L’Encyclopédie/1re édition/ECHELLE

La Chapelle, d’Alembert, Rallier, Diderot, Rousseau, Boucher d’Argis

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 5, p. 248-254).

ECHELLE, s. f. en Mathématiques, consiste en une ou plusieurs lignes tirées sur du papier, du carton, du bois, du métal, ou toute autre matiere, divisées en parties égales ou inégales. Ces échelles sont fort utiles, quand on veut représenter en petit & dans leur juste proportion, les distances que l’on a prises sur le terrein.

Il y a des échelles de différente espece, appropriées à différens usages. Les principales sont.

L’échelle des parties égales, qui n’est autre chose qu’une ligne, telle que AB (Planche d’Arp. fig. 37.), divisée en un nombre quelconque de parties égales, par exemple 5 ou 10, ou davantage ; une de ces parties est ensuite subdivisée en 10, ou un plus grand nombre de parties égales plus petites.

Quand une ligne est ainsi divisée ; si une des plus grandes divisions représente 10 d’une mesure quelconque, par exemple 10 milles, 10 chaînes, 10 toises, 10 piés, ou 10 pouces, chacune des petites divisions que cette grande division contient, représentera un mille, une chaîne, une toise, un pié, ou un pouce.

L’usage de cette échelle est fort aisé à concevoir. Par exemple, si l’on veut représenter par son moyen une distance de 32 mille, ou de 32 perches, on prendra avec le compas l’intervalle de trois grandes divisions qui valent 30, & l’intervalle de deux petites divisions, pour les unités : en traçant cette longueur sur le papier, elle contiendra 32 parties de l’échelle, dont chacune est supposée valoir un mille ou une perche, ou &c. S’il s’agissoit de mesurer une ligne quelconque avec une échelle donnée, on prendroit la longueur de la ligne avec un compas ; & appliquant une des pointes de cet instrument sur une des grandes divisions de l’échelle, on remarqueroit où tombe l’autre pointe : alors le nombre des grandes & des petites divisions, qui se trouveroit renfermé entre les pointes du compas, donneroit le nombre de milles, de perches, &c.

Les échelles proportionnelles, que l’on appelle aussi logarithmiques, sont des nombres artificiels ou des logarithmes, placés sur des lignes, afin d’avoir l’avantage de pouvoir multiplier, diviser, &c, avec le compas. Voyez Logarithme.

En Géographie & en Architecture, une échelle est une ligne divisée en parties égales, & placée au-bas d’une carte, d’un dessein, ou d’un plan, pour servir de commune mesure à toutes les parties d’un bâtiment, ou bien, à toutes les distances & à tous les lieux d’une carte. Voyez Carte.

Dans les grandes cartes, comme celles des royaumes & des provinces, &c. l’échelle représente ordinairement des lieues, des milles, &c. c’est ce qui fait que l’on dit une échelle de lieues, une échelle de milles, &c.

Dans les cartes particulieres, comme celles d’une seigneurie, d’une ville, d’une ferme, &c. l’échelle représente ordinairement des perches, ou des toises subdivisées en piés.

Les échelles dont on fait ordinairement usage dans le Dessein, ou le plan d’un bâtiment, représentent des modules, des toises, des piés, des pouces, & autres mesures semblables.

Pour trouver sur une carte la distance entre deux villes, on en prend l’intervalle avec un compas ; & appliquant cet intervalle sur l’échelle de la carte, on jugera par le nombre de divisions qu’il renferme, de la distance des deux villes. Par la même méthode, on trouve la hauteur d’un étage dans un plan de bâtiment.

L’échelle de front, en Perspective, est une ligne droite parallele à la ligne horisontale, & divisée en parties égales, qui représentent des piés, des pouces, &c.

L’échelle fuyante est aussi une ligne droite verticale dans un dessein de perspective, & divisée en parties inégales, qui représentent des piés, des pouces, &c. Harris & Chambers. (E)

Pour en donner une idée plus précise, soit QN (fig. 15 de perspect.) une ligne horisontale divisée en parties égales QI, III, IIIII, IIIIV, &c. & soit tirée du point P, que je suppose être la place de l’œil, des lignes PI, PII, PIII, &c. qui coupent en 1, 2, 3, &c. la ligne verticale QR. Il est aisé de s’assûrer à l’œil, & de démontrer par la Géométrie, qu’en supposant la ligne horisontale QN divisée en parties égales, les parties correspondantes Q 1, 12, 23, &c. de la verticale iront toûjours en diminuant ; & que menant PO horisontale, la verticale QO sera l’échelle de toutes les parties de la ligne QN, quelque grande qu’on suppose cette derniere ligne : c’est ce qui a fait donner à l’échelle QR le nom d’échelle fuyante. Pour avoir le rapport d’une partie quelconque 23 de l’échelle fuyante à la partie correspondante IIIII, on menera la verticale II a, & on considérera que 23 est à II a comme P 2 est à PII, comme MQ est à MII, & que II a est à IIIII comme PM est à MIII ; donc 23 est à IIIII comme MQ multiplié par PM est à MII multiplié par MIII ; donc $\scriptstyle 23={\frac {IIIIL\ MQ.PM}{MIL\ MIII}}=$ à très-peu-près $\scriptstyle {\frac {IIIII.MQ.PM}{MII^{2}}}$, en supposant les parties IIIII très-petites par rapport à la ligne entiere. Donc les parties de l’échelle fuyante seront entr’elles à-peu-près dans la raison inverse des quarrés des parties correspondantes MII ; ou pour parler plus exactement, deux parties voisines 23, 34 de l’échelle fuyante, sont entr’elles comme MIV à MII, c’est-à-dire en raison inverse des parties MII, MIV. (O)

Echelles arithmétiques. Quoique nous ayons déjà traité cette matiere aux mots Arithmétique, Binaire, Calcul, Dactylonomie, Décimal, & autres, l’article suivant qui nous a été communiqué sur ce même objet nous paroît digne d’être donné au public. Il est de M. Rallier des Ourmes, conseiller d’honneur au présidial de Rennes, qui veut bien concourir à notre travail pour ce volume & les suivans, comme on le verra par plusieurs excellens articles qu’il nous a envoyés.

I. Echelle arithmétique, dit-il, est le nom qu’on donne à une progression géométrique par laquelle se regle la valeur relative des chiffres simples, ou l’accroissement graduel de valeur qu’ils tirent du rang qu’ils occupent entr’eux.

Elle est formée de puissances consécutives d’un nombre r, toûjours égal à celui des caracteres numériques ou chiffres (y compris 0), auquel on a trouvé bon de se fixer dans le système de numération établi ; & le premier & le plus petit terme en est $\scriptstyle r^{0}$.

II. Etant donc posée une telle progression, si l’on conçoit une suite de chiffres pris comme on voudra, qui lui corresponde terme à terme, on est convenu que la valeur relative de chacun d’eux seroit le produit de sa valeur propre ou absolue par la puissance de r qui lui correspond dans la progression. Cette idée heureuse nous met en état de représenter nettement & avec peu de caracteres les nombres les plus grands & incapables par leur grandeur même d’être saisis par notre imagination.

III. Comme les rangs des chiffres se comptent dans le même sens qu’est dirigé le cours des exposans potentiels dans la progression, & que le premier exposant est 0, il suit que l’exposant de la puissance est toûjours plus petit d’une unité que le rang du chiffre correspondant ; ensorte que nommant n le rang qu’occupe un chiffre a quelconque dans sa suite, l’expression de sa valeur relative est généralement $\scriptstyle a\times r^{n-1}$.

Si l’on cherche, par exemple, la valeur du 4 dans 437, relativement à notre échelle, où $\scriptstyle r=10$, & où les rangs se comptent de droite à gauche, on la trouvera $\scriptstyle =4\times 10^{3-1}=4\times 10^{2}=4\times 100=400$.

IV. Le nombre r est dit la racine de l’échelle ; & c’est de lui que l’échelle même prend son nom. $\scriptstyle r=10$ fait nommer denaire celle dont nous nous servons ; $\scriptstyle r=2$ donneroit l’échelle binaire ; $\scriptstyle r=7$ la septenaire, &c.

V. La progression décuple qui constitue notre échelle, est croissante de droite à gauche, & nous supposerons la même direction dans toutes les autres auxquelles nous pourrons la comparer ; mais elle pouvoit l’être tout aussi bien de gauche à droite. On eût pû même lui donner une direction verticale & la rendre croissante, soit de haut en-bas, soit de bas en-haut. En un mot l’arbitraire avoit lieu ici tout comme pour l’écriture : si nous dirigeons nos lignes de gauche à droite, d’autres peuples les ont dirigées & les dirigent encore de droite à gauche ; d’autres de bas en-haut ou de haut en-bas.

VI. r trop petit nous eût réduit à employer beaucoup de caracteres pour représenter un nombre assez médiocre. r trop grand nous eût obligé de multiplier les caracteres, au risque de surcharger la mémoire & aux dépens de la simplicité. $\scriptstyle r=10$ semble entre ces deux extrèmes tenir un juste milieu. Ce n’est pas que quelques savans n’ayent pensé qu’on eût pû mieux choisir. Voyez Binaire. Pour mettre le lecteur en état de juger de leur prétention, nous allons donner le moyen de comparer entr’elles les diverses échelles arithmétiques. Tout peut se réduire aux cinq ou même aux trois problèmes ci-après :

VII. Problème 1. L’expression a d’un nombre étant donnée dans l’échelle usuelle, trouver l’expression du même nombre dans une autre échelle quelconque, dont la racine b est aussi donnée.

Solution. Cherchez la plus haute puissance de b qui soit contenue dans a. Nommant n l’exposant de cette puissance, n+1 sera le nombre de chiffres de l’expression cherchée. Pour l’avoir, divisez a par bⁿ, le premier reste par $\scriptstyle b^{n-1}$, le second reste par $\scriptstyle b^{n-1}$, & ainsi de suite jusqu’à $\scriptstyle b^{n-n}$ ou $\scriptstyle b^{0}$ inclusivement. Tous ces quotiens pris en nombres entiers & écrits à la suite l’un de l’autre dans l’ordre qu’ils viendront, donneront l’expression cherchée dans l’échelle dont la racine est b ; ensorte que désignant le premier reste par $\scriptstyle {\overset {1}{r}}$, le second reste par $\scriptstyle {\overset {2}{r}}$, &c. la formule générale sera $\scriptstyle {\frac {a}{b^{n}}}.{\overset {1}{\frac {r}{b^{n-1}}}}.{\overset {2}{\frac {r}{b^{n-2}}}}...{\overset {n}{\frac {r}{b^{0}}}}$

Exemple. Un nombre exprimé par 4497 dans l’échelle usuelle, comment le sera-t-il dans la septenaire ?

	$\scriptstyle a=4497$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	Substituant dans la formule on aura
	$\scriptstyle b=7$		$\scriptstyle {\frac {4497}{2401}}$. $\scriptstyle {\frac {2096}{343}}$. $\scriptstyle {\frac {38}{49}}$. $\scriptstyle {\frac {38}{7}}$. $\scriptstyle {\frac {3}{1}}$ =
on trouve	n = 4		1.6.0.5.3 = 16503

Le même nombre ne pourroit être exprimé dans l’échelle binaire par moins de treize caracteres.

VIII. Problème 2. L’expression A d’un nombre étant donnée dans une échelle quelconque (autre que l’usuelle), dont la racine b est connue, trouver l’expression du même nombre dans l’échelle usuelle.

Solution. Soient les chiffres du nombre A représentés dans le même ordre par les indéterminées c. d. e. f..... D.

Nommant n+1 le nombre des chiffres de A, n sera (n°. 7.) l’exposant de la plus haute puissance de b qui y soit contenue. Cela posé, multipliez respectivement c par $\scriptstyle b^{n}$, d par $\scriptstyle b^{n-1}$, & ainsi de suite, jusqu’à $\scriptstyle b^{o}$ inclusivement, la somme de tous ces produits

sera dans l’échelle usuelle l’expression cherchée du nombre proposé, dont la formule générale sera $\scriptstyle cb^{n}+db^{n-1}+ab^{n-2}+...+Db^{0}$.

Exemple. Un nombre exprimé par 16053 dans l’échelle septenaire, comment le sera-t-il dans l’échelle usuelle ?

	$\scriptstyle A=16053$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\ \end{matrix}}\right\}$	substituant, on trouve
d’ou	$\scriptstyle x=4$		$\scriptstyle {1\times 7^{4}}+{6\times 7^{3}}+{5\times 7^{2}}+{\times 7^{4}}=$
	$\scriptstyle b=7$		$\scriptstyle 2401+2058+0+35+3=$
	$\scriptstyle c=1,d=6$, &c.		$\scriptstyle 4497$

IX. Problème 3. L’expression a d’un nombre étant donnée dans l’échelle usuelle, & l’expression A du même nombre dans une autre échelle, trouver la racine b de cette seconde échelle.

Solution. Par le problème précédent $\scriptstyle cb^{n}+db^{n-1}+ab^{n-2}+...+Db^{0}-a=0$ équation du degré n, laquelle étant résolue donnera la valeur de b. Voyez Equation.

Exemple. Le même nombre est exprimé par 4497 dans l’échelle usuelle, & par 16053 dans une autre échelle : quelle est la racine b de cette seconde échelle ?

	$\scriptstyle a=4497$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\ \end{matrix}}\right\}$	substituant, on aura après réduction
	$\scriptstyle A=16053$		$\scriptstyle {b^{4}}+{6b^{3}}+{5b}+{4494}=0$
d’ou	$\scriptstyle n=4$		à résoudre
	$\scriptstyle c=1,d=6$, &c.

Mais sans entier dans aucun calcul, il est aisé de voir que b est d’un côté < 10 (puisqu’il y a plus de chiffres dans A que dans a), & d’un autre côté > 6 (puisque 6 entre dans l’expression A) ; essayant donc les nombres entre 6 & 10, on trouve que 7 est celui qui convient, & qu’il résoud l’équation.

X. Problème 4. Etant données les racines b & r de deux échelles (toutes deux autres que l’usuelle) avec l’expression A d’un nombre dans la premiere, trouver l’expression du même nombre dans la seconde.

Problème 5. Etant données les expressions A & a du même nombre en deux échelles autres que l’usuelle, avec la racine b de la premiere, trouver la racine de la seconde.

Solution commune. Si dans l’un & dans l’autre cas on réduit (par le problème II.) l’expression A à l’échelle usuelle, le problème IV. ne sera plus que le premier, ni le problème V. que le troisieme.

Exemple pour le problème 4. Un nombre exprimé par 16053 dans l’échelle septenaire, comment le sera-t-il dans la duodénaire ?

16053 réduit (problème 2.) à l’échelle usuelle, devient 4497 ; puis cherchant (problème 1.) l’expression de 4497 dans l’échelle duodénaire, on trouve 2729.

Exemple pour le problème 5. Le même nombre qui est exprimé par 16053 dans l’échelle septenaire, l’est par 2729 dans une autre échelle : quelle est la racine de cette seconde échelle ?

16053 réduit à l’échelle usuelle, devient 4497 ; puis opérant (problème 3.) sur 4497 & sur 2729, on trouve 12 pour la racine de la seconde échelle.

* Echelle, (Anatomie.) il se dit des deux rampes ou contours du limaçon. Voyez Limaçon.

Echelle, c’est en Musique, le nom qu’on a donné à la succession diatonique de sept notes, ut, ré, mi, fa, sol, la, si ; parce que ces notes se trouvent rangées en maniere d’échelons sur les portées de la Musique.

Cette énumération de tous les sons de notre système rangés par ordre, que nous appellons échelle, les Grecs pour le leur l’appelloient diagramme. On peut voir au mot Système, le diagramme complet de toute la Musique ancienne.

S. Grégoire fut le premier qui changea les tétracordes des anciens en un eptacorde, ou succession de sept notes ; au bout desquelles commençant une autre octave, on trouve les mêmes sons répétés dans le même ordre. Cette découverte est très-belle ; & il est singulier que les Grecs qui voyoient fort bien les propriétés de l’octave, ayent crû malgré cela devoir rester attachés à leurs tétracordes. Grégoire exprima ces sept notes avec les sept premieres lettres de l’alphabet latin ; Guy Aretin donna d’autres noms aux six premieres : mais il négligea d’en donner un à la septieme note, qu’en France nous avons depuis appellée si, & qui n’a point encore d’autre nom que b chez la plûpart des peuples de l’Europe. Voyez Gamme.

Il ne faut pas croire que les rapports des tons & semi tons dont l’échelle est composée, soient des choses arbitraires, & qu’on eût pû par d’autres divisions donner aux sons de cette échelle un ordre & des rapports différens, sans diminuer la perfection du système. Notre système est le meilleur, parce qu’il est engendré par les consonnances & par les différences qui sont entr’elles. « Que l’on ait entendu plusieurs fois, dit M. Sauveur, l’accord de la quinte & celui de la quarte, on est porté naturellement à imaginer la différence qui est entre eux ; elle s’unit & se lie avec eux dans notre esprit, & participe à leur agrément : voilà le ton majeur. Il en va de même du ton mineur, qui est la différence de la tierce mineure à la quarte, & du semi-ton majeur qui est celle de la même quarte à la tierce majeure ». Or le ton majeur, le ton mineur, & le semi-ton majeur, voilà les degrés diatoniques dont notre échelle est composée selon les rapports suivans.

ton majeur.

ton mineur.

semi- ton majeur.

ton majeur.

ton mineur.

ton majeur.

semi- ton majeur.

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

Ut,

ré,

mi,

fa,

sol,

la,

si,

ut.

$\scriptstyle {\frac {8}{9}}$

$\scriptstyle {\frac {9}{10}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

$\scriptstyle {\frac {8}{9}}$

$\scriptstyle {\frac {9}{10}}$

$\scriptstyle {\frac {8}{9}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

Pour servir de preuve à ce calcul, il ne faut que composer tous ces rapports, & l’on trouvera le rapport total en raison double, c’est-à-dire, comme un est à deux : ce qui est en effet le rapport exact des deux termes extrèmes, ou de l’ut à son octave.

L’échelle dont nous venons de parler, est celle qu’on nomme naturelle ou diatonique ; mais les modernes divisant ses degrés en d’autres intervalles plus petits, en ont tiré une autre échelle qu’ils ont appellée échelle semi-tonique ou chromatique ; parce qu’elle procede par semi-tons.

Pour former cette échelle, on n’a fait que partager en deux intervalles égaux chacun des cinq tons entiers de l’octave ; ce qui, avec les deux semi-tons qui s’y trouvoient déjà, fait une succession de douze semi-tons sur treize, d’une octave à l’autre.

L’usage de cette échelle est de donner les moyens de moduler sur telle note qu’on veut choisir pour fondamentale, & de pouvoir faire sur cette note un intervalle quelconque. Tant qu’on s’est contenté d’établir pour tonique une note de la gamme à volonté, sans s’embarrasser si les sons par lesquels devoit passer la modulation, étoient avec cette note dans les rapports convenables, l’échelle semi-tonique étoit peu nécessaire ; quelque fa dièse, quelque si bémol, composoient tout ce qu’on appelloit les feintes d. la Musique : c’étoient seulement deux touches à ajoûter au clavier diatonique. Mais depuis qu’on a crû sentir la nécessité d’établir entre les divers tons une similitude parfaite, il a fallu trouver des moyens de transporter les mêmes chants & les mêmes intervalles, plus haut & plus bas, selon le ton qu’on choisissoit. L’échelle chromatique est donc devenue d’une nécessité indispensable, & c’est par son moyen qu’on porte un chant sur tel degré du clavier que l’on veut choisir, & qu’on le rend exactement, sur cette nouvelle position, tel qu’il peut avoir été imaginé sur une autre.

Ces cinq sons ajoûtés ne forment pas dans la Musique de nouveaux degrés : mais ils se marquent tous sur le degré le plus voisin par un bémol, si ce degré est plus haut ; par un dièse, s’il est plus bas ; & la note prend toûjours le nom du degré où elle est placée. Voyez Bémol & Dièse.

Pour assigner maintenant les rapports de ces nouveaux intervalles, il faut savoir que les deux parties ou semi-tons qui composent le ton majeur, sont dans les rapports de 15 à 16, & de 128 à 135 ; & que les deux qui composent aussi le ton mineur, sont dans les rapports de 15 à 16, & de 24 à 25 : de sorte qu’en divisant toute l’octave selon l’échelle semi-tonique, on en a tous les termes dans les rapports suivans.

semi- ton majeur.

maxime.

majeur.

mineur.

majeur.

maxime.

majeur.

majeur.

mineur.

majeur.

maxime.

majeur.

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

$\overbrace {{\begin{matrix}&\end{matrix}}{\begin{matrix}&\end{matrix}}}$

Ut,

ut♯,

ré,

mi♭,

mi,

fa,

fa♯,

sol,

sol♯,

la,

si♭,

si,

ut.

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

$\scriptstyle {\frac {128}{135}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

$\scriptstyle {\frac {24}{25}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

$\scriptstyle {\frac {128}{135}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

$\scriptstyle {\frac {24}{25}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

$\scriptstyle {\frac {128}{135}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

Il y a encore deux autres especes d’échelle semi-tonique, qui viennent de deux autres manieres de diviser l’octave par semi-tons.

La premiere se fait en prenant une moyenne arithmétique ou harmonique entre les deux termes du ton majeur, & un autre entre ceux du ton mineur : ce qui divise l’un & l’autre ton en deux semi-tons presque égaux. Ainsi le ton majeur 8 9 est divisé en 16 17, 17 18 arithmétiquement, les nombres représentant les longueurs des cordes : mais quand ils représentent les vibrations, les longueurs des cordes sont réciproques, & en proportion harmoniques, comme $\scriptstyle 1~{\frac {16}{17}}~{\frac {8}{9}}$ ; ce qui met le semi-ton majeur $\scriptstyle {\frac {16}{17}}$ au grave, & le mineur $\scriptstyle {\frac {17}{18}}$ à l’aigu, selon la propriété de la division harmonique. De la même maniere, le ton mineur 9 10 se divise arithmétiquement en deux semi-tons 18 19 & 19 20, ou réciproquement $\scriptstyle 1~{\frac {18}{19}}~{\frac {19}{20}}$ : mais cette derniere division n’est pas harmonique.

Toute l’octave ainsi calculée, donne les rapports suivans.

Ut,

ut ♯,

ré,

mi ♭,

mi,

fa,

fa ♯,

sol,

sol ♯,

la,

si ♭,

si,

ut,

$\scriptstyle {\frac {16}{17}}$

$\scriptstyle {\frac {17}{18}}$

$\scriptstyle {\frac {18}{19}}$

$\scriptstyle {\frac {19}{20}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

$\scriptstyle {\frac {16}{17}}$

$\scriptstyle {\frac {17}{18}}$

$\scriptstyle {\frac {18}{19}}$

$\scriptstyle {\frac {19}{20}}$

$\scriptstyle {\frac {16}{17}}$

$\scriptstyle {\frac {17}{18}}$

$\scriptstyle {\frac {15}{16}}$

M. Salmon rapporte dans les transactions philosophiques, qu’il a fait en présence de la société royale, une expérience de cette échelle sur des cordes divisées exactement selon ces proportions, & qu’elles furent parfaitement d’accord avec d’autres instrumens, touchés par les meilleures mains. M. Malcolm ajoûte qu’ayant calculé & comparé ces rapports, il en trouva un plus grand nombre de faux dans cette échelle, que dans la précédente : mais que les erreurs étoient considérablement plus petites ; ce qui fait compensation.

Enfin l’autre échelle semi-tonique est celle des Aristoxéniens, dont le P. Mersenne a traité fort au long, & que M. Rameau a tenté de renouveller dans ces derniers tems. Elle consiste à diviser géométriquement l’octave par onze moyennes proportionnelles en douze semi-tons, parfaitement égaux. Comme les rapports n’en sont pas rationels, nous ne donnerons point ici ces rapports, qu’on ne peut exprimer que par la formule même, ou par les logarithmes des termes de la progression entre les extrèmes 1 & 2. Voyez Tempérament. (S)

L’échelle diatonique des anciens n’étoit pas disposée de la même maniere que la nôtre ; elle procédoit ainsi, si ut ré mi fa sol la : d’où l’on voit 1°. qu’elle commençoit par un demi-ton, & par la note sensible de la tonique ut, & qu’elle n’alloit pas jusqu’à l’octave : 2°. qu’elle étoit composée de deux tétracordes conjoints si ut ré mi, mi fa sol la, & parfaitement semblables. Ces tétracordes s’appellent conjoints, parce qu’ils sont joints par la note mi, qui leur est commune ; de plus, ils sont semblables, parce que la basse fondamentale la plus simple du premier est sol ut sol ut, & que celle du second est ut fa ut fa, qui procede précisément de même par intervalles de quintes ; d’où il s’ensuit que la progression des sons mi fa sol la, est précisément la même que celle des sons si ut ré mi, ensorte que de mi à fa, il y a même rapport que de si à ut, de fa à sol, que de ut à ré, &c. 3°. on voit de plus pourquoi cette échelle n’enferme que sept tons ; car pour qu’elle allât jusqu’au si, il faudroit que ce si pût avoir sol pour basse fondamentale, ce sol étant sa seule basse naturelle. Or le la précédent a pour basse fondamentale fa : on auroit donc fa sol de suite diatoniquement à la basse fondamentale, ce qui est contre les regles de cette basse (voyez Basse fondamentale, Liaison, &c. voy. aussi l’art. Proslambanomene) : 4°. on voit enfin que dans cette échelle, la du second tétracorde est tierce de fa sa basse, comme mi du premier tétracorde l’est d’ut sa basse : 5°. enfin, on trouvera facilement par le calcul, suivant les méthodes connues & pratiquées ci-dessus, que du ré au la la quinte n’est pas parfaitement juste, mais qu’elle est altérée d’un comma (voyez ce mot) ; & que du ré au fa, la tierce est altérée de même.

Il est singulier que les Grecs, qui paroissent n’avoir eu aucune connoissance développée de la basse fondamentale, l’ayent dévinée implicitement, pour ainsi dire, en formant leur système diatonique d’une maniere si simple & si conforme à la progression la plus naturelle & la moins composée de cette basse. On va voir que notre échelle est plus composée & moins exacte. 1°. Il faut l’arranger ainsi, ut ré mi fa sol, sol la si ut, & lui donner pour sa basse fondamentale la plus simple ut sol ut fa ut, sol ré sol ut. On voit déjà que cette basse est plus composée & moins simple que la précédente, puisqu’elle a un son ré de plus, & qu’outre cela elle est de neuf sons en tout. 2°. Le la, dans l’échelle diatonique, est quinte du ré ; & on trouvera que ce la ne fait pas avec fa une tierce majeure juste, ni avec ut une tierce mineure juste, ni une quarte juste avec mi, & que la tierce mineure de ré à fa est altérée aussi. Voilà donc quatre intervalles altérés ici ; au lieu que dans l’échelle des Grecs, il n’y en a que deux. Voyez sur cela les ouvrages de M. Rameau, entr’autres sa démonstration du principe de l’harmonie, le rapport des commissaires de l’académie imprimé à la suite, & mes élémens de musique. Dans l’échelle ut ré mi fa sol la si ut, les deux tétracordes ut ré mi fa, sol la si ut, sont disjoints, parce qu’ils n’ont aucun son commun. De plus, ces deux tétracordes, ou plûtôt les deux parties ut ré mi fa sol, sol la si ut, de l’échelle moderne, sont réellement dans deux modes différens ; le premier dans celui d’ut, le second dans celui du sol (voy. Mode), au lieu que les deux tétracordes si ut ré mi, mi fa sol la, de l’échelle ancienne sont tous deux dans le mode d’ut.

En ne répetant point le son sol dans notre gamme, on peut lui donner cette basse fondamentale ut sol ut fa ut ré sol ut, dans laquelle le second ré & le second sol porteront accord de septieme (voyez Double emploi) ; ainsi la basse ne sera point simplifiée par-là, excepté peut-être en ce que l’échelle entiere sera alors dans le même mode.

Quand l’échelle diatonique descend en cette sorte, ut si la sol fa mi ré ut, la basse fondamentale n’est point la même qu’en montant ; elle est alors ut sol ré sol ut sol ut, dans laquelle le second sol porte accord de septieme, & répond à la fois aux deux notes consécutives sol fa de l’échelle.

Nous n’avons parlé jusqu’ici que de l’échelle diatonique du mode majeur. On peut faire des raisonnemens analogues sur celle du mode mineur, & en remarquer les propriétés. Voyez Mode, Gamme, &c. Voyez aussi mes élémens de musique. (O)

Echelle, (Jurisprud.) est une espece de pilori ou carcan, & un signe ou marque extérieure de justice, apposé dans une place, carrefour, ou autre lieu public.

Le terme d’échelle doit être plus ancien & plus général que celui de pilori ; car la premiere échelle ou poteau tournant appellé pilori, est celui de Paris aux halles, qui fut ainsi nommé par corruption de puits lorri, parce qu’il y avoit autrefois dans ce lieu le puits d’un nommé Lorri. On a depuis appellé piloris les autres poteaux ou carcans semblables, & ce terme est souvent confondu avec celui d’échelle.

Bacquet, Loisel, & Despeisses font cependant une différence entre pilori & échelle, non-seulement quant à la forme, mais quant au droit. Ils prétendent qu’un seigneur haut-justicier ne peut avoir pilori dans une ville où le roi en a un ; qu’en ce cas le seigneur doit se contenter d’avoir une échelle ou carcan comme on en voit à Paris, & ainsi que l’observe l’auteur du grand coûtumier, tit. des droits appartenans au roi ; mais je crois plûtôt que les seigneurs se sont tenus à l’ancien usage, & à ce qu’il y avoit de plus simple.

Il y a ordinairement au haut de l’échelle, de même qu’au pilori, deux ais ou planches jointes ensemble, qui se séparent & se rapprochent quand on veut, & dans la jonction desquelles il y a des trous pour passer le cou, les mains, & quelquefois aussi pour les piés des criminels, que l’on fait monter au haut de l’échelle afin de les donner en spectacle au peuple, & de les couvrir de confusion, & de leur faire encourir l’infamie de droit. Les criminels étoient aussi quelquefois fustigés au haut de l’échelle, ou punis de quelque autre peine corporelle, mais non capitale.

On confond quelquefois l’échelle avec la potence ou gibet, parce que les criminels y montent par une échelle : mais ici il s’agit des échelles qui servent seulement pour les peines non capitales ; au lieu que la potence ou gibet, & les fourches patibulaires, servent pour les exécutions à mort.

On dit à la vérité quelquefois échelle patibulaire, mais ce dernier terme doit être pris dans le sens général de patibulum, qui signifie tout poteau où on attache les criminels.

Les échelles, piloris, carcans ou poteaux sont placés dans les villes & bourgs, au lieu que les gibets & fourches patibulaires sont communément placés hors l’enceinte des villes & bourgs ; ce qui vient de l’ancien usage, suivant lequel on n’exécutoit point à mort dans les villes & bourgs, au lieu que les peines non capitales s’exécutoient dans les villes & bourgs pour l’exemple. Présentement on exécute à mort dans les villes & bourgs, mais les criminels n’y restent pas long-tems exposés ; on les transporte ensuite aux gibets & fourches patibulaires, ou autres lieux hors des villes & bourgs, & les échafauds & autres instrumens patibulaires ne sont dressés que lorsqu’il s’agit de faire quelque exécution, au lieu que les échelles, piloris, carcans ou poteaux sont dressés en tout tems ; il y a néanmoins quelques villes où il y a aussi des potences & échafauds toûjours dressés, comme en Bretagne ; il y en a aussi à Aix en Provence, & il y en avoit autrefois à Dijon.

On regarde communément les échelles, piloris, carcans ou poteaux comme un signe de haute justice, ce qui est apparemment fondé sur ce que quelques coûtumes, telles qu’Auxerre, Nevers, Troyes, & Senlis, disent que le haut justicier peut avoir pilori ou échelle, ou qu’il peut pilorier, escheller, c’est-à-dire faire monter les coupables à l’échelle.

Mais comme celui qui a le plus, a aussi le moins, & que le seigneur haut justicier a aussi ordinairement les droits de moyenne & basse justice, le droit de pilori ou échelle, peut faire partie des droits appartenans au seigneur haut, moyen, & bas justicier, sans que ce soit un droit de haute justice ; cela peut lui appartenir à cause de la moyenne justice.

En effet, il y a en France quelques lieux où les moyens justiciers ont droit d’échelle ou pilori, comme le dit Ragueau en son glossaire au mot pilier & carcan ; Roguet, dans son commentaire sur la coûtume du comté de Bourgogne, dit même qu’en sa province le carcan, qui est au fond la même chose que l’echelle, est un signe de la basse justice ; & dans quelques-unes des coûtumes même où l’échelle, pilori ou carcan semblent affectés au haut justicier, on voit qu’il est d’usage d’exposer au carcan les coupables de vols de fruits, ce qui est certainement un cas de moyenne justice, comme le remarque de Laistre sur l’article 2. de la coûtume de Sens.

Aussi M. Bouhier, sur la coûtume du duché de Bourgogne, ch. lj, n. 66, tient-il que dans sa province le moyen justicier ayant la connoissance des contraventions aux réglemens de police, il peut punir les contrevenans en les faisant mettre à l’échelle ou carcan ; & tel est aussi l’avis de Chopin sur Anjou, lib. II. part. II. cap. j. tit. jv. n. 7. in fine.

Coquille, sur l’article 15 de la coûtume de Nivernois, remarque que l’on use d’échelles, seulement dans les jurisdictions temporelles ; il en donne pour exemple l’échelle du Temple à Paris & celle de S. Martin-des-Champs qui subsistoit aussi de son tems, & il ajoûte que l’on en use aussi en jurisdiction ecclésiastique, pour punir & rendre infames publiquement ceux qui sont convaincus d’avoir à leur escient épousé deux femmes en même tems.

Billon, sur la coûtume d’Auxerre, art. 1, prétend même que l’échelle est une espece de pilori ou carcan, qui est particuliere pour les seigneurs hauts justiciers d’église ; il se fonde sur ce qu’il y en a une à Paris, qui sert de signe patibulaire pour la justice du Temple.

Il est vrai que les juges ecclésiastiques ne pouvant condamner à mort, n’ont jamais eu de fourches patibulaires pour signe de leur haute justice, & que les ecclésiastiques qui avoient droit de haute justice, avoient chacun, en signe de cette justice, une échelle dressée dans quelque carrefour : non-seulement les juges temporels des ecclésiastiques usoient de ces échelles, mais même les officiaux, comme nous le dirons dans un moment, en parlant des différentes échelles qui étoient autrefois à Paris ; mais il ne s’ensuit pas de-là que l’échelle fût un signe de justice qui fût particulier pour les jurisdictions ecclésiastiques, ni pour les justices temporelles des ecclésiastiques ; & en effet, Sauval estima que la ville avoit autrefois une échelle à Paris ; & sans nous arrêter à cette conjecture, il suffit de faire attention que les différentes échelles qui étoient autrefois à Paris n’appartenoient pas à des jurisdictions ecclésiastiques, mais à des justices temporelles appartenantes à des ecclésiastiques, ce qui est fort différent : d’ailleurs toutes les coûtumes qui parlent d’échelle, attribuent ce droit aux seigneurs hauts justiciers en général, & non pas en particulier aux ecclésiastiques ; la coûtume d’Auxerre entr’autres dit que celui qui a haute justice peut pilorier, écheller, &c. ainsi je m’étonne que Billon en commentant cet article ait avancé que le droit d’échelle étoit particulier pour les juges des ecclésiastiques.

Les échelles étoient quelquefois appellées échelles à mitres ou à mitrer ; Papon se sert de cette expression, liv. I. de ses arréts, tit. jv. arrêt 7, ce qui vient de ce qu’autrefois il étoit d’usage de mettre à ceux que l’on faisoit monter au haut de l’échelle une mitre de papier sur la tête : il ne faut pas croire que ce fût pour faire allusion à la mitre des évêques, & encore moins pour la tourner en dérision. Cet usage pouvoit venir de deux causes différentes à la vérité, mais qui ont néanmoins quelque relation l’une à l’autre.

La premiere est qu’anciennement & jusque dans le xj. siecle, la mitre étoit la coiffure des nobles ; elle n’a commencé à être regardée comme un ornement épiscopal que vers l’an 1000 ; ainsi lorsque l’on mettoit une mitre de papier sur la tête de celui que l’on faisoit monter au haut de l’échelle, c’étoit pour le tourner en dérision en lui mettant une mitre ridicule.

L’autre cause de cet usage pouvoit être, qu’anciennement le bourreau, suivant les mœurs des Germains, dont les Francs tiroient leur origine, n’étant point infame, portoit la mitre comme les nobles, ainsi que cela se pratique encore au pays des Vosges ; & c’est sans doute de-là qu’en Normandie le peuple le nomme encore mitre, ensorte qu’il y a apparence que quand on mettoit une mitre sur la tête à celui qui montoit au haut de l’échelle, c’étoit le bourreau qui lui mettoit son bonnet sur la tête, ou du moins un semblable fait de papier, pour le couvrir de confusion ; cette sorte de bonnet ayant apparemment cessé dès-lors d’être la coiffure des nobles, & la mitre des ecclésiastiques ayant été distinguée dans sa forme de cet ancien habillement de tête.

Quand l’échelle ou autre signe de justice est totalement ruiné, le seigneur le peut faire rétablir sans permission du roi, pourvû que ce soit dans l’année ; car après l’an il faut des lettres patentes : elles ne seroient pourtant pas nécessaires s’il ne s’agissoit que d’une simple réparation.

Il y avoit autrefois plusieurs de ces échelles dans la ville de Paris.

L’évêque de Paris avoit la sienne dans le parvis, c’étoit-là que l’on exposoit ceux qui étoient condamnés à faire amende honorable ; on leur faisoit en cet endroit une exhortation, & on leur mettoit la mitre, ce qui s’appelloit précher & mitrer un criminel. En 1344 Henri de Malhestret gentilhomme breton, diacre & maître des requêtes, criminel de lése-majesté, fut mis par trois fois à cette échelle du parvis ; & quoique l’official eût défendu sous peine d’excommunication de rien jetter à ce criminel, le peuple ne laissa pas de le couvrir de boue & d’ordures, & même de le blesser cruellement d’un coup de pierre : après quoi il fut remené en prison, où, comme on disoit alors, il fut mis en l’oubliette ; & étant mort peu de tems après, son corps fut porté au parvis, comme il se pratiquoit à l’égard de tous ceux que l’official condamnoit au dernier supplice. On voit par-là que l’échelle du parvis étoit le signe de justice de l’officialité ; mais la jurisprudence est changée à cet égard depuis long-tems, & est revenue aux vrais principes, suivant lesquels le juge d’église ne peut condamner à l’échelle ou pilori, ni à aucune amende honorable ou réparation, hors de son auditoire. Voyez le traité de la jurisdiction ecclésiastique, par Ducasse, seconde partie, ch. xij.

Hugues Aubriot prevôt de Paris, accusé de judaïsme, & d’avoir fait beaucoup d’injures à l’université, fit en 1381 amende honorable sur un échafaud dressé à côté de l’échelle du parvis.

Un sergent du châtelet y fut prêché & mitré en 1406, pour avoir mal parlé de la foi ; & ensuite il fut brûlé au marché aux pourceaux.

Nicolas Dorgemont chanoine de Notre-Dame, fut mis en 1416 à cette même échelle, pour avoir voulu tuer le roi de Sicile & autres seigneurs.

On y prêcha en 1430 deux femmes foles, c’est-à-dire dissolues, qui étoient hérétiques.

Dubreuil assûre que dans sa jeunesse on y exposa un prêtre ayant écrit au dos en lettres majuscules, ces mots, propter fornicationem.

Quoique cette échelle soit depuis long-tems detruite, on ne laisse pas de mener toûjours au parvis, où elle étoit, la plûpart des criminels condamnés à faire amende honorable.

Le chapitre de Notre-Dame avoit son échelle au port S. Landry, laquelle fut rompue & emportée en 1410 on informa contre ceux qui étoient soupçonnés de ce fait.

L’abbé de sainte Genevieve avoit aussi la sienne, à laquelle en 1301 fut mise une maquerelle qui juroit vilainement.

Philippe-le-Long permit en 1320 aux bourgeois qui demeuroient près de l’église de S. Gervais, d’ériger une croix à la porte Baudets, à la place de l’échelle du prieuré de S. Eloi.

L’échelle du prieuré de S. Martin étoit entre la rue au Maire & la porte de l’église de S. Martin, qui étoit autrefois de ce côté ; Coquille en fait mention sur l’art. xv. du ch. j. de la coûtume de Nivernois, & en parle comme d’une chose qui subsistoit encore de son tems, c’est-à-dire vers le milieu du xvj. siecle.

Il est à présumer que la ville, les abbés de S. Magloire & de S. Victor, le prieur de S. Lazare, & les autres seigneurs hauts-justiciers, avoient aussi chacun leur échelle.

Il n’en reste plus présentement dans Paris qu’une seule, qui est celle de la justice du temple, & qui a donné le nom à la rue où elle est posée. Pendant la minorité de Louis XIV. elle fut brûlée par de jeunes seigneurs qu’on appelloit les petits-maitres, & fut aussi-tôt rétablie. Elle étoit autrefois de l’autre côté de la rue de l’Echelle-du-temple, & avoit beaucoup plus de largeur ; mais comme elle causoit de l’embarras, elle fut diminuée en 1667, & placée où elle est présentement.

Billon sur l’art. 1. de la coûtume d’Auxerre, dit qu’il y a trois trous au haut de cette échelle, pour y passer la tête du criminel ; & l’auteur du journal des audiences, dans un arrêt du 9 Avril 1709, prétend que l’origine de cette échelle vient de ce que la justice du temple ne pouvoit avoir de gibet dans Paris, ni y exécuter à mort, à cause que le roi y a haute-justice ; mais ce principe ne paroît pas juste, car ceux qui ont haute-justice dans Paris, peuvent condamner & faire exécuter à mort : & à l’égard de l’échelle, si l’on a pris pour eux ce signe de justice, c’est parce qu’il n’est pas d’usage ici de mettre des fourches patibulaires dans des villes. Voyez le président Bouhier sur la coûtume de Bourgogne, ch. lj. n. 64 & suiv. (A)

Tour de l’échelle, voyez Tour.

Echelle, (Marine.) on donne ce nom aux ports de la mer Méditerranée qui sont sous la domination de l’empire des Turcs, où les marchands François, Anglois, Hollandois & Génois, &c. vont commercer, & où ils entretiennent des consuls, facteurs, & commissionnaires. Ces lieux sont connus sous le nom d’échelles de Levant : les principales sont

Smirne.	Tripoli de Syrie.
Alexandrette.	Tunis.
Alep.	Alger.
Seyde.	Naples de Romanie.
Chypre.	La Morée.
Constantinople.	L’île de Négrepont.
Alexandrie.	L’île de Candie.
Le Caire.	Durazzo.
Le Milles.	Scio, & autres îles de l’Archipel.
Naxis & Paros.
Miconi.

Echelle, en terme de Marine, se dit en général des endroits faits pour monter & descendre dans un vaisseau.

Echelle de pouppe, c’est une échelle de corde qui est pendue à l’arriere du vaisseau, pour la commodité des gens de la chaloupe.

Echelles d’entre deux ponts, ce sont celles par où l’on monte & l’on descend d’un pont à l’autre.

Echelles du milieu, voyez leur position auprès du grand mât, Pl. IV. fig. 1. n. 112 & 158. voyez aussi Pl. V. fig. 1. n. 158 & 112.

Echelle d’artimon, voyez Pl. IV. fig. 1. n. 111.

Au fond de cale des vaisseaux il y a quelquefois une poutre debout, qui monte jusqu’au pont, qui a des entailles ; l’on met à côté un cordage qu’on appelle tire-vieille, & cette piece de bois sert d’échelle.

Echelle, instrument très-utile & très-commun. Il est composé de deux longues perches, percées sur toute leur longueur à la distance de 6, 7, 8, 9, 10 pouces, d’un même nombre de trous, & à la même hauteur. Ces trous servent de mortoises à autant de bâtons paralleles qui servent de degrés, qu’on monte les uns après les autres quand on veut atteindre à quelque hauteur considérable. L’échelle est principalement à l’usage des Couvreurs : il y en a de toute espece & de toute grandeur. Celles de bibliotheque sont construites autrement ; au lieu de perches, ce sont des jumelles de bois ; & au lieu des bâtons paralleles, ce sont des planches qui forment des marches larges & plates.

Echelle de Rubans, en terme d’Aiguilletier, ce sont des rubans larges, ferrés à un bout d’un fer à clavier, & à l’autre d’un fer ordinaire. Voyez Fer à clavier. Les femmes s’en lacent en forme d’échelle, ce qui lui a donné ce nom.

Echelle simple et double, (Jardinage.) Voyez à l’art. Jardinage, la liste & la description des outils.

* Echelle d’Eau, ou Baille, (Pêche.) sur la Loire une échelle d’eau est la même chose qu’un trait de Seine dans la riviere de Seine : c’est une certaine étendue sur laquelle on a un droit de pêche exclusif.

Echelle de corde, (Plombier, Charpentier, Couvreur.) est une sorte d’échelle particuliere aux Plombiers. Ce n’est rien autre chose qu’un gros cable garni de nœuds de distance en distance, qui a un gros crochet de fer attaché à une de ses extrémités. On se sert de cette échelle pour aller couvrir & poser des plombs aux tours & aux clochers, où pour s’en servir on l’arrête avec son crochet au poinçon de la charpente de ces bâtimens. Un autre cordage armé aussi de son crochet par un bout, & qui de l’autre a une petite planche suspendue à deux cordes pour asseoir l’ouvrier, ou des sangles en forme de bretelles au même usage, sert à le guinder & à l’arrêter le long des nœuds du grand cordage, qui tiennent lieu d’échelon à cette échelle.

Echelles, (les) Géogr. mod. ville de Savoie, à deux lieues de la grande Chartreuse. Long. 23. 25. lat. 45. 20.