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CHAPITRE IX.

Calcul direct des séries.

127.Passons maintenant au calcul direct des séries (2 quater). Pour cela, supposons que dans ${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}$ par exemple, qui est une fonction des $x_{i},$ des $y_{i}$ et de $\mu ,$ on remplace ces variables par leurs développements

${\begin{alignedat}{5}x_{i}^{0}&+\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\w_{i}&+\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}$

ce ${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}$ deviendra alors une fonction des $x_{i}^{0},$ des $x_{i}^{k},$ des $w_{i},$ des $y_{i}^{k}$ et de $\mu .$ Cette fonction sera périodique par rapport aux $w_{i}\,;$ elle sera développable suivant les puissances de $\mu ,$ des $x_{i}^{k}$ et des $y_{i}^{k}$ (si $k>1$) ; elle dépendra des $x_{i}^{0}$ d’une manière quelconque.

Écrivons alors

(9)

${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}=\mathrm {X} _{i}^{0}+\mu \mathrm {X} _{i}^{1}+\mu ^{2}\mathrm {X} _{i}^{2}+\ldots +\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}^{k}+\ldots ,$

les $\mathrm {X} _{i}^{k}$ étant des fonctions des $w_{i},$ des $x_{i}^{k},$ des $y_{i}^{k},$ des $x_{i}^{0}$ périodiques par rapport aux $w_{i}.$

Nous aurons de même

(10)

$-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}=\mathrm {Y} _{i}^{0}+\mu \mathrm {Y} _{i}^{1}+\mu ^{2}\mathrm {Y} _{i}^{2}+\ldots +\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}^{k}+\ldots ,$

les $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ étant des fonctions de même forme que les $\mathrm {X} _{i}^{k}.$

Si l’on se rappelle que ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}$ est nul, et que ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}$ ne dépend pas des $y_{i}$ on conclura sans peine que $\mathrm {X} _{i}^{k}.$ ne dépend que

${\begin{array}{rrrr}\mathrm {des} \;x_{i}^{0},&\;\mathrm {des} \;x_{i}^{1},&\;\ldots ,&\;x_{i}^{k-1},\\\mathrm {des} \;w_{i},&\;\mathrm {des} \;y_{i}^{1},&\;\ldots ,&\;y_{i}^{k-1}.\end{array}}$

Au contraire, $\mathrm {Y} _{i}^{k}$ dépend des mêmes quantités et, en outre, des $x_{i}^{k},$ mais il est indépendant des $y_{i}^{k}.$ D’ailleurs $\mathrm {X} _{i}^{0}$ est nul et $\mathrm {Y} _{i}^{0}$ se réduit à $n_{i}^{0}.$

Nous supposerons d’autre part que

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}$