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CHAPITRE XXV.
D’ailleurs
sera développable suivant les puissances de
sous
la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} '=\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{2}'+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0086d96d9b4942d0113916ac6be9043e186c3a47)
sera développable d’autre part suivant les puissances de
les coefficients étant des fonctions périodiques de
On aura
enfin
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}'=\mathrm {H} x_{2}'+\mathrm {A} x_{1}'^{2}+2\mathrm {B} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {C} y_{1}'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb937c7ecaf7bf25386eccd67b84c6d1b1216b93)
et
étant des fonctions périodiques de ![{\displaystyle y_{2}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfc699fb8c0a5e1a9dd4814e65a647cb911e118)
Nous allons appliquer à nos équations une méthode analogue à
celle de Bohlin, où le paramètre
jouera le même rôle que jouait
dans le Chapitre XIX le paramètre
Supprimons nos accents devenus inutiles et écrivons
au lieu de
Je dis d’abord que je puis toujours supposer
![{\displaystyle \mathrm {H} =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ae8f824ddf2b4819e1f03aa2f9c84943f58e67)
Si en effet il n’en était pas ainsi je prendrais pour variables nouvelles
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}^{\star }&=\mathrm {H} x_{2},&y_{2}^{\star }&=\int {\frac {dy_{2}}{\mathrm {H} }}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53dcb1b8a0f9e480aafecfe274bd175e18da7829)
La forme canonique des équations n’en serait pas altérée puisque
![{\displaystyle x_{2}^{\star }\,dy_{2}^{\star }-x_{2}\,dy_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd49a7f022000f9a74d34046816c48e77ac6481)
est une différentielle exacte.
De plus
s’augmente d’une constante quand
augmente
de
je puis toujours choisir l’unité de temps de telle façon
que cette constante soit égale à
Alors toute fonction périodique
de période
de
sera une fonction de période
de
La forme de la fonction
ne sera donc pas changée ; seulement
le premier terme
se réduira à
Supposons donc
Je dis maintenant qu’on peut supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =\mathrm {C} &=0,&\mathrm {B} =\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd1ac18c734de4617fb4a7210755908d8918631)
Formons en effet nos équations canoniques (1) en supposant ![{\displaystyle \varepsilon =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d1434c2a7b053df85fcf6ddc3d30bc4d5fde31)