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CHAPITRE XIX.

MÉTHODES DE M. BOHLIN.

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Méthode de Delaunay.

199.Reprenons les hypothèses et les notations du n^o 125. Nous avons vu que dans l’application de la méthode du n^o 125 il s’introduisait des diviseurs de la forme

$n_{1}^{0}m_{1}+n_{2}^{0}m_{2}+\ldots +n_{n}^{0}m_{n},$

les $m_{i}$ étant des entiers.

Il en résulte que cette méthode devient illusoire quand l’un de ces diviseurs devient très petit.

Parmi les méthodes qui ont été imaginées pour triompher de cette difficulté, celle de Delaunay est la première en date et son exposition facilitera l’intelligence de toutes les autres.

Considérons d’abord un système d’équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

et supposons que $\mathrm {F}$ soit seulement fonction de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ et de

$m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n},$

périodique de période $2\pi$ par rapport à cette dernière quantité. Je suppose que les $m_{i}$ sont des entiers.

L’intégration du système (1) se ramène alors à celle de l’équation aux dérivées partielles

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}},\,m_{1}y_{1}\!+\!m_{2}y_{2}\!+\!\ldots \!+\!m_{n}y_{n}\right)=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire. Or cette intégration est aisée.