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CHAPITRE XXV.

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CHAPITRE XXV.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

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Retour sur la méthode de Bohlin.

273.Je suis obligé, avant d’aller plus loin, de compléter quelques-uns des résultats des Chapitres VII, XIX et XX. Je veux d’abord résumer les résultats que je veux comparer et qui vont me servir de point de, départ.

Au Chapitre VII nous avons vu que si un système

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

admet une solution périodique

(2)

$x_{i}=x_{i}^{0},$

et si l’on pose

$x_{i}=x_{i}^{0}+\xi _{i},$

les $\xi _{i}$ seront développables suivant les puissances croissantes de

(3)

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t},$

les coefficients étant des fonctions périodiques de $t\,;$ les $\mathrm {A} _{i}$ sont des constantes d’intégration, les $\alpha _{i}$ sont les exposants caractéristiques de la solution périodique (2).

Les séries satisfont toujours formellement aux équations (1) ; elles sont convergentes à certaines conditions que nous avons énoncées au n^o 105.

Il y a exception dans le cas où nous pouvons avoir entre les exposants $\alpha ,$ une relation de la forme

(4)

$\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}=0$