CHAPITRE XXI.
EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.
Extension au problème du no 134.
219.J’ai expliqué au début du Chapitre XI quelles étaient les
difficultés particulières que présente le problème des trois Corps.
Ces difficultés proviennent de ce fait, que toutes les variables de
la première série, c’est-à-dire les variables ne figurent pas dans
la fonction
Nous avons vu dans les Chapitres XI et XIII comment on peut
se tirer de cette difficulté et construire néanmoins une fonction
développée suivant les puissances de satisfaisant à l’équation
de Jacobi
et telle que ses dérivées par rapport aux soient des fonctions
périodiques des
Cette fonction dépend en outre de constantes d’intégration,
par exemple des quantités
Si l’une des combinaisons linéaires
est très petite et de l’ordre de grandeur de nous pourrons
poser, comme nous l’avons fait au no 211,
les étant de nouvelles constantes, et supposer que
Ordonnons ensuite chacun des termes de suivant les puissances
croissantes de et groupons ensemble les termes qui
contiennent en facteur une même puissance de chacun des
groupes de termes ainsi obtenus devra jouir de la même propriété
que la fonction elle-même, c’est-à-dire que leurs dérivées seront
des fonctions périodiques des
On peut donc prévoir que la méthode de M. Bohlin est encore
applicable aux cas où ne dépend pas de toutes les variables de
la première série et, en particulier, au problème des trois Corps.
Mais l’application soulève quelques questions délicates et je suis
obligé d’insister.
220.Imaginons donc que ne dépende pas de toutes les
variables de la première série. Pour mettre ce fait en évidence,
j’appellerai les variables de la première série
et les variables correspondantes de la deuxième série
et je supposerai que dépend de tous les mais ne dépend
pas des
Je me propose de former une fonction des et des qui
satisfasse à l’équation de Jacobi
(1)
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où je suppose que dans le premier membre les variables de la
première série et ont été remplacées par les dérivées correspondantes
et
Je veux également que la fonction soit développable suivant
les puissances de et que ses dérivées soient périodiques par
rapport aux et aux
En faisant l’équation (1) devient
(2)
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ce qui nous apprend que est de la forme
ne dépendant que des
Nous poserons
S’il n’y a entre les aucune relation linéaire à coefficients
entiers, il n’y a pas de difficulté, les calculs du Chapitre XI sont
applicables et l’on peut former la fonction qui ne contiendra
d’ailleurs que des puissances entières de car les termes contenant
des puissances impaires de disparaissent.
Supposons donc qu’il y ait entre les une relation linéaire, et soit
cette relation ; ce que je puis supposer, car dans le cas contraire,
j’appliquerais le changement de variables du no 202.
Avant d’aller plus loin, introduisons une notation nouvelle.
Soit une fonction périodique quelconque des dépendant en
outre de je désignerai par
la valeur moyenne de considérée comme fonction de
et par
la valeur moyenne de considérée comme fonction de
Il résulte de cette définition que est une fonction de et
des tandis que n’est fonction que des
Si nous supposons que au lieu d’être une fonction périodique
des est une fonction telle que ses dérivées soient périodiques,
de telle sorte que
étant périodique et les étant des constantes ; nous poserons
et
Cela posé, reprenons les équations (3) de la page 343. La première
de ces équations n’est autre chose que l’équation (2) que
nous venons de considérer.
La seconde nous apprend que
sont des constantes ; nous pouvons, sans restreindre la généralité,
supposer que ces constantes sont nulles ; c’est là en effet reprendre
les hypothèses (9) de la page 348.
Alors n’est plus fonction que de et des de sorte que
Considérons maintenant la troisième équation (3).
La fonction qui figure au second membre n’est autre chose
que
Le second terme du premier membre se rôdai t à
parce que les autres sont nuls.
Posons
l’équation devient alors
(4)
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Seulement il importe de remarquer qu’ici la fonction n’est pas
connue ; elle dépend en effet des des des et des et l’on
doit y remplacer les par les qui sont connus, et les par les
qui ne le sont pas.
Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres
par rapport à D’abord les se réduisent à
des constantes, et je puis supposer, sans restreindre la généralité, que ces constantes sont nulles ; car c’est reprendre les hypothèses (10) de la page 349.
D’autre part,
puisque ne dépend pas de
Enfin il importe de remarquer que, dans le calcul de la valeur
moyenne de on peut opérer comme si les fonctions (qu’on
doit y substituer à la place des ) étaient des constantes, puisque
ces fonctions ne dépendent pas de
Il vient donc
(4 bis)
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d’où
Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres
par rapport à il viendra
Si est une fonction dont les dérivées sont périodiques, le premier
membre se réduira à une constante que j’appelle On doit donc avoir
ou
(5)
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Le premier membre dépend des et en outre des dérivées
qui entrent dans C’est donc une équation aux dérivées partielles
qui définit Nous définirons cette fonction de telle
façon que ses dérivées soient périodiques. Nous pourrons écrire l’équation (5) sous la forme
(5 bis)
|
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Tout est donc ramené à l’intégration de cette équation (5 bis) ; j’y
reviendrai plus loin ; supposons cette intégration possible et soit
une solution complète de cette équation contenant les constantes
d’intégration Je suppose, bien entendu, que est une fonction
des et des constantes périodique par rapport aux
étant ainsi déterminé, nous pouvons calculer et, par
conséquent,
Nous pouvons donc écrire
étant une fonction connue de et des et une fonction
encore inconnue des
L’équation (4) nous donne ensuite
d’où l’on déduit
Considérons maintenant la quatrième équation (3).
Dans le second terme du premier membre, les sont connus,
à l’exception de ce second terme peut donc s’écrire
D’autre part, j’ai, à la page 343, désigné le second membre par
parce qu’il était entièrement connu. Mais ici, il n’en est plus de
même parce que ce second membre dépend des et, par conséquent, des que nous ne connaissons pas. Il est aisé de voir
que ce second membre sera de la forme
étant connue.
Notre équation s’écrit donc
(6)
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Il va sans dire que, dans les et les doivent être remplacés
respectivement par les et les
Prenons les valeurs moyennes des deux membres par rapport
à Nous pouvons supposer, comme plus haut, que
les valeurs moyennes des sont nulles ; il viendra alors
(7)
|
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Nous tirons de là
Les deux membres de cette équation dépendent de et des
la valeur moyenne du premier membre doit se réduire à une constante
à laquelle je puis, sans restreindre la généralité, attribuer
une valeur arbitraire, par exemple la valeur zéro ; on doit donc avoir
ce que je puis écrire
(8)
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ou bien encore
(8 bis)
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est une fonction des et des périodique par rapport aux
quand on y remplace les par les on obtient le premier
membre de (5 bis) ; de même dans (8 bis), je suppose que dans les
dérivées les ont été remplacés par les
L’équation (8 bis) doit déterminer je vais montrer que l’intégration
en est aisée quand on sait intégrer (5 bis).
En effet, si nous savons intégrer (5 bis), nous connaîtrons une
fonction dépendant des et de constantes et telle que si
l’on substitue ses dérivées dans à la place des cette fonction
se réduise à une constante par rapport aux c’est-à-dire à une
fonction des que j’appelle
Nous poserons d’autre part
(9)
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Nous aurons ainsi relations entre les quantités
de sorte que nous pourrons prendre pour variables indépendantes,
soit les et les soit les et les soit les et
les
Pour éviter toute confusion, nous représenterons les dérivées
par la lettre lorsque nous prendrons pour variables les et
les ou bien les et les et par la lettre lorsque nous prendrons
pour variables les et les
Dans l’équation (8 bis), doit être considéré comme exprimé
à l’aide des et des car ce n’est qu’après la différentiation
qu’on remplace les par les Au contraire, est une fonction
des
dépendant en outre des constantes d’intégration
Avec notre nouvelle notation, l’équation (8 bis) doit donc s’écrire
D’autre part, on a identiquement
et, comme ne dépend que des
Cette équation peut encore s’écrire
On a d’ailleurs
On trouve alors successivement en transformant (8 bis)
ou, par permutation d’indices,
car
d’où
ou, en prenant pour variables les et les
Comme se réduit à qui ne dépend pas des il vient enfin
(8 ter)
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doit être exprimé en fonction des variables et des constantes
d’intégration Comme les dérivées de ne dépendent
que des constantes ce sont aussi des constantes. Il en résulte
que l’équation (8 ter) étant à coefficients constants s’intègre
immédiatement.
est périodique par rapport aux il arrivera souvent que la
forme de la fonction et des équations (9) sera telle que les
seront des fonctions uniformes des et inversement. Alors les
différences seront des fonctions périodiques soit des
soit des
Alors qui est périodique par rapport aux le sera également
par rapport aux On pourra alors intégrer l’équation (8 ter)
de telle façon que les dérivées soient périodiques par rapport
aux ou, ce qui revient au même, de façon que les dérivées
soient périodiques par rapport aux ou bien encore que
augmente d’une constante quand augmente de
L’équation (8) étant ainsi intégrée, l’équation (7) nous donnera
de sorte que nous pourrons écrire
étant une fonction entièrement connue des et des et
une fonction inconnue ne dépendant que des
L’équation (6) peut alors s’écrire
et elle détermine
et ainsi de suite.
Extension au problème des trois Corps.
221. Tout se trouve ainsi ramené à l’intégration de
l’équation (5). Voyons donc quelle est, dans le cas du problème des trois Corps, la forme de cette équation. Elle s’écrit
Mais quelle est la forme de ?
Nous choisirons pour variables les quantités
définies à la page 87, auxquelles nous devrons adjoindre, si les trois
corps ne se meuvent pas dans un même plan, les variables
définies tome I, page 30.
Alors la fonction sera développée suivant les puissances positives
de et suivant les sinus et cosinus
des multiples de et Un terme en
devra contenir en facteur un monome dont le degré par rapport
aux variables sera au moins égal à et
n’en pourra différer que d’un nombre pair. Enfin ne dépendra
que de et
Cela posé, imaginons que l’on ait
et étant deux entiers ; et deux constantes auxquelles
nous égalerons et analogues par conséquent aux constantes
que nous désignions par dans le numéro précédent.
Nous poserons alors
et pour former nous n’avons qu’à supprimer dans tous
les termes qui dépendent de ou de sauf ceux qui ne dépendent
que de
Pour mettre en évidence le degré de chaque terme par rapport
aux excentricités et aux inclinaisons, remplaçons partout
par
et rendons-nous compte du degré de chacun des termes de par
rapport à
Nous aurons
où est l’ensemble des termes indépendants à la fois de et de
de telle sorte que
et où est l’ensemble des termes dépendant de et de seulement.
est alors développable suivant les puissances de et nous aurons
Quant à il est divisible par
On aura, en général,
de telle sorte que l’on peut poser
ne dépend que de et et peut être regardé comme une
constante ; je puis donc poser
et en même temps
de telle sorte que l’équation (5) devient
où, en développant le radical suivant les puissances de réduisant et divisant par
représente une fonction développable suivant les puissances
positives de des des des et des
En posant enfin
il vient
La fonction est la même qui a été désignée ainsi page 40
(sauf que les lettres et sont affectées de l’indice 1). Nous pourrons
alors définir absolument comme au no 131 les variables
et (en les formant toutefois avec les et les au lieu de les
former avec les et les ), et je prendrai pour variables nouvelles
Alors se réduit à
(Cf. p. 44).
Remplaçons par nous aurons finalement à intégrer
l’équation
(5 ter)
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Le premier membre est périodique par rapport aux il est
développable suivant les puissances de et, quand on y fait
il se réduit à et ne dépend plus des mais seulement des
Nous pouvons donc appliquer les procédés du no 125.
L’intégration de l’équation (5) à laquelle nous avions ramené le problème est donc possible.
Le cas où
pi
se traiterait d’une manière analogue ; le cas où
d’où
c’est-à-dire celui où les deux grands axes diffèrent très peu, présente
des difficultés spéciales.
Discussion des séries.
222.Reprenons les notations du no 220 et supposons que l’on
ait déterminé la fonction par les procédés de ce numéro. Le
problème n’est pas encore entièrement résolu. Il faut encore
former les équations
(10)
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où les et les seront des fonctions convenablement choisies des
constantes et puis résoudre ces équations pour obtenir
les les les en fonctions des des des des
enfin remplacer les et les par des fonctions linéaires du
temps dont les coefficients seront convenablement choisis. On
obtiendra ainsi les expressions des coordonnées en fonctions
du temps.
Voyons d’abord quelle sera la forme des équations (10).
La fonction ayant ses dérivées périodiques peut s’écrire
étant une constante indépendante des et des et étant
périodique par rapport aux et aux Les coefficients de
et de peuvent, sans que la généralité s’en trouve restreinte, être
supposés égaux à et à c’est là, en effet, reprendre les
hypothèses (10) de la page 349.
Quant à il est développable suivant les puissances de
est égal à et à la constante de l’équation (5) du no 220.
De même est développable suivant les puissances de
avec
Les équations (10) deviennent alors
(11)
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Nous sommes ainsi conduits à prendre
Mais la difficulté provient de la circonstance suivante. Comme
ne dépend pas de ni de et s’annulent pour
et sont divisibles par Au contraire, pour se réduit à
et ne s’annule pas.
Il faut faire ensuite
les étant des constantes déterminées et les des constantes arbitraires.
Pour déterminer les on opère de la façon suivante.
Quand dans on remplace les et les par et cette
fonction d’après la définition même de la fonction devra se
réduire à une constante ou plutôt à une fonction des constantes
d’intégration et Soit donc
on aura
(12)
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On voit que les sont développables suivant les puissances
de Pour nous rendre compte de la forme du développement,
développons la fonction elle-même suivant les puissances de
il vient
On a d’ailleurs
d’où
puisque est nul.
D’ailleurs on voit que
et que le développement de commence par un terme en
La seconde équation (12), où le coefficient est divisible par
et le second membre par nous apprend que le développement
de commence par un terme en Comme est également
divisible par par et le second membre par la troisième
équation (12) nous apprend que est divisible par
Remarquons, d’autre part, que les équations (11) sont susceptibles
de simplification. Nous avons supposé jusqu’ici que et
étaient exprimés en fonctions des variables et et des constantes
et Posons maintenant
et supposons, ce qui revient au même, que et sont exprimés en fonctions des et des et des constantes et Nos
équations (11) deviennent alors
(11 bis)
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Il n’en subsiste pas moins que, si ces équations (11) et (11 bis)
nous donnent implicitement nos coordonnées en fonctions des
nous ne pouvons plus les résoudre par le procédé du no 30, et que,
par conséquent, les relations entre ces coordonnées et les sont
beaucoup plus compliquées qu’au no 127 ou qu’aux Chapitres XI
et XX.
Nous nous bornerons à remarquer ce qui suit. Que deviennent
nos équations pour Impliquent-elles contradiction ? Comme
et s’annulent pour et se réduisent à des constantes
et de sorte que nous avons d’abord
Comme ne contient d’autres variables que les ces équations
nous apprennent que les sont des constantes. Passons à la
seconde équation (11 bis) et, comme est une constante arbitraire,
égalons-la à étant une constante donnée et finie. La
seconde équation devient
ou
et comme ne dépend que des qui sont des constantes, elle
est satisfaite d’elle-même.
Voyons maintenant ce que devient la première ; posons encore
et étant des constantes finies ; remplaçons par sa valeur tirée de la seconde équation et écrivons les termes en
et les termes indépendants de il viendra
d’où
ou
La première est satisfaite d’elle-même et la seconde nous donne
Seconde méthode.
223.On peut aussi diriger autrement les calculs et, au lieu de
se servir de l’équation (5) du no 220, s’attaquer directement à
l’équation (4 bis), qui s’écrit
(4 bis)
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Reprenons les notations du no 221 et choisissons comme variables
les quantités
telles qu’elles ont été définies dans ce no 221. Voyons quelle sera
la forme de l’équation (4 bis).
1o Les deux membres de cette équation ne dépendront pas d’une
manière quelconque de et de mais seulement de
et étant les entiers définis au no 221. En effet, on a obtenu
en supprimant dans tous les termes qui dépendent de et
de autrement que par la combinaison
2o Ils dépendent de et mais ces quantités y doivent être remplacées par les constantes et analogues aux devient
ainsi une constante.
3o Ils sont périodiques par rapport à et aux
4o Ils sont développables par rapport aux puissances entières
de et aux puissances fractionnaires des qui doivent être
remplacés par
L’équation (4 bis) peut ainsi s’écrire
(4 a)
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Envisageons le développement de suivant les puissances de
Le terme indépendant de se réduit à
défini comme au no 221, est une constante qui ne dépend que
de et
Le terme en est nul (sauf si cas que nous
laissons de côté).
Le terme en se réduit à
Le premier terme qui dépend de est le terme en
Voici comment on peut traiter l’équation (4 a). Cherchons à
développer suivant les puissances de et soit
Développons de même et et soit
en remplaçant par cette valeur dans et développant il vient
Nous trouvons d’abord
ce qui nous montre que est une constante. Soit donc
étant une constante qui dépendra de la constante d’intégration
Il vient ensuite
ce qui nous montre que est encore une constante. Nous pouvons,
sans restreindre la généralité, supposer que et sont nuls.
Il vient donc ensuite
Cette équation montre que est encore une constante que
nous pourrons encore considérer comme nulle sans restreindre la
généralité et il nous restera à traiter l’équation
qui montre que les sont des constantes que nous pouvons
choisir arbitrairement puisque est arbitraire.
Il vient ensuite
Nous pourrons encore supposer et nuls sans restreindre la
généralité, puis
Nous supposerons encore nul et il restera
qui permettra facilement de déterminer car n’y entre pas.
On ira ainsi jusqu’au terme en Posons il
vient alors
et dépendant des et de qui sont des
fonctions connues des pourront être regardés comme connus.
Quant à on aura
étant une fonction connue des
Nous pourrons alors décomposer l’équation précédente en deux
et écrire
Les seconds membres sont connus, de sorte que nous déduirons
facilement de ces équations les valeurs de et On voit
que les dérivées de sont périodiques par rapport à nous
pouvons même sans restreindre la généralité choisir de façon
à annuler la valeur moyenne de Alors est lui-même
périodique. Quant à on voit qu’il sera périodique par rapport
à et aux
On continuera de la sorte. En égalant les coefficients de
on trouvera
(13)
|
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étant une fonction connue périodique par rapport à et aux
nous supposerons la fonction développée en série trigonométrique
et nous choisirons de façon à annuler la valeur moyenne
du second membre.
Nous poserons ensuite
représentant l’ensemble des termes qui dépendent de et l’ensemble des termes qui n’en dépendent pas, de sorte que
Nous décomposerons alors l’équation (13) en deux en écrivant
ces deux équations détermineront et et les deux fonctions
ainsi obtenues seront périodiques.
L’équation (4 bis) du no 220 étant ainsi intégrée, l’équation (4)
nous donnera et l’on formera ensuite les équations (6)
et (7).
Nous allons traiter l’équation (7) comme nous avons traité
l’équation (4 bis). Les deux membres de (7) étant développés
suivant les puissances de nous développerons de même
et et nous écrirons
Nous égalerons ensuite dans les deux membres de (7) les coefficients
des puissances semblables de et nous obtiendrons une
série d’équations qui nous permettront de déterminer par récurrence
les et les
En égalant les coefficients de on obtiendra une équation qui
servira à déterminer et Cette équation serait de même
forme que (13), sauf que et seraient remplacés par
et On la traiterait donc de la même manière.
L’équation (7) étant ainsi intégrée, on continuera de la même
manière.
Cas de la libration.
224.Comment le cas de la libration peut-il se présenter ?
Reprenons nos équations du numéro précédent et supposons
que
On poursuivra le calcul comme plus haut jusqu’à ce qu’on arrive
à l’équation obtenue en égalant les coefficients de On aura
alors
et, si est pair, l’équation en pourra s’écrire
(14)
|
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Si nous posons, pour abréger,
et si nous supprimons pour un instant l’indice de et les
indices de et il viendra
en appelant pour abréger, la quantité sous le radical.
L’intégrale
est une intégrale elliptique de deuxième espèce. L’une de ses
périodes est
Si et sont choisis de façon que soit toujours positif, cette
période est toujours réelle ; nous voulons qu’elle soit constante et
indépendante des J’égale donc cette période à une constante
donnée et j’obtiens une équation
(15)
|
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En résolvant cette équation par rapport à il vient
étant une fonction des que l’on peut regarder comme donnée
et qui est périodique.
Cela nous donne
équation qui détermine après quoi on tirera facilement
de l’équation (14).
C’est là le cas ordinaire.
Mais il peut se faire que et soient choisis de telle sorte
que puisse s’annuler. Dans ce cas c’est la seconde période de
notre intégrale elliptique qui est réelle. En égalant cette seconde
période à une constante donnée on obtiendra une équation (15 bis)
analogue à (15). Si l’on résout par rapport à il
viendra
ou
qui déterminera puisque est connue et périodique.
C’est là le cas de la libration.
On obtiendra le cas limite en écrivant que l’une des périodes
de l’intégrale elliptique de première espèce correspondante est
infinie, ce qui donne pour déterminer l’équation suivante
L’inconvénient de cette façon d’opérer, c’est que les expressions
obtenues dans les deux cas ne sont pas la continuation analytique
l’une de l’autre.
Égalons maintenant les coefficients de il viendra
(16)
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étant connu et périodique.
Si nous sommes, par exemple, dans le cas ordinaire, nous
devrons écrire que
est égal à une constante donnée indépendante des nous
trouverons ainsi en posant, pour abréger,
(17)
|
|
|
Cette équation nous donnera et l’équation (16) nous donnerait
ensuite
Les équations obtenues en égalant les coefficients des autres
puissances de seraient de même forme que (16). Il en serait
encore de même des équations que l’on obtiendrait en égalant
dans les deux membres de (7) les coefficients des diverses puissances
de
Toutes ces équations pourraient donc se traiter de la même
manière.
Les résultats seraient absolument les mêmes si était impair ;
seulement il faudrait modifier la forme du développement de
et écrire
étant ainsi développé suivant les puissances impaires de
Tous les résultats obtenus depuis le commencement de ce Chapitre
sont bien incomplets et de nouvelles études deviendront
nécessaires. Elles seraient prématurées.
Divergence des séries.
225.Nous avons vu au no 212 que les séries auxquelles conduit
la méthode de M. Bohlin sont généralement divergentes et
j’ai cherché à expliquer le mécanisme de cette divergence. Je crois
devoir revenir sur ce sujet et étudier avec quelques détails un
exemple simple qui fera mieux comprendre ce mécanisme. Soit
où sont deux paires de variables conjuguées,
une fonction périodique de de période et où et sont deux
constantes que je supposerai très petites.
Formons les équations canoniques
(1)
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d’où
L’intégration de ces équations est presque immédiate quand
Écrivons l’équation aux dérivées partielles de Jacobi et
soit
(2)
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étant une constante. Développons et suivant les puissances
de et soit
Pour l’équation (2) devient
(3)
|
|
|
L’intégration, ai-je dit plus haut, est presque immédiate, et en effet, pour obtenir l’intégrale complète de (3), il suffit de
prendre, en appelant une constante,
Nous retombons en somme, aux notations près, sur l’exemple
que nous avons traité au no 199. Le cas de correspond au
cas ordinaire ; le cas de à celui de la libration ; le cas
de au cas limite.
Mettons en évidence les solutions particulières remarquables.
Nous avons d’abord la solution simple
qui est une solution périodique. Voyons quelles sont les solutions
asymptotiques correspondantes.
On les obtiendra en faisant dans ce qui donne
d’où
ce qui montre que les exposants caractéristiques sont égaux
à
Calculons maintenant
En égalant dans l’équation (2) les coefficients de je trouve
étant une constante que je pourrai d’ailleurs supposer nulle
sans restreindre la généralité, ou bien
(4)
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|
est alors la partie réelle de la fonction définie par l’équation
(4 bis)
|
|
|
nous l’obtiendrons en posant
d’où
(4 ter)
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Pour intégrer cette équation linéaire, intégrons d’abord l’équation
sans second membre qui peut s’écrire
en posant
d’où
étant une constante. Je poserai l’intégrale elliptique
d’où
pour l’intégrale générale de l’équation sans second membre. Pour
intégrer l’équation à second membre, je regarderai comme une
fonction de ce qui donne
d’où
et enfin
(5)
|
|
|
Si je pose sera réel, et j’aurai
(6)
|
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Nous discuterons plus loin les expressions (5) et (6) ; montrons
d’abord comment on conduirait les approximations suivantes.
On trouverait
(7)
|
|
|
étant une fonction connue de et de périodique par rapport
à et que par conséquent nous pourrons mettre sous la forme
étant un entier positif ou négatif et une fonction connue
de dans la somme du second membre le nombre des termes
est limité. Si nous posons alors
ne dépendant que de la fonction devra satisfaire à l’équation
différentielle
Cette équation étant tout à fait de même forme que (4 ter) se
traitera de la même manière.
Les fonctions seraient données ensuite par une
équation de même forme que (7) et qui se traiterait de la même
manière.
Cette méthode a été employée sous une forme assez différente
par M. Gyldén dans son Mémoire du Tome IX des Acta mathematica.
Discutons maintenant les expressions (5) et (6).
Considérons d’abord le cas ordinaire où alors étant
une fonction périodique de sera également une fonction périodique
de dont la période sera égale à la période réelle de l’intégrale
elliptique de Je pourrai donc écrire
étant une constante réelle dépendant de la période de l’intégrale
et étant un entier.
On en déduit
ou
et enfin, si et sont le module et l’argument de
(8)
|
|
|
On voit que chacun des termes de est développable suivant
les puissances de On peut chercher à effectuer le développement
puis à réunir en un seul tous les termes qui contiennent en
facteur une même puissance de on obtiendra ainsi,
au point de vue formel, le développement de suivant les puissances
de soit
(9)
|
|
|
On a
C’est au même résultat que l’on serait parvenu en appliquant la
méthode de M. Bohlin. On aurait développé suivant les puissances
de et l’on aurait trouvé
La fonction aurait été à son tour développable suivant les
puissances croissantes de et le coefficient de n’aurait été autre
chose que
La série aurait été convergente ; en effet, si, comme je le
suppose, la fonction est holomorphe pour toutes les valeurs
réelles de on aura
et étant deux constantes positives d’où il suit que
la série
converge absolument, de même a fortiori que la série
D' autre part, le développement (8) converge, mais il n’en est
pas de même du développement (9).
Pour nous en rendre compte, il nous suffira d’envisager un
exemple très particulier.
Faisons
il viendra
variant de
à
ce qui montre que est nul si est impair et égal à
variant de
à
Or nous avons évidemment
d’où, pour par exemple,
Les termes du développement (9) sont alors nuls de deux en
deux et ceux qui restent sont plus grands que les termes correspondants
du développement
qui est manifestement divergent.
Ce que je viens de dire du développement de s’appliquerait
évidemment à celui de et des autres fonctions analogues.
Il n’y a presque rien à changer à ce qui précède dans le cas de
c’est-à-dire dans le cas de la libration. La seule différence
est que la période réelle de l’intégrale n’est plus
mais
en appelant le radical et posant
La quantité doit alors être égale non plus à mais à
226.Le cas limite où présente plus d’intérêt. Dans ce
cas on a
et en posant
Soit d’abord, par exemple,
il viendra
d’où
Or, en intégrant par parties, on trouve
d’où
(10)
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|
On pourrait se proposer de développer, au moins au point de
vue formel, la fonction suivant les puissances de mais il
vaut peut-être mieux pour cela revenir au cas général.
Quand varie de 0 à 2 varie de à est une
fonction de supposons qu’elle puisse être représentée par l’intégrale
de Fourier sous la forme
Pour cela il suffit, puisque est pour toutes les valeurs
réelles de analytique et périodique, il suffit, dis-je, que
Nous trouverons alors
Cette formule contient en réalité une constante arbitraire, puisque
les limites de l’intégration par rapport à sont indéterminées ; je
disposerai de cette constante de la manière suivante :
Intervertissons l’ordre des intégrations et effectuons l’intégration
par rapport à il viendra
étant une fonction arbitraire de introduite par l’intégration.
On pourrait d’abord dans certains cas supposer cette fonction
nulle, et il resterait
ou bien
(11)
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ou encore, en appelant et le module de l’argument de
(12)
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où et sont des fonctions de
Mais, pour que la formule (11) ait un sens, il faut que l’intégrale
soit finie et pour cela que la fonction sous le signe ne devienne
pas infinie pour c’est-à-dire que
Comme cela n’aura pas lieu en général, on pourrait remplacer la
formule (11) par la suivante [ce qui est une autre manière de disposer
de la fonction arbitraire ]
(11 bis)
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étant une constante arbitraire, d’où
(12 bis)
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Mais on peut encore s’en tirer d’une autre manière. En général,
sera une fonction de qui restera holomorphe si est réel
ou si la partie imaginaire de n’est pas trop grande. Soit, par
exemple,
Comme on a, d’après la formule de Fourier,
il vient, en remplaçant et en fonctions de
En appliquant à cette intégrale la transformation qui nous a
conduits à la formule (10), on trouve
d’où enfin
On voit que ne cesse d’être holomorphe que quand est
égal à multiplié par un entier impair.
Cela posé, la formule
restera vraie quand l’intégrale sera prise non plus le long de l’axe
des quantités réelles, mais le long d’une courbe restant au-dessus
de cet axe, mais s’en éloignant assez peu pour qu’entre
cette courbe et cet axe il n’y ait aucun point singulier de
Alors les formules (11) et (12) seront vraies également en prenant
les intégrales le long de mais elles le seront sans restriction,
car, quel que soit la quantité sous le signe ne
deviendra pas infinie le long du chemin d’intégration.
On voit tout de suite une importante propriété de la fonction
définie par cette fonction (11). Nous avons sous le signe
l’exponentielle comme la partie imaginaire de est positive, si
est réel, positif et très grand, le module de cette exponentielle est
très petit. Donc pour c’est-à-dire pour et
s’annulent. On peut aussi remplacer le chemin d’intégration par
un autre chemin qui reste au-dessous de l’axe des quantités
réelles sans s’en éloigner beaucoup, de façon qu’entre et cet
axe il n’y ait aucun point singulier de
Les intégrales (11) et (12), prises le long de nous donneront
d’autres valeurs de et de que je désignerai par et pour
les distinguer des premières.
Comme la partie imaginaire de est négative, si est réel,
négatif et très grand, l’exponentielle aura son module très
petit. Donc, pour c’est-à-dire pour et s’annulent.
On peut se demander si est égal à On voit qu’entre les
deux chemins d’intégration et la quantité sous le signe
présente un point singulier qui est le point
Ce point singulier est un pôle. La différence des deux intégrales
sera donc égale à multiplié par le résidu ; ce qui donne
et, en appelant et le module et l’argument de
On voit que n’est pas égal à moins que
Cherchons maintenant à développer et suivant les puissances
de voici ce que nous obtiendrons ; soit
il viendra
et
l’intégrale étant prise le long de pour et le long de pour
Mais, cette fois, la quantité sous le signe ne présente pas de point singulier entre et ; d’où il résulte que l’on a
Ainsi, bien que les fonctions et ne soient pas égales, leurs
développements formels suivant les puissances de sont identiques.
C’est assez dire que ces développements ne sont pas convergents.
Cela montre toutefois que si est considéré comme un infiniment
petit du premier ordre, la différence sera un infiniment
petit d’ordre infini, comme est, par exemple,
Et, en effet, dans le cas particulier où on a
ce qui montre que les différences et sont du même
ordre de grandeur que
227.Nous retrouverons plus loin les mêmes résultats par des
moyens plus simples, mais je tenais à les présenter sous cette
forme, afin de mieux faire comprendre le passage du cas ordinaire
au cas limite.
Comparons en effet les formules (8) et (12). Dans la formule (8),
nous avons une série où entre la quantité comme est un
entier, ne pourra prendre que certaines valeurs qui seront
d’autant plus rapprochées les unes des autres que sera plus petit.
Quand tend vers zéro, la période de l’intégrale croît indéfiniment,
et tend vers zéro. Les valeurs de deviennent de plus
en plus rapprochées et, à la limite, la série se transforme en une
intégrale, ce qui conduit à la formule (12).
Mais quand décroîtra ainsi d’une manière continue, il passera
par certaines valeurs pour lesquelles il se produira une circonstance
qui mérite de fixer l’attention.
Si devient entier, l’un des dénominateurs de la formule (8)
s’annule et la formule devient illusoire. Et en effet un des termes
de cette formule devient infini. Dans ce cas, il est aisé de voir que
le terme qui devient ainsi infini doit être remplacé par
(13)
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et, en effet, on a
Si n’est pas nul, l’intégrale du second membre est égale à
plus une constante que l’on peut supposer nulle. Mais, si
est nul, cette intégrale est égale à plus une constante que l’on
peut supposer nulle.
En substituant ainsi l’expression (13) dans à la place du terme
qui deviendrait infini, la fonction ne devient plus infinie, mais
elle cesse d’être périodique par rapport à
228.Revenons au cas limite où est nul et supposons d’abord
La formule (10) nous donne alors
étant une constante d’intégration. Le premier terme est développable
suivant les puissances croissantes de pourvu que soit
plus petit que 1. Il en est de même du second terme, car
On en conclut, en effectuant l’intégration,
On voit ainsi que, pour s’annule. D’autre part,
comme la partie réelle de est nulle, l’expression ne s’annule
pas pour
Pour que la fonction s’annule pour c’est-à-dire pour
il faut donc et il suffit que la constante s’annule. La
fonction que nous avons appelée au no 226 est donc égale à
Je puis écrire aussi la formule (10) sous la forme
étant une nouvelle constante.
Si nous supposons que soit plus grand que 1 et que nous
développions suivant les puissances décroissantes de il viendra
Le premier et le second terme s’annulent pour mais il n’en
est pas de même du troisième.
Pour que la fonction s’annule pour c’est-à-dire pour
il faut donc et il suffit que la constante s’annule. La
fonction que nous avons appelée au no 226 est donc égale à
Pour que fût égal à il faudrait donc que l’on eût
ce qui, comme nous l’avons vu plus haut, n’a pas lieu.
Plus généralement, supposons que s’annule pour il viendra
s’annule pour c’est-à-dire pour et pour
c’est-à-dire pour Soit donc d’abord petit et développons
suivant les puissances de soit
d’où
étant une constante d’intégration. Pour que cette expression
s’annule pour il faut et il suffit que soit nul. La fonction
du no 226 est donc égale à
(14)
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Soit maintenant très grand ; développons suivant les puissances
décroissantes de et soit
il viendra
étant une constante d’intégration. Pour que cette expression
s’annule pour il faut et il suffit que soit nul. La fonction
du no 226 est donc égale à
(15)
|
|
|
Pour que fût égale à il faudrait que
c’est-à-dire que
ce qui n’a pas lieu en général.
Développons maintenant les expressions (14) et (15) suivant les
puissances de On trouve
ce qui nous donne pour le développement formel de
(16)
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La formule (15) nous donne de même
d’ou
(16 bis)
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Sous cette forme l’identité des deux développements n’est pas
aussi immédiatement manifeste que sous la forme que nous lui
avions donnée d’abord.
229.Mais il est aisé de passer de l’une à l’autre.
Nous avons, en effet,
Je dis que est une fonction méromorphe de qui n’a
d’autre singularité que des pôles et dont les pôles sont égaux à
multiplié par un entier positif ou négatif. Écrivons, en effet,
Si la partie imaginaire de est positive, la seconde intégrale est
une fonction holomorphe de ne présentant aucune singularité ;
car, pour et s’annulent. Il peut ne pas en être
de même de la première.
Si, au contraire, la partie imaginaire de est négative, la première intégrale sera une fonction holomorphe de mais il pourra
n’en pas être de même de la seconde.
Étudions donc les singularités que peut présenter la seconde
intégrale quand la partie imaginaire de est négative. Supposons
que cette partie imaginaire soit plus grande que Reprenons
le développement
Nous pourrons écrire
et, quand tendra vers tendra vers zéro. La seconde
intégrale peut s’écrire alors
où
L’intégrale n’a pas de sens par elle-même dès que la partie
imaginaire de est plus petite que et l’on ne peut lui en attribuer
un que par continuité analytique. On trouve alors
Quant à tant que la partie imaginaire de est plus grande
que c’est une fonction de qui ne présente aucune singularité,
car la quantité sous le signe s’annule pour
On voit ainsi que la seconde intégrale est une fonction méromorphe
de admettant pour pôles
entier positif
avec le résidu
On verrait de même que la première intégrale est une fonction
méromorphe de admettant pour pôles
entier positif
avec le résidu
Les pôles de sont donc
avec les résidus respectifs
quand on prend le signe supérieur et
quand on prend le signe inférieur.
Reprenons alors la formule (11) et supposons que l’intégrale
soit prise le long de la courbe
Construisons un cercle ayant pour centre l’origine et pour
rayon étant très grand. Soit la partie de ce cercle
qui est située au-dessus de la courbe Soit la partie de la
courbe qui est intérieure au cercle
Les deux arcs et formeront un contour fermé et l’intégrale (11),
prise le long de ce contour, sera égale à multiplié
par la somme des résidus relatifs aux pôles intérieurs au contour ;
c’est-à-dire à la somme des premiers termes de la série (15).
On montrerait que l’intégrale (11) prise le long de tend
vers zéro quand croît indéfiniment ; le calcul se ferait sans difficulté,
mais il est inutile puisque nous savons d’avance que la
série (15) est convergente.
L’intégrale prise le long de tend vers donc est égal à la
somme de la série (15).
Nous retrouvons ainsi le développement (14) ainsi que les développements (16)
et (16 bis).
Ce qui précède suffira pour faire comprendre comment on peut
passer des développements du no 226 à ceux du no 228.
230.On peut se proposer maintenant de rattacher les développements
du no 228 à ceux du Chapitre VII.
Nous avons vu au no 225 que, quand les équations admettent
une solution périodique simple
avec les exposants caractéristiques et que les solutions
asymptotiques correspondantes sont
La troisième de ces équations peut aussi s’écrire
ou
suivant qu’on prend le signe supérieur ou le signe inférieur.
Comme les exposants caractéristiques ne sont pas nuls, les
principes des Chapitres III et IV nous apprennent que, pour les
petites valeurs de il existera encore une solution périodique ;
nous aurons encore pendant que et seront des fonctions
de et de développables suivant les puissances croissantes
de s’annulant avec et périodiques de période par rapport à
De même les exposants caractéristiques qui seront égaux et de
signe contraire, et que j’appellerai seront développables suivant
les puissances croissantes de (Cf. Chapitre IV) ; se réduira
à pour
Pour les petites valeurs de il existera également deux séries
de solutions asymptotiques qui se présenteront sous la forme suivante ;
pour la première série, nous aurons
(17)
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et étant des séries développées suivant les puissances
de et dont les coefficients sont périodiques en
Pour la seconde série, nous aurons
(17 bis)
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et étant des séries développées suivant les puissances
de et dont les coefficients sont périodiques en
Si nous considérons maintenant ces quantités comme fonctions
de le no 106 nous apprendra que les six fonctions sont développables
suivant les puissances croissantes de
Si nous les considérons comme fonctions de µ, le no 104 nous
apprendra que chacun des termes des six fonctions aura un coefficient
de la forme
étant un polynôme développé suivant les puissances croissantes
de et de et étant un produit de facteurs de la forme
et étant des entiers positifs ou négatifs.
comme nous l’avons vu au no 108, peut être développé suivant
les puissances de mais le développement est en général purement
formel parce que les exposants caractéristiques s’annulent
pour
Transformons maintenant les expressions (17) et (17 bis). Commençons
par remplacer partout par Résolvons ensuite l’équation
par rapport à nous trouverons
Si nous observons que, pour se réduit à nous
verrons que peut se développer suivant les puissances de et
de et que ses coefficients sont périodiques en
Substituons à la place de dans et alors et deviendront des fonctions de et de et l’expression
sera une différentielle exacte Intégrons cette différentielle,
nous obtiendrons une certaine fonction jouissant des propriétés
suivantes :
1o Ses dérivées seront périodiques par rapport à
2o Elle sera développable suivant les puissances de et
de
3o Un terme quelconque de
ou de
se composera du cosinus ou du sinus d’un multiple de multiplié
par une puissance de par une puissance de et par un
coefficient de la forme
où est développable suivant les puissances de de et de
et où est un produit de facteurs de la forme
4o L’expression est développable suivant les puissances de
et de il en est donc de même de seulement, tandis que le
développement de suivant les puissances de est convergent,
le développement suivant les puissances de n’a de valeur qu’au
point de vue formel.
Nous aurions pu opérer de même sur l’expression (17 bis) et
nous aurions obtenu une fonction tout à fait analogue à la
fonction avec cette seule différence qu’au lieu d’être développée suivant
les puissances de et de elle serait développée suivant
les puissances de et de
J’ai dit que (et ) est développable suivant les puissances de
soit donc
Alors n’est autre chose que la partie réelle de et se
présente sous la forme d’un développement procédant suivant les
puissances de c’est-à-dire suivant les puissances décroissantes
de la variable que j’ai appelée au no 228.
Ce développement n' est autre chose que le développement (15).
Voyons ce que deviennent dans cette transformation les expressions
est développable suivant les puissances de d’autre part,
étant développable également suivant les puissances de il en
sera de même de
et le premier terme du développement sera
Supposons donc que nous ayons une expression où le premier
terme du développement de suivant les puissances de se réduise
à et où le produit se réduise à un seul facteur
Alors le développement de aura pour premier terme
Ainsi s’explique, dans le développement (15), la présence du
coefficient
De même est développable suivant les puissances de ce qui donne
est la partie réelle de et se présente sous la forme d’un
développement procédant suivant les puissances de et qui n’est
autre chose que le développement (14).
231. Les fonctions et se présentent sous la forme de développements.
Le développement de procédant suivant les puissances
de n’est convergent que quand est voisin de
celui de procédant suivant les puissances de n’est convergent
que quand est voisin de zéro. Mais on peut, par continuité
analytique, définir et pour des valeurs de quelconques ;
on peut « continuer » ainsi ces fonctions de telle façon qu’elles
soient définies toutes deux pour les valeurs de comprises entre
et , et étant elles-mêmes comprises entre 0 et 2
On peut se demander si dans ce champ où elles sont définies
toutes deux, les fonctions et sont égales. La réponse doit être
négative. En effet, si l’on avait identiquement
les termes des développements convergents de et suivant les
puissances de devraient être égaux et l’on devrait avoir en particulier
et par conséquent
Or nous avons vu dans les numéros précédents que n’est pas égal à
Ainsi n’est pas égal à on peut tirer de là une conséquence
importante. Nous savons que et sont développables formellement
suivant les puissances de soient
(18)
|
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ces développements peuvent s’obtenir, soit par les procédés des
nos 207 à 210, soit en partant des séries (17) et (17 bis), les développant suivant les puissances de (Cf. no 108) et les traitant
ensuite comme je l’ai fait au numéro précédent.
La fonction est, pour voisin de développable suivant
les puissances de et de et la fonction pour voisin
de zéro, se développe suivant les puissances de et de
Cette propriété est caractéristique. La fonction est la seule, en
effet, qui soit développable suivant les puissances de et de
et qui satisfasse à l’équation (2) ; de même est la seule fonction
qui soit développable suivant les puissances de et de et qui
satisfasse à l’équation (2).
D’autre part, les nos 207 à 210 nous apprennent que les
fonctions peuvent être mises sous la forme de séries procédant
suivant les sinus et les cosinus des multiples de Elles sont donc
développables à la fois suivant les puissances de et de pour
voisin de et suivant celles de et de pour voisin de zéro.
On a donc
Si donc les développements (18) étaient convergents, on aurait
Donc les développements (18) divergent.
Donc les développements du no 108, d’où on peut les tirer, ne convergent pas non plus.
(Cf. Tome I, p. 351, lignes 3 sqq.,
et Tome II, p. 392, ligne 13.)
232. J’ai supposé, dans ce qui précède, que s’annule
pour Cette restriction n’a rien d’essentiel. Si ne
s’annulait pas et était égal par exemple à il suffirait d’ajouter
aux développements (14) et (15) un terme
et d’ajouter la même constante aux intégrales (11) qui définissent
et
J’ai insisté assez longuement sur cet exemple, qui non seulement
me permettait de démontrer la divergence des séries des nos 108
et 207, mais qui présentait encore d’autres avantages.
D’abord il montrait comment on peut passer des développements
analogues à ceux du no 225 à des développements analogues
à ceux du no 104, en passant par l’intermédiaire des développements
des nos 226 et 228.
Ensuite les singularités que j’ai signalées dans les lignes qui
précèdent sont la première indication de l’existence des solutions
périodiques du deuxième gendre et doublement asymptotiques, sur
lesquelles de me réserve de revenir plus tard.
FIN DU TOME DEUXIÈME.