Je supposerai deux degrés de liberté seulement, ce qui me permettra de supprimer l’indice devenu inutile.
Pour que nous obtenions des solutions périodiques, il faut que l’exposant soit commensurable avec Si nos séries étaient convergentes, cette condition serait suffisante ; mais elles sont divergentes et ne satisfont aux équations (2) qu’au point de vue formel. Une discussion plus approfondie est donc nécessaire ; on pourrait appliquer un artifice analogue à celui qui a été employé aux nos 211 et 218. On obtiendrait ainsi des séries qui seraient à celles des nos 273 et 277 ce que les séries de. M. Bohlin sont à celles des nos 125 et 127. On retomberait ainsi par une voie indirecte sur les solutions périodiques du deuxième genre. Mais j’aime mieux opérer autrement.
Formation effective des solutions.
362.Par les changements de variables des nos 209, 210, 273, 274, toujours applicables quand on a un système d’équations canoniques admettant une solution périodique, nous pouvons amener nos équations à la forme des équations du no 274. Dans ce numéro nous avons formé les équations suivantes (p. 93)
| (3) |
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{i}'}},\qquad {\frac {dy_{i}'}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{i}'}},\\[0.75ex]\mathrm {F} '&=\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{2}'+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25686d9601819346c25e554646b09381e7b8d6ec)
où est un polynôme entier en qui sera homogène de degré si l’on considère et comme du premier ordre et comme du second ordre. Les coefficients de ce polynôme sont des fonctions périodiques de dont la période est
Nous allons, comme au no 274, supprimer les accents devenus inutiles et écrire au lieu de
Nous pouvons alors supposer (Cf. p. 94, 95, 96)
où et sont des constantes ; je pourrais aussi supposer mais je ne le ferai pas.
