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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

pour la première série ou

(39)

$\;{\begin{aligned}x_{1}&=\eta _{1}(t,\mathrm {B} ),&x_{2}&=\eta _{2}(t,\mathrm {B} ),&y_{1}&=\eta _{1}'(t,\mathrm {B} ),&y_{2}&=\eta _{2}'(t,\mathrm {B} )\end{aligned}}$

pour la seconde.

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des constantes arbitraires.

Si entre les équations (38) on élimine $t$ et $\mathrm {A} ,$ puis qu’on résolve par rapport à $x_{1}$ et $x_{2},$ on obtiendra les équations (37) et l’on obtiendra encore le même résultat ${\big (}$le signe du radical ${\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}$ étant seul changé${\big )}$ si l’on élimine $t$ et $\mathrm {B}$ entre les équations (39).

Il peut être intéressant de comparer la démonstration qui précède celles que j’avais données dans le Tome XIII des Acta mathematica, p. 211 à 216 d’une part, 217 à 219 d’autre part.

209.Occupons-nous d’étendre cette démonstration au cas où il y a plus de deux degrés de liberté et, pour cela, cherchons d’abord à généraliser la notion qui nous a servi de point de départ, c’est-à-dire celle de la solution périodique (30).

Cherchons donc $n+1$ fonctions des $n-1$ variables

$y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n},$

fonctions que j’appellerai

$\eta ,\quad \zeta ,\quad \xi _{2},\quad \xi _{3},\quad \ldots ,\quad \xi _{n}$

et qui seront telles que les relations

${\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{i}&=\xi _{i}\quad (i>1)\end{aligned}}$

soient des relations invariantes au sens donné à ce mot au n^o 19. Cela entraîne les conditions suivantes

(40)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}{\sum }_{k}{\frac {d\eta }{dy_{k}}}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{k}}}&={}&-&{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}},\\{\sum }_{k}{\frac {d\xi _{i}}{dy_{k}}}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{k}}}&={}&-&{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\\{\sum }_{k}{\frac {d\zeta }{dy_{k}}}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{k}}}&={}&&{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\quad (i,\,k=2,\,3,\,\ldots ,\,n).\end{alignedat}}\right.$

Inutile d’ajouter que, dans les dérivées de $\mathrm {F} ,$ $x_{1},$ $y_{1}$ et les $x_{i}$ sont supposés remplacés par $\eta ,$ $\zeta$ et les $\xi _{i}.$