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CHAPITRE XX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

En éliminant $w_{2},$ $w_{3},$ $\ldots ,\,w_{n}$ entre les relations (2) on doit retrouver

${\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{k}&=\xi _{k}.\end{aligned}}$

c’est-à-dire les relations du n^o 209. S’il n’y a que deux degrés de liberté, les relations (2) représentent tout simplement une solution périodique (Cf. n^o 208).

Si nous faisons

$w_{1}=+\infty ,$ d’où $e^{-{\frac {w_{1}}{\alpha }}}=0,$

il vient de même

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1},&x_{k}&=\varphi _{k},&y_{1}&=\varphi _{1}'+2\pi ,&y_{k}&=w_{k}+\varphi _{k}'.\end{aligned}}$

Les séries étudiées dans ce Chapitre pourraient être obtenues directement par des procédés analogues à ceux des Chapitres XIV et XV. Malgré l’intérêt que présenterait cette question, je ne puis m’y appesantir, cela m’entraînerait trop loin. Je me bornerai à rappeler que, par le changement de variables du n^o 206, on est ramené au problème du n^o 134, auquel les procédés des Chapitres XIV et XV sont directement applicables.

Comparaison avec les séries du n^o 127.

218.Nous avons vu au n^o 211 comment les séries des n^os 204 et suivants pouvaient se déduire de celles du n^o 125. Je me propose de rechercher de même comment les séries du présent Chapitre peuvent se déduire de celles du n^o 127.

Commençons d’abord par traiter le cas le plus simple, celui du n^o 199. Dans ce cas, nos équations peuvent s’écrire (en supprimant l’indice 1 devenu inutile)

(1)

$\left\{{\begin{aligned}x&={\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y}}\,,\\\theta \,w&=\int {\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y}}},\end{aligned}}\right.$

$2\theta \pi$ désignant la période réelle de l’intégrale du second membre. Ces équations nous permettent de calculer $x$ et $y$ en fonctions de l’argument $w,$ de la constante $\mathrm {C}$ et de $\mu .$

Si nous supposons d’abord que $\mu$ soit très petit par rapport à $\mathrm {C} ,$