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CHAPITRE VII.

et il viendra

${\frac {d\eta _{i}^{q}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{q}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CA} ^{q}\,e^{t(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta )}.$

Or on peut satisfaire à cette équation en faisant

$\eta _{i}^{q}=\sum {\frac {\mathrm {CA} ^{q}e^{t(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta )}}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}}}$

Il y aurait exception dans le cas où l’on aurait

$\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}=0,$

auquel cas il s’introduirait dans les formules des termes en $t.$ Nous réserverons ce cas, qui ne se présente pas en général.

Convergence des séries.

105.Nous devons maintenant traiter la question de la convergence de ces séries. La seule difficulté provient d’ailleurs, comme on va le voir, des diviseurs

(5)

$\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}$

Remplaçons les équations (2′) par les suivantes

(2′′)

$\varepsilon \eta _{i}=\varepsilon \mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}+{\overline {\mathrm {H} _{i}^{2}}}+{\overline {\mathrm {H} _{i}^{3}}}+\ldots +{\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}+\ldots .$

Définissons ${\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}.$ On voit sans peine que $\mathrm {H} _{i}^{p}$ est de la forme suivante

$\mathrm {H} _{i}^{p}={\textstyle \sum }\,\mathrm {c} \,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.$

$\mathrm {C}$ est une constante quelconque, les $\beta$ sont des entiers positifs dont la somme est $p,$ $\gamma$ est un entier positif ou négatif. Nous prendrons alors

${\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}={\textstyle \sum }\,|\mathrm {C} |\,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \,\eta _{n}^{\beta _{n}}.$

Les séries ainsi obtenues seront convergentes pourvu que les séries trigonométriques qui définissent les fonctions périodiques dont dépendent les $\mathrm {H}$ convergent absolument et uniformément ;