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CHAPITRE XIX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

nuler pour $y_{1}=2k\pi$ et il pourrait se faire que pour cette valeur de $y_{1}$ le second membre de (27) ne s’annulât pas.

Si nous voulons donc que les ${\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}}$ demeurent finies, il faut donc que

(28)

$\varphi _{p+1}(0)+\mathrm {C} _{p+1}=\varphi _{p+1}(2\pi )=\mathrm {C} _{p+1}=0.$

Si les conditions (28) sont remplies par toutes les valeurs de $p,$ les ${\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}}$ et par conséquent aussi les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$ resteront finis.

Si $p+1$ est pair, on satisfera facilement aux équations (28) ; la constante $\mathrm {C} _{p+1}$ est en effet arbitraire et il suffira de la prendre égale à

$-\varphi _{p+1}(0)=-\varphi _{p+1}(2\pi ).$

Mais, si $p+1$ est impair, $\mathrm {C} _{p+1}$ est nul et nous devons satisfaire à la condition

(29)

$\varphi _{p+1}(0)=0$

qui entraîne d’ailleurs la suivante

$\varphi _{p+1}(2\pi )=0.$

Comme nous ne disposons plus d’aucune arbitraire, cette condition (29) doit être remplie d’elle-même ; c’est en effet ce qui arrive, mais cela exige une démonstration spéciale que je vais donner dans les numéros suivants.

208.Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux degrés de liberté et par conséquent quatre variables seulement $x_{1},$ $x_{2},$ $y_{1}$ et $y_{2}.$

Reportons-nous aux n^os 42, 43 et 44 ; nous y avons vu qu’à chaque système de valeurs des moyens mouvements

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}$

qui soient commensurables entre elles, correspond une fonction $[\mathrm {F} _{1}]$ et qu’à chaque maximum ou à chaque minimum de cette fonction correspond une solution périodique.

Or, dans le cas qui nous occupe, les moyens mouvements sont au nombre de deux

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},$