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CHAPITRE XIX.

De plus, les fonctions $\eta ,$ $\zeta$ et $\xi _{i}$ doivent être périodiques en $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}\,;$ elles devront se réduire à des constantes $\eta _{0},$ $\zeta _{0}$ et $\xi _{i}^{0}$ pour $\mu =0.$

Enfin je m’impose une condition de plus, je veux que

x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}+\ldots +x_{n}\,dy_{n}=d\theta +\eta _{0}\,d\zeta

soit la différentielle exacte d’une fonction $\theta +\eta _{0}\zeta$ de $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$ On en tire

(41)

\xi _{i}={\frac {d\theta }{dy_{i}}}-(\eta -\eta _{0}){\frac {d\zeta }{dy_{i}}},

et l’on en conclut que les dérivées de $\theta$ sont des fonctions périodiques. On aura de plus

(42)

\mathrm {F} (\eta ,\xi _{i},\zeta ,y_{i})=\mathrm {const.} ,

c’est-à-dire qu’en remplaçant dans $\mathrm {F}$ les variables $x_{1},$ $x_{i}$ et $y_{1}$ par les fonctions $\eta ,$ $\xi _{i}$ et $\zeta ,$ on réduit $\mathrm {F}$ à une constante.

On vérifierait aisément par un calcul qui rappelle quelques-uns de ceux du Chapitre XV que la deuxième équation (40) est une conséquence nécessaire des deux autres et des équations (41) et (42).

Si, en effet, on différentie l’équation (42) par rapport à $y_{k},$ et qu’on la transforme ensuite en tenant compte de la première et de la troisième équation (40) ainsi que des relations

{\frac {dx_{i}}{dy_{k}}}+{\frac {dy_{1}}{dy_{k}}}{\frac {dx_{1}}{dy_{i}}}={\frac {dx_{k}}{dy_{i}}}+{\frac {dy_{1}}{dy_{i}}}{\frac {dx_{1}}{dy_{k}}}

déduites des relations (41) par différentiation, on retrouvera la seconde équation (40).

Nous conserverons donc, pour définir les fonctions $\eta ,$ $\zeta ,$ $\xi _{i}$ et $\theta ,$ la première et la troisième équation (40) ainsi que les équations (41) et (42).

Nous allons chercher à développer les fonctions $\eta ,$ $\zeta$ et $\theta$ suivant les puissances de $\mu ,$ sous la forme

(43)

\left\{{\begin{aligned}\eta &=\eta _{0}+\mu \,\eta _{1}+\mu ^{2}\,\eta _{2}+\ldots ,\\\zeta &=\zeta _{0}+\mu \,\zeta _{1}+\mu ^{2}\,\zeta _{2}+\ldots ,\\\theta &=\theta _{0}+\mu \,\theta _{1}+\mu ^{2}\,\theta _{2}+\ldots ;\qquad \xi _{i}={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\xi _{i}^{p}\end{aligned}}\right.