Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2/Texte entier

Collectif

Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2

Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813 (p. --537).

journalCorrespondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2CollectifGravures de M. Girard ; sculptures de L. StevignyJ. Klostermann, libraire de l’École impériale Polytechnique1813ParisCHachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvuHachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/7--537

CORRESPONDANCE SUR L’ÉCOLE

IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE.

IMPRIMERIE DE P. GUEFFIER.

CORRESPONDANCE

SUR L’ÉCOLE

IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,

À L’USAGE DES ÉLÈVES DE CETTE ÉCOLE ;

Par M. HACHETTE,

Professeur à l’École impériale Polytechnique, et Professeur-Adjoint à la Faculté des Sciences de Paris.

Janvier 1809. Mars 1813.

TOME SECOND.

À PARIS,

Chez J. KLOSTERMANN, Libraire de l’Ecole impériale Polytechnique.

1813.

ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE.

Janvier 1813.

Le nombre d’Elèves admis à l’Ecole Polytechnique, depuis sa création (année 1795), est de 2817. Ils ont été choisis parmi les candidats qui se sont présentés aux concours d’admission ; le nombre de ces candidats s’élève à 6555.

L’Ecole Polytechnique a fourni aux Services publics 1459 Officiers militaires et 409 Officiers civils ; à l’Administration publique, des Magistrats^[1] revêtus d’emplois importans ; à l’Institut, plusieurs Savans^[2] très-distingués. Un de ces derniers, M. Malus, enlevé par une mort prématurée, a laissé un nom qui sera toujours cité avec éloge dans l’histoire des sciences.

Un grand nombre d’autres Elèves suivent avec le plus grand succès la carrière de l’Instruction, des Arts,

et des Manufactures.

Etat des personnes qui composent le corps enseignant
de l’Ecole Polytechnique au 1^er. janvier 1813.

Analyse.

MM. Labey, Ampère, Poinsot.

Analyse appliquée à la mécanique.

MM. Prony, Poisson.

Géométrie descriptive ; analyse appliquée à la géométrie.

MM. Monge, Hachette, Arago.

Art militaire, Topographie.

Professeur, M. Duhays. — Chef de topographie, M. Clerc.

Architecture.

M. Durand.

Physique.

Professeur, M. Hassenfratz. – Répétiteur, M. Petit.

Chimie.

Professeurs, MM. Guyton-Morveau, Gay-Lussac, Thénard.

Répétiteurs, MM. Collin, Cluzel.

Dessin de la figure.

Professeur, M. Vincent. — Maîtres de dessin, MM. Mérimée, Lemire (J.), Lemire (A).

Littérature.

Professeur, M. Andrieux. — Bibliothécaire, M. Barruel.

Répétiteurs pour les sciences mathématiques.

MM. Reynaud, Binet (P.-A.), Binet (J.-P.-M.).

Adjoints, MM. Lesebure-de-Fourcy, Demarleau, De Stainville, Pommies.

Dessinateurs pour la géométrie descriptive, et ses applications.

MM. Girard, Gauché, Delaunay.

CORRESPONDANCE
SUR
L’ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,
Rédigée par M. Hachette.

N°. I^er. Janvier 1809. (2^e. volume.)

§. I^er
GÉOMÉTRIE.

Sur la Pyramide triangulaire.

Par M. Monge.

THÉORÊME I.

Le centre de gravité d’une pyramide triangulaire est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques^[3].

première démonstration.

Concevons la solidité de la pyramide divisée en une infinité de filets prismatiques dont les bases soient infiniment petites dans leurs deux dimensions, et dont la longueur finie soit parallèle à une arête quelconque de la pyramide ; tous ces filets seront terminés par les deux faces de la pyramide qui se coupent dans l’arête opposée. Cela posé, si par l’arête opposée, et par le milieu de la première, on mène un plan, ce plan coupera tous les filets en deux parties égales, comme il coupe en deux parties égales l’arête qui leur est parallèle ; il passera donc par le centre de gravité de chacun d’eux, et par conséquent par le centre de gravité de leur système, qui est la pyramide elle-même.

Par la même raison, si par la première arête et par le milieu de son opposée, on mène un second plan, ce plan passera aussi par le centre de gravité de la pyramide ; donc le centre de gravité sera dans l’intersection des deux plans ; mais chacun de ces plans passe par les milieux des deux arêtes opposées, donc leur intersection passe par ces deux points ; donc la droite menée par les milieux de deux arêtes opposées contient le centre de gravité de la pyramide, qui se trouve par conséquent à l’intersection commune des trois droites menées par les milieux des arêtes opposées.

Or, on sait que les trois droites menées par les milieux des arêtes opposées, sont les axes du parallélépipède circonscrit, et se coupent réciproquement dans leurs milieux. Donc le centre de gravité de la pyramide est au milieu de la droite qui joint les milieux des deux arêtes opposées quelconques. C. Q. F. D.

Dans cette démonstration, nous avons considéré les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées ; dans la sui vante nous ne considérerons qu’une seule d’entr’elles.

seconde démonstration.

Après avoir fait passer par une quelconque des arêtes de la pyramide un plan parallèle à l’arête opposée, concevons que ce plan se meuve parallèlement à lui-même jusqu’à ce qu’il vienne passer par l’arête opposée ; ce plan, dans chacune de sus positions successives, coupera la pyramide suivant un parallélogramme, car il coupera les deux faces contiguës à la première arête en deux droites qui seront parallèles à cette arête, et par conséquent parallèles entr’elles, et il coupera les deux autres faces qui sont contiguës à l’arête opposée en deux autres droites qui seront parallèles à cette seconde arête, et par conséquent parallèles entr’elles. De plus, tous les parallélogrammes obtenus de cette manière auront leurs côtés homologues parallèles entr’eux, et leurs angles correspondans égaux ; mais ils ne seront pas semblables, parce que le rapport de leurs cotés contigus ne sera pas le même ; c’est l’un de ces côtés qui devient nul quand le plan passe par une des arêtes, et c’est l’autre qui s’évanouit quand le plan passe par l’arête opposée.

Cela posé, concevons que le plan dans son mouvement ait divisé la solidité de la pyramide en une infinité de tranches parallélogrammiques d’égale épaisseur, puis menons un plan par l’une des deux arêtes et par le milieu de son opposée ; ce plan divisera chaque tranche en deux parties égales, parce qu’il pas sera par les milieux des côtés de cette tranche, parallèles à l’arête opposée ; il passera donc par le centre de gravite de chacune des tranches. Par la même raison, si par la seconde arête et par le milieu de la première on mène un second plan, ce plan coupera toutes les tranches en deux parties égales, et passera par le centre de gravité de chacune d’elles ; donc l’intersection de ces deux plans passera par les centres de gravité de chacune des tranches. Mais chacun de ces deux plans passe par les milieux des deux arêtes opposées ; leur intersection passe donc par ses deux points ; donc la droite menée par les milieux des deux arètes opposées passe par le centre de gravité de chacune des tranches parallèles à ces arêtes.

Actuellement, si parmi toutes les tranches on en considère deux quelconques qui soient à distances égales des deux arêtes opposées, leurs solidités seront égales entr’elles. En effet, ces deux tranches ayant même épaisseur, leurs solidités seront entr’elles comme les aires des parallelogrammes qui leur servent de bases ; et les parallelogrammes ayant leurs angles correspondans égaux, leurs aires seront entr’elles comme les produits de leurs côtés contigus ; ainsi les solidités des deux tranches seront entr’elles comme les produits des côtés contigus de leurs parallelogrammes. Or, ces deux produits sont égaux entr’eux : car en nommant $M$ , $N$ , les côtés contigus du parallelogramme de la première tranche, et $M'$ , $N'$ , les côtés correspondans de la seconde ; si l’on exprime par $A$ la longueur de la droite qui joint les milieux des arêtes opposées, et par $a$ la partie de celle droite comprise entre chacune de ses extrémités et celle des deux tranches qui en est plus voisine, on aura

	$M:M'::a:A-a$
	$N':N::a:A-a$
on aura donc	$M:M'::N':N,$
ce qui donne	$MN=M'N'.$

Ainsi deux tranches quelconques prises à égales distances des extrémités (ou du milieu de la droite qui joint les milieux des arêtes opposées, sont égales en solidité ; donc, le centre de gravité du système de ces deux tranches est au milieu de la droite qui passe par leurs centres de gravité particuliers ; donc il est au milieu de la droite qui joint les milieux des deux aréles opposées. Donc le centre de gravité du système de toutes les tranches, c’est-à-dire le centre de gravité de toute la pyramide, est au milieu de cette droite. C. Q. F. D.

Le théorème que nous venons de démontrer fournit la construction la plus simple du centre de gravité de la pyramide triangulaire, et doit être de quelqu’utilité dans les opérations relatives aux déblais et remblais.

C’est aussi ce théorème qui conduit le plus directement à la proposition suivante déjà connue, la distance du centre de gravité d’une pyramide triangulaire à un plan quelconque, est le quart de la somme des distances des sommets des quatre angles au même plan. Réciproquement, cette dernière proposition supposée connue, fournit une démonstration très — simple du théorème.

J’ajouterai ici quelques détails qui trouveroient difficilement place ailleurs.

Si par chacune des six arêtes d’une pyramide triangulaire quelconque, et par le milieu de l’arête opposée, on mène un plan, on aura six plans, qui passeront par le centre commun de gravité de la pyramide, du parallélépipède circonscrit et de la pyramide conjuguée^[4]. Chacun de ces plans sera diagonal par rapport au parallélépipède circonscrit, c’est-à-dire passera par deux arêtes parallèles opposées de ce parallélépipède, et ils rempliront la même fonction dans la pyramide conjuguée, c’est-à-dire que chacun d’eux passera par une des arêtes de cette seconde pyramide, et par le milieu de l’arête opposée.

Ces six plans se couperont les uns les autres en sept droites. Parmi ces plans, les trois qui passeront par les arêtes contiguës au sommet d’un même angle de la pyramide ou de la conjuguée, se couperont dans une même droite.

Ainsi, la pyramide étant désignée par les lettres	$A$ , $B$ , $C$ , $D$ ,
les trois plans qui passeront par les arêtes	$AB$ , $AC$ , $AD$ ,
se couperont dans une même droite ;
il en sera de même des plans menés par les arêtes	$BC$ , $BD$ , $BA$ ,
de ceux menés par les arêtes	$CD$ , $CA$ , $CB$ ,
et de ceux menés par les arêtes	$DA$ , $DB$ , $DC$ .

Chacune de ces quatre droites passera :

1°. Par le centre commun de gravité du parallélépipède et des deux pyramides conjuguées ;

2°. Par le sommet d’un des angles d’une des pyramides ;

3°. Par le centre de gravité de la face opposée à cet angle ; 4 °. Par le sommet opposé de la pyramide conjuguée ;

5°. Par le centre de gravité de la face opposée à cet angle, dans la pyramide conjuguée ;

6°. Par les centres de gravité des deux faces du noyau qu’elle traverse. Enfin, chacune d’elles sera une des diagonales du parallélépipède circonscrit.

Ceux des six plans qui seront menés par les arêtes opposées de la pyramide se couperont deux à deux dans trois droites, dont chacune passera :

1 °. Par le centre commun de gravité du parallélépipède, et des deux pyramides inscrites ;

2°. Par les centres de gravité, de deux faces parallèles du parallélépipède, et chacune d’elles sera une des trois diagonales de l’octaèdre, qui est le noyau commun aux deux pyramides conjuguées.

sur la solidité de la pyramide.

Théorême I.

En représentant par $A$ , $B$ , $C$ , les longueurs des trois arêtes d’un parallélépipède, contiguës au sommet d’un même angle, et par $a$ , $b$ , $c$ , les angles que forment entr’elles ces trois arêtes considérées deux à deux, on démontre facilement que la solidité du parallélépipède est exprimée par

$ABC{\sqrt {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a.\cos b.\cos c}}.$

Nous savons d’ailleurs que les trois arêtes $A$ , $B$ , $C$ , du parallélépipède sont respectivement égaies aux trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées de la pyramide inscrite, et que les trois angles que forment entr’elles ces trois droites, sont respectivement égaux aux trois angles $a$ , $b$ , $c$ , formés par les arêtes du parallélépipède. Cela donne lieu à la proposition suivante :

Théorême II.

Dans une pyramide triangulaire, si l’on représente par $A$ , $B$ , $C$ , les longueurs des trois droites menées par les milieux des arêtes opposées, et par $a$ , $b$ , $c$ , les angles que forment entr’elles ces trois droites considérées deux à deux, la solidité de la pyramide est exprimée par

${\frac {1}{3}}ABC{\sqrt {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a.\cos b.\cos c}}.$

où il faut remarquer que les six quantités $A$ , $B$ , $C$ , $a$ , $b$ , $c$ , sont communes aux deux pyramides conjuguées.

De même, en représentant par $A'$ , $B'$ , $C'$ , les trois distances des faces parallèles d’un parallélépipède, et par $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , les angles que font entr’elles les trois faces différentes prises deux à deux ; on démontre facilement que la solidité du parallélépipède est exprimée par

${\cfrac {A'B'C'}{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha .\cos \beta .\cos \gamma ;}}}$

or, les trois distances $A'$ , $B'$ , $C'$ , sont respectivement égales aux trois plus courtes distances des arêtes opposées de la pyramide inscrite, et les angles que forment entr’elles les droites sur les quelles se mesurent les plus courtes distances, sont respective ment égaux aux angles $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , formés par les faces du parallélépipède ; en observant que ces trois droites qui ne se rencontrent pas, ne font point entr’elles d’angles proprement dits, mais qu’il s’agit ici des angles que formeroient trois nouvelles droites menées par un même point, et respectivement parallèles aux trois premières ; on a donc encore la proposition suivante :

Théorême III.

Dans une pyramide triangulaire, si l’on représente par $A'$ , $B'$ , $C'$ , les longueurs des trois plus courtes distances des arêtes opposées, et par $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , les angles que formeroient entre elles trois droites menées par un même point respectivement parallèles à ces trois plus courtes distances, la solidité de la pyramide est exprimée par

${\cfrac {A'B'C'}{3{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha .\cos \beta .\cos \gamma }};}}$

où il faut remarquer que les six quantités $A'$ , $B'$ , $C'$ , $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , sont communes aux deux pyramides conjuguées.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Sur la Transformation des coordonnées^[5] ; par M. Hachette.

M. François, ancien élève de l’Ecole Polytechnique, capitaire au Corps du Génie, a donné, dans le 14^e. cahier du Journal de l’Ecole (page 182), un mémoire remarquable, et par la notation et par l’élégance des formules ; je me suis proposé d’arriver à ces mêmes formules par des considérations géométriques et d’éviter les opérations de calcul.

La notation de M. François consiste à représenter un angle de deux axes, par exemple, de l’axe des $x$ et de l’axe des $y$ , par une parenthèse qui renferme ces deux lettres ; ainsi ( $x$ , $y$ ) signifie, angle de l’axe des $x$ et de l’axe des $y$ ; ( $xy$ , $yz$ ) signifie, angle de deux plans, l’un $xy$ , mené par les axes des $x$ et $y$ , l’autre $yz$ mené par les axes des $y$ et $z$ ; enfin ( $x$ , $yz$ ) est l’angle d’un axe tel que celui des $x$ avec le plan $yz$ .

Cette notation étant adoptée, voici les formules de M. François, pour la transformation des coordonnées rectangulaires en d’autres coordonnées obliques.

$x$ , $y$ , $z$ , sont les coordonnées rectangulaires, et $x'$ , $y'$ , $z'$ , les nouvelles coordonnées obliques.

$({E}){\begin{cases}x=x'\cos(x',x)+y'\cos(y',x)+z'\cos(z',x)\\y=x'\cos(x',y)+y'\cos(y',y)+z'\cos(z',y)\\z=x'\cos(x',z)+y'\cos(y',z)+z'\cos(z',z)\end{cases}}$

Ces expressions de $x$ , $y$ , $z$ , ont l’avantage de faire voir que l’une quelconque, $x$ par exemple, est composée de trois parties, et que chacune de ces parties est la projection d’une des trois nouvelles coordonnées sur l’axe des $x$ . Pour expliquer ce qu’on entend par projection d’une droite sur une autre droite, que l’on conçoive une droite menée de l’origine des coordonnées au point dans l’espace que je désigne par ( $w$ ) ; on arrive à ce point, ou par les trois coordonnées rectangulaires $x$ , $y$ , $z$ , ou par les trois coordonnées obliques $x'$ , $y'$ , $z'$ , en sorte que la droite qui va de l’origine des coordonnées au point ( $w$ ) est le quatrième côté d’un premier quadrilatère gauche, dont les trois autres sont $x$ , $y$ , $z$ , ou d’un deuxième quadrilatère gauche dont les autres côtés sont $x'$ , $y'$ , $z'$ ; mais l’extrémité de $x$ est effectivement l’intersection de l’axe des $x$ avec un plan mené par le point ( $w$ ) parallèlement à celui des $yz$ ; c’est ce point d’intersection que je nomme projection de ( $w$ ) sur l’axe des $x$ , et la projection d’une droite, sur une autre droite, est la partie de cette seconde droite comprise entre les projections des extrémités de la première ; projetant de la même manière, c’est-à-dire parallèlement au plan des $yz$ , les extrémités des $x'$ , $y'$ , $a'$ , la somme des trois projections de ces coordonnées sera égale à la projection de la droite, qui va de l’origine des coordonnées à l’extrémité de $z'$ . Mais la projection de cette droite sur l’axe des $x$ , a pour longueur $x$ ; les projections de $x'$ , $y'$ , $z'$ ont évidemment pour expressions

x'\cos(x',x),

y'\cos(y',x),

z'\cos(z',x):

donc on peut écrire directement les équations ( $E$ ).

Une observation de M. Binet (répétiteur à l’Ecole Polytechnique), sur la composition des forces, ne m’avoit laissé aucun doute sur la possibilité d’appliquer la même propriété des projections à la transformation décoordonnées obliques en d’autres coordonnées obliques ; en effet soient $x'$ , $y'$ , $z'$ , les coordonnées d’un point $(w)$ , $x'$ étant compte sur l’axe des $x'$ , $y'$ étant parallèle à l’axe des $y'$ ; et $z'$ parallèle à l’axe des $z'$ , la droite qui va de l’origine des coordonnées au point $(w)$ est le quatrième côté d’un quadrilatère dont les trois autres côtés sont $x'$ , $y'$ , $z'$ ; si au lieu de $x'$ , $y'$ , $z'$ , on conçoit trois nouvelles coordonnées $x''$ , $y''$ , $z''$ , allant de l’origine des coordonnées au même point $(w)$ , il est évident que la projection du quatrième côte du quadrilatère sur l’un des axes, est égale à la somme des projections des trois autres côtés $x'$ , $y'$ , $z'$ ou $x''$ , $y''$ , $z''$ ; la projection se faisant par des plans parallèles aux deux autres axes ; ainsi la projection de la droite qui joint l’origine des coordonnées et le point $(w)$ , sur l’axe des $x'$ , a pour longueur $x'$ ; elle est égale à la somme des projections des trois droites $x'$ , $y'$ , $z'$ ou $x''$ , $y''$ , $z''$ sur le même axe des $x'$ , ces projections étant faites comme celle du point $(w)$ , par des plans parallèles au même plan ( $y'z'$ ).

On m’a fait remarquer que la proposition dont je faisois usage pour un quadrilatère, s’appliquoit à un polygone quelconque fermé ; en sorte qu’ayant un système quelconque de points, joints deux à deux par des droites, et une droite fixe sur laquelle on projette ces points par des plans parallèles à un seul et même plan, la projection du polygone formé par les droites qui unissent ces points donnés, est égale à la somme des projections des côtés du polygone, en ayant égard aux signes de ces projections ; signes qui peuvent être positifs ou négatifs. Ce théorème sur les projections est aussi général que celui dont M. Poisson a fait usage pour démontrer plusieurs théorêmes de dynamique. (Voyez le premier volume de la Correspondance, page 387.)

Avant d’aller plus loin, j’observerai sur les équations $(E)$ , qu’on a entre les coefficiens de $x'$ , $y'$ , $z'$ , dans ces trois équations, les relations suivantes

$({E}){\begin{cases}\cos(x',x)^{2}+y'\cos(x',y)^{2}+z'\cos(x',z)^{2}=1\\\cos(y',x)^{2}+y'\cos(y',y)^{2}+z'\cos(y',z)^{2}=1\\\cos(z',x)^{2}+y'\cos(z',y)^{2}+z'\cos(z',z)^{2}=1\end{cases}}$ et si l’on passe d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de même espèce, alors les axes des $x'$ , des $y'$ , des $z'$ , sont rectangulaires, et on aura les trois autres relations :

\cos(x',x)^{2}+\cos(y',x)^{2}+\cos(x',x)^{2}=1.

\cos(x',y)^{2}+\cos(y',y)^{2}+\cos(z',y)^{2}=1.

\cos(x',z)^{2}+\cos(z',z)^{2}+\cos(z',z)^{2}=1.

Reprenons les équations de M. François, pour la transformation des coordonnées obliques en d’autres coordonnées obliques ;

$({F}){\begin{cases}x'\sin(x',y'z')=x''\sin(x'',y'z')+y''\sin(y'',y'z')+z''\sin(z'',y'z')\\y'\sin(y',x'z')=x''\sin(x'',x'z')+y''\sin(y'',x'x')+z''\sin(z'',x'z')\\z'\sin(z',x'y')=x''\sin(x'',x'y')+y''\sin(y'',x'y')+z''\sin(z'',x'y')\end{cases}}$

$x',y',z'$ sont les coordonnées primitives, et $x'',y'',z''$ les coordonnées nouvelles.

La première des équations $(F)$ fait voir que la valeur de $x'$ est composée de trois parties ; savoir :

x''{\frac {\sin(x'',y'z')}{\sin(x',y'x')}}

y''{\frac {\sin(y'',y'z')}{\sin(x'',y'z')}}

z''{\frac {\sin(z'',y'z')}{\sin(x'',y'z')}};

or, ces trois quantités sont les valeurs des projections de $x'',y'',z''$ , sur l’axe des $x'$ , par des plans parallèles au plan des $(y'z')$ .

En effet, soient $AB$ et $AC$ (Fig. I, pl. 1) les axes des $y'$ et des $z'$ ; le plan de ces deux droites sera celui des $(y'z')$ . Quelles que soient les projections orthogonales des deux axes $x'$ et $x''$ sur le plan des $(y'z')$ , si les angles qu’ils font avec ce plan est constant, la longueur de la projection d’un $x'$ quelconque sur l’axe $x''$ , ou d’un $x''$ quelconque sur l’axe $(x')$ , ne dépendra que de ces angles (on suppose que la projection de $x'$ ou $x''$ soit faite par un plan parallèle à celui des $(y'z')$ ). En effet, l’axe des $(x'')$ étant fixe, qu’on fasse tourner l’axe des $(x')$ de telle manière que son angle avec le plan des $(y'z')$ ne change pas, elle engendrera une surface conique droite, dont la base circulaire sera parallèle au plan des $(y'z')$ ; si par l’extrémité d’un $z''$ quelconque, on mène un plan parallèle à ce dernier plan, il coupera la surface conique droite suivant un cercle, et chacune des arêtes du cône comprise entre ce cercle et l’origine des coordonnées qui est le sommet du cône, sera une projection de $x''$ sur l’axe des $(x')$ : or, toutes ces arêtes sout égales ; donc toutes les projections de $x''$ sur l’axe des $(x')$ seront de même longueur ; on prouve de la même manière que toutes les projections des $x'$ sur l’axe des $x''$ sont de même longueur ; on peut donc supposer les axes des $(x')$ et des $(x'')$ dans un même plan $AD$ , perpendiculaire à celui des $(y'z')$ . $EAD$ et $FAD$ sont les angles du plan $(y'z')$ avec les axes des $(x')$ et des $(x'')$ ; le point $E$ étant l’extrémité d’un $x''$ quelconque, il est évident qu’en menant $EF$ parallèle à $AD$ , $AF$ sera la projection de $AF=x''$ , sur l’axe $AF$ des $(x')$ ; or, dans le triangle $EFA$ , on a :

\sin EFA:AE::AEF:AF,

ou

\sin(x',y'z'):x''::\sin(x'',y'z'):AF,

donc

AF=x''{\frac {\sin(x'',y'z')}{\sin(x',y'z')}};

et par la même raison

y''{\frac {\sin(y'',y'z')}{\sin(x'',y'z')}};

et

n''{\frac {\sin(x'',y'z')}{\sin(x',y'z')}};

sont les projections de $y''$ et $z''$ faites sur le même axe des $(x')$ par des plans parallèles à $(y'.z')$ ; donc en égalant la somme de ces trois projections à $x'$ , on aura la première des équations $(E)$ ; on obtiendroit de même les deux autres par les valeurs de $y'$ et de $z'$ .

Il est à remarquer que le nombre des constantes qui entrent dans les équations $(F)$ , ne peut pas être réduit ; car il faut au moins trois quantités pour déterminer la pyramide triangulaire formée par les axes des $(x')$ , des $(y')$ et des $(z')$ ; il en faut au moins deux pour déterminer la position de chacun des axes des $(x'')$ , $(y'')$ , $(z'')$ , par rapport à l’un quelconque des axes primitifs ; les constantes nécessaires sont donc au nombre de neuf, comme on les voit dans les équations $(F)$ . Mais si l’on supposoit les axes des $(x'')$ , $(y'')$ , $(z'')$ ^[6], perpendiculaires entr’eux, en nommant $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles d’une droite perpendiculaire au plan des $(y'z')$ avec ces axes, on auroit :

\cos \alpha ^{2}+\cos \beta ^{2}+\cos \gamma ^{2}=1;

donc,

\sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',y'z')^{2}+\sin(z'',y'z')^{2}=1;

et par la même raison,

\sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',x'z')^{2}+\sin(z'',x'z')^{2}=1;

\sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',x'z')^{2}+\sin(z'',x'y')^{2}=1;

En combinant ces trois équations de conditions avec les équations $(F)$ , on pourra transformer les coordonnées obliques $x',y',z'$ , en coordonnées rectangulaires $x'',y'',z''$ ; ces valeurs de $x',y',z'$ , doivent coïncider, dans ce cas, avec celles qu’on déduirait des équations $(E)$ , en prenant ces valeurs de $x',y',z'$ , en fonctions de $x,y,z$ .

Enfin, s’il s’agissoit de transformer des coordonnées rectangulaires en d’autres coordonnées rectangulaires, les neuf constantes des équations $(F)$ réduites à six par les trois dernières équations de conditions, se réduiroient à trois ; car on auroit de plus :

\sin(x'',y'z')^{2}+\sin(x'',x'z')+\sin(x'',x'y')^{2}=1

\sin(y'',y'z')^{2}+\sin(y'',x'z')+\sin(y'',x'y')^{2}=1

\sin(z'',y'z')^{2}+\sin(z'',x'z')+\sin(z'',x'y')^{2}=1

d’où l’on voit que, par les équations $(F)$ , on peut opérer les trois transformations de rectangulaires en rectangulaires, de rectangulaires en obliques, ou d’obliques en rectangulaires, et enfin d’obliques en obliques.

Les équations $(E)$ et $(E')$ donnent le moyen de transformer un systême de coordonnées rectangulaires en un autre système de même espèce ; mais elles supposent que les angles des axes primitifs, avec les nouveaux, soient connus : or ces angles ne sont pas toujours donnés directement ; et la mécanique en offre des exemples. Il faut alors calculer les valeurs des lignes trigonométriques de ces angles, en fonction des quantités connues. Ex. : $x,y,z,$ étant les coordonnées rectangulaires primitives, et $x',y',z',$ les coordonnés nouvelles du même point, on donne : 1°. l’angle $\theta$ du plan $(x'y')$ avec le plan $(xy)$ ; 2°. l’angle $\psi$ de l’intersection de ces deux plans et de l’axe des $(x)$ ; 3°. de l’angle $\varphi$ de cette même intersection et de l’axe des $(x')$ .

Il s’agit maintenant de trouver les coefficiens qui entrent dans les équations (E) en fonction de $\theta$ , $\psi$ et $\varphi$ .

Cherchons d’abord les cosinus

\cos .(x',x),\cos .(x',y),\cos .(x',z).

Remarquons qu’en nommant $(I)$ la droite intersection des deux plans $(xy)$ et $(x'y')$ , l’axe des $(x)$ et $(x')$ , et la droite $(I)$ forment un triangle sphérique dont on connoît deux faces et l’angle compris ; l’angle de l’axe $(x)$ et de $I$ est $\psi$ ; l’angle de $I$ et de l’axe des $(x')$ est $\varphi$ ; l’angle des deux côtés $\psi$ et $\varphi$ , est $\theta$ ; donc par la formule (page 275 du premier volume de cette Correspondance), qui donne un côté, au moyen de deux autres côtés, et de l’angle qu’ils font entr’eux, on aura :

\cos(x,x')=\cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \psi \cos \theta .

L’axe des $(y)$ , l’axe des $(x')$ et la droite $(I)$ forment un second triangle sphérique, qui ne diffère du premier que par le côte $(\psi )$ , qui devient + 90°, ce qui change $\sin \psi$ en $\cos \psi$ et $\cos \psi$ en — $\sin \psi$ ; donc on aura

\cos(y,x')=-\sin \psi \cos \varphi +\cos \sin \psi \cos \theta .

L’axe des $(z)$ , l’axe des $(x')$ , et la droite $(I)$ forment un triangle sphérique qui diffère du premier, et par le côté qui devient 90°, parce que l’axe $(z)$ est perpendiculaire à la droite $(I)$ , et par l’angle $\theta$ qui devient (90° — $\theta$ ), parce que le plan $(Ix')$ fait avec le plan $(Iz)$ un angle complément de $\theta$ , donc $\sin \psi =1$ , $\cos \psi =0$ , $\cos \theta$ devient $sin\theta$ , et on a

\cos(z,x')=-\sin \varphi \sin \theta .

Par des considérations semblables, on trouve les valeurs de

\cos(x,y'),\cos(y,y'),\cos(z,y').

La droite $(I)$ forme avec les deux axes $(x)$ et $(y')$ , et avec les deux axes $(y)$ et $(y')$ deux triangles sphériques dont on connoît deux faces et l’angle compris $(\theta )$ .

La droite $(I)$ et les deux axes des $(z)$ et $(y')$ forment un triangle sphérique dont un côté est 90° + $\varphi$ , l’autre côté est 90°, et l’angle compris entre ces deux côtés est 90° – $\theta$ ; ce qui donne

\cos(x,y')=\cos \theta \sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi .

\cos(y,y')=\cos \theta \cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi .

\cos(z,y')=-\sin \theta \cos \psi .

Enfin les deux triangles sphériques, formés par la droite (I), et les deux axes des (x) et (z"), et par la même droite (1), avec les deux axes des () et ( :’), donnent

\cos(x,z')=\sin \theta \sin \psi .

\cos(y,z')=\sin \theta \cos \psi .

Et d’ailleurs, il est évident que les plans $(xy)$ et $(x'y')$ font entr’eux le même angle que les axes $(z)$ et $(z')$ ; donc $\cos(z,z')=\cos \theta$ .

C’est d’après cette méthode que M, Poisson a donné, dans ses leçons au collége de France, les formules de la mécanique céleste, tome premier, page 58.

Je terminerai cet article en proposant à MM. les Elèves un problême sur la pyramide triangulaire. On n’a considéré jusqu’à présent, dans une pyramide triangulaire, que six angles : les angles des arêtes, et les angles des plans conte nant ces arêtes. La trigonométrie sphérique a pour objet de déterminer trois de ces angles, au moyen des trois autres ; mais les arêtes font, avec les plans opposés aux arêtes, trois autres angles ; en sorte qu’il y a réellement neuf angles à considérer dans une pyramide triangulaire.

En nommant arêtes d’un triangle sphérique, les droites qui vont du centre de la sphère à l’extrémité de ses côtés, on trouvera facilement la démonstration de cette proposition, (que je n’ai pas encore vue énoncée) : « Les sinus des angles que les arêtes et les plans des côtés d’un triangle sphérique font entr’eux, sont en raison inverse des sinus des côtés opposés à ces arêtes. »

Problême de Géométrie.

Connoissant, dans une pyramide triangulaire, les angles des arêtes avec les plans des faces de la pyramide opposées aux arêtes, construire la pyramide.

Application de la théorie des Ombres au dessin des Machines ; par M. Hachette.

Les filets d’une vis triangulaire sont terminés par deux surfaces qui ont pour génératrices la ligne droite ; on les suppose éclairés par des rayons de lumières parallèles entr’eux, et on propose de construire la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur chacune des surfaces des filets.

La solution de ce problême dépend d’une proposition que j’ai publiée en supplément aux Leçons de Géométrie descriptive que M. Monge a données aux écoles normales en 1795), et que j’ai fait imprimer en 1799, pour l’usage de l’Ecole Polytechnique. Voici l’énoncé de cette proposition :

Une surface courbe quelconque, engendrée par une ligne droite mobile, quelles que soient d’ailleurs les directrices de cette droite, peut être touchée suivant la génératrice considérée dans une position quelconque, par une autre surface qui a aussi pour génératrice une ligne droite, et pour directrices trois autres lignes droites ; cette dernière surface, que nous nommons surface gauche du second degré, est l’hyperboloïde à une nappe, que nous avons fait connoître dans notre application de l’Algèbre à la Géométrie (page 32). Dans ce même ouvrage (page 50), j’ai donné une démonstration analytique de la proposition qu’on vient d’énoncer, et qui est importante par les nombreuses applications qu’on en fait dans les arts graphiques.

Il résulte de cette proposition que, lorsque deux surfaces réglées, c’est-à-dire sur lesquelles on peut appliquer l’arête d’une règle dans le sens de la génératrice, ont trois plans tangens communs suivant la même génératrice, elles sont tan gentes l’une à l’autre, de telle manière que le plan tangent à L’une suivant la génératrice qui leur est commune, est aussi tangent à l’autre. J’ai fait voir dans mon Cours de Coupe des Pierres, comment on pouvoit, d’après cette conséquence, raccorder les deux surfaces réglées de l’arrière voussure de Marseille.

Nous allons faire une autre application de ce théorême, pour déterminer sur la surface d’une vis à Gilets triangulaires, la ligne de séparation d’ombre et de lumière, dans l’hypothèse où les rayons de lumière sont parallèles entr’eux. J’ai fait construire cette courbe par M. Girard ; la planche ci-jointe est exécutée d’après son dessin.

La droite mobile qui engendre la surface du filet d’une vis triangulaire, passe constamment par l’axe d’un cylindre droit à basse circulaire ; elle fait avec cet axe un angle constant, et s’appuie sur une hélice tracée sur le cylindre droit ; tous les points de la droite mobile décrivent des hélices tracées sur des cylindres droits qui ont un axe commun et dont les rayons vont en décroissant jusqu’à cet axe, qui est lui-même une des helices ; or, les tangentes à ces helices menées de tous les points d’une même génératrice, appartiennent évidemment à une sur face réglée, qui touche la surface du filet suivant la droite qui leur est commune : deux quelconques de ces tangentes, et l’axe, sont les directrices de la droite qui engendre la surface tangente au filet ; de plus, toutes les tangentes aux hélices sont parallèles à un même plan ; donc la surface tangente au filet est un paraboloïde hyperbolique. (Voyez page 45 de notre application d’Algèbre à la Géométrie.)

Si on conçoit pour chaque position de la génératrice de la surface du filet, la paraboloïde tangent à cette surface, le plan mené par la génératrice parallèlement au rayon de lumière, touchera le paraboloïde et la surface du filet au même point ; donc, le point du contact sur le paraboloïde sera un des points de la ligne de séparation d’ombre et de lumière ; mais on a vu que le paraboloïde est engendré par une droite mobile qui s’appuie sur l’axe de la vis et sur les tangentes à deux hélices ; considérant cette droite mobile dans deux positions différentes, elle sera coupée par le plan parallèle au rayon de lumière en deux points ; la droite qui joint ces deux points rencontrera la génératrice commune à la surface du filet et au paraboloïde, un point qui appartiendra à la séparation d’ombre et de lumière : on en trouveroit de même tous les autres points, mais ce moyen quoique simple en théorie n’est pas d’une exécution facile, et dans la pratique on préférera la construction que nous allons indiquer.

Tous les paraboloïdes tangens à la surface du filet sont égaux entr’eux ; si on les coupe par des plans perpendiculaires à l’axe de la vis, et équidistans des points ou les génératrices du filet rencontrent à cet axe, toutes ces sections sont égales ; chacune de ces sections est une parabole. Projetant sur le plan de la parabole la portion de la génératrice du filet, comprise entre l’axe et ce plan de la parabole, la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette projection sera la direction du grand axe de la parabole. (Fig. 1, planch. 2) $AB$ et $CD$ étant les projections de la génératrice, $XY$ le plan de la parabole, le sommet $P$ de la parabole est sur une droite $MP$ , perpendiculaire sur le milieu $M$ de $AB$ ; on construit ce point en menant par le point $(M,m)$ la tangente à l’hélice tracée sur le cylindre, qui a pour base le cercle du rayon $BM$ ; l’hélice décrite par le point de la génératrice du filet, donne le rapport de l’arc de rotation de ce point sur le cercle du rayon $AB$ , à la hauteur dont il s’élève pendant qu’il décrit cet arc. Si on nomme $a$ ce rapport, et $b$ la distance DE du point où la génératrice du filet coupe l’axe de la vis au plan $XY$ , ${\frac {ab}{4}}$ sera l’expression de la sous-tangente $MP$ .

Le paraboloïde tangent au filet de la vis, suivant la droite $(AB,CD)$ , étant coupé par le plan $XY$ , suivant une parabole $APB$ , un autre plan $X'Y'$ parallèle à $XY$ , et placé à même distance du point $D$ , coupe le paraboloïde, suivant la même parabole $APB$ ; faisant mouvoir cette parabole en même temps que la génératrice du filet de la vis, on construira facilement la courbe de séparation d’ombre et de lumière.

Supposons le rayon de lumière $(L,L')$ fig. 2, parallèle au plan vertical de projection, et soient $AB$ et $DC$ la génératrice de la surface du filet ; il est évident que le point $(A,D)$ appartient à la courbe cherchée ; car le plan vertical $AB$ est parallèle au rayon de lumière, et il touche la surface du filet au point $(A,D)$ ; menant par ce point une parallèle au rayon de lumière qui coupe le plan $XY$ au point $(Y',Y)$ , et par le point $Y'$ une droite quelconque $Y'R$ , les droites $(AR,R'r)$ seront les deux projections de la génératrice, et $APR$ la parabole correspondante à cette position de la génératrice ; or, la droite $Y'R$ coupe cette parabole au point $Q$ ; donc le plan parallèle au rayon de lumière coupe le paraboloïde tangent, suivant la droite $QM$ , perpendiculaire à $AR$ , donc le point ( $M$ en projection horizontale, et $m$ en projection verticale) appartient à la courbe cherchée. La génératrice continuant à tourner dans le sens $BRT$ , arrive dans une position $AT$ , telle que la parabole $ATP$ , qui lui correspond, soit touchée par la droite $Y'T$ ; alors le point $T$ est évidemment un point de la courbe ; on construit ce point, en observant que la droite $Y'T$ est le troisième côté d’un triangle dont on a le côté $AY'$ , le côté $AT$ , et l’angle $ATY'$ que fait la tangente de la parabole au point donné $T$ avec son ordonnée $AT$ . $T'$ est la projection verticale du point de la ligne de séparation d’ombre et de lumière, dont $T$ est la projection horizontale. La génératrice partant de la position $AT$ , arrive dans la position $AS$ , telle que $SY'$ est perpendiculaire à $AS$ , et par conséquent parallèle à l’axe de la parabole correspondante à cette nouvelle position de la génératrice ; la droite $SY'$ ne pourra donc couper la parallèle qu’en un point infiniment éloigné, ainsi la grandeur des rayons vecteurs $AM$ , $AT$ , etc., croissante de $B$ en $T$ , devient infinie suivant le rayon $AS$ . La branche de courbe dont $TMA$ est la projection horizontale, est $T'mD$ en projection verticale. Pour continuer cette branche, il faut supposer que la génératrice qui a déjà parcouru l’arc $TB$ , continue à se mouvoir dans le même sens $T'Bs$ ; $As$ étant perpendiculaire à $Y's$ , le rayon vecteur du point de la courbe sur cette droite $Ass'$ sera infini, et on trouve sur le prolongement de la surface de la vis la portion de courbe $Ao$ , pour le prolongement de la portion $TMA$ , et la branche entière a pour projection verticale $T'mDo'$ . La courbe de séparation d’ombre et de lumière a une seconde branche dont on trouve les points, en faisant toujours mouvoir, la génératrice dans le même sens $TBstfB'$ . Lorsque la génératrice a pour projection $At$ , la droite $tY'$ est tangente à la parabole qui correspond à cette position, et le point $t$ est un point de la courbe.

De la position $At$ , on arrive à la position $AB'$ , et le point $A$ est commun et à la première branche et à la seconde ; mais il a deux projections verticales $D$ et $a$ . Enfin, allant de $B'$ en $S$ , en parcourant l’arc $B'oS$ , on trouve sur le prolongement de la surface de la vis la portion de courbe $Af$ , dont le rayon recteur suivant le prolongement de la droite $ASS'$ est infini ; la seconde branche de la ligne cherchée a donc pour projection horizontale la courbe à nœud $iAf$ , et pour projection verticale $i'af'$ .

Pour ne pas être obligé de répéter la construction de la parabole contenue dans le plan $XY$ ou $r'y'$ , on peut, comme l’a fait M. Girard, découper le papier suivant le contour de cette parabole, et transporter ce patron sur toutes les positions de la génératrice.

Conclusion.

La ligne de séparation d’ombre et de lumière sur un des filets de la surface de la vis, est formée de deux branches infinies ; deux portions de cette ligne $AT$ , $At$ , existent sur la partie réelle de la surface, et les deux autres portions $Af$ , $A0$ , appartiennent au prolongement de cette surface.

Dans le dessin de la vis triangulaire, il faut avoir égard aux deux surfaces supérieure et inferieure du filet, et les deux branches qu’on vient de construire serviront pour l’une ou pour l’autre surface ; la surface supérieure portera ombre sur le plan horizontal, et la surface intérieure portera ombre sur les filets mêmes de la vis (Voyez une autre solution de ce problème, pag. 69 de ce volume, 2^e. calier, et pag. 447, 5^e. cahier.)

Géométrie Analitique.

Des trois axes rectangulaires des surfaces du second degré, qui ont un centre ; par M. Binet.

Lorsque j’ai publié, en 1801, le Mémoire sur les surfaces du second degré, je m’étois propose de prouver qu’en rapportant la surface du second degré à trois plans rectangulaires, l’équation générale de cette surface pouvoit toujours être ramenée à la forme

Lx^{2}+My^{2}+Nz^{2}-1=0.

La note placée à la suite de ce Mémoire renferme une démonstration rigoureuse de cette proposition ; elle prouve qu’on peut toujours faire disparoître de l’équation générale des surfaces du second degré les trois rectangles $xy$ , $yz$ , $xz$ . M. Binet (J.-P.-M.) a observé que lorsque les surface : du second degré avoient un centre, le calcul de la note qu’on vient de citer, pouvoit être simplifié par la considération suivante : « Ayant un systême de droites parallèles entr’elles, qui servent de cordes à la surface du second degré, il existe un plan perpendiculaire à ces cordes, qui les divise toutes en parties égales, et ce plan est évidemment un des plans rectangulaires de la surface. »

Prenons pour l’équation générale des surfaces du second degré :

$({1}){\begin{Bmatrix}ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+eyz+fxz\\+gx+dy+kz+1\\\end{Bmatrix}}=0$

et soient

$({2}){\begin{cases}x=az+\beta \\y=a'z+\beta '\\\end{cases}}$

les équations d’une droite qui coupe la surface du second degré en deux points ; on obtiendra les coordonnées de ce point, en combinant ces équations avec l’équation générale $(1)$ , et faisant pour abréger

a\alpha x^{2}+b\alpha ^{2}+d\alpha \alpha '+e\alpha '+f\alpha +c=A.

{\begin{Bmatrix}za\alpha \beta +2b\alpha '\beta '+d(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+\alpha \beta '+f\beta +g\alpha \\+h\alpha '+k\end{Bmatrix}}=B.

a\beta x^{2}+b\beta ^{2}+d\beta \beta '+g\beta +h\beta '+1=C.

L’ordonnée $Z$ du point d’intersection sera donnée par l’équation $Az^{2}+Bz+C=0$ ; les deux valeurs de $z$ , tirées de cette équation, sont :

$-{\frac {B}{2A}}+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-C}}$ pour la première,

et $-{\frac {B}{2A}}-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-C}}$ pour la deuxième ;

Donc l’ordonnée $Z'$ du milieu de la droite qui joint les deux points d’intersection, est $-{\frac {B}{2A}}$ .

Nommant $X'$ , $Y'$ , les deux autres coordonnées du même point, on aura par les équations $(2)$

$({3}){\begin{cases}X'=\alpha Z'+\beta \\Y'=\alpha 'Z'+\beta '\\Z'=-{\frac {B}{2A}}\end{cases}}$

regardant $X'$ , $Y'$ $Z'$ comme des coordonnées variables, dont la valeur dépend des quantités $\beta$ et $\beta '$ , si, entre ces trois équations, on élimine ces dernières quantités $\beta$ et $\beta '$ , l’équation résultante en $X'$ , $Y'$ , $Z'$ , qu’on peut désigner par les trois lettres $x$ , $y$ , $z$ , appartiendra à la surface qui passe par les centres de toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$ .

Les équations $(3)$ donnent :

\beta =x-\alpha ax.

\beta '=y-\alpha 'ax.

$-2Ax=\beta (2a\alpha +d\alpha '+f)+\beta '(2b\alpha '+d\alpha +e)+g\alpha +h\alpha '+k.$

substituant pour $\beta$ , $\beta '$ et $A$ leurs valeurs, on a,

(x-\alpha z)(2a\alpha +d\alpha '+f)+(y-\alpha 'z)(2b\alpha '+d\alpha +e)+z(2a\alpha ^{2}+2b\alpha ^{2}+2d\alpha \alpha '+2fa+2c)+g\alpha +h\alpha '+k=0.

réduisant

(4)x(2a\alpha +d\alpha '+f)+y(2b\beta '+d\alpha +e)+z(e\alpha '+fa+2c)+g\alpha +h\alpha '+k=0

Cette équation linéaire est celle d’un plan diametral qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$ .

Pour que ce plan soit perpendiculaire aux cordes, il faut qu’il soit parallèle au plan dont l’équation est :

\alpha x+\alpha 'y+\alpha =0.

Donc on aura les équations de condition.

$(5)\alpha ={\frac {2a\alpha +d\alpha '+f}{e\alpha '+f\alpha +2c}},$ $\alpha '={\frac {2b\alpha '+d\alpha +e}{e\alpha '+f\alpha +2c}}$

ces équations $(5)$ sont linéaires, l’une par rapport à $\alpha '$ , et l’autre par rapport à $\alpha$ ; éliminant l’une ou l’autre, $\alpha '$ par exemple, on aura :

\alpha '={\frac {f+2a(a-c)-f\alpha ^{2}}{e\alpha -d.}},

e\alpha '^{2}+\alpha '(f\alpha +2c-2b)-(d\alpha +c)=0.

mettant dans cette dernière équation pour $\alpha '$ , sa valeur, et observant que le terme du 4^e degré $ef^{2}\alpha ^{4}$ se détruit, l’équation réduite en $\alpha$ , est du 3^e degré ; ce qui prouve que la surface du second degré ne peut avoir que trois axes rectangulaires ; on tire de cette équation, au moins une racine réelle de $\alpha$ ; à cette valeur réelle de a correspond une autre valeur réelle de $\alpha '$ , donnée par la première des équations $(5)$ . Substituant ces valeurs réelles de « et al dans l’équation $(4)$ , on a l’équation d’un plan diamétral perpendiculaire à toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$ ; la surface du second de gré étant rapportée à ce plan diamétral, comme l’un des plans coordonnés, son équation sera évidemment de la forme :

a'x^{2}+b'y^{2}+c'.z^{2}+d'xy+g'x+h'y+1=0.

Changeant les coordonnées rectangulaires $x$ , $y$ en d’autres coordonnées rectangulaires $x'$ , $y'$ , par les formules connues $x=x'\sin \phi -y'cos\varphi ,y=x\cos \varphi +y'\sin \phi$ , on trouve $\tan(2\phi )={\frac {d'}{a'-b'}},$ valeur réelle d’après laquelle les axes des $(x')$ et des $(y')$ deviennent les axes rectangulaires de la surface du deuxième degré, conjugués à l’axe déterminé par la racine réelle de $\alpha$ , qui est donnée nécessairement par l’équation du troisième degré en $\alpha$ .

Enfin, on sait qu’en changeant l’origine des coordonnées, on peut faire disparoître les termes de première dimension par rapport aux variables ; donc l’équation générale des surfaces du second degré qui ont un centre, sera réduite à la forme

Lx^{2}+My^{2}+Nz^{2}-1=0

$x$ , $y$ , $z$ étant des coordonnées rectangulaires.

H. C.

Question de Géométrie ;

Par M. Baduel, ancien Elève de l’Ecole Polytechnique, Ingénieur des Ponts et Chaussées.

Étant donné un triangle quelconque, $abc$ (fig.2, pl. 1), déterminer quelle doit être l’inclinaison de son plan et la position de ses côtés, pour que sa projection sur un plan horizontal soit un triangle équilatéral ?

Quel que soit le triangle donne $(a)$ , s’il n’est pas équilatéral il aura au moins un angle au-dessous de 60 degrés : soit $a$ (fig. 2) cet angle. Je prends pour intersection du plan du triangle avec le plan de projection, la ligne $yz$ (fig.2.), et sur la partie $mn$ de cette ligne, je décris un arc capable de l’angle $a$ . Le sommet de l’angle $a$ rabattu, tombant sur la circonférence $m$ , $a$ $a'$ $n$ , ce même sommet projeté devra se trouver sur la circonférence $ma''n$ , dont l’arc $mpn$ est capable de l’angle de 60 degrés.

Si le problême étoit résolu, et que, du sommet du triangle rabattu, on menât une ligne sur le milieu de sa base, cette ligne prolongée couperoit l’arc $mnq$ au point $q$ , qu’il est fort aisé de déterminer, puisque ce point est le même pour toutes les positions du triangle : la projection de cette ligne dans le triangle équilatéral, seroit perpendiculaire sur le milieu de la base, partageroit l’angle de 60 degrés en deux parties égales, et passeroit, par conséquent, par le point p, milieu de l’arc $mpn$ . La ligne et sa projection devroient se croiser sur la ligne $yz$ .

Le problème se trouve donc réduit à celui-ci : trouver sur la ligne $yz$ , un point $x$ , tel que les lignes menées par les points $q$ , $p$ , après s’y être croisées, aboutissent aux circonférences d’où elles sont parties, en deux points qui soient sur une même perpendiculaire à $yz$ .

Ce nouveau problême a évidemment deux solutions. Je le suppose résolu (fig. 3) : soient $x$ et $x'$ , les deux points cherchés sur la ligne $yz$ ; $qa'$ et $pa''$ seront la ligne cherchée et sa projection, ainsi que $qa'$ et $pa$ . Les points $p$ , $q$ , $a''$ , $a'$ , sont sur une même circonférence, puisque les lignes $qa'$ , $pa''$ se coupent en parties réciproquement proportionnelles : il en est de même des quatre points, $p$ , $q$ , $a'$ , $a$ ; les triangles $pqx$ , $a'za''$ sont semblables, ainsi que les triangles $pqx'$ , $a'xa''$ . Toute circonférence $pqihfg$ , passant par les points $p$ et $q$ , coupera la ligne $qa'$ , $pa''$ , en deux points $h$ , $i$ , qui seront sur une même perpendiculaire à $yz$ , puisque le triangle $xih$ est semblable à $xpq$ , et par conséquent à $xa'a''$ ; par la même raison, les points $f$ , $g$ , seront aussi sur une même perpendiculaire à $yz$ . La ligne $kl$ , qui joint les milieux des cordes parallèles $hi$ , $fg$ , leur sera perpendiculaire, sera parallèle à $yz$ , et sera un diamètre du cercle.

Ce que je viens de dire de la circonférence $fgpqhi$ , ayant lieu pour toute autre circonférence passant par les points p, q, il s’ensuit que celle qui passe par le point $x$ , ne coupant les lignes $qa'$ , $pa''$ qu’au point commun $x$ , a un diamètre, et par conséquent son centre sur la ligne $yz$ , et passe aussi par le point $x'$ . Les points $x$ , $x'$ sont donc donnés par l’intersection de la ligne $y$ ; et de la circonférence qui, passant par les points $p$ et $q$ , a son centre sur la ligne $yz$ . Les cordes $hi$ , $fg$ sont égales, puisque l’angle $qpx=qx'x=qgi$ .

Le point $x$ étant déterminé, on menera (fig. 2) les lignes $qa'pa''$ ; on construira le triangle $abc$ , en mettant le sommet au point $a'$ , et on projettera les points $b'$ , $o'$ en $b''$ , $c''$ ; on trouvera l’inclinaison du plan par le moyen ordinaire.

Si le triangle donné avoit deux angles au-dessous de 60 degrés, quel que fût celui dont on se servît pour résoudre le problême, on obtiendroit ļe même triangle équilatéral, la même inclinaison du plan, et une position analogue des côtés ; de sorte que les quatre solutions que paroît présenter ce problème, se réduisent réellement à une seule. Je les ai indiquées dans la fig. 3 $(b)$ où la ligne $aa$ est perpendiculaire à $yz$ .

Question de Minimis ;

Par MM. Billy et Puissant, Professeurs à l’Ecole Militaire de Saint-Cyr.

Deux points mobiles parcourent d’un mouvement uniforme les droites (fig.4) $MM'$ , $mm'$ , données d’une manière quelconque dans l’espace ; $M$ et $m$ sont les points de départ. Ils s’avancent vers $X$ , et il s’agit de trouver la position des deux points sur les droites données, lorsque la distance de ces point est un minimum.

Après avoir mené par un point quelconque $G$ de la route $MM'$ , une droite $GF$ parallèle à $mm'$ , telle que $MG$ et $GF$ soient dans le rapport des vitesses des points $M$ et $m$ , la perpendiculaire $mR$ abaissée du point $m$ sur $MF$ prolongée, déterminent le point $R$ , par lequel, si on mène la parallèle $RM'$ à $mm'$ , et la parallèle $M'm'$ à $Rm$ , $M'm'$ est la distance demandée, et $M'$ , $m'$ , sont les positions des points mobiles correspondans à cette distance.

La géométrie et l’analyse conduisent également à cette construction.

Des Epicycloïdes sphériques (Pl. 3) ;

Par M. Hachette.

M. Camus a donné, vers 1760, un Mémoire sur les engrenages, qui se trouve dans son Traité de Statique, à l’usage des ingénieurs. La première partie de ce Mémoire, traite des engrenages plans et cylindriques qui, en général, présentent peu de difficultés ; la seconde partie est relative aux roues d’angle. L’objet de ces roues est de transformer un mouvement continu de rotation autour d’un axe, en un autre mouvement de rotation autour d’un autre axe, qui fait avec le premier un angle donné. On peut résoudre ce problême ou par deux roues d’angles, ou par une de ces roues, et une lanterne à fuseaux coniques ; les dents de cette espèce de roues sont terminées par des surfaces coniques qui ont pour bases des épicycloïdes sphériques. J’ai ajouté au mémoire de Camus, la construction géométrique de la tangente à l’épicycloïde sphérique, et l’application des méthodes de la géométrie descriptive au tracé des roues d’angles et des roues qui mènent des lanternes à fuseaux coniques (Voyez le Traité des Machines, chap. 2, pag. 161). La théorie des engrenages coniques, que j’ai exposée dans ce traité, a pour base les propriétés des courbes qu’on nomme épicycloïdes.

De l’Epicycloïde plane.

Lorsque deux cercles qui se touchent sont dans un même plan, et que l’un des deux roule sur l’autre, un point quelconque du cercle mobile décrit une courbé qu’on nomme épicycloïde plane ; si le cercle mobile $a$ pour diamètre un rayon du cercle fixe, l’épicycloïde devient une ligne droite, et cette droite est le rayon même du cercle fixe. En effet, soit $AD$ (planch. 3. fig. 1.) le rayon du cercle fixe ; le cercle mobile qui touche le cercle fixe d’abord au point $D$ , le touche en suite en un point quelconque $B$ ; donc si l’arc $BC$ , sur le cercle mobile, est égal en longueur à l’arc $BD$ sur le cercle fixe, le point $C$ sera un des points de l’épicycloïde décrit par le point $D$ ; or les deux arcs $BD$ et $BC$ ne peuvent être égaux en longueur que lorsque le point $C$ sera sur le rayon $AD$ ; car la moitie de l’arc $BC$ , qui est d’un nombre de degrés double de celui de l’arc $BD$ , mesure, ainsi que ce dernier arc entier, l’angle $BAD$ ; donc les trois points $A$ , $C$ , $D$ sont en ligne droite.

Fig. 2. $VMTX$ étant l’épicycloïde plane décrite par un point du cercle mobile $BMD$ , il sera facile de trouver la tan gente à cette courbe en un point quelconque $M$ . En effet, la position du cercle mobile qui correspond au point $M$ étant connue, ce cercle touche le cercle fixe en un point $B$ ; or le point $M$ tend à décrire un cercle dont le point de contact $B$ est le centre ; donc, la droite $BM$ est une normale à l’épicycloïde ; d’où il suit qu’après avoir déterminé la position du cercle mobile qui correspond au point quelconque $M$ d’une épicycloïde, la tangente $MD$ en ce point, passe toujours par l’extrémité du diamètre du cercle mobile mené par le point de contact de ce cercle mobile et du cercle fixe.

Des Epicycloïdes sphériques.

Deux cônes droits, qui ont même sommet et qui se touchent, étant coupés par une sphère dont le centre seroit à leur soin met commun, auroient pour bases sur cette sphère deux cercles dont les plans feroient entr’eux le même angle que celui des axes des cônes ; si l’on conçoit que l’un de ces cônes roule sur la surface de l’autre, en la touchant continuellement, un point quelconque de la base circulaire du cône mobile décrira dans l’espace une courbe à laquelle on a donné le nom d’épicycloïde sphérique, parce qu’elle est tracée sur une sphère qui a pour rayon la distance constante du point générateur de la courbe au sommet commun des cônes droits.

Si le cône fixe devenoit un plan, et le cône mobile un cylindre droit tangent à ce plan, la courbe seroit un cycloïde ordinaire : lorsque les deux cônes droits deviendront des cylindres droits à axes parallèles, la courbe sera l’épicycloïde plane.

Jean Bernouilli a donné dans ses Œuvres (t. III, p.216, édit. de Lausane, 1742) un Mémoire sur les épicycloïdes sphériques, dans lequel il examine les cas particuliers où ces courbes sont rectifiables, et il a trouvé que cette rectification n’étoit possible que lorsque la projection orthogonale du rayon du cercle mobile sur le plan du cercle fixe, étoit égale au rayon de ce dernier cercle, quelle que fût d’ailleurs l’inclinaison des plans de ces cercles.

De la Description de l’Epicycloïde sphérique.

Le rapport connu de la circonférence à son rayon, dé termine les longueurs absolues des circonférences du cercle fixe et du cercle mobile dont l’un des points décrit l’épicycloïde ; ayant donc divisé la circonférence mobile en un certain nombre de parties égales, chaque partie de cette division correspondra à une partie égale sur le cercle fixe ; considérant le cercle mobile dans sa première position, on abaissera de chacun de ses points deux perpendiculaires, l’une sur sa tangente qui est commune au cercle fixe, l’autre sur son diamètre perpendiculaire à cette tangente ; lorsque le point de contact des deux cercles changera, la tangente commune et le diamètre qui lui est perpendiculaire changeront aussi de position, et deviendront des axes mobiles, dont la position à chaque instant sera connue ; les projections des deux perpendiculaires abaissées d’un point du cercle mobile sur ses axes se couperont en un point qui appartiendra à la projection de l’épicycloïde ; au lieu de considérer chaque point du cercle mobile comme l’intersection de deux coordonnées rectangulaires, si on le regardoit comme l’intersection de l’une de ces coordonnées et d’un rayon, les projections de ces deux dernières droites détermineroient encore un point de l’épicycloïde : or, la projection d’un rayon du cercle mobile se construit facilement, en observant que son centre décrit un cercle qui se projette suivant un cercle égal, et que le rayon prolongé coupe la tangente commune aux deux cercles, en un point qui est le plan même de projection.

De la Tangente à l’Epicycloïde sphérique.

Théorême.

Si pour un point quelconque d’une épicycloïde sphérique on conçoit le cercle mobile auquel il appartient, la droite qui toucheroit l’épicycloïde qu’on obtiendroit, dans le cas où les deux cercles, l’un fixe et l’autre mobile, seroient dans le même plan, est la projection de la tangente à l’épicycloïde sphérique sur le plan du cercle mobile, quelle que soit d’ailleurs l’inclinaison du plan de ce dernier cercle par rapport — au premier.

Corollaire.

Ayant prouvé (fig. 2) que la tangente $MD$ à l’épicycloïde plane $TM$ , en un point quelconque $M$ placé sur le cercle mobile $BMD$ , passoit par l’extrémité $D$ du diamètre de ce cercle, perpendiculaire à la tangente commune $cBd$ , il s’ensuit que la même droite $MD$ est la projection de la tangente à l’épicycloïde sphérique, au point $M$ , sur le plan du cercle mobile $BMD$ .

Pour démontrer le Théorême, il faut observer que si le point $M$ d’une épicycloïde plane tend à décrire un arc de cercle dont le point $B$ est le centre, et la droite $BM$ le rayon, le même point $M$ considéré comme appartenant à une épicycloïde sphérique tend à décrire une sphère dont le point $B$ est le centre, et la droite $BM$ le rayon ; donc le plan tangent à cette sphère contient la tangente à l’épicycloïde ; or ce plan se projette sur celui du cercle mobile suivant la droite $MD$ perpendiculaire à $BM$ , donc $MD$ est la projection de la tangente à l’épicycloïde sphérique.

Construction de la Tangente à l’Epicycloïde sphérique.

On a vu que le rayon de la sphère sur laquelle l’épicycloïde est tracée, est égal à la distance d’un point quelconque de cette courbe au point de rencontre des perpendiculaires aux plans des cercles fixe et mobile, élevées par les centres de ces cercles ; d’où il suit qu’en menant par le point de l’épicycloïde un plan perpendiculaire à ce rayon, ce plan contiendra la tangente à l’épicycloïde ; de plus on vient de démontrer que le plan tangent à la sphère qui a pour rayon la distance du point de l’épicycloïde au point de contact des cercles fixe et mobile, contenoit la même tangente ; donc cette tangente est l’intersection de deux plans connus de position, donc elle est déterminée.

Soit $ABC$ (fig 3) le cercle fixe tracé sur le plan horizontal ; $BMD$ , le cercle mobile dans une position quelconque, et recouché sur le plan horizontal ; $VBd$ , l’angle du plan de ce dernier cercle par rapport au premier, $M$ le point de l’épicycloïde sur le cercle mobile, et $M'$ ce point projeté sur le plan du cercle fixe ; il s’agit de construire la tangente $M'Y$ à la projection de l’épicycloïde : ayant mené $dY$ perpendiculaire à $Bd$ , et prolongé $MD$ jusqu’au point $T$ , intersection de cette droite $MD$ , et de la tangente commune $BT$ , la droite $TV$ est la trace horizontale du plan tangent à la sphère qui a pour centre le point $B$ , et pour rayon la droite $BM$ .

Mais la tangente demandée se trouve sur un autre plan tangent à la sphère qui a pour centre le point $a'$ , intersection des deux droites $Aa'$ , $a'a$ perpendiculaires sur $AB$ au point $A$ , et sur le milieu $a$ de $Bd$ ; or, ce plan passe par la tangente $MU$ du cercle mobile, qui coupe le plan horizontal au point $U$ de la trace horizontale $BT$ ; donc, si de ce point $U$ on abaisse une perpendiculaire $UX$ sur la projection $AM'$ du rayon qui correspond au point du contact de la sphère et du plan, le point $X$ intersection des traces $VTX$ et $UX$ , sera un point de la tangente à la projection horizontale de l’épicycloïde ; donc $XY$ sera cette tangente ; menant $YY'$ perpendiculaire à $BV$ , la droite $TY'$ sera la tangente à la projection de la courbe sur le plan vertical $ABV$ .

En supposant le cercle horizontal $ABC$ , transporté en $A'B'C'$ , et le plan incliné $Bd$ en $B'd'$ , la nouvelle figure qui en résulte est tout-à-fait semblable à la première ; d’où il suit que le cône, qui a son sommet en $H$ et pour base l’épicycloïde décrite par un point $M$ du cercle mobile $BMD$ , peut être regardé comme le lieu d’une suite d’épicycloïdes semblables et décroissantes, et les tangentes aux épicycloïdes menées par les différens points d’une même arête, telle que celle qui passe par le point $M$ et le sommet $H$ , sont parallèles entr’elles, et passent toutes par la même droite $HV$ .

De la tangente aux Epicycloïdes plane et sphérique, déterminée par la méthode de Roberval ; par M. Gaultier.

M. Gaultier, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, s’est proposé de trouver la tangente de l’épicycloïde sphérique par la méthode de Roberval, et de faire voir que cette tangente est l’intersection de deux plans connus de position. La solution qu’il a donnée est très-élégante ; comme elle est en partie analytique, je la ferai connoitre dans le prochain Numéro, où je donnerai en même temps l’équation différentielle de l’épicycloïde sphérique.

M. Gaultier a observé que le point générateur de l’épicycloïde sphérique étoit animé de deux vitesses, l’une suivant la tangente au cercle mobile, l’autre suivant la tangente au cercle qui a son centre sur la perpendiculaire $AH$ , et pour rayon la distance du point de l’épicycloide à cette perpendiculaire, et que ces deux vitesses pour un point tel que $M$ , dont la projection horizontale est $M'$ , étoient dans le rapport du rayon $AB$ au rayon $AM'$ ou de la tangente $B\beta$ à la tangente $M'm$ ; d’où il suit qu’en traçant sur le cercle mobile $BSd$ , un parallélogramme $S\beta 'S'o$ , dont les côtés $S\beta '$ , $So$ soient égaux à $B\beta$ et à la projection $So$ de $M'm$ sur le plan du cercle mobile, la diagonale $SS'$ est la projection de la tangente sur le même plan ; on prouve par un calcul simple que cette droite $SS'$ doit passer par le point $d$ .

En construisant sur le plan horizontal un parallélogramme $M'mlq$ , dont le côté $M'q$ est la projection de la droite $S\beta =B\beta$ sur le plan horizontal, la diagonale $M'l$ est la tangente à la projection horizontale de l’épicycloïde.

De la tangente à l’Epicycloïde plane

En appliquant la méthode de Roberval, M. Gaultier construit la tangente à l’épicycloïde plane, de la manière suivante : il mène (fig. 1) deux droites $DR$ et $DN$ , perpendiculaires, l’une au rayon $AM$ , l’autre au rayon $aM$ du cercle mobile. Les vitesses du point $M$ , dans les directions perpendiculaires à ces rayons, sont dans le rapport de $AM$ à $AB$ , ou de $AM$ à $AF$ ; mais $AF$ est parallèle à $Ma$ , parce que les deux triangles $FAB$ et $BoaM$ sont isocèles ; donc, le triangle $NDM$ est semblable au triangle $FAM$ ; donc, $AM:AF::ND:MN::MR:MN$ ; donc, $MD$ est le parallélogramme des vitesses $MN$ et $MR$ , l’une suivant la tangente du cercle au rayon $AM$ , l’autre suivant la tangente du cercle qui a pour rayon $Ba$ , et par conséquent la droite $MD$ est la tangente demandée.

§. II. SCIENCES PHYSIQUES.

Expériences faites au Laboratoire de l’Ecole Polytechnique, par MM. Gay-Lussac et Thenard.

Électricité.

La pile voltaïque dont Sa Majesté a fait don à l’Ecole Polytechnique (voyez la Corresp., p. 450), a eté mise en activité le 29 juillet 1808.

Cette pile est composée de six cents plaques ; chaque plaque est en deux parties, cuivre et zinc, soudées ensemble ; la partie cuivre pèse un kilogramme, et l’autre en zinc pèse trois kilogrammes. Des six cents plaques, cinq cents sont d’une forme carrée sur la plus grande face ; le côté de ce carré est de trois décimètres : la plus grande face sur les cent autres est un parallélogramme rectangle de six décimètres sur quinze centimètres, c’est-à-dire, d’une surface égale à celle du carré de trois décimètres de côté.

La pile est montée à la manière de Pepys, avec des modifications qui en rendent le service plus prompt et plus commode ; elle a été mise en activité en moins de trois minutes.

On a soumis au courant électrique de la pile entière les trois terres baryte, strontiane et chaux.

Elles ont toutes manifesté des phénomènes de combustion au pôle négatif : la chaux principalement donnoit une flamme vive et rouge.

La baryte dégageoit une vapeur dont on se trouvoit incommodé.

Du Gaz Fluorique.

En chauffant dans un tube de fer le fluate de chaux et l’acide boracique vitreux, on obtient du gaz fluorique, qui tient en dis- solution une assez grande quantité d’acide boracique. Ce gaz fluorique ne peut pas contenir d’eau hygrométrique ; il a une telle affinité pour l’eau, qu’il s’y combine en prenant la forme liquide ; il enlève l’eau, hygrométrique à tous les gaz qui en contiennent, et la convertit en un liquide acide. Mis en contact avec des gaz desséchés par la chaux ou par le muriate de chaux, il ne forme pas de liquide, ce qui prouve que ces gaz ne con tiennent plus d’eau hygrométrique.

L’eau saturée de gaz fluorique obtenu par l’acide boracique est limpide, fumante, et des plus caustiques ; cependant elle n’a aucune action sur le verre.

Le fluate de chaux siliceux, décomposé par le phosphate acide de chaux, donne beaucoup de gaz fluorique siliceux, En décomposant le fluate de chaux dans un vase de plomb, par l’acide sulfurique concentré, on obtient un liquide qui jouit des propriétés suivantes : il répand dans l’air d’épaisses va peurs ; il s’échauffe et entre même subitement en ébullition avec l’eau ; il dépolit le verre, le dissout, et le réduit en gaz siliceux. Son action sur la peau est très-rapide ; il la désorganise instantanément.

Il n’y a aucun moyen d’obtenir le gaz fluorique pur ; pour décomposer ce gaz par le métal de la potasse, on a préféré prendre le gaz siliceux, parce que la silice n’est pas un combustible. En chauffant ce gaz siliceux mis en contact avec le métal de la potasse, il y a production de lumière et de chaleur. Cette combustion donne pour résidu du fluate de chaux, de la si lice, et une substance particulière combinée avec la potasse et la silice. Cette substance particulière est la base du gaz acide fluorique.

Sur l’Acide Boracique.

L’acide boracique est décomposé par le métal de la potasse ; son radical est un brun-verdâtre, fixe et insoluble dans l’eau. On doit le placer à côté du charbon, du phosphore et du soufre. Pour passer à l’état d’acide, il exige une grande quantité d’oxigène ; avant d’arriver à cet état, il passe à celui d’oxide.

Sur le Gaz Acide Muriatique.

Le gaz acide muriatique, considéré autrefois comme une substance simple, résulte de la combinaison du gaz acide muriatique oxigéné et du gaz hydrogène ; pour obtenir cette combinaison, on prend des volumes égaux de ces deux gaz, et on les mêle ensemble ; ayant élevé la température du mélange à 125°, une forte détonation accompagne l’action réciproque et instantanée des deux gaz ; un rayon direct du soleil produit sur le mélange les mêmes effets. La combinaison des deux gaz a encore lieu dans une lumiere diffuse, mais elle se fait plus lentement.

§. III. ANNONCES D’OUVRAGES.

Essai sur la composition des Machines, par MM. Lanz et Betancourt, 1 vol. in-4^o., 10 planches ; précédé du Programme d’un Cours Elémentaire des Machines, fait à l’Ecole impériale Polytechnique ; par M. Hachette.

Programme d’un Cours de Physique, ou Précis de Leçons sur les principaux phénomènes de la nature, et sur quelques applications des Mathématiques à la Physique, par M. Hachette, 1 vol. in-8.

Cet ouvrage est divisé en douze leçons, ainsi qu’il suit :

1^re. Leçon. Notions générales sur les corps et sur les forces qui unissent les molécules de ces corps.

2^e. Leçon. De l’étendue et de la figure des corps.

3^e. Leçon. De la cristallographie.

4^e. et 5^e. Leçons. De la mobilité et de la gravité.

6^e. Leçon. De l’action capillaire.

J’ai donné dans cette leçon la démonstration du théorême de M. Laplace, sur l’ascension des liquides dans les tubes capillaires.

7^e. Leçon. Du calorique, par M. Monge.

8^e. Leçon. De l’action réciproque de l’eau et de l’air.

9^e. et 10^e. Leçons. De la lumière.

J’ai expliqué dans cette leçon les principaux effets de la réflexion et de la réfraction, par la considération des caustiques. Les articles arc-en-ciel et acromatisme sont présentés d’une manière nouvelle.

MM. les Elèves de l’Ecole Polytechnique liront avec intérêt l’explication du mirage, par M. Monge.

11^e. Leçon. De l’Électricité.

J’ai suivi dans cette leçon la marche qui avoit été tracée par M. Monge, pour l’exposition des phénomènes électriques ; j’y ai ajouté l’explication du bruit du tonnerre, par ce célèbre physicien, et l’instruction du Comité des fortifications sur la construction des paratonnerres.

12^e. Leçon. Du magnétisme.

J’ai décrit dans cette leçon la boussole de mer, et un instrument propre à mesurer l’inclinaison de l’aiguille aimantée, qui appartient au cabinet de physique de l’Ecole Polytechnique.

La description d’un autre instrument très-utile à tous les ingénieurs des services publics, le Baromètre portatif de Fortin, est accompagnée d’un dessin qui en montre la construction et l’usage.

Cet ouvrage est terminé par des tableaux numériques, indispensables pour tous ceux qui s’occupent de physique ou de chimie.

L’un de ces tableaux présente les capacités de calorique de différentes substances. (Les nouvelles recherches de MM. Bérard et Delaroche, sur les capacités pour le calorique, ont donné d’autres nombres, qui méritent plus de confiance.)

§. IV. PERSONNEL.

M. Neveu, instituteur de dessin à l’Ecole Polytechnique est décédé le 7 août 1808. Il a été vivement regretté de tous ses collègues.

M. Vincent, peintre, membre de l’Institut et de la Légion d’Honneur, est nommé instituteur de dessin, en remplacement de M. Neveu : le décret impérial de sa nomination est du 23 novembre 1808.

M. Poisson, instituteur à l’Ecole Polytechnique, a été nommé adjoint au Bureau des longitudes, par un décret impérial du 14 septembre 1808.

M. Hachette est nommé membre honoraire du Bureau consultatif des arts et manufactures au Ministère de l’Intérieur ; la

lettre de nomination est du 25 novembre 1808.

M. Ampère, répétiteur d’Analyse à l’Ecole Polytechnique ; MM. Rendu (Ambroise), Guenaud ( Philibert), anciens élèves de l’Ecole Polytechnique, ont été nommés inspecteurs-généraux de l’Université.

M. Malartic (Charles-Jean — Baptiste — Alphonse), ancien élève, a passé aux fonctions de secrétaire de la Légation française près S. M. le roi de Wurtemberg, à Stuttgard.

M. Meaume, ancien élève, est professeur de mathématiques au Lycée de Rouen.

M. Cléreau, ancien élève, est professeur de mathématiques au Lycée de Gand.

Les anciens élèves, promus jusqu’à ce jour (janvier 1809), au grade d’ingénieur en chef des ponts-et-chaussées, sont : MM. Lamandé fils, Brisson, et Saint-Genis.

MM. Finot (A.-B.) et Le Tonnelier-Breteuil, anciens élèves, ont été nommés auditeurs au Conseil d’Etat.

M. le chevalier Berge, colonel du 5°. Régiment d’Artillerie à cheval, remplit les fonctions de chef de l’état-major général de l’Artillerie, à l’armée d’Espagne.

EXAMINATEURS D’ADMISSION À L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
pour le Concours de 1808.

Paris.

M. Ampère.

Tournée du Sud-Ouest.

M. Dinet.

Tournée du Nord-Est.

M. Labey.

Tournée du Sud-Est.

M. Francœur.

Les examens ont été ouverts le 5 août, et les cours pour la deuxième division formée par la nouvelle promotion, ont commencé

le 1^er novembre.

§. V. CONSEIL DE PERFECTIONNEMENT.

La neuvième session du Conseil de perfectionnement a été ouverte le 19 octobre 1808, et a été terminée le 11 mars 1809.

LISTE DES MEMBRES DU CONSEIL.

Gouverneur de l’École, Président.

Son Exc. M. le comte de Cessac.

Examinateurs pour l’admission dans les services publics ; membres désignés par la loi.

MM. Legendre, Lacroix, Vauquelin, Malus.

Membres de l’Institut national, pris, selon la loi, dans la classe des sciences physiques et mathématiques.

MM. Lagrange, Laplace, Berthollet.

Désignés par S. Exc. le Ministre de la Guerre.

MM. Thirion, inspecteur-général de l’artillerie de la marine ; Allent, officier supérieur du génie ; Brousseaud, chef de bataillon, ingénieur-géographe.

Désignés par S. Exc. le Ministre de la Marine.

MM. Sugny, inspecteur-général de l’artillerie de la marine ; Sané, inspecteur-général du génie maritime.

Désignés par S. Exc. le Ministre de l’Intérieur.

MM. Prony, inspecteur-général des ponts-et-chaussées ; Lelièvre, inspecteur-général des mines.

Directeur des études de l’École impériale Polytechnique.

M. Vernon.

Commissaires choisis par le conseil d’instruction de l’École, parmi ses membres.

MM. Monge, Guyton, Andrieux, Poisson.

Quartier-Maitre de l’École Polytechnique, Secrétaire.

M. Marielle.

LISTE,
PAR ORDRE ALPHABÉTIQUE,

Des 159 Candidats admis à l’Ecole impériale Polytechnique, suivant la décision du Jury du 28 septembre 1808.

Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/46 Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/47 Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/48 CONCOURS DE 1808. Le jury d’admission de l’École Impériale Polytechnique a prononcé, le 28 septembre, sur les candidats qui se sont présentés au concours de cette année ; Trois cent quatre-vingt-un candidats ont été examinés, tant à Paris que dans les départemens. Deux cent soixante-treize ont été déclarés admissibles pour les sciences mathématiques ; Mais deux ont été exclus du concours par le jury, parce qu’ils s’étoient présentés à deux examinateurs, et qu’ils avoient été examines deux fois. Le jury a également exclu du concours : 1°. Onze candidats trop peu instruits dans le dessin, ou n’ayant pas concouru dans cette partie ; 2°. Six n’ayant pas concouru dans la langue latine ; 3°. Deux, comme ne connoissant pas suffisamment leur langue. Le nombre des candidats entre lesquels le jury a dû faire un choix, a donc été de 251, sur lesquels 159 ont été admis. Nombre des Candidats examinés en 1808, 381, savoir : A Paris. 142 381 Dans les départemens. 239 Nombre des candidats admis en 1808, 159, savoir : A Paris. 79 159 Dans les départemens. 80 Nombre des Elèves admis jusqu’au 10 novembre 1807. 1980 Nombre total des Elèves admis à l’Ecole depuis son établissement. 2139 Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/50 Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/51 Au 1^er. novembre 1808, l’Ecole restoit composée de 171 Elèves ;

SAVOIR :

Première division 1 Seconde division. 170

Le Jury a pensé que sur les 170 Elèves qui composoient la deuxième division, 150 étoient susceptibles de passer à la première, et que 20 devoient faire une seconde année dans cette division. Il en résulte que la nouvelle première division s’est trouvée composée de 151 Elèves.

Ajoutant aux 171 Elèves qui restent à l’Ecole, les 159 qui ont été admis au concours de cette année, ci. 159

L’Ecole s’est trouvée composée, au 1^er. novembre 1808, de 330 Elèves,

SAVOIR :

Première division 151 Seconde division 179 } 330

DISCOURS

Prononcé par le Préfet de la Seine-Inférieure^[7], à l’ouverture de l’examen des aspirans à l’Ecole Polytechnique, le 5 septembre 1808.

Messieurs,

Je vous ai réunis pour assister à l’ouverture des Examens qui vont avoir lieu pour l’admission des Elèves à l’Ecole impériale Polytechnique.

Cette Ecole, dès sa naissance, a été célèbre dans le monde savant, par l’étendue, la perfection de son enseignement, et la haute réputation des professeurs qui y ont successivement présidé.

Aujourd’hui, son organisation, l’utile et noble destination de ses Élèves, la protection spéciale de S. M. l’Empereur, sous les yeux duquel elle fleurit, tous ces titres lui assurent le premier rang parmi nos institutions de l’instruction publique. J’ai voulu signaler, autant qu’il est en moi, tous ces avantages ; j’ai voulu contribuer à les rendre sensibles aux jeunes gens, aux pères de famille et aux instituteurs ; enfin, j’ai cru remplir les vues du Gouvernement, en faisant moi-même l’ouverture de ces Examens, et en y appelant toutes les personnes qui, par leurs fonctions on la nature de leurs études, peuvent contribuer à l’intérêt et à la solennité de cette cérémonie.

L’École Polytechnique, Messieurs, n’est point une de ces institutions, telles que les capitales en ont offert quelquefois des exemples, qui, placées au premier rang par des privilèges plutôt que par des services, ne répondent aux faveurs du Gouvernement que par des prétentions, et n’obtiennent jamais d’autre éclat que celui qu’elles tirent de la protection du Souverain. La plus grande gloire de l’École Polytechnique lui est personnelle ; elle lui vient de cette nombreuse suite d’Élèves qui sont sortis de son sein. Quelques-uns ont déjà rendu leurs noms célèbres dans l’Europe ; plusieurs occupent dans leur patrie des places éminentes, récompense de leurs services : tous font rejaillir sur l’École qui les a formés, l’honneur et la considération qu’ils se sont acquis.

C’est même un sujet d’étonnement lorsqu’on considère la multitude d’hommes distingués dans tous les genres, qui s’honorent du titre de ses Élèves, de réfléchir qu’elle a à peine quinze ans d’existence. Mais elle offre cela de particulier dans son histoire, qu’elle n’a pas eu d’enfance. Née au milieu des orages politiques, ses premiers fondateurs furent les premiers savans de la France ; et ils se servirent, pour répandre et pour perfectionner les arts utiles, de toute l’énergie, de toute l’activité, de tout l’enthousiasme qui caractérisa cette époque, et qui, hors l’enceinte de cet asile des sciences, étoit dirigé par des cours moins purs, et vers de moins nobles usages.

Depuis ce moment, on a vu chaque année sortir de dessus ses bancs des essaims de jeunes savans qui se sont répandus dans nos armées, dans nos ports, sur nos routes et dans nos lycées. Par tout ils ont porté cette aptitude éclairée, qui simplifie et perfectionne tous les objets auxquels elle s’applique, et qui elle même n’est qu’une continuelle application des théories de la science. C’est là le plus grand service que pourroit rendre l’École impériale Polytechnique, de resserrer à jamais par son enseignement les nœuds qui doivent unir les sciences spéculatives et les arts appliqués.

Ce sut un spectacle nouveau dans l’histoire moderne des sciences, de voir des hommes dont les noms se plaçoient naturellement à la tête de l’Europe savante, descendre des hauteurs de leurs spéculations, pour se livrer à toutes les pratiques des arts, créer des artistes, des savans et des officiers, partager leur temps entre les méditations, les expériences et les fatigues de l’enseignement, et transporter, en un mot, dans leur vie et leurs habitudes, l’activité à laquelle jusque-là leur pensée seule avoit été accoutumée.

Cette heureuse influence s’est propagée : c’est à elle que nous devons cette destination plus active que l’on remarque parmi les savans qui, de nos jours, appliquent eux-mêmes le savoir à tout ce qui est utile, et prouvent, par des résultats, les avantages de l’étude à cette partie du public qui n’en connoîtra jamais les charmes, et qui n’en apprécieroit pas autrement l’utilité. On les voit dans les carrières de l’industrie, de l’administration, de l’instruction publique ; ils se montrent dans les camps, dans les ateliers, et par-tout ils joignent à l’éclat de la science celui des services rendus à l’Etat.

Cet aspect du monde savant n’appartient qu’à l’époque où nous vivons : cette observation est une de celles qui lui fait le plus d’honneur.

Je me félicite de ce que la présence, ici, de M. l’Examinateur, m’a fourni l’occasion d’en faire la remarque.

Les jeunes gens qui m’écoutent, et qui sont venus pour concourir, n’ont pas du se dissimuler que le titre qu’ils ambitionnent, devient tous les ans plus recherché, plus disputé, et, je dois le dire, plus difficile à obtenir. C’est donc avec cette conviction, jeunes Elèves, que vous avez dû vous préparer à cet Examen, qui fait lutter ensemble des rivaux de toutes les parties de la France. Vous serez d’abord interrogés sur les Mathématiques ; elles forment la base de l’instruction requise pour être admis à l’École Polytechnique ; elles sont l’instrument admis à l’Ecole Polytechnique ; elles sont l’instrument élémens aura suffi pour vous donner une idée des nombreuses applications que l’on peut faire de cette belle science, dont les propriétés sont si universelles, qu’elles semblent participer de celles de l’étendue qu’elle mesure.

La Géométrie aura, la première, fixé votre attention ; elle vous aura intéressés par la variété de ses combinaisons et l’évidence de ses découvertes, qui est telle, que quelquefois, sans doute, vous vous serez étonnés de ne les avoir pas faites vous-mêmes sans le secours de la science. En effet, tout ce qu’elle vous a révelé étoit en vous. Nous naissons tous géomètres. Ceux qui obtiennent ce titre n’ont d’autre avantage que d’avoir exercé leur esprit à reconnoître et rassembler toutes les notions que nous possédons sur l’étendue. Mais le génie qui guide dans les démonstrations appartient tout entier à la science. Vous aurez remarqué cette singularité, que la géométrie, cette science des corps, opère continuellement sur des abstractions ; elle assemble, elle divise, elle combine des idéalités ; et la nature physique, qui est passive, semble obéir à ses calculs, tant l’application de ses découvertes est rigoureuse. C’est cet esprit d’abstraction par excellence qui faisoit dire à Pascal, que toute la puissance de l’esprit se montroit dans la première page d’un livre de géométrie. C’est sans doute aussi dans ce sens qu’il faut entendre ce qu’on nous raconte de l’enthousiasme de cet ancien, à la vue de quelques figures géométriques tracées sur le rivage d’une île étrangere.

Vous avez ouï parler, jeunes Elèves, de l’enthousiasme de cet autre géomètre qui, pour soulever le globe entier, ne demandoit qu’un point d’appui. La partie de la Statique, que vous avez vue jusqu’à ce jour, a suffi pour vous expliquer la pensee de ce philosophe. Cette étude vous servira d’introduction à celle de la Mécanique, et vous marcherez de prodiges en prodiges.

Une autre branche des mathématiques, qui fut long-temps inconnue, long-temps aride et négligée, et qui, dans le siècle dernier, sembla recevoir une création nouvelle, tant ses pro cédés furent simplifiés et ses applications multipliées, l’Algébre, a dû aussi faire partie de vos études. L’algèbre, cet appui de l’esprit de recherche, a doublé ses forces dans toutes les carrières où elle l’a guidé ; aussi aujourd’hui toutes les barrières sont-elles tombées devant elle. Il n’est pas une branche des mathématiques qui n’ait reçu son application, et elles se sont toutes agrandies par ses calculs. Elle a prêté ses formules et sa rigoureuse exactitude aux sciences physiques. Depuis ce moment, elles ne s’égarent plus. La subtile métaphysique elle-même a souvent emprunté son langage et son appui. Heureuse, si ses débiles mains lui permettoient de porter ce fil à travers tous les dédales où elle s’engage !

L’algèbre est remarquable par l’étendue de ses recherches ; elle ne l’est pas moins par les procédés qu’elle emploie. Vous avez pénétré dans l’esprit de ces équations algébriques, qui n’offrent à la pensée que des traductions diverses d’un même énoncé, et dont la dernière, cependant, contient la solution cherchée. La première fois que vous les employâtes, vous dûtes être surpris de la puissance de la science, en la voyant s’emparer de l’inconnue, la traiter comme une quantité positive, la soumettre à ses opérations, et après des combinaisons plus ou moins longues, la forcer de se révéler elle-même. Vos jeunes imaginations ne se rappeloient-elles pas alors ce géant de la fable qui, vaincu, altéré, n’avouoit son nom et sa nature qu’après avoir pris mille formes diverses pour échapper à son vainqueur ?

J’aime à vous parler, jeunes Elèves, la langue de vos études ; j’aime à parer mes discours des couleurs de l’antiquité : elles plaisent à la jeunesse ; elles sont brillantes comme les pensées de cet âge. Vous n’y êtes point étrangers, puisque les belles-lettres ont du faire partie de vos études ; elles auront eu de l’attrait pour vous. Les jeunes mathématiciens comptent ordinairement pour des heures de récréation le temps qu’ils leur consacrent. Ah ! conservez toute votre vie le goui des lettres, ce goût de toutes les jouissances de l’esprit ; et puisque la langue de Cicéron doit vous être familière, apprenez par cœur l’éloge qu’il en fait. Il a révélé la pensée de tous ceux qui, dans tous les siècles et dans tous les pays, les ont cultivées et leur ont dû les momens les plus heureux de leur vie.

Je ne vous parle pas de l’obligation où vous êtes d’écrire correctement la langue française ; il est si honteux d’ignorer sa propre langue, que je vous ferois injure en regardant comme une difficulté l’examen que vous devez subir à ce sujet.

Le Dessin, qui est une extension du langage, on au moins un supplément à l’art de peindre la pensée, le dessin fait encore partie des études de l’École Polytechnique. Son étude est utile, et peut-être trop négligée dans toutes les conditions de la société. Elle est indispensable et exigée dans celle que vous embrassez.

Voilà, jeunes Elèves, le cercle dans lequel seront renfermés les Examens que vous allez subir. Il est vraisemblable que, dans le nombre de ceux qui se présentent cette année au Concours, tous ne seront pas admis. Que ceux à qui la palme aura été refusée, ne voient, dans cette circonstance, qu’une raison pour redoubler de travail, afin de se présenter avec plus d’avantage aux examens de l’année prochaine.

Ceux qui auront mérité le suffrage de M. l’Examinateur auront la perspective prochaine d’entrer au service de l’État. Cette nouvelle destination leur imposera de nouveaux devoirs, et doit appeler leur attention sur des objets plus sérieux que ceux qui les ont occupés jusqu’à ce jour. Qu’ils ne perdent jamais de vue que, dans la carrière où ils sont près d’entrer, et sous le règne du grand Prince qui nous gouverne, il n’est qu’un moyen de s’avancer, qu’une seule voie ouverte à l’ambition : c’est celle de l’honneur, de la probité, des bons et loyaux services. Toute autre route égare et perd ceux qui la suivent. Que cette vérité soit la règle constante de toutes vos actions. Jeunes gens, si dans le monde vous entendiez d’autres maximes, si l’on vous citoit des succès obtenus par l’intrigue, ou des services restés sans récompense, méfiez-vous de ces exemples ; méfiez-vous même de ceux qui les débitent. Se montrer morose et frondeur à l’époque où nous vivons, c’est perdre tout crédit auprès des ames généreuses et des cœurs sensibles à la gloire.

Sans sortir de l’enceinte de l’Ecole où vous allez habiter, vous trouverez dans celui qui la gouverne, et vous aurez continuelle ment sous les yeux, un exemple de la considération personnelle, de la fortune et des dignités qui peuvent devenir la récompense d’une vie toujours pure, toujours active, et toute consumée dans d’utiles travaux. Cet exemple vivant parlera plus haut que mes discours, et je m’en félicite.

Préparez-vous donc avec ardeur à votre nouvel état ; soyez toujours fidèles à l’honneur, et prospérez sous le règne du Grand Napoléon ; c’est la plus noble ambition qui puisse faire battre vos jeunes cœurs !

§. VI. ACTES DU GOUVERNEMENT.

Au Palais des Tuileries, le 30 Janvier 1809.

NAPOLÉON, Empereur des Français, Roi d’Italie, et protecteur de la confédération du Rhin ;

Sur le rapport de notre Ministre de la Guerre, notre Conseil-d’Etat entendu,

Nous avons décrété et décrétons ce qui suit :

Art. Ier. Les Ingénieurs-Géographes sont organisés en corps militaire qui portera le nom de Corps Impérial des Ingénieurs-Géographes.

Art. II. Il sera dans les attributions du Ministère de la Guerre, et aura pour chef l’officier-général, directeur du dépôt de la guerre.

Art. III. Le nombre des Ingénieurs-Géographes sera de quatre-vingt-dix.

SAVOIR :

NOMS	PRÉNOMS	LIEUX DE NAISSANCE.	DÉPARTEMENTS
Allain dit Surville.	Eugène - Auguste - Georges - Louis.	Rouen.	Seine-Inférieure.
Armand.	Jean-François.	Bar-sur-Aube.	Aude
Asselin-de Crève-Cœur.	Armand-L.-François.	Rouen.	Seine-Inférieure.
Bacheley.	Jean-Baptist-Gaston.	Larochelle.	Charente-Infér.
Baudesson.	Augustin-Edmo-Mic.	Fontainebleau.	Seine-et-Marne.
Baudreuil.	Franç.-Henry-Alph.	Saint-Quentin.	Aisne.
Belanger.	J.-B.-Charles-Joseph	Valenciennes.	Nord.
Bernard.	Honoré.	S. Benoît du Sault.	Indre.
Boissière.	Honoré.	Paris.	Seine.
Boistel dit Duroyer.	Antoine-Louis.	Amiens.	Somme.
Bouie.	Charles-Frédéric.	Bordeaux.	Gironde.
Boquet.	François.	Soissons.	Aisne.
Cabannes - Laprade.	Blaise-Hilaire.	Marsal.	Meurthe.
Caqueray - de - Fontenelle.	Alexand.-Jean-François.	Maucomble.	Seine-Inférieure.
Carbonazzi.	Jean Antoine Joseph-Camille.	Félizzano.	Marengo.
Casse.	Jean-Bapt.-Antoine.	Marseille.	Bouc. du Rhône.
Cerf-Berr.	Alphonse-Théodore.	Nancy.	Meurthe.
Chiappe.	Jean-Jacques.	Ajaccio.	Liamone.
Clausade.	Joseph-Martial.	Castelnaudary.	Aude.
Collas.	Jean-Lazare.	Autun.	Saône-et-Loire.
Comvnet.	Auguste-Edouard.	Paris.	Seine.
Coriolis.	Gaspard-Gustave.	Paris.	Seine.
Corrèze.	Joseph.	Meyssac.	Corrèze.
Costa.	Roland.	Chiavari.	Apennins.
Cotte.	Louis-Etienne-César.	Riez.	Basses-Alpes.
Courtois.	Aimé Charlemagne.	Compiègne.	Oise.
Cousinery.	Barthélemy-Edouard.	Marseille.	Bouc. du Rhône.
Conturat.	Augustin-Fr-Clém.	Paris.	Seine
Cuel.	Charles-André.	Haucourt.	Seine-Inférieure.
Dadole.	Pancrace.	Paris.	Seine.
Dartois.	Honoré-Prosper.	Paris.	Seine.
Decayeu.	Jean-Baptiste-Henri.	Abbeville.	Somme.
Dehaussy.	Alexandre.	Péronne.	Somme.
Delafosse.	Louis-André.	Paris.	Seine.
Delafuye.	Victor-François.	Azé.	Mayenne.
Delattre-D'Aubigny.	Adolphe-Louis-Geneviève-Firmin.	Epernai.	Marne.
Delavenne.	Aug.-Elisabeth-Cés.	Tannay.	Nièvre.
Delseries.	Antoine.	Sonnac.	Lot.
Demonet-Lamarck.	Guill. Emm. Auguste.	Paris.	Seine.
Desages-d'Heure.	Jean-François.	Terrasson.	Dordogne.
Desjardins.	Allain-Louis-Antoine.	Paris.	Seine.
Devere.	Lambert.	Paris.	Seine.
Deviefville.	François Georges-Frederic-Auguste.	Marseille.	Benc.-du-Rhône.
Ducasse.	Jean-Baptiste.	Villen.-sur-Lot.	Lot-et-Garonne.
Duché.	Vital.	Châl.-sur-Saône.	Saône et-Loire.
Duffoure.	Philippe-Laurent.	Astafort.	Lot-et-Garonne.
Dufrayer.	Adrien-Stanislas.	Paris.	Seine.
Dupré.	Denis-Ant.-Honorine.	Honfleur.	Calvados.
Durand.	Gustave-Othon.	Severac.	Aveyron.
Durfort-Léobard	Anne-Charles-Frédér.	Besançon.	Doubs.
Emon.	Jean-Louis.	Pont-Levoy.	Loir-et-Cher.
Ethéart.	Barthelemy-Auguste.	Saint-Malo.	Ille-et-Vilaine.
Falguière.	Jean-Marie-Alban-Michel.	Rabastens.	Tarn.
Filhon.	Charles-Marie.	Barbezieux.	Charente.
Floquet.	Jean Robert.	Rouen.	Seine-Inférieure.
Franchessin.	Ernest.	Cattenom.	Moselle.
Frimot.	Jacques-Joseph.	St.-Germain-le-Gaillard.	Manche.
Froussard.	Claude-Victor-Louis.	Chaumont.	Haute-Marne.
Galiot.	Marie-Mathurin.	Fauguernon.	Calvados.
Gambier.	Alexandre Pierre.	Paris.	Seine.
Gardeur-Lebrun.	Auguste-Stanislas.	Metz.	Moselle.
Gargan.	Theod. Charl.-Joseph.	Inglange.	Moselle.
Gazel	Julien.	Lunéville.	Meurthe.
Genieys.	Raymond.	Adis-an.	Hérault.
Gensolen.	Fortuné.	Hières.	Var.
Gilberton.	Gilbert-Charles.	Herisson.	Allier.
Godin.	Pierre-Gasp.-Cosme.	St.-Saulge.	Nièvre.
Goupil.	Anguste-Jean.	Alençon.	Oroc.
Goureau.	Claude-Charles.	Pisy.	Yonne.
Gourier.	Nicolas-Antoine.	Pont-à-Mousson.	Meurthe.
Goussard.	Charles-Eugène-Félix.	Paris.	Seine.

4	Colonels,
8	Chefs d’Escadron,
24	Capitaines de 1^re. classe,
24	Capitaines de 2^e. classe,
24	Lieutenans,
6 ――― 90	Elèves, sous-lieutenans, au moins.

Art. IV. Les Ingénieurs-Géographes jouiront, dans leurs grades respectifs, de la solde accordée par les lois aux officiers du Génie.

Art. V. Ils auront aussi droit, dans leurs grades respectifs, aux indemnités et retraites de tout genre qui sont accordés aux officiers de l’état-major, d’après les formes et dans les cas déterminés par les lois et les réglemens militaires.

Art. VI. Les places vacantes dans le corpsseront données à des élèves de l’Ecole Polytechnique, conformément à la loi du 25 frimaire an 8.

Art. VII. Les Ingénieurs-Géographes en campagne ou sur ! e terrain, jouiront d’un traitement supplémentaire qui sera fixé par le Ministre de la Guerre, et qui servira à subvenir aux frais de chaîneurs et réparations des instrumens usuels.

Art. VIII. Le nombre des colonels et chefs d’escadron composant le corps provisoire des Ingénieurs-Géographes étant supérieur à celui qui est fixé par le présent décret, les titulaires actuels conserveront leur grade et leur traitement, mais en déduction du nombre des officiers du grade inférieur.

Art. IX. Les Ingénieurs-Géographes conserveront l’uniforme qui leur a été donné.

Art. X. Notre Ministre de la Guerre est chargé de l’exécution du présent décret.

Signé NAPOLÉON.

Au Palais des Tuileries, le 7 février 1809.

NAPOLÉON, Empereur des Français, Roi d’Italie, et Protecteur de la Confédération du Rhin.

Sur le rapport du Ministre de l’Intérieur, notre Conseil-d’Etat entendu, nous avons décrété et décrétons ce qui suit :

Art. I^er. La petite rue Clopin, qui communique de la rue Bordet à celle des Fossés-St.-Victor, sera supprimée dans toute la partie qui sépare l’ancien collége de Boncours, du ci-devant collége de Navarre, depuis la rue Bordet jusqu’à l’angle de la maison n°.6 de la même rue Clopin. Le terrain de la rue fera parlie de l’enceinte de l’Ecole, afin d’opérer la réunion des bâtimens et terrains de ces deux colléges, maintenant affectés à l’Ecole impériale Polytechnique. La rue Bordet portera désormais le nom de rue Descartes.

Art. II. La nouvelle rue Clovis, ouverte sur l’emplacement de l’ancienne église Ste.-Geneviève, sera prolongée depuis la rue Descartes jusqu’à celle des Fossés-St.-Victor, en remplacement de celle Clopin, supprimée par l’article 1^er, et confor- mément au plan approuvé par notre Ministre de l’Intérieur le 31 mai 1807, lequel restera joint au présent décret. En conséquence on prendra à cet effet la partie nécessaire de la maison appartenant au Collége des Irlandais, à estimation, selon la loi du 16 septembre 1807, sans que le sieur Pelissier, locataire, puisse intervenir à ladite estimation, ni prétendre aucune indemnité du Gouvernement, attendu que l’exercice de ses droits ne peut exister que contre le propriétaire.

Art. III. L’Administration de l’Ecole Impériale Polytechnique est autorisée à acheter, dans les formes prescrites par la loi du 16 septembre 1807, les bâtimens et terrains dépendans de l’ancien college de Boncours, qui ont été aliénés, et qui seront reconnus par notre Ministre de l’Intérieur être nécessaires pour la clôture et l’isolement de cette Ecole.

Art. IV. Les portions de l’ancien college de Boncours réunies à l’Ecole impériale Polytechnique par notre décret du 3 mars 1806, et tous autres terrains provenant d’acquisition, qui se trouveront au-delà de la nouvelle rue Clovis, pourront être aliénés, s’il est reconnu qu’ils soient inutiles au service de l’Ecole ; et dans ce cas le prix en sera employé au paiement des propriétaires qui se trouveront dépossédés par suite des dispositions ordonnées par le présent décret.

Art. V. L’arrêté du conseil de préfecture du 25 mai 1808, qui fixe l’indemnité à accorder au sieur Jacquet pour indemnité d’une partie de sa maison, est confirmé.

Toutefois l’administration de l’Ecole est autorisée à traiter avec le sieur Jacquet, avec l’autorisation de notre Ministre de l’Intérieur, pour faire faire à la maison dont partie sera démolie, soit la reconstruction du mur abattu, soit tels autres arrangemens en compensation et pour tenir lieu de l’indemnité.

Art. VI. L’administration de l’Ecole pourra également acquérir pour la circonscription de sa clôture et l’isolement de son bâtiment et ouverture de fenêtres, les maisons ou ma sures, rue Montagne Ste-Geneviève, n^os. 51, 53, 67, 69 et 73 ; rue Bordet, les maisons n^os. 1, 3, 5, 11 et 13 ; rue Traversive, les maisons n^os. 28, 30, 32, 34 et 36 ; et cul-de-sac Bonpuits, les maisons n^os. 23, 24 et 25.

Art. VII. Pour compléter la réunion du collège de Navarré à celui de Boncours, l’admiņistration de l’Ecole est également autorisée à acquérir les maisons situées rue Clopin, n^os. 1, 3, 5, 7et9.

Art. VIII. Les acquisitions susdites auront lieu successivement, sur l’autorisation de notre Ministre de l’Intérieur, et seront payées avec les fonds déjà alloués et qui seront accordés par nous à cet effet, ou sur ceux qui resteront disponibles sur ceux annuellement accordés pour l’Ecole Polytechnique.

ART. IX. Notre Ministre de l’Intérieur est chargé de l’exécution du présent décret.

Signé NAPOLÉON.

Dans le courant de février 1809, Sa Majesté l’Empereur a conféré le grand-cordon de la Légion-d’Honneur à S. Exc. M. le

Ministre d’Etat, Gouverneur de l’Ecole Polytechnique.

CORRESPONDANCE
SUR
L’ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,
Rédigée par M. Hachette.

N°. I^er. Janvier 1810. (2^e. volume.)

§. I^er
ANALYSE.

Sur les Équations différentielles des Courbes du second degré ;

Par M. Monge.

L’équation aux différences premières ordinaires à la ligne droite est toujours de la forme $\left({\text{faisant}}{\frac {dy}{dx}}=p.\right)$

F(y-px,p)=0.

et son intégrale se trouve en mettant dans cette équation la cons. tante arbitraire $a$ à la place de $p$ , c’est-à-dire que l’intégrale complète est

F(y-ax,a)=0.

Ce seroit, je pense, une entreprise inutile de chercher de semblables résultats pour les courbes des différens degrés, principalement parce qu’à l’inspection d’une équation différentielle on ne peut reconnoître si elle appartient à une courbe algébrique, ni de quel degré est cette courbe. Mais les courbes du second dengré sont si simples, et se présentent si fréquemment dans la nature, qu’il peut être de quelqu’utilité de le faire pour elles.

L’équation générale des courbes du second ordre est de la forme

(A)Ay^{2}+2Bxy+Cx^{2}+2Dy+2Ex+1=0

et contient les cinq constantes $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Si l’on différencie cette équation cinq fois consécutives, pour arriver aux dif- férences du cinquième ordre, on aura cinq nouvelles équations, entre lesquelles et ( $A$ ), on peut éliminer les cinq constantes considérées comme arbitraires. Et en faisant

{\frac {dy}{dx}}=p,{\frac {dp}{dx}}=q,{\frac {dq}{dx}}=r,{\frac {dr}{dx}}=s,{\frac {ds}{dx}}=t,

on trouve pour équation générale, délivrée de toutes les constantes :

(B)

9q^{2}t-45qrs+40r^{3}=0;

c’est cette équation qui appartient à toutes les courbes du second degré, et qui les exprime toutes, quelles que puissent être les cinq constantes.

Cela posé, soit proposée une équation aux différences ordinaires, qui n’excède pas le quatrième ordre : il est facile de reconnoître si elle appartient à une courbe du deuxième degré : pour cela, il suffit de la différencier successivement jusqu’à ce qu’on soit arrivé aux cinquièmes différences, et de s’assurer si la proposée, au moyen de ses différentielles, satisfait à l’équation générale $(B)$ . Si cela a lieu, la proposée appartient en effet à une courbe du second degré, et son intégrale complète est l’équation $(A)$ dans laquelle il y a autant de constantes de trop qu’il a fallu différencier de fois pour arriver aux cinquièmes différences ; il faut donc déterminer les constantes surnuméraires pour que l’intégrale ne soit plus l’équation de toutes les sections coniques, mais seulement celle des sections coniques auxquelles appartient la proposée.

Pour cela, il faut différencier l’intégrale $(A)$ plusieurs fois successivement, jusqu’à ce qu’on soit parvenu à l’ordre de la proposée ; ensuite, au moyen de ces différentielles successives, éliminer de la proposée toutes les quantités $p,q,r,{\text{…}}$ etc. ; il ne restera plus qu’une équation en $x.y.A.B.C.D.E,$ et il faudra trouver entre les cinq constantes les relations qui satisferont à cette équation. Sur quoi il faut observer que si cette équation avoit plusieurs facteurs, le facteur utile sera celui qui, pour devenir nul par lui-même, exigera précisément le nombre de relations entre les constantes, égal au nombre des constantes surnuméraires.

Exemple :

L’équation générale des cercles est $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ dont la différentielle délivrée des trois constantes et du troisième ordre est :

(C)

(I+p^{2})r=3pq^{2}

Pour s’assurer si cette équation, considérée comme la proposée, appartient à une section conique, il faut les différencier deux fois de suite ; ce qui donne :

(I+p^{2})^{2}s=3q^{3}(1+5p^{2})

(I+p^{2})^{3}t=15q^{4}(3+7p^{2}),

et substituer dans l’équation du cinquième ordre $(B)$ les valeurs de $r,s,t$ . Or, par cette substitution l’équation $(B)$ est satisfaite donc la proposée appartient à une section conique et a pour intégrale l’équation.

(A)

Ay^{2}+2Bxy+Cx^{2}+2Dy+2Ex+1=o

qui contient deux constantes de trop ; il faut donc trouver entre les cinq constantes deux relations.

Pour cela il faut différencier trois fois consécutives l’équation $(A)$ ; la première différenciation donne :

p\{Ay+Bx+D)+By+Cx+E=0

qui, faisant pour abréger,	$Ay+Bx+D=M$
et	$By+Cx+E=N,$
devient	$p={\frac {-N}{M}}$
différenciant ensuite, on a :

$q={\frac {-(AN^{2}-2BNM+CM^{2})}{M^{3}}}$

$r={\frac {-3(AN^{2}-2BNM+CM^{2})(AN-BM)}{M^{5}}}$

Si l’on substitue les valeurs de $p,q,r,$ dans la proposée $(C)$ , on a l’équation suivante, qui est composée de trois facteurs :

M\left\{4N^{2}-2BMN+CM^{2}\right\}\left\{B(M^{2}-N^{2})+MN(C-A)\right\}=0

Or, de ces trois facteurs, les deux premiers ne sont pas utiles ; en effet, le premier, $M$ , c’est-à-dire $Ay+B+D$ ne peut devenir nul par lui-même, à moins que l’on ait $A=0,B=0,D=0$ , ce qui fait trois relations ; tandis qu’il n’en faut que deux.

Le second, $AN^{2}-2BMN+CM^{2}$ ne peut devenir nul, à moins que l’on ait $A=0,B=0,C=0,$ ce qui fait également trois relations ; et si dans le même facteur on faisoit $M=0,N=0,$ il faudroit que toutes les constantes fussent nulles chacune en particulier.

Il n’y a donc que le troisième facteur qui devient nul au moyen des deux relations suivantes :

B=0

C=A

Ce sont les valeurs qu’il faut substituer dans l’intégrale générale $(A)$ pour avoir l’intégrale propre de la proposée ; intégrale qui devient :

A(y^{2}+x^{2})+2Dy+2Ex+1=0

et qui appartient au cercle quelconque, ainsi qu’il est facile de le reconnoître, en faisant :

$\left.{\begin{matrix}A={\frac {1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\\E={\frac {-b}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\\D={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\end{matrix}}\right\}$ $a,b,c$ étant trois autres constantes arbitraires.

Cette équation devient :

	$y^{2}+x^{2}-2(ay+bx)+a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$
ou :	$(y-a)^{2}+(x-b)^{2}=c^{2}$

GÉOMÉTRIE.

Explication des Phénomènes d’optique, qui résultent du mouvement de la Terre ; et Notions d’Astronomie sur lesquelles est fondée l’application de la Géométrie descriptive à l’Art de construire les Cadrans,

Par M. Hachette.

§ Ier.

Du Soleil.

(1) Le soleil est un corps lumineux, de forme sphérique ; l’angle sous lequel on le voit de la terre, est variable ; le plus grand est de 3z' 35, 5 ; le plus petit est de 3z' 0 3 (division sexagésimale) ; on nomme cet angle diamètre apparent du soleil ; le diamètre réel est de 142083 myriamètres ; le volume du soleil est 1384462 fois plus grand que celui de la terre.

Le centre du soleil est fixe ; il tourne autour d’un durée d’une révolution entière est d’environ 25 jours 1/2.

De la Terre.

(2) La terre est un corps opaque, dont la surface est irrégulière, et dont là masse est d’une forme qu’on a comparée à celle de deux corps réguliers, la sphère, et l’ellipsoïde de révolution ; la sphère terrestre a pour diamètre 1273 myriamètres ; le grand axe de l’ellipsoïde terrestre est de 1275 myriamètres ; le petit axe est de 1271 myriamètres.

(3) Le centre de la terre décrit une courbe autour du soleil, et on a d’abord suppose que cette courbe étoit un cercle, qu’on a nommé écliptique ; le rayon de l’écliptique est de 15287873 myriamètres ; la théorie et l’observation ont appris que le soleil est au loyer d’une ellipse qui diffère moins que le cercle de la courbe décrite par le centre de la terre ; les distances du soleil aux extrémités du grand axe de cette ellipse sont exprimées en myriamètres par les nombres 15544709 et 15031037 ; elles différent du rayon de l’écliptique en plus et en moins de la cent soixante-huit dix millième partie de la valeur de ce rayon.

(4) La durée d’une révolution entière du centre de la terre est de 365 jours ( moyens) 5 heures 48' 51. On nomme cette période, l’année.

(5) La terre a un mouvement de rotation autour d’un axe ; cet axe ne change pas sensiblement de direction en une année ; la révolution de la terre autour de son axe se fait en 23,9344 heures ; on n’a encore observé aucune irrégularité dans ce mouvement.

(6) Chaque point de la surface de la terre décrit une courbe ; la force à laquelle il est soumis à chaque instant est la résultante de deux autres forces, l’une parallèle à l’équateur terrestre, et l’autre parallèle à l’ecliptique ; on nomme équateur terrestre le grand cercle de la terre dont le plan est perpendiculaire à l’axe de la terre ; on appelle méridien d’un lieu le grand cercle. qui passe par ce lieu et par l’axe de la terre.

(7) Le plan de l’équateur solaire, ou du plan perpendiculaire à l’axe de rotation du soleil, fait avec le plan de l’écliptique un angle de 7°[illisible].

(8) La lumière du soleil parcourt le rayon de l’écliptique en 0 heure 8'13,3 ; dans le même temps, le centre de la terre parcourt sur l’écliptique un arc de 125 (division décimale) ou 20,25 (division sexagésimale) ; d’où l’on conclut que la vitesse de la lumière est 10313 plus grande que celle du centre de la terre sur l’écliptique.

(9) Nous allons faire, pour l’explication des phénomènes d’optique dus au mouvement de la terre, trois hypothèses qui ne changent pas sensiblement ces phénomènes ; nous supposerons 1°. que la terre est une sphère parfaite, et que son centre décrit un cercle autour du soleil comme centre ; 2°. que le soleil est à une assez grande distance de la terre, pour que, dans un instant donné, on puisse considérer tous les rayons de lumière qu’il envoie vers la terre, comme parallèles entre eux ; 3°. en fin, que le centre de la terre est fixe, tandis que celle planète tourne autour de son axe ; on suppose qu’après chaque révolution, le centre de la terre parcourt instantanément l’arc de l’écliptique, qu’il a réellement parcouru pendant la révolution entière ; d’après cette dernière hypothèse, un point déterminé de la surface de la terre décrit toujours le même cercle autour de l’axe de la terre, tandis que cet axe est transporte parallèle ment à lui-même, de manière que le point-milieu de cet axe paccourre l’écliptique.

§. II.

De l’inégalité du Jour et de la Nuit.

(10) Le centre de la terre parcourt dans une année le cercle de l’écliptique, et l’axe de la terre décrit dans le même temps une surface cylindrique, dont ce cercle est la base.

(11) Supposons l’axe de la terre projette dans chacune de ses positions sur le plan de l’écliptique ; toutes les droites projections de cet axe seront parallèles entre elles, et deux de ces droites seront tangentes au cercle de l’écliptique ; considérons d’abord le centre de la terre dans l’un ou l’autre des points où l’écliptique est touché par ces deux droites, le jour est alors pour tous les lieux de la terre de même durée que la nuit. En effet, la ligne de séparation du jour et de la nuit est un grand cercle de la sphère terrestre, dont le plan est perpendiculaire à la droite qui unit le centre de la terre et le centre du soleil ; or, le plan de ce grand cercle divise en deux parties égales l’équateur terrestre et tous ses parallèles : donc, quelle que soit la latitude d’un lieu, ou le parallèle sur lequel il est placé, ce parallèle sera divisé en deux parties égales par la ligne de séparation du jour et de la nuit : donc, pour un lieu quelconque, le jour est de même durée que la nuit ; les deux époques de l’année auxquelles cette égalité a lieu se nomment équinoxes. Le centre de la terre, à ces deux époques, est placé aux points extrêmes d’un diamètre de l’écliptique ; ces points se nomment nœuds, et le diamètre dont ils sont les extrémités, ligne des nœuds ; l’intersection du plan de l’écliptique et de l’équateur terrestre est constamment parallèle à cette ligne.

(12) L’axe de la terre, considéré dans une position quelconque, autre que celle qui correspond aux équinoxes, se projette sur le plan de l’écliptique, suivant une corde de ce cercle ; ce grand cercle de séparation du jour et de la nuit se projetté sur le même plan de l’écliptique, suivant la tangente à l’écliptique menée par le point milieu de l’axe de la terre, qui est le centre de cette planète ; or, il est évident que le plan du grand cercle qui sépare le jour de la nuit, divise en parties égales l’équateur, et en parties inégales les parallèles à l’équateur ; donc, pour tous les lieux situés sur l’équateur, le jour est constamment égal à la nuit, et pour les lieux situés sur un parallèle quelconque à l’équateur, le jour et la nuit sont inégaux ; cette inégalité est à son maximum lorsque le centre de la terre arrive aux points de l’écliptique, pour lesquels la projection de l’axe de la terre sur l’écliplique se confond avec un diamètre de ce cercle ; cette coïncidence a lieu deux fois dans l’année, à deux époques qu’on nomme solstices.

PROBLÈME.

Étant donnée la position de l’axe de la terre pour une époque déterminée de l’année, trouver le parallèle à l’équateur qui soit à cette époque la limite des parallèles en partie éclairés par le soleil et en partie dans l’ombre, en sorte qu’il soit lui-même tout entier dans l’ombre, ou tout entier dans le jour ?

Solution :

(13) Le parallèle demandé, et le grand cercle de séparation du jour et de la nuit correspondant à l’époque déterminée, doivent évidemment avoir pour tangente commune la droite inter section des plans des deux cercles ; car, si les deux cercles se coupoient, une partie du parallèle seroit dans la nuit et l’autre dans le jour ; s’ils ne se coupoient pas et qu’ils ne fussent pas tangents, le parallèle ne seroit pas une limite suivant la condition du problème ; donc, les deux cercles ont une tangente commune : d’où il suit qu’un cône droit qui a pour base le parallèle cherché et pour sommet le centre de la terre, est touché par le plan du cercle de séparation du jour et de la nuit ; donc, si l’on fait tourner le plan de ce cercle autour de l’axe de la terre, l’enveloppe de l’espace parcouru par ce plan sera la surface d’un cône droit, qui a pour base le parallèle demandé ; donc, l’intersection de ce cône et de la sphère terrestre sera le parallèle cherché. Prenant le rayon de l’écliptique pour le rayon des tables, le sinus de la latitude de ce parallèle a pour expression :

{\sqrt {I-\sin .^{2}E\sin .^{2}L}}

$E$ étant l’inclinaison du plan de l’équateur terrestre par rapport à l’écliptique, et $L$ la longitude du soleil.

De la longitude du Soleil.

(14) Considérant le rayon de la terre comme nul par rapport à la distance de cette planète au centre du soleil, un habitant quelconque de la terre ne peut voir le centre du soleil que dans la direction d’un rayon de l’écliptique ; et comme il suppose qu’il est fixe au centre de l’écliptique, il se trompe sur la position réelle du soleil, il le voit dans le prolongement du rayon de l’écliptique qui unit les centres de la terre et du soleil, à une distance égale à ce rayon ; d’où il suit que connoissant la position réelle du centre de la terre sur l’écliptique, tous les habitans de cette planète ne peuvent voir le soleil qu’à l’extrémité du diamètre de l’écliptique qui correspond à la position donnée du centre de la terre.

(15) À l’un des équinoxes, le centre de la terre est à une extrémité de la ligne des nœuds (11), et le lieu apparent du soleil est à l’autre extrémité de cette ligne ; ce lieu apparent est l’origine des arcs de l’écliptique qu’on nomme longitudes du soleil ; la longitude du soleil, un jour quelconque de l’année, est un arc de l’écliptique qui détermine pour ce jour le lieu apparent de cet astre ; cet arc est égal et opposé à l’arc qui mesure l’angle que la ligne des næuds fait avec le rayon de l’écliptique qui passe ce même jour par le lieu réel du centre de la terre.

Aux équinoxes, la longitude du soleil est 0° ou 180° ; aux solstices, elle est égale à 90° ; l’expression du sinus trouvée art. 13, fait voir que pour ces valeurs de la longitude $L$ , ce sinus de vient 0° et $\cos .E$ , comme il est facile de le vérifier sur une figure. Pour trouver l’expression générale de ce sinus, j’ai supposé l’axe de la terre projetté sur le plan du grand cercle de séparation du jour et de la nuit ; l’angle de cette projection avec l’axe même est le complément de la latitude du parallèle à l’équateur, limite des parallèles qui sont tout entiers dans l’ombre de la terre ou dans la lumière du soleil. L’axe de la terre, la projection de l’axe de la terre sur le plan du grand cercle de séparation d’ombre et de lumière, la droite intersection de ce plan et du plan mené par l’axe de la terre perpendiculairement à l’écliptique, forment une pyramide triangulaire, dont on connoît deux faces et l’angle compris ; la face opposée à ce dernier angle est le complément de la latitude du parallèle, dont on calcule le sinus par l’expression de l’article 13.

Du lever et du coucher des Astres ; de leur passage au Méridien.

(16) Tandis que la terre fait une révolution sur son axe, l’horizon d’un point quelconque de la surface de cette planète se meut ; et si on suppose le centre de la terre fixe pendant cette révolution, l’enveloppe de l’espace que l’horizon parcourt est un cône droit, dont l’axe se confond avec celui de la terre ; ce cône est le même pour tous les lieux situés sur un parallèle à l’équateur ; l’angle de l’une de ces arêtes avec l’axe de la terre est égal à la latitude du lieu auquel il correspond ; un astre se lève ou se couche pour un lieu donné sur la terre, lorsque le plan de l’horizon de ce lieu passe par l’astre.

(17) On nomme (5) méridien un plan qui passe par l’axe de la terre, tandis que la terre tourne sur son axe ; le méridien d’un lieu déterminé de cette planète tourne autour du même axe ; quel que soit l’angle compris entre ce méridien et un autre méridien passant par un astre qui est fixe ou mobile dans une orbite donnée, il y aura un instant où ces deux méridiens se confondront ; cet instant est celui du passage de l’astre au méridien du lieu déterminé de la surface de la terre.

PROBLÊME.

Étant donnée la position d’un lieu sur la terre, et connoissant la position du centre de la terre sur l’écliptique, on demande l’instant du passage d’un astre fixe, tel que le soleil ou une étoile, au méridien du lieu dont la position est donnée ?

(18) La position d’un lieu étant donnée, l’enveloppe de l’espace que parcourt l’horizon de ce lieu, en tournant autour de l’axe de la terre, est déterminé ; donc si on mène par l’astre considéré comme un point deux plans tangens à ce cône, la position de ces deux plans détermine celle de l’horizon correspondant au lever et au coucher de l’astre.

(19) Les étoiles situées dans l’intérieur du cône droit (16) touché par l’horizon d’un lieu, sont toujours visibles de ce lieu ; celles qui sont situées dans l’intérieur du prolongement de ce cône sont toujours invisibles pour ce même lieu.

De la hauteur des Astres.

(20) La hauteur d’un astre est l’angle que l’horizon d’un lieu fait avec la droite menée de ce lieu au centre de l’astre ; cette droite fait avec la verticale du même lieu un angle qui est le complément de la hauteur ; à chaque révolution de la terre sur son axe, la verticale d’un lieu qui tourne autour de ce même axe en gendre (9) un cône droit dont les arêtes fout avec les droites menées du lieu qu’on considère, vers un astre, des angles qui sont les complémens des hauteurs variables de cet astre. De la Longitude et de la Latitude d’un Astre ; de son Ascension droite, et de sa Déclinaison.

(21) Si par la ligne des nœuds (11) on conçoit un plan parallèle à l’équateur terrestre, et dans ce plan un cercle de même centre que l’écliptique, on nomme ce dernier cercle équateur céleste : ces deux cercles se coupent en deux points, qu’on appelle nœuds (11). Chacun d’eux a un axe, c’est-à-dire une droite passant par le centre du cercle, perpendiculaire au plan qui contient ce cercle.

(22) Un astre étant donné, on mène par cet astre et par les axes de l’écliptique et de l’équateur céleste deux plans, qui coupent ces cercles chacun en un point : l’arc compris entre le point de l’écliptique et un des nœuds est la longitude de l’astre ; l’arc compris entre le point de l’équateur et le même nœud en est l’ascension droite ; l’angle que la droite menée par l’astre et le centre de l’écliptique fait avec le plan de ce cercle se nomme latitude ; l’angle que cette même droite fait avec le plan de l’équateur céleste s’appelle déclinaison. Les angles que cette même droite fait avec les axes de l’écliptique et de l’équateur céleste, sont les complémens de la latitude et de la déclinaison.

Du Mouvement apparent d’un point déduit du Mouvement réel de ce point ; et des Mouvemens réels et apparens de l’œil d’un spectateur.

(23) Un point se meut sur une courbe, et l’œil d’un spectateur qui l’observe parcourt en même temps une autre courbe ; les positions correspondantes de l’ail et du point sur ces deux courbes étant données, désignons-les par les lettres $a$ et $b$ , $a'$ et $b'$ , $a''$ et $b''$ , etc., ensorte que l’oeil du spectateur soit aux points $a$ , $a'$ , $a''$ ; etc., tandis que le point mobile se trouve en $b$ , $b'$ , $b''$ , etc. sur la ligne qu’il parcourt : et représentons par $ab$ , $a'b'$ , $a''b''$ les droites qui unissent deux à deux les points correspondans des deux courbes $aa'a''$ ..., $bb'b''$ , etc ; le système de ces droites appartient à une surface courbe qui est évidemment le lieu du mouvement réel du point observe et de l’ail de l’observateur considéré comme un autre point : le mouvement apparent de l’œil étant connu, nommons $c$ , $c'$ $c''$ , ses positions apparentes correspondantes aux positions réelles $a$ , $a'$ , $a''$ .... ; ayant mené par les points $c$ , $c'$ , $c''$ .... des droites égales et parallèles aux droites $ab$ , $a'b'$ , $a''b''$ , la courbe qui unit les extrémités $d$ , $d'$ , $d''$ .... de ces parallèles est la courbe demandée ; c’est sur cette courbe $dd'd''$ .... que le point qui décrit réellement la ligne $bb'b''$ ...., paroît se mouvoir.

(24) Lorsque le spectateur suppose qu’il est en repos, la courbe $cc'c''$ ... se réduit à un point ; la surface formée des lignes droites $cd$ , $c'd'$ , $c''d''$ .... devient un cône, et la courbe $dd'd''$ décrit en apparence par le point mobile, est une ligne tracée sur la surface de ce cône.

(25) Les mouvemens réel et apparent de l’œil d’un spectateur restant les mêmes, supposons qu’un second point mobile, vu en même temps que le premier, décrive une courbe $B$ , $B'$ , $B''$ ... On formera deux nouvelles surfaces, l’une composée des droites $aB$ , $a'B'$ $a''B''$ ..., l’autre des droites $cD$ , $c'D'$ , $c''D''$ ...., la première est le lieu des courbes réellement décrites $aa'a''$ ..., $BB'B''$ .... par l’œil de l’observateur et par le point observé ; la deuxième contient les courbes $cc'c''$ ...., $DD'D''$ ... du mouvement apparent de ces mêmes points ; quel que soit l’angle réellement compris entre les droites $ab$ , $aB$ dirigées de l’œil du spectateur vers les deux points $b$ et $B$ , l’angle apparent de ces mêmes droites est compris entre leurs parallèles $cd$ , $cD$ ; donc, quel que soit le mouvement réel et apparent de deux points et de l’œil d’un spectateur qui les observe, les angles apparens des rayons visuels dirigés en même temps vers ces points, sont égaux aux angles réels formes par ces mêmes rayons.

Du Mouvement apparent du Soleil, considéré comme un point lumineux.

(26) La droite qui unit le centre de la terre et celui du soleil, fait avec l’axe de la terre un angle qui dépend de la position du centre de la terre sur l’écliptique ; nominons cet angle $D'$ : comme on suppose (9) que le centre de la terre est fixe pendant une révolution entière de cette planète, l’angle $D'$ correspondant à cette révolution ne change pas de grandeur : donc si un habitant de la terre se croit transporté au centre de l’écliptique, l’angle que la parallèle à l’axe de la terre menée par ce centre fait avec la droite dirigée vers le lieu apparent du soleil doit être (23) égal à l’angle $D'$ ; donc le soleil paroît se mouvoir sur un cône droit, donc toutes les arêtes font avec la parallèle à l’axe de la terre menée par le centre de l’écliptique, un angle constant $D'$ , égal au complément de la déclinaison du soleil (22). La ligne qu’il paroît décrire sur ce cône est un cercle ; car les distances réelle et apparente du centre de la terre au centre du soleil sont égales entre elles, et toutes égales au rayon de l’écliptique ; donc la ligne du mouvement apparent du soleil, un jour quelconque de l’année, est un cercle situé sur un cône droit dont l’arête fait avec l’axe de la terre un angle qui est le complément de la déclinaison du soleil correspondante à ce jour.

(27) La verticale d’un lieu quelconque de la terre décrit (20) un cône droit dont l’arête fait avec l’axe de la terre un angle constant qui est le complément de la latitude de ce lieu, et le rayon de l’écliptique qui unit les centres de la terre et du soleil, un jour quelconque de l’année, fait avec cette verticale un angle variable : quel que soit cet angle, l’observateur qui se croit placé au centre de l’écliptique, doit le voir (23) dans sa véritable grandeur, et c’est ce qui arrivera d’après ce qui vient d’être dit sur le mouvement apparent du soleil ; car, soit qu’une verticale paroisse immobile par rapport à l’axe de la terre, tandis que le rayon de l’écliptique qui joint les centres de la terre et du soleil paroît mobile, où que ce rayon soit fixe par rap port à l’axe de la terre, tandis que la verticale tourne autour de cet axe, l’angle de la verticale et du rayon variera de la même manière dans l’une ou l’autre hypothèse.

(28) Quelle que soit la position d’un lieu sur la terre, l’habitant de ce lieu se croira immobile au centre d’une sphère céleste d’un rayon indéterminé ; son méridien, sa verticale, et l’axe de la terre contenus dans le plan de ce méridien lui paroîtront fixes ; le soleil lui paroîtra décrire dans l’année des cercles parallèles à l’équateur céleste ; les projections de ces cercles sur le méridien sont des lignes droites parallèles à l’intersection de ce méridien et de l’équateur céleste ; l’arc du méridien compris entre cette intersection et la projection d’un cercle décrit en apparence par le soleil un certain jour de l’année, est la mesure de la déclinaison (22)

Application du Théorême de Taylor au développement des fonctions

(i+x)^{m},a^{n},\log(1+x),\cos .x,et\sin .x.

^[8]

La méthode suivante suppose seulement que l’on sache différentier les produits et les puissances entières des variables, et que l’on connoisse la formule de Taylor, démontrée pag. 52 du premier volume de la Correspondance, savoir :

$\phi (x+h)=\phi x+h.\phi 'x+{\frac {h^{2}}{2}}.\phi ^{m}x+{\frac {h^{3}}{2.3}}.\phi '''+etc.$

1° Soit

\phi (1+x)

[1]

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Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2/Texte entier

N°. Ier. Janvier 1809. (2e. volume.)

§. Ier GÉOMÉTRIE.

Sur la Pyramide triangulaire.Par M. Monge.

THÉORÊME I.

première démonstration.

seconde démonstration.

sur la solidité de la pyramide. Théorême I.

Théorême II.

Théorême III.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.Sur la Transformation des coordonnées[5] ; par M. Hachette.

Problême de Géométrie.

Application de la théorie des Ombres au dessin des Machines ; par M. Hachette.

Conclusion.

Géométrie Analitique.Des trois axes rectangulaires des surfaces du second degré, qui ont un centre ; par M. Binet.

Question de Géométrie ;Par M. Baduel, ancien Elève de l’Ecole Polytechnique, Ingénieur des Ponts et Chaussées.

Question de Minimis ; Par MM. Billy et Puissant, Professeurs à l’Ecole Militaire de Saint-Cyr.

Des Epicycloïdes sphériques (Pl. 3) ;Par M. Hachette.

De l’Epicycloïde plane.

Des Epicycloïdes sphériques.

De la Description de l’Epicycloïde sphérique.

De la Tangente à l’Epicycloïde sphérique.

Théorême.

Corollaire.

Construction de la Tangente à l’Epicycloïde sphérique.

De la tangente aux Epicycloïdes plane et sphérique, déterminée par la méthode de Roberval ; par M. Gaultier.

De la tangente à l’Epicycloïde plane

§. II. SCIENCES PHYSIQUES.Expériences faites au Laboratoire de l’Ecole Polytechnique, par MM. Gay-Lussac et Thenard.

Électricité.

Du Gaz Fluorique.

Sur l’Acide Boracique.

Sur le Gaz Acide Muriatique.

§. III. ANNONCES D’OUVRAGES.

§. IV. PERSONNEL.

EXAMINATEURS D’ADMISSION À L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE,pour le Concours de 1808.

§. V. CONSEIL DE PERFECTIONNEMENT.

LISTE DES MEMBRES DU CONSEIL.

Gouverneur de l’École, Président.

Examinateurs pour l’admission dans les services publics ; membres désignés par la loi.

Membres de l’Institut national, pris, selon la loi, dans la classe des sciences physiques et mathématiques.

Désignés par S. Exc. le Ministre de la Guerre.

Désignés par S. Exc. le Ministre de la Marine.

Désignés par S. Exc. le Ministre de l’Intérieur.

Directeur des études de l’École impériale Polytechnique.

Commissaires choisis par le conseil d’instruction de l’École, parmi ses membres.

Quartier-Maitre de l’École Polytechnique, Secrétaire.

LISTE, PAR ORDRE ALPHABÉTIQUE,

DISCOURSPrononcé par le Préfet de la Seine-Inférieure[7], à l’ouverture de l’examen des aspirans à l’Ecole Polytechnique, le 5 septembre 1808.

§. VI. ACTES DU GOUVERNEMENT.

N°. Ier. Janvier 1810. (2e. volume.)

§. Ier ANALYSE.

Sur les Équations différentielles des Courbes du second degré ;Par M. Monge.

GÉOMÉTRIE.

§ Ier.Du Soleil.

N°. I^er. Janvier 1809. (2^e. volume.)

§. I^er
GÉOMÉTRIE.

Sur la Pyramide triangulaire.

Par M. Monge.

sur la solidité de la pyramide.

Théorême I.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Sur la Transformation des coordonnées^[5] ; par M. Hachette.

Géométrie Analitique.

Des trois axes rectangulaires des surfaces du second degré, qui ont un centre ; par M. Binet.

Question de Géométrie ;

Par M. Baduel, ancien Elève de l’Ecole Polytechnique, Ingénieur des Ponts et Chaussées.

Question de Minimis ;

Par MM. Billy et Puissant, Professeurs à l’Ecole Militaire de Saint-Cyr.

Des Epicycloïdes sphériques (Pl. 3) ;

Par M. Hachette.

§. II. SCIENCES PHYSIQUES.

Expériences faites au Laboratoire de l’Ecole Polytechnique, par MM. Gay-Lussac et Thenard.

EXAMINATEURS D’ADMISSION À L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
pour le Concours de 1808.

LISTE,
PAR ORDRE ALPHABÉTIQUE,

DISCOURS

Prononcé par le Préfet de la Seine-Inférieure^[7], à l’ouverture de l’examen des aspirans à l’Ecole Polytechnique, le 5 septembre 1808.

N°. I^er. Janvier 1810. (2^e. volume.)

§. I^er
ANALYSE.

Sur les Équations différentielles des Courbes du second degré ;

Par M. Monge.

§ Ier.

Du Soleil.