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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

Les corrections sont expliquées en page de discussion

et l’un d’eux $n_{1}^{0}$ est nul ; les valeurs des deux moyens mouvements sont donc commensurables entre elles. De plus la fonction ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}$ admet un maximum absolu qu’elle atteint pour $y_{1}=0$ et qui est égal à $\mathrm {C} _{2}.$ À ce maximum doit donc correspondre une solution périodique. Soit

(30)

{\begin{aligned}x_{1}&=\psi _{1}(t),&x_{2}&=\psi _{2}(t),&y_{1}&=\psi _{1}'(t),&y_{2}&=\psi _{2}'(t)\end{aligned}}

cette solution. Comme $n_{1}^{0}$ est nul, quand $t$ augmente d’une période, $\psi _{1},$ $\psi _{2}$ et $\psi _{1}'$ reprennent leurs valeurs primitives, tandis que $y_{2}$ augmente de $2\pi .$

Si nous éliminons $t$ entre les équations (30), il vient

(31)

{\begin{aligned}x_{1}&=\theta _{1}(y_{2}),&x_{2}&=\theta _{2}(y_{2}),&y_{1}&=\theta _{3}(y_{2}),\end{aligned}}

les fonctions $\theta$ étant périodiques de période $2\pi .$

Les exposants caractéristiques sont au nombre de deux et d’après le Chapitre IV doivent être égaux et de signe contraire. De plus, comme la solution périodique correspond à un maximum et non à un minimum de $[\mathrm {F} _{1}],$ ces exposants doivent être réels, en vertu du n^o 79, et la solution périodique doit être instable.

Cela posé, nous allons faire un changement de variables analogue à celui du n^o 145.

Soit

\mathrm {S} ^{\star }=x_{2}'y_{2}+\Theta +x_{1}'y_{1}+y_{1}\theta _{1}-x_{1}'\theta _{3},

où $\Theta$ est une fonction de $y_{2}$ définie par la condition

{\frac {d\Theta }{dy_{2}}}=\theta _{2}-\theta _{3}\,{\frac {d\theta _{1}}{dy_{2}}}\cdot

La forme canonique des équations ne sera pas altérée si je prends pour variables nouvelles $x_{i}'$ et $y_{i}'$ en posant

{\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} ^{\star }}{dy_{i}}},&y_{i}'&={\frac {d\mathrm {S} ^{\star }}{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}

On trouve ainsi

(32)

\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+\theta _{1};&x_{2}&=x_{2}'+{\frac {d\Theta }{dy_{2}}}+y_{1}\,{\frac {d\theta _{1}}{dy_{2}}}-x_{1}'\,{\frac {d\theta _{3}}{dy_{2}}}\\y_{1}'&=y_{1}-\theta _{3};&y_{2}'&=y_{2},\end{aligned}}\right.