Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.15

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 157-201).

CHAPITRE XV.

AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

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Problème du n^o 125.

158.Reprenons les équations

(1)

${\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$

et

(2)

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\cdot$

Nous nous proposons de satisfaire à ces équations à l’aide des séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples des $n$ arguments,

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n},$

séries dont nous avons démontré l’existence au n^o 125.

Je rappelle d’ailleurs que l’on a

$w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k}$

et, par conséquent,

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}&={\frac {dx_{i}}{dt}},\\{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}&={\frac {dy_{i}}{dt}}\cdot \\\end{aligned}}\right.$

Au n^o 127, nous nous sommes servi pour déterminer ces séries des équations (1) et (2) ; mais on peut opérer autrement.

Nous avons d’abord l’intégrale des forces vives

(4)

$\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

D’autre part, l’expression

(5)

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}$

doit être une différentielle exacte et, comme les $x_{i}^{0}$ sont des constantes, il doit en être de même de

${\textstyle \sum }\left(x_{i}-x_{i}^{0}\right)\,dy_{i}=d\mathrm {S} ,$

ce qui donne

(6)

${\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\left(x_{i}-x_{i}^{0}\right){\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\cdot$

Je dis maintenant que les équations (2) sont une conséquence des équations (1), (3), (4) et (6). En effet, les équations (6) signifient que l’expression (5) est une différentielle exacte et les conditions d’intégrabilité de cette expression peuvent s’écrire

(7)

${\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {dx_{i}}{dw_{q}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{q}}}\right)=0.$

Multiplions cette équation par $n_{q}\,;$ puis, conservant à $k$ une valeur constante, faisons successivement $q=1,\,2,\,\ldots ,\,n.$

Enfin ajoutons les $n$ équations ainsi obtenues ; il viendra, en tenant compte de (3),

${\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=0$

ou, en tenant compte de (1),

(8)

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dw_{i}}{dw_{k}}}=0.$

Différentions maintenant (4) par rapport à $w_{k},$ il viendra

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}=0$

ou, en rapprochant de (8),

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n),$

d’où

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\cdot$
C.Q.F.D.

Nous pouvons donc déterminer nos séries à l’aide des équations suivantes

 (4),  (6)

et

(1 bis)

${\textstyle \sum }\,n_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot$

Dans ces diverses équations remplaçons les $x_{i},$ les $y_{i},$ les $n_{k}$ et $\mathrm {S}$ par leurs développements suivant les puissances de $\mu$

${\textstyle \sum }\,\mu ^{p}x_{i}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}y_{i}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}n_{k}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}.$

Égalons ensuite dans les deux membres les coefficients des puissances semblables de $\mu .$

Nous obtiendrons ainsi une série d’équations qui nous permettront de déterminer par récurrence les coefficients des séries.

Imaginons en effet qu’on ait calculé

${\begin{array}{rrrrr}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-1},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&y_{i}^{2},&\ldots ,&y_{i}^{p-1},\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&n_{k}^{2},&\ldots ,&n_{k}^{p-1},\\\mathrm {S} _{0},&\mathrm {S} _{1},&&\ldots ,&\mathrm {S} _{p-1},\end{array}}$

et qu’on se propose de déterminer

$x_{i}^{p},\quad y_{i}^{p},\quad n_{k}^{p},\quad \mathrm {S} _{p}.$

Dans l’équation (4) égalons les coefficients de $\mu ^{p},$ il viendra

(9)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{0}=\Phi +\mathrm {const.}$

Je désigne par $\Phi ,$ ainsi que je le ferai dans tout ce Chapitre, une fonction quelconque, entièrement connue et périodique des $w.$ Inutile d’ajouter que les diverses fonctions que je désigne ainsi par $\Phi$ ne sont pas identiques. Quant à la constante du second membre de (9), elle est arbitraire comme la constante du second membre de (4).

Égalons maintenant dans les deux membres de (6) les coefficients de $\mu ^{p},$ il viendra

(10)

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p}+\Phi ,$

d’où, tenant compte de (9),

(11)

${\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=\Phi +\mathrm {const.}$

La fonction $\mathrm {S} _{p}$ doit avoir toutes ses dérivées périodiques par rapport aux $w,$ c’est-à-dire qu’elle doit être de la forme

$\alpha _{1.p}w_{1}+\alpha _{2.p}w_{2}+\ldots +\alpha _{n.p}w_{n}+\varphi ,$

les $\alpha _{k.p}$ étant des constantes et $\varphi$ une fonction périodique.

L’équation (11), par un calcul tout semblable à l’intégration de l’équation (6) du n^o 125, nous fera connaître $\mathrm {S} _{p}.$ J’ajoute que les constantes $\alpha _{k.p}$ peuvent être choisies arbitrairement en fonctions des constantes $x_{i}^{0},$ puisque la constante du second membre de (11) est elle-même arbitraire.

$\mathrm {S} _{p}$ étant déterminé, les équations (10) nous donneront les $x_{k}^{p}$ dont la valeur moyenne $\alpha _{k.p}$ peut, comme nous venons de le voir, être choisie arbitrairement.

Les $x_{i}^{p}$ étant connus, égalons dans les deux membres de (1 bis) les coefficients de $\mu ^{p}.$ Il viendra

(12)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}=\Phi -n_{i}^{p}.$

On commencera par déterminer la constante $n_{i}^{p}$ de façon à annuler la valeur moyenne du deuxième membre de (12). L’équation (12) nous donnera ensuite $y_{i}^{p}$ par un calcul tout semblable à celui du n^o 127. Observons en passant que la valeur moyenne de $y_{i}^{p}$ peut être choisie arbitrairement en fonction des $x_{i}^{0}.$

Autre exemple.

159.Soient

${\begin{array}{rrrr}\xi _{1},&\xi _{2},&\ldots ,&\xi _{n},\\\eta _{1},&\eta _{2},&\ldots ,&\eta _{n}\end{array}}$

nos $n$ paires de variables conjuguées.

Supposons que $\mathrm {F}$ soit développable suivant les puissances croissantes des $\xi _{i}$ et des $\eta _{i}\,;$ que dans ce développement il n’y ait pas de terme de degré 0, ni de degré 1, et que les termes du deuxième degré s’écrivent

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\eta _{i}\right)^{2}.$

J’écris avec des parenthèses $\left(\xi _{i}\right)^{2}$ pour le carré de $\xi _{i},$ afin de ne pas confondre avec la notation $\xi _{i}^{2}$ que nous emploierons plus loin, et où le 2 sera un indice et non un exposant.

Soient alors

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\end{aligned}}$

nos équations différentielles.

Je suppose que l’on veuille développer les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}$ suivant les puissances de certaines constantes d’intégration $\alpha _{i}$ et j’écris

${\begin{alignedat}{5}\xi _{i}&=\xi _{i}^{1}&{}+{}&\xi _{i}^{2}&{}+{}&\ldots +\xi _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{i}&=\eta _{i}^{1}&{}+{}&\eta _{i}^{2}&{}+{}&\ldots +\eta _{i}^{p}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}$

Les $\xi _{i}^{p}$ et les $\eta _{i}^{p}$ représenteront les termes du développement qui sont d’ordre $p$ par rapport aux $\alpha _{i}.$ Ce devront être des fonctions périodiques par rapport à $n$ arguments

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

On devra avoir d’ailleurs

${\begin{aligned}\xi _{i}^{1}&=\alpha _{i}\cos w_{i},&\eta _{i}^{1}&=\alpha _{i}\sin w_{i}.\end{aligned}}$

On aura, d’autre part,

$n_{k}=n_{k}^{0}+n_{k}^{1}+\ldots +n_{k}^{p}+\ldots ,$

$n_{k}$ étant développé suivant les puissances des $x_{i}^{0}$ et $n_{k}^{p}$ représentant l’ensemble des termes d’ordre $p$ par rapport aux $\alpha _{i}$ Nos équations différentielles deviennent

(2)

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\xi _{i}}{dw_{\mathrm {K} }}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}},&{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\eta _{i}}{dw_{\mathrm {K} }}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

D’autre part,

${\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}$

doit être une différentielle exacte et il en sera naturellement de même de

$d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}-{\textstyle \sum }\,d\left(\xi _{i}^{1}\eta _{i}\right).$

Je remarque enfin que $\mathrm {S}$ doit être aussi développé selon les puissances des $\alpha _{i}$ et je désigne par $\mathrm {S} _{p}$ l’ensemble des termes de degré $p.$

Je pose aussi

${\begin{aligned}x_{i}&=\xi _{i}\cos w_{i}+\eta _{i}\sin w_{i},\\y_{i}&=\xi _{i}\sin w_{i}-\eta _{i}\cos w_{i}\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}x_{i}&={\textstyle \sum }\,x_{i}^{p},&y_{i}&={\textstyle \sum }\,y_{i}^{p},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}x_{i}^{p}&=\xi _{i}^{p}\cos w_{i}+\eta _{i}^{p}\sin w_{i},\\y_{i}^{p}&=\xi _{i}^{p}\sin w_{i}+\eta _{i}^{p}\cos w_{i},\\x_{i}^{1}&=\xi _{i}^{0}\cos w_{i}+\eta _{i}^{0}\sin w_{i}=\alpha _{i},\\y_{i}^{1}&=0.\end{aligned}}$

On trouve d’abord aisément

$n_{k}^{0}=-2\mathrm {A} _{k}.$

Observons ensuite que les équations (2) nous donnent

(3)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\cos w_{i}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\sin w_{i}-n_{i}y_{i},$

(4)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\sin w_{i}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\cos w_{i}+n_{i}x_{i}.$

Nous allons calculer nos séries à l’aide de l’équation (4), de l’équation

(5)

$\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

et de

(6)

${\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}-{\textstyle \sum }\,{\frac {d\left(\xi _{i}^{1}\eta _{i}\right)}{dw_{k}}}\cdot$

Les équations (3) et par conséquent les équations (2) et (1) s’en déduisent, en effet, très aisément.

Supposons donc que l’on ait déterminé

${\begin{array}{rrrr}\xi _{i}^{1},&\xi _{i}^{2},&\ldots ,&\xi _{i}^{p-1};\\\eta _{i}^{1},&\eta _{i}^{2},&\ldots ,&\eta _{i}^{p-1};\\x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-1};\\y_{i}^{1},&y_{i}^{2},&\ldots ,&y_{i}^{p-1};\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&\ldots ,&n_{k}^{p-2};\\\mathrm {S} _{1},&\mathrm {S} _{2},&\ldots ,&\mathrm {S} _{p},\end{array}}$

et que l’on se propose de déterminer

$\xi _{i}^{p},\quad \eta _{i}^{p},\quad x_{i}^{p},\quad y_{i}^{p},\quad n_{k}^{p-1},\quad \mathrm {S} _{p+1}.$

Égalons dans les deux membres de (4) les termes d’ordre $p$ et dans les deux membres de (5) et de (6) les termes d’ordre $p+1.$

Je poserai pour abréger, comme dans le Chapitre précédent,

$\Delta u={\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {du}{dw_{k}}}\cdot$

Il viendra alors

(7)

$\Delta y_{i}^{p}=\Phi +2\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}^{p}\cos w_{i}+\eta _{i}^{p}\sin w_{i}\right)+n_{i}^{0}x_{i}^{p}+n_{i}^{p-1}x_{i}^{1},$

(8)

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}^{1}\xi _{i}^{p}+\eta _{i}^{1}\eta _{i}^{p}\right)+\Phi +\mathrm {const.} =0,$

${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}^{p}\,{\frac {d\eta _{i}^{1}}{dw_{k}}}-{\textstyle \sum }\,\eta _{i}^{p}\,{\frac {d\xi _{i}^{1}}{dw_{k}}}+\Phi .$

Si nous remarquons que

${\begin{aligned}d\xi _{i}^{1}&=-\eta _{i}^{1}\,dw_{i},&d\eta _{i}^{1}&=\xi _{i}^{1}\,dw_{i},\end{aligned}}$

nous pourrons écrire

(9)

${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}=\xi _{i}^{1}\xi _{k}^{p}+\eta _{i}^{1}\eta _{k}^{p}+\Phi .$

Si nous combinons (8) et (9), nous aurons

(10)

$\Delta \mathrm {S} _{p+1}=\Phi +\mathrm {const.} ;$

d’autre part, (9) pourra s’écrire

(11)

${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}=\alpha _{k}x_{k}^{p}+\Phi ,$

et (7) s’écrira

(12)

$\Delta y_{i}^{p}=\Phi +n_{i}^{p-1}\alpha _{i}.$

Alors l’équation (10) nous fera connaître $\mathrm {S} _{p+1},$ l’équation (11) nous donnera les $x_{k}^{p}\,;$ en écrivant que la valeur moyenne du second membre de (12) est nulle, nous obtiendrons $n_{i}^{p-1},$ et l’équation (12) nous donnera ensuite $y_{i}^{p}.$ Connaissant ainsi $y_{i}^{p}$ et $x_{i}^{p},$ nous aurons $\xi _{i}^{p}$ et $\eta _{i}^{p}.$

On aurait pu, pour déterminer ces quantités, se servir des équations suivantes, déduites de (2) en égalant les termes d’ordre $p$ dans les deux membres, et analogues aux équations (9) du n^o 152 :

(13)

$\Delta \xi _{i}^{p}=2\mathrm {A} _{i}\eta _{i}^{p}+n_{i}^{p-1}\eta _{i}^{1}+\Phi ,$

(14)

$\Delta \eta _{i}^{p}=-2\mathrm {A} _{i}\xi _{i}^{p}-n_{i}^{p-1}\xi _{i}^{1}+\Phi .$

On aurait vu alors, par un raisonnement tout pareil à celui du n^o 153, que les $\xi _{i}^{p},\,\eta _{i}^{p}$ sont développables suivant les puissances des

$\alpha _{i}\cos w_{i},\quad \alpha _{i}\sin w_{i},$

et qu’il en est de même des $n_{i}^{p}$ (c’est-à-dire que ces quantités qui ne dépendent pas des $w_{i}$ seront développables suivant les puissances paires des $\alpha _{i}$).

Il en est d’ailleurs évidemment de même des termes périodiques de $\mathrm {S} _{p+1}$ en vertu de l’équation (10).

On sait que

$\mathrm {S} _{p+1}=\beta _{1}w_{1}+\beta _{2}w_{2}+\ldots +\beta _{n}w_{n}+\mathrm {S} _{p+1}',$

les $\beta _{k}$ étant des constantes et $\mathrm {S} _{p+1}'$ étant périodique.

Pour $\mathrm {S} _{p+1}',$ l’équation (10) et un raisonnement analogue à celui du n^o 153 nous apprennent que la condition est remplie. Quant aux $\beta _{k},$ on peut les choisir arbitrairement ; nous pouvons donc supposer que $\beta _{k}$ est développable suivant les puissances paires des $\alpha _{i}$ et divisible par $\left(\alpha _{k}\right)^{2}.$

Il est inutile de répéter ici ce raisonnement du n^o 153.

Indiquons seulement en passant ce qui se passe quand on traite l’équation (11). Cette équation nous donne la valeur de $\alpha _{k}x_{k}^{p}$ et cette valeur doit, bien entendu, être divisible par $\alpha _{k}$ et, en effet, je dis que ${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dx_{k}}}$ et $\Phi$ sont divisibles par $\alpha _{k}.$

J’observe que si $\psi$ est une fonction développable suivant les puissances des $\alpha _{i}\cos w_{i}$ et $\alpha _{i}\sin w_{i}$ et qu’on développe cette fonction en série trigonométrique, le coefficient du cosinus ou du sinus de

$m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n},$

dans ce développement, sera divisible par

$\alpha _{1}^{|m_{1}|}.\alpha _{2}^{|m_{2}|}.\ldots .\alpha _{n}^{|m_{n}|}.$

Donc, les coefficients des termes dépendant de $w_{k}$ sont divisibles par $\alpha _{k}\,;$ donc ${\frac {d\varphi }{dw_{k}}}$ est divisible par $\alpha _{k}.$

Or

${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}=\beta _{k}+{\frac {d\mathrm {S} _{p+1}'}{dw_{k}}}$

et $\beta _{k}$ a été choisi divisible par $\alpha _{k}$ et ${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}'}{dw_{k}}}$ doit l’être aussi d’après ce que nous venons de voir. Donc il en est de même de ${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}\cdot$

D’autre part, $\Phi$ est une somme de termes ; chacun de ces termes est le produit de facteurs dont l’un est de la forme

${\frac {d\xi _{i}^{p}}{dw_{k}}}\quad$ ou $\quad {\frac {d\eta _{i}^{p}}{dw_{k}}},$

et est par conséquent divisible par $\alpha _{k}.$

Donc $\Phi$ est également divisible par $\alpha _{k}.$

C.Q.F.D.

160.Supposons que $\mathrm {F}$ dépende d’un paramètre très petit $\mu$ et soit

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .$

Je suppose toujours que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances des $\xi _{i}$ et des $\eta _{i},$ que le développement de $\mathrm {F} _{0}$ commence par des termes du deuxième degré et que ces termes s’écrivent

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\eta _{i}\right)^{2}.$

Mais je suppose que le développement de $\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,$ commence par des termes du premier degré.

Je me propose de développer

$\xi _{i},\quad \eta _{i},\quad x_{i},\quad y_{i},\quad n_{k},\quad \mathrm {S} ,$

non plus seulement suivant les puissances des constantes $\alpha _{i},$ mais suivant les puissances de ces constantes et celles de $\mu .$

Je désigne par

$\xi _{i}^{p.q},\quad \eta _{i}^{p.q},\quad x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q},\quad n_{k}^{p.q},\quad \mathrm {S} _{p.q},$

les termes de ces développements qui sont de degré $p$ par rapport aux $\alpha _{i}$ et de degré $q$ par rapport à $\mu .$

J’aurai d’ailleurs

$\xi _{i}^{0.0}=\eta _{i}^{0.0}=0,$

${\begin{aligned}\xi _{i}^{1.0}&=\alpha _{i}\cos w_{i},&\eta _{i}^{1.0}&=\alpha _{i}\sin w_{i},\end{aligned}}$

$n_{k}^{0.0}=-2\mathrm {A} _{k}.$

On aura d’ailleurs

$d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}-{\textstyle \sum }\,d\left(\xi _{i}^{1.0}\eta _{i}\right),$

d’où

${\begin{array}{c}\mathrm {S} _{0.0}=\mathrm {S} _{1.0}=0,\\[1em]\mathrm {S} _{2.0}=-{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,\left(\alpha _{i}\right)^{2}w_{i}-{\frac {3}{4}}{\textstyle \sum }\,\left(\alpha _{i}\right)^{2}\sin 2w_{i}.\end{array}}$

Supposons alors que l’on ait calculé

${\begin{array}{c}\xi _{i}^{a.b},\quad \eta _{i}^{a.b},\quad x_{i}^{a.b},\quad y_{i}^{a.b},\quad n_{k}^{a-1.b},\quad \mathrm {S} _{a+1.b}\\[0.5ex](a\leq p,\quad a+b\leq p+q),\end{array}}$

à l’exception de la combinaison $a=p,$ $b=q$ et qu’on se propose de calculer

$\xi _{i}^{p.q},\quad \eta _{i}^{p.q},\quad x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q},\quad n_{k}^{p-1.q},\quad \mathrm {S} _{p+1.q}$

Reprenons les équations (1), (2), (3), (4), (5), (6). Égalons dans les deux membres de (4) les termes d’ordre $p$ par rapport aux $\alpha _{i}$ et d’ordre $q$ par rapport à $\mu .$ Égalons de même dans (5) et (6) les termes d’ordre $p+1$ par rapport aux $\alpha _{i}$ et $q$ par rapport à $\mu .$

Soit

$\Delta u={\textstyle \sum }\,n_{k}^{0.0}{\frac {du}{dw_{k}}}\cdot$

Nous retrouverons alors les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (14) avec cette différence que les indices simples (supérieurs ou inférieurs) $p,$ $p+1$ ou $p-1$ seront remplacés par des indices doubles $p.q,$ $p+1.q$ ou $p-1.q$ et que les indices simples 1 ou 0 seront remplacés par des indices doubles 1.0 ou 0.0

On se servira de ces équations comme dans le numéro précédent pour déterminer successivement $\mathrm {S} _{p+1.q},$ $x_{k}^{p.q},$ $n_{k}^{p-1.q},$ $y_{i}^{p.q},$ et par conséquent $\xi _{i}^{p.q}$ et $\eta _{i}^{p.q}.$

On verrait, comme au n^o 153, que $\xi _{i}^{p.q}$ et $\eta _{i}^{p.q}$ sont développables suivant les puissances de

$\alpha _{k}\cos w_{k}\quad$ et $\quad \alpha _{k}\sin w_{k}.$

Il en résulte que $\xi _{i}^{p.q}$ et $\eta _{i}^{p.q}$ sont des constantes.

D’autre part, il convient d’observer que la remarque du n^o 126, en vertu de laquelle les valeurs moyennes de $x_{i}^{p}$ et $y_{i}^{p}$ peuvent être choisies arbitrairement n’est applicable ici qu’avec certaines restrictions.

Reprenons en effet le raisonnement du n^o 126 ; considérons le développement de $\xi _{i}$ et de $\eta _{i}$ selon les puissances de $\mu$ et des $\alpha _{i}.$

Changeons-y $\alpha _{i}$ et $w_{i}$ en

$\alpha _{i}(1+\varphi _{i}),\quad w_{i}+\psi _{i},$

$\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ étant deux fonctions développables suivant les puissances de $\mu$ et des $\left(\alpha _{k}\right)^{2}$ et se réduisant à 0 quand ces quantités s’annulent. Les valeurs des $\xi _{i}^{0.q},\,\eta _{i}^{0.q}$ ne seront pas modifiées par ce changement. Il en résulte que les valeurs moyennes des

$x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q}\quad (p>0)$

peuvent être choisies arbitrairement, mais qu’il n’en est pas de même de celles des

$x_{i}^{0.q},\quad y_{i}^{0.q}.$

On voit d’ailleurs aisément que ces dernières valeurs moyennes doivent être nulles.

Supposons maintenant qu’on revienne aux équations numérotées (1) à (6) et que l’on envisage dans les équations (1) à (4) les termes de degré 0 par rapport aux $\alpha _{i},$ et dans les équations (5) et (6) les termes de degré 0 ou 1 par rapport aux $\alpha _{i},$ on obtiendra des équations dont la forme différera un peu de celle des équations numérotées (7) à (14) sur lesquelles par conséquent il est nécessaire de revenir.

Cette différence de forme provient d’abord de ce que $n_{i}^{p-1.q}$ est nul si $p=0,$ et, d’autre part, de ce que, $\xi _{i}^{0.q}$ et $\eta _{i}^{0.q}$ étant des constantes,

$\Delta \xi _{i}^{0.q}=\Delta \eta _{i}^{0.q}=0.$

Il nous suffira d’ailleurs de considérer les équations (1), (2), (5) et (6) dont (3) et (4) se déduisent immédiatement. Posons, pour abréger,

${\begin{aligned}\xi _{i}^{0}&=\xi _{i}^{0.1}+\xi _{i}^{0.2}+\ldots ,\\\xi _{i}^{1}&=\xi _{i}^{1.0}+\xi _{i}^{1.1}+\xi _{i}^{1.2}+\ldots .\end{aligned}}$

Définissons de même $\eta _{i}^{0}$ et $\eta _{i}^{1}$ et soit $\mathrm {F} ^{\star }$ le résultat de la substitution de $\xi _{i}^{0}$ et de $\eta _{i}^{0}$ dans $\mathrm {F}$ à la place de $\xi _{i}$ et $\eta _{i}.$

Les termes de degré 0 de (1) et (2) nous donneront

${\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}^{0}}}=0.$

Ces deux équations nous permettront de déterminer par récurrence les $\xi _{i}^{0.q}$ et $\eta _{i}^{0.q}.$

Les termes de degré 0 et 1 de (5) nous donneront

$\mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {const.}$

${\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}^{0}}}\xi _{i}^{1}+{\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}^{0}}}\eta _{i}^{1}=\mathrm {const.}$

La première de ces deux équations nous permet de déterminer la constante du deuxième membre [qui ne peut pas être choisie arbitrairement comme pouvait l’être la constante de l’équation (8) quand on supposait $p>1$].

La seconde équation est satisfaite d’elle-même et la constante du deuxième membre doit être nulle, puisque les deux dérivées de $\mathrm {F} ^{\star }$ sont nulles.

Reste l’équation (6) ; les termes du degré 0 nous donnent

$d\left(\mathrm {S} _{0.0}+\mathrm {S} _{0.1}+\mathrm {S} _{0.2}+\ldots \right)=0,$

en remarquant que, les $\eta _{i}^{0}$ étant des constantes, $d\eta _{i}^{0}$ est nul. Il suffit, pour satisfaire à cette équation, de supposer que les $\mathrm {S} _{0.q}$ sont des constantes.

Les termes de degré 1 nous donnent

$d\left(\mathrm {S} _{1.0}+\mathrm {S} _{1.1}+\mathrm {S} _{1.2}+\ldots \right)={\textstyle \sum }\,\xi _{i}^{0}\,d\eta _{i}^{1}-{\textstyle \sum }\,d\xi _{i}^{1.0}\,\eta _{i}^{0}.$

Il suffit, pour y satisfaire, de supposer

$\mathrm {S} _{1.q}={\textstyle \sum }\left(\xi _{i}^{0.1}\eta _{i}^{1.q-1}+\xi _{i}^{0.2}\eta _{i}^{1.q-2}+\ldots +\xi _{i}^{0.q}\eta _{i}^{1.0}\right)-{\textstyle \sum }\,\left(\xi _{i}^{1.0}\eta _{i}^{0.q}\right).$

Les termes de degré 0 et 1 n’engendreront donc pas de difficultés, ainsi qu’on aurait pu le craindre.

Problème du n^o 134.

161.La même méthode est évidemment applicable au problème du n^o 134. Reprenons les notations du n^o 151.

Reprenons les équations (1) à (6) du n^o 158, en convenant que les signes ${\textstyle \sum }$ porteront non seulement sur tous les $x_{i}$ (ou sur tous les $y_{i},$ ou sur tous les $w_{i},$ etc.), mais à la fois sur les $s_{i}$ et les $x_{i}'$ (ou sur les $y_{i}$ et les $y_{i}',$ ou sur les $w_{i}$ et les $w_{i}',$ etc.).

On verrait alors, comme au n^o 158, que les' équations (2) sont des conséquences des équations (1), (3), (4) et (6). Nous conserverons donc les équations (4), (6) et (1 bis) qui vont nous servir à la détermination de nos inconnues.

Nous allons, comme au n^o 158, remplacer dans ces diverses équations les $x_{i},$ les $y_{i},$ les $n_{i}$ et $\mathrm {S}$ par leurs développements suivant les puissances de $\mu$ et égaler ensuite dans les deux membres les coefficients des puissances semblables de $\mu .$

Mais les équations ainsi obtenues ne sont pas les seules dont j’aurai à faire usage : je me servirai également de celles que l’on en déduit en égalant dans les deux membres les valeurs moyennes prises par rapport aux $w_{k}$ seulement (et non par rapport aux $w_{k}'$)

Soit $\mathrm {U}$ une fonction quelconque périodique par rapport aux $w$ et aux $w'.$ Je désignerai, comme au n^o 151, par ${\big [}\mathrm {U} {\big ]}$ sa valeur moyenne prise par rapport aux $w$ seulement et par ${\big [}{\big [}\mathrm {U} {\big ]}{\big ]}$ sa valeur moyenne prise à la fois par rapport aux $w$ et aux $w'.$

On aura alors

${\frac {d{\big [}\mathrm {U} {\big ]}}{dw_{k}}}=0,$

mais en général

${\frac {d{\big [}\mathrm {U} {\big ]}}{dw_{k}'}}\gtrless 0.$

Quant à $\mathrm {S} ,$ ce n’est pas une fonction périodique, mais seulement une fonction dont les dérivées sont périodiques.

On aura donc seulement

$\left[{\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.}$

Imaginons maintenant que l’on ait calculé complètement

${\begin{array}{rrrrr}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-2},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&&\ldots ,&y_{i}^{p-2},\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&&\ldots ,&n_{k}^{p-1},\\\mathrm {S} _{0},&\mathrm {S} _{1},&&\ldots ,&\mathrm {S} _{p-2}.\end{array}}$

ainsi que $x_{i}^{p-1},$ $y_{i}^{p-1}$ et $\mathrm {S} _{p-1},$ à une fonction arbitraire près des $w',$ et qu’on se propose d’achever la détermination de $x_{i}^{p-1}$ $y_{i}^{p-1}$ et $\mathrm {S} _{p-1}$ et de calculer $n_{k}^{p}$ complètement ainsi que $x_{i}^{p},\,y_{i}^{p}$ et $\mathrm {S} _{p}$ à une fonction arbitraire près des $w'.$

L’équation (9) du n^o 158, obtenue en égalant dans l’équation (4) les termes en $\mu ^{p},$ prendra une forme un peu différente, parce que le second membre ne sera plus entièrement connu. Elle s’écrira

(9 bis)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{p}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}}}\,y_{i}^{p-1}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}\,x_{i}^{p-1}+\Phi +\mathrm {const.}$

Dans le cas de $p=1,$ on a simplement

(9 ter)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{1}=\mathrm {F} _{1}+\mathrm {const.}$

Il va sans dire que, dans $\mathrm {F} _{1},$ $x_{i}$ est supposé remplacé par $x_{i}^{0}$ et $y_{i}$ par $y_{i}^{0}=w_{i}.$

Le second membre de (9 bis) n’est pas entièrement connu parce que $x_{i}^{p-1}$ et $y_{i}^{p-1}$ ne sont connus qu’à une fonction arbitraire près des $w'.$

Prenons maintenant l’équation (10) ; ici encore, le second membre n’étant plus entièrement connu, la forme s’en trouve un peu changée et nous devons écrire

(10 bis)

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p}+{\textstyle \sum }_{i}x_{i}^{p-1}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }_{i}x_{i}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}}}+\Phi .$

Si nous observons maintenant que

$x_{i}^{p-1}-{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}\quad$ et $\quad y_{i}^{p-1}-{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}$

sont connus, nos équations (9 bis) et (10 bis) pourront s’écrire

(9 a)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{p}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}}}{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}+\Phi +\mathrm {const.} ,$

(10 a)

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p}+{\textstyle \sum }_{i}{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }_{i}x_{i}^{1}\,{\frac {{\big [}dy_{i}^{p-1}{\big ]}}{dw_{k}}}+\Phi .$

On voit le rôle que joue ${\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}\,;$ c’est ce qui m’engage à déterminer d’abord cette quantité en m’occupant en détail de la première approximation. Pour cela nous avons l’équation (9 ter) écrite plus haut et l’équation

(10 ter)

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}=x_{k}^{1},$

de sorte que (9 ter) devient

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}=\mathrm {F} _{1}+\mathrm {const.}$

J’observe d’abord que les $n_{k}'^{0}$ sont nuls et que je puis, par conséquent écrire,

(9 b)

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}=\mathrm {F} _{1}+\mathrm {const.}$

en convenant de désigner par $\mathbb {S}$ une sommation portant sur les $x_{i}$ seulement ou sur les $x_{i}'$ seulement, tandis que ${\textstyle \sum }\,$ désigne, comme nous l’avons vu plus haut, une sommation portant à la fois sur les $x_{i}$ et les $x_{i}'.$ Si nous prenons les valeurs moyennes des deux membres, il viendra, puisque

$\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} ,$

il viendra, dis-je,

${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}=\mathrm {const.}$

Mais ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]},$ c’est $\mathrm {R}$ qui ne dépend que des $x_{i}^{0}$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ comme ce sont là des constantes arbitraires, la constante du second membre est également arbitraire et l’équation (9 b) s’intégrera sans difficulté.

Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes du premier degré, il viendra

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}+n_{i}^{1}=-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{1}-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}\cdot$

Le second membre est entièrement connu ; en effet, le second terme ne dépend que des $x_{i}^{0}$ et des $y_{i}^{0}=w_{i}\,;$ le premier dépend en outre des $x_{k}^{1}$ (et non des $x_{k}'^{1},$ puisque $\mathrm {F} _{0}$ par hypothèse ne dépend pas des $x_{i}'$) ; mais ces quantités sont égales aux ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}$ qui sont connues, puisque $\mathrm {S} _{1}$ a été déterminée à une fonction arbitraire près des $w_{k}'.$

En outre, la valeur moyenne de ce second membre, prise par rapport aux $w_{i}$ seulement, est une constante.

En effet, cette valeur moyenne est égale à

$-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,{\big [}x_{k}^{1}{\big ]}-{\frac {d{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{dx_{i}^{0}}}\cdot$

Or

${\begin{aligned}{\big [}x_{k}^{1}{\big ]}=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\{\frac {d{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{dx_{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dw_{i}^{0}}}&=\mathrm {const.} ,\end{aligned}}$

puisque $\mathrm {R}$ ne dépend que des $x_{i}^{0}$ et des $x_{i}'^{0}$ qui sont, des constantes,

Donc la valeur moyenne de ce second membre étant une constante, nous pourrons y égaler $n_{i}^{1}.$ On calculerait de même $n_{i}'^{1},$ seulement dans ce cas le premier terme manque et il reste simplement

$n_{i}'^{1}=-{\frac {d\mathrm {R} }{dw_{i}'^{0}}}\cdot$

L’équation s’intégrera alors sans difficulté et nous donnera $y_{i}^{1},$ à une fonction arbitraire près des $w'.$

Ce que je dis de $y_{i}^{1}$ s’applique sans changement à $y_{i}'^{1}.$ Quant à $x_{i}'^{1}$ il est égal à ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{i}'}}$ et est par conséquent connu, à une fonction arbitraire près des $w'.$

Revenons aux équations (9 a) et (10 a).

Prenons les valeurs moyennes des deux membres par rapport aux $w$ seulement, faisons d’abord cette opération pour (10 a), en supposant que la dérivée ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}$ est prise par rapport à une des quantités $w_{k}$ et non par rapport à une des quantités $w_{k}'.$ Nous aurons

${\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}\right]&=\mathrm {const.} ,&{\frac {d{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}}{dw_{k}}}&=0,\end{aligned}}$

$\left[{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]={\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}\left[{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0,$

d’où enfin

(10 c)

${\big [}x_{k}^{p}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.} \;\mathrm {arb.}$

Opérons de même pour (9 a), il viendra (puisque $n_{k}'^{0}=0$),

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{p}&=\mathbb {S} \,n_{k}^{0}x_{k}^{p},\\[0.5ex]\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}}}\right]={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}^{0}}}&=0,\\[0.5ex]\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}\right]={\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}&=\mathrm {const.} \;\mathrm {donn{\acute {e}}e.} \end{aligned}}$

Nous aurons donc

(9 c)

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\big [}x_{k}^{p}{\big ]}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}+\Phi +\mathrm {const.} \,;$

d’où, en rapprochant de (10 c),

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.}$

ou

$\mathbb {S} \,{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}+\mathbb {S} \,{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}'^{0}}}{\big [}x_{i}'^{p-1}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.}$

Mais ${\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}$ est connu à une constante près ; nous avons, en effet, une équation analogue à (10 c), en changeant $p$ en $p-1,$

${\big [}x_{k}^{p-1}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.}$

En tenant compte de l’égalité

$n_{i}'^{1}=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}'^{0}}},$

nous pouvons donc écrire

$\mathbb {S} \,n_{i}'^{1}{\big [}x_{i}'^{p-1}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.}$

Revenons maintenant à l’équation (10 a), mais en y changeant $w_{k}$ en $w_{k}'$ et $p$ en $p-2.$

Si nous observons que ${\big [}x_{i}^{p-2}{\big ]}$ et ${\big [}y_{i}^{p-2}{\big ]}$ sont connus, cette équation pourra s’écrire

(10 d)

${\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dw_{k}'}}=x_{k}'^{p-1}+\Phi .$

$\mathrm {S} _{p-1}$ est une somme de termes dont les uns sont périodiques par rapport aux $w$ et aux $w',$ tandis que les autres se réduisent à une constante multipliée par l’un des $w$ ou l’un des $w'\,;$ c’est ce qui résulte de l’hypothèse faite plus haut que les dérivées de $\mathrm {S} _{p-1}$ sont périodiques.

Si dans cette somme de termes nous supprimons tous ceux qui dépendent des $w,$ il nous restera une fonction des $w'$ que nous pourrons appeler ${\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]},$ et, comme nous avons supposé la fonction $\mathrm {S} _{p-1}$ connue à une fonction arbitraire près des $w',$ nous pourrons dire que nous connaissons $\mathrm {S} _{p-1}-{\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]},$ mais non ${\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]}.$

Nous avons alors

${\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]}}{dw_{k}'}}={\big [}x_{k}'^{p-1}{\big ]}+\Phi$

et, par conséquent,

$\mathbb {S} \,n_{i}'^{1}\,{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]}}{dw_{i}'}}=\Phi +\mathrm {const.} ,$

équation qui donne ${\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]}$ et achève ainsi la détermination de $\mathrm {S} _{p-1}.$

L’équation (10 d) et l’équation analogue

${\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p-1}+\Phi$

achèvent alors la détermination de $x_{k}^{p-1}$ et $x_{k}'^{p-1}.$

Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes de degré $p,$ il viendra

(12 bis)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}}}+n_{i}^{p}=\Phi +\mathrm {A} +\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ représentant le coefficient de $\mu ^{p}$ dans $-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},$ et $\mathrm {B}$ celui de $\mu ^{p-1}$ dans $-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}}\cdot$

$\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que des $x_{i},$ qui sont maintenant entièrement connus jusqu’aux $x_{i}^{p-1}$ inclusivement. Nous pourrons donc écrire

$\mathrm {A} =\Phi -\mathbb {S} \,{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{p}.$

De même les $x_{i}^{p-1}$ étant entièrement connus, nous aurons

$\mathrm {B} =\Phi -{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\,y_{k}^{p-1},$

ou même, puisque nous connaissons

$y_{k}^{p-1}-{\big [}y_{k}^{p-1}{\big ]},$

$\mathrm {B} =\Phi -{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\,{\big [}y_{k}^{p-1}{\big ]}.$

D’autre part, les $n_{k}'^{0}$ sont nuls, et comme $y_{i}^{p-1}$ est connu à une fonction arbitraire près des $w',$ on a

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}=\mathbb {S} \,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}},$

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}}}=\Phi +\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}'}},$

d’où

(12 a)

$\left\{{\begin{aligned}\mathbb {S} \,&n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}+\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}'}}+n_{i}^{p}\\&=\Phi -{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{p}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}{\big [}y_{k}^{p-1}{\big ]}.\end{aligned}}\right.$

Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres, en observant que

$\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\right]={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}=0\,;$

il vient

(12 b)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {d{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\Phi -{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}{\big [}x_{k}^{p}{\big ]}-n_{i}^{p}.$

Nous avons trouvé plus haut

(10 c)

${\big [}x_{k}^{p}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.} \;\mathrm {arb.} \,;$

ce qui signifie que, la constante du second membre pouvant être choisie arbitrairement, ${\big [}x_{k}^{p}{\big ]}$ est connue. On a donc

(12 c)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {d{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\Phi -n_{i}^{p}.$

On profitera de $n_{i}^{p}$ pour annuler la valeur moyenne du deuxième membre et cette équation (12 c) s’intégrera sans peine et nous donnera ${\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}.$

On calculerait de même $n_{i}'^{p}$ et ${\big [}y_{i}'^{p-1}{\big ]},$ de sorte que $x_{i}^{p-1},$ $x_{i}'^{p-1},$ $y_{i}^{p-1},$ $y_{i}'^{p-1},$ sont maintenant entièrement connus.

Les équations (9 bis) et (10 bis) peuvent alors s’écrire

(9 e)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{p}=\mathbb {S} \,n_{k}^{0}x_{k}^{p}=\Phi +\mathrm {const.} ,$

(10 e)

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p}+\Phi ,$

(10 f)

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}'}}=x_{k}'^{p}+\Phi ,$

d’où l’équation

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=\Phi +\mathrm {const.} \;\mathrm {arb.} ,$

qui détermine $\mathrm {S} _{p}$ à une fonction inconnue près des $w'$ (car nous avons plus haut choisi ${\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]}$ de façon que la valeur moyenne du deuxième membre se réduise à une constante) ; ou, en d’autres termes, qui détermine

$\mathrm {S} _{p}-{\big [}\mathrm {S} _{p}{\big ]}.$

Les équations (10 e) et (10 f) nous donneront ensuite $x_{k}^{p}$ et $x_{k}'^{p}$ à des fonctions près de $w',$ c’est-à-dire qu’elles détermineront

$x_{k}^{p}-{\big [}x_{k}^{p}{\big ]},\quad x_{k}'^{p}-{\big [}x_{k}'^{p}{\big ]}.$

Je dois ajouter que, (10 c) nous donnant déjà ${\big [}x_{k}^{p}{\big ]},$ nous connaissons complètement $x_{k}^{p},$ mais non $x_{k}'^{p}.$

L’équation (12 a) devient alors

(12 c)

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}=\Phi .$

La valeur moyenne du deuxième membre est nulle en vertu de (12 b) ; nous tirerons donc de là

$y_{i}^{p}-{\big [}y_{i}^{p}{\big ]},$

et l’on trouverait de même

$y_{i}'^{p}-{\big [}y_{i}'^{p}{\big ]}.$

Problème des trois Corps.

162.Nous prendrons pour variables indépendantes

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\tau _{i}\,\end{array}}$

et comme au n^o 152, supprimant des indices devenus inutiles, nous écrirons $\lambda$ et $\lambda '$ au lieu de $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$

Nous allons chercher à satisfaire aux équations du problème en remplaçant chacune de ces variables par les développements (4) du n^o 152 et (17) du n^o 155 ; procédant suivant les puissances de $\mu$ et de certaines constantes que j’ai appelées $x_{i}^{0}$ et $x_{i}'^{0}$ dans les n^os 152 et 155 et que j’appellerai ici $\alpha _{i}$ par analogie avec les notations du n^o 159 et pour éviter certaines confusions.

On aura d’ailleurs

${\begin{array}{c}\Lambda _{0.0}=\mathrm {const.} ,\qquad \Lambda _{0.0}'=\mathrm {const.} \;\qquad \lambda _{0.0}=w_{1},\qquad \lambda _{0.0}'=w_{2}\,;\\[0.5ex]\Lambda _{0.q}=\Lambda _{0.q}'=\lambda _{0.q}=\lambda _{0.q}'=0\quad (q>0)\,;\\[0.5ex]\sigma _{i}^{0.0}=\tau _{i}^{0.0}=0\,;\\[0.5ex]\sigma _{i}^{0.1}=\alpha _{i}\cos w_{i}'\,;\qquad \tau _{i}^{0.1}=\alpha _{i}\sin w_{i}'.\end{array}}$

Nous avons d’abord à former l’équation qui doit être analogue à l’équation (6) du n^o 158 et à l’équation (6) du numéro suivant.

Cette équation sera

(6 bis)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}&=\left(\Lambda -\Lambda _{0.0}\right){\frac {d\lambda }{dw_{k}}}+\left(\Lambda '-\Lambda _{0.0}'\right){\frac {d\lambda '}{dw_{k}}}\\&\quad +{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}\right)}{dw_{k}}}\end{aligned}}$

avec une équation analogue où $w_{k}$ est remplacé par $w_{k}'.$

À cette équation (6 bis) et à l’équation des forces vives

(4 bis)

$\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

nous adjoindrons les suivantes. En premier lieu,

(1 bis)

${\frac {d\lambda }{dt}}={\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }},$

à laquelle il convient d’ajouter une autre équation de même forme où $\Lambda$ et $\lambda$ sont remplacés par $\Lambda '$ et $\lambda '.$D’ailleurs disons une fois pour toutes que, sans qu’il soit nécessaire de le répéter, il sera convenu qu’à toute équation non symétrique en $\Lambda$ et $\Lambda '\,;$ $\lambda$ et $\lambda ',$ etc., il faut en adjoindre une autre où ces lettres sont permutées. Les signes ${\textstyle \sum }$ et $\mathbb {S}$ conservent le même sens que dans le numéro précédent. En second lieu, nous aurons encore des équations analogues aux équations (4) du n^o 159. Pour cela posons, comme dans ce numéro,

${\begin{aligned}x_{i}&=\alpha _{i}\cos w_{i}'+\tau _{i}\sin w_{i}',\\y_{i}&=\alpha _{i}\sin w_{i}'-\tau _{i}\cos w_{i}',\end{aligned}}$

$x_{i}^{p.q}=\sigma _{i}^{p.q}\cos w_{i}'+\tau _{i}^{p.q}\sin w_{i}',\quad \ldots ,$

d’où

${\begin{aligned}x_{i}^{0.1}&=\alpha _{i},&y_{i}^{0.1}&=0.\end{aligned}}$

Nous aurons alors

(7)

${\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\cos w_{i}'-{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}\sin w_{i}'-n_{i}'y_{i},$

(8)

${\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\sin w_{i}'+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}\cos w_{i}'-n_{i}'x_{i}.$

On verrait, comme dans les numéros précédents, que l’équation

${\frac {d\Lambda }{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}$

et les équations (7) sont une conséquence nécessaire des équations (6 bis), (4 bis), (1 bis) et (8). Ces dernières suffisent donc pour résoudre le problème.

Le problème ainsi posé présente, combinées entre elles, toutes les difficultés que nous avons résolues séparément dans les premiers numéros de ce Chapitre ; les mêmes procédés sont applicables.

J’emploierai la notation suivante, pour abréger certaines écritures ; j’écrirai

${\begin{aligned}\sigma _{i}^{p}&={\textstyle \sum }_{q}\,\sigma _{i}^{p.q},\\\sigma _{i}^{(q)}&={\textstyle \sum }_{p}\,\sigma _{i}^{p.q},\\\end{aligned}}$

[Cf développements (17) page 145] ; je ferai usage de notations analogues pour les lettres autres que $\sigma _{i}.$

Cela posé, commençons par annuler $\mu$ dans toutes nos équations ; (4 bis) nous donnera

(4 a)

$\mathrm {F} _{0}\left(\Lambda _{0},\Lambda _{0}'\right)=\mathrm {const.}$

Comme la constante du second membre est arbitraire, nous satisferons à cette équation en donnant à $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'$ des valeurs constantes arbitraires. Nous pourrons supposer, comme nous l’avons fait plus haut, que ces constantes sont indépendantes des $\alpha _{i},$ c’est-à-dire que

$\Lambda _{0.q}=0\quad$ pour $\;q>0$

Nous aurons ensuite, en partant de (6 bis),

(6 a)

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\sigma _{i}^{0}{\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}}}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{0}\right)}{dw_{k}}}\cdot$

Quant à (1 bis), il se réduira à

${n_{1}^{0}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}}}\,$

et de même

${n_{2}^{0}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}'}}\cdot$

Les équations (7) et (8) nous donnent

(7 a)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}=-n_{i}'^{0}y_{i}^{0},$

(8 a)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}=n_{i}'^{0}x_{i}^{0}.$

On satisfera à ces équations en supposant que les $n_{i}'^{0}$ sont nuls et que les $x_{i}^{0},$ les $y_{i}^{0},$ les $\sigma _{i}^{0},$ les $\tau _{i}^{0}$ ne dépendent pas des $w,$ mais seulement des $w'.$

Déterminons maintenant $\mathrm {S} _{0}$ ou plutôt

$\mathrm {S} _{0}-{\big [}\mathrm {S} _{0}{\big ]}.$

Comme les $\sigma _{i}^{0}$ et les $\tau _{i}^{0}$ ne dépendent pas des $w,$ l’équation (6 a) nous donne

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dw_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dw_{2}}}=0,$

ce qui signifie que $\mathrm {S} _{0}$ ne dépend pas des $w,$ mais seulement des $w'.$

Considérons maintenant dans nos équations les termes du premier degré en $\mu .$ L’équation (4 bis) va nous donner

(4 b)

$\mathbb {S} \,n_{1}^{0}\Lambda _{1}=n_{1}^{0}\Lambda _{1}+n_{2}^{0}\Lambda _{1}'=\mathrm {F} _{1}-\mathrm {const.}$

L’équation (6 bis) nous donnera

(6 b)

$\;\;{\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dw_{k}}}=\mathbb {S} \,\Lambda _{1}{\frac {d\lambda _{0}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}^{0}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{1}\right)}{dw_{k}}}\cdot$

Le premier terme du second membre se réduit évidemment à $\Lambda _{1}$ pour $k=1,$ et à $\Lambda _{1}'$ pour $k=2\,;$ car nous savons que

${\begin{aligned}\lambda _{0}&=w_{1},&\lambda _{0}'&=w_{2}.\end{aligned}}$

Pour la même raison, quand on change $w_{k}$ on $w_{k}',$ il vient

(6 b’)

${\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dw_{k}'}}={\textstyle \sum }\left[\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}+\sigma _{i}^{0}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}'}}-{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{1}\right)}{dw_{k}'}}\right]\cdot$

Nous avons vu plus haut que $\tau _{i}^{0}$ ne dépend ni de $w_{1}$ ni de $w_{2},$ et il en est de même de $\sigma _{i}^{0}\,;$ il vient donc

${\begin{aligned}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}}{dw_{k}}}&=\mathrm {const.} ,&{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}&=0,&\left[{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{1}\right)}{dw_{k}}}\right]&=0,\end{aligned}}$

$\left[\sigma _{i}^{0}\,{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]={\big [}\sigma _{i}^{0}{\big ]}\left[{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0.$

Si donc, dans (6 b), nous prenons les valeurs moyennes des deux membres, nous aurons, en faisant successivement $k={}$1 ou 2,

${\begin{aligned}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}&=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{1}}}\right]=\mathrm {const.} ,\\{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}&=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{2}}}\right]=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

En prenant alors dans (4 b) les valeurs moyennes des deux membres, le premier membre devient une constante arbitraire avec laquelle la constante du second membre peut se confondre, de sorte qu’il restera

(4 c)

${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}=\mathrm {R} =\mathrm {const.}$

Dans $\mathrm {F} _{1},$ les variables $\Lambda ,$ $\lambda ,$ $\sigma _{i}$ et $\tau _{i}$ sont supposées remplacées par $\Lambda _{0},$ $\lambda _{0},$ $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}\,;$ comme dans $\mathrm {R} ,$ les variables $\lambda _{0}$ et $\lambda _{0}'$ ont disparu, $\mathrm {R}$ reste une fonction des $\Lambda _{0},$ $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}\,;$ cette fonction est développable suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}\,;$ les termes du degré le moins élevé sont du deuxième degré et s’écrivent

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{0}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\tau _{i}^{0}\right)^{2}.$

Passons maintenant à l’équation (1 bis) ; les termes du premier degré en $\mu$ donneront

(1 b)

$\;\;\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{k}}}+\mathbb {S} \,n_{k}^{1}{\frac {d\lambda _{0}}{dw_{k}}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\Lambda _{0}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}^{2}}}\Lambda _{1}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}\,d\Lambda _{0}'}}\Lambda _{1}'.$

En prenant les valeurs moyennes des deux membres, il vient

(1 c)

$n_{1}^{1}=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\Lambda _{0}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}^{2}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}\,d\Lambda _{0}'}}{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}.$

Cette équation nous servira tout à l’heure à déterminer $n_{1}^{1}.$

Venons maintenant aux équations (7) et (8) ; elles nous donneront

(7 b)

$\;\;{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}^{0}}}\cos w_{i}'-{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}^{0}}}\sin w_{i}'-n_{i}'^{1}y_{i}^{0},$

(8 b)

$\;\;{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}^{0}}}\sin w_{i}'+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}^{0}}}\cos w_{i}'+n_{i}'^{1}x_{i}^{0}$

ou, en prenant les valeurs moyennes des deux membres et remarquant que $x_{i}^{0},$ $y_{i}^{0},$ $\sigma _{i}^{0},$ $\tau _{i}^{0}$ ne dépendent que des $w',$

(7 c)

$\mathbb {S} \,\,n_{k}'^{1}{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}'}}={\frac {d\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}}}\cos w_{i}'-{\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}\sin w_{i}'-n_{i}'^{1}y_{i}^{0},$

(8 c)

$\mathbb {S} \,\,n_{k}'^{1}{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}'}}={\frac {d\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}}}\sin w_{i}'-{\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}\cos w_{i}'+n_{i}'^{1}x_{i}^{0},$

Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les $\mathrm {S} _{0}$ les $\sigma _{i}^{0},$ les $\tau _{i}^{0}$ et les $n_{k}'^{1}\,;$ l’analogie avec le problème du n^o 159 est en effet évidente.

On passe du problème actuel à celui du n^o 159, en changeant respectivement

$\sigma _{i}^{0},\quad \tau _{i}^{0},\quad x_{i}^{0},\quad y_{i}^{0},\quad n_{k}'^{1},\quad w_{k}',\quad \mathrm {R} ,\quad \mathrm {S} _{0}$

en

$\xi _{i},\quad \eta _{i},\quad x_{i},\quad y_{i},\quad n_{k},\quad w_{k},\quad \mathrm {F} ,\quad \mathrm {S} .$

Les équations (4 c), (7 c), (8 c) sont alors respectivement équivalentes aux équations (5), (3) et (4) du n^o 159. De même l’équation (6 a′) obtenue en changeant dans (6 a) $w_{k}$ en $w_{k}'$ est équivalente à l’équation (6) du n^o 159.

Il est vrai que $\mathrm {R}$ dépend non seulement des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0},$ mais encore de $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'.$ Mais ces quantités, comme nous l’avons vu, doivent se réduire à des constantes.

Les procédés du n^o 159 sont donc applicables et nous donneront

$\sigma _{i}^{0},\quad \tau _{i}^{0},\quad n_{k}'^{1},\quad \mathrm {S} _{0}.$

D’après l’équation (4 e), $\mathrm {R}$ se réduit à une constante et cette constante devra dépendre des $\alpha _{i},$ des $\Lambda _{0}$ et des $\Lambda _{0}',$ qui sont nos constantes d’intégration.

Il en résulte que ${\frac {d\mathrm {R} }{d\Lambda _{0}}}$ est encore une constante. Comme ${\big [}\Lambda _{1}{\big ]},$ ${\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}$ et les dérivées de $\mathrm {F} _{0}$ sont encore des constantes, le second membre de (1 c) sera donc aussi une constante, ce qui nous permettra d’y égaler $n_{1}^{1}.$

On calculerait de même $n_{2}^{1}.$

Le second membre de (7 b) et de (8 b) est maintenant entièrement connu, ce qui fait que ces équations peuvent s’écrire

${\begin{aligned}\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=\Phi ,\\[0.5ex]\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=\Phi .\end{aligned}}$

La valeur moyenne du second membre est nulle, en vertu de (7 c) et (8 c) ; ces équations nous permettront donc de calculer

$x_{i}^{1}-{\big [}x_{i}^{1}{\big ]},\quad y_{i}^{1}-{\big [}y_{i}^{1}{\big ]},$

et par conséquent

$\sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad \tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad {\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}},\quad \ldots .$

Mais il vaut mieux opérer autrement.

En égalant dans les deux membres de

(A)

${\frac {d\tau _{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}$

les termes en $\mu ,$ il vient

(B)

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}=\Phi ,$

qui nous fera connaître

$\tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad {\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\cdot$

L’équation (6 b) pour $w_{k}=w_{1}$ nous donne alors

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{1}}}=\Lambda _{1}+{\textstyle \sum }\left(\sigma _{i}^{0}-\sigma _{i}^{0.1}\right){\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{i}}},$

d’où

${\begin{aligned}\Lambda _{1}&={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{1}}}+\Phi ,&\Lambda _{1}'&={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{2}}}+\Phi .\end{aligned}}$

Alors, comme $\mathrm {F} _{1}$ est connu, et que la constante du second membre de (4 b) a été choisie plus haut d’une manière arbitraire, (4 b) devient

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}=\Phi ,$

équation qui détermine

$\mathrm {S} _{1}-{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}$

eu, par conséquent,

$\Lambda _{1}-{\big [}\Lambda _{1}{\big ]},\quad \Lambda _{1}'-{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}.$

Comme ${\big [}\Lambda _{1}{\big ]}$ et ${\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}$ sont, comme je l’ai dit plus haut, des constantes que l’on peut choisir arbitrairement, $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'$ sont connus.

L’équation (6 b′) nous donne alors

(C)

${\textstyle \sum }\,\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}'}}+\Phi$

ou, en prenant les valeurs moyennes et remarquant que ${\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}$ ne dépend pas des $w_{k},$

${\textstyle \sum }\,{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}={\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}+\Phi$

ou, en retranchant et remarquant que $\mathrm {S} _{1}-{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}$ est connu,

(D)

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\left(\sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\right)=\Phi .$

Nous avons ainsi une suite d’équations linéaires d’où nous tirerons

$\sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}.$

Observons que l’équation

(E)

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\sigma _{i}^{1}}{dw_{k}}}=\Phi ,$

déduite de

(F)

${\frac {d\sigma _{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}},$

en égalant les termes en $\mu ,$ est une conséquence de (A), (B), (D) et des équations précédemment satisfaites

(4 a), (4 b), (1 a), (7 a), (8 a), (6 a), (6 b).

Cela est presque évident et J’y reviendrai plus loin. On en déduirait ensuite sans peine (7 b) et (8 b).

Comme, d’autre part,

$\mathbb {S} \,n_{k}^{1}{\frac {d\lambda _{0}}{dw_{k}}}=n_{1}^{1}$

est connu par (1 c), l’équation (1 b) peut s’écrire

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{k}}}=\Phi .$

La valeur moyenne de $\Phi$ étant nulle d’après (1 c), cette équation nous donnera

$\lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}$

On obtiendrait de même

$\lambda _{1}'-{\big [}\lambda _{1}'{\big ]}$

Considérons maintenant dans nos équations les termes du second degré en $\mu .$ D’abord, l’équation (4 bis) donnera

(4 d)

$\;\;\mathbb {S} \,n_{1}^{0}\Lambda _{2}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\sigma _{i}^{1}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}}}\tau _{i}^{1}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\lambda _{0}}}\lambda _{1}+\Phi +\mathrm {const.}$

De même, l’équation (6 bis) donnera

(6 d)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}&=\mathbb {S} \,\Lambda _{2}{\frac {d\lambda _{0}}{dw_{k}}}+\mathbb {S} \,\Lambda _{1}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{k}}}\\&+{\textstyle \sum }\,\left[\sigma _{i}^{2}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}+\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}+\sigma _{i}^{0}{\frac {d\tau _{i}^{2}}{dw_{k}}}-{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{2}\right)}{dw_{k}}}\right]\cdot \end{aligned}}\right.$

Prenons les valeurs moyennes des deux membres. Je dis que la valeur moyenne du second membre se réduira à

${\big [}\Lambda _{2}{\big ]}+\Phi .$

En effet, nous connaissons $\Lambda _{1}$ et $\lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}$ et par conséquent ${\frac {d\lambda _{1}}{dw_{k}}}\,;$ on verrait, comme quand nous avons traité l’équation (6 b), que

$\left[\sigma _{i}^{2}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}\right]=\left[\sigma _{i}^{0}{\frac {d\tau _{i}^{2}}{dw_{k}}}\right]=\left[{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{2}\right)}{dw_{k}}}\right]=0.$

D’autre part,

$\left[\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=\left[\left(\sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\right){\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]+\left[{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]\cdot$

Le premier terme du second membre est connu, puisque nous connaissons $\sigma _{i}^{1}$ et $\tau _{i}^{1}$ à une fonction près des $w'.$ Le second terme est nul, car

$\left[{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]={\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\left[{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0.$

Il vient donc finalement

${\big [}\Lambda _{2}{\big ]}=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dw_{k}}}\right]+\Phi =\Phi -\mathrm {const.} \;\mathrm {arb.}$

Nous allons prendre maintenant la valeur moyenne des deux membres dans (4 d) ; nous venons de trouver la valeur moyenne de ${\big [}\Lambda _{2}{\big ]}\,;$ considérons un terme du second membre, par exemple

${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}^{0}}}\sigma _{i}^{1}.$

Il vient

${\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\sigma _{i}^{1}\right]&=\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\left(\sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\right)\right]+\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\right]\\&=\Phi +\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\right]{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}=\Phi +{\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}.\end{aligned}}$

En opérant de même sur les autres termes de (4 d), confondant en une seule les fonctions connues $\Phi$ et les constantes arbitraires, on trouve

(4 e)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}+{\frac {d\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}}}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}\right)=\Phi +\mathrm {const.}$

On sait en effet que

${\frac {d\mathrm {R} }{d\lambda _{0}}}=0.$

Passons maintenant à l’équation (7) et voyons ce qu’elle nous donnera. D’abord le premier membre donnera

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{2}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{2}{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}\cdot$

Si nous en prenons la valeur moyenne en nous rappelant que $n_{k}'^{0}$ est nul ainsi que la valeur moyenne d’une dérivée prise par rapport à $w_{1}$ ou $w_{2},$ nous trouverons

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}'}}\right]+\mathbb {S} \,n_{k}^{2}\left[{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}'}}\right]\cdot$

Dans le second membre, considérons d’abord le terme en ${\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}},$ il nous donnera

${\frac {d\mathrm {F} _{2}}{d\tau _{i}^{0}}}+{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\Lambda _{0}}}\Lambda _{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\lambda _{0}}}\lambda _{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}\tau _{k}^{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}\sigma _{k}^{1}\right)$

ou bien

$\Phi +{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\lambda _{0}}}{\big [}\lambda _{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}\right),$

et la valeur moyenne sera

$\Phi +{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}\right).$

On opérerait de même pour ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\cdot$ Cela va nous permettre d’écrire ce que deviennent les équations (7) et (8) quand on y prend dans les deux membres des termes du second degré en $\mu .$ On trouve

(7 e)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}{\frac {d{\big [}x_{i}^{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\mathrm {A} \cos w_{i}'-\mathrm {B} \sin w_{i}'-n_{i}'^{1}{\big [}y_{i}^{1}{\big ]}-n_{i}'^{2}{\big [}y_{i}^{0}{\big ]},$

(8 e)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}{\frac {d{\big [}y_{i}^{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\mathrm {A} \sin w_{i}'+\mathrm {B} \cos w_{i}'+n_{i}'^{1}{\big [}x_{i}^{1}{\big ]}+n_{i}'^{2}{\big [}x_{i}^{0}{\big ]},$

$\mathrm {A}$ et $-\mathrm {B}$ étant les seconds membres des équations (22) du n^o 155 (p. 148), d’où les équations (7 e) et (8 e) se déduisent d’ailleurs aisément. Aux équations (7 e) et (8 e) nous adjoindrons la suivante, obtenue en prenant les valeurs moyennes dans (6 b′),

(6 c′)

${\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}={\textstyle \sum }\,\left({\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}+\sigma _{i}^{0}{\frac {d{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}-{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}\right)}{dw_{k}'}}\right)\cdot$

Nous allons maintenant, à l’aide des équations (4 e), (7 e), (8 e), (6 c′), déterminer

${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{i}'^{2},\quad {\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}.$

Ces équations ne sont d’ailleurs pas distinctes, et au Chapitre XIV nous avons vu qu’on pouvait déterminer ces quantités par les seules équations (22) du n^o 155, équivalentes à (7 e) et (8 e).

Mais je veux indiquer un autre procédé où l’on se sert seulement de (4 e), (6 c′) et(8 e) et qui se rapproche davantage de la méthode que j’ai toujours suivie dans le présent Chapitre.

Il pourrait donc y avoir intérêt à démontrer que (7 e) peut se déduire de (4 e), (6 c′) et (8 e) ; mais pour cela il est nécessaire d’examiner avec plus de détail comment (7) peut se déduire de (4 bis), (6 bis) et (8) et par conséquent de faire une digression qui va occuper les numéros suivants.

163.Reprenons le problème et les notations du n^o 158 ; les renvois se rapporteront tous, sauf avis contraire, à ce numéro. Nous avons démontré, au début de ce numéro, que les équations (2) sont une conséquence des équations (1), (3), (4) et (6). Mais on peut se poser la question suivante : Supposons que l’on ait satisfait à toutes les équations, déduites de (1), (3), (4) et (6) en égalant dans les deux membres les termes indépendants de $\mu ,$ les termes en $\mu ,$ en $\mu ^{2},$ et ainsi de suite jusqu’aux termes en $\mu ^{p}$ inclusivement. S’ensuivra-t-il qu’on aura satisfait du même coup aux équations déduites de (2) en égalant dans les deux membres les termes tout connus, les termes en $\mu ,$ en $\mu ^{2},\,\ldots ,$ en $\mu ^{p}\,?$ En d’autres termes, je suppose qu’on ait satisfait aux équations (1), (3), (4) et (6) aux termes en $\mu ^{p+1}$ près, c’est-à-dire de telle façon qu’après la substitution de notre solution approchée la différence des deux membres soit divisible par $\mu ^{p+1}\,;$ s’ensuit-il que les équations (2) seront également satisfaites aux termes en $\mu ^{p+1}$ près ? Si les équations (1), (3), (4) et (6) sont satisfaites aux termes en $\mu ^{p+1}$ près, il en sera de même des équations que l’on en déduit par voie de différentiation, d’addition ou de multiplication, telles par exemple que les équations (7) et (8). Les équations (7) et (8) seront donc encore vraies, avec cette différence que dans le second membre 0 devra être remplacé par une fonction développable suivant les puissances de $\mu$ et divisible par $\mu ^{p+1}.$

Nous aurons donc

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}-{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=\mathrm {H} ,$

$\mathrm {H}$ étant divisible par $\mu ^{p+1}\,;$ et il sera permis d’en conclure que

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}-{\frac {dy_{i}}{dt}}$

est égal à une fonction de même forme pourvu que le déterminant des ${\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}$ ne soit pas divisible par $\mu .$ Or c’est précisément ce qui arrive, car il se réduit à 1 pour $\mu =0.$

Donc les équations (2) sont satisfaites aux termes en $\mu ^{p+1}$ près.

C.Q.F.D.

Arrivons maintenant au problème du n^o 161 ; le raisonnement qui précède s’y appliquera sans changement, mais nous devons encore nous poser une autre question.

Outre les équations déduites de (1 bis), (2), (4), (6) en égalant dans les deux membres les coefficients de $\mu ^{p},$ nous avons encore à envisager celles que l’on peut obtenir en égalant les valeurs moyennes des deux membres.

Je suppose que les équations (1 bis), (4) et (6) soient satisfaites aux termes près en $\mu ^{p}.$ Il en résultera, ainsi que nous venons de le voir, qu’il en sera de même de l’équation (2).

Je suppose de plus que l’on ait satisfait aux équations obtenues de la manière suivante : dans les équations (1 bis), (4) et (6) égalons les coefficients de $\mu ^{p}$ et prenons ensuite les valeurs moyennes des deux membres. S’ensuivra-t-il que L’équation tirée de (2) par le même procédé sera également satisfaite ?

Nous pouvons exprimer nos hypothèses de la manière suivante : les équations (1 bis), (4) et (6) ne sont pas satisfaites exactement, mais la différence des deux membres est une fonction périodique des $w$ et des $w',$ développable suivant les puissances de $\mu ,$ divisible par $\mu ^{p}$ et dont la valeur moyenne prise par rapport aux $w$ est divisible par $\mu ^{p+1}.$

Je désignerai par $\mathrm {H}$ toute fonction satisfaisant à ces conditions. Il résulte de là que la somme de deux fonctions $\mathrm {H}$ est une fonction $\mathrm {H} ,$ que la dérivée de $\mathrm {H}$ par rapport à $w_{k}$ ou $w_{k}'$ est une fonction $\mathrm {H} .$ Si enfin nous multiplions $\mathrm {H}$ par une fonction $\mathrm {K}$ périodique en $w$ et $w'$ développable suivant les puissances de $\mu ,$ le produit sera encore une fonction $\mathrm {H} ,$ pourvu que, pour $\mu =0,$ $\mathrm {K}$ ne dépende pas des $w,$ mais seulement des $w'.$ Nous aurons alors

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=\mathrm {H}$

et

${\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}+\mathrm {H} \,;$

${\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {dy_{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\right)=\mathrm {H} {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}=\mathrm {H} ,$

puisque ${\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}$ ou ${\frac {dx_{i}}{dw_{k}'}}$ se réduit à zéro pour $\mu =0,$, et est par conséquent indépendant des $w.$

Il résulte de là que le second membre de (8) sera encore une fonction $\mathrm {H} .$ Comme la différentiation de (4) donne

${\textstyle \sum }\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\right)=\mathrm {H} ,$

il vient

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\right)=\mathrm {H} _{k},$

$\mathrm {H} _{k}$ étant une fonction $\mathrm {H} \,;$ d’où

${\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} _{k}{\frac {\Delta _{i.k}}{\Delta }},$

$\Delta$ étant le déterminant des ${\frac {dy_{i}}{dw_{k}}},$ en y comprenant, bien entendu, les ${\frac {dy_{i}'}{dw_{k}}},$ les ${\frac {dy_{i}}{dw_{k}'}}$ et les ${\frac {dy_{i}'}{dw_{k}'}}\cdot$ Quant à ${\frac {\Delta _{i.k}}{\Delta }},$ c’est un des mineurs de $\Delta .$

Pour $\mu =0,$ $\Delta$ se réduit à 1, $\Delta _{i.k}$ à 1 ou à 0 : ${\frac {\Delta _{i.k}}{\Delta }}$ est donc indépendant des $w.$ On a par conséquent

${\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}=\mathrm {H} ,$
C.Q.F.D.

164.Revenons maintenant aux hypothèses du n^o 159 ; adoptons-en les notations et convenons que tous les renvois se rapportent aux équations de ce n^o 159. Il s’agit d’établir :

1^o Que les équations (3) peuvent se déduire des équations (4), (5) et (6) : c’est là un point que nous avons plus haut énoncé sans démonstration, mais dont je vais donner maintenant une démonstration qui me sera utile plus loin ;

2^o Que si les équations (5) et (6) sont satisfaites aux termes près d’ordre $p+2$ par rapport aux $\alpha _{i},$ et les équations (4) aux termes près d’ordre $p+1,$ les équations (3) le seront aux termes près d’ordre $p+1$ ou, en d’autres termes, que les équations (13) et (14) sont une conséquence des équations (7), (8) et (9).

Les équations (6), exprimant que $d\mathrm {S}$ est une différentielle exacte, nous donneront

(α)

${\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{q}}}-{\frac {d\xi _{i}}{dw_{q}}}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\right)=0,$

d’où l’on déduirait, comme au n^o 158,

(β)

${\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}{\frac {d\eta _{i}}{dt}}-{\frac {d\xi _{i}}{dt}}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\right)=0.$

D’autre part, l’équation (5), différentiée par rapport à $w_{k},$ nous donne

(γ)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}{\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\right)=0.$

Posons maintenant

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}&=\mathrm {X} _{i},\\{\frac {d\xi _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}&=\mathrm {Y} _{i},\\{\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}&=\mathrm {X} _{i}^{k},\\{\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}&=\mathrm {Y} _{i}^{k},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\;\sin w_{i}&=\mathrm {A} _{i},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\;\cos w_{i}&=\mathrm {B} _{i}.\end{alignedat}}$

En effet, avec ces nouvelles notations, les équations (3) et (4) vont s’écrire respectivement

(δ)

$\mathrm {X} _{i}=\mathrm {A} _{i},$

(ε)

$\mathrm {Y} _{i}=\mathrm {B} _{i},$

L’équation (β) deviendra

(β′)

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {X} _{i}\right)=0$

et l’équation (γ) deviendra

(γ′)

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {B} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {A} _{i}\right)=0.$

Je dis que de (ε), (β′) et (γ′) on peut déduire (δ), et en effet de (β′) et (ε) on déduit

(ζ)

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {B} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {X} _{i}\right)=0$

ou enfin

(θ)

${\textstyle \sum }_{i}\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=0\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Comme le déterminant des $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ n’est pas nul, on déduira de là

$\mathrm {X} _{i}=\mathrm {A} _{i}.$

C.Q.F.D.

Supposons maintenant que les équations (4) soient vraies aux termes près d’ordre $p+1$ par rapport aux $\alpha _{i}$ et les équations (5) et (6) aux termes près d’ordre $p+2.$

Alors les équations (α), (β), (γ), (β′) et (γ′) seront vraies aux termes près d’ordre $p+2,$ (ε) aux termes près d’ordre $p+1.$ Comme le développement de $\mathrm {X} _{i}^{k}$ commence par des termes de premier ordre, en multipliant (ε) par $\mathrm {X} _{i}^{k},$ on obtiendra une équation qui sera vraie aux termes près d’ordre $p+2.$

Il suit de là que (ζ) et (θ) seront satisfaites aux termes près d’ordre $p+2.$ Je dis qu’il en résulte que (δ) le sera aux termes près de l’ordre $p+1.$

En effet, posons pour un instant

$\alpha _{i}=\lambda \alpha _{i}'$

de telle façon que les termes d’ordre $p$ par rapport aux $\alpha _{i}$ deviennent divisibles par $\lambda ^{p}.$

Je poserai ensuite

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}&=\lambda ^{p+1}\mathrm {C} _{i},\\\mathrm {Y} _{i}^{k}&=\lambda \mathrm {Z} _{i}^{k}.\end{aligned}}$

Ce que je me propose d’établir, c’est que $\mathrm {C} _{i}$ reste fini pour $\lambda =0.$

L’équation (θ) étant satisfaite aux termes près de l’ordre $p+2,$ nous aurons

${\textstyle \sum }\,\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=\lambda ^{p+2}\mathrm {H} _{k},$

$\mathrm {H} _{k}$ restant fini pour $\lambda =0\,;$ d’où

${\textstyle \sum }\,\mathrm {Z} _{i}^{k}\mathrm {C} _{i}=\mathrm {H} _{k}.$

Il suit de là que $\mathrm {C} _{i}$ reste fini pour $\lambda =0,$ pourvu que le déterminant des $\mathrm {Z} _{i}^{k}$ ne s’annule pas pour $\lambda =0.$

Or ce déterminant se réduit pour $\lambda =0$ à

$\pm \alpha _{1}'.\alpha _{2}'...\alpha _{n}'.$

Il n’est donc pas nul. C.Q.F.D.

165.Je reviens maintenant au problème du n^o 162. Je me propose de démontrer que (7 e) est une conséquence de (4 e), (6 c′) et (8 e), en supposant, bien entendu, comme nous l’avons fait plus haut, qu’on ait préalablement satisfait aux équations (4 a), (4 b) (6 a), (6 b), (8 a), (8 b), (1 a), (1 b).

Ces hypothèses peuvent se traduire de la manière suivante.

Dire que (4 a), (4 b) et (4 e) sont satisfaites, c’est dire que l’on a

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} +\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.$

Je désigne par $\mathrm {H}$ toute fonction développable suivant les puissances croissantes de $\mu$ et périodique par rapport aux $w$ et aux $w'$ et par $\mathrm {H} _{0}$ toute fonction $\mathrm {H}$ dont la valeur moyenne s’annule pour $\mu =0.$

On en déduit

(α)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}{\frac {d\sigma _{i}}{dw_{k}}}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.$

Dire que (1 a) et (1 b) sont satisfaites, c’est dire que

(β)

${\frac {d\lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}=\mu ^{2}\mathrm {H} ,$

d’où, puisque ${\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}$ s’annule pour $\mu =0,$

(β′)

${\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}\right)=\mu ^{3}\mathrm {H} .$

Passons aux équations déduites de (6 bis).

Nous supposons que (6 a), (6 b), (6 b′) sont satisfaites, mais ce n’est pas tout ; en effet, pour établir l’équation (4 e), nous nous sommes servi de l’équation (6 d) ou plutôt de l’équation (6 e) que l’on en déduit en égalant les valeurs moyennes de deux membres.

Cette équation (6 e) est donc supposée satisfaite ; mais il n 'en est pas de même de l’équation (6 e′) que l’on en déduirait en y changeant $w_{k}$ en $w_{k}'.$

Comment tout cela va-t-il s’exprimer dans notre nouveau langage ?

Comme (6 a), (6 b) et (6 e) sont satisfaites, nous aurons

${\frac {\mathrm {DS} }{dw_{k}}}=\mathrm {C} _{k}+\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},$

$\mathrm {C} _{k}$ désignant pour un moment le second membre de (6 bis). Si nous changeons $w_{k}$ en $w_{q}',$ il viendra, en désignant par $\mathrm {C} _{q}'$ ce que devient $\mathrm {C} _{k},$

${\frac {d\mathrm {S} }{dw_{q}'}}=\mathrm {C} _{q}'+\mu ^{2}\mathrm {H} .$

La valeur moyenne de $\mathrm {H}$ ne s’annule pas pour $\mu =0$ parce que (7 e′) n’est pas supposée satisfaite.

Si l’on différentie la première par rapport à $w_{q}',$ la seconde par rapport à $w_{k}$ et qu’on retranche, il vient

${\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.$

On aurait de même

${\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}}{dw_{k}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}\,;$

mais on aurait seulement

${\frac {d\mathrm {C} _{k}'}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}'}}=\mu ^{2}\mathrm {H} ,$

sans que la valeur moyenne de $\mathrm {H}$ s’annule pour $\mu =0.$ Mais, si l’on multiplie l’équation par $n_{q}'$ qui s’annule pour $\mu =0,$ il vient

$n_{q}'\left({\frac {d\mathrm {C} _{k}'}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}'}}\right)=\mu ^{3}\mathrm {H} .$

Nous aurons donc

${\textstyle \sum }_{q}\left[n_{q}\left({\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}}{dw_{k}}}\right)+n_{q}'\left({\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}}}\right)\right]=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},$

avec l’équation analogue qu’on en déduirait en changeant $w_{k}$ en $w_{k}'.$

Cela nous permet d’écrire

(γ)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}-{\frac {d\lambda }{dt}}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+{\frac {d\sigma _{i}}{dt}}{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}-{\frac {d\tau _{i}}{dt}}{\frac {d\sigma _{i}}{dw_{k}}}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}$

avec l’équation qu’on peut en déduire en changeant $w_{k}$ en $w_{k}'.$

Posons, comme au numéro précédent,

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\sigma _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\tau _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}'&=\mathrm {X} _{i},\\{\frac {d\sigma _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\tau _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}'&=\mathrm {Y} _{i},\\{\frac {d\sigma _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}'&=\mathrm {X} _{i}^{k},\\{\frac {d\sigma _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}'&=\mathrm {Y} _{i}^{k},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\cos w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}\;\sin w_{i}'&=\mathrm {A} _{i},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\sin w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}\;\cos w_{i}'&=\mathrm {B} _{i}.\end{alignedat}}$

avec d’autres équations analogues où $w_{k}$, $\mathrm {X} _{i}^{k},$ $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ sont remplacés par les mêmes lettres accentuées.

Les équations (α) et (γ) deviennent alors

(α′)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {B} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {A} _{k}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},$

(γ′)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}-{\frac {d\lambda }{dt}}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+\mathrm {X} _{i}^{k}\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}^{k}\mathrm {X} _{k}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},$

avec d’autres équations analogues où $w_{k},$ $\mathrm {X} _{i}^{k},$ $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ sont remplacés par les mêmes lettres accentuées.

D’autre part, (8 a), (8 b) et (8 c) étant supposées satisfaites, il vient

$\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {B} _{i}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.$

La combinaison de toutes nos équations nous donnera alors

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\right)+\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}$

avec une autre équation où $w_{k}$ et $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ sont remplacés par les mêmes lettres accentuées.

Nous avons là un système d’équations linéaires d’où l’on pourra tirer

${\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\quad$ et $\quad X_{i}-\mathrm {A} _{i}.$

Pour $\mu =0,$ que deviennent les coefficients de ces équations et leur déterminant ?

Les dérivées de ${\frac {d\lambda }{dw_{k}}}$ s’annulent, sauf ${\frac {d\lambda }{dw_{1}}}$ et ${\frac {d\lambda '}{dw_{2}}}$ qui se réduisent à 1. Les $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ s’annulent. Quant à

$\mathrm {Y} _{i}'^{k}={\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\sin w_{i}'-{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\cos w_{i}'$

il est indépendant de $w_{1}$ et $w_{2}.$

Le déterminant et ses mineurs est donc indépendant des $w$ pour $\mu =0\,;$ de plus, ce déterminant ne s’annule pas.

Il vient donc

$\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},$

ce qui veut dire que (7 a), (7 b), (7 e) sont satisfaites. C.Q.F.D.

Il me reste encore à établir, ainsi que je l’avais annoncé plus haut, que l’équation E du n^o 162 est une conséquence de (A), (B), (D), (4 a), (4 b), (1 a), (7 a), (8 a), (6 a), (6 b).

De (4 a) et (4 b) on déduit

(α′′)

$\mathrm {A} =\mu ^{2}\mathrm {H} ,$

$\mathrm {A}$ étant le premier nombre de (α).

De (1 a) on déduit

${\frac {d\lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}=\mu \mathrm {H}$

et

(β′′)

${\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} .$

Passons aux équations dérivées de (6 bis). Comme (6 a) et (6 b) sont satisfaites, il vient

${\frac {d\mathrm {F} }{dw_{k}}}=\mathrm {C} _{k}+\mu ^{2}\mathrm {H} .$

De même, (6 a′) est satisfaite, mais (6 b′) ne l’est qu’à une fonction près des $w'\,;$ et en effet nous avons déduit l’équation (D) de l’équation (C) équivalente (6 b′) en en retranchant une autre équation dont les deux membres sont des fonctions inconnues des $w'\,;$ je puis donc écrire

${\frac {d\mathrm {S} }{dw_{q}'}}=\mathrm {C} _{q}'+\mu ^{2}\mathrm {H} +\mu \mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant indépendant des $w.$

On déduira de là

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}}}&=\mu ^{2}\mathrm {H} ,\\{\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}}{dw_{k}}}&=\mu ^{2}\mathrm {H} ,\\{\frac {d\mathrm {C} _{k}'}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}'}}&=\mu \mathrm {H} ,\end{aligned}}$

ou, puisque $n_{q}'$ est divisible par $\mu ,$

$n_{q}'\left({\frac {d\mathrm {C} _{k}'}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}'}}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} ,$

ou enfin

(γ′′)

$\mathrm {C} =\mu ^{2}\mathrm {H} ,$

$\mathrm {C}$ étant le premier membre de (γ) ou bien encore ce premier membre où $w_{k}$ est remplacé par $w_{k}'.$

Les équations (7 a), (8 a) et (D) nous donnent

${\frac {d\tau _{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} .$

La combinaison de toutes nos équations nous donne alors

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\right)+{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {d\sigma _{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} ,$

équations linéaires d’où nous tirerons, comme plus haut,

${\frac {d\sigma _{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} .$
C.Q.F.D.

166.Après cette longue digression, je reprends le problème du n^o 162 au point où je l’avais laissé. Il s’agissait de la détermination de ${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}$ et ${\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}$ à l’aide de (4 e), (8 e) et (6 c′).

Pour cela nous allons supposer les deux termes de nos équations développées suivant les puissances de $\alpha _{i}$ et égaler dans les deux membres les termes de même degré.

L’équation (4 e) commencera par des termes du premier degré et, égalant les termes du premier degré, on obtiendra

(4 b)

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}+\tau _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}\right)=\Phi +\mathrm {const.}$

Le second membre de (6 c′) commençant par des termes du premier degré, nous trouverons d’abord

${\big [}\mathrm {S} _{1.0}{\big ]}=\mathrm {const.}$

Il viendra ensuite, en égalant les termes du premier degré,

${\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}}{dw_{k}'}}={\textstyle \sum }\left[{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0.1}}{dw_{k}'}}+\sigma _{i}^{1.0}{\frac {d{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}}{dw_{k}'}}-{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}\right)}{dw_{k}'}}\right]$

ou bien

(6 f)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}}{dw_{k}'}}&={\textstyle \sum }\left({\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0.1}}{dw_{k}'}}-{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\sigma _{i}^{0.1}}{dw_{k}'}}\right)\\&={\big [}\sigma _{k}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\tau _{k}^{0.1}}{dw_{k}'}}-{\big [}\tau _{k}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\sigma _{k}^{0.1}}{dw_{k}'}}\\&=-\sigma _{k}^{0.1}{\big [}\sigma _{k}^{1.0}{\big ]}-\tau _{k}^{0.1}{\big [}\tau _{k}^{1.0}{\big ]}=-x_{k}^{0.1}{\big [}x_{k}^{1.0}{\big ]}.\end{aligned}}\right.$

De sorte que l’équation (4 f) devient

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}}{dw_{i}'}}=\Phi +\mathrm {const.} ,$

ce qui nous donne ${\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}$ et par conséquent les ${\big [}x_{k}^{1.0}{\big ]}.$

Il reste à déterminer les ${\big [}y_{k}^{1.0}{\big ]}$ et à satisfaire à l’équation (8 f) obtenue en égalant dans (8 e) les termes de degré zéro par rapport aux $\alpha _{i}.$ À la rigueur, l’équation (4 f) peut suffire pour cela, si nous nous rappelons que les ${\big [}\sigma _{k}^{1.0}{\big ]}$ et les ${\big [}\tau _{k}^{1.0}{\big ]}$ doivent être des constantes parce que les $\sigma _{k}$ et les $\tau _{k}$ étant développables suivant les puissances des $\alpha _{i}\cos w_{i}'$ et des $\alpha _{i}\sin w_{i}',$ les termes de degré zéro par rapport aux $\alpha _{i}$ doivent être indépendants des $w_{i}'.$

Qu’est-ce maintenant que la fonction $\Phi$ du second membre de (4 f) ? Pour obtenir cette fonction, il faut évidemment : prendre la fonction $-\mathrm {F} _{2}\,;$ y remplacer les $\Lambda ,$ les $\lambda ,$ les $\sigma _{i},$ les $\tau _{i}$ par les $\Lambda _{0},$ les $w,$ les $\sigma _{i}^{0},$ les $\tau _{i}^{0}\,;$ en prendre la valeur moyenne ; considérer dans cette valeur moyenne les termes du premier degré par rapport aux $\sigma _{i}^{0}$ et aux $\tau _{i}^{0}\,;$ y remplacer les $\sigma _{i}^{0}$ et les $\tau _{i}^{0}$ par les $\sigma _{i}^{0.1}$ et les $\tau _{i}^{0.1}.$ $\Phi$ sera donc de la forme

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\sigma _{i}^{0.1}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i}\tau _{i}^{0.1},$

les $\mathrm {B} _{i}$ et les $\mathrm {C} _{i}$ étant des constantes. L’équation (4 f) s’écrit alors

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}-\tau _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}\right)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\sigma _{i}^{0.1}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i}\tau _{i}^{0.1}+\mathrm {const.}$

Si les ${\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}$ et les ${\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}$ doivent être des constantes, on ne pourra y satisfaire qu’en annulant la constante et en faisant

${\begin{aligned}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}&={\frac {\mathrm {B} _{i}}{2\mathrm {A} _{i}}},&{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}&={\frac {\mathrm {C} _{i}}{2\mathrm {A} _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Je dis de plus qu’on satisfera de la sorte à (8 f), car on satisfait ainsi aux équations (23) du n^o 155 (p. 149) dont (8 f) n’est qu’une combinaison simple qui s’obtient en les ajoutant après les avoir multipliées par $+\sin w_{i}'$ et $-\cos w_{i}'.$

Égalons maintenant les termes du second degré dans (4 e), il viendra

(4 g)

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\sigma _{i}^{1.1}{\big ]}+\tau _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.1}{\big ]}\right)=\Phi +\mathrm {const.}$

Égalons de même les termes du second degré dans (6 c′), il viendra

(6 g)

$\Phi +{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.2}{\big ]}}{dw_{k}'}}=-\left(\sigma _{k}^{0.1}{\big [}\sigma _{k}^{1.1}{\big ]}-\tau _{k}^{0.1}{\big [}\tau _{k}^{1.1}{\big ]}\right)=-x_{k}^{0.1}{\big [}x_{k}^{1.1}{\big ]}.$

L’équation (4 g) devient alors

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.2}{\big ]}}{dw_{i}'}}=\Phi +\mathrm {const.} ,$

ce qui nous donne ${\big [}\mathrm {S} _{1.2}{\big ]}$ et par conséquent les ${\big [}x_{k}^{1.1}{\big ]}.$

Considérons maintenant l’équation (8 g) que l’on obtient en égalant dans (8 e) les termes du premier degré. On pourra également l’obtenir en faisant $q=1$ dans les équations (25) du n^o 155 (p. 149), multipliant la première par $\sin w_{i}',$ la seconde par $-\cos w_{i}'$ et ajoutant. Faisons cette opération, en nous rappelant que la constante que nous désignions par $x_{i}^{1.0}$ dans le n^o 155 est maintenant représentée par $\alpha _{i}\,;$ il viendra

(8 g)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1.0}{\frac {d{\big [}y_{i}^{1.1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\Delta ''{\big [}y_{i}^{1.1}{\big ]}=\Phi -n_{i}^{1.0}{\big [}x_{i}^{1.1}{\big ]}+n_{i}'^{2.1}\alpha _{i}.$

Nous connaissons maintenant ${\big [}x_{i}^{1.1}{\big ]}\,;$ l’équation se réduit donc à

$\Delta ''{\big [}y_{i}^{1.1}{\big ]}=\Phi +n_{i}'^{2.1}\alpha _{i}.$

On déterminera $n_{i}'^{2.1}$ de façon que la valeur moyenne du second membre soit nulle et l’équation déterminera ensuite aisément ${\big [}y_{i}^{1.1}{\big ]}$ et par conséquent les ${\big [}\sigma _{i}^{1.1}{\big ]}$ et les ${\big [}\tau _{i}^{1.1}{\big ]}.$

Poursuivant de la sorte, on déterminerait de même les $n_{i}'^{2.q-1},$ les ${\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]},$ les ${\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]}.$.

Les $n_{i}^{2},$ les ${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}$ et les ${\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}$ étant ainsi déterminés, on calculerait les autres quantités par les méthodes du n^o 162. Chaque quantité devrait être déterminée par le même procédé que celle qui n’en diffère que parce que son indice (relatif au degré en $\mu$) est moins élevé d’une unité.

Il faudrait, bien entendu, avoir soin d’observer le même ordre qu’au n^o 162.

Les méthodes du Chapitre XV permettent donc d’atteindre le même but que celles du Chapitre XIV. Quelques calculs sont un peu simplifiés. De plus, ces méthodes nouvelles ont un avantage qu’il importe de signaler et que ne possédaient pas celles du Chapitre précédent : c’est qu’elles portent en elles-mêmes la démonstration de leur propre possibilité. Elles pourraient donc être exposées sans que l’on ait à passer par l’intermédiaire des Chapitres IX à XIII, ni à parler des nombreux changements des variables que nous avons dû faire dans ces Chapitres et qui ne sont utiles que pour la démonstration, mais non pour les calculs.