CHAPITRE XII.
APPLICATION AUX ORBITES.
Exposé de la difficulté.
142.Il y a des cas où l’application des méthodes exposées dans
le Chapitre précédent peut donner lieu à certaines difficultés : ce
sont ceux où les excentricités sont très petites. Voici comment on
peut s’en rendre compte.
Je crois que l’étude d’un exemple simple, beaucoup plus simple
que n’est le Problème des trois Corps, sera de nature à mieux
faire comprendre ces difficultés.
Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {F} =\Lambda +\mu \,{\sqrt {\Omega }}\cos(\omega +\lambda )+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1874d730eb63d0c446c4930c0b772a2b874a4e9)
est un paramètre très petit,
une constante,
et
deux
paires de variables conjuguées.
Considérons les équations canoniques
(1)
|
|
|
Ces équations sont très faciles à intégrer complètement, comme
nous le verrons plus loin. Mais je veux d’abord faire ressortir leur
analogie avec les équations du Problème des trois Corps.
Nous avons vu, au no 137, qu’après un certain nombre de changements
de variables, les équations de ce problème pouvaient être
mises sous la forme canonique, les variables conjuguées étant
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa85a67fcf1606d4969b57857d0fe078c698879)
De plus,
est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle {\sqrt {\rho _{i}}}\cos \omega _{i},\quad {\sqrt {\rho _{i}}}\sin \omega _{i}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e073893c96266dd45e7763ad89dd880e1fcb5058)
et
![{\displaystyle \quad \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c561900bf0048fd32a8a89c75bbcbc18adc0d2)
périodique en
et
enfin
ne dépend que de
et
La
fonction
définie au commencement de ce numéro, est tout à fait
analogue ; la variable
joue le rôle de
et
,
celui des
celui
de
et
celui des
On voit que
est développable suivant
les puissances de
![{\displaystyle {\sqrt {\Omega }}\cos \omega ,\quad {\sqrt {\Omega }}\sin \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742e35030f2b0d7be7fb0263da5ef90f5189a795)
et que, pour
elle se réduit à ![{\displaystyle \Lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f31ae3ac22be0a40c4c1321e4792374285282e)
L’analogie est donc évidente. Supposons qu’on veuille appliquer
à cette équation la méthode des Chapitres précédents, c’est-à-dire
chercher à intégrer l’équation aux dérivées partielles
(2)
|
|
|
étant une constante d’intégration. Il s’agit de trouver une solution
de cette équation (2), qui soit développable suivant les puissances
de
et telle que
et
soient périodiques en
et en ![{\displaystyle \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2243e2ce8b3865a78e46f7e554deb7b3aaa09490)
Pour cela posons
![{\displaystyle \omega +\lambda =\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047abfd0ccf0fdc91fe6d9d8e9658f164dcb4e3f)
l’équation (2) devient, avec les variables nouvelles
et ![{\displaystyle \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb4baf1e617abd3f5384bab1851bf109ea0b614)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \cos \varphi {\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}}+(1+\mu \,\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b2ffd4cf809397d1f2c5c601c6b15512733bc8)
Soit
une constante d’intégration, et posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+\mu \,\mathrm {A} &=\mathrm {B} ,&\mathrm {C} -\Lambda &=\mathrm {VB} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665b88ab9ece5250b6a0568a62ec83eace4625d8)
nous satisferons à notre équation en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}&=\Lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}&={\frac {2\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} \pm 2\mu \cos \varphi {\sqrt {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} }}}{4\mathrm {B} ^{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8047feb68e636a60b0b621a03a1e861ad38b40c)
La fonction
ainsi définie satisfait bien à toutes les données
du problème, à une condition toutefois, c’est que le radical
![{\displaystyle {\sqrt {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81a8c95c40e14003ea6dda873f8d2e4607e245c)
puisse être développé suivant les puissances de
Or ce développement
est possible, pourvu que
![{\displaystyle \mu ^{2}<4\mathrm {B} ^{2}|\mathrm {V} |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472065630f3ff8dd2b229faf89831453a08339a7)
et il sera très convergent si
est très petit, non seulement d’une
manière absolue, mais encore par rapport à ![{\displaystyle \mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220df887894e07aac76a143d9bb430374c41c0cc)
Si nous voulons poursuivre la comparaison avec le Problème
des trois Corps, nous verrons que
représente une quantité analogue
à celle que nous avons désignée par
dans le Chapitre
précédent ; regardons-la donc comme de l’ordre du carré des
excentricités.
Si
et
sont tous deux très petits, on pourrait se proposer de
développer
suivant les puissances de
et de
Un pareil
développement est impossible, car le radical
![{\displaystyle {\sqrt {4\mathrm {B} ^{2}+{\frac {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi }{\mathrm {V} }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415fa48f12ba6f326f517a0aa9bf4d5dfc110baf)
est seulement développable suivant les puissances de
(parce que
dépend de
) et de
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{\mathrm {V} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c42872937abfd27d34156cb1368fa3c6a10f2c)
Si donc
est assez petit pour être comparable à
la méthode
du Chapitre précédent cesse d’être applicable.
143.Il est aisé de voir qu’une difficulté analogue se présente
dans le Problème des trois Corps.
Reprenons, en effet, ce problème tel que nous l’avons posé dans
le Chapitre précédent. Nos variables conjuguées sont
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593828d7984762336aabea9fa819312d2cf73648)
La fonction
qui satisfait formellement à notre équation aux
dérivées partielles
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ba6cbfb2d8647df984ebb050c2e46a1bd6d95e)
et qui a été définie dans le Chapitre précédent dépend des constantes
,
et
ces dernières constantes
seront en général, dans les applications des quantités très petites, de l’ordre du carré
des excentricités. Nous pouvons alors poser
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}^{0}=\varepsilon ^{2}\mathrm {W} _{i}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e69d97fd58ae334c52eaee78406a1facaee7090)
étant une constante de l’ordre des excentricités, et les
étant
des constantes finies. Si nous regardons un instant les
comme
donnés,
dépendra encore de trois constantes arbitraires
![{\displaystyle \Lambda _{0},\quad \Lambda '_{0}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c78ce4b1b83a19c40afd8729744434027499ed4)
et
![{\displaystyle \quad \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e73d0bec5c0932b6b667f612134522a51ee6af0)
On peut se demander alors si
est développable suivant les puissances
de
et de ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
S’il en était ainsi, la solution exposée dans le Chapitre précédent
serait toujours satisfaisante quelque petit que soit
c’est-à-dire
quelque petites que soient les excentricités.
Mais il n’en est pas ainsi, comme nous allons le voir et comme
l’exemple du numéro précédent permettait déjà de le prévoir.
est
seulement développable suivant les puissances de
et de
Il en
résulte que la méthode n’est plus applicable, si
n’est pas très
petit ; elle ne l’est donc pas, bien que les masses soient très petites,
si les excentricités sont du même ordre que les masses.
Reprenons notre équation
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}},\lambda _{2},\lambda '_{2},v_{i}\right)=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473b0aaa03107e8e20636ccea602f08555a0d43a)
que j’écrirai, pour abréger,
(2)
|
|
|
Nous avons vu au no 139 que cette équation admet une solution
particulière que nous avons appelée
on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {F} (\Sigma )=\mathrm {C} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3b192212b2e7e0d2e360f1062289f2b02ada50)
étant une constante.
Posons maintenant
![{\displaystyle \mathrm {S} =\Sigma +\varepsilon ^{2}s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41dfc0275d979f2dd4211e3e343480d8eae3b333)
il viendra
(3)
|
|
|
Le premier membre de (3) sera développable suivant les puissances
de
je dis de
et non de
en effet,
contient des
termes de degré impair par rapport aux
Or les
qui sont
liés aux
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}}=\varepsilon ^{2}{\frac {ds}{dv_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544976279cd037ff868adc2a6698d9c8e453ff93)
par les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},&\mathrm {V} _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b803ea9ed14bae20d875ce2fb48caceed81344d)
trouvées aux nos 138 et 141, sont développables suivant les puissances
de
et, par conséquent, de
Donc les
et par
conséquent
seront développables suivant les puissances de
J’observe de plus que, si
est de l’ordre des excentricités,
sera fini.
En effet, quand
s’annule,
se réduit à
Or cette solution
particulière
correspond, comme nous l’avons vu, au cas où les
sont nuls. Dans les applications, les
ne sont pas nuls, mais
sont des quantités très petites de l’ordre du carré des excentricités.
La différence
sera donc de l’ordre du carré des excentricités,
c’est-à-dire de l’ordre de
Faisons, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} (\Sigma +\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} (\Sigma )=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ^{\star }(s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737d696d95136030d6fc6ac416ad738bc0eed0de)
il viendra en retranchant (2) de (3)
(4)
|
|
|
étant une nouvelle constante égale à ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} -\mathrm {C} '}{\varepsilon ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5473a091af7596c6d0cee13245eba43ca63c71)
sera développable suivant les puissances croissantes de
de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {F} _{0}^{\star }+\mu \mathrm {F} _{1}^{\star }+\mu ^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09edc85551fb616a0303273aa036f1792b974f3)
sera d’ailleurs périodique en
et en
et j’appellerai
la
valeur moyenne de ![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{\star }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5536142ca64f3e6b75a5a96b1658e60e23c29ab)
Comme Σ est développable suivant les puissances de
de sorte que
![{\displaystyle \Sigma =\Sigma _{0}+\mu \Sigma _{1}+\mu ^{2}\Sigma _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a66ea7bd20d51598b9c3e64f9c1a547e30dc636)
sera également développable, de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}(\Sigma +\varepsilon ^{2}s)=\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)+\mu \Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e72d77d8f76c1f94a06a68c4d1db46b0794fbd1)
et il est clair que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)&=\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s),\\\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)&={\frac {d\Phi _{0}}{\varepsilon ^{2}d{\dfrac {ds}{d\lambda _{2}}}}}{\frac {d\Sigma _{1}}{d\lambda _{2}}}+{\frac {d\Phi _{1}}{\varepsilon ^{2}d{\dfrac {ds}{d\lambda '_{2}}}}}{\frac {d\Sigma _{1}}{d\lambda '_{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed46ae96d611801f7b084410ed8f460086d91c8)
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }&=\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}),\\\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{1}^{\star }&=\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0})+\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d8726b9db79224ee24ab7ce0348f60c04f5437)
ne dépend que de
et de
quand on aura substitué
à la place de
deviendra donc développable suivant
les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {ds}{d\lambda _{2}}},\quad \varepsilon ^{2}{\frac {ds}{d\lambda '_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757cb5f14f7be19be49a08ade6e1c66e6f6d5ec0)
d 'où il résulte que
![{\displaystyle \Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{0}(0),\quad \Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fd769c27f6f5df1b7badfd7d5ecdcbe4bb037a)
sont divisibles par
et ne dépendent d’ailleurs pas des
Il
résulte d’abord de là que
est développable suivant les puissances
positives et croissantes de ![{\displaystyle \varepsilon ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cb51b16bd043aa3ad00f662f8ba6549cdde83)
Au contraire, comme le développement de
contient des
termes du premier degré en
sera développable
non pas suivant les puissances de
mais suivant celles de
Le
développement de la différence
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61babcf98df33c483d7c0c86b941fb8c2e8537b0)
commencera par un terme en ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
D’où cette conséquence :
est développable suivant les puissances
croissantes de
mais le développement commence par un
terme en
Observons maintenant que
est une fonction périodique en
et
et proposons-nous d’en déterminer la valeur moyenne
La valeur moyenne de
est par définition
quand
on y remplacera
par
cette valeur moyenne ne changera
pas et s’écrira
Cela tient à ce que
![{\displaystyle {\frac {d\Sigma _{0}}{d\lambda _{2}}},\quad {\frac {d\Sigma _{0}}{d\lambda '_{2}}},\quad {\frac {d\Sigma _{0}}{dv_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e717c3afe94865b9eb9869e12d3f0a17b20b9c7)
se réduisent respectivement à
![{\displaystyle \Lambda _{0},\quad \Lambda '_{0},\quad 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd954be9aa4ed39b51ac4933063017e0893c3d7)
et ne dépendent pas de
et de
si, au contraire, ces dérivées
dépendaient périodiquement de
et
la valeur moyenne pourrait
être modifiée par la substitution.
D’autre part, la valeur moyenne
![{\displaystyle \left[\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0)\right]=\varepsilon ^{2}\mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25dc9a8717d4b7e33706ae40500ba307b1f15d39)
ne dépend ni des
ni des
puisque
n’en dépendait pas
lui-même ; elle est d’ailleurs développable suivant les puissances
positives et croissantes de ![{\displaystyle \varepsilon ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cb51b16bd043aa3ad00f662f8ba6549cdde83)
De même,
est développable suivant les puissances
positives et croissantes de
parce que le développement primitif
de
suivant les puissances des
(contrairement à ce qui
se passait pour celui de
) ne contenait pas de termes de degré
impair et en particulier de termes du premier degré. Il vient donc
![{\displaystyle \varepsilon ^{2}\mathrm {R} ^{\star }=\mathrm {R} (\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {R} (\Sigma _{0})+\varepsilon ^{2}\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a1450cd61b2f34614064ea24b4b848ebbb384a)
de sorte que
est développable suivant les puissances positives
et croissantes de ![{\displaystyle \varepsilon ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cb51b16bd043aa3ad00f662f8ba6549cdde83)
Si donc nous développons
suivant les puissances croissantes
de
ainsi qu’il suit
![{\displaystyle s=s_{0}+\mu s_{1}+\mu ^{2}s_{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1635d49582c5c4b51f24238562f874726d95dd)
nous aurons, pour déterminer les
des formules de récurrence
que les méthodes des Chapitres précédents nous ont fournies.
Comme
est une fonction périodique de
et de
j’écrirai
![{\displaystyle s_{p}=s'_{p}+s''_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae5fc8ffb24d82c15cfe281232fdf07972e435a)
s
étant une fonction périodique de valeur moyenne nulle et
étant indépendant de
et ![{\displaystyle \lambda '_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed6767f5574d69a41c9d0b99a02e13bc2fae3fd)
Nous pourrons écrire alors
(5)
|
|
|
doit dépendre de
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}s_{0},&s'_{1},&s'_{2},&\ldots ,&s'_{p-2},\\&s''_{1},&s''_{2},&\ldots ,&s''_{p-2},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a863c4f4cde220618c60e5f05974525225d18d80)
et
de
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}s_{0},&s'_{1},&s'_{2},&\ldots ,&s'_{p-1},\\&s''_{1},&s''_{2},&\ldots ,&s''_{p-2}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1b33ae7114c44784fb131ea8e317c396fb350b)
La lettre
représente une sommation portant, soit sur les diverses
paires de variables conjuguées
et
, soit sur les deux paires
de variables conjuguées
et
,
et ![{\displaystyle \lambda '_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed6767f5574d69a41c9d0b99a02e13bc2fae3fd)
Les deux membres des relations (5) sont développables suivant
les puissances croissantes de
mais les premiers membres ne
contiennent que des puissances positives, tandis que les seconds
membres contiennent dès puissances négatives. Avant qu’on ait
remplacé, dans
et
les dérivées de
et de
calculées
antérieurement par récurrence, les développements de ces
deux fonctions contenaient déjà des termes en
parce que le
développement de
en contient, comme nous l’avons vu plus
haut. Il en résulte que le développement de
suivant les puissances
croissantes de
doit commencer par une puissance négative
de
Si donc, dans
et
on remplace les dérivées des
et
par leurs développements, suivant les puissances de
antérieurement
calculés, alors
et
seront encore développés suivant les
puissances croissantes de
mais le développement, au lieu de
commencer par un terme en
commencera par un terme en
étant un entier positif.
L’exposant de
dans le premier terme du développement de
ira donc en croissant avec
Il en résulte que, si les excentricités sont très petites, on pourra
craindre de voir apparaître dans
des termes très grands. C’est
là une difficulté qui, ainsi qu’on l’a vu, provient simplement de
la présence de termes en
dans
et ces termes en
sont dus
simplement à ce fait que
contenait des termes du premier degré
par rapport aux
ou encore par rapport à
et
Voyons maintenant si cette difficulté, dont l’exemple du numéro
précédent nous aide à comprendre la nature, n’est pas purement
artificielle et si quelque détour ne nous permettra pas d’en
triompher.
Solution de la difficulté.
144.Pour nous rendre compte de la manière dont on peut
triompher de la difficulté que je viens de signaler, revenons à
l’exemple très particulier du no 142.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2\Omega }}\cos \omega &=x,&{\sqrt {2\Omega }}\sin \omega &=y\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f7b1c0222b6febe63abe733f2919bdc59882ec)
nos équations canoniques deviennent
(1 bis)
|
|
|
le système d’équations est évidemment très facile à intégrer, car
les deux dernières sont linéaires et donnent immédiatement, en
observant que ![{\displaystyle dt=d\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a99e228b5d30aa44612f8e98cd18300497f56c)
(2)
|
|
|
où
![{\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{{\sqrt {2}}(1+\mu \,\mathrm {A} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8895d6b68de1c2352696b3f4f76f64a3e325ad6a)
et où
et
sont deux constantes arbitraires.
On n’a plus ensuite qu’une quadrature à effectuer pour obtenir
et cette quadrature s’exécute sans peine. Il vient, en effet,
![{\displaystyle \Lambda =\delta +\beta \alpha \cos(1+\mu \mathrm {A} )\lambda +\gamma \alpha \sin(1+\mu \mathrm {A} )\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d351f045b5da46fe5e64dd80fa88458e322ebc)
étant une nouvelle constante d’intégration.
Une solution particulière remarquable correspond au cas où
et
sont nuls. Il vient alors
(3)
|
|
|
d’où
![{\displaystyle \Lambda =\delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf576e3be5294052066afe0be7f928d7e739908a)
Si l’on veut continuer la comparaison avec le Problème des trois
Corps, on pourra dire que cette solution particulière (3) est l’analogue
des solutions périodiques de la première sorte définies au
Chapitre III.
Les équations (2) nous donnent
![{\displaystyle (x-\alpha \cos \lambda )^{2}+(y+\alpha \sin \lambda )^{2}=\beta ^{2}-\gamma ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac99994377c74778e2da8f7f9f4b5070101345c)
Si
et
sont regardées pour un instant comme les coordonnées
d’un point dans un plan, c’est là l’équation d’un cercle qui a pour
centre le point
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\alpha \cos \lambda ,&y&=-\alpha \sin \lambda ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562f12ddc2354aacc70cf25f8aa9b3b46d5bf74b)
qui correspondrait à la solution périodique (3). Ce point est voisin
de l’origine, parce que
et, par conséquent,
sont petits ; mais il
diffère néanmoins de l’origine, et, si
et
sont petits également,
le rayon du cercle est petit et l’origine peut devenir très excentrique
par rapport à ce cercle ; elle peut même être en dehors de
ce cercle.
Si nous passons aux coordonnées polaires
![{\displaystyle {\sqrt {2\Omega }}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8152a9a894c43800b7d3e4cf0e8891340a110799)
et
![{\displaystyle \quad \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481ce4c479db06aefe98611611afcfb8cec2cea6)
l’équation du cercle devient
![{\displaystyle 2\Omega -2\alpha {\sqrt {2\Omega }}\cos(\omega +\lambda )=\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2982f71caa7aca1e33f26fccdb5c8eea6867a80)
Comparons cette équation avec celle-ci, que l’on peut déduire
aisément de l’équation (2) du no 142
![{\displaystyle \mu \cos \varphi {\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}}+(1+\mu \,\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\mathrm {C} -\Lambda =\mathrm {V} (1+\mu \,\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5249592d4c35b3bfa09bc1b49114366392bb1382)
et d’où nous avons déduit, dans ce
no 142, la valeur de
rappelons-nous que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\omega +\lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}=\Omega .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e7793ca1e3e1b2b36b51eb1b857a434fe8654b)
Nous verrons que les deux équations sont identiques pourvu que l’on fasse
![{\displaystyle 2\mathrm {V} =\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af4db0e33547657fc91933048c6004600c8e770)
d’où il suit que la constante
n’est autre chose que celle
que nous avons appelée plus haut
et que nous avons regardée
comme étant de l’ordre du carré des excentricités. Le rayon du
cercle qui est
est donc de l’ordre des excentricités et, s’il
est de l’ordre de
c’est-à-dire de
l’origine peut se trouver en
dehors du cercle.
Nous pouvons donc dire que, si dans le no 142 nous avons rencontré
la difficulté que j’ai signalée, c’est parce que nous avions
employé des espèces de coordonnées polaires et parce que nous
en avions mal choisi l’origine. Cette origine doit être prise au
centre du cercle, c’est-à-dire au point qui correspond à la solution
périodique.
Nous sommes donc conduits à changer d’origine en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x-\alpha \cos \lambda ,&y'&=y+\alpha \sin \lambda .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7ec74b088df1dac1d32bc3d6a0dc0c5c3dcc54)
Pour conserver aux équations leur forme canonique, nous devons
maintenant adopter une variable nouvelle
telle que
![{\displaystyle \Lambda '=\Lambda -\alpha (x'\cos \lambda -y'\sin \lambda ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa260767cbb51e321b872a7261db9fbf4db13e12)
Nos variables conjuguées sont alors
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}\Lambda ',&x',\\\lambda ,&y',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7e49ad378cfd788fd6057ffde1599ab6173053)
La fonction
qui, par hypothèse, était égale à
![{\displaystyle \Lambda +\mu \,{\sqrt {\Omega }}\cos(\omega +\lambda )+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265d856198394842086803f4ed297894bdbc06c6)
devient, en fonction des variables nouvelles,
![{\displaystyle \Lambda '+{\frac {\mu \,\mathrm {A} }{2}}({x'}^{2}+{y'}^{2})+{\frac {\mu \,\mathrm {A} \,\alpha ^{2}}{2}}+{\frac {\alpha \mu }{\sqrt {2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297f4d3ac396b545d560bbcb823e968b4980a1cb)
Les deux derniers termes sont des constantes et ne jouent aucun
rôle puisqu’on peut les faire rentrer dans la constante ![{\displaystyle \mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f95ceb98ef6f75abaf0fc2718cdca897e71f7)
Nos équations différentielles deviennent alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\lambda }{dt}}&=1,&{\frac {d\Lambda '}{dt}}&=0,\\{\frac {dx'}{dt}}&=-\mu \,\mathrm {A} \,y',&{\frac {dy'}{dt}}&=\mu \,\mathrm {A} \,x',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23531a3098d1de34479fa8a6256bf28471526cec)
et l’équation aux dérivées partielles correspondantes devient
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+{\frac {\mu \,\mathrm {A} }{2}}\left[\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy'}}\right)^{2}+{y'}^{2}\right]=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b79ef66e2c251b2379b95f30680ba0531afa14)
Si l’on revient maintenant aux coordonnées polaires en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2\Omega '}}\cos \omega '&=x',&{\sqrt {2\Omega '}}\sin \omega '&=y',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8179674ccff35986347349db44882365ed51f7)
il vient
![{\displaystyle \mathrm {F} =\Lambda '+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega '+\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5591ddc860dee8a7784231e92e80c00b5a6f1251)
et l’équation aux dérivées partielles se réduit à
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \,\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {S} }{d\omega '}}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b8561a9450541b1cfd4088b76d57744002356b)
Grâce à la simplicité de l’exemple que j’ai choisi, l’intégration
de l’équation ainsi transformée est immédiate ; mais le point important
pour mon objet, c’est de faire observer que les termes qui
seraient analogues au terme en
dans l’équation (2) du no 142
ont disparu. Or c’était de ce terme que provenait toute la difficulté.
145.Essayons donc d’appliquer la même méthode au Problème
des trois Corps et d’abord dans le plan.
Nous avons pris d’abord pour variables
(1)
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|
|
puis
(2)
|
|
|
puis
(3)
|
|
|
puis
(4)
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|
Poursuivons notre comparaison et ne considérons pour le moment
que les deux dernières paires de variables conjuguées, en
laissant de côté les deux premières paires, c’est-à-dire
et
et
leurs conjuguées.
Nous pourrons dire alors que les variables (1) et (2) sont analogues
à des coordonnées rectangulaires et les variables (3) et (4)
analogues à des coordonnées polaires.
La difficulté que nous avons signalée au no 143 provient, comme
on l’a vu, de la présence de termes de degré 1/2 par rapport aux
provenant eux-mêmes de termes du premier degré par rapport aux
et de termes du premier degré en
Si la fonction
ne contenait pas de pareils termes, nous n’aurions
pas rencontré cette difficulté.
Mais, comme elle est tout à fait analogue à celle que nous avons
signalée au no 142 et dont nous avons triomphé au no 144, nous
sommes conduits à penser que nous en viendrons à bout par les
mêmes moyens, c’est-à-dire par une transformation analogue à un
changement d’origine. Il faut remplacer les variables
par d’autres qui s’annulent pour les solutions périodiques de la
première sorte étudiées au no 40, puisque ces solutions sont analogues
à la solution périodique (3) du numéro précédent.
Étudions donc ces solutions périodiques du no 40. Nous avons
vu que, pour ces solutions périodiques de la première sorte,
(5)
|
|
|
sont des fonctions périodiques du temps, et qu’il en est de même
de
![{\displaystyle \cos(\lambda -\lambda ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148773a4ea4e4b6e4e159fd295765e3c7a91a3de)
Nous pouvons aussi considérer les variables (5) comme des fonctions périodiques de
et de deux constantes arbitraires
que j’appellerai
et
Soient donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=\mathrm {A} ,&\Lambda '&=\mathrm {A} ',&\xi &=\mathrm {B} ,&\xi '&=\mathrm {B} ',&\eta &=\mathrm {C} ,&\eta '&=\mathrm {C} '\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2be9c93f2b4f3d6d5a5e001b8bf180313d9114)
les équations de ces solutions périodiques ;
et
seront des fonctions de
et
périodiques par rapport
à
et
Voici quelle est la forme de ces fonctions.
et
ne
dépendent que de
et on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} &=\quad \mathrm {T} \cos \lambda +\mathrm {U} \sin \lambda ,&\mathrm {B} '&=\quad \mathrm {T} '\cos \lambda '+\mathrm {U} \sin \lambda ',\\\mathrm {C} &=-\,\mathrm {T} \sin \lambda \,+\mathrm {U} \cos \lambda ,&\mathrm {C} '&=-\,\mathrm {T} '\sin \lambda '\,+\mathrm {U} \cos \lambda ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2be0bc7b121f256c3e776a3dfc029f017991a1)
et
ne dépendant que de ![{\displaystyle \lambda -\lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efb36a560465755caf069422b8bf4b6b56bb6ef)
On déduit de là facilement l’identité suivante
(6)
|
|
|
et, par symétrie,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}=-\mathrm {T} '{\frac {d\mathrm {T} '}{d(\lambda -\lambda ')}}-\mathrm {U} '{\frac {d\mathrm {U} '}{d(\lambda -\lambda ')}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c13738c7607e51b5b2e57a6f0fc4db87b45206c)
Cela posé, formons une fonction auxiliaire
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}-\xi _{1}\mathrm {C} -\xi _{1}'\mathrm {C} '+\eta \mathrm {B} +\eta '\mathrm {B} '+\xi _{1}\eta +\xi _{1}'\eta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6691a4a70857b49a57ca55e6cabba60ea5ad5b)
étant une fonction de
que nous déterminerons
plus loin. Alors
est fonction de
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',\\\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}'.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ec7ce136d04f4f2d5bff88d75c266763cd118f)
Si alors nous posons
(7)
|
|
|
et que l’on prenne pour variables nouvelles
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d36003f7f42427c8efc3e02e354ae5b7a2e853)
au lieu de
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276b22b87a2e84fbf577849beb66c4fcd58fecf1)
la forme canonique des équations ne sera pas altérée. Il vient alors
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\Lambda \,&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}&{}-{}&\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}&{}-{}&\xi '_{1}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}&{}+{}&\eta {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}&{}+{}&\eta '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }},\\\Lambda '&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}&{}-{}&\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}&{}-{}&\xi '_{1}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}&{}+{}&\eta {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}&{}+{}&\eta '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524d345dc9550b77b744550275d4e832171c9ded)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{1}&=\eta \;-\mathrm {C} ,&\eta '_{1}&=\eta '\,-\mathrm {C} ',\\\xi \;&=\xi _{1}+\mathrm {B} ,&\xi '\,&=\xi _{1}'+\mathrm {B} '.&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b436ec6fcad43d11ca510f92fa075d06a4bf389e)
Quand on fait
![{\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}'=\eta _{1}=\eta _{1}'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989fe5f11379d8e0e75f3902d0b37d7abe1eedc1)
et
se réduisent respectivement à
et
Je veux
que
et
se réduisent de leur côté à
et
Cela entraîne les
conditions
(8)
|
|
|
Ces deux équations sont compatibles et déterminent
pourvu
que les valeurs auxquelles elles conduisent pour les dérivées de
satisfassent à la condition d’intégrabilité
![{\displaystyle {\frac {d}{d\lambda '}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}\right)-{\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e854ae992c4defcb20038331ec8f86b969993d3)
Or cette condition s’écrit
![{\displaystyle {}{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {A} '}{d\lambda }}-{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}+{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}+{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb92bcbb1204a80493ac6da574150119e160a92)
Si l’on tient compte des équations (6) et si l’on observe que
et
ne dépendent que de
il viendra
![{\displaystyle -{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda }}-{\frac {d\mathrm {A} '}{d\lambda }}+\mathrm {T} {\frac {d\mathrm {T} }{d\lambda }}+\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {U} }{d\lambda }}+\mathrm {T} '{\frac {d\mathrm {T} '}{d\lambda }}+\mathrm {U} '{\frac {d\mathrm {U} '}{d\lambda }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f00d4b0d9b4ce7a3215582ee6dbce03098b2e17)
ce qui veut dire que l’on doit avoir pour la solution périodique
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {A} '-{\frac {\mathrm {T} ^{2}+\mathrm {U} ^{2}+\mathrm {T} '^{2}+\mathrm {U} '^{2}}{2}}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1ec714cbefcdaf26a31682de7d0f5493a2906d)
c’est-à-dire
![{\displaystyle \Lambda +\Lambda '-{\frac {\xi ^{2}+\xi '^{2}+\eta ^{2}+\eta '^{2}}{2}}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64abc80993def57e0f7b2e5c83459e47db75ed54)
Or, cette condition n’est autre chose que l’équation des aires, elle
est donc remplie.
La fonction
définie par les équations (8), existe donc. Ses
dérivées
et
sont périodiques
en
et
Les valeurs moyennes
de ces deux fonctions périodiques dépendent seulement des deux
constantes
et
Comme nous n’avons jusqu’ici rien supposé
au sujet du choix de ces deux constantes, nous pouvons les choisir
de telle façon que ces valeurs moyennes soient précisément
et
On aura alors
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\Lambda _{1}\lambda +\Lambda '_{1}\lambda '+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd21cc829d1d392984abe1e53a16cfc8ca1ff7c)
fonction périodique en
![{\displaystyle \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
et
![{\displaystyle \lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de51b7be853374736023a9a94821b7ce41ae069)
La fonction
est développable suivant les puissances croissantes
de
, et pour
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\Lambda _{1}\lambda +\Lambda '_{1}\lambda '+\xi _{1}\eta +\xi _{1}'\eta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9f751e763fcc8b43be9000944e1ed41c6047e6)
Pour effectuer la transformation, cherchons à exprimer les
variables anciennes en fonctions des nouvelles à l’aide des équations (7). Nous avons d’abord
(9)
|
|
|
puis, les deux premières équations (7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}}},&\lambda _{1}'&={\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}'}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46e6d75ae42a4190d158dd2f493b2080ce811bc)
Dans ces deux équations, je remplace
et
par leurs valeurs (9),
et alors elles peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda +\mu \psi ,&\lambda _{1}'&=\lambda '+\mu \psi '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc58153861939072fb74f0d3dc9cf3b1ee23bb3)
et
étant des fonctions de
de la
forme suivante :
1o Elles sont développables suivant les puissances de
2o Elles sont périodiques en
et
3o Elles sont linéaires en
De ces équations on peut alors déduire, par application des
principes du Chapitre II, dont nous avons fait un si fréquent usage,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}+\mu \psi _{1},&\lambda '&=\lambda _{1}'+\mu \psi _{1}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d416abd1d4ba68938901397b6e549501277a2ce5)
et
étant des fonctions de
et des mêmes lettres
accentuées, qui sont
1o Développables suivant les puissances de
2o Périodiques en
et
Substituons dans les équations (9) ces valeurs de
et de
nous aurons les
et les
en fonctions des variables nouvelles. J’observe
que les
et les
exprimés de la sorte sont développables
suivant les puissances de
des
et des
et périodiques en
et
de plus, pour
et
se réduisent à
et
Si, dans les deux équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }},&\Lambda '&={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12eebba5849f7a06fe449909a07a05018b5ecada)
on substitue maintenant, à la place des
des
et des
leurs
expressions en fonctions des variables nouvelles, on aura
et
exprimés en fonctions des
des
des
et des
périodiques
en
et
développables suivant les puissances de
des
et
des
et se réduisant pour
à
et ![{\displaystyle \Lambda _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b731e51fd52e24a87cfcf3b748c6a068cd34722d)
Que devient maintenant
quand on adopte les variables nouvelles ?
Il est clair que
sera encore développable suivant les puissances
de
des
et des
et périodique en
et
Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8a5ad6d570d34526ededfbb5ee5c93b11d394e)
le développement de
suivant les puissances de
quand on
adopte les variables anciennes et soit de même
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} '_{0}+\mu \,\mathrm {F} '_{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} '_{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9746940d07445a93ecf64a48faefa55a2b5b21)
le développement de
quand on adopte les variables nouvelles.
Il est clair d’abord que, pour obtenir
il suffit de remplacer
dans
et
par
et
Calculons
Soit
ce qu’on obtient en remplaçant dans
chaque variable
ancienne par la variable nouvelle correspondante, c’est-à-dire
par
par
par
etc.
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=\Lambda _{1}+\mu \Lambda _{2}+\ldots ,\\\Lambda '&=\Lambda _{1}'+\mu \Lambda _{2}'+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f8759b6b0d65a47098ac0ab797a939bb727ca0)
le développement de
et de
suivant les puissances de
Il est
clair que
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}'=\mathrm {F} _{1}''+{\frac {d\mathrm {F} _{0}'}{d\Lambda _{1}}}\Lambda _{2}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}'}{d\Lambda _{1}'}}\Lambda _{2}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5be83d7786485c47a7e288dfd4b9474e636fdb)
Calculons
On trouve aisément
![{\displaystyle \Lambda =\mathrm {A} -\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}-\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}+\eta _{1}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380322c850c2aa2605c5fcc147b647f64588816b)
Donc, pour obtenir
il faut dans l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} -\Lambda _{1}}{\mu }}-\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{\mu \,d\lambda }}-\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {C} '}{\mu \,d\lambda }}+\eta _{1}{\frac {d\mathrm {B} }{\mu \,d\lambda }}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {B} '}{\mu \,d\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18e74135cad2a9293e6afa073409c9583a98be2)
il faut, dis-je, faire
et par conséquent
Donc
(et il en est de même de
) est une fonction périodique des
linéaire des
et des
et sa valeur moyenne (par rapport à
et
) ne dépend ni des
ni des ![{\displaystyle \eta _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1fcf77806a427750d6b61f960328a643295f5b)
Donc
sera périodique en
et
Soit
sa valeur moyenne,
celle de
On obtiendra
en remplaçant dans
chaque
variable ancienne par la variable nouvelle correspondante, et
ne différera de
que par une quantité indépendante des
et
des
Nous avons vu au Chapitre X quelle est l’importance des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\eta }},&{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\xi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09dda0375c17f89f2b57ace38af81e4916478c49)
pour l’étude des variations séculaires des éléments. Après le changement
de variables que nous venons de faire, elles seraient remplacées
par les suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} ''}{d\eta _{1}}},&{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} ''}{d\xi _{1}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37010eeb5f6a453ddd447928aba4d933aeeb7fd1)
Mais, d’après ce que nous venons de voir, les deux systèmes
d’équations sont identiques, et le second ne diffère du premier
que parce que les lettres sont affectées d’indices.
Jusqu’ici il semble que la transformation que nous avons faite
n’ait rien changé à la forme de nos équations ; j’arrive enfin à ce
qui doit en mettre les avantages en évidence.
Voyons d’abord ce que deviennent les équations de nos solutions
périodiques de la première sorte avec nos nouvelles variables.
Grâce au choix de notre fonction auxiliaire
elles s’écriront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=\eta _{1}=\xi _{1}'=\eta _{1}'=0,&\Lambda _{1}&=\mathrm {const.} ;&\Lambda _{1}'&=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3351f14fe8a9351e4e555817fa0399a56b74bb19)
Enfin,
et
seront des fonctions données du temps, des deux
constantes
et
et de deux nouvelles constantes arbitraires.
Il peut y avoir quelque intérêt, bien que cela ne soit pas nécessaire
pour notre objet, de voir comment
et
dépendent de ces
deux constantes que j’appellerai
et
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\alpha +\varphi (t+\beta ,\,\Lambda _{1},\,\Lambda _{1}'),&\lambda _{1}'&=\alpha +\varphi '(t+\beta ,\,\Lambda _{1},\,\Lambda _{1}'),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d37c0229f6f210396b9125b2be30cebd163c38)
et
étant deux fonctions de
qui, quand
augmente d’une certaine constante
dépendant de
et
augmentent
elles-mêmes d’une certaine constante
(la même pour
et pour
) qui dépend aussi de
et
La première de ces deux
constantes
est la période de la solution périodique envisagée et
la seconde
est l’angle dont tourne le système des trois corps
pendant la durée d’une période.
Je ne veux retenir de tout cela qu’une chose :
Si
et
sont nuls à l’origine des temps, la solution
est périodique de la première sorte et ces quatre variables
et
resteront toujours nulles.
Or, nous avons les équations différentielles
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}}},&{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}'}},\\{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}}},&{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}&=-\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}'}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65603fb63a34257b3b6f49e7e14788113cec27d5)
Il faut donc que les quatre dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}'}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16940c948aab9339094008b66af5cceaa190e331)
s’annulent à la fois quand les quatre variables
![{\displaystyle \xi _{1},\quad \xi _{1}',\quad \eta _{1},\quad \eta _{1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b73927b031e207ddb84693de7ea09d874186c5)
s’annulent à la fois, c’est-à-dire que
ne contienne pas de termes
du premier degré par rapport à ces quatre variables.
Ainsi l’expression de
en fonction des variables nouvelles a la
même forme que l’expression de
en fonction des variables anciennes ;
la seule différence, c’est qu’il n’y a pas de termes du
premier degré par rapport à
tandis qu’il y avait des
termes du premier degré par rapport aux quatre variables anciennes
correspondantes
et
Or, c’étaient ces termes du premier
degré qui créaient toute la difficulté ; cette difficulté a donc disparu
avec eux.
Il en est de même si, au lieu du Problème des trois Corps dans
le plan, on a à traiter le Problème des trois Corps dans l’espace.
Si, en effet, on choisit comme variables
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',&p,&p',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',&q,&q',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e898dd2adf7ecdce7189ed1669769e533666f34e)
ne contiendra pas de terme du premier degré par rapport aux
aux
aux
et aux ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)