{2}{\big ]}{\big ]}=n_{i}'^{2},$

nous donnera $n_{i}'^{2}$ et $[y_{i}'^{1}].$

Ayant ainsi déterminé $[x_{i}'^{1}]$ et $[y_{i}'^{1}]$ à l’aide des équations (7, 3, 2) et (7, 4, 2), je veux dire de la 3^e et de la 4^e équation (7), où l’on a fait $p=2,$ occupons-nous de déterminer $[x_{i}^{2}].$

La manière la plus simple est de se servir de ce fait que l’expression

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'$

doit être une différentielle exacte.

Si dans cette expression nous remplaçons $x_{i},$ $y_{i},\,\ldots$ par leurs développements (2), le coefficient de chacune des puissances de $\mu$ devra être une différentielle exacte ; les différentielles suivantes

$\Sigma 'x_{i}^{0}\,dw_{i},$

${\begin{aligned}&\Sigma '\left(x_{i}^{1}\,dw_{i}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{1}\right),\\&\Sigma '\left(x_{i}^{2}\,dw_{i}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{2}\right),\\&\Sigma '\left(x_{i}^{3}\,dw_{i}+x_{i}^{2}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{2}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{3}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

devront donc être exactes. Par le signe $\Sigma '$ on doit entendre que la sommation doit être étendue à tous les indices $i$ et de plus aux lettres accentuées.

S’il y a, par exemple, $q$ lettres $y_{i}$ sans accent et $\lambda$ lettres $y_{i}'$ affectées d’accent, on aura

${\begin{aligned}\Sigma 'x_{i}^{0}\,dw_{i}&=x_{1}^{0}\,dw_{1}+x_{2}^{0}\,dw_{2}+\ldots +x_{q}^{0}\,dw_{q}\\&+x_{1}'^{0}\,dw_{1}'+x_{2}'^{0}\,dw_{2}'+\ldots +x_{\lambda }'^{0}\,dw_{\lambda }'.\\\end{aligned}}$

Comme, d’autre part, les $x_{i}^{0}$ et les $x_{i}'^{0}$ sont des constantes,

$\Sigma 'x_{i}^{0}\,dy_{i}^{k}$

sera toujours une différentielle exacte, de sorte que nous pourrons écrire

(13)

$\left\{{\begin{aligned}\Sigma 'x_{i}^{1}\,dw_{i}&=d\varphi _{1},\\\Sigma 'x_{i}^{2}\,dw_{i}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}&=d\varphi _{2},\\\Sigma '(x_{i}^{3}\,dw_{i}+x_{i}^{2}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{2})&=d\varphi _{3},\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

De plus, $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\varphi _{3},\,\ldots$ devront être des fonctions des $w$ et des $w'$ dont les dérivées seront périodiques.

Voyons comment l’équation

$\Sigma 'x_{i}^{2}\,dw_{i}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}=d\varphi _{2}$

va nous permettre de déterminer $[x_{i}^{2}]\,;$ elle nous donnera

$x_{k}^{2}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\frac {d\varphi _{2}}{dw_{k}}}\cdot$

Mais, comme les dérivées des $\varphi _{2}$ doivent être périodiques, on aura

$\left[{\frac {d\varphi _{2}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} ,$

ce qui nous donne

(14)

$\left[x_{k}^{2}\right]+{\textstyle \sum }\left[x_{i}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]+{\textstyle \sum }\left[x_{i}'^{1}\,{\frac {dy_{i}'^{1}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.}$

Dans cette équation (14) tout est connu, sauf $[x_{k}^{2}].$ Nous connaissons, en effet, $x_{i}^{1},$ $x_{i}'^{1},$ $y_{i}'^{1},$ et nous connaissons également ${\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}},$ puisque nous connaissons $y_{i}^{1}-[y_{i}^{1}].$ Quant à la constante du second membre, une remarque faite plus haut montre qu’elle pourrait être choisie arbitrairement.

Nous pouvons donc calculer $[x_{k}^{2}].$

Calculons maintenant $[y_{i}^{1}]$ à l’aide de l’équation (7, 2, 2). Cette équation s’écrit

(15)

$\sum \,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[y_{i}^{1}]}{dw_{k}'}}={\big [}\mathrm {Y} _{i}^{2}{\big ]}-n_{i}^{2},$

d’où l’on tire, en égalant les valeurs moyennes prises par rapport aux $w',$

(16)

${\big [}{\big [}\mathrm {Y} _{i}^{2}{\big ]}{\big ]}=n_{i}^{2}.$

Or $\mathrm {Y} _{i}^{2}$ ne dépend que des $x_{i}^{1},$ $y_{i}^{1},$ $x_{i}'^{1},$ $y_{i}'^{1}$ et $x_{i}^{2}.$ Les $x_{i}^{1},$ $x_{i}'^{1}$ et $y_{i}^{1}$ sont entièrement connus ; au contraire, nous ne connaissons que $y_{i}^{1}-[y_{i}^{1}]$ et $[x_{i}^{2}].$ Voyons donc comment $\mathrm {Y} _{i}^{2}$ dépend de $x_{i}^{2}$ et de $y_{i}^{1}.$ On trouve

$\mathrm {Y} _{i}^{2}=-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{2}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}\,dw_{k}}}\,y_{k}^{1}+\mathrm {A} ,$

$\mathrm {A}$ étant entièrement connu.

On en déduit

${\begin{aligned}{\big [}\mathrm {Y} _{i}^{2}{\big ]}=&-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\left[x_{k}^{2}\right]\\&-{\boldsymbol {\sum }}\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}\,dw_{k}}}\left(y_{k}^{1}-\left[y_{k}^{1}\right]\right)\right]-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}^{0}\,dw_{k}}}\left[y_{k}^{1}\right]+\left[\mathrm {A} \right].\end{aligned}}$

Comme $\mathrm {R} ^{\star }$ ne dépend pas de $w_{k}$ et que les ${\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}^{0}\,dw_{k}}}$ sont nuls, ${\big [}\mathrm {Y} _{i}^{2}{\big ]}$ est entièrement connu et les équations (16) et (15) nous donneront $n_{i}^{2}$ et $[y_{i}^{1}].$

Nous déterminerons ensuite et successivement $x_{i}^{2}-[x_{i}^{2}]$ par (6, 1, 2), $x_{i}'^{2}-[x_{i}'^{2}]$ par (6, 3, 2), $y_{i}'^{2}-[y_{i}'^{2}]$ par (6, 4, 2), $y_{i}^{2}-[y_{i}^{2}]$ par (6, 2, 2), $[x_{i}'^{2}]$ par (7, 3, 3), $[y_{i}'^{2}]$ et $n_{i}'^{3}$ par (7, 4, 3), $[x_{i}^{3}]$ par (14, 3) [je veux dire par une équation déduite de la troisième équation (13), comme (14) l’a été de la seconde équation (13) un peu plus haut], $y_{i}^{2}$ et $n_{i}^{3}$ par (7, 2, 3), puis $x_{i}^{3}-[x_{i}^{3}],$ $x_{i}'^{3}-[x_{i}'^{3}],$ $y_{i}'^{3}-[y_{i}'^{3}],$ $y_{i}^{3}-[y_{i}^{3}],$ $[x_{i}'^{3}],$ $[y_{i}'^{3}]$ et $n_{i}'^{4},$ $[x_{i}^{4}],$ $[y_{i}^{3}]$ et $n_{i}^{4},$ etc., etc.

Si l’on a soin de faire le calcul dans cet ordre, on ne sera jamais arrêté ; car chaque équation ne contient qu’une seule inconnue, celle qu’il s’agit de déterminer.

Je rappelle d’ailleurs que les valeurs moyennes

$[[x_{i}^{k}]],\quad [[y_{i}^{k}]],\quad [[x_{i}'^{k}]],\quad [[y_{i}'^{k}]]$

peuvent être choisies arbitrairement en fonctions des $x_{i}^{0}$ et des $x_{i}'^{0}.$

Pour que l’intégration soit possible, certaines conditions doivent être remplies ; mais nous savons qu’elles le sont (ce qui ne serait sans doute pas facile à démontrer directement), puisque nous savons d’avance que le développement est possible.

Application au Problème des trois Corps.

152.Nous avons vu au Chapitre XI comment les principes du n^o 134 sont applicables au Problème des trois Corps. Il en sera de même évidemment des résultats du numéro précédent qui se déduisent immédiatement de ces principes. Dans ce Chapitre XI, nous avons successivement adopté les variables suivantes

(1)

$\left\{{\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\tau _{i},\end{array}}\right.$

(2)

$\left\{{\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}\right.$

(3)

$\left\{{\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda _{2}',&v_{i}.\end{array}}\right.$

Avec le système (3) les équations du mouvement prennent la même forme que celles du n^o 134 et du numéro précédent.

Mais le changement de variables qui fait passer du système (2) au système (3) est assez pénible, et le plus souvent les excentricités sont assez petites pour qu’on puisse l’éviter par l’artifice que j’ai indiqué à la fin du n^o 140. Je rappelle en quoi il consiste. Dans la fonction $\mathrm {F} ,$ les termes de $\mu \,\mathrm {F} _{1}$ qui dépendent des puissances des excentricités et des inclinaisons supérieures à la troisième sont très petits. Si donc je pose

$\mu \,\mathrm {F} _{1}=\mu \mathrm {F} _{1}'+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}'$

$\mu \,\mathrm {F} _{1}'$ représentant l’ensemble des termes de degré 3 au plus et $\mu ^{2}F_{2}'$ les termes de degré 4 au moins, $\mu ^{2}F_{2}'$ sera très petit et $\mathrm {F} _{2}'$ sera fini. Je pourrai écrire alors

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}'+\mu ^{2}(\mathrm {F} _{2}'+\mathrm {F} _{2})+\mu ^{3}\mathrm {F} _{3}+\ldots$

et $\mathrm {F}$ sera encore développé suivant les puissances de $\mu .$ Mais, si l’on considère $\mathrm {F} _{1}'$ comme fonction périodique de $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}',$ sa valeur moyenne ne dépendra pas des $\omega _{i}$ de sorte qu’avec les variables (2) les conditions du n^o 134 sont remplies.

Il est vrai que la signification du paramètre $\mu$ devient ainsi un peu différente de celle que nous lui attribuons d’ordinaire ; mais cela importe peu, puisque le but de ce paramètre est seulement de mettre en évidence l’ordre de grandeur des différents termes.

Une fois ces conventions faites, les résultats du numéro précédent deviennent immédiatement applicables au problème qui nous occupe. Mais, afin d’éviter les difficultés qui ont fait l’objet du Chapitre XII, j’adopterai, au lieu des variables (2), les variables (1), ce qui amènera dans ces résultats quelques modifications sur lesquelles il est nécessaire d’insister. Pour plus de symétrie dans les notations, j’écrirai dans le reste de ce Chapitre $\lambda$ et $\lambda '$ au lieu de $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}',$ $\mathrm {F} _{1}$ au lieu de $\mathrm {F} _{1}',$ $\mathrm {F} _{2}$ au lieu de $\mathrm {F} _{2}'+\mathrm {F} _{2}.$ Il ne peut, en effet, en résulter aucune confusion.

Nous savons que les variables (2) sont, au point de vue formel, développables suivant les puissances croissantes de la manière suivante

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\Lambda &={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\Lambda _{k},&\Lambda '&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\Lambda _{k}',\\\lambda &={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\lambda _{k},&\lambda '&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\lambda _{k}',\\\rho _{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\rho _{i}^{k},&\omega _{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\omega _{i}^{k}.\end{aligned}}\right.$

Les $\Lambda _{k},\,\Lambda _{k}',\,\lambda _{k},\,\lambda _{k}',\,\rho _{i}^{k},\,\omega _{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des $w$ et des $w',$ sauf le cas de $k=0\,;$ $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}'$ et les $\rho _{i}^{0}$ sont des constantes ; $\lambda _{0}$ et $\lambda _{0}'$ se réduisent à $w_{1}$ et $w_{2}$ et $\omega _{i}^{0}$ à $w_{i}'.$

Si nous adoptons les variables (1) on aura de même

(4′)

${\begin{aligned}\sigma _{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\sigma _{i}^{k},&\tau _{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\tau _{i}^{k},\end{aligned}}$

où $\sigma _{i}^{k}$ et $\tau _{i}^{k}$ seront des fonctions périodiques des $w$ et des $w',$ et il viendra, si l’on égale pour abréger à $x_{i}^{0}$ la constante ${\sqrt {2\rho _{i}^{0}}},$

${\begin{alignedat}{3}\sigma _{i}^{0}&={\sqrt {2\rho _{i}^{0}}}\cos \omega _{i}^{0}&{}={}&x_{i}^{0}\cos w_{i}',\\\tau _{i}^{0}&={\sqrt {2\rho _{i}^{0}}}\sin \omega _{i}^{0}&{}={}&x_{i}^{0}\sin w_{i}'.\end{alignedat}}$

J’ajoute que

$\Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\rho _{i}\,d\omega _{i}$

devant être une différentielle exacte, il en sera de même de

$\Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}$

puisque

${\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}={\textstyle \sum }\,\rho _{i}\,d\omega _{i}+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,d(\sigma _{i}\tau _{i}).$

Si nous donnons à $w_{i},\,w_{i}',\,n_{i},\,n_{i}',\,\ldots$ le même sens que dans le numéro précédent, nos équations vont s’écrire

(5)

${\textstyle \sum }\,n_{k}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}'{\frac {d\Lambda }{dw_{k}'}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }},$

équation analogue à l’équation (3) du numéro précédent comme les développements (4) sont analogues aux développements (2) du numéro précédent.

À l’équation (5) il faut naturellement en adjoindre d’autres où les lettres $\Lambda$ et $\lambda$ sont respectivement remplacées par $\Lambda '$ et $\lambda ';$ $\lambda$ et $-\Lambda ,$ $\Lambda '$ et $-\Lambda ',$ $\sigma _{i}$ et $\tau _{i},$ $\tau _{i}$ et $-\sigma _{i}.$ J’ajoute que le nombre des paramètres $w$ est de 2 dans le Problème des trois Corps et de $n-1$ dans le Problème des $n$ Corps ; tandis que le nombre des paramètres $w'$ est de 4 dans le Problème des trois Corps, de $2n-2$ dans le Problème des $n$ Corps dans l’espace, et seulement de $n-1$ dans le Problème des $n$ Corps dans le plan.

Substituons les développements (4) et ceux des $n_{i}$ et des $n_{i}'$ dans les équations (5), les deux membres de ces équations deviendront développables selon les puissances de $\mu$ et nous pourrons écrire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {L} _{p},&{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda '}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {L} _{p}',\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}l_{p},&-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda '}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}l_{p}',\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {S} _{i}^{p},&-{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\Theta _{i}^{p},\end{aligned}}$

équations analogues aux équations (9) et (10) du n^o 127 et à d’autres équations rencontrées au numéro précédent.

Poursuivons toujours le calcul comme au numéro précédent et posons

${\textstyle \sum }_{k}\,{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}=\Sigma '\mu ^{p}n_{k}^{0}{\frac {d\Lambda _{p}}{dw_{k}}}+\Sigma \mu ^{p}n_{k}^{p}{\frac {d\Lambda _{0}}{dw_{k}}}-\Sigma \mu ^{p}\mathrm {Z} _{p},$

équations où les signes $\Sigma$ et $\Sigma '$ ont même sens que dans l’équation (4) du numéro précédent et à laquelle il faut adjoindre d’autres équations où les lettres

$\Lambda ,\quad \Lambda _{p},\quad \Lambda _{0},\quad \mathrm {Z} _{p}$

sont remplacées par les mêmes lettres accentuées ou par

$\lambda ,\quad \lambda _{p},\quad \lambda _{0},\quad \mathrm {T} _{p},$

ou par les mêmes lettres accentuées, ou par

$\sigma _{i},\quad \sigma _{i}^{p},\quad \sigma _{i}^{0},\quad \mathrm {S} _{i}^{p},$

ou enfin par

$\tau _{i},\quad \tau _{i}^{p},\quad \tau _{i}^{0},\quad \mathrm {T} _{i}^{p}.$

On voit qu’il faut éviter de confondre les lettres $\mathrm {Z} _{p}$ et $\mathrm {Z} _{i}^{p},\,$ $\mathrm {T} _{p}$ et $\mathrm {T} _{i}^{p}.$

Nous poserons de même

${\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'{\frac {d\Lambda }{dw_{k}'}}=\Sigma '\mu ^{p}n_{k}'^{1}{\frac {d\Lambda _{p-1}}{dw_{k}'}}+\Sigma \mu ^{p}n_{k}'^{p}{\frac {d\Lambda _{0}}{dw_{k}'}}-\Sigma \mu ^{p}\mathrm {U} _{p},$

équation où les signes $\Sigma$ et $\Sigma '$ ont même sens que dans l’équation (5) du numéro précédent et à laquelle il convient d’adjoindre d’autres équations de même forme où les lettres

$\Lambda ,\quad \Lambda _{p-1},\quad \Lambda _{0},\quad \mathrm {U} _{p}$

sont remplacées par les mêmes lettres accentuées ou par

$\lambda ,\quad \lambda _{p-1},\quad \lambda _{0},\quad \mathrm {V} _{p},$

ou par les mêmes lettres accentuées, ou par

$\sigma _{i},\quad \sigma _{i}^{p-1},\quad \sigma _{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{p}$

ou

$\tau _{i},\quad \tau _{i}^{p-1},\quad \tau _{i}^{0},\quad \mathrm {V} _{i}^{p}.$

Nous pouvons écrire maintenant une série d’équations analogues aux équations (6) du numéro précédent.

Si nous posons, pour abréger, pour une fonction $u$ quelconque

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}^{0}{\frac {du}{dw_{k}}}&=\Delta u,\\{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'^{0}{\frac {du}{dw_{k}'}}&=\Delta 'u,\end{aligned}}$

ces équations s’écriront

(6)

$\left\{{\begin{alignedat}{7}\Delta \Lambda _{p}&{}+{}&\Delta '\Lambda _{p-1}&=\mathrm {L} _{p}&{}+{}&\mathrm {Z} _{p}&{}+{}&\mathrm {U} _{p},\\\Delta \lambda _{p}&{}+{}&\Delta '\lambda _{p-1}&=l_{p}&{}+{}&\mathrm {T} _{p}&{}+{}&\mathrm {V} _{p}-n_{1}^{p},\\\Delta \sigma _{i}^{p}&{}+{}&\Delta '\sigma _{i}^{p-1}&=\mathrm {S} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {Z} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {U} _{i}^{p}+n_{i}'^{p}x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\\\Delta \tau _{i}^{p}&{}+{}&\Delta '\tau _{i}^{p-1}&=\Theta _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {T} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {V} _{i}^{p}-n_{i}'^{p}x_{i}'^{0}\cos w_{i}'.\end{alignedat}}\right.$

Aux deux premières équations (6), il convient d’en ajouter deux autres, qui en diffèrent parce que toutes les lettres y sont accentuées, à l’exception de $n_{1}^{p}$ qui est remplacé par $n_{2}^{p}.$ De même qu’au numéro précédent, pour $p=0,$ le premier membre doit être supprimé, et pour $p=1$ le second terme du premier membre.

En égalant les valeurs moyennes des deux membres par rapport aux $w,$ on obtiendra des équations analogues aux équations (7) du numéro précédent. Elles s’écriront

(7)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta '\left[\Lambda _{p-1}\right]&=\left[\mathrm {L} _{p}+\mathrm {Z} _{p}+\mathrm {U} _{p}\right],\\\Delta '\,\left[\lambda _{p-1}\right]&=\left[\,l_{p}\,+\mathrm {T} _{p}+\mathrm {V} _{p}\right]-n_{1}^{p},\\\Delta '\left[\sigma _{i}^{p-1}\right]&=\left[\mathrm {S} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}+\mathrm {U} _{i}^{p}\right]+n_{i}'^{p}x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\\\Delta '\left[\tau _{i}^{p-1}\right]&=\left[\Theta _{i}^{p}+\mathrm {F} _{i}^{p}+\mathrm {V} _{i}^{p}\right]-n_{i}'^{p}x_{i}'^{0}\cos w_{i}'.\end{aligned}}\right.$

Pour $p=0$ et $1,$ le premier membre doit être supprime.

Adjoignons encore des équations analogues aux équations (13) et (14) du numéro précédent.

Nous avons vu, en effet, que

$\Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}$

doit être la différentielle exacte d’une fonction dont toutes les dérivées sont périodiques ; il en sera donc de même des expressions suivantes

${\begin{aligned}\Sigma \,\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}&+\Sigma \,\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{0},\\\Sigma \left(\Lambda _{1}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{0}\,d\lambda _{1}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{0}+\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{1}\right)\\\Sigma \left(\Lambda _{2}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{1}\,d\lambda _{1}+\Lambda _{0}\,d\lambda _{2}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{2}\,d\tau _{i}^{0}+\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{1}+\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{2}\right),\;\;\ldots .\end{aligned}}$

Dans chacune de ces expressions, le premier signe $\Sigma$ s’étend aux deux planètes, de telle sorte, par exemple, que

$\Sigma \,\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}=\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{0}'\,d\lambda _{0}'.$

Si nous regardons un instant les $w'$ comme des constantes et les $w$ comme seuls variables, ces expressions demeureront a fortiori des différentielles exactes, mais $d\tau _{i}^{0}$ et $d\sigma _{i}^{0}$ seront nuls, de sorte que

$\sigma _{i}^{p}\,d\tau _{i}^{0}\quad$ et $\quad \sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{p}=d\left(\sigma _{i}^{0}\tau _{i}^{p}\right)$

seront des différentielles exactes. Comme il en est de même de $\Lambda _{0}\,d\lambda _{p},$ et que $\lambda _{0}=w_{1},$ $\lambda _{0}'=w_{2},$ les expressions

${\begin{aligned}\Lambda _{1}\,dw_{1}&+\Lambda _{1}'\,dw_{2},\\\Lambda _{2}\,dw_{1}+\Lambda _{2}'\,dw_{2}&+\Sigma \,\Lambda _{1}\,d\lambda _{1}+\Sigma \,\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{1},\\\Lambda _{3}\,dw_{1}+\Lambda _{3}'\,dw_{2}+\Sigma \left(\Lambda _{2}\,d\lambda _{1}+\Lambda _{1}\,d\lambda _{2}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{2}\,d\tau _{i}^{1}+\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{2}\right),\;\;\ldots .\end{aligned}}$

seront encore les différentielles exactes de fonctions dont les dérivées sont périodiques et dont, par conséquent, les dérivées par rapport à $w_{1}$ et $w_{2}$ ont une valeur moyenne indépendante des $w'.$

En raisonnant alors comme au numéro précédent quand nous avons déduit les équations (14) des équations (13), nous trouverons

(8)

$\left\{{\begin{aligned}\left[\Lambda _{1}\right]&=\mathrm {const.} ,\\\left[\Lambda _{2}\right]+\Sigma \left[\Lambda _{1}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{1}}}\right]+\Sigma \left[\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{1}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\\left[\Lambda _{3}\right]+\Sigma \left[\Lambda _{2}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{1}}}+\Lambda _{1}{\frac {d\lambda _{2}}{dw_{1}}}\right]+\Sigma \left[\sigma _{i}^{2}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{1}}}+\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{2}}{dw_{1}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

Considérons d’abord les équations (6) en y faisant $p=0\,;$ nous verrons facilement qu’elles sont satisfaites d’elles-mêmes pourvu que (ainsi que nous l’avons supposé) $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'$ soient des constantes, $\lambda _{0}$ et $\lambda _{0}'$ se réduisent à $w_{1}$ et $w_{2},$ $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}$ à $x_{i}'^{0}\cos w_{i}'$ et $x_{i}'^{0}\sin w_{i}',$ que $n_{i}'^{1}$ soit nul, et que $n_{i}^{0}$ ait une valeur convenable.

Passons maintenant aux équations (7) en y faisant $p=1,$ il viendra, comme aux équations (8) du numéro précédent,

(8 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\big [}\mathrm {L} _{1}{\big ]}&=0,&{\big [}\,l_{1}{\big ]}&=n_{1}^{1},\\{\big [}\mathrm {S} _{i}^{1}{\big ]}&=-n_{i}'^{1}\tau _{i}^{0},&{\big [}\Theta _{i}^{1}{\big ]}&=-n_{i}'^{1}\sigma _{i}^{0}.\end{aligned}}\right.$

Nous reconnaîtrions, comme au numéro précédent, que ${\big [}\mathrm {L} _{1}{\big ]},$ ${\big [}\mathrm {S} _{i}^{1}{\big ]},$ et ${\big [}\Theta _{i}^{1}{\big ]}$ sont les dérivées de $\mathrm {R}$ par rapport à $\lambda ,$ à $\tau _{i}$ et à $-\sigma _{i}\,;$ il faut, bien entendu, remplacer dans $\mathrm {R} ,$ $\Lambda ,\,\lambda ,\,\sigma _{i}$ et $\tau _{i}$ par $\Lambda _{0},\,\lambda _{0},\,\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}.$ Or nous avons trouvé au Chapitre X l’expression de $\mathrm {R} ,$ qui est

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{2}+\tau _{i}^{2}\right)+\mathrm {B} ,$

$\mathrm {B}$ et $\mathrm {A} _{i}$ étant des fonctions de $\Lambda$ et $\Lambda '.$

On voit ainsi que les équations (8 bis), sauf la deuxième, sont satisfaites d’elles-mêmes, pourvu que

$n_{i}'^{1}=-2\mathrm {A} _{i}^{0}$

(où $\mathrm {A} _{i}^{0}$ et $\mathrm {B} _{0}$ sont ce que deviennent $\mathrm {A} _{i}$ et $\mathrm {B}$ quand on y remplace les $\Lambda$ par les $\Lambda _{0}$), car

${\begin{aligned}{\big [}\mathrm {L} _{1}{\big ]}&=0,&{\big [}\mathrm {S} _{i}^{1}{\big ]}&=2\mathrm {A} _{i}^{0}\tau _{i}^{0},&{\big [}\Theta _{i}^{1}{\big ]}&=-2\mathrm {A} _{i}^{0}\sigma _{i}^{0}.\end{aligned}}$

D’autre part,

${\big [}\,l_{1}{\big ]}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}^{2}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}\,d\Lambda _{0}'}}{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}-{\textstyle \sum }\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}^{0}}{d\Lambda _{0}}}\left(x_{i}'^{0}\right)^{2}-{\frac {d\mathrm {B} _{0}}{d\Lambda _{0}}},$

comme ${\big [}\Lambda _{1}{\big ]}$ et ${\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}$ doivent être des constantes, ainsi que nous l’avons vu plus haut, ${\big [}\,l_{1}{\big ]}$ sera également une constante, ce qui nous permettra de l’égaler à $n_{1}^{1}.$

Pour continuer le calcul, en suivant le même ordre que dans le numéro précédent, il nous faut maintenant considérer les équations (6, 1, 1), (6, 3, 1), (6, 4, 1).

Les premiers membres se réduiront à

$\Delta \Lambda _{1},\quad \Delta \sigma _{i}^{1},\quad \Delta \tau _{i}^{1},$

et les seconds membres seront des fonctions connues et périodiques des $w$ et des $w'$ dont la valeur moyenne, par rapport aux $w,$ sera nulle, puisque les équations (7) $(p=1)$ sont satisfaites.

On pourra donc opérer l’intégration comme au numéro précédent et au n^o 127, et l’on connaîtra

$\Lambda _{1}-{\big [}\Lambda _{1}{\big ]},\quad \sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad \tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}\,;$

comme nous savons que ${\big [}\Lambda _{1}{\big ]}$ se réduit à une constante et que cette constante peut être choisie arbitrairement, nous pouvons regarder $\Lambda _{1}$ comme entièrement connu.

Envisageons l’équation (6, 2, 1) dont le premier membre se réduit $\Delta \lambda _{1}.$ Comme le second membre ne contenait d’autre quantité inconnue que $\Lambda _{1},$ il devient une fonction connue des $w$ et des $w'$ et le procédé que nous venons d’appliquer nous donnera

$\lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}.$

Il faut maintenant déterminer ${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}$ et ${\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}$ à l’aide des équations (7, 3, 2) et (7, 4, 2). Le second membre de ces équations n’est pas entièrement connu. Ils ne dépendent pas, en effet, des ${\big [}\lambda _{1}{\big ]},$ mais ils dépendent des ${\big [}\Lambda _{1}{\big ]},$ des ${\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}$ et des ${\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}.$ Les termes qui dépendent de ces quantités peuvent s’écrire :

1^o Dans l’équation (7, 3, 2) par exemple,

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\Lambda _{0}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}.$

Le premier terme est connu puisque ${\big [}\Lambda _{1}{\big ]}$ est connu. D’après la forme de la fonction $\mathrm {R} ^{\star }$ donnée plus haut, toutes les dérivées secondes sont nulles, sauf ${\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{{d\tau _{i}^{0}}^{2}}}\cdot$ Les deux derniers termes se réduiront donc à

$2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}=-n_{i}'^{1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}.$

Il y a, en outre, dans le second membre de (7, 3, 2), un terme en $n_{i}'^{2}x_{i}'^{0}\sin w_{i}'$ et, dans le second membre de (7, 4, 2), un terme en $-n_{i}'^{2}x_{i}'^{0}\cos w_{i}'$ qui contiennent la quantité inconnue $n_{i}'^{2}.$

Le second membre de (7, 3, 2) est donc égal à $-n_{i}'^{1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},$ plus une fonction connue des $w'$ (et de $n_{i}'^{2}$). De même, le second membre de (7, 4, 2) se réduira à une fonction connue des $w'$ (et de $n_{i}'^{2}$) ; de sorte que nos équations deviendront

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta '{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}+n_{i}'^{1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}&=\varphi _{1}+n_{i}'^{2}x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\\[0.5ex]\Delta '{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}-n_{i}'^{1}{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}&=\varphi _{2}-n_{i}'^{2}x_{i}'^{0}\cos w_{i}',\end{aligned}}\right.$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ étant des fonctions périodiques connues des $w'.$ Soit, pour abréger,

$h=m_{1}'w_{1}'+m_{2}'w_{2}'+\ldots +m_{q}'w_{q}',$

les $m'$ étant des entiers quelconques, et de même

$\mathrm {N} =m_{1}'n_{1}'^{1}+m_{2}'n_{2}'^{1}+\ldots +m_{q}'n_{q}'^{1}.$

Soient

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}\cos h&+\mathrm {B} _{1}\sin h,\\\mathrm {A} _{2}\cos h&+\mathrm {B} _{2}\sin h\end{aligned}}$

les termes en $h$ dans les fonctions connues $\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}.$ Soient

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}\cos h&+\mathrm {D} _{1}\sin h,\\\mathrm {C} _{2}\cos h&+\mathrm {D} _{2}\sin h\end{aligned}}$

les termes en $h$ dans les fonctions inconnues ${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}$ et ${\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}.$ Il s agit de calculer les coefficients $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$ en fonction des coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Les équations (9) nous donnent, en identifiant,

(10)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {ND} _{1}+n_{i}'^{1}\mathrm {C} _{2}&=\mathrm {A} _{1},\\-\mathrm {NC} _{1}+n_{i}'^{1}\mathrm {D} _{2}&=\mathrm {B} _{1},\\\mathrm {ND} _{2}-n_{i}'^{1}\mathrm {C} _{1}&=\mathrm {A} _{2},\\-\mathrm {NC} _{2}-n_{i}'^{1}\mathrm {D} _{1}&=\mathrm {B} _{2}.\end{aligned}}\right.$

Ces équations (10) nous feront connaître les coefficients inconnus $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D} ,$ à moins que le déterminant ne soit nul ; or ce déterminant est égal à

$\left[\mathrm {N} ^{2}-\left(n_{i}'^{1}\right)^{2}\right]^{2}.$

Il ne peut donc s’annuler que si

$\mathrm {N} =\pm n_{i}'^{1},$

c’est-à-dire (puisqu’il n’y a aucune relation linéaire à coefficients entiers entre les $n_{k}'^{1}$) si

$h=\pm w_{i}'$

ou (puisque nous ne devons pas considérer comme distincts les termes en $h$ et en $-h$)

$h=w_{i}'.$

Identifions donc en égalant dans les deux membres de (9) les termes en $w_{i}'.$ J’écris $h$ pour abréger au lieu de $w_{i}'$ (et $\mathrm {N}$ au lieu de $n_{i}'^{1}$), puisque je suppose ici $h=w_{i}',$ et je continue à désigner par $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {B} _{1},\,\ldots$ les coefficients de $\cos h,$ $\sin h$ dans les fonctions $\varphi _{1},$ etc. Seulement ici les équations (10) n’auront plus la même forme, parce qu’il faut tenir compte des termes en $n_{i}'^{2}$ qui entrent dans le second membre des équations (9). Nous aurons donc

(10 bis)

$\left\{{\begin{alignedat}{7}\mathrm {N} &(&&\mathrm {D} _{1}+\mathrm {C} _{2}&)&=\mathrm {A} _{1},\\\mathrm {N} &(&-&\mathrm {C} _{1}+\mathrm {D} _{2}&)&=\mathrm {B} _{1}+n_{i}'^{1}x_{i}'^{0},\\\mathrm {N} &(&&\mathrm {D} _{2}-\mathrm {C} _{1}&)&=\mathrm {A} _{2}-n_{i}'^{1}x_{i}'^{0},\\-\mathrm {N} &(&&\mathrm {C} _{2}+\mathrm {D} _{1}&)&=\mathrm {B} _{2}.\end{alignedat}}\right.$

Pour que ces équations soient compatibles, il faut évidemment que

$\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{2}=0$

et

(11)

$\mathrm {A} _{2}-\mathrm {B} _{1}=2n_{i}'^{2}x_{i}'^{0}.$

La première condition doit être remplie d’elle-même, puisque nous savons que le développement est possible. La seconde nous donnera la valeur de $n_{i}'^{2}.$

Ces conditions étant remplies, les équations (10 bis) ne sont plus distinctes. Elles nous donneront $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {D} _{1},$ si nous connaissons $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {D} _{2}.$ Je dis que $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {D} _{2}$ peuvent être choisis arbitrairement. Je le prouverai par un raisonnement analogue à celui du n^o 126. En effet, on ne change pas la forme des séries en ajoutant à $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}',$ aux $x_{i}'^{0},$ aux $w$ et aux $w'$ des fonctions arbitraires de $\mu ,$ des $\mathrm {A} _{0}$ et des $x_{i}'^{0}$ divisibles par $\mu .$ Le nombre de ces fonctions arbitraires est le même que celui des variables, c’est-à-dire de 12 par exemple pour le Problème des trois Corps dans l’espace. On peut donc s’en servir pour satisfaire à 12 conditions. Nous pouvons, par exemple, nous en servir pour que les valeurs moyennes de $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda ,$ $\lambda ',$ ainsi que les coefficients de $\cos w_{i}'$ et $\sin w_{i}'$ dans les quatre fonctions $\tau _{i},$ soient des fonctions arbitraires de $\mu ,$ et des constantes $\mathrm {A} _{0}$ et $x_{i}'^{0}\,;$ ces fonctions devront être développables suivant les puissances de $\mu ,$ et, en considérant séparément les divers termes de ce développement, on verrait que l’on peut choisir arbitrairement les coefficients de $\cos w_{i}'$ et $\sin w_{i}'$ dans les diverses fonctions $\tau _{i}^{p}$ et, en particulier, $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {D} _{2}.$

Les équations (9) nous permettent donc de déterminer ${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}$ et ${\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}.$

Déterminons maintenant ${\big [}\alpha _{2}{\big ]}\,;$ nous nous servirons pour cela de la seconde équation (8), où tout est connu, excepté ${\big [}\mathrm {A} _{2}{\big ]}.$

De même pour ${\big [}\mathrm {A} _{2}'{\big ]}.$

Calculons maintenant ${\big [}\lambda _{1}{\big ]}$ à l’aide de (7, 2, 2). Cette équation [comparez avec l’équation (7, 2, 2) du numéro précédent et avec le raisonnement que nous avons fait quand nous nous en sommes servi pour déterminer ${\big [}y_{i}^{1}{\big ]}$] peut s’écrire

$\Delta '{\big [}\lambda _{1}{\big ]}=\mathrm {A} -n_{1}^{2},$

$\mathrm {A}$ étant une fonction périodique entièrement connue de $w'.$ Cette équation peut s’intégrer si l’on égale $n_{1}^{2}$ à la valeur moyenne de la fonction périodique $\mathrm {A} ,$ de telle sorte que la valeur moyenne du second membre soit nulle. On déterminerait de la même manière ${\big [}\lambda _{1}'{\big ]}$ et $n_{2}^{2}.$ Reste à déterminer ensuite par les mêmes procédés

$\Lambda _{2}-{\big [}\Lambda _{2}{\big ]}$		par		(6, 1, 2),
$\sigma _{i}^{2}-{\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]}$		par		(6, 3, 2),
$\tau _{i}^{2}-{\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]}$		par		(6, 4, 2),
$\lambda _{2}-{\big [}\lambda _{2}{\big ]}$		par		(6, 2, 2),
${\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]},$ ${\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]}$ et $\,n_{i}'^{3}$		par		(7, 3, 3) et (7, 4, 3)
${\big [}\Lambda _{3}{\big ]}\quad \;$		par la troisième équation (8),
${\big [}\lambda _{2}{\big ]}$ et $\,n_{i}^{3}$		par		(7, 2, 3),

et ainsi de suite.

Propriétés diverses.

153.Les six quantités $\Lambda _{p},\,\lambda _{p},\,\sigma _{i}^{p},\,\tau _{i}^{p},\,n_{i}^{p},\,n_{i}'^{p},$ définies dans le numéro précédent, sont des fonctions des $\Lambda _{0},$ des $w,$ des $x_{i}'^{0}$ et des $w_{i}'\,;$ mais, comme on a

${\begin{aligned}\sigma _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\cos w_{i}',&\tau _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\end{aligned}}$

nous pouvons également les considérer comme des fonctions des $\Lambda _{0},$ des $w,$ des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}.$ Je me propose de démontrer que ces fonctions sont développables suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}.$

Cette proposition est susceptible d’un autre énoncé évidemment équivalent. Reprenons les variables $\Lambda _{0},$ $w,$ $x_{i}'^{0},$ $w_{i}'\,;$ nos fonctions $\Lambda _{p},\,\ldots$ seront périodiques par rapport aux $w$ et aux $w',$ et, par conséquent, développables en séries trigonométriques. Soit

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h\$

un terme d’une de ces séries ; je suppose que

$h={\textstyle \sum }\,m_{k}w_{k}+{\textstyle \sum }\,m_{k}'w_{k}',$

les $m_{k}$ et les $m_{k}'$ étant des entiers positifs ou négatifs. Les coefficients $\mathrm {A}$ sont des fonctions des $\Lambda _{0}$ et des $x_{i}'^{0}.$

Eh bien, notre proposition peut s’énoncer comme il suit :

$\mathrm {A}$ est développable suivant les puissances des $x_{i}'^{0}.$ Le développement est divisible par

$\left(x_{i}'^{0}\right)^{|m_{i}'|}$

et tous ses termes contiennent $x_{i}'^{0}$ à une puissance paire si $m_{i}'$ est pair ou à une puissance impaire si $m_{i}'$ est impair.

Pour démontrer cette proposition, je me servirai d’un raisonnement de récurrence. Dans le numéro précédent, nous avons déterminé successivement les fonctions $\mathrm {A} _{p},\,\ldots$ par une série d’équations auxquelles je conserverai ici le même numérotage que dans le numéro précédent.

Il s’agit de démontrer que les valeurs des fonctions déterminées par ces équations sont développables suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}.$

J’observe d’abord que, $\mathrm {F}$ étant développable suivant les puissances des $\sigma _{i}$ et des $\tau _{i},$ les fonctions que nous avons appelées $\mathrm {L} _{p},$ $l_{p},$ $\mathrm {S} _{i}^{p},$ $\Theta _{i}^{p}$ sont développables suivant les puissances de

(12)

$\left\{{\begin{array}{rl}\left.{\begin{array}{rrrrrr}&\Lambda _{1},&\Lambda _{2},&\ldots ,&\Lambda _{p},&\ldots ,\\&\lambda _{1},&\lambda _{2},&\ldots ,&\lambda _{p},&\ldots ,\end{array}}\right\}&\!\!\!\!\scriptstyle {\rm {(et\;des\;m{\hat {e}}mes\;lettres\;accentu{\acute {e}}es)}}\\\left.{\begin{array}{rrrrrr}\sigma _{i}^{0},&\sigma _{i}^{0},&\sigma _{i}^{0},&\ldots ,&\sigma _{i}^{p},&\ldots ,\\\tau _{i}^{0},&\tau _{i}^{0},&\tau _{i}^{0},&\ldots ,&\tau _{i}^{p},&\ldots ,\end{array}}\;\;\;\right.&\end{array}}\right.$

Il en résulte, si l’on se rappelle la signification des quantités $\mathrm {Z} _{p},$ etc., que les seconds membres des équations (6) seront développables suivant les puissances des quantités (12), de leurs dérivées par rapport aux $w$ et $w'$ et enfin des $n_{i}^{p}$ et des $n_{i}'^{p}.$

Je me propose de démontrer que toutes ces quantités, ainsi que les seconds membres des équations (6) et (7), sont développables suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}\,;$ pour cela je vais passer en revue la série des opérations par lesquelles nous avons, dans le numéro précédent, déduit ces quantités les unes des autres et je montrerai qu’aucune d’elles ne peut altérer cette propriété.

Ces opérations sont les suivantes :

1^o Substituer dans le second membre des équations (6), à la place des quantités (12), de leurs dérivées, des $n_{i}^{p}$ et des $n_{i}'^{p},$ leurs valeurs antérieurement calculées. Comme le second membre de (6) est développable suivant les puissances des quantités substituées et que ces quantités substituées (puisque nous raisonnons par récurrence et que nous supposons que les quantités déjà calculées jouissent de la propriété énoncée) sont elles-mêmes développables suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0},$ il est clair que le résultat de la substitution sera aussi développable suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}.$

2^o Prendre la valeur moyenne d’une fonction périodique connue soit par rapport aux $w$ seulement, soit par rapport aux $w$ et aux $w'.$

C’est ce qui arrive quand on déduit le second membre de (7) de celui de (6), ou bien encore lorsqu’on annule la valeur moyenne du second membre de l’équation (7, 2, 2), en égalant $n_{1}^{2}$ à la valeur moyenne de $\mathrm {A}$ (vide supra, vers la fin du numéro précédent).

Comme cette opération consiste à supprimer des termes dans le développement trigonométrique de la fonction considérée, il est clair qu’elle ne peut altérer la proposition énoncée.

3^o Différentier l’une des quantités (12) par rapport à $w$ ou à $w'.$

Soit, comme plus haut,

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h$

un terme du développement de la quantité que nous différentions.

La dérivée de ce terme par rapport à $w_{i}$ sera

$-\mathrm {A} m_{i}\sin h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} m_{i}\cos h$

Sa dérivée par rapport à $w_{i}'$ sera

$-\mathrm {A} m_{i}'\sin h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} m_{i}'\cos h$

Il est clair que, si $\mathrm {A}$ satisfait à la condition énoncée, il en sera de même de

$\pm \mathrm {A} m_{i}\quad$ et de $\quad \pm \mathrm {A} m_{i}'$

4^o Intégrer les équations (6), (7) et (8).

Quelques-unes de ces équations nous donnent immédiatement l’inconnue ; telles sont les équations (8) et celles qui nous donnent les $n_{i}^{p},$ qui doivent être choisis de façon à annuler la valeur moyenne du second membre de (7, 2, p). Mais d’autres équations exigent une intégration : telles sont, par exemple, les équations (6) qui ont la forme

(13)

$n_{1}^{0}\,{\frac {dx}{dw_{1}}}+n_{2}^{0}\,{\frac {dx}{dw_{2}}}=y,$

$x$ étant la fonction inconnue et $y$ une fonction périodique connue. Soit alors

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h$

un terme de $y.$ Le terme correspondant de $x$ s’écrira

${\frac {\mathrm {A} }{n_{1}^{0}m_{1}+n_{2}^{0}m_{2}}}\sin h\quad$ ou $\quad {\frac {\mathrm {A} }{n_{1}^{0}m_{1}+n_{2}^{0}m_{2}}}\cos h.$

Il est clair que, si $\mathrm {A}$ satisfait à la condition énoncée, il en sera de même de

$\pm {\frac {\mathrm {A} }{n_{1}^{0}m_{1}+n_{2}^{0}m_{2}}}\cdot$

Le même raisonnement est applicable à l’équation (7, 2, p) qui, après qu’on a choisi $n_{i}^{p}$ de façon à annuler la valeur moyenne du second membre, prend la forme

(14)

${\textstyle \sum }\,n_{i}'^{1}{\frac {dx}{dw_{i}'}}=y,$

$y$ étant connu et $x$ inconnu, et est ainsi de même forme que (13). Observons d’ailleurs que les $n_{i}'^{1},$ de même que les $n_{i}^{0},$ dépendent des $\Lambda _{0},$ mais non des $x_{i}'^{0}.$ Il convient d’ajouter que cette équation (14) ne détermine l’inconnue $x$ qu’à une constante près, laquelle peut être choisie arbitrairement en fonction des $\Lambda _{0}$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ il faut, bien entendu, pour que le théorème soit vrai, avoir soin de choisir cette fonction arbitraire de telle façon qu’elle soit développable suivant les puissances entières des $(x_{i}'^{0})^{2}.$

De même, les équations (8) ne déterminent $[\Lambda _{p}]$ qu’à une constante près que l’on peut choisir arbitrairement. Il est nécessaire de faire ce choix de telle façon que

${\big [}{\big [}\Lambda _{p}{\big ]}{\big ]}$

soit développable suivant les puissances des $(x_{i}'^{0})^{2}.$

5^o L’intégration des équations (7, 3, p) et (7, 4, p) se traite à peu près de la même manière.

Considérons, par exemple, les équations (9) et reprenons les notations dont nous nous sommes servi dans l’étude de ces équations.

Considérons d’abord le cas où $h$ n’est pas égal à $\pm w_{i}'$ et où le déterminant des équations linéaires (10) n’est pas nul. Il est clair alors que si les coefficients $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {B} _{1},$ $\mathrm {A} _{2},$ $\mathrm {B} _{2}$ satisfont à la condition énoncée, il en sera de même des coefficients $\mathrm {C} _{1},$ $\mathrm {D} _{1},$ $\mathrm {C} _{2},$ $\mathrm {D} _{2}$ tirés de ces équations (10).

Passons maintenant au cas où $h=w_{i}'$ et où les équations (10) doivent être remplacées par les équations (10 bis).

Nous avons d’abord l’équation

$n_{i}'^{2}={\frac {\mathrm {A} _{2}-\mathrm {B} _{1}}{2x_{i}'^{0}}}\cdot$

Nous supposons que $\mathrm {A} _{2}$ et $\mathrm {B} _{1}$ qui sont des coefficients du développement d’une fonction antérieurement calculée satisfont à la condition énoncée, c’est-à-dire qu’ils sont développables suivant les puissances des $x_{k}'^{0},$ qu’ils sont divisibles par $x_{i}'^{0}$ et que le quotient ne contient plus que des puissances paires des $x_{k}'^{0}.$ Il en résulte que $n_{i}'^{2}$ ne contient non plus que des puissances paires des $x_{k}'^{0}$ et satisfait par conséquent à notre proposition.

Revenant ensuite aux équations (10 bis) on voit que $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {D} _{1}$ satisfont à la condition énoncée pourvu que $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {D} _{2}$ y satisfassent. Mais nous avons vu que $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {D} _{2}$ peuvent être choisis arbitrairement ; nous pouvons toujours faire ce choix de façon à y satisfaire et le théorème bien entendu n’est vrai qu’à cette condition.

Puisque aucune de nos opérations ne peut altérer la propriété énoncée, elle est vraie dans toute sa généralité.

154.Observons maintenant que les équations du mouvement ne changent pas, quand, les $\Lambda$ et les $\rho _{i}$ ne changeant pas, les $\lambda$ et les $\omega _{i}$ augmentent d’une même quantité.

Reprenons les développements (4) (je conserve encore le numérotage du n^o 152) ; comme nous pouvons choisir arbitrairement les valeurs moyennes des quantités $\Lambda _{p},$ $\lambda _{p},$ $\Lambda _{p}',$ $\lambda _{p}',$ $\rho _{i}^{p},$ $\omega _{i}^{p},$ par rapport aux $w$ et aux $w',$ je me donnerai d’une manière quelconque toutes ces valeurs moyennes.

Les séries (4) sont alors les seules qui satisfassent formellement aux équations du mouvement et qui satisfassent de plus à cette double condition que toutes ces valeurs moyennes soient déterminées, et que

(15)

${\textstyle \sum }\,\Lambda \,d\lambda +{\textstyle \sum }\,\rho _{i}\,d\omega _{i}$

soit une différentielle exacte.

Le calcul du n^o 152 détermine, en effet, sans ambiguïté les coefficients des séries qui sont assujetties à ces conditions diverses.

Ajoutons maintenant une même constante $\alpha$ à $\lambda ,$ à $\lambda '$ et aux $\omega _{i}\,;$ nous satisferons encore aux équations du mouvement d’après la remarque faite au début de ce numéro, et nos séries (4) n’auront pas changé, sauf que $\lambda _{0},$ $\lambda _{0}'$ et $\omega _{i}^{0}$ seront devenus $w_{1}+\alpha ,$ $w_{2}+\alpha ,$ et $w_{i}'+\alpha .$

Changeons ensuite $w_{i}$ et $w_{i}'$ en $w_{i}-\alpha$ et $w_{i}'-\alpha .$ Les séries conserveront la même forme, c’est-à-dire que les $\Lambda _{p},$ les $\lambda _{p}',$ les $\rho _{i}^{p},$ les $\omega _{i}^{o}\,(p>0)$ seront encore des fonctions périodiques des $w$ et des $w'$ dont la valeur moyenne restera la même. Elles satisferont encore formellement aux équations du mouvement, puisque je n’ai fait que retrancher une constante $\alpha$ aux constante $\varpi _{i}$ et $\varpi _{i}'$ qui sont arbitraires.

Enfin l’expression (15) restera une différentielle exacte.

Ces séries ne pourront donc différer des séries (4) qui sont les seules qui satisfassent à toutes ces conditions.

Cela veut dire que les $\Lambda _{p},$ les $\lambda _{p},$ les $\omega _{i}^{p}\,(p>0)$ ne changent pas quand on diminue à la fois les $w$ et les $w'$ d’une même quantité.

Ou bien encore que si

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h$

est un terme du développement de $\Lambda _{p},$ $\lambda _{p},$ $\rho _{i}^{p}$ ou $\omega _{i}^{p},$ et que

$h={\textstyle \sum }\,m_{i}w_{i}+{\textstyle \sum }\,m_{i}'w_{i}',$

la somme algébrique des entiers $m_{i}$ et $m_{i}'$ doit être nulle.

On en conclurait aisément que, si

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h$

est un terme de $\sigma _{i}^{p}$ ou $\tau _{i}^{p},$ cette même somme algébrique doit être égale à $\pm 1\,;$ j’ajoute que cette somme est nulle dans le développement de

${\begin{aligned}\sigma _{i}^{p}\cos w_{k}&+\tau _{i}^{p}\sin w_{k},\\\tau _{i}^{p}\cos w_{k}&-\sigma _{i}^{p}\sin w_{k}\end{aligned}}$

(et dans celui des mêmes expressions où $w_{k}$ serait remplacé par $w_{k}'$).

Des considérations de symétrie et un raisonnement analogue nous conduiraient à d’autres propriétés.

Ainsi, tout étant symétrique par rapport au plan des $xz,$ les équations du mouvement ne changeront pas quand on changera les signes de $\lambda ,$ de $\lambda '$ et des $\tau _{i}$ sans changer $\Lambda ,$ $\Lambda '$ et les $\sigma _{i}.$

Alors supposons que, dans les développements (4), les valeurs moyennes des $\lambda _{p}$ et des $\tau _{i}^{p}$ que l’on peut choisir arbitrairement soient nulles. Changeons maintenant

$\lambda ,\quad \lambda ',\quad \tau _{i}$

en

$-\lambda ,\quad -\lambda ',\quad -\tau _{i}$

et, en même temps, $w_{i}$ et $w_{i}'$ en

$-w_{i}\quad$ et $\quad -w_{i}'.$

Les séries (4) conserveront la même forme, elles ne cesseront pas de satisfaire aux équations du mouvement. Les valeurs moyennes des $\Lambda _{p}$ et $\sigma _{i}^{p}$ ne changeront pas ; celles des $\lambda _{p}$ et $\tau _{i}^{p}$ resteront nulles. Enfin l’expression (15) restera une différentielle exacte.

Il faut pour cela que les séries (4) n’aient pas changé. Donc les $\Lambda _{p}$ et les $\sigma _{i}^{p}$ ne changent pas, les $\lambda _{p}$ et les $\tau _{i}^{p}$ changent de signe quand les $w$ et les $w'$ changent de signe.

Cela veut dire que le développement des $\Lambda$ et des $\sigma _{i}$ ne contient que des cosinus, tandis que celui des $\lambda$ et des $\tau _{i}$ ne contient que des sinus.

De même tout est symétrique par rapport au plan des $xy$ et l’on peut en tirer d’autres conclusions.

Supposons qu’on ait affaire au Problème des trois Corps dans l’espace, et soient

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4},\\\lambda ,&\lambda ',&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}$

Les troisième et quatrième paires de variables définissent les excentricités et les périhélies ; les deux dernières paires de variables définissent les inclinaisons et les nœuds.

En vertu de la symétrie que je viens de signaler les équations ne changeront pas si $\sigma _{3},$ $\sigma _{4},$ $\tau _{3}$ et $\tau _{4}$ changent de signe, les autres variables demeurant inaltérées.

On verrait alors, par un raisonnement tout pareil à ceux qui précèdent, que les séries (4) ne changent pas, si l’on change à la fois

$\sigma _{3},\quad \sigma _{4},\quad \tau _{3},\quad \tau _{4},\quad w_{3}',\quad w_{4}'$

en

$-\sigma _{3},\quad -\sigma _{4},\quad -\tau _{3},\quad -\tau _{4},\quad w_{3}'+\pi ,\quad w_{4}'+\pi .$

On doit en conclure que, dans les développements (4) qui procèdent suivant les cosinus et les sinus de

$h={\textstyle \sum }\,m_{i}w_{i}+{\textstyle \sum }\,m_{i}'w_{i}',$

la somme $m_{3}'+m_{4}'$ doit être paire dans le développement de

${\begin{array}{cccc}\Lambda &\Lambda '&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\\lambda &\lambda '&\tau _{1}&\tau _{2}\end{array}}$

et impaire, au contraire, dans le développement de

${\begin{array}{rr}\sigma _{3},&\sigma _{4},\\\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}$

155.Au n^o 152, j’ai employé pour simplifier l’exposition et les calculs un artifice dont j’avais déjà parlé à la fin du n^o 140 et que j’ai rappelé au commencement du n^o 152. Il consiste à regarder comme du second ordre des termes qui ne contiennent les masses qu’au premier degré.

Cet artifice est légitime à cause de l’extrême petitesse de ces termes ; mais il n’est pas sans inconvénient. En effet, la signification du paramètre $\mu$ s’en trouve altérée. En faisant $\mu =0,$ on tombe sur un cas particulier du Problème des trois Corps, celui où les masses perturbatrices sont nulles et le mouvement képlérien ; en donnant à $\mu$ une certaine valeur très petite déterminée, on tombe sur un autre cas particulier du Problème des trois Corps, celui qui correspond aux véritables masses des corps que l’on considère. Mais, si l’on donne à $\mu$ une valeur intermédiaire, les équations sont celles d’un problème de Dynamique qui n’a plus aucun rapport avec le Problème des trois Corps.

Il n’en serait pas de même si l’on avait conservé à la lettre $\mu$ sa signification primitive, que nous avons définie au n^o 11 ; quelle que soit alors la valeur attribuée à $\mu ,$ les équations sont celles d’un cas particulier du Problème des trois Corps correspondant à certaines valeurs des masses.

Il serait donc bien plus satisfaisant de restituer à la lettre $\mu$ sa signification primitive et de chercher à développer nos variables non seulement suivant les puissances de $\mu ,$ mais encore suivant celles de ces constantes que nous avons appelées $x_{i}'^{0}$ et qui sont de l’ordre des excentricités.

Les équations du mouvement sont encore de même forme ; seulement la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}$ que j’appellerai toujours $\mathrm {R}$ a une expression plus compliquée. On n’a plus simplement, comme au n^o 152,

(16)

$\mathrm {R} =\mathrm {B} +{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{2}+\tau _{i}^{2}\right)\,;$

mais $\mathrm {R}$ est développable suivant les puissances croissantes de $\sigma _{i}$ et $\tau _{i}$ et le second membre de (16) représente seulement les premiers termes du développement, à savoir ceux de degré 0 et de degré 2 (tous les termes étant comme on sait de degré pair).

Développons donc nos variables (1) suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ conservons les développements (4) et soit, d’autre part,

(17)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\Lambda _{p}&=\Lambda _{p.0}&{}+{}&\Lambda _{p.1}&{}+{}&\Lambda _{p.2}&{}+{}&\ldots ,\\\lambda _{p}&=\lambda _{p.0}&{}+{}&\lambda _{p.1}&{}+{}&\lambda _{p.2}&{}+{}&\ldots ,\\\sigma _{i}^{p}&=\sigma _{i}^{p.0}&{}+{}&\sigma _{i}^{p.1}&{}+{}&\sigma _{i}^{p.2}&{}+{}&\ldots ,\\\tau _{i}^{p}&=\tau _{i}^{p.0}&{}+{}&\tau _{i}^{p.1}&{}+{}&\tau _{i}^{p.2}&{}+{}&\ldots ,\\\end{alignedat}}\right.$

où

$\Lambda _{p.q},\quad \lambda _{p.q},\quad \sigma _{i}^{p.q},\quad \tau _{i}^{p.q}$

représentent l’ensemble des termes qui sont de degré $q$ par rapport aux $x_{i}'^{0}.$

Je suppose toujours

${\begin{aligned}\Lambda _{0}&=\mathrm {const.} ,&\lambda _{0}&=w_{1},\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$\Lambda _{0.q}-l_{0.q}=0\quad \mathrm {pour} \quad q>0\,;$

mais je ne suppose plus

${\begin{aligned}\sigma _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\cos w_{i}',&\tau _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.\end{aligned}}$

Je suppose que

$\sigma _{i}^{0.0}=\tau _{i}^{0.0}=0\,;$

${\begin{aligned}\sigma _{i}^{0.1}&=x_{i}'^{0}\cos w_{i}',&\tau _{i}^{0.1}&=x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.\end{aligned}}$

Mais $\sigma _{i}^{0.q},\,\tau _{i}^{0.q}$ ne seront pas nuls.

Ces hypothèses faites, reprenons le calcul du n^o 152.

Nous avons envisagé d’abord les équations (6) en y faisant $p=0.$ Ces équations seront satisfaites pourvu que, $n_{i}'^{0}$ étant nul, $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}$ ne dépendent pas des $w_{i},$ mais seulement des $w_{i}',$ ce que nous supposerons.

Viennent ensuite les équations (7), en y faisant p = 1 (cf. équations 8 bis du n^o 152) ; mais il importe de remarquer que la forme des équations (6) et (7) est un peu modifiée.

Envisageons, en effet, dans (6, 3, p), (6, 4, p), (7, 3, p), (7, 4, p), le dernier terme du deuxième membre. Ce terme doit s’écrire

(18)

$\left\{{\begin{array}{lr}\mathrm {Pour} \;(6,\,3,\,p).....&-\Sigma _{k}\,n_{k}^{p}{\dfrac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}}}-\Sigma \,n_{k}^{'}p{\dfrac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}},\\\mathrm {Pour} \;(6,\,4,\,p).....&-\Sigma _{k}\,n_{k}^{p}{\dfrac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}-\Sigma \,n_{k}^{'}p{\dfrac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}},\\\mathrm {Pour} \;(7,\,3,\,p).....&-\Sigma \,n_{k}^{'}p{\dfrac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}},\\\mathrm {Pour} \;(7,\,4,\,p).....&-\Sigma \,n_{k}^{'}p{\dfrac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\cdot \end{array}}\right.$

Au n^o 152, $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}$ se réduisant à

$x_{i}'^{0}\cos w_{i}'\quad$ et $\quad x_{i}'^{0}\sin w_{i}',$

ces quatre termes se réduisaient à

$\pm n_{i}'^{p}x_{i}'^{0}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}w_{i}'\,;$

mais ici il n’en est plus de même et il faut conserver à ces termes leur expression (18).

Les équations (7) pour $p=1$ s’écriront alors

(19)

$\left\{{\begin{aligned}{\big [}\mathrm {L} _{1}{\big ]}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\lambda _{0}}}=0,&{\big [}\,l_{1}{\big ]}&=n_{1}^{1},\\{\frac {d\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}{\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}},&-{\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Il faut supposer, bien entendu, que dans $\mathrm {R}$ on a remplacé $\Lambda ,$ $\lambda ,$ $\sigma _{i}$ et $\tau _{i}$ par $\Lambda _{0},$ $\lambda _{0},$ $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}.$

Ces équations sont, sous une forme différente, les mêmes qui ont fait l’objet du Chapitre X. La première est satisfaite d’elle-même. Examinons donc les deux dernières équations qui doivent déterminer $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}.$

Développons les $n_{i}'^{1}$ suivant les puissances des $x_{i}'^{0}$ et soit

(20)

$n_{i}'^{1}=n_{i}'^{1.0}+n_{i}'^{1.2}+n_{i}'^{1.3}+\ldots ,$

$n_{i}'^{2.q}$ étant l’ensemble des termes de degré $q$ par rapport aux $x_{i}'^{0}.$

Substituons, dans les deux dernières équations (19), les développements (17) et (20) à la place des $\sigma _{i}^{0},$ des $\tau _{i}^{0},$ des $n_{k}'^{1},$ et égalons les termes de même degré dans les deux membres. Posons d’ailleurs pour abréger

$\Delta ''u={\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1.0}{\frac {du}{dw_{k}'}}\cdot$

Si nous égalons les termes de premier degré par rapport aux $x_{i}'^{0},$ il viendra

${\begin{aligned}\Delta ''\sigma _{i}^{0.1}&=2\mathrm {A} _{i}^{0}\tau _{i}^{0.1};&\Delta ''\tau _{i}^{0.1}&=-2\mathrm {A} _{i}^{0}\sigma _{i}^{0.1};\end{aligned}}$

ces équations sont satisfaites pourvu que

$n_{i}'^{1.0}=-2\mathrm {A} _{i}^{0}.$

Supposons maintenant que l’on ait déterminé

${\begin{array}{rrrr}\sigma _{i}^{0.1},&\sigma _{i}^{0.2},&\ldots ,&\sigma _{i}^{0.q-1},\\\tau _{i}^{0.1},&\tau _{i}^{0.2},&\ldots ,&\tau _{i}^{0.q-1},\\n_{i}'^{1.0},&n_{i}'^{1.1},&\ldots ,&n_{i}'^{1.q-2},\end{array}}$

et que l’on se propose de déterminer

$\sigma _{i}^{0.q},\quad \tau _{i}^{0.q},\quad n_{i}'^{1.q-1}$

Égalons dans les deux membres des deux dernières équations (19) les termes de degré $q.$ Ces termes seront :

Dans la troisième équation :

Premier membre. 	$2\mathrm {A} _{i}\tau _{i}^{0.q}+{}$ quantités connues.
Second membre.. 	$\Delta ''\sigma _{i}^{0.q}+n_{i}'^{1.q-1}{\frac {d\sigma _{i}^{0.1}}{dw_{i}'}}+{}$ quantités connues.

Dans la quatrième équation :

Premier membre. 	$-2\mathrm {A} _{i}\sigma _{i}^{0.q}+{}$ quantités connues.
Second membre.. 	$\Delta ''\tau _{i}^{0.q}+n_{i}'^{1.q-1}{\frac {d\tau _{i}^{0.1}}{dw_{i}'}}+{}$ quantités connues.

Nous pouvons donc écrire

(21)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta ''\sigma _{i}^{0.q}+n_{i}'^{1.0}\tau _{i}^{0.q}&=\varphi _{1}+n_{i}'^{1.q-1}x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\\\Delta ''\tau _{i}^{0.q}+n_{i}'^{1.0}\sigma _{i}^{0.q}&=\varphi _{2}+n_{i}'^{1.q-1}x_{i}'^{0}\cos w_{i}',\end{aligned}}\right.$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ étant des fonctions périodiques connues des $w'.$

L’analogie de ces équations avec les équations (9) est évidente. On passe des unes aux autres en changeant ${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},$ ${\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},$ $n_{k}'^{1},$ $n_{i}'^{1},$ en $\sigma _{i}^{0.q},$ $\tau _{i}^{0.q},$ $n_{k}'^{1.0},$ $n_{i}'^{1.q-1}.$

On traitera donc les équations (21) comme les équations (9). La condition du succès de la méthode [à savoir que dans les équations analogues à (10 bis) $\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{2}$ soit nul] doit être remplie d’elle-même, puisque nous avons démontré d’avance la possibilité du développement.

Quand on aura satisfait aux deux dernières équations (19), $\mathrm {R}$ sera une constante (puisque ces deux équations admettent comme intégrale, analogue à celle des forces vives, $\mathrm {R} =\mathrm {const.}$) et comme cela doit être vrai quelles que soient les constantes $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}',$ la dérivée $-{\frac {d\mathrm {R} }{d\Lambda _{0}}}$ devra également être une constante, dépendant seulement des $\Lambda _{0}$ et des $x_{i}'^{0}.$

Mais on a

${\big [}\,l_{1}{\big ]}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}^{2}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}\,d\Lambda _{0}'}}{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}-{\frac {d\mathrm {R} }{d\Lambda _{0}}}\cdot$

Les dérivées de $\mathrm {F} _{0}$ sont des constantes. La première équation (8) nous apprend qu’il en est de même de ${\big [}\Lambda _{1}{\big ]}$ et ${\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}.$ Donc ${\big [}\,l_{1}{\big ]}$ est aussi une constante que nous pourrons égaler à $n_{1}^{1},$ et nous aurons ainsi satisfait à la deuxième équation (19).

Au n^o 152, nous avons ensuite déterminé successivement $\Lambda _{1}-{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}$ (et, par conséquent $\Lambda _{1},$ puisque ${\big [}\Lambda _{1}{\big ]}$ est une constante que l’on peut choisir arbitrairement), $\sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},$ $\tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},$ $\lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]},$ par (6, 1, 1), (6, 3, 1), (6, 4, 1) et (6, 2, 1). Je n’ai rien à changer à cette partie du calcul.

Déterminons maintenant

${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\quad$ et $\quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},$

et pour cela considérons les équations (7, 3, 2) et (7, 4, 2). Ces équations prennent la forme

(22)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta '{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}&=\varphi _{1}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}-{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{2}{\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}},\\\Delta '{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}&=\varphi _{2}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}-{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{2}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}},\end{aligned}}\right.$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ étant connues.

Ces équations sont analogues aux équations (9) ; seulement $\mathrm {R} ,$ $\sigma _{i}^{0},$ $\tau _{i}^{0}$ ayant une expression moins simple, il n’arrive plus, comme au n^o 152, que, pour la première de ces équations par exemple, les trois derniers termes du second membre se réduisent respectivement à

$0,\quad 2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{i}^{2}\tau _{i}^{0},$

ce qui apportait une simplification notable.

Substituons donc dans (22) à la place de $\sigma _{i}^{1}$ et $\tau _{i}^{1}$ leurs développements (17), à la place de $n_{k}'^{1}$ son développement (20) et à la place de $n_{k}'^{2}$ son développement

$n_{k}'^{2}=n_{k}'^{2.0}+n_{k}'^{2.1}+n_{k}'^{2.2}+\ldots$

analogue à (20). Soit d’ailleurs $\varphi _{1}^{q}$ et $\varphi _{2}^{q}$ l’ensemble des termes de $\varphi _{1}$

et de $\varphi _{2}$ qui sont de degré $q$ par rapport aux $x_{i}'^{0}.$

Nous égalerons ensuite les termes de même degré dans les deux membres de (22).

En égalant d’abord les termes de degré 0, il vient simplement

(23)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta ''{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}&=\varphi _{1}^{0}+2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\tau ^{1.0}{\big ]},\\\Delta ''{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}&=\varphi _{2}^{0}-2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\sigma ^{1.0}{\big ]}.\end{aligned}}\right.$

$\varphi _{1}^{0}$ et $\varphi _{2}^{0}$ seront des constantes dépendant seulement de $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'\,;$ et, en effet, en vertu du raisonnement du n^o 153, qui reste applicable sans modification, $\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ sont développables suivant les puissances des $x_{i}'^{0}\cos w_{i}'$ et des $x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.$ Les termes du degré 0 par rapport aux $x_{i}'^{0}$ ne dépendront donc ni des $x_{i}'^{0}$ ni des $w_{i}'.$

Il en résulte que ${\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}$ et ${\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}$ sont aussi des constantes et que les premiers membres des équations (23) sont nuls. Ces équations (23) nous permettront alors de déterminer ${\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}$ et ${\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}.$

Supposons maintenant que l’on ait déterminé

${\begin{array}{ccccc}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]},&{\big [}\sigma _{i}^{1.1}{\big ]},&{\big [}\sigma _{i}^{1.2}{\big ]},&\ldots ,&{\big [}\sigma _{i}^{1.q-1}{\big ]},\\{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]},&{\big [}\tau _{i}^{1.1}{\big ]},&{\big [}\tau _{i}^{1.2}{\big ]},&\ldots ,&{\big [}\tau _{i}^{1.q-1}{\big ]},\\{\text{»}}&n_{i}'^{2.0},&n_{i}'^{2.1},&\ldots ,&n_{i}'^{2.q-2},\end{array}}$

et que l’on se propose de déterminer

(21)

${\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]},\quad n_{i}'^{2.q-1}.$

Égalons pour cela les termes de degré $q$ dans les deux membres des équations (22).

Il viendra, en mettant en évidence les termes dépendant des quantités inconnues (24),

(25)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta ''{\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]}+n_{i}'^{1.0}{\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]}&=\psi _{1}+n_{i}'^{2.q-1}x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\\\Delta ''{\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]}-n_{i}'^{1.0}{\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]}&=\psi _{2}-n_{i}'^{2.q-1}x_{i}'^{0}\cos w_{i}',\end{aligned}}\right.$

$\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ étant des fonctions connues.

Ces équations sont analogues aux équations (9) ; on passe en effet des unes aux autres en changeant

${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{k}'^{1},\quad n_{i}'^{2}$

en

${\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]},\quad n_{k}'^{1.0},\quad n_{i}'^{2.q-1}$

On pourra donc traiter les équations (25) comme les équations (9).

On déterminerait ensuite

${\big [}\Lambda _{2}{\big ]},\quad n_{1}^{2},\quad {\big [}\lambda _{1}{\big ]},\quad \Lambda _{2},\quad \sigma _{i}^{2}-{\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]},\quad \tau _{i}^{2}-{\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]},\quad \lambda _{2}-{\big [}\lambda _{2}{\big ]},$

comme au n^o 152.

Pour déterminer

${\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]}\quad$ et $\quad n_{i}'^{3},$

on se servirait des équations (7, 3, 3) et (7, 4, 3). Ces équations seraient de même forme que les équations (22) et se traiteraient de la même manière.

Cas particuliers remarquables.

156.Les développements (4) et (17) ont, comme nous l’avons vu au n^o 153, leurs seconds membres développés suivant les puissances des $x_{i}'^{0}\cos w_{i}'$ et des $x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.$

Si nous annulons à la fois toutes les constantes arbitraires $x_{i}'^{0},$ nos variables ne dépendront plus des $w_{i}'$ mais seulement de $w_{1}$ et $w_{2}.$ Leurs développements procéderont suivant les lignes trigonométriques de

$m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2},$

$m_{1}$ et $m_{2}$ étant des entiers.

D’après ce que nous avons vu au n^o 154, dans le développement des $\Lambda$ et des $\lambda ,$ la somme $m_{1}+m_{2}$ doit être nulle, de sorte que ces variables dépendront seulement de $w_{1}-w_{2}.$ Il en sera de même pour la même raison de

(26)

$\left\{{\begin{aligned}\sigma _{i}\cos w_{1}&+\tau _{i}\sin w_{1},\\\tau _{i}\cos w_{1}&-\sigma _{i}\sin w_{1}.\end{aligned}}\right.$

Il en résulte évidemment que ces hypothèses particulières $(x_{i}'^{0}=0)$ correspondent au cas d’une solution périodique et il est aisé de voir que les solutions ainsi trouvées ne diffèrent pas de celles que nous avons appelées au Chapitre III solutions périodiques de la première sorte.

On peut en conclure que les développements (4) qui ne sont pas ordinairement convergents au sens géométrique du mot le deviennent quand on annule les constantes $x_{i}'^{0}.$

Comme les constantes $x_{i}'^{0}$ sont généralement petites, on voit que la solution réelle ira en oscillant autour de la solution périodique sans s’en écarter beaucoup.

Considérons maintenant dans le développement de $\Lambda ,$ de $\lambda$ et des expressions (26), les termes du premier degré par rapport aux $x_{i}'^{0}\,;$ nous verrons, en tenant compte des résultats des n^o 153 et 154, qu’ils seront de la forme

(27)

${\textstyle \sum }_{k}\,x_{k}'^{0}\cos \left(w_{k}'-w_{1}\right)\varphi _{k}+{\textstyle \sum }_{k}\,x_{k}'\sin \left(w_{k}'-w_{1}\right)\psi _{k},$

$\varphi _{k}$ et $\psi _{k}$ étant des fonctions périodiques développables suivant les sinus et cosinus multiples de $w_{1}-w_{2}.$

L’interprétation de ce résultat est évidente. Dans le Chapitre IV nous avons considéré les équations aux variations relatives à une solution périodique donnée. Considérons alors nos équations du mouvement et la solution périodique de la première sorte que l’on en obtient en annulant tous les $x_{i}'^{0}.$ Les expressions (27) ne seront pas alors autre chose que la solution la plus générale des équations aux variations correspondantes.

On en conclut que les exposants caractéristiques relatifs à cette solution de la première sorte sont

$\pm {\sqrt {-1}}\left(n_{k}'-n_{1}\right).$

Il importe d’observer que dans cette expression les constantes $x_{i}'^{0}$ (dont dépendent $n_{k}'$ et $n_{1}$) doivent être égalées à 0.

On peut se proposer de déduire des développements (4) et (17) les solutions périodiques de la deuxième et de la troisième sorte, ainsi que nous l’avons fait pour celles de la première sorte. Cela est un peu plus difficile.

Pour mieux faire comprendre ce qu’il y a à faire, je vais prendre d’abord un exemple plus simple. Reprenons les séries du n^o 127 et proposons-nous d’en déduire les solutions périodiques du n^o 42. Nous avons vu que, dans les séries du n^o 127, on peut choisir arbitrairement les valeurs moyennes des fonctions périodiques $x_{i}^{p}$ et $y_{i}^{p}$ et qu’en particulier on peut faire ce choix de telle façon que $n_{i}^{p}$ soit nul toutes les fois que $p>0.$ On peut même réaliser cette condition en choisissant convenablement les valeurs moyennes des $x_{i}^{p}$ pendant que les valeurs moyennes des $y_{i}^{p}$ restent arbitraires.

Supposons donc qu’on ait choisi ces valeurs moyennes de cette manière et, par conséquent, que

$n_{i}=n_{i}^{0}.$

Supposons de plus que les $x_{i}^{0}$ aient été choisis de telle sorte que les $n_{i}^{0}$ aient certaines valeurs données commensurables entre elles. Il arrive alors, quand on veut faire le calcul du n^o 127, que certains coefficients deviennent infinis, à moins que l’on ne choisisse convenablement les constantes $\varpi _{i}$ et les valeurs moyennes de $y_{i}^{p}$ restées arbitraires.

Si ce choix est fait de la sorte, les séries du n^o 127 existent : elles sont convergentes et elles ne diffèrent pas de celles du n^o 44. Revenons au Problème des trois Corps.

Choisissons nos constantes $\Lambda _{0},\,\Lambda _{0}'$ et $x_{i}'^{0}$ ainsi que les valeurs moyennes des divers termes des développements (4) et (17) considérés comme fonctions périodiques des $w$ et des $w'\,;$ choisissons ces quantités, dis-je, de telle façon :

1^o Que $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0}$ aient des valeurs données commensurables entre elles (je fais observer que si l’on adopte les notations du n^o 155, $n_{i}^{0.p}$ est nul pour $p>0$) ;

2^o Que $n_{i}^{p}$ et $n_{i}'^{p}$ soient nuls pour $p>1\,;$

3^o Que

$n_{1}^{1}=n_{2}^{1}=n_{i}'^{1}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4).$

Je puis faire ce choix de façon à réaliser ces conditions et même la moitié des valeurs moyennes demeure arbitraire.

Il arrive alors que, si l’on veut faire le calcul des n^os 152 ou 155, certains coefficients deviennent infinis, à moins que l’on ne choisisse convenablement les constantes $\varpi _{i}$ et $\varpi _{i}'$ ainsi que les valeurs moyennes restées arbitraires.

Si on le fait, les séries (4) et (17) existent ; elles convergent et ne diffèrent pas de celles qui représentent les solutions de la deuxième et de la troisième sorte.

Supposons maintenant que, sans annuler $x_{1}'^{0}$ et $x_{2}'^{0},$ on annule $x_{3}^{0}$ et $x_{3}'^{0}\,;$ on trouvera une série de solutions particulières du Problème des trois Corps, ne dépendant que des quatre arguments

$w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}',\quad w_{2}'\,:$

ce sont les solutions correspondant aux cas du Problème des trois Corps dans le plan. Le nombre des arguments est ici réduit à 4 comme celui des degrés de liberté.

Mais on peut observer que les $\Lambda ,$ les $\lambda ,$ et les expressions (26) ne dépendent que des différences

$w_{2}-w_{1},\quad w_{1}'-w_{1},\quad w_{2}'-w_{1},$

ainsi que nous l’avons vu au n^o 154.

Si donc on prend comme variables $\Lambda ,$ $\lambda$ et ces expressions (26), le nombre des arguments est réduit à 3. Cela correspond au cas du problème du n^o 5, où il y a 3 degrés de liberté.

Imaginons maintenant que la masse de la première planète soit infiniment petite (cas d’une petite planète troublée par Jupiter). Il arrivera d’abord que

$\sigma _{2},\quad \tau _{2},\quad \sigma _{4},\quad \tau _{4}$

se réduiront à

$\xi ',\quad \eta ',\quad p',\quad q'.$

Ces quantités, de même que $\Lambda ',$ seront des constantes et $\lambda '$ se réduira à $w_{2}.$

Il résulte de là que

${\begin{aligned}n_{2}'&={\frac {dw_{2}'}{dt}}=0,\\n_{4}'&={\frac {dw_{4}'}{dt}}=0.\end{aligned}}$

Le nombre de nos arguments, qui était de 6, est réduit à 4, à savoir

$w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}',\quad w_{3}'.$

Il n’arrive plus ici que $\Lambda ,\,\lambda ,\,\ldots$ ne dépendent que des différences

$w_{1}-w_{2},\quad w_{1}'-w_{2},\quad w_{3}'-w_{2}.$

Le raisonnement du n^o 154 ne nous apprend, en effet, qu’une chose, c’est que, dans le cas général, $\Lambda$ dépend seulement des cinq différences

$w_{2}-w_{1},\quad w_{i}'-w_{1}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4).$

Quand deux des $w_{i}'$ se réduiront à des constantes (ce qui arrive dans le cas particulier que nous examinons), deux de ces cinq arguments ne diffèrent plus que par une constante, et c’est pour cette raison qu’il n’en reste plus que quatre ; mais il n’y a aucune raison pour que la réduction puisse être poussée plus loin.

Nos variables restent d’ailleurs, en vertu du n^o 153, développables suivant les puissances des

$x_{i}'^{0}\cos w_{i}',\quad x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.$

Supposons que l’on annule $x_{3}'^{0}$ et $x_{4}'^{0}\,;$ cela correspond au cas où les trois corps se meuvent dans un même plan (je suppose toujours que l’une des masses est infiniment petite). Alors nos variables ne dépendent plus de $w_{3}'$ et il nous reste seulement trois arguments. à savoir

$w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}'.$

Annulons encore la constante $x_{2}'^{0}\,;$ cela correspond au cas où l’orbite de la seconde planète est circulaire, c’est-à-dire au problème du n^o 9.

Comme nos variables sont développables suivant les puissances des $x_{i}'^{0}\cos w_{i}'$ et $x_{i}'^{0}\sin w_{i}',$ et que

$x_{2}'^{0}=x_{3}'^{0}=x_{4}'^{0}=0,$

elles ne dépendront plus ni de $w_{2}',$ no de $w_{3}',$ ni de $w_{4}'.$ Or, en vertu du n^o 154, elles ne dépendent que des différences

$w_{1}-w_{2},\quad w_{1}-w_{i}'.$

Or nous venons de voir qu’il y a trois des $w_{i}'$ qui ne doivent plus entrer dans leur expression. Elles ne dépendront plus que de

$w_{1}-w_{2},\quad w_{1}-w_{1}'.$

Le nombre des arguments est réduit à 2 ; nous avons vu d’ailleurs que le problème du n^o 9 comporte précisément 2 degrés de liberté. Si, de plus, on fait $x_{1}'^{0}=0,$ on tombe sur les solutions périodiques étudiées par M. Hill (voir le n^o 41 et tenir compte de la remarque faite aux trois dernières lignes).

Si, dans la théorie de la Lune, on regarde ce satellite comme soumis aux seules actions de la Terre et du Soleil et que l’on regarde le mouvement relatif de ces deux derniers astres comme képlérien, on est ramené à un des cas particuliers étudiés plus haut.

Mais on sera souvent conduit à tenir compte des perturbations éprouvées par la Terre de la part d’autres planètes, tout en continuant à négliger l’action directe de ces planètes sur la Lune. Si l’on se place à ce point de vue, le mouvement relatif de la Terre et du Soleil n’est plus un mouvement képlérien, mais il est connu, et la Lune reste soumise seulement à l’action de ces deux corps mobiles qui se meuvent d’après une loi connue.

Supposons donc que les coordonnées du Soleil par rapport à la Terre puissent s’exprimer par des séries de même forme que celles que nous avons étudiées dans ce Chapitre, et dépendant de $n$ arguments. On verrait aisément alors, en raisonnant à peu près comme nous l’avons fait dans ce Chapitre, que les coordonnées de la Lune s’exprimeront encore par des séries de même forme dépendant de $n+2$ arguments.

Pour bien faire comprendre ce que je veux dire par là, je reviens ,au problème du n^o 9 ; c’est-à-dire : imaginons que la Terre et le Soleil décrivent des circonférences concentriques ; les coordonnées du Soleil dépendront alors de $n=1$ argument ; les distances de la Lune à la Terre et au Soleil dépendront de 2 arguments (qui sont ceux que je viens d’appeler $w_{1}-w_{2},$ $w_{1}-w_{1}'$) ; mais les coordonnées de la Lune par rapport à des axes fixes dépendront de $n+2=3$ arguments.

Des considérations analogues sont applicables au cas où il y a plus de trois corps ; supposons, par exemple, qu’il y en ait quatre. Le nombre des $w_{i}$ est alors 3 et celui des $w_{i}'$ est 6.

Supposons qu’on annule à la fois les six constantes $x_{i}'^{0}.$ Une première conséquence de cette hypothèse, c’est que le mouvement se passe dans un plan. De plus les $\Lambda ,$ les $\lambda ,$ les expressions (26) et par conséquent les distances mutuelles des quatre corps ne vont plus dépendre que des deux arguments

$w_{1}-w_{2},\quad w_{1}-w_{3}.$

Il ne s’ensuit pas (comme dans le cas où, envisageant trois corps seulement, on annulait tous les $x_{i}'^{0}$) que les séries deviennent convergentes au sens géométrique du mot ; mais on peut se proposer d’en déduire les solutions périodiques du n^o 50.

Voici comment on doit opérer.

Choisissons nos constantes d’intégration et les valeurs moyennes des divers termes des développements (4) et (17) de telle sorte : 1^o que les quantités

$n_{1}^{0}-n_{2}^{0},\quad n_{1}^{0}-n_{3}^{0}$

aient des valeurs données commensurables entre elles ; 2^o que

$n_{1}^{p}=n_{2}^{p}=n_{3}^{p}$

pour $p>0.$ Les constantes $\varpi _{i}$ et $\varpi _{i}'$ et la moitié de nos valeurs moyennes deviennent arbitraires.

Si l’on veut faire le calcul du n^o 152, certains coefficients deviennent infinis, à moins qu’on ne choisisse convenablement les $\varpi _{i},$ les $\varpi _{i}'$ et les valeurs moyennes restées arbitraires.

Si l’on fait ainsi ce choix, les séries existent, elles convergent et elles représentent les solutions périodiques du n^o 50.

Conclusions.

157.Telles sont les séries auxquelles on parvient par les procédés de calcul exposés dans les Chapitres qui précèdent. C’est M. Newcomb qui en a eu la première idée et qui a découvert leurs principales propriétés.

Ces séries sont divergentes, mais si l’on s’arrête à temps dans le développement, je veux dire avant d’avoir rencontré de très petits diviseurs, elles représentent les coordonnées avec une très grande approximation.

On peut encore les utiliser d’une autre manière.

Imaginons que l’on s’arrête à un certain terme de développement, puis qu’appliquant la méthode de la variation des constantes, on prenne pour variables nouvelles les $\Lambda _{0},$ les $x_{i}'^{0},$ les $\varpi _{i}$ et les $\varpi _{i}'.$ Ces variables nouvelles varieront avec une extrême lenteur et les procédés anciens pourront être appliqués avec avantage aux équations différentielles qui définissent leurs variations. On pourra, par exemple, développer ces variables nouvelles suivant les puissances du temps.