Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.22

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars, 1899 (3, p. 1-40).

CHAPITRE XXII.

INVARIANTS INTÉGRAUX.

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Mouvement d’un fluide permanent.

233.Pour bien faire comprendre l’origine et la portée de la notion des invariants intégraux, je crois utile de commencer par l’étude d’un exemple particulier emprunté à une application physique.

Considérons un fluide quelconque, et soient $u,\,v,\,w$ les trois composantes de la vitesse de la molécule, qui, à l’instant $t,$ a pour coordonnées $x,\,y,\,z.$

Nous regarderons $u,\,v,\,w$ comme des fonctions de $t,\,x,\,y,\,z$ et nous supposerons que ces fonctions sont données.

Si $u,\,v,\,w$ sont indépendants de $t$ et ne dépendent que de $x,\,y$ et $z,$ on dit que le mouvement du fluide est permanent. Nous supposerons que cette condition est remplie.

La trajectoire d’une molécule quelconque du fluide est alors une courbe qui est définie par l’équation différentielle

(1)

${\frac {dx}{u}}={\frac {dy}{v}}={\frac {dz}{w}}\cdot$

Si l’on savait intégrer ces équations, on en tirerait

${\begin{aligned}x&=\varphi _{1}(t,x_{0},y_{0},z_{0}),\\y&=\varphi _{2}(t,x_{0},y_{0},z_{0}),\\z&=\varphi _{3}(t,x_{0},y_{0},z_{0}),\end{aligned}}$

de sorte que $x,$ $y$ et $z$ seraient exprimés en fonction du temps $t$ et de leurs valeurs initiales $x_{0},\,y_{0},\,z_{0}.$

Connaissant la position initiale d’une molécule, on en déduirait ainsi la position de cette même molécule au temps $t.$

Considérons des molécules fluides dont l’ensemble forme à l’origine des temps une certaine figure $\mathrm {F} _{0}\,;$ quand ces molécules se déplaceront, leur ensemble formera une nouvelle figure qui ira en se déformant d’une manière continue, et à l’instant $t$ l’ensemble des molécules envisagées formera une nouvelle figure $\mathrm {F} .$

Nous supposerons que le mouvement du fluide est continu, c’est-à-dire que $u,$ $v,$ $w$ sont des fonctions continues de $x,$ $y,$ $z\,;$ il existe alors entre les figures $\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {F}$ certaines relations que la continuité rend évidentes.

Si la figure $\mathrm {F} _{0}$ est une courbe ou une surface continue, la figure $\mathrm {F}$ sera une courbe ou une surface continue.

Si la figure $\mathrm {F} _{0}$ est un volume simplement connexe, la figure $\mathrm {F}$ sera un volume simplement connexe.

Si la figure $\mathrm {F} _{0}$ est une courbe ou une surface fermée, il en sera de même de la figure $\mathrm {F} .$

Examinons en particulier le cas des liquides ; c’est celui où le fluide est incompressible, c’est-à-dire où le volume d’une masse fluide est invariable.

Supposons alors que la figure $\mathrm {F} _{0}$ soit un volume, au bout du temps $t$ la masse fluide qui remplissait ce volume occupera un volume différent qui ne sera autre chose que la figure $\mathrm {F} .$

Le volume de la masse fluide n’a pas dû changer ; donc $\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {F}$ ont même volume : c’est ce que l’on peut écrire

(2)

$\iiint dx\,dy\,dz=\iiint dx_{0}\,dy_{0}\,dz_{0}\,;$

la première intégrale est étendue au volume $\mathrm {F}$ et l’autre au volume $\mathrm {F} _{0}.$

Nous dirons alors que l’intégrale

$\iiint dx\,dy\,dz$

est un invariant intégral.

On sait que la condition d’incompressibilité peut s’exprimer par l’équation

(3)

${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {du}{dz}}=0.$

Les deux équations (2) et (3) sont donc équivalentes.

Revenons au cas des gaz, c’est-à-dire au cas où le volume d’une masse fluide est variable ; c’est alors la masse qui demeure invariable, de sorte que si l’on appelle $\rho$ la densité du gaz on aura

(4)

$\iiint \rho \,dx\,dy\,dz=\iiint \rho _{0}\,dx_{0}\,dy_{0}\,dz_{0}.$

La première intégrale est étendue au volume $\mathrm {F} ,$ la seconde au volume $\mathrm {F} _{0}.$ En d’autres termes, l’intégrale

$\iiint \rho \,dx\,dy\,dz$

est un invariant intégral.

Dans ce cas, le mouvement étant permanent, l’équation de continuité s’écrit

(5)

${\frac {d(\rho u)}{dx}}+{\frac {d(\rho v)}{dy}}+{\frac {d(\rho w)}{dz}}=0.$

Les conditions (4) et (5) sont donc encore équivalentes.

234.Un second exemple nous est fourni par la théorie des tourbillons de Helmholtz.

Supposons que la figure $\mathrm {F} _{0}$ soit une courbe fermée, il en sera de même de la figure $\mathrm {F} .$

Supposons que le fluide, compressible ou non, soit à une température constante et ne soit soumis qu’à des forces admettant un potentiel ; il faut alors, pour que le mouvement reste permanent, que $u,$ $v,$ $w$ satisfassent à certaines conditions qu’il est inutile de développer ici.

Supposons-les remplies.

Cela posé, considérons l’intégrale

$\int (u\,dx+v\,dy+w\,dz).$

Elle aura, comme nous l’apprend le théorème de Helmholtz, même valeur le long de la courbe $\mathrm {F}$ et le long de la courbe $\mathrm {F} _{0}.$

En d’autres termes, cette intégrale est un invariant intégral.

Définition des invariants intégraux.

235.Dans les exemples que je viens de citer on est facilement conduit, par la nature même de la question, à la considération des invariants intégraux.

Mais il est clair que l’on peut employer ces invariants en en généralisant la définition dans des cas beaucoup plus étendus où l’on ne pourrait plus leur attribuer une signification physique aussi simple.

Considérons des équations différentielles de la forme

(1)

${\frac {dx}{\mathrm {X} }}={\frac {dy}{\mathrm {Y} }}={\frac {dz}{\mathrm {Z} }}=dt,$

$\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ étant des fonctions données de $x,\,y,\,z.$

Si l’on savait les intégrer on en tirerait $x,$ $y,$ $z$ en fonction de $t$ et de leurs valeurs initiales $x_{0},\,y_{0},\,z_{0}.$

Si nous regardons $t$ comme représentant le temps et $x,\,y,\,z$ comme représentant les coordonnées d’un point mobile $\mathrm {M}$ dans l’espace, les équations (1) définiront les lois du mouvement de ce point mobile.

Les mêmes équations une fois intégrées nous feraient connaître la position du point $\mathrm {M}$ au temps $t$ connaissant sa position initiale $\mathrm {M} _{0}$ dont les coordonnées sont $x_{0},\,y_{0},\,z_{0}.$

Si l’on considère des points mobiles suivant la même loi et dont l’ensemble forme à l’origine des temps une figure $\mathrm {F} _{0},$ l’ensemble de ces mêmes points formera à l’instant $t$ une autre figure $\mathrm {F}$ qui sera une ligne, une surface ou un volume suivant que la figure $\mathrm {F} _{0}$ sera elle-même une ligne, une surface ou un volume.

Considérons alors une intégrale simple

(2)

$\int (\mathrm {A} \,dx+\mathrm {B} \,dy+\mathrm {C} \,dz),$

où $\mathrm {A,\,B,\,C}$ sont des fonctions connues de $x,$ $y$ et $z\,;$ il peut arriver que si $\mathrm {F} _{0}$ est une ligne, cette intégrale (2) étendue à tous les éléments de la ligne $\mathrm {F}$ soit une constante indépendante du temps et soit égale par conséquent à la valeur de cette même intégrale étendue à tous les éléments de la ligne $\mathrm {F} _{0}.$

Supposons maintenant que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ soient des surfaces et envisageons l’intégrale double

(3)

$\iint (\mathrm {A} '\,dy\,dz+\mathrm {B} '\,dx\,dz+\mathrm {C} '\,dx\,dy),$

où $\mathrm {A',\,B',\,C} '$ sont des fonctions de $x,$ $y$ et $z.$ Il peut arriver que cette intégrale ait la même valeur, qu’on l’étende à tous les éléments de la surface $\mathrm {F}$ ou à tous ceux de la surface $\mathrm {F} _{0}.$

Imaginons maintenant que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ soient des volumes et envisageons l’intégrale triple

(4)

$\iiint \mathrm {M} \,dx\,dy\,dz,$

$\mathrm {M}$ étant une fonction de $x,\,y,\,z\,;$ il peut arriver qu’elle ait même valeur pour $\mathrm {F}$ et pour $\mathrm {F} _{0}.$

Dans ces différents cas, nous dirons que les intégrales (2), (3) ou (4) sont des invariants intégraux.

Il arrivera quelquefois que l’intégrale simple (2) n’aura la même valeur pour les lignes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ que si ces deux courbes sont fermées ; ou bien que l’intégrale double (3) n’aura la même valeur pour les surfaces $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ que si ces deux surfaces sont fermées.

Nous dirons alors que (2) est un invariant intégral par rapport aux courbes fermées et que (3) est un invariant intégral par rapport aux surfaces fermées.

236.La représentation géométrique dont nous avons fait usage ne joue évidemment aucun rôle essentiel ; nous pouvons la laisser de côté et rien n’empêchera plus d’étendre les définitions précédentes au cas où le nombre des variables est plus grand que trois. Considérons alors les équations

(1)

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}=dt,$

où $\mathrm {X} _{1},\,\mathrm {X} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {X} _{n}$ sont des fonctions données de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}\,;$ si l’on savait les intégrer, on connaîtrait $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ en fonctions de $t$ et de leurs valeurs initiales $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{,}0\,\ldots ,$ $x_{n}^{0}.$ Nous pouvons, pour conserver le même langage, appeler point $\mathrm {M}$ le système de valeurs $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n},$ et point $\mathrm {M} _{0}$ le système de valeurs $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{,}0$ $\ldots ,\,x_{n}^{0}.$

Considérons un ensemble de points $\mathrm {M} _{0}$ formant une variété $\mathrm {F} _{0}$ et l’ensemble des points correspondants $\mathrm {M}$ formant une autre variété $\mathrm {F}$^[1].

Nous supposerons que $\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {F}$ sont des variétés continues à $p$ dimensions où $p\leqq n.$

Considérons alors une intégrale d’ordre $p$

(2)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,d\omega ,$

où $\mathrm {A}$ est une fonction de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ et où $d\omega$ est le produit de $p$ différentielles prises parmi les $n$ différentielles

$dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n}.$

Il peut se faire que cette intégrale ait même valeur pour les deux variétés $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}.$ Nous dirons alors que c’est un invariant intégral.

Il peut arriver aussi que cette intégrale ait même valeur pour les deux variétés $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0},$ mais seulement à la condition que ces deux variétés soient fermées. C’est alors un invariant intégral par rapport aux variétés fermées.

On peut encore imaginer d’autres espèces d’invariants intégraux. Supposons, par exemple, que $p=1$ et que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ se réduisent à des lignes ; il peut arriver que l’intégrale

$\int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dx_{i}$

ait même valeur pour $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ et soit invariant intégral ; mais il peut arriver aussi que l’intégrale

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}},$

où les $\mathrm {B}$ et les $\mathrm {C}$ sont comme les $\mathrm {A}$ des fonctions de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}\,;$ il peut arriver, dis-je, que cette intégrale ait même valeur pour $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ et il serait facile d’imaginer d’autres exemples analogues.

Le nombre $p$ s’appellera l’ordre de l’invariant intégral.

Relations entre les invariants et les intégrales.

237.Reprenons le système

(1)

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}=dt,$

Si l’on savait l’intégrer, on saurait former tous ses invariants intégraux.

Si en effet l’intégration était effectuée, on pourrait en mettre le résultat sous la forme

(2)

$\left\{{\begin{aligned}y_{1}&=\mathrm {C} _{1},\\y_{2}&=\mathrm {C} _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \\y_{n-1}&=\mathrm {C} _{n-1},\\z&=t+\mathrm {C} _{n},\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {C} _{1},\,\mathrm {C} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {C} _{n}$ étant des constantes arbitraires, les $y$ et $z$ étant des fonctions données des $x.$

Changeons de variables en prenant pour variables nouvelles, au lieu des $x,$ les $y$ et $z.$

Considérons alors un invariant intégral quelconque ; cet invariant devra contenir sous le signe $\textstyle \int$ $($qui sera répété $p$ fois si l’invariant est d’ordre $p),$ il devra contenir, dis-je, une certaine expression, fonction des $x$ et de leurs différentielles $dx.$ Après le changement des variables, cette expression deviendra une fonction des $y,$ de $z,$ et de leurs différentielles $dy$ et $dz.$

Pour passer d’un point de la figure $\mathrm {F} _{0}$ au point correspondant de la figure $\mathrm {F} ,$ il faut, sans changer les $y,$ changer $z$ en $z+t.$ Donc, en passant d’un arc infiniment petit de $\mathrm {F} _{0}$ à l’arc correspondant de $\mathrm {F} ,$ les différentielles $dy$ et $dz$ ne changent pas (la quantité $t$ qu’on ajoute à $z$ est en effet la même pour les deux extrémités de l’arc) ; enfin, si l’on considère une figure infiniment petite $\mathrm {F} _{0}$ d’un nombre quelconque de dimensions et la figure correspondante $\mathrm {F} ,$ un produit d’un nombre (égal à celui des dimensions de $\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {F}$) de différentielles $dy$ ou $dz$ ne changera pas non plus quand on passera d’une figure à l’autre.

En résumé, pour qu’une expression soit un invariant intégral, il faut et il suffit que $z$ n’y figure pas ; les $y,$ les $dy$ et $dz$ peuvent y figurer d’une manière quelconque.

Considérons une expression de même forme que celle que nous avons envisagée dans le paragraphe précédent

(3)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,d\omega ,$

cette expression représente une intégrale d’ordre $p,$ $\mathrm {A}$ est une fonction de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,\,x_{n},$ $d\omega$ est un produit de $p$ différentielles prises parmi les $n$ différentielles

$dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n}.$

Nous voulons savoir si c’est un invariant intégral ; faisant le changement de variables indiqué plus haut, l’expression (3) deviendra

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,d\omega ',$

$\mathrm {B}$ est une fonction des $y$ et de $z,$ $d\omega '$ est un produit de $p$ différentielles prises parmi les $n$ différentielles

$dy_{1},\quad dy_{2},\quad \ldots ,\quad dy_{n-1},\quad dz.$

Pour que l’expression (3) soit un invariant intégral, il faut et il suffit que tous les $\mathrm {B}$ soient indépendants de $z$ et ne dépendent que des $y.$

Reprenons de même, comme dans le numéro précédent, l’expression

(4)

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i,k}\,dx_{i}\,dx_{k}}},$

les $\mathrm {B} _{i}$ et les $\mathrm {C} _{i,k}$ étant des fonctions des $x.$

Après le changement de variables, cette expression deviendra

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}'\,dx_{i}'^{2}+2\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i,k}'\,dx_{i}'\,dx_{k}'}}\,;$

j’ai posé, pour plus de symétrie dans les notations,

$x_{i}'=y_{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1)\,;\qquad x_{n}'=z.$

Pour que l’expression (4) soit un invariant intégral, il faut et il suffit que tous les $\mathrm {B} _{i}'$ et les $\mathrm {C} _{i,k}'$ soient indépendants de $z$ et ne dépendent que de $y.$

Invariants relatifs.

238.Nous sommes conduits maintenant à chercher à former les invariants intégraux relatifs aux variétés fermées. Supposons d’abord $p=1$ et cherchons quelle est la condition pour que l’intégrale simple

(1)

$\int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)$

soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.

Faisons le changement de variables indiqué plus haut, notre intégrale deviendra

$\int \left(\mathrm {B} _{1}\,dy_{1}+\mathrm {B} _{2}\,dy_{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n-1}\,dy_{n-1}+\mathrm {B} _{n}\,dz\right),$

ce que je puis encore écrire, en reprenant la notation plus symétrique de la fin du numéro précédent,

(1 bis)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}'.$

Cette intégrale simple, étendue à une variété fermée à une dimension, c’est-à-dire à une ligne fermée, peut être transformée par le théorème de Stokes en une intégrale double étendue à une variété non fermée à deux dimensions, c’est-à-dire à une surface non fermée ; on a

(2)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}'=\int \sum \left({\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dx_{k}'}}-{\frac {d\mathrm {B} _{k}}{dx_{i}'}}\right)\,dx_{i}'\,dx_{k}'.$

Mais l’intégrale du second membre de (2) doit être un invariant intégral absolu et non seulement par rapport aux variétés fermées.

Nous conclurons donc ceci :

Pour que (1) soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées, il faut et il suffit que les binômes

${\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dx_{k}'}}-{\frac {d\mathrm {B} _{k}}{dx_{i}'}}$

soient tous indépendants de $z.$

De même et plus généralement soit

(3)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,d\omega$

une expression intégrale d’ordre $p,$ de même forme d’ailleurs que celles qui ont été envisagées dans les numéros précédents ; nous voulons savoir si c’est un invariant intégral par rapport aux variétés fermées d’ordre $p.$

Nous supposons cette intégrale étendue à une variété fermée quelconque d’ordre $p\,;$ un théorème analogue à celui de Stokes nous apprendra alors qu’elle peut être transformée en une intégrale d’ordre $p+1$ étendue à une variété quelconque, fermée ou non, d’ordre $p+1.$ L’intégrale transformée s’écrit

(4)

$\int {\textstyle \sum }\,{\textstyle \sum }_{k}\pm {\frac {d\mathrm {A} }{dx_{k}}}\,dx_{k}\,d\omega .$

On prend toujours le signe $+$ si $p$ est pair et alternativement le signe $+$ et le signe $-$ si $p$ est impair. [Je renverrai pour plus de détails à mon Mémoire sur les résidus des intégrales doubles (Acta Mathematica, tome viii), et à mon Mémoire du Cahier du Centenaire du Journal de l’École Polytechnique.]

La condition nécessaire et suffisante pour que (3) soit un invariant intégral d’ordre $p$ par rapport aux variétés fermées, c’est que (4) soit un invariant intégral absolu d’ordre $p+1.$

239.Reprenons l’expression (1) du numéro précédent et supposons que ce soit un invariant relatif, je veux dire un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.

Amenons-la à la forme (1 bis) par notre changement de variables

Soit $\mathrm {M} _{0}$ un point de $\mathrm {F} _{0}$

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1},\quad z$

ses coordonnées (avec les nouvelles variables).

Soit $\mathrm {M}$ le point correspondant de $\mathrm {F}$

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1},\quad z+t$

ses coordonnées. Les $\mathrm {B} _{k}$ seront des fonctions des $y$ et de $z,$ mais je mettrai $z$ en évidence, en écrivant $\mathrm {B} _{k}$ sous la forme

$\mathrm {B} _{k}(z).$

Nous aurons alors, si la ligne $\mathrm {F} _{0}$ est fermée,

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}(z+t)\,dx_{k}'=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}(z)\,dx_{k}',$

ce qui veut dire que l’expression

(3)

${\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {B} _{k}(z+t)-\mathrm {B} _{k}(z)\right]\,dx_{k}'$

est une différentielle exacte que je pose égale à $d\mathrm {V} \,;$ la fonction $\mathrm {V}$ dépendra non seulement des $y$ et de $z,$ mais encore de $t.$ Pour $t=0,$ elle doit se réduire à une constante.

Si nous supposons $t$ infiniment petit et que nous appelions $\mathrm {B} _{k}'(z)$ la dérivée de $\mathrm {B} _{k}(z)$ par rapport à $z,$ l’expression (3) se réduit à

${\textstyle \sum }\,[t\,\mathrm {B} _{k}'(z)]\,dx_{k}'.$

L’expression

(4)

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}'(z)\,dx_{k}'$

est alors une différentielle exacte que je pose égale à $d\mathrm {U} .$ La fonction $\mathrm {U}$ ainsi définie dépendra des $y$ et de $z,$ mais ne dépendra plus de $t.$ Je mettrai encore $z$ en évidence en écrivant $\mathrm {U} (z)\,;$ il vient alors

${\frac {d\mathrm {V} }{dt}}=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}'(z+t)\,dx_{k}'=\int d\mathrm {U} (z+t)=\int \mathrm {U} (z+t)+f(t),$

$f(t)$ étant une fonction arbitraire de $t.$

Or $\mathrm {U} (z)$ peut être regardé comme la dérivée par rapport à $z$ d’une autre fonction $\mathrm {W} (z)$ dépendant aussi des $y$ et l’on aura

${\frac {d}{dt}}\,\mathrm {W} (z+t)=\mathrm {U} (z+t).$

Comme d’autre part $\mathrm {V}$ doit se réduire à une constante pour $t=0,$ nous conclurons finalement

$\mathrm {V} =\mathrm {W} (z+t)-\mathrm {W} (z)+\varphi (t),$

$\varphi (t)$ désignant une fonction arbitraire de $t$ seulement que l’on pourrait d’ailleurs supposer nulle sans restreindre essentiellement la généralité.

On trouve alors

$\mathrm {B} _{k}(z)={\frac {d}{dx_{k}'}}\,\mathrm {W} (z)+\mathrm {C} _{k},$

$\mathrm {C} _{k}$ étant indépendant de $z,$ de sorte que l’expression (1 bis) se réduit à

$\int d\mathrm {W} +\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{k}\,dx_{k}',$

la première intégrale étant celle d’une différentielle exacte et la seconde étant un invariant intégral absolu.

240.Traitons de même un invariant relatif d’ordre supérieur au premier ; soit

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,d\omega$

cet invariant qui, après le changement de variables, deviendra

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,d\omega '.$

L’intégrale

(1)

$\int {\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {B} (z+t)-\mathrm {B} (z)\right]\,d\omega '=\mathrm {J}$

devra être nulle quelle que soit la variété fermée d’ordre $p$ à laquelle on l’étende.

Elle devra donc satisfaire à certaines « conditions d’intégrabilité » analogues à celles qui expriment qu’une différentielle totale du premier ordre est une différentielle exacte.

Considérons maintenant une variété $\mathrm {V}$ de $p$ dimensions, mais non fermée et limitée par une variété $v$ de $p-1$ dimensions qui lui servira de frontière.

L’intégrale (1), étendue à la variété $\mathrm {V} ,$ ne sera pas nulle, mais si on la calcule pour d’autres variétés analogues $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} '',$ etc., ayant même frontière $v$, on trouvera la même valeur, c’est-à-dire que la valeur de l’intégrale (1) ne dépend que de la frontière $v.$

Elle est égale à une intégrale d’ordre p-1,

(2)

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {C} \,d\omega ''$

étendue à la variété $v$ et où $d\omega ''$ désigne un produit quelconque de $p-1$ différentielles pendant que $\mathrm {C}$ est une fonction des $y,$ de $z$ et de $t.$

Cette intégrale (2) est évidemment une fonction de $t,$ dépendant en outre de la variété $v.$ Considérons sa dérivée par rapport à $t\,;$ on aura

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \sum {\frac {d\mathrm {C} }{dt}}\,d\omega ''=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} '(z+t)\,d\omega '.$

Cette dérivée, comme le montre sa dernière expression, ne change pas quand on y change $t$ en $t-h$ et quand, en même temps, on transforme $\mathrm {V}$ (ou $v$) en y changeant partout $z$ en $z+h.$

On en conclut que $\mathrm {J}$ est de la forme suivante

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {D} (z+t)\,d\omega ''-\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {D} (z)\,d\omega '',$

$\mathrm {D} (z)$ étant une fonction de $x,\,y,\,z.$

L’intégrale

(3)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {D} (z)\,d\omega ''$

est d’ordre $p-1,$ mais on peut la transformer facilement en une intégrale d’ordre $p\,;$ il suffit d’appliquer la transformation qui, dans le n^o 238, nous a permis de passer de l’intégrale (3) à l’intégrale (4), et qui est inverse de celle par laquelle, dans le présent numéro, nous avons passé de l’intégrale (1) à l’intégrale (2).

L’intégrale (3), étendue à la variété $v,$ est donc égale à l’intégrale d’ordre $p$

(4)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {E} (z)\,d\omega '$

étendue à la variété $\mathrm {V}$

Nous dirons, par analogie avec la terminologie consacrée pour les intégrales simples, que l’intégrale (4) est une intégrale de différentielle exacte. Et en effet :

1^o Elle est nulle pour toute variété fermée ;

2^o Elle est réductible à une intégrale d’ordre moindre.

Cela posé, on aura

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {E} (z+t)\,d\omega '-\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {E} (z)\,d\omega '$

les intégrales sont étendues à la variété $\mathrm {V} .$

Mais cette égalité peut encore s’écrire

$\int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z+t)-\mathrm {E} (z+t)\right]\,d\omega '=\int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z)-\mathrm {E} (z)\right]\,d\omega ',$

et elle est vraie pour une variété $\mathrm {V}$ quelconque.

Cela veut dire que

$\int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z)-\mathrm {E} (z)\right]\,d\omega '$

est un invariant intégral absolu.

Nous arrivons donc au résultat suivant :

Tout invariant intégral relatif est la somme d’une intégrale de différentielle exacte et d’un invariant intégral absolu.

241.Nous avons vu au n^o 238 comment, d’un invariant relatif d’ordre $p,$ on pouvait déduire un invariant absolu d’ordre $p+1.$

Le même procédé est évidemment applicable aux invariants absolus, de sorte qu’on pourrait être tenté de l’appliquer de proche en proche et de construire successivement des invariants d’ordre $p+2,$ $p+3,\,\ldots .$

Mais on serait promptement arrêté dans cette voie.

Il y a un cas en effet où le procédé en question est illusoire, c’est celui où l’invariant que l’on veut transformer est une intégrale de différentielle exacte. L’invariant intégral auquel conduirait la transformation serait alors identiquement nul.

Si maintenant on transforme un invariant d’ordre $p,$ on obtient un invariant d’ordre $p+1,$ mais cet invariant est une intégrale de différentielle exacte, de sorte que si l’on veut le transformer de nouveau, on tombe sur un résultat identiquement nul.

Relation entre les invariants et l’équation aux variations.

242.Reprenons le système

(1)

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots {\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}=dt.$

Nous pouvons former les équations aux variations correspondantes telles qu’elles ont été définies au début du Chapitre IV.

Pour former ces équations, on change dans les équations (1) $x_{i}$ en $x_{i}+\xi _{i}$ et l’on néglige les carrés des $\xi _{i}\,;$ on trouve ainsi le système d’équations linéaires

(2)

${\frac {d\xi _{k}}{dt}}={\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{2}}}\xi _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{n}}}\xi _{n}.$

Il y a, entre les intégrales des équations (2) et les invariants intégraux des équations (1), un lien intime qu’il est aisé d’apercevoir.

Soit

$\mathrm {F} (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n})=\mathrm {const.} ,$

une intégrale quelconque des équations (2). Ce sera une fonction homogène par rapport aux $\xi ,$ et dépendant d’ailleurs des $x$ d’une manière quelconque. Je pourrai toujours supposer que cette fonction $\mathrm {F}$ est homogène de degré 1 par rapport aux $\xi \,;$ car s’il n’en était pas ainsi, je n’aurais qu’à élever $\mathrm {F}$ à une puissance convenable pour trouver une fonction homogène du degré 1.

Considérons maintenant l’expression

(3)

$\int \mathrm {F} (dx_{1},\,dx_{2},\,\ldots ,\,dx_{n}),$

je dis que c’est un invariant intégral du système (1).

J’observe d’abord que la quantité sous le signe $\textstyle \int$

$\mathrm {F} (dx_{1},\,dx_{2},\,\ldots ,\,dx_{n})$

est un infiniment petit du premier ordre, puisque $dx_{1},$ $dx_{2},\,\ldots ,$ $dx_{n}$ sont des infiniment petits du premier ordre et que $\mathrm {F}$ est homogène du premier ordre par rapport à ces quantités.

L’intégrale simple (3) est donc finie.

Cela posé, supposons d’abord que la figure $\mathrm {F} _{0}$ se réduise à une ligne infiniment petite, dont les extrémités aient pour coordonnées

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

$x_{1}+\xi _{1},\quad x_{2}+\xi _{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+\xi _{n}.$

L’intégrale (3) se réduira à un seul élément et sera par conséquent égale à

$\mathrm {F} (\xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots ,\,\xi _{n}).$

Cette expression étant une intégrale des équations (2) demeurera constante et aura même valeur pour la ligne $\mathrm {F} _{0}$ et pour la ligne $\mathrm {F} .$

Si maintenant la ligne $\mathrm {F} _{0}$ et par conséquent la ligne $\mathrm {F}$ sont finies, nous décomposerons la ligne $\mathrm {F} _{0}$ en parties infiniment petites. L’intégrale (3), étendue à l’une de ces parties infiniment petites de $\mathrm {F} _{0},$ sera égale à l’intégrale (3), étendue à la partie infiniment petite correspondante de $\mathrm {F} .$ L’intégrale étendue à la ligne $\mathrm {F} _{0}$ tout entière sera égale à l’intégrale étendue à la ligne $\mathrm {F}$ tout entière.

Donc l’intégrale (3) est un invariant intégral. C. Q. F. D.

Réciproquement, supposons que (3) soit un invariant intégral du premier ordre, je dis que

$\mathrm {F} (\xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots ,\,\xi _{n}).$

sera une intégrale des équations (2).

En effet, l’intégrale (3) doit être la même pour la ligne $\mathrm {F} _{0}$ et pour la ligne $\mathrm {F} ,$ quelles que soient ces lignes, et en particulier, si $\mathrm {F} _{0}$ se réduit à un élément infiniment petit dont les extrémités ont pour coordonnées

$x_{i}$  et $x_{i}+\xi _{i}.$

L’intégrale (3) se réduit alors, comme nous l’avons vu, à

(4)

$\mathrm {F} (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}),$

Comme l’intégrale est un invariant, cette expression (4) doit être constante.

C’est donc une intégrale des équations (2). C. Q. F. D.

Ainsi, à chaque invariant intégral du premier ordre des équations (1) correspond une intégrale des équations (2) et réciproquement.

243.Voyons maintenant à quoi correspondent les invariants d’ordre supérieur au premier.

Considérons deux solutions particulières quelconques des équations (2) ; soient

(5)

$\left\{{\begin{aligned}\xi _{1},\quad \xi _{2}&,\quad \ldots ,\quad \xi _{n},\\\xi _{1}',\quad \xi _{2}'&,\quad \ldots ,\quad \xi _{n}',\\\end{aligned}}\right.$

ces deux solutions.

Il peut exister des fonctions

$\mathrm {F} (x_{i},\xi _{i},\xi _{i}')$

qui dépendent à la fois des $x_{i},$ des $\xi _{i}$ et des $\xi _{i}',$ et qui, quelles que soient les deux solutions choisies, se réduisent à des constantes indépendantes du temps.

En d’autres termes, la fonction $\mathrm {F}$ sera une intégrale du système

(6)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi _{k}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{2}}}\xi _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{n}}}\xi _{n},\\{\frac {d\xi _{k}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{1}}}\xi _{1}'+{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{2}}}\xi _{2}'+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{n}}}\xi _{n}',\\\end{aligned}}\right.$

auquel satisfont les $\xi _{i}$ et les $\xi _{i}'.$

Faisons une hypothèse plus particulière et supposons que $\mathrm {F}$ soit de la forme

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right),$

les $\mathrm {A} _{ik}$ étant fonctions des $x$ seulement.

Je dis alors que l’intégrale double

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}$

est un invariant intégral des équations (1).

Supposons, en effet, que la figure $\mathrm {F} _{0}$ se réduise à un parallélogramme infiniment petit dont les sommets ont pour coordonnées les valeurs pour $t=0$ de

$x_{i},\quad x_{i}+\xi _{i},\quad x_{i}+\xi _{i}',\quad x_{i}+\xi _{i}+\xi _{i}'.$

La figure $\mathrm {F}$ sera aussi assimilable à un parallélogramme infiniment petit dont les sommets auront pour coordonnées les valeurs pour $t=t$ de

$x_{i},\quad x_{i}+\xi _{i},\quad x_{i}+\xi _{i}',\quad x_{i}+\xi _{i}+\xi _{i}'.$

L’intégrale $\mathrm {J}$ se réduira à un seul élément qui aura précisément pour valeur

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right),$

et, comme cette expression est par hypothèse une intégrale du système (6), elle aura même valeur pour les deux figures $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}.$

Supposons maintenant que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ soient deux surfaces finies ; décomposons $\mathrm {F} _{0}$ en parallélogrammes infiniment petits à chacun desquels correspondra un parallélogramme élémentaire de $\mathrm {F} .$ La valeur de $\mathrm {J}$ est donc la même pour chaque élément de $\mathrm {F} _{0}$ et pour l’élément correspondant de $\mathrm {F} \,;$ elle est donc la même encore pour la surface $\mathrm {F} _{0}$ entière et pour la surface $\mathrm {F}$ entière.

L’intégrale $\mathrm {J}$ est donc un invariant intégral. C. Q. F. D.

La réciproque se démontrerait comme au numéro précédent.

244.Le théorème est évidemment général et s’applique aux invariants d’ordre supérieur à deux. Énonçons-le encore pour ceux d’ordre trois. Considérons trois solutions particulières des équations (2), $\xi _{i},$ $\xi _{i}',$ $\xi _{i}''\,;$ ces trois solutions devront satisfaire au système

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi _{k}}{dt}}&=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\,\xi _{i},\\{\frac {d\xi _{k}'}{dt}}&=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\,\xi _{i}',\\{\frac {d\xi _{k}''}{dt}}&=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\,\xi _{i}''.\end{aligned}}\right.$

Si le système (7) admet une intégrale de la forme

(8)

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i;k;l}\left|{\begin{array}{ccc}\xi _{i}&\xi _{i}'&\xi _{i}''\\\xi _{k}&\xi _{k}'&\xi _{k}''\\\xi _{l}&\xi _{l}'&\xi _{l}''\\\end{array}}\right|,$

où les $\mathrm {A}$ sont fonctions des $x,$ l’intégrale triple

(9)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ikl}\,dx_{i}\,dx_{k}\,dx_{l}$

sera un invariant intégral des équations (1) et réciproquement.

Transformation des invariants.

245.Les invariants étant ainsi ramenés aux intégrales de l’équation aux variations, on trouve facilement un très grand nombre de procédés qui permettent de transformer ces invariants.

Si l’on connaît un certain nombre d’invariants intégraux des équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i},$

on déduira de chacun d’eux une intégrale des équations aux variations

(2)

${\frac {d\xi _{k}}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\xi _{i}.$

En combinant entre elles ces diverses intégrales, on obtiendra une nouvelle intégrale des équations (2), d’où l’on déduira un nouvel invariant des équations (1).

Commençons par étudier le cas des invariants de premier ordre.

Soient

$\Phi _{1},\quad \Phi _{2},\quad \ldots ,\quad \Phi _{p},$

un certain nombre d’intégrales des équations (1), ces intégrales seront des fonctions des $x_{i}$ seulement.

Soient maintenant

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{q}(dx_{i}),\quad$

$q$ invariants intégraux du premier ordre de ces mêmes équations (1).

Les fonctions sous le signe $\textstyle \int$

$\mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{q}(dx_{i}),\quad$

dépendront des $x_{i}$ et de leurs différentielles $dx_{i}.$ Elles pourront dépendre des $x_{i}$ d’une manière quelconque ; mais par rapport aux différentielles

$dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n},$

elles devront être homogènes et du premier ordre.

Alors

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}),\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{q}(\xi _{i})$

seront des intégrales des équations (2) et seront homogènes et du premier ordre par rapport aux $\xi _{i}.$

Soit maintenant

$\Theta \left(\Phi _{1},\Phi _{2},\ldots ,\Phi _{p};\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2},\ldots ,\mathrm {F} _{q}\right)=\Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{i}\right],$

une fonction des $\Phi$ et des $\mathrm {F} ,$ dépendant des $\Phi$ d’une manière quelconque, mais homogène et du premier ordre par rapport aux $\mathrm {F} .$

Alors

$\Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(\xi _{i})\right]$

sera une nouvelle intégrale des équations (2) ; de plus ce sera une fonction homogène et du premier ordre par rapport aux $\xi _{i}.$

Il en résulte que

$\int \Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(dx_{i})\right]$

est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).

On aurait pu arriver tout aussi facilement au même résultat en transformant les invariants par le changement des variables du n^o 237.

Par exemple

$\int \left(\mathrm {F} _{1}+\mathrm {F} _{2}+\ldots +\mathrm {F} _{q}\right)$

et

$\int {\sqrt {\mathrm {F} _{1}^{2}+\mathrm {F} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {F} _{q}^{2}}}$

seront des invariants intégraux.

246.Le même calcul peut s’appliquer aux invariants d’ordre plus élevé.

Soient encore

$\Phi _{1},\quad \Phi _{2},\quad \ldots ,\quad \Phi _{p},$

$p$ intégrales des équations (1), et

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{n}(dx_{i}\,dx_{k}),$

$q$ invariants intégraux du second ordre. Les $\mathrm {F}$ seront des fonctions des $x_{i}$ et des produits de différentielles

$dx_{i}\,dx_{k}.$

Elles seront homogènes et du premier ordre par rapport à ces produits.

Alors

$\mathrm {F} _{l}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')$

seront des intégrales du système (6).

Si alors

$\Theta \left[\Phi _{\mu },\mathrm {F} _{l}\right]$

est une fonction quelconque des $\Phi$ et des $\mathrm {F} ,$ homogène du premier ordre par rapport aux $\mathrm {F} ,$ l’expression

$\Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')\right]$

sera une intégrale des équations (6) ; elle sera de plus homogène et du premier ordre par rapport aux déterminants

$\xi _{k}\xi _{i}'-\xi _{k}'\xi _{i}.$

Il en résulte que l’intégrale double

$\int \Theta \left[\Phi _{\mu },\mathrm {F} _{l}(dx_{i}\,dx_{k})\right]$

sera un invariant intégral du second ordre des équations (1).

247.Nous avons ainsi le moyen, connaissant plusieurs invariants du même ordre, de les combiner de façon à obtenir d’autres invariants du même ordre.

Le même procédé permet, connaissant plusieurs invariants du même ordre, d’obtenir de nouveaux invariants d’ordre différent.

Soient, par exemple,

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),$

deux invariants intégraux du premier ordre ; je suppose, ce qui est le cas le plus général, que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont des fonctions linéaires et homogènes des différentielles $dx_{i}.$

Les expressions

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i})$

seront homogènes et du premier ordre par rapport aux $\xi _{i}$ et ce seront des intégrales des équations (2).

De même

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}'),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}')$

seront des intégrales des équations (6).

Il en résulte que

(10)

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i})\mathrm {F} _{2}(\xi _{k}')-\mathrm {F} _{1}(\xi _{k})\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}')$

sera une intégrale du système (6).

Comme $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont linéaires par rapport aux $\xi _{i},$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}+\xi _{i}')&=\mathrm {F} _{1}(\xi _{i})+\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}')\,;&\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}+\xi _{i}')&=\mathrm {F} _{2}(\xi _{i})+\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}').\end{aligned}}$

Il en résulte que l’expression (10), qui d’ailleurs change de signe quand on permute les $\xi _{i}$ et les $\xi _{i}',$ ne change pas quand on change $\xi _{i}$ en $\xi _{i}+\xi _{i}'.$

Nous en conclurons que cette expression (10) est une fonction linéaire et homogène des déterminants

$\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}',$

les coefficients dépendant des $x$ seulement, mais non des $\xi$ et des $\xi '.$

De cette expression (10) on pourra donc déduire un invariant intégral du deuxième ordre des équations (1).

Soient maintenant

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k})$

deux invariants intégraux des équations (1), le premier du premier ordre et le second du deuxième ordre. Je supposerai que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont des fonctions linéaires et homogènes, la première par rapport aux $n$ différentielles $dx_{i},$ la seconde par rapport aux ${\frac {n(n-1)}{2}}$ produits produits

$dx_{i}\,dx_{k}.$

Les fonctions

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')$

seront des intégrales du système (6).

L’expression

(11)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}&(\xi _{i})\,\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}'\xi _{k}''-\xi _{k}'\mathrm {X} _{i}'')+\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}')\,\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}''\xi _{k}-\xi _{k}''\xi _{i})\\+&\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}'')\,\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')\end{aligned}}\right.$

sera une intégrale du système (7).

Il est aisé, d’autre part, de vérifier qu’elle sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants

$\left|{\begin{array}{lll}\xi _{i}&\xi _{i}'&\xi _{i}''\\\xi _{k}&\xi _{k}'&\xi _{k}''\\\xi _{l}&\xi _{l}'&\xi _{l}''\end{array}}\right|.$

On pourra donc en déduire un invariant intégral du troisième ordre.

Soient maintenant

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k}),$

deux invariants de deuxième ordre des équations (1).

Nous en déduirons deux intégrales des équations (6), à savoir

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'),$

ce que je pourrai écrire, pour abréger,

$\mathrm {F} _{1}(\xi \xi '),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi \xi ').$

Alors l’expression

(12)

$\left\{{\begin{alignedat}{7}&\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ')&&\mathrm {F} _{2}(\xi ''\xi ''')&{}+{}&\mathrm {F} _{1}(\xi ''\xi ''')&&\mathrm {F} _{2}(\xi \xi ')\\+&\mathrm {F} _{1}(\xi \xi '')&&\mathrm {F} _{2}(\xi '''\xi ')&{}+{}&\mathrm {F} _{1}(\xi '''\xi ')&&\mathrm {F} _{2}(\xi \xi '')\\+&\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ''')&&\mathrm {F} _{2}(\xi '\xi '')&{}+{}&\mathrm {F} _{1}(\xi '\xi '')&&\mathrm {F} _{2}(\xi \xi ''')\end{alignedat}}\right.$

sera une intégrale du système obtenu en adjoignant aux équations (7) les équations

${\frac {d\xi _{k}'''}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\xi _{i}'''.$

De plus, ce sera une fonction linéaire et homogène par rapport aux déterminants formés avec quatre des quantités $\xi _{i}$ et les quantités $\xi _{i}',$ $\xi _{i}'',$ $\xi _{i}'''$ correspondantes.

Je continue, bien entendu, à supposer que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont homogènes et linéaires par rapport aux produits $dx_{i}\,dx_{k}.$

On pourra donc déduire de l’expression (12) un invariant intégral du quatrième ordre.

Il est à remarquer que cet invariant ne devient pas identiquement nul quand on suppose

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {F} _{2}.$

L’expression (12), divisée par 2, se réduit alors à

$\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ')\,\mathrm {F} _{1}(\xi ''\xi ''')+\mathrm {F} _{1}(\xi \xi '')\,\mathrm {F} _{1}(\xi '''\xi ')+\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ''')\,\mathrm {F} _{1}(\xi '\xi '').$

D’un invariant du deuxième ordre on peut donc toujours en déduire un du quatrième ordre ; par le même procédé, on en obtiendrait un du sixième ordre ; et, plus généralement, on en obtiendrait un d’ordre $2p$ ($2p$ étant un nombre pair quelconque).

248.Soit, en général,

$\int \mathrm {F} _{1},\quad \int \mathrm {F} _{2},$

deux invariants quelconques des équations (1), le premier d’ordre $p,$ le second d’ordre $q.$

Je suppose que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ soient des fonctions linéaires et homogènes, la première par rapport aux produits de $p$ différentielles $dx,$ la seconde par rapport aux produits de $q$ différentielles.

Soient

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)},$

$p+q$ solutions des équations (2). Ces solutions satisferont au système d’équations différentielles

(13)

$\;{\frac {d\xi _{k}^{(\mu )}}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\,\xi _{i}^{(\mu )}\quad (i,k=1,\,2,\,\ldots ,\,n\,;\;\mu =1,\,2,\,\ldots ,\,p+q).$

Soit alors $\mathrm {F} _{1}'$ ce que devient $\mathrm {F} _{1}$ quand on y remplace chaque produit de $p$ différentielles par le déterminant correspondant formé à l’aide des $p$ solutions

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p)}.$

Soit de même $\mathrm {F} _{2}'$ ce que devient $\mathrm {F} _{2}$ quand on y remplace chaque produit de $q$ différentielles par le déterminant correspondant formé à l’aide des $q$ solutions

$\xi _{i}^{(p+1)},\quad \xi _{i}^{(p+2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.$

Alors le produit

$\mathrm {F} _{1}'\mathrm {F} _{2}'$

sera une intégrale du système (13).

Cela posé, faisons subir aux $p+q$ lettres

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.$

une permutation quelconque. Le produit $\mathrm {F} _{1}'\mathrm {F} _{2}'$ deviendra

$\mathrm {F} _{1}''\mathrm {F} _{2}''$

et ce sera encore là une intégrale du système (13).

Nous affecterons ce produit du signe $+,$ si la permutation considérée appartient au groupe alterné, c’est-à-dire si elle se ramène à un nombre pair de permutations entre deux lettres.

Nous affecterons, au contraire, le produit du signe $-,$ si la permutation n’appartient pas au groupe alterné, c’est-à-dire si elle se ramène à un nombre impair de permutations entre deux lettres.

Dans tous les cas, l’expression

(14)

$\pm \mathrm {F} _{1}''\mathrm {F} _{2}''$

sera une intégrale du système (13).

Nous avons $(p+q)!$ permutations possibles ; nous obtiendrons donc $(p+q)!$ expressions analogues à (14). Mais il n’y en aura que

${\frac {(p+q)!}{p!\,q!}}$

qui seront distinctes ; car l’expression (14) ne change pas quand on permute seulement entre elles les $p$ lettres qui entrent dans $\mathrm {F} _{1}''$ et entre elles, d’autre part, les $q$ lettres qui entrent dans $\mathrm {F} _{2}''.$

Faisons maintenant la somme de toutes les expressions (14). Nous aurons encore une intégrale de système (13). Mais cette intégrale sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants d’ordre $p+q$ que l’on peut former avec les lettres

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.$

On pourra donc en déduire un invariant d’ordre $p+q$ des équations (1).

Si $p=q$ et que $\mathrm {F} _{1}$ soit identique avec $\mathrm {F} _{2},$ l’invariant ainsi obtenu sera identiquement nul si $p$ est impair ; mais il n’en sera plus de même si $p$ est pair ainsi que je l’ai expliqué à la fin du numéro précédent.

Autres relations entre les invariants et les intégrales.

249.Voyons maintenant comment, de la connaissance d’un certain nombre d’invariants, on peut déduire celle d’une ou plusieurs intégrales.

Je suppose d’abord que l’on connaisse deux invariants du $n$^ième ordre

$\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},$

et

$\int \mathrm {M} '\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},$

où $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ sont des fonctions des $x\,;$ je dis que le rapport ${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M} \,}}$ sera une intégrale des équations (1).

En effet, considérons les équations aux variations (2) et soient

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(n)}.$

$n$ solutions quelconques linéairement indépendantes de ces équations.

Ces $n$ solutions satisferont à un système d’équations différentielles, analogue aux systèmes (6) et (7), que j’appellerai le système $\mathrm {S} .$

Soit $\Delta$ le déterminant formé à l’aide des $n^{2}$ lettres $\xi _{i}^{(k)}.$ Alors

$\mathrm {M} \Delta$ et $\mathrm {M} '\Delta$

seront des intégrales du système $\mathrm {S} ;$ il en sera donc de même du rapport

${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}$

et comme ce rapport ne dépend que des $x$ et pas des $\xi ,$ il devra être une intégrale des équations (1).

On peut démontrer le même résultat d’une autre manière.

Faisons le changement de variables du n^o 237. Nos deux invariants intégraux deviendront

$\int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,$

et

$\int \mathrm {M'J} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,$

$\mathrm {J}$ désignant le jacobien ou déterminant fonctionnel des variables anciennes $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ par rapport aux variables nouvelles $y_{1},$ $y_{2},\,\ldots ,$ $y_{n-1},\,z.$

D’après le n^o 237, $\mathrm {MJ}$ et $\mathrm {M'J}$ ne doivent dépendre que de

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1}\,;$

{{SA|il en est donc de même du rapport ${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M} \,}}$ et comme toute fonction des $y_{i}$ est une intégrale des équations (1), ce rapport est une intégrale des équations (1). C. Q. F. D.

250.On peut varier ce procédé de plusieurs manières.

Soient, par exemple,

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots \quad \int \mathrm {F} _{p}(dx_{i}),$

$p$ invariants linéaires du premier ordre. Supposons que l’on ait identiquement

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {M} _{2}\mathrm {F} _{2}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {F} _{3}+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {F} _{p}$

les $\mathrm {M} _{i}$ dépendant seulement des $x,$ et non des différentielles $dx.$

Je dis que les $\mathrm {M} _{i},$ si $p\leqq n+1$ seront des intégrales des équations (1).

En effet, soit $\mathrm {A} _{ik}$ le coefficient de $dx_{k}$ dans $\mathrm {F} _{i}$ ; on devra avoir

$\mathrm {A} _{1.k}=\mathrm {M} _{2}\mathrm {A} _{2.k}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {A} _{3.k}+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {A} _{p.k}.$

Faisons le changement de variables du n^o 237 ; nos invariants deviendront

$\int \mathrm {F} _{1}'(dx_{i}'),\quad \int \mathrm {F} _{2}'(dx_{i}'),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{p}'(dx_{i}').$

Si d’ailleurs on pose

$\mathrm {F} _{i}'={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}'\,dx_{k}',$

on devra avoir

$\mathrm {A} _{1.k}'=\mathrm {M} _{2}\mathrm {A} _{2.k}'+\mathrm {M} _{3}\mathrm {A} _{3.k}'+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {A} _{p.k}'.$

Nous aurons là $n$ équations linéaires d’où nous pourrons tirer les $\mathrm {M} _{i}$ pourvu que $p\leqq n+1.$

Or, d’après le n^o 237, les $\mathrm {A} _{ik}'$ ne dépendent que des $y$ et pas de $z\,;$ il en est donc de même des $\mathrm {M} _{i}$ ce qui veut dire que les $\mathrm {M} _{i}$ sont des intégrales des équations (1).

251.Soit maintenant

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

une intégrale ; il est clair que

$\int \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\,dx_{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\,dx_{n}\right)$

sera un invariant intégral du premier ordre.

On peut alors se poser la question suivante :

Considérons un invariant intégral du premier ordre

$\int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)$

et supposons que la quantité sous le signe $\textstyle \int$ soit une différentielle exacte ; quelle relation y aura-t-il entre l’intégrale de cette différentielle exacte et les intégrales des équations (1) ?

Pour nous en rendre compte, faisons le changement de variables du n^o 237 ; notre invariant deviendra

$\int d\mathrm {U} =\int \left(\mathrm {B} _{1}\,dy_{1}+\mathrm {B} _{2}\,dy_{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n-1}\,dy_{n-1}+\mathrm {C} \,dz\right).$

Les $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ devront dépendre des $y$ mais pas de $z.$

Si cette expression $d\mathrm {U}$ est une différentielle exacte, la fonction $\mathrm {U}$ devra donc être de la forme

$\mathrm {U} =\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1},$

$\mathrm {U} _{0}$ et $\mathrm {U} _{1}$ étant des intégrales de l’équation (1). On aura alors

${\frac {d\mathrm {U} }{dt}}=\mathrm {U} _{1}.$

Or on a, si l’on revient aux anciennes variables $x_{i},$

${\frac {d\mathrm {U} }{dt}}={\frac {d\mathrm {U} }{dx_{1}}}\,\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{2}}}\,\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{n}}}\,\mathrm {X} _{n}.$

Il résulte de là que

${\frac {d\mathrm {U} }{dx_{1}}}\,\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{2}}}\,\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{n}}}\,\mathrm {X} _{n}$

est une intégrale des équations (1). Si cette expression est nulle, on a

$\mathrm {U} _{1}=0,\qquad \mathrm {U} =\mathrm {U} _{0},$

et $\mathrm {U}$ est une intégrale des équations (1).

252.On pourrait multiplier les exemples de ce genre ; je n’en citerai plus qu’un seul.

Considérons un invariant du premier ordre de la forme

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}}=\int {\sqrt {\Phi }}.$

Soit $\Delta$ le discriminant de la forme quadratique $\Phi .$

Faisons le changement de variables du n^o 237, notre invariant deviendra

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}'\,dx_{i}'^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}'\,dx_{i}'\,dx_{k}'}}=\int {\sqrt {\Phi '}}.$

Soit $\Delta '$ le discriminant de la forme quadratique $\Phi '.$

Soit $\mathrm {J}$ le jacobien ou déterminant fonctionnel des $x$ par rapport aux $x'\,;$ on aura

$\Delta '=\Delta \mathrm {J} ^{2}.$

D’ailleurs $\Delta '$ sera manifestement (comme les $\mathrm {B} '$ et les $\mathrm {C} '$), une intégrale des équations (1).

Soit, maintenant, un invariant du $n$^ième ordre

$\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}.$

Après le changement de variables du n^o 237, il deviendra

$\int \mathrm {MJ} \,dx_{1}'\,dx_{2}'\,\ldots \,dx_{n}',$

et $\mathrm {MJ}$ devra être une intégrale des équations (1).

J’en conclus que

${\frac {\Delta '}{\mathrm {M} ^{2}\mathrm {J} ^{2}}},$

c’est-à-dire

${\frac {\Delta }{\mathrm {M} ^{2}}}$

doit être une intégrale des équations (1).

Changements de variables.

253.Quand on change d’une manière quelconque les variables $x_{i}$ sans toucher à la variable $t,$ qui représente le temps, on n’a qu’à appliquer aux invariants intégraux les règles ordinaires du changement de variables dans les intégrales définies simples ou multiples. C’est ce que nous avons déjà fait plusieurs fois.

Mais quand on change la variable $t,$ la difficulté est plus grande. Il aurait même semblé a priori que cette transformation ne dût conduire à aucun résultat.

Et en effet : considérons le système

(1)

$dt={\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}\cdot$

Introduisons une nouvelle variable $t_{1}$ définie par la relation

${\frac {dt}{dt_{1}}}=\mathrm {Z} ,$

$\mathrm {Z}$ étant une fonction donnée de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.$

Le système (1) deviendra

(2)

$dt_{1}={\frac {dx_{1}}{\mathrm {ZX} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {ZX} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {ZX} _{n}}}\cdot$

Supposons que les valeurs initiales $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},\,\ldots ,$ $x_{n}^{0}$ représentent les coordonnées d’un certain point $\mathrm {M} _{0}$ de l’espace à $n$ dimensions.

Si le mouvement de ce point est défini par les équations (1), $t$ représentant le temps, ce point sera, à l’époque $t=\tau ,$ venu en $\mathrm {M} .$

Si le mouvement est au contraire défini par les équations (2), $t_{1}$ représentant le temps, le point $\mathrm {M} _{0}$ sera, à l’époque $t_{1}=\tau ,$ venu en $\mathrm {M} '.$

Considérons maintenant une figure $\mathrm {F} _{0}$ occupée à l’instant zéro par différents points $\mathrm {M} _{0}.$

Si le mouvement et la déformation de cette figure sont définis par les équations (1), elle sera, à l’époque $t=\tau ,$ devenue une figure nouvelle $\mathrm {F} .$

Si le mouvement est défini par les équations (2), la figure $\mathrm {F} _{0}$ sera, à l’époque $t_{1}=\tau ,$ devenue une figure nouvelle $\mathrm {F} '$ différente de $\mathrm {F} .$

Et non seulement $\mathrm {F} '$ sera différente de $\mathrm {F} ,$ mais elle ne coïncidera pas non plus, en général, avec une des positions occupées par $\mathrm {F}$ à une époque différente de l’époque $t=\tau .$

Il semble donc que l’on ait profondément altéré les données du problème et l’on ne doit pas s’attendre à ce que des invariants de (1) on puisse déduire ceux de (2).

C’est cependant ce qui arrive pour les invariants d’ordre $n.$

Faisons le changement de variables du n^o 237 ; le système (1) deviendra

(1 bis)

$dt={\frac {dy_{1}}{0}}={\frac {dy_{2}}{0}}=\ldots ={\frac {dy_{n-1}}{0}}={\frac {dz}{1}},$

et le système (2)

(2 bis)

$dt_{1}={\frac {dy_{1}}{0}}={\frac {dy_{2}}{0}}=\ldots ={\frac {dy_{n-1}}{0}}={\frac {dz}{\mathrm {Z} }},$

$\mathrm {Z}$ doit alors être supposé exprimé en fonctions des $y$ et de $z.$

Posons alors

$z_{1}=\int {\frac {dz}{\mathrm {Z} }},$

l’intégration se faisant par rapport à $z$ (les $y$ étant regardés comme des constantes), et à partir d’une origine quelconque pouvant dépendre des $y.$

Le système (2) deviendra

(2 ter)

$dt_{1}={\frac {dy_{1}}{0}}={\frac {dy_{2}}{0}}=\ldots ={\frac {dy_{n-1}}{0}}={\frac {dz_{1}}{1}}$

et aura même forme que (1 bis).

Soit alors

$\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},$

un invariant d’ordre $n$ des équations (1) ; par le changement de variables du n^o 237, il deviendra

$\int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,$

$\mathrm {J}$ étant le jacobien des $x$ par rapport aux $y$ et à $z,$ $\mathrm {MJ}$ devra être une fonction des $y.$

Alors

$\int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz_{1}$

sera un invariant des équations (2 ter) ;

$\int {\frac {\mathrm {MJ} }{\mathrm {Z} }}\,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz$

sera un invariant des équations (2 bis), et enfin

$\int {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Z} }}\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}$

sera un invariant des équations (2).

Remarques diverses.

253 bis. Considérons un système d’équations différentielles

(1)

$dx_{i}=\mathrm {X} _{i}\,dt,$

et leurs équations aux variations

(2)

$d\xi _{i}=\Xi _{i}\,dt.$

Supposons que les équations (1) admettent un invariant intégral du premier ordre

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dx_{i};$

l’expression ${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\xi _{i}$ sera une intégrale des équations (2).

D’autre part, ces équations (2) admettront pour solution

$\xi _{i}=\varepsilon \,\mathrm {X} _{i},$

$\varepsilon$ étant une constante infiniment petite quelconque.

En effet, soit

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

une solution quelconque des équations (1) ; si $\varepsilon$ est une constante très petite,

$x_{i}=\varphi _{i}(t+\varepsilon )=\varphi _{i}(t)+\varepsilon \,{\frac {dx_{i}}{dt}}$

sera encore une solution des équations (1), et

$\xi _{i}=\varphi _{i}(t+\varepsilon )-\varphi _{i}(t)=\varepsilon \,{\frac {dx_{i}}{dt}}=\varepsilon \mathrm {X} _{i}$

sera une solution des équations (2).

Il résulte de là que

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\xi _{i}=\varepsilon {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}$

doit être une constante.

Donc ${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}$ est une intégrale des équations (1).

Supposons maintenant que les équations (1) admettent un invariant intégral du second ordre

$\iint {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}.$

Alors

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)$

sera une intégrale des équations (2) et des équations (2 bis) que l’on en déduit en changeant les $\xi _{i}$ en $\xi _{i}'.$

Faisons-y

$\xi _{i}'=\varepsilon \,\mathrm {X} _{i},$

$\varepsilon$ étant une constante. Cela est permis, car $\xi _{i}'=\varepsilon \mathrm {X} _{i}$ est une solution de (2 bis).

Alors

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\mathrm {X} _{k}-\mathrm {X} _{i}\xi _{k}\right)$

sera une intégrale de (2) ; ce qui montre que

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\mathrm {X} _{k}\,dx_{i}-\mathrm {X} _{i}\,dx_{k}\right)$

est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).

Ce procédé permet donc de trouver un invariant d’ordre $n-1,$ quand on en connaît un d’ordre $n\,;$ le procédé peut quelquefois être illusoire parce que l’invariant ainsi trouvé peut être identiquement nul.

Envisageons maintenant un invariant de la forme suivante

$\int {\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\,dx_{i},$

où $\mathrm {A} _{i}$ et $\mathrm {B} _{i}$ sont des fonctions des $x\,;$ nous rencontrerons dans la suite des invariants de cette forme.

Alors

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\xi _{i}$

sera une intégrale des équations (2) ; il en résulte que

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\mathrm {X} _{i}$

doit être une constante.

Soit, pour abréger.

${\begin{aligned}\Phi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}\,;&\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\mathrm {X} _{i},\end{aligned}}$

l’expression

$\Phi +t\Phi _{1}$

doit être une constante, ce qui entraîne la condition

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+t\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+\Phi _{1}=0,$

ou bien

(3)

$\sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}+\Phi _{1}+t\sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0.$

Les $\mathrm {X} _{i},$ les $\mathrm {A} _{i},$ les $\mathrm {B} _{i}$ sont des fonctions ds $x.$ Il en est donc de même de

$\Phi ,\quad \Phi _{1},\quad \sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i},\quad \sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}.$

L’identité (3) ne peut donc avoir lieu que si l’on a identiquement

$\sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0$

et

$\sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}+\Phi _{1}=0$

La première de ces relations nous apprend que $\Phi _{1}$ est une intégrale des équations (1).

253 ter.Soit

$\Phi =\mathrm {const.}$

une intégrale des équations (2) ; la fonction $\Phi$ doit être une forme, c’est-à-dire un polynôme entier et homogène par rapport aux $\xi _{i},$ dont les coefficients dépendent d’ailleurs des $x_{i}$ d’une façon quelconque.

Soit $m$ le degré de ce polynôme. L’expression

$\int {\sqrt[{m}]{\Phi '}}$

(où $\Phi '$ n’est autre chose que $\Phi$ où les $\xi _{i}$ ont été remplacés par les différentielles $dx_{i}$), cette expression, dis-je, sera un invariant intégral des équations (1).

Cela posé, soit $\mathrm {I}$ un invariant quelconque de la forme $\Phi .$

Faisons le changement de variables du n^o 237, les équations (1) deviendront

(1 bis)

${\begin{aligned}{\frac {dy_{i}}{dt}}&=0,&{\frac {dz}{dt}}&=1,\end{aligned}}$

et, si l’on désigne par $\eta _{i}$ et $\zeta$ les variations de $y_{i}$ et $z,$ les équations aux variations de (I bis) se réduiront à

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}={\frac {d\zeta }{dt}}=0.$

Avec ces nouvelles variables, $\Phi$ deviendra une forme $\Phi _{0},$ entière, homogène et de degré $m$ par rapport aux $\eta _{i}$ et à $\zeta \,;$ les coefficients peuvent être des fonctions quelconques des $y_{i},$ mais d’après le théorème du n^o 237, puisque nous avons affaire à un invariant intégral, ces coefficients ne peuvent pas dépendre de $z.$

Les $x_{i}$ sont des fonctions des $y$ et de $z,$ et l’on en déduit entre les variations les relations suivantes

(4)

$\xi _{i}=\sum {\frac {dx_{i}}{dy_{k}}}\,\eta _{k}+{\frac {dx_{i}}{dz}}\,\zeta .$

Les $\xi$ sont donc des fonctions linéaires des $\eta$ et de $\zeta$ et le déterminant de ces équations linéaires (4) n’est autre chose que le jacobien des $x$ par rapport à $y$ et à $z,$ jacobien que j’appelle $\mathrm {J} .$

On passe ainsi de la forme $\Phi$ à la forme $\Phi _{0}$ par la substitution linéaire (4) dont le déterminant est $\mathrm {J} .$

Soit $\mathrm {I} _{0}$ l’invariant de $\Phi _{0}$ qui correspond à l’invariant $I$ de $\Phi \,;$ on aura

$\mathrm {I} =\mathrm {I} _{0}\mathrm {J} ^{p}$

$p$ étant le degré de l’invariant.

Mais $\mathrm {I} _{0}$ est une fonction des coefficients de $\Phi _{0}$ et, par conséquent, une fonction des $y,$ indépendante de $z\,;$ c’est donc une intégrale des équations (1).

Soit $\mathrm {M}$ le dernier multiplicateur des équations (1) de telle façon que l’on ait

$\sum {\frac {d\mathrm {MX} _{i}}{dx_{i}}}=0$

et que

$\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}$

soit un invariant intégral d’ordre $n.$

Nous avons vu au n^o 252 que $\mathrm {MJ}$ sera une intégrale des équations (1). Donc

$\mathrm {I} _{0}\left(\mathrm {MJ} \right)^{p}=\mathrm {IM} ^{p}$

sera une intégrale des équations (1). À chaque invariant de la forme $\Phi$ correspond donc une intégrale de ces équations.

Soit maintenant $\mathrm {C}$ un covariant de la forme $\Phi ,$ de degré $p$ par rapport aux coefficients de $\Phi$ et $q$ par rapport aux variables $\xi .$

Si $\mathrm {C} _{0}$ est le covariant correspondant de $\Phi _{0},$ on aura

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}\mathrm {J} ^{p}.$

Les coefficients de $\mathrm {C} _{0}$ sont des fonctions des coefficients de $\Phi _{0},$ ils sont donc indépendants de $z\,;$ il en est de même de ceux de

$\mathrm {C} _{0}\left(\mathrm {MJ} \right)^{p}=\mathrm {CM} ^{p}.$

Donc $\mathrm {CM} ^{p}$ est une intégrale des équations (2) ; donc

$\int {\sqrt[{q}]{\mathrm {C'M} ^{p}}},$

où $\mathrm {C} '$ n’est autre chose que $\mathrm {C}$ où les $\xi _{i}$ ont été remplacés par $dx_{i},$ est un invariant intégral des équations (1).

Voilà donc un moyen de former un grand nombre d’invariants intégraux ; le cas particulier où $p$ est nul (c’est-à-dire le cas des invariants ou covariants dits absolus) mérite d’attirer l’attention ; si $\mathrm {C} ,$ par exemple, est un covariant absolu de $\Phi ,$

$\int {\sqrt[{q}]{\mathrm {C'} ^{p}}},$

sera un invariant intégral des équations (1). On peut donc former un nouvel invariant intégral sans connaître le dernier multiplicateur $\mathrm {M} .$

Le même procédé s’applique aux invariants intégraux d’ordre supérieur. Soit, par exemple, un invariant intégral du second ordre

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}.$

À cet invariant intégral se rattache la forme bilinéaire

$\Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)$

qui est une intégrale des équations (2) et (2 bis).

Tout invariant ou covariant de cette forme, multiplié par une puissance convenable de $\mathrm {M} ,$ sera une intégrale des équations (2), (2 bis) et donnera, par conséquent, naissance à un nouvel invariant intégral.

De même, si l’on a un système d’invariants intégraux, on en déduira un système de formes analogues à $\Phi$ et qui seront des intégrales des équations (2), (2 bis). À tout invariant de ce système de formes correspondra une intégrale des équations (1) ; à tout covariant de ce système de formes correspondra un invariant intégral des équations (1).

Soient, par exemple, $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ deux formes quadratiques par rapport aux $\xi \,;$ $\mathrm {F} '$ et $\mathrm {F} _{1}'$ ce qu’elles deviennent quand on y remplace les $\xi _{i}$ par les différentielles $dx_{i}.$ Supposons que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ soient des intégrales de (2) et que, par conséquent,

$\int {\sqrt {\mathrm {F} '}},\quad \int {\sqrt {\mathrm {F} _{1}'}}$

soient des invariants intégraux de (1).

Considérons la forme

$\mathrm {F} -\lambda \mathrm {F} _{1}$

où $\lambda$ est une indéterminée. En écrivant que le discriminant de cette forme est nul, nous obtiendrons une équation algébrique de degré $n$ en $\lambda ,$ dont les $n$ racines seront évidemment des invariants absolus du système de formes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F} _{1}.$ Ce seront donc des intégrales des équations (1).

Mais ce n’est pas tout ; soient $\lambda _{1},$ $\lambda _{2},\,\ldots ,$ $\lambda _{n}$ ces racines, $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ pourront se mettre sous la forme

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {F} \;&=\lambda _{1}&&\mathrm {A} _{1}^{2}&{}+&{}\lambda _{2}&&\mathrm {A} _{2}^{2}&{}+&{}\ldots +\lambda _{n}&&\mathrm {A} _{n}^{2},\\\mathrm {F} _{1}&=&&\mathrm {A} _{1}^{2}&{}+&{}&&\mathrm {A} _{2}^{2}&{}+&{}\ldots +&&\mathrm {A} _{n}^{2},\end{alignedat}}$

$\mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {A} _{n}$ étant des formes linéaires que l’on peut déterminer par des opérations purement algébriques.

$\mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {A} _{n}$ peuvent être regardés comme des covariants de degré zéro du système $\mathrm {F,\,F} _{1},$ de sorte que

$\int \mathrm {A} _{1}',\quad \int \mathrm {A} _{2}',\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {A} _{n}'$

sont des invariants intégraux des équations (1), si l’on désigne par $\mathrm {A} _{i}'$ ce que devient $\mathrm {A} _{i}$ quand on y remplace les $\xi _{i}$ par les différentielles $dx_{i}.$

Il y aurait exception pourtant si l’équation en $\lambda$ avait des racines multiples. Si, par exemple, $\lambda _{1}$ était égal à $\lambda _{2},$ on ne pourrait plus affirmer que

$\int \mathrm {A} _{1}',\quad \int \mathrm {A} _{2}'$

sont des invariants intégraux, mais seulement que

$\int {\sqrt {\mathrm {A} _{1}'^{2}+\mathrm {A} _{2}'^{2}}}$

est un invariant intégral.

Soient maintenant

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k},\quad \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}$

deux invariants intégraux du second ordre. Les deux formes bilinéaires

${\begin{aligned}\Phi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)\\\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)\\\end{aligned}}$

seront des intégrales de (2) et (2 bis).

Le cas le plus intéressant est celui où $n$ est pair ; soit donc $n=2m.$

Considérons la forme

$\Phi -\lambda \Phi _{1}$

et égalons son déterminant à 0. Nous aurons une équation algébrique en $\lambda$ de degré $n=2m\,;$ mais le premier membre de cette équation est un carré parfait, de sorte qu’elle se réduit à une équation d’ordre $m.$ Les $m$ racines

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{m}$

seront, pour la même raison que plus haut, des intégrales des équations (1).

Maintenant $\Phi$ et $\Phi _{1}$ pourront se mettre sous la forme

${\begin{aligned}\Phi &=\sum _{i=1}^{i=m}\lambda _{i}\left(\mathrm {P} _{i}\mathrm {Q} _{i}'-\mathrm {Q} _{i}\mathrm {P} _{i}'\right)\\\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\left(\mathrm {P} _{i}\mathrm {Q} _{i}'-\mathrm {Q} _{i}\mathrm {P} _{i}'\right)\\\end{aligned}}$

les $\mathrm {P} _{i}$ et les $\mathrm {Q} _{i}$ étant $2m$ polynômes linéaires par rapport aux $\xi _{i}$ et les $\mathrm {P} _{i}'$ et les $\mathrm {Q} _{i}'$ étant les mêmes polynômes où les $\xi _{m}$ ont été remplacés par les $\xi '.$

Alors les expressions

$\mathrm {P} _{1}\mathrm {Q} _{1}'-\mathrm {Q} _{1}\mathrm {P} _{1}',\quad \mathrm {P} _{2}\mathrm {Q} _{2}'-\mathrm {Q} _{2}\mathrm {P} _{2}',\quad \ldots ,\quad \mathrm {P} _{m}\mathrm {Q} _{m}'-\mathrm {Q} _{m}\mathrm {P} _{m}'$

seront des covariants du système $\Phi ,\Phi _{1}$ et par conséquent des intégrales de (2), (2 bis) auxquelles correspondront des invariants intégraux.

Il y aurait exception si l’équation en $\lambda$ avait des racines multiples.

Si l’on avait, par exemple,

$\lambda _{1}=\lambda _{2}$

on ne pourrait plus affirmer que les deux expressions

$\mathrm {P} _{1}\mathrm {Q} _{1}'-\mathrm {P} _{1}'\mathrm {Q} _{1},\quad \mathrm {P} _{2}\mathrm {Q} _{2}'-\mathrm {P} _{2}'\mathrm {Q} _{2}$

sont des intégrales de (2), (2 bis) mais seulement que leur somme

$\mathrm {P} _{1}\mathrm {Q} _{1}'-\mathrm {P} _{1}'\mathrm {Q} _{1}+\mathrm {P} _{2}\mathrm {Q} _{2}'-\mathrm {P} _{2}'\mathrm {Q} _{2}$

est une intégrale de (2), (2 bis).

1. Le mot variété est maintenant assez usité pour que je n’aie pas cru nécessaire d’en rappeler la définition. On appelle ainsi tout ensemble continu de points (ou de système de valeurs) : c’est ainsi que dans l’espace à trois dimensions, une surface quelconque est une variété à deux dimensions et une ligne quelconque, une variété à une dimension.