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CHAPITRE IV.

EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

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Équations aux variations.

53.Il y a peu de chances pour que, dans aucune application, les conditions initiales du mouvement soient exactement celles qui correspondent à une solution périodique ; mais il peut arriver qu’elles en diffèrent fort peu. Si alors on considère les coordonnées des trois corps dans leur mouvement véritable, et, d’autre part, les coordonnées qu’auraient ces trois mêmes corps dans la solution périodique, la différence reste très petite au moins pendant un certain temps et l’on peut, dans une première approximation, négliger le carré de cette différence.

Soit

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$

un système d’équations différentielles où les $\mathrm {X} _{i}$ sont des fonctions données de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}.$

Soit

(1 bis)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t)\end{aligned}}$

une solution quelconque de ces équations que nous appellerons solution génératrice.

Soit

(1 ter)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t)+\xi _{1},&x_{2}&=\varphi _{2}(t)+\xi _{2},&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t)+\xi _{n}\end{aligned}}$

une solution peu différente de la première.

Si l’on néglige les carrés des $\xi ,$ on pourra écrire

(2)

${\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{2}}}\xi _{2}+\dots +{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{n}}}\xi _{n}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$