Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.12

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 74-93).

CHAPITRE XII.

APPLICATION AUX ORBITES.

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Exposé de la difficulté.

142.Il y a des cas où l’application des méthodes exposées dans le Chapitre précédent peut donner lieu à certaines difficultés : ce sont ceux où les excentricités sont très petites. Voici comment on peut s’en rendre compte.

Je crois que l’étude d’un exemple simple, beaucoup plus simple que n’est le Problème des trois Corps, sera de nature à mieux faire comprendre ces difficultés.

Soit donc

$\mathrm {F} =\Lambda +\mu \,{\sqrt {\Omega }}\cos(\omega +\lambda )+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega \,;$

$\mu$ est un paramètre très petit, $\mathrm {A}$ une constante, $\Lambda ,$ $\Omega ,$ $\lambda$ et $\omega$ deux paires de variables conjuguées.

Considérons les équations canoniques

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\lambda }{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}=1,&{\frac {d\omega }{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\Omega }},\\[0.75ex]{\frac {d\Lambda }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }},&{\frac {d\Omega }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\omega }}\cdot \end{aligned}}\right.$

Ces équations sont très faciles à intégrer complètement, comme nous le verrons plus loin. Mais je veux d’abord faire ressortir leur analogie avec les équations du Problème des trois Corps.

Nous avons vu, au n^o 137, qu’après un certain nombre de changements de variables, les équations de ce problème pouvaient être mises sous la forme canonique, les variables conjuguées étant

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}$

De plus, $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de

${\sqrt {\rho _{i}}}\cos \omega _{i},\quad {\sqrt {\rho _{i}}}\sin \omega _{i}\quad$ et $\quad \mu ,$

périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'\,;$ enfin $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda$ et $\Lambda '.$ La fonction $\mathrm {F} ,$ définie au commencement de ce numéro, est tout à fait analogue ; la variable $\Lambda$ joue le rôle de $\Lambda$ et $\Lambda ',$, $\Omega$ celui des $\rho _{i},$ $\lambda$ celui de $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1},$ $\omega$ celui des $\omega _{i}.$ On voit que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de

${\sqrt {\Omega }}\cos \omega ,\quad {\sqrt {\Omega }}\sin \omega ,$

et que, pour $\mu =0,$ elle se réduit à $\Lambda .$

L’analogie est donc évidente. Supposons qu’on veuille appliquer à cette équation la méthode des Chapitres précédents, c’est-à-dire chercher à intégrer l’équation aux dérivées partielles

(2)

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \cos(\omega +\lambda ){\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}}+\mu \,\mathrm {A} \;{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante d’intégration. Il s’agit de trouver une solution de cette équation (2), qui soit développable suivant les puissances de $\mu ,$ et telle que ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}$ soient périodiques en $\lambda$ et en $\omega .$

Pour cela posons

$\omega +\lambda =\varphi \,;$

l’équation (2) devient, avec les variables nouvelles $\lambda$ et $\varphi ,$

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \cos \varphi {\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}}+(1+\mu \,\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\mathrm {C} .$

Soit $\Lambda$ une constante d’intégration, et posons

${\begin{aligned}1+\mu \,\mathrm {A} &=\mathrm {B} ,&\mathrm {C} -\Lambda &=\mathrm {VB} \,;\end{aligned}}$

nous satisferons à notre équation en faisant

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}&=\Lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}&={\frac {2\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} \pm 2\mu \cos \varphi {\sqrt {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} }}}{4\mathrm {B} ^{2}}}\cdot \end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {S}$ ainsi définie satisfait bien à toutes les données du problème, à une condition toutefois, c’est que le radical

${\sqrt {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} }}$

puisse être développé suivant les puissances de $\mu .$ Or ce développement est possible, pourvu que

$\mu ^{2}<4\mathrm {B} ^{2}|\mathrm {V} |.$

et il sera très convergent si $\mu ^{2}$ est très petit, non seulement d’une manière absolue, mais encore par rapport à $\mathrm {V} .$

Si nous voulons poursuivre la comparaison avec le Problème des trois Corps, nous verrons que $\mathrm {V}$ représente une quantité analogue à celle que nous avons désignée par $\Omega _{i}$ dans le Chapitre précédent ; regardons-la donc comme de l’ordre du carré des excentricités.

Si $\mu$ et $\mathrm {V}$ sont tous deux très petits, on pourrait se proposer de développer $\mathrm {S}$ suivant les puissances de $\mu$ et de $\mathrm {V} .$ Un pareil développement est impossible, car le radical

${\sqrt {4\mathrm {B} ^{2}+{\frac {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi }{\mathrm {V} }}}}$

est seulement développable suivant les puissances de $\mu$ (parce que $\mathrm {B}$ dépend de $\mu$) et de

${\frac {\mu ^{2}}{\mathrm {V} }}\cdot$

Si donc $\mathrm {V}$ est assez petit pour être comparable à $\mu ^{2},$ la méthode du Chapitre précédent cesse d’être applicable.

143.Il est aisé de voir qu’une difficulté analogue se présente dans le Problème des trois Corps.

Reprenons, en effet, ce problème tel que nous l’avons posé dans le Chapitre précédent. Nos variables conjuguées sont

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i}.\end{array}}$

La fonction $\mathrm {S}$ qui satisfait formellement à notre équation aux dérivées partielles

$\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

et qui a été définie dans le Chapitre précédent dépend des constantes $\Lambda _{0},$, $\Lambda '_{0}$ et $\mathrm {V} _{i}^{0}\,;$ ces dernières constantes $\mathrm {V} _{i}^{0}$ seront en général, dans les applications des quantités très petites, de l’ordre du carré des excentricités. Nous pouvons alors poser

$\mathrm {V} _{i}^{0}=\varepsilon ^{2}\mathrm {W} _{i}^{0},$

$\varepsilon$ étant une constante de l’ordre des excentricités, et les $\mathrm {W} _{i}^{0}$ étant des constantes finies. Si nous regardons un instant les $\mathrm {W} _{i}^{0}$ comme donnés, $\mathrm {S}$ dépendra encore de trois constantes arbitraires

$\Lambda _{0},\quad \Lambda '_{0}\quad$ et $\quad \varepsilon .$

On peut se demander alors si $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de $\mu$ et de $\varepsilon .$

S’il en était ainsi, la solution exposée dans le Chapitre précédent serait toujours satisfaisante quelque petit que soit $\varepsilon ,$ c’est-à-dire quelque petites que soient les excentricités.

Mais il n’en est pas ainsi, comme nous allons le voir et comme l’exemple du numéro précédent permettait déjà de le prévoir. $\mathrm {S}$ est seulement développable suivant les puissances de ${\frac {\mu }{\varepsilon }}$ et de $\varepsilon .$ Il en résulte que la méthode n’est plus applicable, si ${\frac {\mu }{\varepsilon }}$ n’est pas très petit ; elle ne l’est donc pas, bien que les masses soient très petites, si les excentricités sont du même ordre que les masses.

Reprenons notre équation

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}},\lambda _{2},\lambda '_{2},v_{i}\right)=\mathrm {C} ,$

que j’écrirai, pour abréger,

(2)

$\mathrm {F} (\mathrm {S} )=\mathrm {C} .$

Nous avons vu au n^o 139 que cette équation admet une solution particulière que nous avons appelée $\Sigma \,;$ on aura donc

$\mathrm {F} (\Sigma )=\mathrm {C} ',$

$\mathrm {C} '$ étant une constante.

Posons maintenant

$\mathrm {S} =\Sigma +\varepsilon ^{2}s,$

il viendra

(3)

$\mathrm {F} (\Sigma +\varepsilon ^{2}s)=\mathrm {C} .$

Le premier membre de (3) sera développable suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ je dis de $\varepsilon$ et non de $\varepsilon ^{2}\,;$ en effet, $\mathrm {F}$ contient des termes de degré impair par rapport aux ${\sqrt {\rho _{i}}}.$ Or les $\rho _{i}$ qui sont liés aux

$\mathrm {V} _{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}}=\varepsilon ^{2}{\frac {ds}{dv_{i}}},$

par les relations

${\begin{aligned}\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},&\mathrm {V} _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}}\end{aligned}}$

trouvées aux n^os 138 et 141, sont développables suivant les puissances de $\mathrm {V} _{i},$ et, par conséquent, de $\varepsilon ^{2}.$ Donc les ${\sqrt {\rho _{i}}},$ et par conséquent $\mathrm {F} ,$ seront développables suivant les puissances de $\varepsilon .$ J’observe de plus que, si $\varepsilon$ est de l’ordre des excentricités, $s$ sera fini.

En effet, quand $\varepsilon$ s’annule, $\mathrm {S}$ se réduit à $\Sigma .$ Or cette solution particulière $\Sigma$ correspond, comme nous l’avons vu, au cas où les $\mathrm {V} _{i}^{0}$ sont nuls. Dans les applications, les $\mathrm {V} _{i}^{0}$ ne sont pas nuls, mais sont des quantités très petites de l’ordre du carré des excentricités. La différence $\mathrm {S} -\Sigma$ sera donc de l’ordre du carré des excentricités, c’est-à-dire de l’ordre de $\varepsilon ^{2}.$

Faisons, pour abréger,

$\mathrm {F} (\Sigma +\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} (\Sigma )=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ^{\star }(s),$

il viendra en retranchant (2) de (3)

(4)

$\mathrm {F} ^{\star }(s)=\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant une nouvelle constante égale à ${\frac {\mathrm {C} -\mathrm {C} '}{\varepsilon ^{2}}}\cdot$

$\mathrm {F} ^{\star }$ sera développable suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ de sorte que

$\mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {F} _{0}^{\star }+\mu \mathrm {F} _{1}^{\star }+\mu ^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }+\ldots ,$

$\mathrm {F} ^{\star }$ sera d’ailleurs périodique en $\lambda _{2}$ et en $\lambda '_{2},$ et j’appellerai $\mathrm {R} ^{\star }$ la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}^{\star }.$

Comme Σ est développable suivant les puissances de $\mu ,$ de sorte que

$\Sigma =\Sigma _{0}+\mu \Sigma _{1}+\mu ^{2}\Sigma _{2}+\ldots ,$

$\mathrm {F} _{0}(\Sigma +\varepsilon ^{2}s)$ sera également développable, de sorte que

$\mathrm {F} _{0}(\Sigma +\varepsilon ^{2}s)=\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)+\mu \Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)+\ldots ,$

et il est clair que

${\begin{aligned}\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)&=\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s),\\\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)&={\frac {d\Phi _{0}}{\varepsilon ^{2}d{\dfrac {ds}{d\lambda _{2}}}}}{\frac {d\Sigma _{1}}{d\lambda _{2}}}+{\frac {d\Phi _{1}}{\varepsilon ^{2}d{\dfrac {ds}{d\lambda '_{2}}}}}{\frac {d\Sigma _{1}}{d\lambda '_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

On aura donc

${\begin{aligned}\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }&=\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}),\\\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{1}^{\star }&=\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0})+\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0).\end{aligned}}$

$\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}}$ et de ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}\,;$ quand on aura substitué $\Sigma +\varepsilon ^{2}s$ à la place de $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {F} _{0}$ deviendra donc développable suivant les puissances de

$\varepsilon ^{2}{\frac {ds}{d\lambda _{2}}},\quad \varepsilon ^{2}{\frac {ds}{d\lambda '_{2}}},$

d 'où il résulte que

$\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{0}(0),\quad \Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0),$

sont divisibles par $\varepsilon ^{2},$ et ne dépendent d’ailleurs pas des ${\frac {ds}{dv_{i}}}\cdot$ Il résulte d’abord de là que $\mathrm {F} _{0}^{\star }$ est développable suivant les puissances positives et croissantes de $\varepsilon ^{2}.$

Au contraire, comme le développement de $\mathrm {F} _{0}^{\star }$ contient des termes du premier degré en ${\sqrt {\rho _{i}}},$ $\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)$ sera développable non pas suivant les puissances de $\varepsilon ^{2},$ mais suivant celles de $\varepsilon .$ Le développement de la différence

$\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0})$

commencera par un terme en $\varepsilon .$

D’où cette conséquence : $\mathrm {F} _{1}^{\star }$ est développable suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ mais le développement commence par un terme en ${\frac {1}{\varepsilon }}\cdot$

Observons maintenant que $\mathrm {F} _{1}^{\star }$ est une fonction périodique en $\lambda _{2}$ et $\lambda _{2}',$ et proposons-nous d’en déterminer la valeur moyenne $\mathrm {R} ^{\star }.$

La valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}(\mathrm {S} )$ est par définition $\mathrm {R} (\mathrm {S} )\,;$ quand on y remplacera $\mathrm {S}$ par $\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s,$ cette valeur moyenne ne changera pas et s’écrira $\mathrm {R} (\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s).$ Cela tient à ce que

${\frac {d\Sigma _{0}}{d\lambda _{2}}},\quad {\frac {d\Sigma _{0}}{d\lambda '_{2}}},\quad {\frac {d\Sigma _{0}}{dv_{i}}},$

se réduisent respectivement à

$\Lambda _{0},\quad \Lambda '_{0},\quad 0,$

et ne dépendent pas de $\lambda _{2}$ et de $\lambda '_{2}\,;$ si, au contraire, ces dérivées dépendaient périodiquement de $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2},$ la valeur moyenne pourrait être modifiée par la substitution.

D’autre part, la valeur moyenne

$\left[\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0)\right]=\varepsilon ^{2}\mathrm {H}$

ne dépend ni des $v_{i},$ ni des ${\frac {ds}{dv_{i}}},$ puisque $\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)$ n’en dépendait pas lui-même ; elle est d’ailleurs développable suivant les puissances positives et croissantes de $\varepsilon ^{2}.$

De même, $\mathrm {R} (\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)$ est développable suivant les puissances positives et croissantes de $\varepsilon ^{2},$ parce que le développement primitif de $\mathrm {R}$ suivant les puissances des ${\sqrt {\rho _{i}}}$ (contrairement à ce qui se passait pour celui de $\mathrm {F} _{1}$) ne contenait pas de termes de degré impair et en particulier de termes du premier degré. Il vient donc

$\varepsilon ^{2}\mathrm {R} ^{\star }=\mathrm {R} (\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {R} (\Sigma _{0})+\varepsilon ^{2}\mathrm {H} ,$

de sorte que $\mathrm {R} ^{\star }$ est développable suivant les puissances positives et croissantes de $\varepsilon ^{2}.$

Si donc nous développons $s$ suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ ainsi qu’il suit

$s=s_{0}+\mu s_{1}+\mu ^{2}s_{2}+\ldots$

nous aurons, pour déterminer les $s_{p},$ des formules de récurrence que les méthodes des Chapitres précédents nous ont fournies.

Comme $s_{p}(p>0)$ est une fonction périodique de $\lambda _{2}$ et de $\lambda '_{2},$ j’écrirai

$s_{p}=s'_{p}+s''_{p},$

s$'_{p}$ étant une fonction périodique de valeur moyenne nulle et $s''_{p}$ étant indépendant de $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2}.$

Nous pourrons écrire alors

(5)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\mathrm {S} &{\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{d\mathrm {V} _{i}^{0}}}{\frac {ds''_{p-1}}{dv_{i}}}&&=\psi _{p},\\\mathrm {S} &{\frac {d\mathrm {F} _{0}^{\star }}{d\Lambda _{0}}}{\frac {ds'_{p}}{d\lambda _{2}}}&&=\theta _{p}\,;\end{alignedat}}\right.$

$\psi _{p}$ doit dépendre de

${\begin{array}{rrrrr}s_{0},&s'_{1},&s'_{2},&\ldots ,&s'_{p-2},\\&s''_{1},&s''_{2},&\ldots ,&s''_{p-2},\end{array}}$

et $\theta _{p}$ de

${\begin{array}{rrrrr}s_{0},&s'_{1},&s'_{2},&\ldots ,&s'_{p-1},\\&s''_{1},&s''_{2},&\ldots ,&s''_{p-2}.\end{array}}$

La lettre $\mathrm {S}$ représente une sommation portant, soit sur les diverses paires de variables conjuguées $\mathrm {V} _{i}$ et $v_{i},$, soit sur les deux paires de variables conjuguées $\Lambda$ et $\lambda _{2},$, $\Lambda '$ et $\lambda '_{2}.$

Les deux membres des relations (5) sont développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon \,;$ mais les premiers membres ne contiennent que des puissances positives, tandis que les seconds membres contiennent dès puissances négatives. Avant qu’on ait remplacé, dans $\psi _{p}$ et $\theta _{p},$ les dérivées de $s'_{q}$ et de $s''_{q}\;(q<p)$ calculées antérieurement par récurrence, les développements de ces deux fonctions contenaient déjà des termes en ${\frac {1}{\varepsilon }},$ parce que le développement de $\mathrm {F} ^{\star }$ en contient, comme nous l’avons vu plus haut. Il en résulte que le développement de $s_{p},$ suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ doit commencer par une puissance négative de $\varepsilon .$ Si donc, dans $\psi _{p}$ et $\theta _{p},$ on remplace les dérivées des $s'_{q}$ et $s''_{q}$ par leurs développements, suivant les puissances de $\varepsilon ,$ antérieurement calculés, alors $\psi _{p}$ et $\theta _{p}$ seront encore développés suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ mais le développement, au lieu de commencer par un terme en ${\frac {1}{\varepsilon }},$ commencera par un terme en ${\frac {1}{\varepsilon ^{n}}},$ $n$ étant un entier positif.

L’exposant de ${\frac {1}{\varepsilon }},$ dans le premier terme du développement de $s_{p},$ ira donc en croissant avec $p.$

Il en résulte que, si les excentricités sont très petites, on pourra craindre de voir apparaître dans $s_{p}$ des termes très grands. C’est là une difficulté qui, ainsi qu’on l’a vu, provient simplement de la présence de termes en ${\frac {1}{\varepsilon }}$ dans $\mathrm {F} ^{\star }\,;$ et ces termes en ${\frac {1}{\varepsilon }}$ sont dus simplement à ce fait que $\mathrm {F}$ contenait des termes du premier degré par rapport aux ${\sqrt {\rho _{i}}}$ ou encore par rapport à $\xi ,$ $\eta ,$ $\xi '$ et $\eta '.$

Voyons maintenant si cette difficulté, dont l’exemple du numéro précédent nous aide à comprendre la nature, n’est pas purement artificielle et si quelque détour ne nous permettra pas d’en triompher.

Solution de la difficulté.

144.Pour nous rendre compte de la manière dont on peut triompher de la difficulté que je viens de signaler, revenons à l’exemple très particulier du n^o 142.

Posons

${\begin{aligned}{\sqrt {2\Omega }}\cos \omega &=x,&{\sqrt {2\Omega }}\sin \omega &=y\,;\end{aligned}}$

nos équations canoniques deviennent

(1 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\Lambda }{dt}}&={\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(y\cos \lambda +x\sin \lambda ),&{\frac {d\lambda }{dt}}&=1,\\{\frac {dx}{dt}}&={\frac {\mu }{\sqrt {2}}}\sin \lambda -\mu \,\mathrm {A} \,y,&{\frac {dy}{dt}}&={\frac {\mu }{\sqrt {2}}}\cos \lambda +\mu \,\mathrm {A} \,x\,;\end{aligned}}\right.$

le système d’équations est évidemment très facile à intégrer, car les deux dernières sont linéaires et donnent immédiatement, en observant que $dt=d\lambda ,$

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x&=&&\alpha \cos \lambda &{}+{}&\beta \cos(\mu \,\mathrm {A} \,\lambda )&{}-{}&\gamma \sin(\mu \,\mathrm {A} \,\lambda ),\\y&=-&&\alpha \sin \lambda &{}+{}&\beta \sin(\mu \,\mathrm {A} \,\lambda )&{}+{}&\gamma \cos(\mu \,\mathrm {A} \,\lambda ),\end{alignedat}}\right.$

où

$\alpha =-{\frac {\mu }{{\sqrt {2}}(1+\mu \,\mathrm {A} )}}$

et où $\beta$ et $\gamma$ sont deux constantes arbitraires.

On n’a plus ensuite qu’une quadrature à effectuer pour obtenir $\Lambda ,$ et cette quadrature s’exécute sans peine. Il vient, en effet,

$\Lambda =\delta +\beta \alpha \cos(1+\mu \mathrm {A} )\lambda +\gamma \alpha \sin(1+\mu \mathrm {A} )\lambda ,$

$\delta$ étant une nouvelle constante d’intégration.

Une solution particulière remarquable correspond au cas où $\beta$ et $\gamma$ sont nuls. Il vient alors

(3)

${\begin{aligned}x&=\alpha \cos \lambda ,&y&=-\alpha \sin \lambda ,\end{aligned}}$

d’où

$\Lambda =\delta .$

Si l’on veut continuer la comparaison avec le Problème des trois Corps, on pourra dire que cette solution particulière (3) est l’analogue des solutions périodiques de la première sorte définies au Chapitre III.

Les équations (2) nous donnent

$(x-\alpha \cos \lambda )^{2}+(y+\alpha \sin \lambda )^{2}=\beta ^{2}-\gamma ^{2}.$

Si $x$ et $y$ sont regardées pour un instant comme les coordonnées d’un point dans un plan, c’est là l’équation d’un cercle qui a pour centre le point

${\begin{aligned}x&=\alpha \cos \lambda ,&y&=-\alpha \sin \lambda ,\end{aligned}}$

qui correspondrait à la solution périodique (3). Ce point est voisin de l’origine, parce que $\mu$ et, par conséquent, $\alpha$ sont petits ; mais il diffère néanmoins de l’origine, et, si $\beta$ et $\gamma$ sont petits également, le rayon du cercle est petit et l’origine peut devenir très excentrique par rapport à ce cercle ; elle peut même être en dehors de ce cercle.

Si nous passons aux coordonnées polaires

${\sqrt {2\Omega }}\quad$ et $\quad \omega ,$

l’équation du cercle devient

$2\Omega -2\alpha {\sqrt {2\Omega }}\cos(\omega +\lambda )=\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}.$

Comparons cette équation avec celle-ci, que l’on peut déduire aisément de l’équation (2) du n^o 142

$\mu \cos \varphi {\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}}+(1+\mu \,\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\mathrm {C} -\Lambda =\mathrm {V} (1+\mu \,\mathrm {A} )$

et d’où nous avons déduit, dans ce n^o 142, la valeur de ${\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}\,;$

rappelons-nous que

${\begin{aligned}\varphi &=\omega +\lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}=\Omega .\end{aligned}}$

Nous verrons que les deux équations sont identiques pourvu que l’on fasse

$2\mathrm {V} =\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2},$

d’où il suit que la constante ${\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2}}$ n’est autre chose que celle que nous avons appelée plus haut $\mathrm {V}$ et que nous avons regardée comme étant de l’ordre du carré des excentricités. Le rayon du cercle qui est $\textstyle {\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}$ est donc de l’ordre des excentricités et, s’il est de l’ordre de $\alpha ,$ c’est-à-dire de $\mu ,$ l’origine peut se trouver en dehors du cercle.

Nous pouvons donc dire que, si dans le n^o 142 nous avons rencontré la difficulté que j’ai signalée, c’est parce que nous avions employé des espèces de coordonnées polaires et parce que nous en avions mal choisi l’origine. Cette origine doit être prise au centre du cercle, c’est-à-dire au point qui correspond à la solution périodique.

Nous sommes donc conduits à changer d’origine en posant

${\begin{aligned}x'&=x-\alpha \cos \lambda ,&y'&=y+\alpha \sin \lambda .\end{aligned}}$

Pour conserver aux équations leur forme canonique, nous devons maintenant adopter une variable nouvelle $\Lambda '$ telle que

$\Lambda '=\Lambda -\alpha (x'\cos \lambda -y'\sin \lambda ).$

Nos variables conjuguées sont alors

${\begin{array}{cc}\Lambda ',&x',\\\lambda ,&y',\end{array}}$

La fonction $\mathrm {F}$ qui, par hypothèse, était égale à

$\Lambda +\mu \,{\sqrt {\Omega }}\cos(\omega +\lambda )+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega$

devient, en fonction des variables nouvelles,

$\Lambda '+{\frac {\mu \,\mathrm {A} }{2}}({x'}^{2}+{y'}^{2})+{\frac {\mu \,\mathrm {A} \,\alpha ^{2}}{2}}+{\frac {\alpha \mu }{\sqrt {2}}}\cdot$

Les deux derniers termes sont des constantes et ne jouent aucun rôle puisqu’on peut les faire rentrer dans la constante $\mathrm {C} .$

Nos équations différentielles deviennent alors

${\begin{aligned}{\frac {d\lambda }{dt}}&=1,&{\frac {d\Lambda '}{dt}}&=0,\\{\frac {dx'}{dt}}&=-\mu \,\mathrm {A} \,y',&{\frac {dy'}{dt}}&=\mu \,\mathrm {A} \,x',\end{aligned}}$

et l’équation aux dérivées partielles correspondantes devient

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+{\frac {\mu \,\mathrm {A} }{2}}\left[\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy'}}\right)^{2}+{y'}^{2}\right]=\mathrm {const.}$

Si l’on revient maintenant aux coordonnées polaires en posant

${\begin{aligned}{\sqrt {2\Omega '}}\cos \omega '&=x',&{\sqrt {2\Omega '}}\sin \omega '&=y',\end{aligned}}$

il vient

$\mathrm {F} =\Lambda '+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega '+\mathrm {const.} ,$

et l’équation aux dérivées partielles se réduit à

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \,\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {S} }{d\omega '}}=\mathrm {const.}$

Grâce à la simplicité de l’exemple que j’ai choisi, l’intégration de l’équation ainsi transformée est immédiate ; mais le point important pour mon objet, c’est de faire observer que les termes qui seraient analogues au terme en ${\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}}$ dans l’équation (2) du n^o 142 ont disparu. Or c’était de ce terme que provenait toute la difficulté.

145.Essayons donc d’appliquer la même méthode au Problème des trois Corps et d’abord dans le plan.

Nous avons pris d’abord pour variables

(1)

$\left\{{\begin{array}{rrrr}\Lambda ,&\Lambda '&\xi ,&\xi ',\\\lambda ,&\lambda '&\eta ,&\eta ',\end{array}}\right.$

puis

(2)

$\left\{{\begin{array}{rrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{i},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\tau _{i},\end{array}}\right.$

puis

(3)

$\left\{{\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\omega _{i},\end{array}}\right.$

puis

(4)

$\left\{{\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i}.\end{array}}\right.$

Poursuivons notre comparaison et ne considérons pour le moment que les deux dernières paires de variables conjuguées, en laissant de côté les deux premières paires, c’est-à-dire $\Lambda$ et $\Lambda '$ et leurs conjuguées.

Nous pourrons dire alors que les variables (1) et (2) sont analogues à des coordonnées rectangulaires et les variables (3) et (4) analogues à des coordonnées polaires.

La difficulté que nous avons signalée au n^o 143 provient, comme on l’a vu, de la présence de termes de degré 1/2 par rapport aux $\mathrm {V} _{i},$ provenant eux-mêmes de termes du premier degré par rapport aux $\textstyle {\sqrt {\rho _{i}}}$ et de termes du premier degré en $\xi ,$ $\xi ',$ $\eta ,$ $\eta '.$

Si la fonction $\mathrm {F}$ ne contenait pas de pareils termes, nous n’aurions pas rencontré cette difficulté.

Mais, comme elle est tout à fait analogue à celle que nous avons signalée au n^o 142 et dont nous avons triomphé au n^o 144, nous sommes conduits à penser que nous en viendrons à bout par les mêmes moyens, c’est-à-dire par une transformation analogue à un changement d’origine. Il faut remplacer les variables $\xi ,$ $\xi ',$ $\eta ,$ $\eta ',$ par d’autres qui s’annulent pour les solutions périodiques de la première sorte étudiées au n^o 40, puisque ces solutions sont analogues à la solution périodique (3) du numéro précédent.

Étudions donc ces solutions périodiques du n^o 40. Nous avons vu que, pour ces solutions périodiques de la première sorte,

(5)

$\left\{{\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi \,\cos \lambda \,-\eta \,\sin \lambda \,,&+\xi \,\sin \lambda \,-\eta \,\cos \lambda ,\\&&\xi '\cos \lambda '-\eta '\sin \lambda ',&+\xi '\sin \lambda '-\eta '\cos \lambda '\end{array}}\right.$

sont des fonctions périodiques du temps, et qu’il en est de même de $\sin(\lambda -\lambda '),$ $\cos(\lambda -\lambda ').$

Nous pouvons aussi considérer les variables (5) comme des fonctions périodiques de $\lambda -\lambda '$ et de deux constantes arbitraires que j’appellerai $\mathrm {A} _{1}$ et $\mathrm {A} '_{1}.$

Soient donc

${\begin{aligned}\Lambda &=\mathrm {A} ,&\Lambda '&=\mathrm {A} ',&\xi &=\mathrm {B} ,&\xi '&=\mathrm {B} ',&\eta &=\mathrm {C} ,&\eta '&=\mathrm {C} '\end{aligned}}$

les équations de ces solutions périodiques ; $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A} ',$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} ',$ $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ seront des fonctions de $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\Lambda _{1}$ et $\Lambda '_{1},$ périodiques par rapport à $\lambda$ et $\lambda '.$ Voici quelle est la forme de ces fonctions. $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ ne dépendent que de $\lambda -\lambda ',$ et on a

${\begin{aligned}\mathrm {B} &=\quad \mathrm {T} \cos \lambda +\mathrm {U} \sin \lambda ,&\mathrm {B} '&=\quad \mathrm {T} '\cos \lambda '+\mathrm {U} \sin \lambda ',\\\mathrm {C} &=-\,\mathrm {T} \sin \lambda \,+\mathrm {U} \cos \lambda ,&\mathrm {C} '&=-\,\mathrm {T} '\sin \lambda '\,+\mathrm {U} \cos \lambda ',\end{aligned}}$

$\mathrm {T} ,\,\mathrm {U} ,\,\mathrm {T} '$ et $\mathrm {U} '$ ne dépendant que de $\lambda -\lambda '.$

On déduit de là facilement l’identité suivante

(6)

${\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}=-\mathrm {T} \,{\frac {d\mathrm {T} }{d(\lambda -\lambda ')}}-\mathrm {U} \,{\frac {d\mathrm {U} }{d(\lambda -\lambda ')}},$

et, par symétrie,

${\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}=-\mathrm {T} '{\frac {d\mathrm {T} '}{d(\lambda -\lambda ')}}-\mathrm {U} '{\frac {d\mathrm {U} '}{d(\lambda -\lambda ')}}\cdot$

Cela posé, formons une fonction auxiliaire

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}-\xi _{1}\mathrm {C} -\xi _{1}'\mathrm {C} '+\eta \mathrm {B} +\eta '\mathrm {B} '+\xi _{1}\eta +\xi _{1}'\eta ',$

$\mathrm {S} _{0}$ étant une fonction de $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\Lambda _{1},$ $\Lambda _{1}'$ que nous déterminerons plus loin. Alors $\mathrm {S}$ est fonction de

${\begin{array}{cccc}\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',\\\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}'.\end{array}}$

Si alors nous posons

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}}}&=\lambda _{1},&{\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}'}}&=\lambda _{1}',&{\frac {d\mathrm {S} }{d\xi _{1}}}&=\eta _{1},&{\frac {d\mathrm {S} }{d\xi _{1}'}}&=\eta _{1}',\\{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}\;&=\Lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '}}\;&=\Lambda ',&{\frac {d\mathrm {S} }{d\eta }}\;&=\xi ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\eta '}}\,&=\xi ',\end{aligned}}\right.$

et que l’on prenne pour variables nouvelles

${\begin{array}{rrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',\end{array}}$

au lieu de

${\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',\end{array}}$

la forme canonique des équations ne sera pas altérée. Il vient alors

${\begin{alignedat}{5}\Lambda \,&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}&{}-{}&\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}&{}-{}&\xi '_{1}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}&{}+{}&\eta {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}&{}+{}&\eta '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }},\\\Lambda '&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}&{}-{}&\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}&{}-{}&\xi '_{1}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}&{}+{}&\eta {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}&{}+{}&\eta '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}\,;\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\eta _{1}&=\eta \;-\mathrm {C} ,&\eta '_{1}&=\eta '\,-\mathrm {C} ',\\\xi \;&=\xi _{1}+\mathrm {B} ,&\xi '\,&=\xi _{1}'+\mathrm {B} '.&\end{aligned}}$

Quand on fait

$\xi _{1}=\xi _{1}'=\eta _{1}=\eta _{1}'=0,$

$\xi ,\,\xi ',\,\eta$ et $\eta '$ se réduisent respectivement à $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} ',$ $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '.$ Je veux que $\Lambda$ et $\Lambda '$ se réduisent de leur côté à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '.$ Cela entraîne les conditions

(8)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}&=\mathrm {A} &{}-{}&\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}&{}-{}&\mathrm {C} '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }},\\{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}&=\mathrm {A} '&{}-{}&\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}&{}-{}&\mathrm {C} '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}\cdot \end{alignedat}}\right.$

Ces deux équations sont compatibles et déterminent $\mathrm {S} _{0},$ pourvu que les valeurs auxquelles elles conduisent pour les dérivées de $\mathrm {S} _{0}$ satisfassent à la condition d’intégrabilité

${\frac {d}{d\lambda '}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}\right)-{\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}\right)=0.$

Or cette condition s’écrit

${}{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {A} '}{d\lambda }}-{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}+{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}+{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}=0.$

Si l’on tient compte des équations (6) et si l’on observe que $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ ne dépendent que de $\lambda -\lambda ',$ il viendra

$-{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda }}-{\frac {d\mathrm {A} '}{d\lambda }}+\mathrm {T} {\frac {d\mathrm {T} }{d\lambda }}+\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {U} }{d\lambda }}+\mathrm {T} '{\frac {d\mathrm {T} '}{d\lambda }}+\mathrm {U} '{\frac {d\mathrm {U} '}{d\lambda }}=0,$

ce qui veut dire que l’on doit avoir pour la solution périodique

$\mathrm {A} +\mathrm {A} '-{\frac {\mathrm {T} ^{2}+\mathrm {U} ^{2}+\mathrm {T} '^{2}+\mathrm {U} '^{2}}{2}}=\mathrm {const.} ,$

c’est-à-dire

$\Lambda +\Lambda '-{\frac {\xi ^{2}+\xi '^{2}+\eta ^{2}+\eta '^{2}}{2}}=\mathrm {const.}$

Or, cette condition n’est autre chose que l’équation des aires, elle est donc remplie.

La fonction $\mathrm {S} _{0},$ définie par les équations (8), existe donc. Ses dérivées ${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}$ et ${\frac {d\mathrm {S} '_{0}}{d\lambda '}}$ sont périodiques en $\lambda$ et $\lambda '.$ Les valeurs moyennes de ces deux fonctions périodiques dépendent seulement des deux constantes $\Lambda _{1}$ et $\Lambda '_{1}.$ Comme nous n’avons jusqu’ici rien supposé au sujet du choix de ces deux constantes, nous pouvons les choisir de telle façon que ces valeurs moyennes soient précisément $\Lambda _{1}$ et $\Lambda '_{1}.$

On aura alors

$\mathrm {S} _{0}=\Lambda _{1}\lambda +\Lambda '_{1}\lambda '+$ fonction périodique en $\lambda$ et $\lambda '.$

La fonction $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances croissantes de $\mu$, et pour $\mu =0$ se réduit à

$\mathrm {S} _{0}=\Lambda _{1}\lambda +\Lambda '_{1}\lambda '+\xi _{1}\eta +\xi _{1}'\eta '.$

Pour effectuer la transformation, cherchons à exprimer les variables anciennes en fonctions des nouvelles à l’aide des équations (7). Nous avons d’abord

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\eta &=\eta _{1}+\mathrm {C} ,&\eta '&=\eta _{1}'+\mathrm {C} ',\\\xi &=\xi _{1}+\mathrm {B} ,&\xi '&=\xi _{1}'+\mathrm {B} '\,;\end{aligned}}\right.$

puis, les deux premières équations (7)

${\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}}},&\lambda _{1}'&={\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}'}}\cdot \end{aligned}}$

Dans ces deux équations, je remplace $\eta$ et $\eta '$ par leurs valeurs (9), et alors elles peuvent s’écrire

${\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda +\mu \psi ,&\lambda _{1}'&=\lambda '+\mu \psi '.\end{aligned}}$

$\psi$ et $\psi '$ étant des fonctions de $\mu ,$ $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\xi _{1},$ $\xi _{1}',$ $\eta _{1},$ $\eta _{1}',$ $\Lambda _{1},$ $\Lambda _{1}'$ de la forme suivante :

1^o Elles sont développables suivant les puissances de $\mu .$

2^o Elles sont périodiques en $\lambda$ et $\lambda '.$

3^o Elles sont linéaires en $\xi _{1},\,\xi _{1}',\,\eta _{1},\,\eta _{1}'.$

De ces équations on peut alors déduire, par application des principes du Chapitre II, dont nous avons fait un si fréquent usage,

${\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}+\mu \psi _{1},&\lambda '&=\lambda _{1}'+\mu \psi _{1}',\end{aligned}}$

$\psi _{1}$ et $\psi _{1}'$ étant des fonctions de $\lambda _{1},$ $\Lambda _{1},$ $\xi _{1},$ $\eta _{1}$ et des mêmes lettres accentuées, qui sont

1^o Développables suivant les puissances de $\mu ,$ $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $\xi '_{1},\,\eta '_{1}.$

2^o Périodiques en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$

Substituons dans les équations (9) ces valeurs de $\lambda$ et de $\lambda '\,;$ nous aurons les $\xi$ et les $\eta$ en fonctions des variables nouvelles. J’observe que les $\xi$ et les $\eta ,$ exprimés de la sorte sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1},$ et périodiques en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'\,;$ de plus, pour $\mu =0,$ $\xi$ et $\eta$ se réduisent à $\xi _{1}$ et $\eta _{1}.$

Si, dans les deux équations,

${\begin{aligned}\Lambda &={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }},&\Lambda '&={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '}},\end{aligned}}$

on substitue maintenant, à la place des $\lambda ,$ des $\xi$ et des $\eta ,$ leurs expressions en fonctions des variables nouvelles, on aura $\Lambda$ et $\Lambda '$ exprimés en fonctions des $\Lambda _{1},$ des $\lambda _{1},$ des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1},$ périodiques en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}',$ développables suivant les puissances de $\mu ,$ des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1},$ et se réduisant pour $\mu =0$ à $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'.$

Que devient maintenant $\mathrm {F}$ quand on adopte les variables nouvelles ? Il est clair que $\mathrm {F}$ sera encore développable suivant les puissances de $\mu ,$ des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1}$ et périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$

Soit

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots$

le développement de $\mathrm {F}$ suivant les puissances de $\mu$ quand on adopte les variables anciennes et soit de même

$\mathrm {F} =\mathrm {F} '_{0}+\mu \,\mathrm {F} '_{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} '_{2}+\ldots$

le développement de $\mathrm {F}$ quand on adopte les variables nouvelles.

Il est clair d’abord que, pour obtenir $\mathrm {F} '_{0},$ il suffit de remplacer dans $\mathrm {F} _{0},$ $\Lambda$ et $\Lambda '$ par $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'.$

Calculons $\mathrm {F} '_{1}.$

Soit $\mathrm {F} _{1}''$ ce qu’on obtient en remplaçant dans $\mathrm {F} _{1}$ chaque variable ancienne par la variable nouvelle correspondante, c’est-à-dire $\Lambda$ par $\Lambda _{1},$ $\lambda$ par $\lambda _{1},$ $\xi$ par $\xi _{1},$ etc.

Soit

${\begin{aligned}\Lambda &=\Lambda _{1}+\mu \Lambda _{2}+\ldots ,\\\Lambda '&=\Lambda _{1}'+\mu \Lambda _{2}'+\ldots \end{aligned}}$

le développement de $\Lambda$ et de $\Lambda '$ suivant les puissances de $\mu .$ Il est clair que

$\mathrm {F} _{1}'=\mathrm {F} _{1}''+{\frac {d\mathrm {F} _{0}'}{d\Lambda _{1}}}\Lambda _{2}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}'}{d\Lambda _{1}'}}\Lambda _{2}'.$

Calculons $\Lambda _{2}.$ On trouve aisément

$\Lambda =\mathrm {A} -\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}-\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}+\eta _{1}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}\cdot$

Donc, pour obtenir $\Lambda _{2},$ il faut dans l’expression

${\frac {\mathrm {A} -\Lambda _{1}}{\mu }}-\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{\mu \,d\lambda }}-\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {C} '}{\mu \,d\lambda }}+\eta _{1}{\frac {d\mathrm {B} }{\mu \,d\lambda }}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {B} '}{\mu \,d\lambda }},$

il faut, dis-je, faire $\mu =0$ et par conséquent $\lambda =\lambda _{1},$ $\lambda '=\lambda _{1}'.$ Donc $\Lambda _{2}$ (et il en est de même de $\Lambda _{2}'$) est une fonction périodique des $\lambda _{1},$ linéaire des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1}$ et sa valeur moyenne (par rapport à $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'$) ne dépend ni des $\xi _{1}$ ni des $\eta _{1}.$

Donc $\mathrm {F} '_{1}$ sera périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$ Soit $\mathrm {R} '$ sa valeur moyenne, $\mathrm {R} ''$ celle de $\mathrm {F} _{1}''.$ On obtiendra $\mathrm {R} ''$ en remplaçant dans $\mathrm {R}$ chaque variable ancienne par la variable nouvelle correspondante, et $\mathrm {R} '$ ne différera de $\mathrm {R} ''$ que par une quantité indépendante des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1}.$

Nous avons vu au Chapitre X quelle est l’importance des équations

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\eta }},&{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\xi }}\end{aligned}}$

pour l’étude des variations séculaires des éléments. Après le changement de variables que nous venons de faire, elles seraient remplacées par les suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} ''}{d\eta _{1}}},&{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} ''}{d\xi _{1}}}\cdot \end{aligned}}$

Mais, d’après ce que nous venons de voir, les deux systèmes d’équations sont identiques, et le second ne diffère du premier que parce que les lettres sont affectées d’indices.

Jusqu’ici il semble que la transformation que nous avons faite n’ait rien changé à la forme de nos équations ; j’arrive enfin à ce qui doit en mettre les avantages en évidence.

Voyons d’abord ce que deviennent les équations de nos solutions périodiques de la première sorte avec nos nouvelles variables. Grâce au choix de notre fonction auxiliaire $\mathrm {S} ,$ elles s’écriront

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\eta _{1}=\xi _{1}'=\eta _{1}'=0,&\Lambda _{1}&=\mathrm {const.} ;&\Lambda _{1}'&=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

Enfin, $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'$ seront des fonctions données du temps, des deux constantes $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'$ et de deux nouvelles constantes arbitraires.

Il peut y avoir quelque intérêt, bien que cela ne soit pas nécessaire pour notre objet, de voir comment $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'$ dépendent de ces deux constantes que j’appellerai $\alpha$ et $\beta \,;$ nous aurons

${\begin{aligned}\lambda _{1}&=\alpha +\varphi (t+\beta ,\,\Lambda _{1},\,\Lambda _{1}'),&\lambda _{1}'&=\alpha +\varphi '(t+\beta ,\,\Lambda _{1},\,\Lambda _{1}'),\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant deux fonctions de $t+\beta ,$ $\Lambda _{1},$ $\Lambda _{1}'$ qui, quand $t+\beta$ augmente d’une certaine constante $\gamma$ dépendant de $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}',$ augmentent elles-mêmes d’une certaine constante $\delta$ (la même pour $\varphi$ et pour $\varphi '$) qui dépend aussi de $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'.$ La première de ces deux constantes $\gamma$ est la période de la solution périodique envisagée et la seconde $\delta$ est l’angle dont tourne le système des trois corps pendant la durée d’une période.

Je ne veux retenir de tout cela qu’une chose :

Si $\xi _{1},\,\eta _{1},\,\xi _{1}'$ et $\eta _{1}'$ sont nuls à l’origine des temps, la solution est périodique de la première sorte et ces quatre variables $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $\xi _{1}'$ et $\eta _{1}'$ resteront toujours nulles.

Or, nous avons les équations différentielles

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}}},&{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}'}},\\{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}}},&{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}&=-\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}'}}.\end{aligned}}$

Il faut donc que les quatre dérivées

${\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}'}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}'}}$

s’annulent à la fois quand les quatre variables

$\xi _{1},\quad \xi _{1}',\quad \eta _{1},\quad \eta _{1}'$

s’annulent à la fois, c’est-à-dire que $\mathrm {F}$ ne contienne pas de termes du premier degré par rapport à ces quatre variables.

Ainsi l’expression de $\mathrm {F}$ en fonction des variables nouvelles a la même forme que l’expression de $\mathrm {F}$ en fonction des variables anciennes ; la seule différence, c’est qu’il n’y a pas de termes du premier degré par rapport à $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $\xi _{1}',$ $\eta _{1}',$ tandis qu’il y avait des termes du premier degré par rapport aux quatre variables anciennes correspondantes $\xi ,$ $\eta ,$ $\xi '$ et $\eta '.$ Or, c’étaient ces termes du premier degré qui créaient toute la difficulté ; cette difficulté a donc disparu avec eux.

Il en est de même si, au lieu du Problème des trois Corps dans le plan, on a à traiter le Problème des trois Corps dans l’espace.

Si, en effet, on choisit comme variables

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',&p,&p',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',&q,&q',\end{array}}$

$\mathrm {F}$ ne contiendra pas de terme du premier degré par rapport aux $\xi _{1},$ aux $\eta _{1},$ aux $p$ et aux $q.$