L’Encyclopédie/1re édition/PLAN

d’Alembert, La Chapelle, Jaucourt

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 12, p. 692-697).

PLAN, s. m. en Géométrie, signifie une surface à laquelle une ligne droite se peut appliquer en tout sens, de maniere qu’elle coincide toujours avec cette surface. Voyez Surface.

Comme la ligne droite est la distance la plus courte qu’il y ait d’un point à un autre, le plan est aussi la plus courte surface qu’il puisse y avoir entre deux lignes. Voyez Courbe.

En Géométrie, en Astronomie, &c. on se sert fort souvent de plans, &c. pour faire concevoir des surfaces imaginaires, qui sont supposées couper ou passer à-travers des corps solides ; & c’est de-là que dépend toute la doctrine de la sphere, & la formation des courbes appellées sections coniques ou sections du cône.

Quand un plan coupe un cône parallélement à l’un de ses côtés, la section est une parabole ; s’il la coupe paraléllement à sa base, c’est un cercle. Voyez Coniques.

Toute la sphere s’explique par des plans que l’on imagine passer par les corps célestes, &c. Voyez Sphere & Cercle.

Les Astronomes démontrent que le plan de l’orbite de la lune est incliné au plan de l’orbite de la terre, ou de l’écliptique, sous un angle d’environ cinq degrés ; & que ce plan passe par le centre de la terre. Voyez Orbite.

L’intersection de ce plan avec celui de l’écliptique, a un mouvement propre d’orient en occident ; de maniere que les nœuds répondent successivement à tous les degrés de l’écliptique, & font une révolution au-tour de la terre dans l’espace d’environ 19 ans. Voyez Nœud & Lune.

Les plans des orbites des autres planetes, comme celui de l’écliptique, passent par le centre du soleil, & sont différemment inclinés les uns aux autres. Voyez Inclinaison.

Comme le centre de la terre est dans le plan de l’orbite de la lune, la section circulaire de ce plan sur le disque de la lune nous est représentée sous la forme d’une ligne droite qui passe par le centre de la lune, cette ligne est inclinée au plan de l’écliptique, en faisant un angle de 5°, quand la lune est dans ses nœuds ; mais cette inclinaison diminue, à mesure que cette planete s’éloigne des nœuds ; & lorsqu’elle en est distante d’environ 90 degrés, la section de l’orbite de la lune sur son disque devient à-peu-près paralléle au plan de l’écliptique. Les planetes du premier ordre devroient montrer les mêmes apparences à un spectateur placé dans le soleil.

Mais ces apparences sont différentes dans ces mêmes planetes, lorsqu’elles sont vues d’une autre planete, comme de la terre, les plans de leurs orbites ne paroissent passer par le centre de la terre, que quand elles sont dans leurs nœuds ; en toute autre situation la section circulaire du plan de l’orbite sur le disque ou la surface de la planete, ne paroît pas une ligne droite, mais une ellipse plus large ou plus étroite, selon que la terre est plus ou moins élevée au-dessus du plan de l’orbite de la planete.

Plan, en méchanique. Un plan horisontal est un plan de niveau, ou paralléle à l’horison. Voyez Horison & Horisontal.

Tout l’art du nivellement consiste à déterminer de combien un plan donné s’éloigne du plan horisontal. Voyez Nivellement.

Plan incliné, en méchanique, est un plan qui fait un angle oblique avec un plan horisontal. Voyez Oblique & Incliné.

La théorie du mouvement des corps sur des plans inclinés est un des points principaux de la méchanique.

Le P. Sebastien a trouvé une machine pour mesurer l’accélération d’un corps qui tombe sur un plan incliné, & pour la comparer avec celle que l’on découvre dans la chute des corps qui tombent en liberté. On en voit la description dans les mémoires de l’académie royale des Sciences 1699. pag. 343. Voyez aussi Pesanteur.

Lois de la descente des corps sur des plans inclinés. 1°. Si un corps est placé sur un plan incliné, sa pesanteur absolue sera à sa pesanteur relative, comme la longueur du plan A C est à sa hauteur A B. Pl. méch. fig. 58.

En effet, un corps qui est sur un plan incliné tend, en vertu de sa pesanteur, à tomber suivant la verticale QF ; mais il ne peut tomber dans cette direction à cause du plan qui s’y oppose. Or l’action de la pesanteur, suivant QF, est composée de deux autres actions ; l’une suivant QG, perpendiculaire à AC ; l’autre suivant QE, dans la direction de AC : l’effort suivant QG, étant perpendiculaire à AC, est détruit & soutenu par le plan ; & il ne reste plus que l’effort suivant QE, avec lequel le corps tend à tomber ou à glisser le long du plan, & glisseroit effectivement si quelque puissance ne le retenoit pas. Or l’effort QE avec lequel le corps tend à tomber, est plus petit que l’effort absolu de la pesanteur suivant QF, parce que l’hypothenuse QF du triangle rectangle QFE est plus grande que le côté OE ; ainsi on voit que le corps D tend à glisser sur le plan avec une force moindre que sa pesanteur, & que le plan en soutient une partie. De plus les triangles Q E F, A C B sont semblables ; car les angles en E & en B sont droits, & l’angle Q est égal à l’angle A ; d’où il s’ensuit que QE est à QF, comme AB est à AC ; donc l’effort du poids pour glisser est à son poids absolu, comme la hauteur du plan est à sa longueur ; donc la puissance nécessaire pour vaincre la tendance du poids à glisser, est au poids D dans le même rapport de la hauteur du plan à sa longueur.

D’où il s’ensuit 1°. que le corps D ne pesant sur le plan incliné qu’avec sa pesanteur respective ou relative, le poids L appliqué dans une direction verticale, le retiendra ou le soutiendra, pourvu que sa pesanteur soit à celle du corps D comme la hauteur du plan B A est à sa longueur AC.

2°. Si l’on prend pour sinus total la longueur du plan C A, A B sera le sinus de l’angle d’inclinaison ACB ; c’est pour quoi la pesanteur absolue du corps est à sa pesanteur respective, suivant le plan incliné, & le poids D est aussi au poids L, agissant suivant la direction LA ou AD sur le poids D qu’il soutient, comme le sinus total est au sinus de l’angle d’inclinaison.

3°. Les pesanteurs respectives du même corps sur différens plans inclinés, sont l’une à l’autre comme les sinus des angles d’inclinaison.

4°. Plus l’angle d’inclinaison est grand, plus aussi est grande la pesanteur respective.

5°. Ainsi dans un plan vertical où l’angle d’inclinaison est le plus grand, puisqu’il est formé par une perpendiculaire, la pesanteur respective est égale à la pesanteur absolue ; & dans un plan horisontal, où il n’y a aucune inclinaison, la pesanteur respective s’anéantit totalement.

II. Pour trouver le sinus de l’angle d’inclinaison que doit avoir un plan, afin qu’une puissance donnée y puisse soutenir un poids donné, dites : le poids donné est à la puissance donnée, comme le sinus total est au sinus de l’angle d’inclinaison du plan : ainsi supposant qu’un poids de 1000 livres doive être soutenu par une puissance de 50, on trouvera que l’angle d’inclinaison doit être de 2°. 52′.

Au reste, nous supposons dans toute cette théorie que la puissance tire parallélement à AC, c’est-à-dire, à la longueur du plan ; & c’est la maniere la plus avantageuse dont elle puisse être appliquée. Mais si elle tire dans toute autre direction, il ne sera pas fort difficile de déterminer le rapport de la puissance au poids. Pour cela on menera par le point de concours de la direction verticale du poids, & de la direction de la puissance, une perpendiculaire au plan AC ; or pour qu’il y ait équilibre, il faut 1°. que cette perpendiculaire tombe sur la base du corps, & non au-delà ou en-deçà, car autrement le corps glisseroit ; 1°. qu’elle soit la direction de la force résultante de l’action du poids & de celle de la puissance ; car il faut que la force résultante de ces deux actions soit détruite par la résistance du plan, & elle ne peut être détruite à moins qu’elle ne soit pas perpendiculaire au plan ; on fera donc un parallélogramme dont la diagonale soit cette perpendiculaire, & dont les côtés seront pris sur les directions de la puissance & du poids, & le rapport des côtés de ce paraléllogramme sera celui de la puissance & du poids. Ceux qui voudront voir cette matiere plus approfondie peuvent consulter la Méchanique de Varignon.

III. Si le poids L descend selon la direction perpendiculaire AB, en élevant le poids D dans une direction parallele au plan incliné, la hauteur de l’élévation du poids D sera à celle de la descente du poids L, comme le sinus de l’angle d’inclinaison C est au sinus total.

D’où il s’ensuit 1°. que la hauteur de la descente du poids L est à la hauteur de l’élévation du poids D réciproquement, comme le poids D est au poids équivalent L.

2°. Que des puissances sont égales lorsqu’elles élevent des poids à des hauteurs qui sont réciproquement proportionnelles à ces poids ; & c’est ce que Descartes prend comme un principe par lequel il démontre les forces des machines.

On voit aussi la raison pourquoi il est beaucoup plus difficile de tirer un chariot chargé sur un plan incliné, que sur un plan horisontal, parce qu’on a à vaincre une partie du poids qui est à la pesanteur totale dans le rapport de la hauteur du plan à sa longueur.

IV. Les poids EF, fig. 53. n. 2. qui pesent également sur des plans inclinés AC, CB, de même hauteur CD, sont l’un à l’autre comme les longueurs des plans AC, CB.

Stevin a donné une espece de démonstration expérimentale de ce théorème : nous l’ajouterons ici à cause qu’elle est facile & assez ingénieuse. Sur un triangle G III mettons une chaîne, dont les parties ou chaînons soient tous uniformes & également pesans, fig. 59. il est évident que les parties GH, KH se balanceront l’une l’autre. Si donc IH ne balançoit pas GI, la partie plus pesante l’emporteroit, & par conséquent il s’ensuivroit un mouvement perpétuel de la chaîne autour du triangle GIH ; mais comme cela est impossible, il est clair que les parties de la chaîne IH, GI, & par conséquent tous les autres corps qui sont comme les longueurs des plans IH & IG se balanceront l’un l’autre.

V. Un corps pesant descend sur un plan incliné avec un mouvement uniformément accéléré. En effet il doit descendre suivant la même loi que les corps graves qui tombent verticalement, avec cette seule différence qu’il descend avec une pesanteur moindre. Voyez Mouvement & Accélération.

D’où il s’ensuit 1° que les espaces de la descente sont en raison doublée des tems, de même qu’en raison doublée des vîtesses, c’est pourquoi les espaces parcourus en tems égaux, croissent comme les nombres impairs, 1, 3, 5, 7, 9, &c.

2°. L’espace parcouru par un corps pesant qui descend sur un plan incliné, est sous-double de celui qu’il parcouroit dans le même tems avec la vîtesse acquise à la fin de sa chûte.

3°. Ainsi en général les corps pesans en descendant sur des plans inclinés, suivent les mêmes lois que s’ils tomboient perpendiculairement. Cette raison détermina Galilée, qui vouloit découvrir les lois du mouvement des corps dont la chûte est perpendiculaire, à faire ses expériences sur des plans inclinés, à cause que le mouvement y est plus lent. Les théoremes suivans vont nous apprendre celles qu’il y découvrit.

VI. Si un corps pesant descend sur un plan incliné, sa vîtesse à la fin d’un tems donné quelconque, est à la vîtesse qu’il acquéroit en tombant perpendiculairement dans le même tems, comme la hauteur du plan incliné est à sa longueur.

VII. L’espace parcouru par un corps pesant sur un plan incliné A D, fig. 60. est à l’espace AB qu’il parcouroit en même tems dans un plan perpendiculaire, comme la vîtesse du corps sur le plan incliné au bout d’un tems quelconque, est à la vîtesse que ce même corps auroit acquise en tombant perpendiculairement durant le même tems.

D’où il s’ensuit 1° que l’espace parcouru sur le plan incliné, est à l’espace qui seroit parcouru en tems égal dans un plan perpendiculaire, comme la hauteur du plan AB est à sa longueur AC, & par conséquent comme le sinus de l’angle d’inclinaison CD est au sinus total.

2°. Or si de l’angle droit B l’on abaisse une perpendiculaire sur AC, l’on aura AC, AB ∷ AB, AD, donc un corps descendant sur un plan incliné viendroit du point A en D, dans le même tems qu’il tomberoit en ligne perpendiculaire du point A au point B.

3°. C’est pourquoi étant donné l’espace de la descente perpendiculaire dans la hauteur du plan AB ; si on fait tomber une perpendiculaire du point B sur AC, l’on a l’espace AD qui doit être parcouru dans le même tems sur le plan incliné.

4°. Pareillement étant donné l’espace AD parcouru sur le plan incliné, l’on a l’espace AB qui seroit parcouru perpendiculairement dans le même tems, en élevant une perpendiculaire qui rencontre le plan vertical en B.

5°. D’où il s’ensuit que dans le demi-cercle CDEF, fig. 61, un corps descendra en un tems égal par tous les plans AD, AE, AF, AC, c’est-à-dire dans le même tems qu’il tomberoit par le diametre AB, en le supposant perpendiculaire au plan horisontal LM.

VIII. L’espace AD, fig. 60, parcouru sur un plan incliné AG étant donné, déterminer l’espace qui seroit parcouru dans le même tems, sur un autre plan incliné. Du point D élevez une perpendiculaire DB qui rencontre la verticale AB au point B, la longueur AB sera l’espace que le corps parcourt pendant ce tems en tombant perpendiculairement : c’est pourquoi si du point B l’on abaisse une perpendiculaire BE sur le plan AF, AE sera la partie de ce plan incliné que le corps parcourra dans le même tems qu’il tomberoit perpendiculairement du point A au point B, & par conséquent dans le même tems qu’il parcouroit la partie AD dans l’autre plan incliné AC.

Ainsi puisque AB est à AD comme le sinus total est au sinus de l’angle d’inclinaison C, & que AB est à AE comme le sinus total est au sinus de l’angle d’inclinaison F, les espaces AD, AE, que le corps parcourt dans le même tems sur différens plans inclinés, seront comme les sinus des angles d’inclinaison C, F, ou comme les pesanteurs respectives sur les mêmes plans ; & par conséquent aussi réciproquement, comme les longueurs des plans d’égale hauteur AC, AF : d’où l’on voit que le problème peut être résolu de différentes manieres par le calcul.

IX. Les vîtesses acquises dans le même tems sur différens plans inclinés sont, comme les espaces parcourus dans le même tems. Il s’ensuit de-là qu’elles sont aussi comme les sinus des angles d’inclinaison C, F, ou comme les pesanteurs respectives sur les mêmes plans, & réciproquement comme les longueurs des plans AC, AF, d’égale hauteur.

X. Quand un corps qui descend sur un plan incliné AC arrive à la ligne horisontale CB, il a acquis la même vîtesse qu’il auroit acquise en descendant verticalement jusqu’à la même ligne horisontale CB.

Cela se peut prouver aisément par le principe φde = udu de l’article Forces accélératrices ; car on voit que uu est proportionnelle à φe, & comme les forces accélératrices φ sur AC & sur AB sont entr’elles en raison inverse des longueurs parcourues AC & AB, c’est-à-dire en raison inverse de e, il s’ensuit qu’aux points C & B on a φe égal de part & d’autre. Donc, &c.

Il suit de-là 1° qu’un corps pesant qui descend par différens plans inclinés AC, AG, AF, a acquis la même vîtesse quand il arrive à la même ligne horisontale CF.

XI. Le tems de la descente le long d’un plan incliné AC est au tems de la descente perpendiculaire par AB, comme la longueur du plan AC est à sa hauteur AB ; & les tems de la descente par différens plans inclinés d’égale hauteur AC, AG, sont comme les longueurs des plans : car dans le mouvement uniformément accéleré lorsque les vîtesses finales sont égales, les tems sont entr’eux comme les espaces parcourus. C’est une suite des principes posés au mot Accélération.

XII. Si le diametre d’un cercle AB, fig. 61, est perpendiculaire à la ligne horisontale LM, un corps descendra d’un point quelconque de la circonférence DE le long des plans inclinés DB, EB, CB, &c. dans le même tems qu’il descendroit par le diametre AB ; cela se déduit aisément des propositions précédentes.

Toutes ces propositions sur les plans inclinés peuvent se démontrer aisément par la méthode suivante ; soit p la pesanteur, h le sinus d’inclinaison du plan, I étant le sinus total, ph sera la partie de la pesanteur qui agit pour mouvoir le corps le long du plan ; & si on nomme x la longueur d’une partie quelconque du plan, à commencer du point d’où le corps est parti, & u la vitesse du corps, on aura par le principe des forces accélératrices (voyez Forces accélératrices), $\scriptstyle phdx=udu$, & $\scriptstyle uu=2phx$, de plus le tems de sera $\scriptstyle ={\frac {dx}{u}}={\frac {dx}{\sqrt {2phx}}}$ ; donc $\scriptstyle t={\frac {\sqrt {1x}}{\sqrt {ph}}}$. On remarquera de plus, que si un corps tomboit de la hauteur x perpendiculairement, on auroit sa vitesse $\scriptstyle {\sqrt {2px}}$, & le tems $\scriptstyle {\frac {\sqrt {1x}}{\sqrt {p}}}$. En voilà assez pour démontrer aisément toutes les propositions précédentes sur les plans inclinés.

Lois de l’ascension des corps sur des plans inclinés. I. Si un corps monte dans un milieu qui ne résiste point, suivant une direction quelconque perpendiculairement, ou le long d’un plan incliné, son mouvement sera uniformément retardé.

D’où il suit 1° qu’un corps qui monte perpendiculairement ou obliquement dans un milieu de cette nature, parcourt un espace sous-double de celui qu’il parcouroit dans le même tems sur un plan horisontal avec une vîtesse uniforme, égale à celle qu’il a au commencement de son mouvement.

2°. Les espaces parcourus en tems égaux par un corps qui remonte ainsi, décroissent dans un ordre renversé, comme les nombres impairs 7, 5, 3, 1 ; & quand la force imprimée est épuisée, le corps redescend par la force de la pesanteur.

3°. C’est pourquoi ces espaces sont dans un ordre renversé, comme les espaces parcourus en tems égaux, par un corps qui descend le long de la même hauteur. Car supposons le tems divisé en quatre parties ; dans le premier moment, le corps A descend par l’espace I, & B monte par 7 ; dans le second, A descend par 3, B monte par 5, &c.

4°. D’où il suit qu’un corps qui s’éleve avec une certaine vîtesse, monte à une hauteur égale à celle d’où il faut qu’il tombe pour acquérir à sa chûte la vîtesse initiale, avec laquelle il a monté.

5°. Donc réciproquement un corps qui tombe acquiert par sa chûte une force propre à le faire remonter à la hauteur d’où il est tombé. Voyez Pendule.

II. Etant donné le tems qu’un corps emploie à monter à une hauteur donnée, déterminer l’espace parcouru à chaque instant ; supposez que le corps descende de cette même hauteur dans le même tems, & trouvez l’espace parcouru à chaque instant. Voyez Mouvement & Descente. En prenant ces espaces dans un ordre renversé, ils seront les mêmes que ceux que l’on cherche.

Supposez, par exemple, qu’un corps jetté perpendiculairement monte à une hauteur de 240 piés pendant le tems de quatre secondes, & que l’on demande les espaces qui sont parcourus dans les différens tems de cette ascension ; si le corps étoit descendu, l’espace parcouru dans la premiere minute auroit été 15 piés, dans la seconde 45, dans la troisieme 75, dans la quatrieme 105, &c. par conséquent l’espace parcouru en remontant dans la premiere minute sera 105, dans la seconde 75, &c.

III. Si un corps descend perpendiculairement par AD, fig. 62, ou dans toute autre surface FED, & qu’avec la vîtesse qu’il y a acquise, il remonte le long d’une autre surface CD à des points d’égale hauteur ; par exemple, en G il aura la même vîtesse. Cette proposition est encore une suite des précédentes sur les plans inclinés.

Lorsqu’un corps se meut sur un plan & qu’il rencontre un autre plan, il est facile de voir par le principe de la décomposition des forces, que sa vîtesse le long du premier plan, comme le cosinus de l’angle des plans est au lieu total : donc la vîtesse perdue est comme le sinus verse de l’angle des plans ; or si cet angle est infiniment petit, le sinus verse est infiniment petit du second ordre. Ainsi lorsqu’un corps se meut sur une courbe, la perte de vîtesse qu’il fait à chaque instant est infiniment petite du second ordre, & par conséquent infiniment petite du premier ordre ou nulle dans un tems fini.

Le plan de gravité ou de gravitation est un plan que l’on suppose passer par le centre de gravité d’un corps & dans la direction de sa tendance, c’est-à-dire perpendiculaire à l horison. Voyez Gravité & Centre.

Plan de réflexion, en Captoptrique, c’est un plan qui passe par le point de réflexion, & qui est perpendiculaire au plan du miroir ou à la surface du corps réfléchissant. Voyez Réfléxion.

Plan de réfraction est un plan qui passe par le rayon incident & le rayon réfracté ou rompu. Voyez Réfraction.

Plan du tableau, en Perspective, c’est une surface plane qu’on imagine comme transparente, ordinairement perpendiculaire à l’horison, & placée entre l’œil du spectateur & l’objet qu’il voit, on suppose que les rayons optiques qui viennent des différens points de l’objet jusqu’à l’œil passent à travers cette surface, & qu’ils laissent dans leur passage des marques qui les représentent sur le plan. Voyez Perspective.

Tel est le plan H I, Pl. perspect. fig. 1, que l’on appelle plan du tableau ; parce que l’on suppose que la figure de l’objet est tracée sur ce plan.

Plan géométral, en Perspective, est un plan parallele à l’horison, sur lequel on suppose placé l’objet que l’on se propose de mettre en perspective. Tel est le plan L M, Pl. persp. fig. 1 ; ce plan coupe ordinairement à angles droits le plan du tableau.

Plan horisontal, en Perspective, est un plan qui passe par l’œil du spectateur parallelement à l’horison, coupant à angles droits le plan du tableau quand celui-ci est perpendiculaire au plan géométral.

Plan vertical, en Perspective, c’est un plan qui passe par l’œil du spectateur perpendiculairement au plan géométral, & ordinairement parallele au plan du tableau. Voyez Vertical.

Plan de projection, dans la projection stéréographique de la sphere, est le plan sur lequel on suppose que les points de la sphere sont projettés, & que la sphere est représentée. Voyez Projection, &c.

Plan d’un cadran, c’est la surface sur laquelle un cadran est tracé. Voyez Cadran.

Déclinaison d’un plan. Voyez l’article Déclinaison. Chambers. (O)

Plan, pris substantivement, signifie aussi, en Géométrie, la représentation que l’on fait sur le papier de la figure & de différentes parties d’un champ, d’une maison, ou de quelqu’autre chose semblable. Voyez l’article suivant.

Plan, lever un, chez les Arpenteurs, c’est l’art de décrire sur le papier les différens angles & les différentes lignes d’un terrein, dont on a pris les mesures avec un graphometre, ou un instrument semblable, & avec une chaîne. Voyez Arpentage.

Quand on leve un terrein avec la planchette, on n’a point besoin d’en faire le plan, il est tout fait ; cet instrument donnant sur le champ les différens angles & les différences en même tems qu’on les prend sur le terrein. Voyez Planchette.

Mais en travaillant avec le graphometre, ou le demi-cercle, on prend les angles en degrés, & les distances en chaînes & en chaînons. Voyez Graphometre, Demi-cercle, Planchette ronde, Équerre d’Arpenteur, &c. Ensorte qu’il reste à faire une autre opération pour reduire ces nombres en lignes, & lever le plan ou la carte. Voyez Carte.

Cela s’exécute par le moyen de deux instrumens, le rapporteur & l’echelle. Par le moyen du rapporteur, les différens angles que l’on a observés sur le terrein avec le graphometre ou instrument semblable, & dont on a écrit les degrés sur un registre, sont tracés sur le papier dans leur juste grandeur. Voyez Rapporteur.

L’échelle sert à donner les véritables proportions aux différentes distances mesurées avec la chaîne, quand il s’agit de les tracer sur une carte. Voyez Echelle.

Sous ces deux articles on trouve séparément l’usage de ces instrumens respectifs, pour prendre des angles & des distances ; nous les donnerons ici conjointement, en exposant la maniere de aire le plan d’un terrein ou d’un champ, que l’on a levé avec la planchette ronde, ou avec le graphometre, l’un & l’autre garnis d’une boussole.

Méthode de faire un plan quand on a fait usage sur le terrein de la planchette ronde. Supposons que l’on ait levé le terrein ABCDEFGHK (Pl. d’Arpent. fig. 21.), que l’on ait pris les différens angles avec la planchette ronde, en tournant tout-autour, que l’on en ait mesuré les différentes longueurs avec une chaîne, & que l’on ait écrit sur un registre de la grandeur des angles des distances, tel que la table suivante le représente.

	degrés.	minutes.	chaînes.	chaînons.
A,	191	00	10	75
B,	297	00	6	83
C,	216	30	7	82
D,	325	00	6	96
E,	12	24	9	71
F,	324	30	7	54
G,	98	30	7	54
H,	71	00	7	78
K,	161	30	8	22

1°. Sur un papier ou sur une carte, dont les dimensions soient convenables, tel que LMNO (fig. 31.), tirez un nombre de lignes paralleles à égale distance, qui représentent des méridiens exprimés par les lignes ponctuées.

L’usage de ces lignes est de diriger la position du rapporteur, dont le diamettre doit toujours être place sur l’une de ces lignes, ou parallelement à l’une d’elles.

Après avoir ainsi préparé la carte ou le papier, prenez un point sur quelque méridien, comme A ; placez-y le centre du rapporteur, & couchez son diametre le long de ce méridien. Voyez après cela sur le mémoire ou le devis de votre terrein quelle est la grandeur du premier angle ; c’est-à-dire quel est le nombre de degrés coupés par l’aiguille aimantée de l’instrument au point A, que la table vous donne de 191 degrés.

Présentement, puisque 191 degrés sont plus grands qu’un demi-cercle ou que 180 degrés, il faut mettre en bas le demi-cercle du rapport, & l’arrêtant avec un stile au point où est placé son centre, faites une marque vis-à-vis 191 du point A, tirez par cette marque la ligne indéfinie Ab.

Le premier angle ainsi tracé, consultez encore votre mémoire, pour savoir quelle est la longueur de la premiere ligne AB, vous y trouverez 10 chaînes 95 chaînons ; c’est pourquoi d’une échelle convenable, construite sur l’échelle d’arpenteur, prenez l’étendue de 10 chaînes, 75 chaînons ; avec un compas ordinaire, & mettant une de ses pointes au point A, marquez l’endroit où l’autre pointe tombe sur la ligne Ab, supposons que ce soit en B ; tirez par conséquent la ligne pleine AB, pour le premier côté de votre terrein.

Procédez ensuite au second angle, & mettant le centre du rapport au point B, avec le diametre disposé comme ci-dessus, faites une marque, telle que c, vis-à-vis de 297, qui exprime les degrés coupés au point B, & tirez la ligne indéfinie Bc. Sur cette ligne prenez, comme ci-dessus, avec l’échelle d’arpenteur, la longueur de votre seconde ligne, c’est-à-dire, 6 chaînes, 83 chaînons ; laquelle s’étendant de B en C, tirez la ligne BC pour le second côté.

Procédez maintenant au troisieme angle ou à la troisieme station : mettez donc, comme ci-dessus, le centre du rapporteur au point C ; faites une marque, telle que d, vis-à-vis le nombre des degrés coupés au point C, c’est-à-dire, vis-à-vis 216 ; tirez la ligne indéfinie Cd, & prenez dessus la troisieme distance ou 7 chaînes, 82 chaînons ; laquelle se terminant par exemple en D, tirez la ligne pleine CD, pour troisieme côté.

Procédez à présent au quatrieme angle D, & mettant le centre du rapporteur sur la pointe D, vis-à-vis 325 degrés coupés par l’aiguille aimantée, faites une marque e, tirez la ligne De au crayon, & prenez sur elle la distance 6 chaînes, 96 chaînons, laquelle se terminant en E, tirez DE pour la quatrieme ligne, & allez au cinquieme angle, c’est-à-dire au point E.

Les degrés qui y sont coupés par l’aiguille aimantée étant marqués 12°. 24′. (ce qui est plus petit qu’un demi-cercle) il faut placer le centre du rapporteur au point E, & le diametre sur le méridien, le limbe demi-circulaire tourne en-dessus. Dans cette situation, faites une marque comme ci-dessus, vis-à-vis le nombre des degrés coupé par l’index au point E, c’est-à-dire vis-à-vis 12°. 24’. tirez la ligne Ef, sur laquelle vous n’avez qu’à prendre la cinquieme distance, c’est-à-dire, 9 chaînes, 71 chaînons ; laquelle s’étendant de E en F, tirez la ligne pleine EF pour le cinquieme côté de votre terrein.

Procédant de la même maniere & par ordre aux angles F, G, H, K, en plaçant le rapporteur, faites des marques vis-à-vis les degrés respectifs, tirez des lignes au crayon indéfinies, sur lesquelles vous n’avez qu’à prendre, comme ci-dessus, les distances respectives, vous aurez le plan de tout le terrein ABC, &c.

Telle est la méthode générale de construire un plan dont le terrein a été levé avec la planchette ronde. Mais il faut observer qu’en procédant de cette façon les lignes de station, c’est-à-dire, les lignes où l’on a placé l’instrument pour prendre les angles, & sur lesquelles on a fait courir la chaîne pour mesurer les distances ou les longueurs ; il faut observer, dis-je, que ce sont proprement ces lignes dont on a tracé le plan ; c’est pourquoi lorsque dans un arpentage les lignes de station sont à quelque distance des haies ou des limites du terrein, &c. on reprend les parties négligées, c’est-à-dire qu’à chaque station on mesure la distance de la haie à la ligne de station ; & même, s’il se rencontre dans les intervalles quelques enfoncemens considérables, on doit y avoir égard.

C’est pourquoi après avoir tracé les lignes de station, comme ci-dessus, il faut décrire sur le papier les bandes ou les parties du terrein qui regnent depuis ces lignes jusqu’aux limites du champ, c’est-à-dire, qu’il faut élever sur le plan des perpendiculaires, qui en marquent les véritables longueurs depuis les lignes de station. Si l’on joint par des lignes les extrémités de ces perpendiculaires, elles donneront le plan tel qu’il doit être.

Si au lieu de tourner autour du champ, on a pris tous les angles & les distances par une seule station, l’exemple ci-dessus montre évidemment le procédé que l’on doit tenir pour lever le plan, puisqu’il suffit en ce cas de tracer, suivant la maniere que l’on a déja décrite, les différens angles & les différentes distances que l’on a prises sur le terrein au même point de station ; de les tracer, dis-je, sur le papier, en les faisant partir du même point ou centre. En joignant par des lignes les extrémités de ces lignes ainsi déterminées, on aura le plan requis.

Si le terrein a été levé par deux stations, on doit d’abord, comme ci-dessus, tracer la ligne de station ; prendre ensuite les angles & les distances de chaque point de station sur le terrain, & les rapporter sur le plan aux points respectifs.

La méthode de lever des plans, quand on a pris les angles avec le graphometre, est un peu différente. Voyez Graphometre.

On ne fait point usage dans cette méthode des lignes paralleles, & au lieu de mettre constamment le rapporteur sur les méridiens ou sur des lignes paralleles aux méridiens, sa direction varie à chaque angle. La pratique en est telle qu’on peut la voir dans la description suivante.

Supposons qu’on ait levé le terrein ci-dessus avec le graphometre, & que l’on ait trouvé la quantité de chaque angle, soit tirée à volonté une ligne indéfinie, comme AK, fig. 31. & que l’on ait pris sur cette ligne la distance mesurée ; par exemple, 8 chaînes, 22 chaînons, ainsi qu’on l’a exécuté dans le premier exemple.

Maintenant, si la quantité de l’angle A a été trouvée de 140 degrés, on doit placer sur la ligne AK le diametre du rapporteur, son centre sur A ; & vis-à-vis le nombre des degrés, c’est-à-dire, vis-à-vis 140 faire une remarque ; tirer par-là au crayon une ligne indéterminée, & porter sur cette ligne avec l’échelle la longueur de la ligne AB.

On va de même au point B, sur lequel posant le centre du rapporteur, son diametre le long de la ligne AB, on rapporte l’angle B, en faisant une marque vis-à-vis le nombre de ses degrés, en tirant une ligne au crayon, & prenant sur cette ligne la distance BC, comme ci-dessus.

L’on procede ensuite au point C, en mettant le diametre du rapporteur sur BC, son centre sur C, rapportez l’angle C, & tirez la ligne CD ; en procédant ainsi par ordre à tous les angles & à tous les côtés, vous aurez le plan de tout le terrein ABC, &c. comme ci-dessus. Chambers. (E)

Plan, se prend aussi adjectivement : figure plane, en Géométrie, c’est une figure décrite sur un plan, ou qu’on peut supposer avoir été décrite sur un plan, c’est-à-dire, une figure telle que tous les points de sa circonférence sont dans un même plan. Voyez Figure, Plan.

L’angle plan est un angle contenu entre deux lignes droites ou courbes tracées sur un même plan. Voyez Angle.

On l’appelle ainsi pour le distinguer d’un angle solide, qui est formé par des lignes situées en différens plans. Voyez Angle solide.

Un triangle plan est un triangle renfermé entre trois lignes droites ; on l’appelle ainsi par opposition au triangle sphérique, qui est renfermé par des arcs de cercle, & dont tous les points ne sont pas dans le même plan. Voyez Triangle.

La Trigonométrie plane est la théorie des triangles plans, de leurs mesures, de leurs proportions, &c. Voyez Trigonométrie.

Verre ou miroir plan, en Optique, c’est un verre ou un miroir dont la surface est plate ou unie. Voyez les phénomenes & les loix des miroirs plans à l’article Miroir.

Les miroirs plans sont appellés vulgairement miroirs tout court.

Carte plane, en Navigation, c’est une carte marine où les méridiens & les paralleles sont représentés par des lignes droites paralleles, & où par conséquent les degrés de longitude sont les mêmes dans tous les paralleles de latitude. Voyez Carte réduite, Carte de Mercator, &c. & Navigation.

Navigation plane ; c’est l’art de calculer par le moyen d’une carte plane, ou bien de représenter sur une pareille carte les différens cas & les différentes circonstances du mouvement d’un vaisseau. Voyez Carte plane.

La navigation plane est fondée sur la supposition que la terre soit plate : quoique cette supposition soit manifestement fausse, néanmoins en plaçant sur une carte les lieux conformément à cette idée, si l’on divise un long voyage en un grand nombre de petits, on pourra, avec une pareille carte, naviguer assez juste. Voyez Navigation. Chambers. (E)

Nombre plan est celui qui peut résulter de la multiplication de deux nombres l’un par l’autre ; ainsi 20 est un nombre plan, produit par la multiplication de 5 par 4. Voyez Nombre.

Un lieu plan, en Géométrie, est un terme dont se servoient les anciens géometres pour exprimer un lieu géométrique, à la ligne droite ou au cercle par opposition à un lieu solide, qui étoit une parabole, une élipse ou une hyperbole. Voyez Lieu.

Probleme plan, en Mathématiques, c’est un problème qui ne peut être résolu géométriquement que par l’intersection d’une ligne droite & d’un cercle, ou par l’intersection des circonférences des deux cercles. Voyez Probleme, Equation & Construction. Chambers. (E)

Plan concave & Plan convexe, terme de Dioptrique, verre plan concave est celui dont une des surfaces est plane, & l’autre concave. Voyez Verre & Concave.

On suppose ici que la concavité soit sphérique, à moins que l’on ne dise expressément le contraire. Sur le foyer des verres plans concaves, Voyez Verre.

Plan convexe, verre plan convexe est celui dont une des surfaces est convexe, & l’autre plane. Voyez Convexe.

La convexité est supposée sphérique, à moins qu’on ne dise expressément le contraire. Sur le foyer de ces verres, voyez Verre, &c.

Le verre plan convexe ou plan concave, a sa surface plane tournée vers l’objet, & sa surface convexe ou concave vers l’œil ; & le verre convexe plan ou concave plan, a la surface plane tournée vers l’œil, & la surface convexe ou concave vers objet. (O)

Plan, (Archit. civile.) Un plan est la représentation de la position des corps solides, qui composent les parties d’un bâtiment pour en connoître la distribution.

On nomme plan géométral, celui dont les solides & les espaces sont représentés dans leur naturelle proportion.

Plan relevé, celui où l’élévation est élevée sur le géométral, en sorte que la distribution en est cachée.

Plan perspectif, celui qui est par dégradation selon les regles de la Perspective, pour rendre les plans intelligibles. On en marque les massifs d’un lavis noir, les sallies qui posent à terre se tracent par des lignes planes ; & celles qui sont supposées au-dessus, par des lignes ponctuées. On distingue les augmentations ou réparations à faire, d’une couleur différente de ce qui est construit ; & les plaintes ou lavis de chaque plan, se font plus clairs, à mesure que les étages s’élevent.

Plan régulier, est celui qui est compris par des figures parfaites, dont les angles & les côtés opposés sont égaux.

Plan irrégulier, celui qui est au contraire de biais ou de travers, en tout ou en partie par quelque sujétion.

Plan figuré, celui qui est hors des figures, & est composé de plusieurs retours avec enfoncemens quarrés ou circulaires, angles saillans, pans coupés, & autres figures capricieuses qui peuvent tomber dans l’imagination des architectes, & qu’ils mettent en œuvre pour se distinguer par des productions extraordinaires.

Plan en grand, est celui qui est tracé aussi grand que l’ouvrage, ou sur le terrein avec des lignes ou cordeaux attachés à des piques, pour en marquer les encoignures, les retours & les centres ; & pour faire la couverture des fondemens, ou sur une aire pour servir de parc aux appareilleurs, & planter avec exactitude le bâtiment.

On trouve dans les ouvrages d’architecture de Scamozzi, Palladio, Vignole, Goldman & Daviler, des modeles de plans d’architecture civile. (D. J)

Plan, (Archit. milit.) représentation du dessein ou trait fondamental d’un ouvrage de guerre, selon la longueur de ses lignes, selon les angles qu’elles forment, & selon les distances qui sont entr’elles, & qui déterminent les largeurs des fossés, & les épaisseurs des remparts & des parapets ; de sorte que le plan représente un ouvrage tel qu’il paroîtroit à rez-de-chaussée, s’il étoit coupé de niveau sur ses fondemens : mais il ne marque pas les hauteurs & les profondeurs des parties de l’ouvrage, ce qui est le propre du profil, qui aussi n’en marque pas les longueurs, chacun d’eux ayant cela de commun qu’ils figurent les largeurs & les épaisseurs de ces parties.

Un plan, en terme d’architecture militaire, est donc le circuit intérieur d’une forteresse accompagnée de ses ouvrages extérieurs. On sépare dans les plans les parties élevées des autres, par des ombres grisâtres. On donne un peu de rouge aux murailles, & un peu de jaune au terre-plein ; le talus extérieur se peint en verd foncé ; les parapets sont un peu plus clairs ; le glacis fort clair ; le terre-plein & le chemin-couvert brun, & l’eau du fossé bleuâtre. Lorsque le fossé est sec, on le teint en brun, & on le ponctue.

Plan, (Jardinage.) c’est le dessein sur le papier qu’on se propose d’exécuter, soit d’un bâtiment, soit d’un jardin, d’un bois, d’un potager & autres.

Plan, en Peinture, signifie généralement tous les lieux sur lesquels posent les objets qui entrent dans la composition d’un tableau. On dit cette figure, cet arbre, cette colonne, ne sont pas sur le même plan. Il faut qu’on distingue les plans sur lesquels posent les objets.

Plan à veue d’oiseau, terme de Dessein, c’est un objet, un dessein représenté tel qu’on le verroit si l’on étoit élevé comme cet oiseau : on dit dessiner une ville à veue d’oiseau. (D. J.)

Plan de jardin, (Dessein de Perspect.) plan qui est ordinairement relevé sur le plan géométral, & dont les arbres, le treillage & la broderie sont colorés de verd, les eaux de bleu, & la terre de gris, ou d’une couleur rougeâtre.