CHAPITRE XX.
SÉRIES DE M. BOHLIN.
213.Dans le Chapitre précédent, nous avons montré comment
on pouvait construire la fonction
pour en déduire les coordonnées
en fonctions du temps, il suffit d’appliquer la méthode de Jacobi.
Supposons, pour simplifier un peu, que l’entier que nous avons
appelé
soit égal à 1 et que les autres entiers
soient nuls ;
c’est ce que nous avons fait dans les nos 205 et 206, et nous savons
qu’on peut ramener le cas général à ce cas particulier par le changement
de variables (3) de la page 339.
La fonction
définie dans les nos 204 et suivants, dépend des
variables
elle contient de plus
constantes arbitraires
et
; d’autres constantes pourraient s’introduire dans
nos calculs ; à savoir
les
les
mais nous supposerons :
1o Que
est lié aux autres
par la relation (4) de la page 344 ;
2o Que les
satisfont à la condition (10) de la page 349 ;
3o Que les
sont exprimés d’une manière quelconque, d’ailleurs
arbitraire jusqu’à nouvel ordre, en fonctions des autres constantes.
Ainsi
sera fonction de
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n}\,;\qquad \mathrm {C} _{2},\quad x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d5b8ea0324d56e216aa595d77dba0262b073f3)
Posons alors
(1)
|
|
|
![{\displaystyle (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n\,;\;k=2,\,3,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fd3a48301096b3a5dd4a7089f69c0ca9b6d1b6)
On tirera de là les
et les
en fonctions des
des
et de
et si, dans les expressions ainsi obtenues, on considère
les
et les
comme constantes arbitraires et les
comme des
fonctions linéaires du temps, on aura les coordonnées
et
exprimées en fonctions du temps. C’est ce que nous apprend le
théorème du no 3.
Mais il est préférable de modifier un peu la forme des équations (1)
et d’écrire
(2)
|
|
|
les
étant des fonctions arbitraires de
et des ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
Il est clair que si l’on remplace les équations (1) par les équations (2),
les
resteront des fonctions linéaires du temps ; car les
ne dépendant que de
et des
seront des constantes.
Voici d’ailleurs l’usage que je ferai de ces fonctions arbitraires
je les choisirai de telle sorte que les
les
et les
soient des fonctions périodiques des
de période
Plaçons-nous d’abord dans le premier cas, celui où
est toujours
réel et ne s’annule jamais et voyons quelle est la forme des
séries ainsi obtenues.
Dans ce cas, les
sont des fonctions des
périodiques et
de période
quant à
c’est une fonction de la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} '+\beta _{1}y_{1}+\beta _{2}y_{2}+\ldots +\beta _{n}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb988381aa9098fed6b3d16fa3452837f934856)
étant une fonction périodique des
et les
étant des fonctions
de
et des ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
De plus,
et les
sont développables suivant les puissances
de
Comme, d’après les hypothèses faites sur les entiers
les
conditions (10) de la page 349 se réduisent à
![{\displaystyle \alpha _{i}^{p}=0\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999540969edb32e51d84a3543be5ec42cf10dd18)
on aura tout simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{2}&=x_{2}^{0},&\beta _{3}&=x_{3}^{0},&&\ldots ,&\beta _{n}&=x_{n}^{0},&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95b95c6dceca6529bc2980c7496549493ea5a76)
Si l’on développe
suivant les puissances de
le premier
terme se réduit de même à
Je veux que quand
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b472176ebb83ca833013feeb34cad3ea87063af3)
se changent en
![{\displaystyle w_{1}+2k_{1}\pi ,\quad w_{2}+2k_{2}\pi ,\quad \ldots ,\quad w_{n}+2k_{n}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c19cb655796936192c3150e4ba5a0596048f678)
les
étant des entiers, les
et les
se changent en
et
![{\displaystyle y_{i}+2k_{i}\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8631095478e40cafb38f02fdb12e05a790a89a)
J’obtiendrai ce résultat en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {d\beta _{1}}{d\mathrm {C} _{2}}}\,;&\theta _{k}&={\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a66d7b8b6f54b2caf82404c1fcd6a99ca75064)
Il en résulte que
et les
sont développables suivant les puissances
de
Pour
se réduit à
or
est lié aux
autres
par la relation (4) de la page 344 qui, dans le cas qui
nous occupe, se réduit à
![{\displaystyle n_{1}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8312698816da1b5cdf62aade7f4470fdb8a34cc4)
Donc, pour
et
se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {dx_{1}^{0}}{d\mathrm {C} _{2}}}=0,&\theta _{k}&={\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cf64aa493d2d67885f78a33c6b8b3c2e9ee73a)
Des équations (2) on tirera alors les
puis les
sous la forme
de fonctions des
des
de
et de
développables suivant
les puissances de
pour
la première et la troisième équation (2) deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&w_{1}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{0}^{k}}}\,w_{k}&=y_{1}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{0}^{k}}}\,y_{k}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345405b69d2ce0e05b24d779a78d63b8b28621ac)
quant à la seconde, elle se réduirait à
mais, si on la divise
par
et qu’on fasse ensuite
elle devient
![{\displaystyle \theta _{1}'w_{1}={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\mathrm {C} _{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01066c4aa18f6210baf2030b4ba92c1376950cdb)
étant le premier terme du développement de
Si nous reprenons les notations du Chapitre précédent, nous pouvons écrire
![{\displaystyle \theta _{1}'w_{1}={\frac {d}{d\mathrm {C} _{2}}}\int {\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{\mathrm {A} }}}\,dy_{1}={\frac {1}{2{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0f0a321fe03b07fcf61ca7156cc30331d6e781)
Le second membre peut se développer sous la forme suivante
![{\displaystyle \gamma y_{1}+\psi (y_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8170c07649782106303d730594667ad871797af3)
étant une constante dépendant de
et des
et
une fonction
périodique.
Nous déterminerons
conformément à la convention faite plus
haut en faisant
![{\displaystyle \theta _{1}'=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7847398c9f1749939fbef63a9281ea27d82d9dc3)
d’où
![{\displaystyle \gamma (w_{1}-y_{1})=\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f386947dc37936ceb1f97af03ae6a7a278e1c177)
D’autre part, il vient
![{\displaystyle {\frac {dw_{1}}{dy_{1}}}={\frac {1}{2\gamma {\sqrt {\mathrm {A} }}}}{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}}={\frac {1}{2\gamma \mathrm {A} {\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49f0a3c8fed1d8389f70dad1c62bc625e1cdc73)
Comme
est toujours de même signe,
sera toujours
positif, de sorte que
sera une fonction de
toujours croissante
et qui augmente de
quand
augmente de
Il en résulte inversement que
est une fonction de
toujours
croissante et qui augmente de
quand
augmente de
Nous pouvons donc écrire
![{\displaystyle y_{1}=w_{1}+\eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328f93a2efea80eac9988c5701d8f427103cdeb9)
étant une fonction de
de période ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Si donc nous ne supposons plus
les premiers termes du
développement de
![{\displaystyle x_{i},\quad y_{1},\quad y_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f8d8dc8d0cd487a1217ac88f88a4494d4e4bfc)
seront respectivement
![{\displaystyle x_{i}^{0},\quad w_{1}+\eta ,\quad w_{k}-{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,\eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e543077f2f16501f6e51b06b417cb5f958b3fb0d)
Les termes suivants seront périodiques par rapport aux
de sorte que les
et les
seront des fonctions périodiques
des
Nous avons vu que les
doivent être des fonctions linéaires du
temps de sorte que
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d8c8b87c6261130f0e05032d735d6cb15808e3)
les
étant des constantes d’intégration arbitraires.
Il nous reste à déterminer les
Pour cela reprenons l’équation (2) de la page 343 ; le second
membre
est égal à
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{2}\,\mu +\mathrm {C} _{4}\,\mu ^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a8159ac46c97de523c2432036417fdd6b1ba68)
est une fonction des
sont des fonctions de
et des
que nous avons choisies arbitrairement, mais une fois
pour toutes.
Il en résulte que
est une fonction de nos constantes
et
Maintenant la méthode de Jacobi nous apprend que l’on a
(3)
|
|
|
Comme les
et
sont donnés en fonctions de
et des
ces
équations nous donneront les
en fonctions de ces mêmes
variables.
J’observe d’abord que
et les
étant développables suivant les
puissances de
il doit en être de même des
Le premier terme du développement de
est
le premier
terme du développement de
est
le premier terme du développement
de
sera
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d1f5bae525ff6e8012f4cd097656e9c7da5bdd)
de sorte que
s’annule pour
comme on devait s’y attendre ;
au contraire, pour
la seconde équation (3) nous donne
![{\displaystyle n_{k}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{k}^{0}}}=n_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a615e39d5d93f54a6c61349ba61b1f05cecdc364)
Le premier terme du développement de
est donc
Cas de la libration.
214.Passons au second cas, celui où
peut s’annuler et n’est
pas toujours réel.
Voyons d’abord, ce qui nous sera d’ailleurs surtout utile dans
le numéro suivant, quelle est alors la forme de la fonction
je
dis que les dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd3bbbf830dce96ff04c2830f235a1cb2f67ee1)
seront de la forme
(α)
|
|
|
étant des entiers et
une fonction périodique
de
ne devenant pas infinie.
Il est clair d’abord :
1o Que la somme ou le produit de deux fonctions de la forme (α)
sera encore de la forme (α) ;
2o Que la dérivée d’une fonction de la forme (α) soit par rapport
à
soit par rapport à
ou
sera encore de la
forme (α).
Supposons donc que les dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6bf6fa82c8cebc40c78945b680e7499ac97825)
soient toutes de la forme (α) et cherchons à démontrer qu’il en
sera encore de même des ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac13974b55bb4762f8c3c3637cb5cfbe65e5f9c0)
En effet, ces dérivées nous seront données par une équation de
la forme
(β)
|
|
|
étant une combinaison de fonctions de la forme (α) sera encore de la même forme. On déduira de cette équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{p}-{\big [}\mathrm {S} _{p}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf45eac3e880c63b3f246d26a907929c7f7ea994)
et l’on voit que toutes ces fonctions sont de la forme (α).
Il vient ensuite
(γ)
|
|
|
étant de la forme (α) ; il en sera de même de
et par
conséquent de ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc533e303eff941b74d3a9858d89df16cce5d2b)
C.Q.F.D.
Malgré la complication de la forme de
on pourrait former
directement les équations (2) du numéro précédent et en tirer
les
et les
en fonctions des
mais il est plus simple d’opérer
autrement.
Nous avons vu en effet au no 206 qu’en faisant un changement
de variables et en passant des variables
et
aux variables
et
on arrive à des équations qui sont tout à fait de même
forme que celles du no 134. Les conclusions de ce numéro sont
donc applicables, ainsi que tout ce que nous avons dit dans les
Chapitres XIV et XV au sujet du problème du no 134.
Il en résulte qu’on peut résoudre ces équations en égalant
les
et
à des fonctions de
constantes d’intégration et de
fonctions linéaires du temps
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0864e1a2f47e4cb7b8f9bd2fb0af19dcefd1e9d5)
Et cela de telle sorte que
et
![{\displaystyle z_{k}-w_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6134cfb04a754fe3d82ebaf91caa73f7b5984b20)
soient fonctions périodiques des
développables d’ailleurs suivant
les puissances de ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Revenant ensuite aux variables primitives nous voyons que
et
![{\displaystyle y_{k}-w_{k},\quad (k>1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4687e7d67f0ed0d3638d56f7e748a029d82b799f)
sont fonctions périodiques des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
On aura d’ailleurs
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}v+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d399ae508ef3d27d66b3b60610855a34f811f8)
les
étant des constantes d’intégration et les
étant développables
suivant les puissances de ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Le premier terme du développement de
est
et comme
est nul, le développement de
commence par un terme en
Toutes ces séries se déduisent de la fonction
définie au no 206.
Cette fonction
dépend elle-même des variables de la deuxième série
![{\displaystyle v_{1},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98a82c051a147394c22da68553b5ca2ad31be45)
et en outre de
constantes d’intégration
![{\displaystyle \lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \lambda _{3},\quad \ldots ,\quad \lambda _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a2392cd9dcd2068dae137aca2176eb429ce88f)
et cela de telle sorte que
![{\displaystyle \mathrm {V} -\lambda _{1}v_{1}-\lambda _{2}z_{2}-\lambda _{3}z_{3}-\ldots -\lambda _{n}z_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367fa3da8b26b12aab3229d2475a0ce1b1715ec0)
soit une fonction périodique de
et des ![{\displaystyle z_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635df6fad0c097112c89126030b6348b81599edd)
On trouvera ensuite les variables
et
en fonctions
des
et des
à l’aide des équations
(4)
|
|
|
La manière de déduire les équations (4) des équations (2) du
numéro précédent est assez compliquée pour que j’y insiste un peu.
Nous avons
![{\displaystyle d\mathrm {V} =u_{1}\,dv_{1}+{\textstyle \sum }\,x_{k}'\,dz_{k}+{\textstyle \sum }\,w_{i}\,d\lambda _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3979e51992a1ede3917c8312b95823e25fe2c7)
Il demeure convenu que l’indice
varie de 2 à
et l’indice
de 1 à
D’autre part,
![{\displaystyle d\mathrm {T} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,z_{i}\,dx_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268b436cc13a879f9d6a3723163dd16fd42c5096)
et
![{\displaystyle v_{1}\,du_{1}=z_{1}\,dx_{1}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6859d9ab9895690a7ff3d8dd25e3cb83e775d96a)
d’où
![{\displaystyle d\mathrm {T} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,z_{k}\,dx_{k}'+{\sqrt {\mu }}\,v_{1}\,du_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3c469541412ba3c09b38ae42f51b35eb25d7b6)
Si nous posons
(5)
|
|
|
il viendra, par un calcul facile,
![{\displaystyle d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,w_{i}\,d\lambda _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8d4bfa3b4fd6c0f1b1ae37acb6a72cbfdbd9a7)
de sorte que, si nous exprimons
en fonction des
et des
nous
aurons
(6)
|
|
|
Ces changements continuels de variables pouvant engendrer
quelque confusion, j’insiste un peu :
est exprimé en fonction de
est exprimé en fonction de
est exprimé en fonction de
et
Nous avons donc
variables, à savoir
![{\displaystyle x_{i},\quad y_{i},\quad u_{1},\quad v_{1},\quad x_{k}',\quad z_{k},\quad \lambda _{i},\quad w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc42d0510d132d39913cd3addb5b0f8090f467f)
Mais ces variables étant liées par les
relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{i}}},&{\sqrt {\mu }}\,z_{k}&={\frac {d\mathrm {T} }{dx_{k}'}},&{\sqrt {\mu }}\,v_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{du_{1}}},\\[0.75ex]u_{1}&={\frac {d\mathrm {V} }{dv_{1}}},&x_{k}'&={\frac {d\mathrm {V} }{dz_{k}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\lambda _{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2843ad016c9b477f79af2629007bbadb1d0fe51)
il n’y a en réalité que
variables indépendantes, ce qui nous
permet d’exprimer chacune de nos fonctions
par le moyen
de
variables convenablement choisies.
La fonction
jouit de la propriété caractéristique suivante :
Quand l’un des
augmente de
les autres variables
et
ne changent pas,
augmente de
Nous savons en effet que les dérivées de
par rapport à
et
aux
sont périodiques par rapport à ces variables.
Or quand
se change ainsi en
les autres
et
ne
changent pas ; qu’arrive-t-il ?
Les dérivées de
étant périodiques, ainsi que je viens de le
dire,
et les
ne changeront pas.
Pour voir ce que deviendront les
nous nous servirons des
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\,z_{k}&={\frac {d\mathrm {T} }{dx_{k}'}},&{\sqrt {\mu }}\,v_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{du_{1}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7f9e11722d7125a5fc281e57b5e2150e34e584)
Ces équations, qui ne sont autre chose que les équations (16) du
no 206, montrent que, si
augmente de
augmente de
pendant que les autres
ne changent pas.
Dans les mêmes conditions
augmente de
augmente de
et par conséquent
de
![{\displaystyle 2\pi \left(x_{k}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\lambda _{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1891f8e640ccf6b20d0cdedbc7448d1d20eb3552)
Il résulte de là que les dérivées de
par rapport aux
sont
périodiques par rapport à
La fonction
définie par l’équation (5) jouit donc de la propriété
caractéristique des fonctions étudiées aux nos 204, 205
et 207.
Elle en diffère toutefois par un point important.
La fonction
du numéro précédent dépend non seulement des
variables
mais de
constantes
![{\displaystyle x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},\quad \mathrm {C} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee737436c6c0f8fc760f1d1aaeaca099d4a8afc)
D’ailleurs l’analyse des nos 204 et 205 prouve que l’on peut en
déduire toutes les fonctions
dont les dérivées sont périodiques,
en remplaçant ces
constantes par des fonctions arbitraires de
autres constantes.
La fonction
définie par l’équation (5) dépend des variables
des
constantes
mais elle dépend en outre des constantes
car les
figurent dans la fonction
et, par conséquent, dans le
changement de variables du no 206 ; seulement dans le no 206,
ainsi que dans le calcul qui précède, nous avons traité les
comme
des constantes absolues ; c’est pour cette raison que les différentielles
figurent dans l’expression de
tandis que les différentielles
n’y figurent pas.
J’observe en outre que, quand
augmente de
la fonction
du numéro précédent augmente de
tandis que celle qui est
définie par l’équation (5) augmente de
J’en conclus que l’on obtiendra la fonction
déduite de l’équation (5) en remplaçant dans celle du numéro précédent les constantes
par
et la constante
par une certaine
fonction
![{\displaystyle \varphi (x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,\lambda _{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10476542ad00bc6ad6f65006cabbd4d105da4347)
Comparons maintenant les équations (2) et les équations (6). On
trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{1}}}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{1}}},\\{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{k}}}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{k}}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ba2d0a9f1fc6b1bd6806cbc466e7a273f3426a)
d’où, en tenant compte des équations (2) et (6),
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}{\sqrt {\mu }}&=\theta _{1}w_{1}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{1}}},\\w_{k}{\sqrt {\mu }}&=\theta _{1}w_{1}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{k}}}+{\sqrt {\mu }}(w_{k}+\theta _{k}w_{1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2152606aec7f625dda80e5c12dc50bce05f2b526)
d’où
(7)
|
|
|
On passera donc des équations (2) aux équations (6) en remplaçant
les
et
par
et
et les
par leurs valeurs (7).
Cas limite.
215.Passons enfin au cas limite, celui où
est égal au maximum
de
J’observe d’abord que nous pouvons toujours supposer que, pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{i}=y_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33e374502c62034f1d234c90b6306f0e73efb82)
on a
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54de62f8c64cac4bc23ac92660dde981a23c9a27)
et que, par conséquent, le développement de
suivant
les puissances de
des
et de
ne contient ni terme de degré zéro, ni d’autre terme du premier degré que des termes en
![{\displaystyle \ldots ,\,x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac55f02c5a30000841ab0dac767190b87f0748ee)
Si, en effet, cela n’était pas, on ferait le changement de variables
des nos 208 et 210 et on serait ramené au cas où cette supposition
est vraie.
Il résulte de là que, si l’on donne aux constantes arbitraires les
valeurs suivantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{2}^{0}&=x_{3}^{0}&=\ldots &=x_{n}^{0}&&=0\quad (\mathrm {d'o{\grave {u}}} \;x_{1}^{0}=\mathrm {C} _{2}=0),\\\mathrm {C} _{2}^{0}&=\mathrm {C} _{4}^{0}&=\ldots &=\mathrm {C} _{6}^{0}&&=0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5b759fd243a0292c937e7adf75b1f2b1f65015)
on se trouve précisément dans le cas limite et que la fonction
est. telle que les
ont un zéro simple et les
un zéro
double pour
Il suffit pour s’en convaincre de se rappeler
que, dans le calcul des nos 208 et 210, on est conduit après le changement
de variables à des équations tout à fait analogues aux
équations (3) du no 204 et qui n’en diffèrent que parce que les
lettres y sont accentuées et que les constantes
sont toutes nulles
(Cf. p. 371).
Donnons maintenant aux constantes
d’autres
valeurs voisines de 0. On pourra encore choisir
de telle façon que
soit égal au maximum de
et que, les
conditions (28) du no 207 étant remplies, les fonctions
restent finies.
Les valeurs de
qui satisfont à ces conditions
seront des fonctions holomorphes de
de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {C} _{p}=\varphi _{p}\left(x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936151b028555fed38f6b41e98fdb7586fda4174)
Ces fonctions, d’après ce que nous venons de voir, devront s’annuler pour
![{\displaystyle x_{2}^{0}=x_{3}^{0}=\ldots =x_{n}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63094ca26af5ea49755a43d8b48da0e723d88430)
Nous avons ainsi défini une fonction
dépendant de
constantes arbitraires
![{\displaystyle x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed8c5115548879afad6819627d77dc4b9d7fe9a)
Cette fonction est de la forme
(8)
|
|
|
étant une constante et
étant développable suivant les sinus
et les cosinus des multiples de
![{\displaystyle {\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865a10373d9d2a339766627fbf70b9b98101505f)
Cette fonction est d’ailleurs holomorphe par rapport aux
et,
quand on y fait
![{\displaystyle x_{2}^{0}=x_{3}^{0}=\ldots =x_{n}^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77889d6b7357d2ae59e7b972c0883dca317bfbcf)
la dérivée
admet un zéro simple pour
et les autres dérivées
admettent un zéro double.
Pour obtenir une fonction
dépendant de
constantes arbitraires,
je ferai
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{0}&=\varphi _{0}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{2}&=\lambda +\varphi _{2}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{4}&=\varphi _{4}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{0}&=\varphi _{6}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d81df466aa7f8682ea5154aa6eca915a1ed5cce)
J’aurai ainsi une fonction
contenant les
constantes
![{\displaystyle \lambda ,\quad x_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade9b01404449e809ddaaa8efd54bd0dd31db2c8)
D’après ce que nous avons vu au commencement du numéro
précédent, les dérivées de cette fonction
seront de la forme (α).
Mais il y a plus ; soit
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\left({\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)}}{\begin{array}{l}\cos \\\sin \end{array}}\left(p_{2}y_{2}+p_{3}y_{3}+\ldots +p_{n}y_{n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071ee8c9c5cdc6612d9e9ddfb982e279fda54c36)
un terme d’une de ces dérivées mises sous la forme (α) ; je dis que
le numérateur
ne dépend pas de ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Cela tient à ce que les constantes
ne dépendent pas
de
Pour démontrer le point en question, convenons, pour abréger
le langage, de dire qu’une expression est de la forme (α′) lorsqu’elle
est de la forme (α) et que de plus les numérateurs
sont indépendants
de
Supposons que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6bf6fa82c8cebc40c78945b680e7499ac97825)
soient de la forme (α′), je dis qu’il en sera de même de ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac13974b55bb4762f8c3c3637cb5cfbe65e5f9c0)
En effet, dans l’équation (β) du numéro précédent, le second
membre sera de la forme (α′) : il en sera donc encore de même de
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{p}-{\big [}\mathrm {S} _{p}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a796c6a35a8f122be139b3e64b41b0c7dc36d1f)
Je dis qu’il en sera encore de même de
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}-{\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95894c50eed7c7471ae843721200cad4e168811)
c’est-à-dire que la dérivée par rapport à
d’une expression de la
forme (α′) sera encore de la forme (α′), Soit, en effet,
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\left(\omega \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe89fe975153d685c5ee1bfe3ee52254e7d4fe2)
cette expression où j’ai mis
pour abréger à la place de
![{\displaystyle p_{2}y_{2}+\ldots +p_{n}y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd3a0fec98734d580bf9d4f3f5d8d29e202c8c0)
Sa dérivée est
(9)
|
|
|
Si
est indépendant de
il en sera de même de
D’autre
part,
est égal, à un facteur constant près, à
![{\displaystyle \lambda +\varphi _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae51c3d6b1ec5f6ecc5002ae72469d39bec3ee0)
Sa dérivée
![{\displaystyle {\frac {d}{dy_{1}}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0eea2e844c990ce37df24889ba914536917f286)
est donc indépendante de
de sorte que l’expression (9) est de
la forme (α′).
C.Q.F.D.
Alors dans l’équation (γ) du numéro précédent, le second
membre est de la forme (α′). Il en est donc de même de
et de
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc533e303eff941b74d3a9858d89df16cce5d2b)
C.Q.F.D.
La fonction
va donc être de la forme
(10)
|
|
|
Quand dans cette expression on annule les constantes
![{\displaystyle \lambda ,\quad x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477065074ed0f09be27cd472a2eab22f6e4e8d96)
admet un zéro d’ordre
et
un zéro d’ordre
pour
cela est nécessaire pour que
ait un zéro double
et
un zéro simple.
Cela posé, nous allons avoir à envisager les équations suivantes,
analogues aux équations (2)
(2 bis)
|
|
|
Dans ces expressions on devra, après la différentiation, faire
![{\displaystyle \lambda =x_{k}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffeab2d18a1e9e5c9da66ad4a2774d57f9ba06e)
Mais on peut aussi, même avant la différentiation, faire
![{\displaystyle \lambda =x_{k}^{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef75ee6a2037c8a0c1cca1741fd6da93b9622379)
dans la première équation (2 bis),
![{\displaystyle x_{k}^{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec06b59101a746e72f7cce40703eb336ccd0da4)
dans la seconde,
![{\displaystyle \lambda =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c4bba30544017fe76932de5a4e25adb5512d95)
dans la troisième.
L’essentiel est de ne pas annuler avant la différentiation la
variable par rapport à laquelle on différentie.
La première équation (2 bis) nous apprend que les
sont développables suivant les sinus et les cosinus des multiples de
![{\displaystyle {\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865a10373d9d2a339766627fbf70b9b98101505f)
Considérons maintenant la troisième équation (2 bis) ; si l’on y
fait
on voit que
est de la forme (8) et en différentiant
l’équation (8), on trouve
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}=y_{1}\,{\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}+y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad86191ec9a33abf5432512d827ab78319ef203)
d’où
(11)
|
|
|
Le dernier terme du second membre est développable suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
![{\displaystyle {\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865a10373d9d2a339766627fbf70b9b98101505f)
Passons à la deuxième équation (2 bis) ; pour avoir
je
différentie l’équation (10) après avoir fait
Il vient alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}=\mathrm {D} {\sqrt {\lambda -[\mathrm {F} _{1}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30971e30daf40a53496fa1f5b21dc76683b39e8)
(
étant une constante) ; car
devient nul.
On a donc
(12)
|
|
|
Nous ferons après la différentiation
alors, pour
admet un zéro simple,
un zéro d’ordre
et
un zéro
d’ordre
Il en résulte que le premier terme du second membre de (12)
reste fini, mais que dans le second terme la quantité sous le
signe
admet un infini simple pour
de sorte qu’on peut la mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{2\sin {\dfrac {y_{1}}{2}}}}+f(y_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1f156e74c65c1e51f18698613503c46838ac60)
étant une fonction finie et périodique.
L’intégrale elle-même devient donc logarithmiquement infinie
pour
je veux dire qu’on peut la mettre sous
la forme
![{\displaystyle \alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc067053c7449465a8697484d76b0e021774b60)
étant une fonction de
qui reste finie pour toutes les valeurs
de
et
une constante.
On a donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}=\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\gamma \,y_{1}+\Theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f3c3d2e201ab35c60c594de1162c3ba0f48513)
étant une nouvelle constante et
une fonction développée suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
![{\displaystyle {\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865a10373d9d2a339766627fbf70b9b98101505f)
d’où
(13)
|
|
|
Il s’agit maintenant de se servir des équations (11) et (13) pour
trouver les
en fonctions des
Les seconds membres de ces équations (11) et (13) étant développables
suivant les puissances de
cherchons les premiers
termes du développement.
Le terme indépendant de
se réduit à zéro dans le second
membre de (13) et à
![{\displaystyle {\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,y_{1}+y_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588b016ae4238dfde23259ce8c6b2052a4bdaed9)
dans le second membre de (11).
Quant au terme en
il doit se réduire dans (11) et dans (13)
respectivement à
et
![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\lambda }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfce897d096a300956f5642549df80c55856e68)
pour la première de ces quantités je me bornerai à remarquer
qu’elle dépend seulement de
et pas de
![{\displaystyle y_{3},\,\ldots y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7b1473d4e8aa5c5d0e0f5db3ac63a0a54fa8a7)
Quant à la seconde on trouve, en faisant,
![{\displaystyle \lambda =x_{k}^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed9342bfb94f83bf4e39c5c7ec33c077d6b1250)
après la différentiation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\lambda }}={\frac {\mathrm {D} }{2}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {-\mathrm {F} _{1}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3879e4b5ae6b188c3015eec72c60d19fdb9cc91e)
Cela posé, considérons les seconds membres des équations (11) et (13).
Ce sont
fonctions
leur déterminant fonctionnel
par rapport à
est divisible par
mais
si on le divise par
, puis qu’après la division on fasse
ce déterminant fonctionnel se réduit à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{2{\sqrt {-\mathrm {F} _{1}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f6d62d707718c28fec2b8e2747ffbd13f0fc79a)
Cette expression ne s’annule pour aucun système de valeurs
des
puisque
n’est jamais infini.
Si donc
est suffisamment petit,
ne s’annule pas.
En revanche,
peut devenir infini ; en effet, les seconds membres
des équations (11) et (13) deviennent infinis pour
![{\displaystyle y_{1}=2k\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cba91aa69e362b1667df707066009f94a404253)
Il résulte de là que, quand on donnera à
toutes
les valeurs possibles et qu’on fera varier
de zéro à
ne
changera pas de signe.
Nous prendrons pour simplifier
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=1,&\theta _{k}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4032bf6ed8ec830bda59fbd8cd87b0e4c762cd4f)
de sorte que les équations (11) et (13) s’écriront
(11)
|
|
|
(13)
|
|
|
À cause de la présence du terme logarithmique, quand
variera
de zéro à
variera de
à
Donc, quand, donnant aux
toutes les valeurs possibles, on
fera varier
de zéro à
les
prendront toutes les valeurs
possibles. De plus, dans ces conditions, nous avons vu que
ne
change pas de signe.
Donc les
sont des fonctions uniformes des
pour toutes les
valeurs réelles des
En effet, on peut, en parlant de (11) et
de (13) et en appliquant le théorème du no 30, développer les
suivant les puissances de
![{\displaystyle w_{1}-h_{1},\quad w_{2}-h_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}-h_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a959fecc4e70a100839981e284336bc396fb9c49)
étant des constantes quelconques, puisque le déterminant
fonctionnel ne s’annule jamais.
J’ajoute que
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2}-w_{2},\quad y_{3}-w_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}-w_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943e3a7d7951d77aefb9f0e867eb133f8ee17a49)
sont des fonctions périodiques de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb19ca355da5faf19f742a69c36f54b11f50757)
et, en effet, quand
augmente de
augmente de
La
première équation (2 bis) nous montre ensuite que les
sont
aussi des fonctions uniformes des
périodiques par rapport à
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9984a8a761b0aea8988d83e0feddd5ef9225e17)
Quand
tend vers
tend vers zéro ou vers
il faut
voir ce que deviennent les équations (11) et (13) quand on y fait,
par exemple,
![{\displaystyle w_{1}=\infty ,\qquad y_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bab879202fbf67394bea40f907ab32e0ad610be)
L’équation (13) devient illusoire et l’équation (11) s’écrit
![{\displaystyle w_{k}=y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ecbb9ca59ceef1fa2918f90c4d3e9ae949bce6)
On tire de là
en fonctions des
arguments
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9984a8a761b0aea8988d83e0feddd5ef9225e17)
On voit sans peine que
est périodique par rapport aux
Soit donc
![{\displaystyle y_{k}=w_{k}+\eta _{k}(w_{2},w_{3},\ldots ,w_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73a061f5b441b14c49441bceb626c2679108828)
Si dans la première équation (2 bis) nous faisons
elle
se réduit à
![{\displaystyle x_{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480287ed1b42c483d06f77b812b35972e3557c39)
Nous trouvons donc une solution particulière des équations (2 bis)
en faisant
(14)
|
|
|
La signification de ces équations (14) est évidente.
Au no 209, nous avons trouvé une généralisation des solutions
périodiques. Nous avons, en effet, formé les relations invariantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{i}&=\xi _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbfed5a111bccde04ba84498df6348dc140ab09)
Grâce à l’hypothèse que nous avons faite au début du présent
numéro, ces relations invariantes se réduisent ici à
![{\displaystyle x_{1}=y_{1}=x_{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef938dbdfba1718e116b2d9c652359f24332ab06)
Nous reconnaissons là les trois premières équations (14).
Ces quatre équations (14) nous fournissent donc, sous une forme
nouvelle, la généralisation des solutions périodiques. On voit que
les
et les
sont exprimés en fonctions périodiques
de
arguments de la forme
![{\displaystyle w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e726bd2ceb7bd744a96a29ad024aa0c9861e22)
Dans le cas particulier où il n’y a que deux degrés de liberté,
il ne reste plus qu’un seul argument
Alors
et
sont exprimés en fonctions périodiques
de
et, par conséquent, du temps. Nous retrouverons
alors simplement les solutions périodiques telles qu’elles ont été
définies au Chapitre III.
Une conséquence remarquable, c’est que, s’il n’y a que deux
degrés de liberté, les développements (14) sont convergents,
tandis qu’ils n’ont de valeur qu’au point de vue du calcul formel
si le nombre des degrés de liberté est supérieur à 2.
216.Examinons, en particulier, ce qui se passe quand
est,
par exemple, négatif et très grand ; les valeurs correspondantes
de
seront très petites, le second membre de (11) sera donc développable
suivant les puissances croissantes de
Quant à l’équation (13), nous la transformerons comme il suit
(13 bis)
|
|
|
Si
est positif, ainsi que je le suppose pour fixer les idées et
si
est négatif et très grand, l’exponentielle
![{\displaystyle e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a207cfafc5e6f29ac47e2052b396b3913650e8)
sera très petite. Quant au second membre de (13 bis) il est développable
suivant les puissances de ![{\displaystyle y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77980ab892b099a782ffcffee3c0a7addf130dde)
Écrivons donc nos équations sous la forme
(11 bis)
|
|
|
(13 bis)
|
|
|
Les
seront développables suivant les puissances de
et de
et chacun des termes du développement sera périodique par rapport à
![{\displaystyle y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17cddc902975363c40be64bafd600db88768ec2)
Les deux membres des équations (11 bis) et (13 bis) peuvent
donc être regardés comme développés suivant les puissances de
de
et de
Observons que
est développable suivant les puissances de
et soit
![{\displaystyle \alpha _{1}\,{\sqrt {\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7cb23798dc143dc7dfe3ad95c2dc4e59339b4a)
le premier terme du développement.
D’autre part, le premier terme du développement de
et de
sera en
de sorte que le développement de
et de
commencera par un terme indépendant de
Si dans les équations (11 bis) et (13 bis), nous faisons
elles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{k}&=y_{k}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,y,\\e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}&=e^{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{\alpha _{1}\,d\lambda }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2375a8649615004778e5bcf5863cf0ee5661f7a0)
Le déterminant fonctionnel des seconds membres de ces équations
par rapport à
se réduit à 1 pour
Cela va nous permettre d’appliquer le théorème du no 30.
Il en résulte que, pour toutes les valeurs de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a5308d2767c9d9245e49d53863e65bd973d58d)
les
sont développables suivant les puissances de
et de
![{\displaystyle e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4c019e81b6b20e21606809690f2e85f9cb56e0)
Les coefficients des développements sont des fonctions de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9984a8a761b0aea8988d83e0feddd5ef9225e17)
Pour nous rendre compte de la forme de ces fonctions, observons
que, quand
augmente de
augmente de
Nous conclurons que
et
![{\displaystyle y_{k}-w_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace18f9e186f03ec7c02dff328424a8e48bfe1ae)
est développable en séries procédant suivant les puissances de
et
![{\displaystyle e^{\frac {w_{1}}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b88af5f544fb1ce30a148985f6c5895904125fc)
et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9984a8a761b0aea8988d83e0feddd5ef9225e17)
La première équation (2 bis) nous fait voir ensuite, immédiatement,
que les
sont développables en séries de la même forme.
Si, au lieu de supposer
négatif et très grand, et
très voisin
de zéro, nous avions supposé
positif et très grand et
très
voisin de
nous serions arrivé au même résultat ; seulement, au
lieu de séries procédant suivant les puissances de
et
![{\displaystyle e^{\frac {w_{1}}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b88af5f544fb1ce30a148985f6c5895904125fc)
nous aurions eu des séries procédant suivant les puissances de
et
![{\displaystyle e^{-{\frac {w_{1}}{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3473fd653e811f1c14117e8af006acb03afcf9a)
Revenons au cas où
est négatif et très grand et
très voisin
de zéro, et supposons qu’il n’y ait que deux degrés de liberté.
Nous n’avons plus alors que deux arguments
et
![{\displaystyle w_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527ef427165b5c6c1b721ec2612761b0b7f8771a)
et nos séries procèdent suivant les puissances de
et de
et
suivant les sinus et les cosinus des multiples de
Comme les
arguments
et
sont des fonctions linéaires du temps, nos
séries procèdent suivant les puissances de
et d’une exponentielle
dont l’exposant est proportionnel au temps, les coefficients
des divers termes étant des fonctions périodiques du temps. Elles
ne diffèrent donc pas des séries qui ont été étudiées dans le
Chapitre VII
et qui définissent les solutions asymptotiques.
Il résulte de là une conséquence que le Chapitre VII met en évidence.
Si les séries restent ordonnées suivant les puissances de
et
de l’exponentielle, elles ne convergent pas, et n’ont de valeur qu’au
point de vue du calcul formel. Si on les ordonne par rapport aux
puissances croissantes de l’exponentielle seule (en réunissant par
conséquent en un seul tous les termes qui contiennent une même
puissance de l’exponentielle, mais des puissances différentes de
),
elles deviennent convergentes. Si, au contraire, on faisait cette
opération dans le cas où il y a plus de deux degrés de liberté, les
séries ne deviendraient pas convergentes.
217.Au début du no 215, j’ai fait certaines hypothèses au sujet
de la fonction
j’ai supposé que l’on avait
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3d94cfd67e5a2b1a81aedf8fd3efedea2eea6e)
pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{i}=y_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1bcfedcadd88139412af5b5b13292c92a98678)
J’ai ajouté que, si la fonction
ne satisfait pas à ces conditions,
il suffit de faire le changement de variables des nos 208 et 210.
Supposons donc que la fonction
ne satisfasse pas à ces conditions.
Soient
et
les anciennes variables, faisons le changement
de variables du no 210 et soient
et
les nouvelles
variables. On aura
(1)
|
|
|
(Cf. p. 381.)
Avec les nouvelles variables, les conclusions des deux derniers
numéros sont applicables et, par conséquent,
![{\displaystyle x_{1}',\quad x_{k}',\quad y_{1}',\quad y_{k}'-w_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e4a983fbb0570cac46991099314b44e611b205)
peuvent se représenter par des séries ordonnées suivant les puissances
de
et des cosinus et sinus des multiples de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c21f9ab23e421a468bb4873372782a9c2598c24)
et dont les coefficients sont des fonctions uniformes de
ces
fonctions uniformes sont développables suivant les puissances
de
si
est négatif et suffisamment grand et suivant celles
de
si
est suffisamment grand.
Des relations (1) qui lient les
et
aux
et
il est donc
permis de conclure que
![{\displaystyle x_{1},\quad x_{k},\quad y_{1},\quad y_{k}-w_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43895e604d7d0821e3fab2b38602098de9b9f786)
sont encore développables en séries de la même forme.
La seule différence, c’est que pour
et
se
réduisent à 0 ; tandis que
et
ne s’annulent pas.
Quand on fait
d’où
on trouve
(2)
|
|
|
et
représentant des séries ordonnées suivant les puissances
de
et les lignes trigonométriques des multiples de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9984a8a761b0aea8988d83e0feddd5ef9225e17)
En éliminant
entre les relations (2) on doit retrouver
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{k}&=\xi _{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6da84b25387d05d633692917a72afa67d77df8a)
c’est-à-dire les relations du no 209. S’il n’y a que deux degrés de
liberté, les relations (2) représentent tout simplement une solution
périodique (Cf. no 208).
Si nous faisons
d’où
![{\displaystyle e^{-{\frac {w_{1}}{\alpha }}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e1962ea0ed93d8061d481e85db03045eb67a82)
il vient de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1},&x_{k}&=\varphi _{k},&y_{1}&=\varphi _{1}'+2\pi ,&y_{k}&=w_{k}+\varphi _{k}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f288e2632b8a85d7fbbe80352257af5900f2995)
Les séries étudiées dans ce Chapitre pourraient être obtenues
directement par des procédés analogues à ceux des Chapitres XIV
et XV. Malgré l’intérêt que présenterait cette question, je ne puis
m’y appesantir, cela m’entraînerait trop loin. Je me bornerai à
rappeler que, par le changement de variables du no 206, on est
ramené au problème du no 134, auquel les procédés des
Chapitres XIV et XV sont directement applicables.
Comparaison avec les séries du no 127.
218.Nous avons vu au no 211 comment les séries des nos 204 et
suivants pouvaient se déduire de celles du no 125. Je me propose
de rechercher de même comment les séries du présent Chapitre
peuvent se déduire de celles du no 127.
Commençons d’abord par traiter le cas le plus simple, celui du
no 199. Dans ce cas, nos équations peuvent s’écrire (en supprimant
l’indice 1 devenu inutile)
(1)
|
|
|
désignant la période réelle de l’intégrale du second membre.
Ces équations nous permettent de calculer
et
en fonctions de
l’argument
de la constante
et de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Si nous supposons d’abord que
soit très petit par rapport à
nous pourrons développer suivant les puissances croissantes de
et nous obtiendrons les séries du no 127 ; si, au contraire,
est
comparable à
nous poserons
et nous retomberons sur
les séries étudiées dans le présent Chapitre.
Voyons la chose d’un peu plus près. Les équations (1) prouvent
que
et
sont des fonctions doublement périodiques
de
ou ce qui revient au même de
Soient
et
les deux
périodes (en considérant
comme la variable indépendante).
Par exemple,
sera égale à l’intégrale du second membre prise
entre
et
et
sera égale à deux fois cette intégrale prise
entre
De plus, quand
augmente de
ne change
pas et quand
augmente de
augmente de
Si
est réel, et on doit prendre
Alors
et
sont des fonctions périodiques de
de période
Si
est petit par rapport à
on peut développer suivant les puissances
de
(ce qui conduit aux séries du no 127) et chacun des
termes sera périodique de période
par rapport à
Mais si
est du même ordre de grandeur que
et que l’on
pose
il arrive que, pour une même valeur de
la
période
et le coefficient
sont proportionnels à
si alors
nous posons
![{\displaystyle \theta _{0}={\frac {\theta }{\sqrt {\mu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea49d53024b863eea912ef6e323b8fca424306d0)
les équations (1) deviennent
(1 bis)
|
|
|
La seconde de ces équations ne dépend plus de
Nous tirerons
de là
et
en séries développées suivant les sinus et les
cosinus des multiples de
dépendant de
mais indépendantes
de
Ce sont les séries du présent Chapitre.
Les séries obtenues d’abord, développées suivant les puissances de
et analogues à celles du no 127, étaient, comme il est aisé de
le voir, de la forme suivante
(2)
|
|
|
les
et les
ne dépendant ni de
ni de
et étant périodiques
de période
par rapport à ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Si l’on fait ensuite
et
comme je l’avais annoncé,
ne dépendent plus que de
et non plus de
Ainsi, pour passer des séries du no 127 à celles de ce Chapitre,
on fera
et on ordonnera ensuite de nouveau suivant les
puissances croissantes de
Dans le cas particulier qui nous
occupe, les nouveaux développements ainsi obtenus se réduisent
à un seul terme, puisque
ne contient que des termes en
et
des termes indépendants de
Tant que
est plus grand que 1,
est réel,
et
sont
périodiques de période
par rapport à
Mais, si
est plus
petit que 1,
devient imaginaire et c’est
qui est réel ; il faut
donc prendre
alors
et
(et non plus
) sont périodiques
de période
par rapport à
Si nous considérons
comme la variable indépendante, il y a
donc une discontinuité qui tient à ce que la définition de
change
quand
passe d’une valeur plus grande que 1 à une valeur plus
petite que 1. Cet inconvénient sera évité si l’on prend
pour
variable indépendante.
Et en effet, si l’on exprime
et
en fonctions de
et de
les expressions que l’on obtient pour
sont la continuation
analytique de celles que l’on obtient pour
Partant donc des séries (2), c’est-à-dire des séries du no 127 et
y faisant
il vient
(2 bis)
|
|
|
Ces séries sont convergentes si
est suffisamment grand ; dans
ce cas il suffit de les sommer ; quand elles deviennent divergentes,
on peut néanmoins prolonger les fonctions
et
par continuité
analytique ; et il arrive qu’en poursuivant ainsi jusqu’à des valeurs
de
plus petite que 1, la forme de ces fonctions est complètement
modifiée, parce que la période réelle devient imaginaire et
inversement.
C’est donc la double périodicité qui explique les cas si différents
que nous avons rencontrés dans cette étude ; la période qui est
réelle dans le cas ordinaire est imaginaire dans le cas de la libration
et inversement. Dans le cas limite, une des périodes devient
infinie.
Mais on peut se demander comment ces résultats peuvent
s’étendre au cas où
étant une fonction
quelconque dépendant de
seulement et périodique en
les
équations (1) deviennent alors
(1 ter)
|
|
|
Soit
le maximum de
On est dans le cas ordinaire si
![{\displaystyle \mathrm {C} >\mathrm {A} \,\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6d9bac5928fb8a6a52bc4521e451510938a6b9)
et, dans le cas de la libration, si
![{\displaystyle \mathrm {C} <\mathrm {A} \,\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbde3f5b49fa3e322b119e02880e080ef7c24e32)
Mais ici
et
ne sont plus des fonctions elliptiques
de
Elles ne sont donc plus uniformes et doublement périodiques
pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de
(bien
que, bien entendu, elles restent uniformes pour toutes les valeurs
réelles de
).
Les résultats précédents subsistent néanmoins.
Il suffit de nous restreindre à un domaine
tel que la partie
imaginaire de
soit suffisamment petite et que d’autre part
soit
suffisamment voisin de
Si alors l’on regarde
et
comme des fonctions de
et de
ou de
et de
ces fonctions sont uniformes
et doublement périodiques pourvu qu’on ne sorte pas du domaine
l’une des périodes est égale à l’intégrale du second
membre (1 ter) prise entre 0 et
et l’autre à deux fois cette
même intégrale prise entre deux valeurs de
qui rendent
égal à
Cela suffit pour que les circonstances du passage du cas ordinaire
à celui de la libration soient les mêmes que dans le cas particulier
que nous avons étudié d’abord.
Pour étendre plus facilement ces résultats au cas général, il
peut y avoir lieu d’introduire le moyen mouvement
que j’appellerai
ici simplement
puisque j’ai supprimé partout l’indice 1
devenu inutile.
Il vient alors, d’après les principes du no 3,
![{\displaystyle n={\frac {1}{\theta }}={\frac {2\pi }{\omega _{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424e47d36c18aa22eea760cab46546990c20902a)
D’autre part, si l’on développe
suivant les puissances de
comme nous l’avons fait dans ce qui précède, de telle sorte que
![{\displaystyle n=n^{0}+\mu \,n^{1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b011772f5d2aa6771693a4684bd27342d1439b25)
il viendra, pour ![{\displaystyle \mu =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d191c285311dcd60a77e9791d186aa2ca575dec)
![{\displaystyle \omega _{1}=\int {\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {C} }}}={\frac {2\pi }{\sqrt {\mathrm {C} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1e1f5bd76f54cb7725ccfb1c2ce80ee223ff05)
d’où
![{\displaystyle n^{0}\Phi ={\sqrt {\mathrm {C} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0f07600ed6134a926e8d64eab60f0033f5cc00)
Nous pouvons donc prendre pour variables
et
au lieu de
et
Alors les séries (2) procéderont suivant les puissances de
et
de
ce qui les rend analogues aux séries envisagées au no 201,
qui contenaient des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{q}}}\quad (q\leqq 2p-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ec1bdb524f1247533912da26a2debdfb824651)
Passons enfin au cas général.
Envisageons les séries du no 127 ; elles exprimeront les
variables
et
en fonctions des
arguments
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b472176ebb83ca833013feeb34cad3ea87063af3)
et de
constantes d’intégration. Nous choisirons par exemple
pour ces
constantes d’intégration les quantités que nous avons
appelées
![{\displaystyle n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8bb1236d61c1eaf81a094770812eddb17a2ce4)
Dans nos séries qui procèdent suivant les puissances entières
de
figurent en dénominateurs les petits diviseurs
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35467c131507e39ce6595a58d93419089faef15f)
Supposons maintenant que l’un de ces petits diviseurs devienne
très petit ; et, par exemple, supposons que ce soit
(car, si c’en
était un autre, on n’aurait qu’à faire le changement de variables
du no 202). Voyons d’abord quel est l’exposant maximum de
au dénominateur de chacun des termes de nos séries.
D’après ce que nous avons vu aux nos 201 et 211, le développement
de
ne contient que des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f457ed1b077f9b3cd1be74a0982b53056bb286)
où
![{\displaystyle q\leqq 2p-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d06b1bfab77ed9bb99d6a0818d42aabea3c8f4)
Si nous formons ensuite les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbca333f646842c2bc2aaa59de0d99f9718ca7c2)
on ne trouvera non plus dans la dérivée
que des termes en
mais dans la dérivée
s’introduiront en outre des termes en
![{\displaystyle \mu ^{p}\,{\frac {d}{dx_{i}^{0}}}\left[\left(n_{1}^{0}\right)^{-q}\right]=-q\,\mu ^{p}\,{\frac {dn_{1}^{0}}{dx_{i}^{0}}}\left(n_{1}^{0}\right)^{-q-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570624cfd992db08e88779ee12b93d4e8305c531)
c’est-à-dire des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}}\quad (q\leqq 2p-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd1b218c67e674acedcb65eef1d2fa6f44fd11e)
Des équations
![{\displaystyle w_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76f23dfe93a3ad07405b16f434f1b110bdbe7ed)
nous tirerons alors les
en fonctions des
et des
ou, si l’on
préfère, en fonctions des
et des
constantes d’intégration,
![{\displaystyle n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8bb1236d61c1eaf81a094770812eddb17a2ce4)
On voit d’après cela que le développement des
ne contiendra
que des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}}\quad (q\leqq 2p-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd1b218c67e674acedcb65eef1d2fa6f44fd11e)
Substituons ensuite les valeurs de
ainsi obtenues dans les équations
(3)
|
|
|
Avant la substitution, le second membre de (3) ne contient que
des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d457f85c4180fe45b7efef593ec619c7eae47509)
Soit
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}\,\varphi _{\alpha }(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},n_{1}^{0},n_{2}^{0},\ldots ,n_{n}^{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d6982c2e19648cc93a6741f1b254dd3a35dedd)
un de ces termes,
ne devenant pas infini pour
Après
la substitution il vient
![{\displaystyle \varphi _{\alpha }=\sum {\frac {\mu ^{\lambda }}{(n_{1}^{0})^{h}}}\,\psi (w_{i},n_{i}^{0})\quad (h\leqq 2\lambda ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c38778c346e97ae9deefc4889bf56f9769f8230)
ne devenant pas infini pour ![{\displaystyle n_{1}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8312698816da1b5cdf62aade7f4470fdb8a34cc4)
Le terme général du second membre de (3), après la substitution,
sera donc de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p+\lambda }}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+h}}}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579b5ab9a329db871f9bbf8b5781f95e25490f89)
et il est clair que
![{\displaystyle q+h\leqq 2(p+\lambda )-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47a46ea38d57f19b56f124a22b282f808087d44)
La conclusion générale de tout ceci, c’est que dans les développements
du no 127, les expressions des
ne contiennent que des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32307cdf493869b043e768a003996676e31e8715)
et celles des
que des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b917f7db52d777e9e8bd12ef194b5a3a0c246bda)
où
![{\displaystyle q\leqq 2p-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d06b1bfab77ed9bb99d6a0818d42aabea3c8f4)
Cela posé, supposons que
soit très petit et du même ordre de
grandeur que
Posons alors
![{\displaystyle n_{1}^{0}=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{2}\mu +\alpha _{3}\mu ^{\frac {3}{2}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a387eb4e109a4d630e7c3a5b9e293a55e981f37)
les α étant de nouvelles constantes. C’est ce que nous avons fait
au no 211. On peut, par exemple, poser tout simplement
![{\displaystyle n_{1}^{0}=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4dc59c99fc73d125eba11354edb560ca86cab0)
Après cette substitution, un terme en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32307cdf493869b043e768a003996676e31e8715)
n’est plus d’ordre
en
mais d’ordre ![{\displaystyle p-{\frac {q}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9394848ec93666ef0ba62e6ddb21b16190b359)
Groupons ensuite ceux des termes de nos séries qui sont devenus
ainsi du même ordre en
Chacun des groupes ainsi obtenus
formera une série partielle ; et la série totale sera la somme de
toutes ces séries partielles.
Pour obtenir les séries du présent Chapitre, il suffit de faire
la somme de chacune de ces séries partielles.
Si
est assez grand, les séries partielles sont convergentes
(les séries totales restant bien entendu divergentes et n’ayant de
valeur qu’au point de vue du calcul formel). Mais, si
est trop
petit pour que les séries partielles convergent, on peut néanmoins
poursuivre par continuité analytique, cela est aisé à comprendre.
C’est ainsi que la fonction
![{\displaystyle {\frac {1}{1+x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf5ccf754e13f8b1ada0b638b9937b864984529)
définie par la série
![{\displaystyle 1-x+x^{2}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ce4c6f80e06960845b4081dc4f200b87d9fe67)
continue à exister après que la série a cessé de converger.
Considérons donc la somme d’une de ces séries partielles. Cette
somme sera d’abord périodique de période
en
de plus, ce sera une fonction d’un autre argument
uniforme
pour les valeurs réelles de cet argument, et pour les valeurs dont
la partie imaginaire est suffisamment petite ; ou, en d’autres termes,
tant que l’argument
reste à l’intérieur d’un certain domaine
comprenant l’axe des quantités réelles tout entier. Quand
varie
entre certaines limites, cette fonction est, à l’intérieur de ce domaine,
uniforme et doublement périodique ; l’une des périodes
est réelle, l’autre imaginaire ; pour une certaine valeur de
l’une
des périodes devient infinie ; puis la période réelle devient imaginaire
et inversement.
C’est ainsi que s’effectue le passage du cas ordinaire à celui de
la libration.