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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

et, par conséquent, $\mathrm {F}$ restent holomorphes en $\mathrm {H}$ et en $\mathrm {H'}$ pour $\mathrm {H} +\mathrm {H} '=\mathrm {C} .$

Relations invariantes.

19.Nous avons considéré au n^o 1, à l’égard du système

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i},$

d’une part ses solutions, d’autre part ses intégrales. Mais il nous reste à parler de certaines équations qui se rapportent à ce système et qui peuvent être regardées comme tenant pour ainsi dire le milieu entre les solutions et les intégrales. Je vais définir ces équations que j’appellerai relations invariantes.

Soit $\varphi$ une fonction quelconque de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}\,;$ on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {d\varphi }{dx_{1}}}\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\varphi }{dx_{2}}}\mathrm {X} _{2}+\dots +{\frac {d\varphi }{dx_{n}}}\mathrm {X} _{n}.$

Considérons maintenant un système d’équations

(2)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi _{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=0,\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=0,\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\\varphi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=0,\\\end{aligned}}\right.$

et supposons que ces équations entraînent comme conséquence les suivantes

${\frac {d\varphi _{1}}{dx_{1}}}\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\varphi _{2}}{dx_{2}}}\mathrm {X} _{2}+\dots +{\frac {d\varphi _{n}}{dx_{n}}}\mathrm {X} _{n}=0\,;$

on en conclura que

${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=0.$

Par conséquent, si les équations (2) sont satisfaites pour une valeur quelconque de $t,$ elles le seront pour toutes les valeurs de $t\,;$ c’est pourquoi nous appellerons le système (2) système de relations invariantes, et l’on conçoit quelle importance peut avoir la connaissance d’un semblable système.