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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

diques sont convergentes, il n’en est plus de même de celles dont nous venons de démontrer l’existence, de sorte que cette généralisation n’a de valeur qu’au point de vue du calcul formel.

210.Cherchons maintenant à nous servir des résultats du numéro précédent pour démontrer dans le cas général que les relations (29) sont satisfaites d’elles-mêmes.

À cet effet, posons

$\mathrm {S} ^{\star }=x_{2}'y_{2}+x_{3}'y_{3}+\ldots +x_{n}'y_{n}+\theta -(\eta -\eta _{0})\zeta +x_{1}'y_{1}+y_{1}\eta -x_{1}'\zeta$

et changeons de variables en posant

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} ^{\star }}{dy_{i}}},&y_{i}'&={\frac {d\mathrm {S} ^{\star }}{dx_{i}'}},\end{aligned}}$

la forme canonique des équations ne sera pas altérée, et l’on trouvera

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+\eta ,&y_{1}'&=y_{1}-\zeta ,&y_{i}'&=y_{i}\quad (i>1),\end{aligned}}$

et enfin

$x_{i}=x_{i}'+{\frac {d\theta }{dy_{i}}}-(\eta -\eta _{0}){\frac {d\zeta }{dy_{i}}}+y_{1}\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}},$

ou, en tenant compte de (41),

$x_{i}=x_{i}'+\xi _{i}+y_{1}'\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}}\cdot$

$\mathrm {F}$ conserve la même forme avec les variables nouvelles, sauf qu’elle ne sera plus périodique par rapport à $y_{1}.$

Les nouvelles équations canoniques admettront comme relations invariantes

$x_{1}'=x_{i}'=y_{1}'=0,$

ce qui prouve que pour $x_{1}'=x_{i}'=y_{1}'=0,$ on a

${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}'}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}'}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}'}}=0$

et que, de plus, $\mathrm {F}$ se réduit à une constante $\mathrm {A} \,;$ je poserai alors

$\mathrm {F} '=\mathrm {F} -\mathrm {A}$