Sur la transformation des coordonnées

M. Hachette

Sur la transformation des coordonnées

Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813 (p. 6-13).

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Sur la Transformation des coordonnées^[1] ; par M. Hachette.

M. François, ancien élève de l’Ecole Polytechnique, capitaire au Corps du Génie, a donné, dans le 14^e. cahier du Journal de l’Ecole (page 182), un mémoire remarquable, et par la notation et par l’élégance des formules ; je me suis proposé d’arriver à ces mêmes formules par des considérations géométriques et d’éviter les opérations de calcul.

La notation de M. François consiste à représenter un angle de deux axes, par exemple, de l’axe des $x$ et de l’axe des $y$, par une parenthèse qui renferme ces deux lettres ; ainsi ($x$, $y$) signifie, angle de l’axe des $x$ et de l’axe des $y$ ; ($xy$, $yz$) signifie, angle de deux plans, l’un $xy$, mené par les axes des $x$ et $y$, l’autre $yz$ mené par les axes des $y$ et $z$ ; enfin ($x$, $yz$) est l’angle d’un axe tel que celui des $x$ avec le plan $yz$.

Cette notation étant adoptée, voici les formules de M. François, pour la transformation des coordonnées rectangulaires en d’autres coordonnées obliques.

$x$, $y$, $z$, sont les coordonnées rectangulaires, et $x'$, $y'$, $z'$, les nouvelles coordonnées obliques.

$({E}){\begin{cases}x=x'\cos(x',x)+y'\cos(y',x)+z'\cos(z',x)\\y=x'\cos(x',y)+y'\cos(y',y)+z'\cos(z',y)\\z=x'\cos(x',z)+y'\cos(y',z)+z'\cos(z',z)\end{cases}}$

Ces expressions de $x$, $y$, $z$, ont l’avantage de faire voir que l’une quelconque, $x$ par exemple, est composée de trois parties, et que chacune de ces parties est la projection d’une des trois nouvelles coordonnées sur l’axe des $x$. Pour expliquer ce qu’on entend par projection d’une droite sur une autre droite, que l’on conçoive une droite menée de l’origine des coordonnées au point dans l’espace que je désigne par ($w$) ; on arrive à ce point, ou par les trois coordonnées rectangulaires $x$, $y$, $z$, ou par les trois coordonnées obliques $x'$, $y'$, $z'$, en sorte que la droite qui va de l’origine des coordonnées au point ($w$) est le quatrième côté d’un premier quadrilatère gauche, dont les trois autres sont $x$, $y$, $z$, ou d’un deuxième quadrilatère gauche dont les autres côtés sont $x'$, $y'$, $z'$ ; mais l’extrémité de $x$ est effectivement l’intersection de l’axe des $x$ avec un plan mené par le point ($w$) parallèlement à celui des $yz$ ; c’est ce point d’intersection que je nomme projection de ($w$) sur l’axe des $x$, et la projection d’une droite, sur une autre droite, est la partie de cette seconde droite comprise entre les projections des extrémités de la première ; projetant de la même manière, c’est-à-dire parallèlement au plan des $yz$, les extrémités des $x'$, $y'$, $a'$, la somme des trois projections de ces coordonnées sera égale à la projection de la droite, qui va de l’origine des coordonnées à l’extrémité de $z'$. Mais la projection de cette droite sur l’axe des $x$, a pour longueur $x$ ; les projections de $x'$, $y'$, $z'$ ont évidemment pour expressions

$x'\cos(x',x),$

$y'\cos(y',x),$

$z'\cos(z',x):$

donc on peut écrire directement les équations ($E$).

Une observation de M. Binet (répétiteur à l’Ecole Polytechnique), sur la composition des forces, ne m’avoit laissé aucun doute sur la possibilité d’appliquer la même propriété des projections à la transformation décoordonnées obliques en d’autres coordonnées obliques ; en effet soient $x'$, $y'$, $z'$, les coordonnées d’un point $(w)$, $x'$ étant compte sur l’axe des $x'$, $y'$ étant parallèle à l’axe des $y'$ ; et $z'$ parallèle à l’axe des $z'$, la droite qui va de l’origine des coordonnées au point $(w)$ est le quatrième côté d’un quadrilatère dont les trois autres côtés sont $x'$, $y'$, $z'$ ; si au lieu de $x'$, $y'$, $z'$, on conçoit trois nouvelles coordonnées $x''$, $y''$, $z''$, allant de l’origine des coordonnées au même point $(w)$, il est évident que la projection du quatrième côte du quadrilatère sur l’un des axes, est égale à la somme des projections des trois autres côtés $x'$, $y'$, $z'$ ou $x''$, $y''$, $z''$ ; la projection se faisant par des plans parallèles aux deux autres axes ; ainsi la projection de la droite qui joint l’origine des coordonnées et le point $(w)$, sur l’axe des $x'$, a pour longueur $x'$ ; elle est égale à la somme des projections des trois droites $x'$, $y'$, $z'$ ou $x''$, $y''$, $z''$ sur le même axe des $x'$, ces projections étant faites comme celle du point $(w)$, par des plans parallèles au même plan ($y'z'$).

On m’a fait remarquer que la proposition dont je faisois usage pour un quadrilatère, s’appliquoit à un polygone quelconque fermé ; en sorte qu’ayant un système quelconque de points, joints deux à deux par des droites, et une droite fixe sur laquelle on projette ces points par des plans parallèles à un seul et même plan, la projection du polygone formé par les droites qui unissent ces points donnés, est égale à la somme des projections des côtés du polygone, en ayant égard aux signes de ces projections ; signes qui peuvent être positifs ou négatifs. Ce théorème sur les projections est aussi général que celui dont M. Poisson a fait usage pour démontrer plusieurs théorêmes de dynamique. (Voyez le premier volume de la Correspondance, page 387.)

Avant d’aller plus loin, j’observerai sur les équations $(E)$, qu’on a entre les coefficiens de $x'$, $y'$, $z'$, dans ces trois équations, les relations suivantes

$({E}){\begin{cases}\cos(x',x)^{2}+y'\cos(x',y)^{2}+z'\cos(x',z)^{2}=1\\\cos(y',x)^{2}+y'\cos(y',y)^{2}+z'\cos(y',z)^{2}=1\\\cos(z',x)^{2}+y'\cos(z',y)^{2}+z'\cos(z',z)^{2}=1\end{cases}}$ et si l’on passe d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de même espèce, alors les axes des $x'$, des $y'$, des $z'$, sont rectangulaires, et on aura les trois autres relations :

$\cos(x',x)^{2}+\cos(y',x)^{2}+\cos(x',x)^{2}=1.$
$\cos(x',y)^{2}+\cos(y',y)^{2}+\cos(z',y)^{2}=1.$
$\cos(x',z)^{2}+\cos(z',z)^{2}+\cos(z',z)^{2}=1.$

Reprenons les équations de M. François, pour la transformation des coordonnées obliques en d’autres coordonnées obliques ;

$({F}){\begin{cases}x'\sin(x',y'z')=x''\sin(x'',y'z')+y''\sin(y'',y'z')+z''\sin(z'',y'z')\\y'\sin(y',x'z')=x''\sin(x'',x'z')+y''\sin(y'',x'x')+z''\sin(z'',x'z')\\z'\sin(z',x'y')=x''\sin(x'',x'y')+y''\sin(y'',x'y')+z''\sin(z'',x'y')\end{cases}}$

$x',y',z'$ sont les coordonnées primitives, et $x'',y'',z''$ les coordonnées nouvelles.

La première des équations $(F)$ fait voir que la valeur de $x'$ est composée de trois parties ; savoir :

$x''{\frac {\sin(x'',y'z')}{\sin(x',y'x')}}$

$y''{\frac {\sin(y'',y'z')}{\sin(x'',y'z')}}$

$z''{\frac {\sin(z'',y'z')}{\sin(x'',y'z')}};$

or, ces trois quantités sont les valeurs des projections de $x'',y'',z''$, sur l’axe des $x'$, par des plans parallèles au plan des $(y'z')$.

En effet, soient $AB$ et $AC$ (Fig. I, pl. 1) les axes des $y'$ et des $z'$; le plan de ces deux droites sera celui des $(y'z')$. Quelles que soient les projections orthogonales des deux axes $x'$ et $x''$ sur le plan des $(y'z')$, si les angles qu’ils font avec ce plan est constant, la longueur de la projection d’un $x'$ quelconque sur l’axe $x''$, ou d’un $x''$ quelconque sur l’axe $(x')$, ne dépendra que de ces angles (on suppose que la projection de $x'$ ou $x''$ soit faite par un plan parallèle à celui des $(y'z')$). En effet, l’axe des $(x'')$ étant fixe, qu’on fasse tourner l’axe des $(x')$ de telle manière que son angle avec le plan des $(y'z')$ ne change pas, elle engendrera une surface conique droite, dont la base circulaire sera parallèle au plan des $(y'z')$ ; si par l’extrémité d’un $z''$ quelconque, on mène un plan parallèle à ce dernier plan, il coupera la surface conique droite suivant un cercle, et chacune des arêtes du cône comprise entre ce cercle et l’origine des coordonnées qui est le sommet du cône, sera une projection de $x''$ sur l’axe des $(x')$ : or, toutes ces arêtes sout égales ; donc toutes les projections de $x''$ sur l’axe des $(x')$ seront de même longueur ; on prouve de la même manière que toutes les projections des $x'$ sur l’axe des $x''$ sont de même longueur ; on peut donc supposer les axes des $(x')$ et des $(x'')$ dans un même plan $AD$, perpendiculaire à celui des $(y'z')$. $EAD$ et $FAD$ sont les angles du plan $(y'z')$ avec les axes des $(x')$ et des $(x'')$ ; le point $E$ étant l’extrémité d’un $x''$ quelconque, il est évident qu’en menant $EF$ parallèle à $AD$, $AF$ sera la projection de $AF=x''$, sur l’axe $AF$ des $(x')$ ; or, dans le triangle $EFA$, on a :

$\sin EFA:AE::AEF:AF,$

ou

$\sin(x',y'z'):x''::\sin(x'',y'z'):AF,$

donc

$AF=x''{\frac {\sin(x'',y'z')}{\sin(x',y'z')}};$

et par la même raison

$y''{\frac {\sin(y'',y'z')}{\sin(x'',y'z')}};$

et

$n''{\frac {\sin(x'',y'z')}{\sin(x',y'z')}};$

sont les projections de $y''$ et $z''$ faites sur le même axe des $(x')$ par des plans parallèles à $(y'.z')$; donc en égalant la somme de ces trois projections à $x'$, on aura la première des équations $(E)$ ; on obtiendroit de même les deux autres par les valeurs de $y'$ et de $z'$.

Il est à remarquer que le nombre des constantes qui entrent dans les équations $(F)$, ne peut pas être réduit ; car il faut au moins trois quantités pour déterminer la pyramide triangulaire formée par les axes des $(x')$, des $(y')$ et des $(z')$ ; il en faut au moins deux pour déterminer la position de chacun des axes des $(x'')$, $(y'')$, $(z'')$, par rapport à l’un quelconque des axes primitifs ; les constantes nécessaires sont donc au nombre de neuf, comme on les voit dans les équations $(F)$. Mais si l’on supposoit les axes des $(x'')$, $(y'')$, $(z'')$^[2], perpendiculaires entr’eux, en nommant $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles d’une droite perpendiculaire au plan des $(y'z')$ avec ces axes, on auroit :

$\cos \alpha ^{2}+\cos \beta ^{2}+\cos \gamma ^{2}=1;$

donc,

$\sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',y'z')^{2}+\sin(z'',y'z')^{2}=1;$

et par la même raison,

$\sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',x'z')^{2}+\sin(z'',x'z')^{2}=1;$

$\sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',x'z')^{2}+\sin(z'',x'y')^{2}=1;$

En combinant ces trois équations de conditions avec les équations $(F)$, on pourra transformer les coordonnées obliques $x',y',z'$, en coordonnées rectangulaires $x'',y'',z''$ ; ces valeurs de $x',y',z'$, doivent coïncider, dans ce cas, avec celles qu’on déduirait des équations $(E)$, en prenant ces valeurs de $x',y',z'$, en fonctions de $x,y,z$.

Enfin, s’il s’agissoit de transformer des coordonnées rectangulaires en d’autres coordonnées rectangulaires, les neuf constantes des équations $(F)$ réduites à six par les trois dernières équations de conditions, se réduiroient à trois ; car on auroit de plus :

$\sin(x'',y'z')^{2}+\sin(x'',x'z')+\sin(x'',x'y')^{2}=1$

$\sin(y'',y'z')^{2}+\sin(y'',x'z')+\sin(y'',x'y')^{2}=1$

$\sin(z'',y'z')^{2}+\sin(z'',x'z')+\sin(z'',x'y')^{2}=1$

d’où l’on voit que, par les équations $(F)$, on peut opérer les trois transformations de rectangulaires en rectangulaires, de rectangulaires en obliques, ou d’obliques en rectangulaires, et enfin d’obliques en obliques.

Les équations $(E)$ et $(E')$ donnent le moyen de transformer un systême de coordonnées rectangulaires en un autre système de même espèce ; mais elles supposent que les angles des axes primitifs, avec les nouveaux, soient connus : or ces angles ne sont pas toujours donnés directement ; et la mécanique en offre des exemples. Il faut alors calculer les valeurs des lignes trigonométriques de ces angles, en fonction des quantités connues. Ex. : $x,y,z,$ étant les coordonnées rectangulaires primitives, et $x',y',z',$ les coordonnés nouvelles du même point, on donne : 1°. l’angle $\theta$ du plan $(x'y')$ avec le plan $(xy)$ ; 2°. l’angle $\psi$ de l’intersection de ces deux plans et de l’axe des $(x)$ ; 3°. de l’angle $\varphi$ de cette même intersection et de l’axe des $(x')$.

Il s’agit maintenant de trouver les coefficiens qui entrent dans les équations (E) en fonction de $\theta$, $\psi$ et $\varphi$.

Cherchons d’abord les cosinus

$\cos .(x',x),\cos .(x',y),\cos .(x',z).$

Remarquons qu’en nommant $(I)$ la droite intersection des deux plans $(xy)$ et $(x'y')$, l’axe des $(x)$ et $(x')$, et la droite $(I)$ forment un triangle sphérique dont on connoît deux faces et l’angle compris ; l’angle de l’axe $(x)$ et de $I$ est $\psi$ ; l’angle de $I$ et de l’axe des $(x')$ est $\varphi$ ; l’angle des deux côtés $\psi$ et $\varphi$, est $\theta$ ; donc par la formule (page 275 du premier volume de cette Correspondance), qui donne un côté, au moyen de deux autres côtés, et de l’angle qu’ils font entr’eux, on aura :

$\cos(x,x')=\cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \psi \cos \theta .$

L’axe des $(y)$, l’axe des $(x')$ et la droite $(I)$ forment un second triangle sphérique, qui ne diffère du premier que par le côte $(\psi )$, qui devient + 90°, ce qui change $\sin \psi$ en $\cos \psi$ et $\cos \psi$ en — $\sin \psi$ ; donc on aura

$\cos(y,x')=-\sin \psi \cos \varphi +\cos \sin \psi \cos \theta .$

L’axe des $(z)$, l’axe des $(x')$, et la droite $(I)$ forment un triangle sphérique qui diffère du premier, et par le côté qui devient 90°, parce que l’axe $(z)$ est perpendiculaire à la droite $(I)$, et par l’angle $\theta$ qui devient (90° — $\theta$), parce que le plan $(Ix')$ fait avec le plan $(Iz)$ un angle complément de $\theta$, donc $\sin \psi =1$, $\cos \psi =0$, $\cos \theta$ devient $sin\theta$, et on a

$\cos(z,x')=-\sin \varphi \sin \theta .$

Par des considérations semblables, on trouve les valeurs de

$\cos(x,y'),\cos(y,y'),\cos(z,y').$

La droite $(I)$ forme avec les deux axes $(x)$ et $(y')$, et avec les deux axes $(y)$ et $(y')$ deux triangles sphériques dont on connoît deux faces et l’angle compris $(\theta )$.

La droite $(I)$ et les deux axes des $(z)$ et $(y')$ forment un triangle sphérique dont un côté est 90° + $\varphi$, l’autre côté est 90°, et l’angle compris entre ces deux côtés est 90° – $\theta$ ; ce qui donne

$\cos(x,y')=\cos \theta \sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi .$

$\cos(y,y')=\cos \theta \cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi .$

$\cos(z,y')=-\sin \theta \cos \psi .$

Enfin les deux triangles sphériques, formés par la droite (I), et les deux axes des (x) et (z"), et par la même droite (1), avec les deux axes des () et ( :’), donnent

$\cos(x,z')=\sin \theta \sin \psi .$

$\cos(y,z')=\sin \theta \cos \psi .$

Et d’ailleurs, il est évident que les plans $(xy)$ et $(x'y')$ font entr’eux le même angle que les axes $(z)$ et $(z')$ ; donc $\cos(z,z')=\cos \theta$.

C’est d’après cette méthode que M, Poisson a donné, dans ses leçons au collége de France, les formules de la mécanique céleste, tome premier, page 58.

Je terminerai cet article en proposant à MM. les Elèves un problême sur la pyramide triangulaire. On n’a considéré jusqu’à présent, dans une pyramide triangulaire, que six angles : les angles des arêtes, et les angles des plans conte nant ces arêtes. La trigonométrie sphérique a pour objet de déterminer trois de ces angles, au moyen des trois autres ; mais les arêtes font, avec les plans opposés aux arêtes, trois autres angles ; en sorte qu’il y a réellement neuf angles à considérer dans une pyramide triangulaire.

En nommant arêtes d’un triangle sphérique, les droites qui vont du centre de la sphère à l’extrémité de ses côtés, on trouvera facilement la démonstration de cette proposition, (que je n’ai pas encore vue énoncée) : « Les sinus des angles que les arêtes et les plans des côtés d’un triangle sphérique font entr’eux, sont en raison inverse des sinus des côtés opposés à ces arêtes. »

Problême de Géométrie.

Connoissant, dans une pyramide triangulaire, les angles des arêtes avec les plans des faces de la pyramide opposées aux arêtes, construire la pyramide.

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1. J’invite MM. les Elèves à substituer cet article au paragraphe V de notre application de l’Algèbre à la Géométrie, pag, 20.
2. Note de Wikisource : Correction formule (x"), (y"), (z")